16-11二次根式总结提升
教师反思：如何从《二次根式》教案中总结经验？
作为一名教师，在不断地教学实践中，总有一天会遇到一些教学难题，这时，我们需要进行反思，总结出经验，不断提高我们的教学水平。
本文就是要通过对《二次根式》教案的反思，来总结一下经验，希望对广大教师有所帮助。
一、教材分析《二次根式》是初中数学的一个重要知识点，也是中考的热点之一。
这个知识点包括分解质因数、提取平方根、化简分式等多个方面，是一种综合性很强的知识点。
在教学上，需要结合学生的实际情况，因材施教，不同层次的学生，教师的授课方式也不同，需要有所调整和变通。
二、教学目标在授课之前，我们需要清楚地把握教学目标，这样才能让学生更好地掌握知识点。
我们的教学目标应当贴近学生的实际需求，让他们真正理解这个知识点的意义和用处，且能在学习中提高自己的综合素养。
同时，也要注重数学思维的培养，引导学生形成积极乐观的学习态度，帮助他们养成好的习惯，如多思考、多动手实践等。
三、教学重点和难点在《二次根式》教学中，提取平方根和化简分式是一般中学生容易出现的问题，因此，这个知识点在授课中也需要着重强调。
我们需要通过一些实例来解释和说明，围绕这些重点问题展开教学，让学生更好地理解。
同时，通过常规的数学思考题或分析题来帮助学生深化理解，提高对知识的熟练度和运用能力。
四、课堂教学方法针对不同的年龄段和知识水平，我们需要采用不同的教学方法。
对于初中学生，我们可以采用提问式、讲述式、示范性演示等教学方法，让学生在互动交流中感受到学习的乐趣和成就感。
同时，尽量采用多媒体技术，使用图片、图表、动画等形式，让学生更容易理解和记忆。
此外，我们还可以采用“慢进快出”的教学法，把难点分解为易懂的几个步骤，让学生逐步掌握。
五、注意事项1、用简单易懂的语言进行解释，不要使用过于晦涩难懂的术语或词汇。
2、针对学生的掌握情况，及时调整教学进度和方式，不要固化思维，保持灵活性。
3、随时引导学生进行思考和实践，让他们主动参与，培养数学思维能力。
4、多与同事交流，分享成功和失败的教学经验，不断改进自己的教学技能和方法。
(完整版)第十六章二次根式知识点总结大全
二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a≥0，b≥0）；=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；【典型例题】1、概念与性质例1、下列各式1）-，其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx--+315；（2）22)-(x例3、在根式1) ，最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=xyyxxyyxxxy例5、已知数a，b，若=b－a，则( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512，b=512．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---4、比较数值 （1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<例1、 比较与（2）、平方法当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。
二次根式经典总结
1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式。
注意:（1）若0a ≥这个条件不成立,则 不是二次根式；（2)是一个重要的非负数,即；≥0。
2．重要公式：（1))0a (a )a (2≥=,(2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 ;注意使用)0a ()a (a 2≥=. 3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=,积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积;注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求。
4．二次根式的乘法法则：)0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅。
5．二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小;(2）把二次根式的系数移入二次根号内,然后比大小； （3）分别平方,然后比大小。
6．商的算术平方根:)0b ,0a (ba b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
7．二次根式的除法法则：（1))0b ,0a (b a b a>≥=； （2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷;（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化;具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式,使分母变为整式。
8．常用分母有理化因式:a a 与，b a b a +-与， b n a m b n a m -+与,它们也叫互为有理化因式。
9．最简二次根式:(1)满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数,因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式;(2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；（3)化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式。
10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3)讨论条件题。
11．同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.12．二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的,在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；(2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如:化为同类二次根式才能合并;除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.形如)0a (,a ≥的式子，叫做二次根式（1）二次根式中，被开方数必须是非负数.即0a ≥(2)二次根式是一个非负数,即;≥0。
中考数学《二次根式》高频易错点突破提升策略
中考数学《二次根式》高频易错点突破提升策略一.二次根式有意义例1：分析：解答：例2：分析：本题虽未明确说明下列式子有意义，但却隐含了这样的条件，因此，可以看作是例1的变式，保证被开方数为非负即可．二、两个重要公式及化简例3分析：解答：例4这两题的结果确定，那么，必须在绝对值化简时，就可以关注需化简的原式的范围，从而确定字母参数的范围．解答：例5：分析：本题与分母有理化的化简有区别．把根号外的移入根号内，要注意2个方面，第一，要先平方后再乘进去，第二需要注意符号，由题意得，a－1＜0，则乘进去之前，需要负号留在根号外．当然，本质上，所有所谓把根号外的式子移入根号内，其实还是一个化简的过程，我们用分母有理化的方法来解决本题，所得结果是一样的．三、二次根式计算例6：分析：二次根式的计算，有些同学就是反复做，反复错，原因在于，不知化简的顺序性，一般而言，记住12个字就足够了：先乘除，再化简；先化简，再加减．怎么理解，很简单，对于只有乘除的混合运算，切记不要先化简，有时候分母有理化后，算起来反而更麻烦，只要把除法转化为乘法，这样可以约分，然后再化简．对于有加减法的混合运算，则只能先化简，因为只有同类二次根式可以加减．显然，第(1)问应该先乘除，再化简．第(2)问，有两种做法，一种分母有理化，一种根号外平方后乘入．解答：四、二次根式其他易错题例7：分析：解答：B例8分析：解答：5五、二次根式提高题例9分析：解答：例10：分析：这道题是我们熟悉的0＋0型吗？不是的！等号右边是a！那怎么思考呢？观察等式左边的绝对值形式和根式形式，显然，我们可以根据二次根式有意义，确定a的范围，从而把绝对值化简啊，再从问题的形式看，极有可能是利用整体思想，不必求出a的值．解答：六.真题演练:1.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b2. （2018•苏州）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．3. （2018•张家界）下列运算正确的是（）A．a2+a=2a3B．=a C．（a+1）2=a2+1 D．（a3）2=a64.（2018•广州）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+=．5.（2018•烟台）与最简二次根式5是同类二次根式，则a= ．6. （2018•滨州）观察下列各式：=1+，=1+，=1+，……请利用你所发现的规律，计算+++…+，其结果为．。
16-1-1 二次根式的概念(第一课时)(教学课件)-2023-2024八年级
（2）∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，
∴x≥-3.
【点睛】要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不
∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.
等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑
分母不为零.
∴x≥-3 且x≠1.
1.单个二次根式如 A 有意义的条件： A≥0
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
16.1.1 二次根式的概念
1.理解二次根式的概念.（重点）
2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.
（难点）
1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是 a (a≥0).
+2
6
8．已知 = 2 3 − + 3 − 9 + 2,则ab=_____．
9．已知等腰三角形ABC的两边满足 − 3 + 6 − = 0，则此三角形的
15
周长为_______.
2021
10．若 − 2021 + |2020 − | = ，则20202 − =________.
2.多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的条件：
3.二次根式作为分式的分母如
4.二次根式与分式的和如
A
B
或
B
A
或
A
1
A
A≥0；
B≥0；
...
N≥0；
有意义的条件： A＞0
C
有意义的条件： A≥0且B≠0
二次根式经典总结
1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式.注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则a 不是二次根式；（2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0.2．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 ；注意使用)0a ()a (a 2≥=. 3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求.4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅.5．二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小.6．商的算术平方根：)0b ,0a (ba b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.7．二次根式的除法法则：（1）)0b ,0a (b a b a>≥=； （2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷；（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.8．常用分母有理化因式：a a 与，b a b a +-与， b n a m b n a m -+与，它们也叫互为有理化因式.9．最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题. 11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.12．二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.形如)0a(,a≥的式子，叫做二次根式（1）二次根式a中，被开方数必须是非负数。
第十六章 二次根式考点整合及2022中考真题精炼(解析版)
第十六章二次根式考点整合及2022中考真题精炼（解析版）第一部分考点整合提升考点一二次根式有意义的条件1x的取值范围是 ．思路引领：根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．解：由题意知6﹣4x≥0，解得x≤3 2．故答案为：x≤3 2．总结提升：本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．2．无论x m的取值范围为（ ）A．m≥9B．m＞36C．m≤9D．m≤6思路引领：将被开方数配方，再根据二次根式有意义，被开方数大于等于0进行判断即可．∵无论x∴m﹣9≥0，∴m≥9．故选：A．总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．考点二二次根式的化简3．若a＜0，化简其结果是（ ）A．0B．2a C．﹣2a D．2a或﹣2a思路引领：根据二次根式的性质得出|a﹣（﹣a）|，绝对值的意义去绝对值符号即可求出答案．解：∵a＜0，∴原式＝|a﹣（﹣a）|＝|2a|＝﹣2a，故选：C．总结提升：本题主要考查对绝对值，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，能正确去绝对值符号是解此题的关键．4解=+=0．位同学的解答正确吗？若不正确，请指出错误原因，并加以改正．思路引领：根据题目中的步骤即可发现问题所在，分类讨论x 与y 的大小，然后根据分母有理化即可解答本题．解：该同学解答不正确，错误原因是不知道x 与y 哪个大，从而x ﹣y 是正值还是负值不清楚，故解答错误，并且第一步的式子就抄错了，改正：当x ＝y 时，x−y−当x ＞y 时，x−y−==当x ＜y 时，x−y−=+=总结提升：本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．5．我们已经学过完全平方公式a 2±2ab +b 2＝（a ±b ）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如22，32，72，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：例：求3﹣解：3﹣=212=)2，∴3﹣1．你看明白了吗？请根据上面的方法化简：（1（2（3+++思路引领：（1）将3分成2+1，利用完全平方公式即可求出结论；（2）结合（118分成16+2，利用完全平方公式即可求出结论；（3）将3分成2+1、5分成2+3、7分成3+4、9分成4+5、11分成5+6，利用完全平方公式结合二次根式的加、减法，即可求出结论．解：（1+1；（2）=4（3）原式=++=+==1+22+=1．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，读懂题意，将整数分成两个合适的整数相加是解题的关键．6．观察下列等式：①1==；③1…请你利用规律化简：（1（2）1．思路引领：仿照给出二次根式的化简方法，化简即可：（1）分子分母同乘（2解：（1）1＝（2总结提升：此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．考点三二次根式的运算7．下列计算中，正确的是（ ）A．=21B．3+C÷3D×思路引领：根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的性质对C、D进行判断．解：A．原式＝A选项不符合题意；B．3B选项不符合题意；C．原式C选项不符合题意；D．原式=D选项符合题意．故选：D．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．8．计算（1）（2）（3）（4−2−)0．思路引领：（1）直接化简二次根式进而求出答案；（2）直接化简二次根式进而利用除法运算法则求出答案；（3）直接利用平方差公式计算，进而化简二次根式求出答案；（4）直接化简二次根式进而求出答案．解：（1）＝+4×＝（2）＝（+÷=43（3）＝5﹣12+2+＝﹣5+（4)0＝1=+1．总结提升：此题主要考查了二次根式的化简以及二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．9．计算：（1）（2)0（3）−2)2−312；（4（5）++．思路引领：（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用二次根式的乘除法，平方差公式和零指数幂运算即可；（3）利用完全平方公式和有理数减法法则运算即可；（4）把二次根式化为最简二次根式运算即可；（5）先去绝对值符号，然后再合并即可．解：（1）原式＝（2）原式=5−4+1+1＝1（3）原式＝（5﹣4+45）﹣312＝145−312＝﹣1710；（4）原式＝（5）原式=1+＝1．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式，完全平方公式和零指数幂是解题关键．考点四 二次根式的条件求值101的整数部分为a ，小数部分为b a ）（b +1）的值．思路引领：由于34，则可得到a＝2，b=1﹣2=32）1﹣3），然后利用平方差公式进行计算即可．解：根据题意得a＝2，b=1﹣2=3，+2）+1﹣32﹣22＝11﹣4＝7．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：先根据已知条件把所求的代数式变形，然后利用整体的思想求值．也考查了无理数的估算．11．已知a2+b2﹣6a﹣8b＝﹣25，求a、b的值．分析：“若几个非负数的和为零，则这几个非负数皆为零”，当一个等式里含有几个未知数时，若能将该等式化为几个非负数的和的形式，便能利用上述性质来求解．例如，讲方程a2+b2﹣6a﹣8b＝﹣25，化为（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，从而求得a＝3，b＝4．再如，将方程a+b+1＝0化为a﹣+1+（b﹣1）1＝0，1）2+1）2＝0，从而求得a＝1，b＝2．使用类似的方法解决下面的问题：（1）已知a+b＝a＞0，b＞0）（2）已知a+b+c＝+14．求a、b、c的值．思路引领：（1）首先把a+b＝a﹣b）2＝0，得出a＝b，进一步代换求得数值即可；（2）先移项，再利用配方法得到a+1﹣+1+b+1﹣+4+c﹣2﹣9＝0即有1）2+2）2+3）2＝0，1＝02＝03＝0解得a＝0，b＝3，c＝11．解：（1）∵a+b＝∴a2+2ab+b2＝4ab，∴（a﹣b）2＝0，∴a＝b，==1 2；（2）∵a+b+c＝++14，∴a+1﹣+1+b+1﹣+4+c﹣2﹣9＝0，1）2+2）2+3）2＝0，1＝02＝03＝0，∴a +1＝1，b +1＝4，c ﹣2＝9，∴a ＝0，b ＝3，c ＝11．总结提升：本题考查了配方法的应用：用配方法解一元二次方程，配方法的理论依据是公式a 2±2ab +b 2＝（a ±b ）2；利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．也考查了非负数的性质．12．已知：m思路引领：先估算得到m =2，则1m ==2，即1m ＞m ，利用完全平方公式得到原式=|m −1m |，去绝对值得原式＝﹣m +1m ，然后把m 和1m 的值代入计算即可．解：∵m∴m =2，原式=|m −1m |∵m =2，∴1m 1+2，即1m ＞m ，∴原式＝﹣（m −1m）＝﹣m +1m2）+2＝4．总结提升：=|a |．也考查了无理数的估算以及完全平方公式．13．已知a ＝2+b ＝2，求b a−a b 的值．思路引领：先计算出a +b ，b ﹣a 以及ab 的值，再把所求代数式变形为(b a)(b−a)ab，然后代值计算即可．解：∵a ＝2b ＝2∴a +b ＝4，b ﹣a ＝﹣ab ＝4﹣3＝1，∴原式=b 2−a 2ab =(b a)(b−a)ab =−总结提升：本题二次根式的化简求值，通过先计算a +b ，b ﹣a 以及ab 的值，变形所求代数式，从而使计算变得简便．考点五 二次根式的规律探索14．观察下列各式1+11−12=32；1+12−13=76；1+13−14=1312．（1 ；（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n （n 为正整数）表示的等式，并验证；（3思路引领：（1）根据题意给出的规律即可求出答案；（2）由题意的规律即可用n 表示该等式；（3）根据（2）中的结论即可求出答案．解：（11+14−15=2120；故答案为：2120；（2=n(n 1)1n(n 1)．验证：等式左边==n(n 1)1n(n 1)=等式右边．（3=5756．总结提升：本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是正确理解题中给出的规律．2022中考真题精炼一．选择题（共6小题）1．（2022•x 应满足的条件为（ ）A ．x ≠﹣1B ．x ＞﹣1C ．x ＜﹣1D ．x ≤﹣1思路引领：直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．解：代数式1有意义时，x +1＞0，解得：x ＞﹣1．故选：B ．总结提升：此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．2．（2022•广州）下列运算正确的是（ ）A =2B ．a 1a −1a=a （a ≠0）C D ．a 2•a 3＝a 5思路引领：直接利用立方根的性质以及分式的加减运算法则、二次根式的加减运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别判断得出答案．解：A −2，故此选项不合题意；B ．a 1a −1a=1，故此选项不合题意；C D ．a 2•a 3＝a 5，故此选项符合题意；故选：D ．总结提升：此题主要考查了立方根的性质以及分式的加减运算、二次根式的加减运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（ ）A B ．=1C ÷2=D ×思路引领：利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．解：A A 不符合题意；B 、B 不符合题意；C 2=C 不符合题意；D =D 符合题意；故选：D ．总结提升：本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．4．（2022•内蒙古）实数a +1+|a ﹣1|的化简结果是（ ）A．1B．2C．2a D．1﹣2a思路引领：根据数轴得：0＜a＜1，得到a＞0，a﹣1＜0|a|和绝对值的性质化简即可．解：根据数轴得：0＜a＜1，∴a＞0，a﹣1＜0，∴原式＝|a|+1+1﹣a＝a+1+1﹣a＝2．故选：B．总结提升：|a|是解题的关键．5．（2022•聊城）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=a为子弹的加速度，s 为枪筒的长．如果a＝5×105m/s2，s＝0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）A．0.4×103m/s B．0.8×103m/s C．4×102m/s D．8×102m/s思路引领：把a＝5×105m/s2，s＝0.64m代入公式v=解：v==8×102（m/s），故选：D．总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6．（2022•x﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x≥﹣1且x≠0D．x≤﹣1且x≠0思路引领：根据二次根式的被开方数是非负数，a﹣p=1a p（a≠0）即可得出答案．解：∵x+1≥0，x≠0，∴x≥﹣1且x≠0，故选：C．总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数，a﹣p=1a p（a≠0）是解题的关键．二．填空题（共6小题）7．（2022•荆州）若3a，小数部分为b，则代数式（2+）•b的值是 ．思路引领：3a、b的值，代入所求式子计算即可．解：∵12，∴1＜32，∵若3a，小数部分为b，∴a＝1，b＝31＝2∴（2+）•b＝（2+（22，故答案为：2．总结提升：本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出a、b的值．8．（2022•随州）已知m为正整数，=m有最小值3×7＝21．设n1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ．思路引领：n最小为31越小，300 n越小，则n=2时，即可求解．∴n最小为3，1的整数，越小，300n越小，则n越大，2时，300n=4，∴n＝75，故答案为：3；75．总结提升：本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解．9．（2022•+1）1）的结果等于 ．思路引领：根据平方差公式即可求出答案．2﹣12＝19﹣1＝18，故答案为：18．总结提升：本题考查平方差公式与二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．10．（2022•遂宁）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a +1| 2 ．思路引领：根据数轴可得：﹣1＜a ＜0，1＜b ＜2，然后即可得到a +1＞0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，从而可以将所求式子化简．解：由数轴可得，﹣1＜a ＜0，1＜b ＜2，∴a +1＞0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，∴|a +1|+＝a +1﹣（b ﹣1）+（b ﹣a ）＝a +1﹣b +1+b ﹣a＝2，故答案为：2．总结提升：本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11．（2022•内蒙古）已知x ，y 是实数，且满足y+18，则的值是 ．思路引领：根据负数没有平方根求出x 的值，进而求出y 的值，代入计算即可求出值．解：∵y =18，∴x ﹣2≥0，2﹣x ≥0，∴x ＝2，y =18，则原式==12，故答案为：12总结提升：此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（2022• ．思路引领：先化简各个二次根式，再合并同类二次根式．0．故答案为0．总结提升：本题考查二次根式的加减，解题的关键是首先化简各个二次根式，再合并同类二次根式．三．解答题（共4小题）13．（2022•河池）计算：|﹣3﹣1（π﹣5）0．思路引领：先去绝对值，计算负整数指数幂，零指数幂和二次根式乘法，再合并即可．解：原式＝−13−1=23．总结提升：本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数相关运算的法则．14．（2022•思路引领：根据二次根式的乘法法则和二次根式的化简计算，再合并同类二次根式即可．解：原式==总结提升：=a ≥0，b ≥0）是解题的关键．15．（2022•思路引领：原式利用二次根式乘法法则计算，合并即可得到结果；解：原式＝＝＝=1x−2，总结提升：此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（2022•济宁）已知a ＝2+b ＝2a 2b +ab 2的值．思路引领：利用因式分解，进行计算即可解答．解：∵a＝2b＝2∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（2+（2（2++2＝（4﹣5）×4＝﹣1×4＝﹣4．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．。
二次根式的加减教学反思
二次根式的加减教学反思在数学教学过程中，二次根式的加减是一个基础而重要的内容，它不仅涉及到实数的运算，还关系到学生对数学概念的理解和应用能力的提升。
以下是我对二次根式加减教学的一些反思。
首先，二次根式的加减法则相对简单，但在教学中发现学生在实际应用时仍存在一些困难。
这可能是因为学生对二次根式的概念理解不够深入，或者是对加减法则的掌握不够熟练。
因此，在教学过程中，我需要更加注重对二次根式概念的讲解，以及通过大量的练习来加深学生对法则的理解和运用。
其次，我发现学生在进行二次根式的加减时，往往忽视了化简这一步骤。
二次根式的化简是解题的关键，它可以帮助学生更快地找到同类项，从而简化计算过程。
在教学中，我需要强调化简的重要性，并引导学生在解题时养成先化简再进行加减的习惯。
再者，二次根式的加减涉及到合并同类项的问题，这是学生在解题时容易出错的地方。
为了帮助学生更好地掌握这一技能，我在教学中采用了分类讨论的方法，让学生通过比较不同二次根式的被开方数，来判断它们是否可以合并。
同时，我也鼓励学生在解题过程中多思考，多尝试，以提高解题的灵活性。
此外，我发现部分学生在进行二次根式的加减时，对于无理数的运算存在恐惧心理。
这可能是因为他们对无理数的认识不够，或者是对无理数运算的规则掌握不牢。
为了解决这一问题，我在教学中增加了对无理数概念的讲解，并通过一些实际的例子来展示无理数运算的过程，帮助学生克服心理障碍。
在教学方法上，我也进行了一些反思。
我发现传统的讲授式教学可能无法充分调动学生的学习积极性，因此我尝试采用了更多的互动式教学方法，如小组讨论、角色扮演等，让学生在参与中学习，提高了他们的学习兴趣和参与度。
最后，我认为教学评价也是非常重要的一环。
通过对学生作业和测试的反馈，我可以及时了解学生对二次根式加减的掌握情况，并据此调整教学策略。
同时，我也鼓励学生进行自我评价，让他们在学习过程中不断反思和总结，以实现自我提升。
综上所述，二次根式的加减教学需要教师从多个角度进行思考和调整，包括加强对概念的讲解、强调化简的重要性、采用分类讨论的方法、克服对无理数的恐惧、改进教学方法以及进行有效的教学评价。
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二次根式总结提升【本章知识框架】【教学过程】确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围根据二次根式的定义，式子a中，被开方数a必须是非负数，即a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围．例1x为何值时，下列二次根式在实数范围内有意义？(1)13x＋2；(2)x2＋2；(3)x＋1x－2；(4)x＋53－x.[归纳总结] 在确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围时，常常从以下三个方面来考虑：①被开方数大于或等于0；②分母不等于0；③零次幂的底数不能为0.1．要使3－x＋12x－1有意义，则x应满足()A.12≤x≤3 B．x≤3且x≠12C.12<x<3 D.12<x≤32．若y＝2x－2015＋2015－2x－1，则2x＝______，y＝______.类型之二二次根式性质的应用对于形如a2的二次根式的化简，用公式a2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a（a≥0），－a（a<0）.例2计算：－2x×x2.[归纳总结] 在化简被开方数中含有字母的二次根式时，首先要判断字母的符号．对于形如a2的式子的化简，首先应化成|a|的形式，再根据a的取值进行计算．3．已知x<1，则化简x2－2x＋1的结果是()A．x－1 B．x＋1 C．－x－1 D．1－x4．实数a，b在数轴上的位置如图16－T－1所示，那么化简|a－b|－a2的结果是()图16-T-1A．2a－b B．b C．－b D．－2a＋b类型之三二次根式的非负性的应用由a≥0，b≥0且a＋b＝0得到a＝b＝0，这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一．这类题目的一般形式有如下几种：x＋y＝0；x＋|y|＝0；x＋y2＋|z|＝0等．例3已知△ABC的三边a，b，c满足(a－5)2＋b－5＋|c－1－2|＝0，则△ABC为()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形[归纳总结] 在一个方程里有几个未知数，需利用非负数的性质确定各未知数的大小．5．若实数a，b满足|a＋2|＋b－4＝0，则a2b＝________．6．若a2－3a＋1＋b2＋2b＋1＝0，则a2＋1a2－||b＝________．类型之四二次根式的混合运算二次根式混合运算的顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．实数运算中的运算律(分配律、结合律、交换律等)，所有的乘法公式(平方差公式、完全平方公式等)在二次根式的运算中仍然适用．例4计算：(1)3220×(－15)÷⎝⎛⎭⎫－1348；(2)18－92－3＋63＋(3－2)0＋（1－2）2.例5 计算：(－3)0－27＋||1－2＋13＋2.7．化简：3(2－3)－24－︱6－3︱＝________.类型之五 与二次根式有关的化简求值将包含二次根式的代数式化简求值时，可以先把原式化简后再代入求值，也可以把已知式子适当变形，整体代入求值．例6 先化简，再求值：a 2－b 2a ÷⎝⎛⎭⎫2ab －b 2a －a ，其中a ＝1＋2，b ＝1－ 2.[归纳总结] 分式的化简离不开因式分解，将分式的分子、分母分别分解因式，便于约分与通分．在分式的混合运算中常常将分式的除法转化为乘法运算．8．已知x ＝2－10，试求代数式x 2－4x －6的值．类型之六 二次根式在实际生活中的应用与二次根式有关的实际生活的应用题主要表现在两个方面：一是用二次根式或含二次根式的式子表示未知量，二是通过二次根式的四则混合运算求出未知量，并化简．例7 如图16－T －2，Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1 cm /s 的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2 cm /s 的速度向点C 移动(△ABC 的边足够长)．问：几秒后△PBQ 的面积为35 cm 2？(结果用最简二次根式表示)图16－T －2[归纳总结] 本题将直角三角形的边长用含有t 的式子表示出来，然后利用直角三角形的面积解决．本题的易错点是求三角形的面积时忘记除以2.9．根据爱因斯坦的相对论，当地面上经过1秒钟时，宇宙飞船内只经过1－⎝⎛⎭⎫v c 2秒，公式内的v 是指宇宙飞船的速度，c 是指光速(约30万千米/秒)．假定有一对亲兄弟，哥哥23岁，弟弟20岁，哥哥乘着以光速0.98倍的速度飞行的宇宙飞船在宇宙旅行5年后回来了，这个5年是指地面上的5年，所以弟弟的年龄为25岁，可是哥哥的年龄在这段时间里只长了一岁，只有24岁，就这样，宇宙旅行后弟弟比哥哥反而大了1岁，请你用以上公式验证一下这个结论．学习二次根式六注意1．注意被开方数是非负数因为任何实数的平方都大于或等于零，所以二次根式的被开方数也应大于或等于零．例1 已知1－x 2y 3有意义，试求x ，y 的取值范围．2．注意合并被开方数相同的二次根式 例2 计算：2 2＋27－8－313.3．注意化去分母中的根号例3 化简：12－1＋23＋1.4．注意乘法公式的巧妙运用例4 已知m ＝1＋2，n ＝1－2，求代数式m 2＋n 2－3mn 的值．5．注意运算顺序例5 计算：（1－3）2－24×12＋12－3.6．注意隐含条件的挖掘 例6 把(a －b)－1a －b化成最简二次根式，正确的结果是( ) A .b －a B .a －b C ．－a －b D ．－b －a 练习1．下列四个数中，是负数的是( )A .||－2B ．(－2)2C ．－ 2D .（－2）2 2．若x<0，则x －x 2x 的结果是( )A ．0B ．－2C ．0或－2D ．23．若最简二次根式524x 2＋1与(x ＋1)6x 2－1能合并，则x 的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．1或－1 4.5－12 ________12(填“>” “<”或“＝”)． 5．化简：18＋2－12＋1－418.本章中考演练一、选择题 1．[2015·安徽] 计算8×2的结果是( )A .10B ．4C . 6D ．2 2．[2015·扬州] 下列二次根式中的最简二次根式是( )A .30B .12C .8D .123．[2015·随州] 若代数式1x －1＋x 有意义，则实数x 的取值范围是( )A ．x ≠1B ．x ≥0C ．x ≠0D ．x ≥0且x ≠14．[2015·荆门] 当1＜a ＜2时，代数式（a －2）2＋|1－a|的值是( )A ．－1B ．1C ．2a －3D ．3－2a5．[2014·济宁] 如果ab ＞0，a ＋b ＜0，那么下面各式：①a b ＝ab；②a b ·ba＝1；③ab÷ab＝－b.其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③6．[2015·孝感] 已知x ＝2－3，则代数式(7＋4 3)x 2＋(2＋3)x ＋3的值是( )A ．0B . 3C ．2＋ 3D ．2－ 3 7．[2014·内江] 按如图16－Y －1所示的程序计算，若开始输入的n 值为2，则最后输出的结果是()图16－Y －1A ．14B ．16C ．8＋5 2D ．14＋ 2 8．[2014·烟台] 将一组数3，6，3，2 3，15，…，310，按下面的方式进行排列：3， 6， 3， 2 3， 15； 3 2， 21， 2 6， 3 3， 30；…若2 3的位置记为(1，4)，2 6的位置记为(2，3)，则这组数中最大的有理数的位置记为( ) A ．(5，2) B ．(5，3) C ．(6，2) D ．(6，5) 二、填空题9．[2015·遵义] 使二次根式5x －2有意义的x 的取值范围是________． 10．[2015·南京] 计算5×153的结果是________． 11．[2014·衡阳] 化简：2(8－2)＝________． 12．[2015·哈尔滨] 计算：24－323＝________． 13．[2015·聊城] 计算：(2＋3)2－24＝________． 14.[2014·凉山州] 已知x 1＝3＋2，x 2＝3－2，则x 12＋x 22＝________． 15．[2015·黔西南州] 已知x ＝5－12，则x 2＋x ＋1＝________． 三、解答题16．[2014·荆门] 计算：24×13－4×18×(1－2)0.17．[2014·成都] 先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫a a －b －1÷ba 2－b2，其中a ＝3＋1，b ＝3－1.。