【小初高学习】高中数学第一章解三角形1.2应用举例课堂探究学案新人教B版必修5

1.2 应用举例课堂探究实际问题中度量A ，B 两点的长度(高度)的方法 剖析：(1)求距离问题．如图，当AB 的长度不可直接测量时，求AB 的距离．两点之间不可到达又不可视时，测出两边及其夹角，运用余弦定理求解， 则AB ＝a 2＋b 2－2ab cos C ．②当A ，B 两点之间可视但不可达时，测出两角及其夹边，先用内角和定理求第三角再运用正弦定理求解．∵∠A ＝π－(∠B ＋∠C )，∴根据正弦定理，得AB sin C ＝BC sin A ＝BCsin[π－(∠B ＋∠C )]＝BC sin(∠B ＋∠C )＝asin(∠B ＋∠C )，则AB ＝a sin Csin(∠B ＋∠C )．③当A ，B 两点都不可达时，先在△ADC 和△BDC 中分别求出AC ，BD ，再在△ABC 或△ABD 中运用余弦定理求解．先求：AD ＝asin(∠ADC ＋∠ACD )×sin∠ACD ；再求：BD ＝asin(∠BDC ＋∠BCD )×sin∠BCD ；最后：AB ＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos∠ADB ．名师点拨：将所求距离或方向的问题转化为求一个三角形的边或角的问题时，我们选择的三角形往往条件不够，这时需要我们寻找其他的三角形作为解这个三角形的支持，为解这个三角形提供必要的条件．(2)求高度问题．如图，当AB 的高度不可直接测量时，求AB 的高度，有如下情况．①当底部可达时，利用直角三角形的边角关系求解，则AB ＝a tan C ．②当BD 不可达时， 在Rt△ABD 中，BD ＝AB tan∠ADB ，在Rt△ABC 中，BC ＝ABtan∠ACB，∴a ＝CD ＝BC －BD ＝AB tan∠ACB －ABtan∠ADB．∴AB ＝a1tan∠ACB －1tan∠ADB．③在△BCD 中，BC ＝asin(∠BCD ＋∠D )×sin D ．∵AB ⊥BC ，∴∠BAC ＝π2－∠ACB ．∴在△ABC 中，AB ＝BCsin∠BAC×sin∠ACB＝BCcos∠ACB×sin∠ACB ． ∴AB ＝asin(∠BCD ＋∠D )×sin Dcos∠ACB×sin∠ACB＝a sin D tan∠ACBsin(∠BCD ＋∠D )．名师点拨：在测量某物体高度的问题中，很多被测量的物体是一个立体的图形，而在测量过程中，我们测量的角度也不一定在同一平面内，因此还需要我们有一定的空间想象能力，关键是画出图形，把已知量和未知量归结到三角形中来求解．题型一 测量距离问题【例1】如图，隔河看两目标A ，B 的C ，D 两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离．分析：要求出A ，B 之间的距离，可在△ABC (或△ADB )中去找关系，但不管在哪个三角形中，AC ，BC 这些量都是未知的，需要在三角形中找出合适的关系式，求出它们的值，然后解斜三角形即可．解：在△ACD 中，∠ADC ＝30°，∠ACD ＝75°＋45°＝120°，∴∠CAD ＝30°． ∴AC ＝CD ＝ 3 km ．在△BDC 中，∠CBD ＝180°－(45°＋75°)＝60°． 由正弦定理，得BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22(km)．在△ACB 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠BCA ＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－23×6＋22cos75°＝5．∴AB ＝ 5 km ．∴两目标A ，B 之间的距离为 5 km ．反思：测量长度(距离)是解三角形应用题的一种基本题型．在解这类问题时，首先要分析题意，确定已知与所求，然后画好示意图，通过解三角形确定实际问题的解；测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题．题型二 测量高度问题【例2】 如图所示，在地面上有一旗杆OP ，为测得它的高度h ，在地面上取一基线AB ，AB＝20 m ，在A 处测得P 点的仰角∠OAP ＝30°，在B 处测得P 点的仰角∠OBP ＝45°，又测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高度h ．(精确到0．1 m)分析：先在Rt△PAO 和Rt△PBO 中求出AO ，BO ，再在△AOB 中由余弦定理求出h ． 解：在Rt△PAO 中，AO ＝htan 30°＝3h ．在Rt△PBO 中，BO ＝htan 45°＝h ．在△ABO 中，由余弦定理，得202＝(3h )2＋h 2－23h ·h cos 60°，解得h ＝204－3≈13．3(m)．反思：在解三角形的问题时，一定要选择合适的三角形，这样可以简化计算过程，再者还要注意立体几何图形中的边角关系，并选择好三角形的使用顺序．题型三 测量角度问题【例3】 如图，甲船在A 处，乙船在甲船的南偏东45°方向，距A 处9海里的B 处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，应沿什么方向，用多少小时能最快追上乙船？(精确到1度)分析：假设用t 小时在C 处追上乙船，则在△ABC 中，AC ，BC 可用t 来表示，进而利用余弦定理求得t ，解此三角形即可．解：假设用t 小时甲船在C 处追上乙船．在△ABC 中，AC ＝28t 海里，BC ＝20t 海里，∠ABC ＝180°－45°－15°＝120°．由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos∠ABC ，即(28t )2＝81＋(20t )2－2×9×20t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，整理，得128t 2－60t －27＝0， 即(4t －3)(32t ＋9)＝0． ∴t ＝34或t ＝－932(舍去)．∴AC ＝28×34＝21(海里)，BC ＝20×34＝15(海里)．由正弦定理，得sin∠BAC ＝BC sin∠ABCAC ＝15×3221＝5314．又∠ABC ＝120°，∴∠BAC 为锐角，∴∠BAC ≈38°．∴45°－38°＝7°． ∴甲船应沿南偏东7°方向用34小时可最快追上乙船．反思：航海问题常利用解三角形的知识解决，在具体解题时，应画出示意图，找出已知量及所求的量，转化为三角形的边角，利用正、余弦定理求解．题型四 面积问题【例4】 在半径为R 的扇形OAB 中，圆心角∠AOB ＝60°，在扇形内有一个内接矩形，求内接矩形的最大面积．分析：扇形内的内接矩形有且仅有两种类型：一种是矩形的一边与扇形的一条半径重合；另一种是以扇形的对称轴为对称轴的矩形．我们分别求出这两种类型的矩形的最大面积，再取两者中较大的，就是符合条件的最大面积． 解：如图(1)所示，设PQ ＝x ，MP ＝y ，则矩形的面积S ＝xy ．连接ON ，令∠AON ＝θ，则y ＝R sin θ． 在△OMN 中，利用正弦定理，得 R sin 120°＝xsin(60°－θ)，∴x ＝2R sin(60°－θ)3．∴S ＝xy ＝2R 2sin θsin(60°－θ)3＝R 2·cos 2(θ－30°)－cos 60°3．当θ＝30°时，S max ＝36R 2．如图(2)所示，设PN ＝x ，MN ＝y ，则矩形的面积为S ＝xy ，连接ON ，令∠AON ＝θ． 在△OPN 中，利用正弦定理，得ON sin∠OPN ＝PN sin θ＝OPsin∠ONP ，∴x ＝Rsin 150°×sin θ＝2R sin θ，y ＝2R sin(30°－θ)．∴S ＝xy ＝4R 2sin θsin(30°－θ)＝2R 2[cos 2(15°－θ)－cos 30°]． 当θ＝15°时，S max ＝(2－3)R 2． ∵36>2－3， ∴所求内接矩形的最大面积为36R 2． 反思：关于求面积最值问题，关键是将面积函数表达出来，根据已知条件利用正弦定理将与矩形面积有关的量求出，再转化为求三角函数最值问题，这是这一类问题常用的解题思路．题型五 易错辨析【例5】 某观测站C 在城A 的南偏西20°的方向上，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处，测得公路上距C 处31 km 的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20 km 后到达D 处，此时C ，D 间的距离为21 km ，这人还要走多远才能到达城A?错解：如图所示，∠CAD ＝60°．在△BCD 中，由余弦定理，得cos B ＝BC 2＋BD 2－CD 22BC ·BD ＝312＋202－2122×31×20＝2331，所以sin B ＝1－cos 2B ＝12331． 在△ABC 中，AC ＝BC sin Bsin∠CAB＝24．在△ACD 中，由余弦定理，得CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos∠CAD ， 即212＝242＋AD 2－24AD ，所以AD ＝15或AD ＝9， 所以这人还要走15 km 或9 km 才能到达城A ．错因分析：没有及时检验，题目中△ACD 为锐角三角形，故应舍去AD ＝9的情况． 正解：设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β，在△CBD 中，由余弦定理，得cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17，所以sin β＝437，从而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－cos βsin 60°＝437×12＋32×17＝5314．在△ACD中，由正弦定理，得CDsin 60°＝ADsin α，则AD＝21×sin αsin 60°＝15(km)．所以这人还要走15 km才能到达城A．。