(完整版)解三角形应用举例练习题
完整版)高考解三角形大题(30道)
完整版)高考解三角形大题(30道)1.在三角形ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有以下等式：frac{\cos A - 2\cos C}{2c-a} = \frac{\cos B b}{\sin C}$$求该等式右侧的值，以及：2）若$\cos B=\frac{1}{4}$，$b=2$，求三角形ABC的面积S。
2.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\sin C+\cos C=1$，求：1）$\sin C$的值；2）若$a+b=4a-8$，求边c的值。
3.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。
1）若$\sin(A+\frac{2}{3}\pi)=2\cos A$，求角A的值；2）若$\cos A=\frac{3}{c}$，求$\sin C$的值。
4.在三角形ABC中，D为边BC上的一点，且$BD=\frac{3}{3}$，$\sin B=\frac{5}{3}$，$\cos\angleADC=\frac{\sqrt{3}}{5}$，求AD。
5.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$a=1$，$b=2$，$\cos C=-\frac{1}{4}$，求：1）三角形ABC的周长；2）$\cos(A-C)$的值。
6.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\sin A+\sin C=\frac{1}{2}\sin B$，且$ac=\frac{1}{2}b$。
1）求a,c的值；2）若角B为锐角，求p的取值范围，其中$p=\frac{1}{5}$，$b=1$。
7.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且$2a\sin A=(2b+c)\sin B+(2c+b)\sin C$。
1）求角A的值；2）求$\sin B+\sin C$的最大值。
8.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\cos 2C=-\frac{1}{4}$。
2解三角形应用举例
解三角形应用举例1.测量距离：例1.已知船在A 处测得它的南偏东︒30的海面上有一灯塔C ，船以每小时30海里的速度向东南方向航行半小时后到达B 点，于B 处看到灯塔在船的正西方向，此时船和灯塔相距_________海里演变1.某人向正东方向走x 千米后，他向右转︒150，然后朝新方向走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值为_________演变2.某观测站C 在城A 的南偏西20︒的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南偏东40︒，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，则这人到达A 城还需走_________千米 例 2.如图，我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知m CD 6000=，︒=∠45ACD ，︒=∠75ADC ，目标出现于地面B 处时测得︒=∠30BCD ，︒=∠15BDC ，求炮兵阵地到目标的距离。
（结果保留根号）演变 1.如图，为了测量河对岸A 、B 两点间的距离，在河的这边测得km CD 23=，︒=∠=∠30CDB ADB ，︒=∠60ACD ，︒=∠45ACB ，求A 、B 两点间的距离。
例3.一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15︒相距20里处，随后货轮按北偏西30︒的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45︒，求货轮的速度演变1.如图，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东︒60的C 处，12时20分时测得船在海岛北偏西︒60的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西且距海岛5km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前行，问船速为多少？2.测量角度：例1.如图，在海岸A 处发现北偏东45︒方向，距A 1海里的B 处有一艘走私船，在A处北偏西75︒方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船，奉命以走私船，此时走私船正以10海里／时的速度，从B 处向北偏东30︒方向逃窜，问：辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间。
解三角形应用题(2)含答案
解三角形应用题（2）1．如图，已知测速站P 到公路L 的距离PO 为40米，一辆汽车在公路L 上行驶，测得此车从点A 行驶到点B 所用的时间为2秒，并测得∠APO=600，∠BPO=300，计算此车从A 到B 的平均速度为每秒多少米（结果保留四个有效数字），并判断此车是否超过了每秒22米的限制速度。
2.如图，在小山的西侧A 处有一热气球，以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空，40分钟后到达C 处，这时热气球上的人发现，在A 处的正东方向有一处着火点B ，十分钟后，在D 处测得着火点B 的俯角为15°，求热气球升空点A 与着火点B 的距离。
（结果保留根号，参考数据：(42615sin -=︒，42615cos +=︒，3215tan -=︒，3215cot +=︒）。
3.城市规划期间，欲拆除一电线杆AB （如图）已知距电线杆AB 水平距离14米的D 处有一大坝，背水坡CD 的坡度i=2：1，坝高CF 为2米.在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30，D 、E 之间是宽为2米的人行道.试问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由（在地面上，以点B 为圆心、以AB 为半径的圆形区域为危险区域）.（732.13≈，414.12≈）B A A L O P B4.台湾“华航”客机失事后，祖国大陆海上搜救中心立即通知位于A、B两处的上海救捞人局所属专业救助轮“华意”轮、“沪救12”轮前往出事地点协助搜索。
接到通知后，“华意”轮测得出事地点C在A的南偏东60°、“沪救12”轮测得出事地点C在B的南偏东30°。
已知B在A 的正东方向，且相距100浬，分别求出两艘船到达出事地点CC可从30°升到80°．求起重机起吊的最大高度（吊钩本身的长度和所挂重物的高度忽略不计）和当起重机位置不变时使用的最大水平距离（精确到0.1米，sin80°=0.9848，cos80°=0.1736，6.如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.(1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据： 2 ≈1.4， 3 ≈1.7)解三角形应用题（2）答案：1.v=23.09﹥222.AB=（1500 3 +1500）米3.AB=5 3 +2﹤12 ∴不需要4.BC=100 AC=100 35.最大高度为35.5+21=56.5米最远距离为18 3 ≈31.2米6.⑴BD=160﹤200 ∴会受到⑵AE=160 3 -120∴t=（160 3 -120）÷40≈3.8小时。
第四章 §4.10 解三角形应用举例
一、单项选择题1.如图，设A，B两点在河的两岸，在点A所在河岸边选一定点C，测量AC的距离为50 m，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离是()A．25 2 m B．50 2 mC．25 3 m D．50 3 m2．(2024·咸阳模拟)世界上最大的球形建筑物是位于瑞典斯德哥尔摩的爱立信球形体育馆(瑞典语：Ericsson Globe)，在世界最大的瑞典太阳系模型中，由该体育场代表太阳的位置，其外形像一个大高尔夫球，可容纳16 000名观众观看表演和演唱会，或14 119名观众观看冰上曲棍球．如图，某数学兴趣小组为了测得爱立信球形体育馆的直径，在体育馆外围测得AB＝120 m，BC＝120 m，CD＝80 m，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°(其中A，B，C，D四点共面)，据此可估计该体育馆的直径AD大约为(结果精确到1 m，参考数据：7≈2.646)()A．98 m B．106 mC．117 m D．122 m3.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于()A．30°B．45°C．60°D．75°4.如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(参考数据：2≈1.4，3≈1.7)()A ．7 350 mB ．2 650 mC ．3 650 mD ．4 650 m5．(2023·洛阳模拟)某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度．步骤如下：①将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能看到房顶的位置，测量出人与镜子的距离；②将镜子后移，重复①中的操作；③求建筑物高度．如图所示，前后两次人与镜子的距离分别为a 1 m ，a 2 m(a 2>a 1)，两次观测时镜子间的距离为a m ，人的“眼高”为h m ，则建筑物的高度为( )A.ah a 2－a 1m B.a (a 2－a 1)h m C.(a 2－a 1)h a m D.ah 2a 2－a 1m 6．(2023·济南模拟)山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新．如图2，为了测量科技馆最高点A 与其附近一建筑物楼顶B 之间的距离，无人机在点C 测得点A 和点B 的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D ，此时测得点A 和点B 的俯角分别为45°和60°(A ，B ，C ，D 在同一铅垂面内)，则A ，B 两点之间的距离为( )A ．50 5 米B ．150 米C ．10015 米D ．150 3 米二、多项选择题7．某货轮在A 处测得灯塔B 在北偏东75°方向，距离为12 6 n mile ，测得灯塔C 在北偏西30°方向，距离为8 3 n mile.货轮由A 处向正北方向航行到D 处时，测得灯塔B 在南偏东60°方向，则下列说法正确的是( )A ．A 处与D 处之间的距离是24 n mileB ．灯塔C 与D 处之间的距离是16 n mileC ．灯塔C 在D 处的南偏西30°方向D ．D 处在灯塔B 的北偏西30°方向8.(2024·重庆模拟)解放碑是重庆的地标性建筑，众多游客来此打卡拍照．现某中学数学兴趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图(如图所示)，A 为解放碑的最顶端，B 为基座(即B 在A 的正下方)，在步行街上(与B 在同一水平面内)选取C ，D 两点，测得CD的长为100 m ．小组成员利用测角仪已测得∠ACB ＝π6，则根据下列各组中的测量数据，能计算出解放碑高度AB 的是( )A ．∠BCD ，∠BDCB ．∠ACD ，∠ADC C ．∠BCD ，∠ACDD ．∠BCD ，∠ADC三、填空题9.中国最早的天文观测仪器叫“圭表”(如图)，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景(影)台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在表上，便在圭上成影．到了周代，使用圭表有了规范，杆子(表)规定为八尺长．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一天内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”(1尺＝10寸)．记“表”的顶部为A ，太阳光线通过顶部A 投影到“圭”上的点为B .同一天内，甲地日影长是乙地日影长的两倍，记甲地中直线AB 与地面所成的角为θ，且tan θ＝83.则甲、乙两地之间的距离约为________千里．10.如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量．已知AB ＝60 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝120 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝150 m ，则cos ∠DEF ＝______.11．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东方向40千米处，则城市B处于危险区的时间为________小时．12.汾阳文峰塔建于明末清初，位于山西省汾阳市城区以东2公里的建昌村，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位于中国砖结构古塔之首．如图，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的三个测量基点C，D，E，现测得∠BCD＝30°，∠BDC ＝70°，∠BED＝120°，BE＝17.2 m，DE＝10.32 m，在点C处测得塔顶A的仰角为62°，则塔高AB＝________ m．(结果精确到1 m，参考数据：tan 62°≈1.88，sin 70°≈0.94，144.961 6＝12.04)。
解三角形(4)---解三角形应用举例
解三角形(4)---解三角形应用举例例1、如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=︒51，∠ACB=︒75．求A 、B 两点的距离（精确到0.1m ）启发提问1：∆ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边。
解：根据正弦定理，得ACB AB ∠sin = ABCAC ∠sin AB =ABC ACB AC ∠∠sin sin =ABC ACB ∠∠sin sin 55 = )7551180sin(75sin 55︒-︒-︒︒ =︒︒54sin 75sin 55 ≈ 65.7(m) 答：A 、B 两点间的距离为65.7米变式练习：两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B 在观察站C 南偏东60︒，则A 、B 之间的距离为多少？（画图建立数学模型。
答案：2a km ）例2、如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法。
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题．首先需要构造三角形，所以需要确定C 、D 两点．根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和BC ，再利用余弦定理可以计算出AB 的距离．解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD=a ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA =δ，在∆ADC 和∆BDC 中，应用正弦定理得：AC = )](180sin[)sin(δγβδγ++-︒+a = )sin()sin(δγβδγ+++a BC = )](180sin[sin γβαγ++-︒a = )sin(sin γβαγ++a 计算出AC 和BC 后，再在∆ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离AB =αcos 222BC AC BC AC ⨯-+ 分组讨论：还没有其它的方法呢？变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠BCA=60︒，∠ACD=30︒，∠CDB=45︒，∠BDA =60︒（画图建立数学模型。
解三角形应用举例(二)
B
80
A0
A
B0
C
已知△ABC中， BC＝85mm，AB＝340mm，∠C＝80°，
求AC． 解：（如图）在△ABC中， 由正弦定理可得： BC sin C 85 sin 80 sin A 0.2462 AB 340 因为BC＜AB，所以A为税角 ， A＝14°15′ ∴ B＝180°－（A＋C）＝85°45′ 又由正弦定理： AB sin B 340 sin 85 45 AC 344.3( mm) sin C 0.9848
A0 A A0C AC ( AB BC ) AC ( 340 85) 344.3 80.7 81( mm )
答：活塞移动的距离为81mm．
解三角形应用举例
总结 实际问题 抽象概括 示意图 数学模型 推 演 理 算 实际问题的解 还原说明 数学模型的解
B
A
C
CD=BD-BC=42-28=14(m) 答：山的高度约为14米。
D
测量术语： 1 仰角，俯角 2 方向角：北偏西，南偏东 3 方位角：从正北方向顺时针旋转 到目标方向线的水平角
例 2 如图, 某渔轮在航行中不幸遇 险, 发出呼救信号. 我海军舰艇在 A处获悉后, 测出该渔轮在方位角为45 0 , 距离为10n mile的C处, 并测得渔轮正沿方位角 为105 0 的方向,以9 n mile / h的速度向小岛靠拢 .我海军舰艇立 即以21 n mile / h的速度前去营救 .求舰艇的航向和靠近 渔轮所需的时间 (角度精确到 0.10 , 时间精确到1 min).
答 舰艇应沿着方位角66.8 0 的方向航行, 经过40 min 就可靠近渔轮.
(完整版)初中解直角三角形练习题
解直角三角形练习题一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm=则SinA= cosA= 3、Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=54,AB=10,则BC ＝4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\=5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB=7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB=二、选择题1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ）A 、都扩大2倍B 、都扩大4倍C 、没有变化D 、都缩小一半2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ）A 、小于300B 、大于300C 、大于450且小于600D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、A a sin C 、acosA D 、Aa cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、15005、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ）A 、等腰三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、锐角三角形6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ）A 、41cmB 、21cmC 、43cmD 、23cm三、求下列各式的值1、sin 2600+cos 26002、sin600－2sin300cos3003. sin300－cos 24504. 2cos450+|32-|5. 0045cos 360sin 2+ 6. 130sin 560cos 300-7. 2sin 2300·tan300+cos600·cot300 8. sin 2450-tan 2300四、解答下列各题1、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，，AB ＝13，BC ＝5， 求sinA, cosA, tanA, cotA2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若1312sin =A 求cosA, sinB, cosB3. 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，b=17, ∠B=450,求a, c 与∠A四、根据下列条件解直角三角形。
(完整版)解三角形练习题(含答案)
一、选择题1、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若=，则△ABC的形状为（）A、正三角形B、直角三角形C、等腰三角形或直角三角形D、等腰直角三角形2、已知中，，，则角等于A． B． C． D．3、在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A．(2，＋∞) B．(0，2)C．(2，) D．()4、，则△ABC的面积等于A． B． C．或 D．或5、在中，，则角C的大小为A.300B.450C.600D.12006、的三个内角、、所对边长分别为、、，设向量，，若，则角的大小为（）A． B． C． D．7、若ΔABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，则ab的值为（）A． B． C．1 D．8、在中,若,且,则是( )A.等边三角形B.等腰三角形,但不是等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形,但不是等腰三角形9、在中，所对的边分别是且满足，则=A． B． C． D．10、若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是( )．A．等边三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形11、在△中，，，，则此三角形的最大边长为（）A. B. C. D.12、在△ABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2b2）tanB=ac，则角B=（）A． B． C．或 D．或13、（2012年高考（天津理））在中,内角,,所对的边分别是,已知,,则（）A． B． C． D．14、已知△ABC中，=，=，B=60°，那么满足条件的三角形的个数为（）A、1B、2C、3D、015、在钝角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则最大边c的取值范围是( ) （ A． B． C． D．16、（2012年高考（上海理））在中,若,则的形状是（）A．锐角三角形. B．直角三角形. C．钝角三角形. D．不能确定.17、在△ABC中，a=15，b=10, ∠A=，则（）A． B． C． D．18、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则角A= （）A． B． C． D．19、（）A. B. C. D.20、给出以下四个命题：（1）在中，若,则；（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象；（3）在中，若，，，则为锐角三角形；（4）在同一坐标系中，函数与函数的图象有三个交点；其中正确命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．421、若△ABC的对边分别为、、C且，，，则b=（）A、5B、25C、 D、22、设A、B、C是△ABC三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x+1=0的两个实根，那么△ABC是（）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均有可能23、设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定24、在中，若，则此三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形25、在△ABC中，已知A=，BC=8，AC=，则△ABC的面积为▲A．B．16 C．或16 D．或26、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足c sin A＝a cos C，则sin A＋sin B的最大值是( )A．1 B. C. D．3二、填空题27、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, 已知A=, a=, b=1，则c= .28、已知△ABC的面积 .29、在△ABC中，角A、B、C所对的对边分别为a、b、c，若，则A= 。
高中数学 第二章 解三角形 3 解三角形的实际应用举例 第1课时 距离和高度问题练习(含解析)北师大
距离和高度问题A 级 基础巩固一、选择题1．海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是(D )A ．103海里B ．106海里C ．52海里D ．56海里[解析]如图，由正弦定理得 BCsin60°＝10sin45°，∴BC ＝5 6.2．学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为4 m ，∠A ＝30°，则其跨度AB 的长为( D )A ．12 mB ．8 mC ．3 3 mD ．4 3 m[解析] 在△ABC 中，已知可得BC ＝AC ＝4，∠C ＝180°－30°×2＝120°，所以由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝42＋42－2×4×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝48，∴AB ＝43(m)．3．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为( A )A ．(30＋303)mB ．(30＋153)mC ．(15＋303)mD ．(15＋153)m[解析] 由正弦定理可得60sin45°－30°＝PBsin30°，PB ＝60×12sin15°＝30sin15°.h ＝PB ·sin45°＝30sin15°·sin45°＝(30＋303)(m)．4．甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3 km ，甲船以8 km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是( B )A ．7 kmB ．13 kmC ．19 kmD ．10－3 3 km[解析] 由题意知AM ＝8×1560＝2，BN ＝12×1560＝3，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos120°＝1＋9－2×1×3×(－12)＝13，所以MN ＝13km.5．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a (km)，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( B )A ．a (km)B ．3a (km)C ．2a (km)D ．2a (km)[解析]在△ABC 中，∠ACB ＝180°－(20°＋40°)＝120°. ∵AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝a 2＋a 2－2a 2×(－12)＝3a 2，∴AB ＝3a (km)．6．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( A )A ．4003米B ．40033米C ．20033米D ．2003米[解析] 解法一：如图，设AB 为山高，CD 为塔高，则AB ＝200，∠ADM ＝30°，∠ACB ＝60°，∴BC ＝200tan30°＝20033，AM ＝DM tan30°＝BC tan30°＝2003.∴CD ＝AB －AM ＝4003.解法二：如图AB 为山高，CD 为塔高． 在△ABC 中，AC ＝ABsin60°＝40033， 在△ACD 中，∠CAD ＝30°，∠ADC ＝120°. 由正弦定理CD sin ∠CAD ＝ACsin ∠ADC .∴CD ＝40033×1232＝4003(米)．二、填空题7．一只蜘蛛沿正北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x ＝1063cm.[解析] 如图，由题意知，∠BAC ＝75°，∠ACB ＝45°.∠B ＝60°，由正弦定理，得x sin ∠ACB ＝10sin B，∴x ＝10sin ∠ACB sin B ＝10×sin45°sin60°＝1063.8．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为50 2 m.[解析] 因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°， 所以∠ABC ＝30°， 根据正弦定理可知：AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB，即50sin30°＝ABsin45°，解得AB ＝50 2 m.三、解答题9．海面上相距10海里的A 、B 两船，B 船在A 船的北偏东45°方向上，两船同时接到指令同时驶向C 岛，C 岛在B 船的南偏东75°方向上，行驶了80分钟后两船同时到达C 岛，经测算，A 船行驶了107海里，求B 船的速度．[解析] 如图所示，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝107，∠ABC ＝120°由余弦定理，得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC ·cos120°即700＝100＋BC 2＋10BC ，∴BC ＝20，设B 船速度为v ，则有v ＝2043＝15(海里/小时)．即B 船的速度为15海里/小时．10．在某某世博会期间，小明在中国馆门口A 处看到正前方上空一红灯笼，测得此时的仰角为45°，前进200米到达B 处，测得此时的仰角为60°，小明身高1.8米，试计算红灯笼的高度(精确到1 m)．[解析] 由题意画出示意图(AA ′表示小明的身高)．∵AB ＝200，∠CA ′B ′＝45°，∠CB ′D ′＝60°， ∴在△A ′B ′C 中，A ′B ′sin ∠A ′CB ′＝B ′Csin45°，∴B ′C ＝A ′B ′sin45°sin15°＝200×226－24＝200(3＋1)．在Rt △CD ′B ′中，CD ′＝B ′C ·sin60°＝100(3＋3)，∴CD ＝1.8＋100(3＋3)≈475(米)． 答：红灯笼高约475米．B 级 素养提升一、选择题1．一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( B )A ．20(2＋6)海里/时B ．20(6－2)海里/时C ．20(6＋3)海里/时D ．20(6－3)海里/时[解析] 设货轮航行30分钟后到达N 处，由题意可知∠NMS ＝45°，∠MNS ＝105°， 则∠MSN ＝180°－105°－45°＝30°.而MS ＝20， 在△MNS 中，由正弦定理得MN sin30°＝MSsin105°，∴MN ＝20sin30°sin105°＝10sin 60°＋45°＝10sin60°cos45°＋cos45°sin45°＝106＋24＝10(6－2)．∴货轮的速度为10(6－2)÷12＝20(6－2)(海里/时)．2．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000米到达S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为( D )A ．500 2 mB ．200 mC ．1 000 2 mD ．1 000 m[解析] ∵∠SAB ＝45°－30°＝15°，∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－(90°－75°)＝30°， 在△ABS 中，AB ＝AS ·sin135°sin30°＝1 000×2212＝1 0002，∴BC ＝AB ·sin45°＝1 0002×22＝1 000(m)． 3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mlie 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( C )A ．5 n mlieB ．5 3 n mlieC ．10 n mlieD ．10 3 n mlie[解析] 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10， 在Rt △ABC 中，求得AB ＝5，∴这艘船的速度是50.5＝10(n mlie/h)．4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦某某岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是( D )A ．1002米B ．400米C ．2003米D ．500米[解析] 由题意画出示意图，设高AB ＝h ， 在Rt △ABC 中，由已知BC ＝h ，在Rt △ABD 中，由已知BD ＝3h ，在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos∠BCD 得3h 2＝h 2＋5002＋h ·500，解之得h ＝500(米)．二、填空题5．某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A 、B 两点处测量与地面垂直的塔CD 的高，由A 、B 两地测得塔顶C 的仰角分别为60°和45°，又知AB 的长为40米，斜坡与水平面成30°角，则该转播塔的高度是4033米．[解析] 如图所示，由题意，得∠ABC ＝45°－30°＝15°，∠DAC ＝60°－30°＝30°. ∴∠BAC ＝150°，∠ACB ＝15°，∴AC ＝AB ＝40米，∠ADC ＝120°，∠ACD ＝30°， 在△ACD 中，由正弦定理，得CD ＝sin ∠CAD sin ∠ADC ·AC ＝sin30°sin120°·40＝4033.6．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时，测量公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上，行驶5 km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南30°的方向上，仰角为15°，则此山的高度CD 等于5(2－3)km.[解析] 在△ABC 中，∠A ＝15°，∠ACB ＝30°－15°＝15°， 所以BC ＝AB ＝5.又CD ＝BC ·tan∠DBC ＝5×tan15°＝5×tan(45°－30°)＝5(2－3)．三、解答题7．(2018·全国卷Ⅰ理，17)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC ．[解析] (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝ABsin ∠ADB ，即5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB <90°， 所以cos ∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25， 所以BC ＝5.8．某人在M 汽车站的北偏西20°的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶．公路的走向是M 站的北偏东40°.开始时，汽车到A 的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A 的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M 汽车站？[解析] 由题画出示意图如图所示，设汽车前进20千米后到达B 处，在△ABC 中，AC ＝31，BC ＝20，AB ＝21.由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝2331，则sin C ＝12331，所以sin ∠MAC ＝sin(120°－C )＝sin120°cos C －cos120°sin C ＝35362.在△MAC 中，由正弦定理得MC ＝AC ·sin∠MAC sin ∠AMC ＝3132×35362＝35，从而MB ＝MC －BC ＝15.即汽车还需行驶15千米才能到达M汽车站．。
解三角形应用举例
B C
α β
A
D
BC AB = sin(α β ) sin(90 + β )
BC sin(90 + β ) BC cos β = 所以，AB = sin(α β ) sin(α β )
解RtABD, 得 BC cos β sin α BD = AB sin ∠BAD = sin(α β ) 28 cos 30 sin 60 = sin(60 30 ) = 42(m)
视 线
N 仰角 俯角
水平线
方位角 60度
目标方向线
视 线
二、例 题 讲 解
例2、如图，要测底部不能到达的烟囱的高 ，从与烟囱底部在 、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB， 间的距离是12m.已知测角仪器高 已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。 求烟囱的高。 ， 间的距离是 求烟囱的高 β = 60° CD间的距离是 已知测角仪器高 想一想 图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 几何图形？已知什么， 求什么？ 求什么？
a sin β AC = sin(α β ) a sin α sin β AB = AE + h = AC sin α + h = +h sin(α β )
ห้องสมุดไป่ตู้
练习: 在山顶铁塔上B处测得地面 练习 在山顶铁塔上 处测得地面 上一点A的俯角 的俯角α＝ ° 上一点 的俯角 ＝ 60° ，在塔底 C处测得 处的俯角 ＝30°。已 处测得A处的俯角 处测得 处的俯角β＝ ° 知铁塔BC部分的高为 部分的高为28m，求出 知铁塔 部分的高为 ， 山高CD. 山高 分析：根据已知条件， 分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或 的长 法计算出 或AC的长 解：在⊿ABC中， 中 ∠BCA=90°+β, ° ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α° β, ∠BAD=α.根据正弦定理， 根据正弦定理， 根据正弦定理
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解三角形应用举例练习题
一、选择题
1．某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 3 km，那么x的值为()
A.3B．2 3
C．23或 3 D．3
2．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为3km，则A，B两船的距离为()
A．23km B．32km
C.15km
D.13km
3．已知△ABC的三边长a＝3，b＝5，c＝6，则△ABC的面积是()
A.14 B．214
C.15 D．215
4．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()
A．a km B.3a km
C.2a km D．2a km
5．已知△ABC中，a＝2、b＝3、B＝60°，那么角A等于()
A．135°B．90°
C．45°D．30°
6．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时()
A．5海里B．53海里
C．10海里D．103海里
二、填空题
7．(2010～2011·醴陵二中、四中期中)已知A、B两地的距离为10km，BC两地的距离为20km，经测量∠ABC＝120°，则AC两地的距离为________km.
8．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是__________．
9.
(2011·北京朝阳二模)如图，一艘船上午800在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午830到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距42n mile，则此船的航行速度是________n mile/h.
三、解答题
10．如图，为了测量河
对岸A，B两点间的距离，在河的这边测得CD＝
3
2km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝
60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．。