1.1 锐角三角函数(1)
北师大版九年级数学下册练习：1.1 锐角三角函数
第一章 直角三角形的边角关系1.1 锐角三角函数 第1课时 正切基础题 知识点1 正切(tanA ＝∠A 的对边∠A 的邻边)1.如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，则tanA 的值为(B) A .2 B.12C.55 D.2552.在△ABC 中，若BC ∶CA ∶AB ＝3∶4∶5，则tan B ＝(C) A.45 B.35 C.43 D.343.如图，点A(t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tanα＝32，则t 的值是(C)A .1B .1.5C .2D .34.(教材P4习题T2变式)(2019·广州)如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tanA ＝158，则AB ＝17.5.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12 cm ，AB ＝20 cm ，求tanA 和tanB 的值. 解：∵∠C ＝90°，BC ＝12 cm ， AB ＝20 cm ，∴AC ＝AB 2－CB 2＝16 cm. ∴tanA ＝BC AC ＝1216＝34，tanB ＝AC BC ＝1612＝43.知识点2 坡度(坡度i ＝铅直高度h水平长度l)6.为测量如图所示的上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道的坡度是(A)A.14 B .4 C.117 D.4177.都匀市某新修“商业大厦”的一处自动扶梯如图，已知扶梯的长l 为10米，该自动扶梯到达的高度h 为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于34.8.如图，斜坡AB 的坡度是1∶4，如果从点B 测得离地面的铅垂线高度BC 是6米，那么斜坡AB 的长度是.易错点 对正切的概念理解不清9.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若三角形各边同时扩大三倍，则tanA 的值(B) A .扩大为原来的三倍 B .不变 C .缩小为原来的13 D .不确定中档题10.如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝5，AC ＝6，则tan ∠DBC 的值是(D) A.45 B.35 C.43 D.3411.如图，一座公路桥离地面高度AC 为6米，引桥AB 的水平宽度BC 为24米，为降低坡度，现决定将引桥坡面改为AD ，使其坡度为1∶6，则BD 的长是(C)A .36米B .24米C .12米D .6米12.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边.若c ＝4a ，则tanA 1513.(教材P4练习T1变式)如图，等腰△ABC 的腰AB ，AC 的长为5，底边长为6，则tanC ＝43.14.已知∠B 是Rt △ABC 的一个锐角，且AB ＝5，AC ＝3，则tanB 的值为34或35.15.(教材P3例1变式)如图所示，方方和圆圆分别将两根木棒AB ，CD 斜立在墙AE 上，其中AB ＝10 cm ，CD ＝6 cm ，BE ＝6 cm ，DE ＝2 cm ，你能判断谁的木棒更陡吗？请说明理由. 解：∵AB ＝10 cm ，BE ＝6 cm ， ∴AE ＝AB 2－BE 2＝8 cm. ∴斜坡AB 的坡度为AE BE ＝43.∵CD ＝6 cm ，DE ＝2 cm ， ∴CE ＝CD 2－DE 2＝4 2 cm. ∴斜坡CD 的坡度为CE DE ＝422＝2 2.∵43＜22， ∴圆圆的木棒CD 更陡.16.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，求tan ∠CBE 的值. 解：由折叠性质，得BE ＝AE. 设CE ＝x ，则BE ＝AE ＝8－x. 在Rt △BCE 中，根据勾股定理，得BE 2＝BC 2＋CE 2，即(8－x)2＝62＋x 2，解得x ＝74.∴tan ∠CBE ＝CE CB ＝724.综合题17.如图，在Rt △BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使DC ＝12BD ，连接AC.若tanB ＝53，则tan ∠CAD的值为(D) A.33 B.35C.13D.15第2课时 锐角三角函数基础题知识点1 正弦和余弦(sinA ＝∠A 的对边斜边，cosA ＝∠A 的邻边斜边)1.(2019·孝感)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则sinA 等于(A)A.35B.45C.34 D.432.(2019·哈尔滨)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，则cosB 的值为(A) A.154 B.14C.1515 D.417173.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，BC ＝6，则AB ＝(D)A .4B .6C .8D .104.(2019·怀化)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3，4)，那么sinα的值是(C) A.35 B.34 C.45 D.435.(教材P6练习T1变式)已知，如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，AD ⊥BC 于点D. (1)求AD 的值； (2)求sinB ，cosC 的值. 解：(1)∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴BD ＝CD ＝12BC ＝12×8＝4.∴AD ＝AB 2－BD 2＝62－42＝2 5. (2)sinB ＝AD AB ＝256＝53，cosC ＝CD AC ＝46＝23.知识点2 锐角三角函数6.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α，AC ＝3，则AB 的长可以表示为(A) A.3cos α B.3sin α C .3sin α D .3cos α7.(2019·滨州)在△ABC 中，∠C ＝90°.若tanA ＝12，则sinB 5知识点3 互余两角之间正、余弦，正切之间的关系8.(教材P7习题T3变式)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别表示Rt △ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边. (1)求sinA ，cosB ； (2)求tanA ，tanB ；(3)观察(1)(2)中的计算结果，你能发现sinA 与cosB ，tanA 与tanB 之间有什么关系吗？①在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sinA ＝23，则cosB 的值为23；②在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tanA ＝2，则tanB ＝12.解：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴sinA ＝BC AB ＝a c ，cosB ＝BC AB ＝ac.(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴tanA ＝BC AC ＝a b ，tanB ＝AC BC ＝b a.(3)由(1)知sinA ＝cosB ， 由(2)知tanA·tanB ＝1. 易错点 点的位置不确定9.已知，正方形ABCD 的边长为2，点P 是直线CD 上一点.若DP ＝1，则sin ∠BPC 5或13中档题10.如图，点A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cosα的值，错误的是(C)A.BD BCB.BCAB C.AD AC D.CD AC11.如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，EC ＝4，sinB ＝45，则菱形ABCD 的周长是(C)A .10B .20C .40D .28 12.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，现给出下列结论：①sinA ＝32；②cosB ＝12；③tanA ＝33；④tanB ＝3，其中正确的结论是②③④(只需填上正确结论的序号).13.如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D.若AB ＝12，CD ＝6，tanA ＝32，求sinA ＋cosB 的值.解：在Rt △ACD 中，CD ＝6，tanA ＝CD AD ＝32，∴BD ＝AB －AD ＝8.在Rt △BCD 中，BC ＝82＋62＝10. ∴cosB ＝BD BC ＝45.在Rt △ADC 中，AC ＝42＋62＝213. ∴sinA ＝DC AC ＝6213＝31313.∴sinA ＋cosB ＝31313＋45.14.如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，E 为AC 的中点，BC ＝14，AD ＝12，sinB ＝45.求：(1)线段CD 的长； (2)tan ∠EDC 的值.解：(1)∵AD 是边BC 上的高， ∴△ADB 为直角三角形. ∵AD ＝12，sinB ＝45，∴AB ＝AD sinB ＝1245＝15.∴BD ＝AB 2－AD 2＝152－122＝9. ∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5.(2)∵E 是Rt △ADC 斜边AC 的中点， ∴DE ＝EC. ∴∠EDC ＝∠C.∴tan ∠EDC ＝tanC ＝AD DC ＝125.综合题15.如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cosA 的值为(D) A.33 B.55C.233D.255。
1.1.1锐角三角函数的定义
锐角三角函数的定义（2015•余姚市模拟）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题；网格型．【分析】找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得∠ABC的邻边与斜边之比即可．【解答】解：由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，∴斜边为=2．∴cos∠ABC==．故选B．【点评】难点是构造相应的直角三角形利用勾股定理求得∠ABC所在的直角三角形的斜边长，关键是理解余弦等于邻边比斜边．（2015•蓬溪县校级模拟）在Rt△ABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值（）A．都扩大两倍B．都缩小两倍C．不变D．都扩大四倍【考点】锐角三角函数的定义．【专题】常规题型；压轴题．【分析】根据三边对应成比例，两三角形相似，可知扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．【解答】解：∵各边的长度都扩大两倍，∴扩大后的三角形与Rt△ABC相似，∴锐角A的各三角函数值都不变．故选C．【点评】本题考查了锐角三角形函数的定义，理清锐角的三角函数值与角度有关，与三角形中所对应的边的长度无关是解题的关键．（2013•遵义模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE=2，OE=3，则tanC•tanB=（）A．2B．3C．4D．5【考点】锐角三角函数的定义；三角形的外接圆与外心．【专题】压轴题．【分析】由DE=2，OE=3可知AO=OD=OE+ED=5，可得AE=8，连接BD、CD，可证∠B=∠ADC，∠C=∠ADB，∠DBA=∠DCA=90°，将tanC，tanB在直角三角形中用线段的比表示，再利用相似转化为已知线段的比．【解答】解：连接BD、CD，由圆周角定理可知∠B=∠ADC，∠C=∠ADB，∴△ABE∽△CDE，△ACE∽△BDE，∴=，=，由AD为直径可知∠DBA=∠DCA=90°，∵DE=2，OE=3，∴AO=OD=OE+ED=5，AE=8，tanC•tanB=tan∠ADB•tan∠ADC======4．故选C．【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．（2011•黔东南州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，若BC=6，AC=8，则tan∠ACD的值为（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【专题】常规题型；压轴题．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD，再根据等边对等角的性质可得∠A=∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠A的正切值，即为tan∠ACD 的值．【解答】解：∵CD是AB边上的中线，∴CD=AD，∴∠A=∠ACD，∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，∴tan∠A===，∴tan∠ACD的值．故选D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，求出∠A=∠ACD是解本题的关键．（2011•昆明）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点，垂足为E，则sin∠CAD=（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；线段垂直平分线的性质；勾股定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】设AD=x，则CD=x﹣3，在直角△ACD中，运用勾股定理可求出AD、CD的值，即可解答出；【解答】解：设AD=x，则CD=x﹣3，在直角△ACD中，（x﹣3）2+=x2，解得，x=4，∴CD=4﹣3=1，∴sin∠CAD==；故选A．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质定理及勾股定理的运用，求一个角的正弦值，可将其转化到直角三角形中解答．（2011•南充）如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，+S△CDE≥S△ACE；③BM⊥DM；点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=；②S△ABC④BM=DM．正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】锐角三角函数的定义；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；梯形中位线定理．【专题】压轴题．【分析】①根据等腰直角三角形的性质及△ABC∽△CDE的对应边成比例知，==；然后由直角三角形中的正切函数，得tan∠AEC=，再由等量代换求得tan∠AEC=；②由三角形的面积公式、梯形的面积公式及不等式的基本性质a2+b2≥2ab（a=b时取等号）解答；③、④通过作辅助线MN，构建直角梯形的中位线，根据梯形的中位线定理及等腰直角三角形的判定定理解答．【解答】解：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∴AB=BC，CD=DE，∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，∴∠ACE=90°；∵△ABC∽△CDE∴==①∴tan∠AEC=，∴tan∠AEC=；故本选项正确；②∵S△ABC=a2，S△CDE=b2，S梯形ABDE=（a+b）2，=S梯形ABDE﹣S△ABC﹣S△CDE=ab，∴S△ACES△ABC+S△CDE=（a2+b2）≥ab（a=b时取等号），+S△CDE≥S△ACE；故本选项正确；∴S△ABC④过点M作MN垂直于BD，垂足为N．∵点M是AE的中点，则MN为梯形中位线，∴N为中点，∴△BMD为等腰三角形，∴BM=DM；故本选项正确；③又MN=（AB+ED）=（BC+CD），∴∠BMD=90°，即BM⊥DM；故本选项正确．故选D．【点评】本题综合考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线定理、锐角三角函数的定义等知识点．在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．（2011•南宁）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB=8，则AC•BC的值为（）A．14B．16C．4D．16【考点】锐角三角函数的定义．【专题】计算题；压轴题．【分析】解法一：利用二倍角公式sin2α=2sinαcosα、锐角三角函数的定义解答．解法二：作△ABC的中线CD，过C作CE⊥AB于E，求出AD=CD=BD=2，求出CE、DE、BE，根据勾股定理求出BC、AC，代入求出即可．【解答】解：解法一：∵sin30°=2sin15°cos15°=，∠A=15°，∴2××=；又∵AB=8，∴AC•BC=16．解法二：作△ABC的中线CD，过C作CE⊥AB于E，∵∠ACB=90°，∴AD=DC=DB=AB=4，∴∠A=∠ACD=15°，∴∠CDB=∠A+∠ACD=30°，∴CE=CD=2，=AC•BC=AB•CE，即AC•BC=×8×2，∴S△ABC∴AC•BC=16故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义．解答该题的关键是熟记二倍角公式．（2011•兰州模拟）根据图中的信息，经过估算，下列数值与正方形网格中∠ɑ的正切值最接近的是（）A．0.6246B．0.8121C．1.2252D．2.1809【考点】锐角三角函数的定义．【专题】计算题；压轴题；网格型．【分析】正切函数就是直角三角形中，角所对的直角边与邻边的比值，根据定义即可确定正切值的范围，即可确定．【解答】解：设正方形网格的边长是1，则AC=4，4＜AB＜5∵tanα=∵AC=4，4＜AB＜5∴1＜tanα＜1.25∴最接近的是1.2252．故选C．【点评】本题主要考查了正切函数的定义，根据定义确定正切函数的范围是解题的关键．（2011•历城区一模）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan∠A的值为（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题；网格型．【分析】连接CD，即可证明△ACD是直角三角形，利用正切函数的定义即可求解．【解答】解：连接CD，则CD2=2，AC2=4+16=20，AD2=9+9=18∴AC2=CD2+AD2，AD==3，CD=∴∠ADC=90°∴tan∠A===．故选C．【点评】本题主要考查了正切函数的定义，正确证明△ACD是直角三角形是解决本题的关键．（2010•常德）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则sinA的值是（）A．B．2C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】根据正弦的定义sinA=解答．【解答】解：根据题意，AB==BC，sinA===．故选C．【点评】本题主要考查角的正弦的定义，需要熟练掌握．（2010•西藏）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，则cosB的值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】首先利用勾股定理计算出AB的长，再根据余弦的定义可得答案．【解答】解：∵∠C=90°，AC=，BC=，∴AB==，∴cosB===，故选：D．【点评】此题主要考查了三角函数，关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（2009•漳州）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tanα的值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题；网格型．【分析】根据三角函数的定义就可以解决．【解答】解：在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边，∴tanα=．故选A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义．（2008•威海）在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB=（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】根据三角函数定义，已知tanA=，就是已知BC与AC的比值，设BC=x，则AC=3x．根据勾股定理就可以求出AB，再根据三角函数定义就可以求出三角函数值．【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∵tanA=，∴设BC=x，则AC=3x．故AB=x．sinB===．故选D．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．（2008•湘潭）已知△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，则sinA=（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理．【专题】压轴题．【分析】先根据直角三角形的三边长判断出三角形的形状，再根据锐角三角函数的定义求解即可．【解答】解：∵△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，即42+32=52，∴△ABC是直角三角形，∠C=90°．sinA==．故选A．【点评】本题考查了直角三角形的判定定理及锐角三角函数的定义，属较简单题目．（2007•昌平区二模）如图，四边形ABCD，A1B1BA，…，A5B5B4A4都是边长为1的小正方形．已知∠ACB=a，∠A1CB1=a1，…，∠A5CB5=a5．则tana•tana1+tana1•tana2+…+tana4•tana5的值为（）A．B．C．1D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】根据锐角三角函数的定义，分别在Rt△ACB，Rt△A1CB1，…，Rt△A5CB5中求tana，tana1，tana2，…，tana5的值，代值计算．【解答】解：根据锐角三角函数的定义，得tana==1，tana1==，tana2==…，tana5==，则tana•tana1+tana1•tana2+…+tana4•tana5=1×+×+×+×+×=1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣=1﹣=．故选A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义．关键是找出每个锐角相应直角三角形，根据正切的定义求值．（2006•南通）如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP=2cm，则tan∠OPA等于（）A．B．C．2D．【考点】锐角三角函数的定义；垂径定理．【专题】压轴题．【分析】作OC⊥AB，构造直角三角形，运用三角函数的定义求解．【解答】解：作OC⊥AB于C点．根据垂径定理，AC=BC=4．在Rt△OCP中，有CP=4+2=6，OC==3．故tan∠OPA==．故选D．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．（2006•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则cosA等于（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】根据勾股定理求出AC的长，再根据锐角三角函数的概念求出∠A的余弦值即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，∴AC==13，cosA==．故选D．【点评】本题考查的是锐角三角函数的概念与勾股定理，比较简单．（2005•绍兴）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin ∠ABD的值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；垂径定理；圆周角定理．【专题】压轴题．【分析】由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC，再根据勾股定理求得AB=10，即可求sin∠ABD的值．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴弧AC=弧AD，∴∠ABD=∠ABC．根据勾股定理求得AB=10，∴sin∠ABD=sin∠ABC==．故选D．【点评】此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论，熟悉锐角三角函数的概念．（2005•三明）根据图中信息，经过估算，下列数值与tanα的值最接近的是（）A．0.3640B．0.8970C．0.4590D．2.1785【考点】锐角三角函数的定义；估算无理数的大小．【专题】压轴题．【分析】α的正切值等于这个角的对边与邻边之比．【解答】解：tanα=3÷7≈0.43，∴0.4＜tanα＜0.5．故选C．【点评】注意熟悉锐角三角函数的定义，结合图形分析tanα的取值范围．（2005•泰安）直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3：4．（1）将△ABC如图1那样折叠，使点C落在AB上，折痕为BD；（2）将△ABD如图2那样折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．则tan∠DEA的值为（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3：4，就是已知tan∠ABC=，根据轴对称的性质，可得∠DEA=∠A，就可以求出tan∠DEA的值．【解答】解：根据题意：直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3：4，即tan∠ABC==；根据轴对称的性质，∠CBD=a，则由折叠可知∠CBD=∠EBD=∠EDB=a，∠ABC=2a，由外角定理可知∠AED=2a=∠ABC，∴tan∠DEA=tan∠ABC=．故选A．【点评】已知折叠问题就是已知图形的全等，并且三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．（2001•河南）如图，锐角ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB、AC于D、E两点，：S四边形BCED=1：2，则cos∠BAC的值是（）且S△ADEA．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】要求∠BAC的余弦值就要构建直角三角形找出相应的边的比例关系，那么可连接CD，通过AD和AC的比例关系来求∠BAC的余弦值．AD，AC的比例关系可通过△ADE ∽△ACB三来求解，这样就不难求得其余弦值了．【解答】解：连接CD．∵∠ADE=∠ACB，∠DAE=∠CAB，∴△ADE∽△ACB．：S四边形BCED=1：2，∵S△ADE：S△ACB=1：3，∴S△ADE∴AD：AC=：3，∴cos∠BAC=：3．故选D．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定以及圆周角定理，根据三角形相似，用面积比求出相关的线段比是解题的关键．（2001•温州）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则tanA的值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】直接利用锐角三角函数的定义tanA=．【解答】解：．故选A．【点评】此题很简单，关键是记住定义．（2000•嘉兴）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，已知∠ACD的正弦值是，则的值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】利用直角三角形的性质及三角函数的定义可得sin∠B=sin∠ACD，即可求出的值．【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，因而∠B=∠ACD，∴sin∠B=sin∠ACD==．故选D．【点评】利用等角转换是此题的关键．（1998•台州）如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，若cot∠BCD=3，则tanA=（）A．B．1C．D．【考点】锐角三角函数的定义；三角形中位线定理．【专题】压轴题．【分析】若想利用cot∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ABC 的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．∵AB=BD，∴E是CD中点，∴AC=2BE，∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE=90°．∴BE∥AC．∵AB=BD，∴AC=2BE．又∵cot∠BCD=3，设BE=x，则BC=3x，AC=2x，∴tanA===，故选A．【点评】此题涉及到三角形的中位线定理，锐角三角函数的定义，解答此题关键是作出辅助线构造直角三角形，再进行计算．（1997•海南）对于以下的运算结果：①a3+a2=a5；②a3÷a3=a0（a≠0）；③﹣m2﹣m2=﹣2m2；④sinα+sinβ=sin（α+β）．正确的是（）A．①、②B．①、③C．②、④D．②、③【考点】锐角三角函数的定义；合并同类项；同底数幂的除法．【专题】压轴题．【分析】根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则以及锐角三角函数的定义逐项分析即可．【解答】解：①a3与a2不是同类项不能合并，故该选项错误；②a3÷a3=a0=1计算是正确的，故该选项正确；③﹣m2﹣m2=（﹣1﹣1）m2=﹣2m2计算是正确的，故该选项正确；④sinα+sinβ=≠sin（α+β），计算是错误的，故该选项错误；所以计算正确的是②③，故选D．【点评】本题考查了合并同类项的法则、同底数幂的除法法则以及锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握各种运算法则．（2013•宝应县校级一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则cosA=．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】作出图形，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，列式计算即可得解．【解答】解：如图，∵∠C=90°，AB=10，AC=8，∴cosA===．故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．（2010•凉山州）如图，∠1的正切值等于．【考点】锐角三角函数的定义；圆周角定理．【专题】压轴题．【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题．【解答】解：根据圆周角的性质可得：∠1=∠2．∵tan∠2=，∴∠1的正切值等于．故答案为：．【点评】本题考查圆周角的性质及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．（2012•浠水县校级模拟）已知△ABC中，AB=AC，CH是AB边上的高，且CH=AB，则tanB=或3．【考点】锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】作高AD，根据等腰三角形的性质得到BC=2BD，设AB=5x，则CH=AB=3x，根据三角形面积公式有AD•BC=CH•AB，即2BD•AD=15x2，根据勾股定理得到BD2+AD2=AB2=25x2，然后进行等式变形有（BD+AD）2﹣2BD•AD=25x2，即（BD+AD）2﹣15x2=25x2，（BD﹣AD）2+2BD•AD=25x2，即（BD﹣AD）2+15x2=25x2，易得BD+AD=2x，BD﹣AD=x或AD﹣BD=x，可求出BD=x，AD=x或AD=x，BD=x，然后在Rt△ABD中根据正切的定义得到tanB=，再把DB与AD的值代入计算即可．【解答】解：如图，作高AD，∵AB=AC，∴BC=2BD，设AB=5x，则CH=AB=3x，∵AD•BC=CH•AB，∴2BD•AD=15x2，∵BD2+AD2=AB2=25x2，∴（BD+AD）2﹣2BD•AD=25x2，即（BD+AD）2﹣15x2=25x2，∴BD+AD=2x，∴（BD﹣AD）2+2BD•AD=25x2，即（BD﹣AD）2+15x2=25x2，∴BD﹣AD=x或AD﹣BD=x，∴BD=x，AD=x或AD=x，BD=x，在Rt△ABD中，tanB=，∴tanB==或tanB==3．故答案为：或3．【点评】本题考查了正切的定义：在直角三角形中，一锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值．也考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及代数式的变形能力．（2007•安顺）如图，已知正方形ABCD的边长为2．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′点处，那么tan∠BAD′等于．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】根据勾股定理求出BD的长，即BD′的长，根据三角函数的定义就可以求解．【解答】解：BD是边长为2的正方形的对角线，由勾股定理得，BD=BD′=2．∴tan∠BAD′===．故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，注意本题中BD′=BD．（1999•杭州）在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，如果AC=3，BC=4，那么sinA=．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】先由勾股定理求出AB，再利用锐角三角函数的定义求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵AC=3，BC=4，∴AB===5．∴sinA==．【点评】本题考查勾股定理及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．（1997•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA=．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA，可代入数计算出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=3，∴sinA==，故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦定义．（2012•铜仁地区）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα==，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30°=；（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【专题】压轴题；新定义．【分析】（1）根据直角三角形的性质用AC表示出AB及AC的值，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可；（2）由于tanA=，所以可设BC=3，AC=4，则AB=5，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可．【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，α=30°，∴BC=AB，∴AC===AB，∴ctan30°==．故答案为：；（2）∵tanA=，∴设BC=3，AC=4，∴ctanA==．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义及直角三角形的性质，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．（2012•昌平区模拟）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是正方形，点A 的坐标为（m，0）．将正方形OABC绕点O逆时针旋转α角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M，且点M与B、C不重合．（1）请判断线段CD与OM的位置关系，其位置关系是垂直；（2）试用含m和α的代数式表示线段CM的长：CM=m•tan；α的取值范围是0°＜α＜90°．【考点】锐角三角函数的定义；正方形的性质；旋转的性质．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）连接CD，OM．根据旋转的性质得出MC=MD，OC=OD，再证明△COM≌△DOM，得出∠COM=∠DOM，然后根据等腰三角形三线合一的性质得出CD⊥OM；（2）首先用含α的代数式表示∠COM，然后在Rt△COM中，根据正切函数的定义即可得出CM的长度；由OD与OM不能重合，且只能在OC右边，得出α的取值范围．【解答】解：（1）连接CD，OM．根据旋转的性质可得，MC=MD，OC=OD，又OM是公共边，∴△COM≌△DOM，∴∠COM=∠DOM，又∵OC=OD，∴CD⊥OM；（2）由（1）知∠COM=∠DOM，∴∠COM=，在Rt△COM中，CM=OC•tan∠COM=m•tan；因为OD与OM不能重合，且只能在OC右边，故可得α的取值范围是0°＜α＜90°．【点评】解答本题要充分利用正方形的特殊性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，有助于提高解题速度和准确率．（2009•南充）如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．（1）求tan∠BOA的值；（2）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C，求点C的坐标；（3）将△OAB平移得到△O′A′B′，点A的对应点是A′，点B的对应点B'的坐标为（2，﹣2），在坐标系中作出△O′A′B′，并写出点O′、A′的坐标．【考点】锐角三角函数的定义；作图-平移变换；作图-旋转变换．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）直接利用三角函数求解即可；（2）根据旋转的性质求出旋转后对应点的坐标；（3）根据平移的规律求出平移后的对应点的坐标，顺次连接即可．【解答】解：（1）∵点B（4，2），BA⊥x轴于A，∴OA=4，BA=2，∴tan∠BOA===．（3分）（2）如图，由旋转可知：CD=BA=2，OD=OA=4，∴点C的坐标是（﹣2，4）．（5分）（3）△O′A′B′如图所示，O′（﹣2，﹣4），A′（2，﹣4）．（8分）【点评】本题考查的是平移变换与旋转变换作图．作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．作旋转后的图形的依据是旋转的性质，基本作法是①先确定图形的关键点；②利用旋转性质作出关键点的对应点；③按原图形中的方式顺次连接对应点．要注意旋转中心，旋转方向和角度．（2008•深圳）如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cos∠BFA=，求△ACF的面积．【考点】锐角三角函数的定义；等边三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）利用斜边上的中线等于斜边的一半，可判断△DOB是直角三角形，则∠OBD=90°，BD是⊙O的切线；（2）同弧所对的圆周角相等，可证明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．【解答】（1）证明：连接BO，方法一：∵AB=AD∴∠D=∠ABD∵AB=AO∴∠ABO=∠AOB又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°∴∠OBD=90°，即BD⊥BO∴BD是⊙O的切线；方法二：∵AB=AO，BO=AO∴AB=AO=BO∴△ABO为等边三角形∴∠BAO=∠ABO=60°∵AB=AD∴∠D=∠ABD又∠D+∠ABD=∠BAO=60°∴∠ABD=30°∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90°，即BD⊥BO∴BD是⊙O的切线；方法三：∵AB=AD=AO∴点O、B、D在以OD为直径的⊙A上∴∠OBD=90°，即BD⊥BO∴BD是⊙O的切线；（2）解：∵∠C=∠E，∠CAF=∠EBF∴△ACF∽△BEF∵AC是⊙O的直径∴∠ABC=90°在Rt△BFA中，cos∠BFA=∴=8又∵S△BEF=18．∴S△ACF【点评】本题综合考查了圆的切线的性质、圆的性质、相似三角形的判定及性质等内容，是一个综合较强的题目，难度较大．（2008•肇庆）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D 三点，CB的延长线交⊙O于点E．（1）求证：AE=CE；（2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm，求⊙O的直径；（3）在（2）的条件下，若（n＞0），求sin∠CAB．【考点】锐角三角函数的定义；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）连接DE，根据∠ABC=90°可知：AE为⊙O的直径，可得∠ADE=90°，根据CD⊥AC，AD=CD，可证AE=CE；（2）根据△ADE∽△AEF，可将AE即⊙O的直径求出；（3）根据Rt△ADE∽Rt△EDF，=n，可将DE的长表示出来，在Rt△CDE中，根据勾股定理可将CE的长表示出来，从而可将sin∠CAB的值求出．【解答】（1）证明：连接DE，∵∠ABC=90°∴∠ABE=90°∴AE是⊙O直径∴∠ADE=90°∴DE⊥AC又∵D是AC的中点∴DE是AC的垂直平分线∴AE=CE；（2）解：在△ADE和△EFA中，∵∠ADE=∠AEF=90°，∠DAE=∠FAE∴△ADE∽△EFA∴即∴AE=2cm；（3）解：∵AE是⊙O直径，EF是⊙O的切线，∴∠ADE=∠AEF=90°∴Rt△ADE∽Rt△EDF∴∵，AD=CD∴CF=nCD∴DF=（1+n）CD∴DE=CD在Rt△CDE中，CE2=CD2+DE2=CD2+（CD）2=（n+2）CD2∴CE=CD∵∠CAB=∠DEC∴sin∠CAB=sin∠DEC===．【点评】本题主要考查圆周角定理，切线的性质及相似三角形的性质和应用．。
第一章--三角函数(北师大新版)
第一章 直角三角形的边角关系1.1 锐角三角函数1、锐角三角函数的定义 在Rt △ABC 中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ．即sinA=斜边边的对A ∠=ca．（2）余弦：锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ．即cosA=斜边邻边的A ∠=c b．（3）正切：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作tanA ．即tanA=边对边的邻A ∠的A ∠=ba．（4）三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．锐角三角函数的定义1．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A ＝，BE=2，则tan ∠DBE 的值（ ） A 、 B 、2 C 、D 、第1题 第2题 第3题2．如图，点A 为∠α边上的任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值，错误的是（ ）A ．BD BCB ．BC ABC ．ADAC D ．CD AC3．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos α的值是 ．4．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是 ．第4题 第5题 第6题 第7题 5．如图，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB=_______________. 6．如图，△ABC 的各个顶点都在正方形的格点上，则sin A 的值为 ． 7．正方形网格中，∠AOB 如图放置，则cos ∠AOB 的值为 ．8．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC 的面积等于23，则sin ∠CAB= ．9．如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sinα= ．2.2 30°、45°、60°角的三角函数值1、同角三角函数的关系（1）平方关系：sin 2A+cos 2A=1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=AAcos sin 或sinA=tanA•cosA ．2、互余两角的三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos （90°-∠A ）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin （90°-∠A ）； 也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB 或sinB=cosA ． 3、特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值1．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin ∠1=22，则∠2的度数为 ．2．若2cos （α+15°）=1，则α= 度． 3．在△ABC 中，若，∠A ，∠B 都是锐角，则∠C的度数是 ．2.4 解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°； ②三边之间的关系：a 2+b 2=c 2； ③边角之间的关系：sin A=c a ，cos A=c b ，tan A=ba ． 基础训练1．如图，在△ABC 中，cosB=22，sinC=53，AC=10，则△ABC 的面积为 ．第1题 第2题 第3题 2．如图，在 Rt △ABO 中，斜边 AB=1，若 OC ∥BA ，∠AOC=36°，则下面四个结论： ①点B 到AO 的距离为sin54°； ②点B 到AO 的距离为tan36°；③点A 到OC 的距离为sin36°•sin54°； ④点A 到OC 的距离为cos36°•sin54°． 其中正确的是 （填序号）．3．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ．4．如图，在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点D 为BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，则tan ∠BDE 的值等于 ．第4题 第5题 第6题5．如图，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD=3，cos B=53，则AC 的长为 ．6．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ，若AB=6，AD=8，sin ∠OEA= ．7．如图，△ABC 中，∠A=30°，tan B ＝23，AC=23，则AB 的长为 ．8．如图，已知AC=4，求AB 和BC 的长．9．如图，已知在△ABC 中，∠ABC=30°，BC=8，sin ∠A=55，BD 是AC 边上的中线．求： （1）△ABC 的面积； （2）∠ABD 的正切值．拓展提升1．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，且BE=2AE ，已知AD=33，tan ∠BCE=33，那么CE 等于 ．第1题 第2题 第3题2．如图，已知点A （53，0），直线y=x+b （b ＞0）与y 轴交于点B ，连接AB ，∠α=75°，则b= ． 3．在Rt △ACB 中，∠C=90°，点D 是AC 的中点，cos ∠CBD=415，则sin ∠ABD= ． 4．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为边AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连接BD ，则tan ∠DBC 的值为 。
1.1锐角三角函数(一)
驶向胜利 的彼岸
B1 B2
C2
C1
用心想一想
(1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关
B1C1 B2C2 (2? ). 和 系 AC1 AC2
B1
有什么关系？
(3)如果改变B2在梯子上的位置(如
B3 C3
B2
B3C3 )呢?由此你得出什么结论?A
C2
C1
用心想一想
结论：仍能得到
B1
当直角三角形中的锐角确 定之后，它的对边与邻边之 比也随之确定。
A
┌ C
小结
• 这节课，你学会了什么？
正切的定义:
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比 叫做∠A的正切,记作tanA,即
B 斜边 ┌ C
∠A的对边
A
∠A的邻边
拓展延伸
1.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角. 2.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去 “∠”号（注意tanA不表示tan乘以A). 3.tanA是一个比值（直角边之比，注意比的顺序,且 tanA>0，无单位）. 4.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形 的边长无关. 5.角相等，则正切值相等；两锐角的正切值相等，则 这两个锐角相等.
从生活实践开始
小明在A处仰望塔顶,测得∠1的 大小,再往塔的方向前进50m到B处,又 测得∠2的大小,根据这些他就求出了 塔的高度.你知道他是怎么做的吗？ 猜一猜,这座古塔有多高?想 一想,你能运用所学的数学知识 测出这座古塔的高吗?
驶向胜利 驶向胜利 的彼岸 的彼岸
A
1
B 2
从生活实践开始
角,你能求出其它的边和角吗?
B
60米 A
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教学设计1
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教学设计1一. 教材分析《锐角三角函数》是浙教版数学九年级下册第一章的第一节内容。
本节内容主要介绍锐角三角函数的定义及应用。
通过本节的学习，学生能够理解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义及简单的性质，并能运用锐角三角函数解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对函数的概念和性质有一定的了解。
但是，对于锐角三角函数这一部分内容，由于涉及到三角函数的定义和性质，对学生来说可能存在一定的难度。
因此，在教学过程中，需要注重对学生基础知识的学习和巩固，并通过实例让学生感受锐角三角函数在实际问题中的应用。
三. 教学目标1.知识与技能：理解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义及简单的性质；能够运用锐角三角函数解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、实验、探究等方法，引导学生主动参与学习，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的概念及应用。
2.难点：正弦、余弦、正切函数的定义及简单的性质。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引发学生的兴趣，激发学生的学习欲望。
2.启发式教学法：引导学生主动思考，发现知识，培养学生的创新能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，辅助教学。
2.教学素材：准备一些与锐角三角函数相关的实例，用于讲解和练习。
3.学具：为学生准备一些三角板、直尺等学具，用于实验和操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些与锐角三角函数相关的实例，如跳伞运动员下降的高度与时间的关系，引导学生思考如何用数学知识来描述这种关系。
2.呈现（10分钟）介绍锐角三角函数的定义及性质，通过课件和实物演示，让学生直观地感受锐角三角函数的概念。
北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案1
北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案1一. 教材分析北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》是学生在初中阶段学习三角函数的起点，起着承前启后的作用。
本节课主要介绍了锐角三角函数的定义及概念，通过生活中的实例让学生感受锐角三角函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材以实例引入，引导学生探究锐角三角函数的定义，并通过自主学习、合作交流的方式，让学生掌握锐角三角函数的基本概念和性质。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对函数的概念有一定的理解。
但是，对于锐角三角函数的理解还需要通过具体的实例和生活情境来引导学生。
学生在学习过程中，需要通过合作交流、自主探究的方式，掌握锐角三角函数的定义和性质。
此外，学生还需要在学习过程中，培养运用数学知识解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的基本概念和性质。
2.能够运用锐角三角函数解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的合作交流、自主探究能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.教学重点：锐角三角函数的定义及概念。
2.教学难点：锐角三角函数的性质和运用。
五. 教学方法1.实例引入：通过生活中的实例，引导学生感受锐角三角函数在实际生活中的应用。
2.自主学习：引导学生通过自主学习，掌握锐角三角函数的定义和性质。
3.合作交流：学生进行合作交流，分享学习心得和解决问题的方法。
4.实践操作：让学生通过实际操作，加深对锐角三角函数的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，辅助讲解和展示。
2.实例素材：收集生活中的实例，用于引导学生感受锐角三角函数的应用。
3.练习题库：准备一定数量的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程导入（5分钟）1.利用实例引入：展示一些生活中的实例，如测量国旗的高度、计算房屋的面积等，引导学生感受锐角三角函数在实际生活中的应用。
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案一. 教材分析浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》是本册教材的第一课时，主要介绍锐角三角函数的定义及概念。
本节课内容是学生对初中数学中三角函数知识的初步接触，对于培养学生的数学思维能力、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数的概念有一定的了解。
但是，对于锐角三角函数的定义和应用，学生可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过实例讲解，让学生更好地理解和掌握锐角三角函数的知识。
三. 教学目标1.了解锐角三角函数的定义和概念；2.能够运用锐角三角函数解决实际问题；3.培养学生的数学思维能力、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：锐角三角函数的定义和概念；2.教学难点：如何运用锐角三角函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例讲解法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的数学素养。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和图片；2.准备多媒体教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的实际问题，如测量身高、角度等，引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。
从而引出锐角三角函数的概念。
2.呈现（10分钟）讲解锐角三角函数的定义和概念，让学生了解锐角三角函数的基本性质。
通过示例，让学生掌握如何运用锐角三角函数解决实际问题。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，选取一个生活实例，运用锐角三角函数进行解决。
教师巡回指导，为学生提供帮助。
4.巩固（5分钟）选取一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
教师及时批改，给予反馈。
5.拓展（5分钟）引导学生思考：除了生活中的实例，还有哪些领域会用到锐角三角函数？让学生了解锐角三角函数在实际应用中的广泛性。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，让学生明确所学知识的重难点。
北师大版数学九年级下册1.1.1《锐角三角函数》说课稿
北师大版数学九年级下册1.1.1《锐角三角函数》说课稿一. 教材分析北师大版数学九年级下册1.1.1《锐角三角函数》是本册教材的起始章节，主要介绍了锐角三角函数的概念、定义及其应用。
通过本节课的学习，学生能够理解锐角三角函数的定义，掌握特殊角的三角函数值，并能运用三角函数解决实际问题。
本节课的内容主要包括以下几个部分：1.锐角三角函数的定义：正弦、余弦、正切函数在锐角范围内的定义及图象。
2.特殊角的三角函数值：30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值。
3.三角函数的性质：单调性、周期性、奇偶性。
4.三角函数在实际问题中的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数的概念有一定的了解。
但是，对于锐角三角函数的定义及其应用，学生可能较为陌生。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出锐角三角函数的概念，并通过大量的例子让学生加深对特殊角三角函数值的理解。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解锐角三角函数的定义，掌握特殊角的三角函数值，能运用三角函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、实验、探究等方法，让学生体会数学与生活的联系，培养学生的动手操作能力和创新能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识，使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 说教学重难点1.教学重点：锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值。
2.教学难点：三角函数的性质，三角函数在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等。
2.教学手段：多媒体课件、实物模型、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例，如测量物体的高度、角度的计算等，引出锐角三角函数的概念。
2.新课讲解：讲解锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，并通过示例让学生理解三角函数的性质。
3.课堂练习：让学生运用三角函数解决实际问题，如测量国旗的高度等。
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铅直高度及水平距离 的比越大，梯子陡。
10m
10m
（1）
1m
5m
（2）
越大 梯子越陡——倾斜角＿＿＿＿＿
倾斜角越大——铅直高度与梯子的水平
越大 宽度的比＿＿＿＿＿
铅 直 高 度
规律总结
水平宽度
B 1、如果任意改变B2在梯子上的 位置呢?你有什么想法? ∠A的大小确定, ∠A的对边与 邻边的比值不变。 2、如果改变∠A 的大小, ∠A的 对边与邻边的比值会随之改变吗? A B2
则AC=
B
C
A
20 3 米.
又∵AB2=BC2+AC2 ∴AB=√202+( 20 3 )2=40米
B
1.如图,△ABC是等腰直角三角形,你能 根据图中所给数据求出tanC吗？
A
1.5 ┌ D
C
2.如图,某人从山脚下的点A走了200m 后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下 的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果 精确到0.001m).
A
B
┌ C
1.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时 扩大100倍,tanA的值（ C ） B A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 2.已知∠A,∠B为锐角
A ┌ C
(1)若∠A=∠B,则tanA = tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A = ∠B.
2、什么叫角A的正切？ 3、用什么来描述山坡的坡度？
回答以下问题：
1、梯子在上升变陡过程中，倾斜角的大小发 生了什么变化？梯子的倾斜程度与哪些因素有 关系？
2、什么叫角A的正切？ 3、用什么来描述山坡的坡度？
认识三个相关概念：
梯子在上升变陡过程中，倾斜角 的大小发生了什么变化？
梯子与地面的夹角（倾斜角）
B1
C2
C1
∠A的大小改变, ∠A的对边与邻边的比值随之改变。 3、由此你得出什么结论? 当直角三角形的锐角确定后，它的对边与邻边的比 值也随之唯一确定；比值和三角形的大小无关，只 和倾斜角的大小有关。
在Rt△ABC中, 如果 锐角A确定, 那么
B
∠A的对边与邻边的比 随之确定,
这个比叫做 ∠A的正切. 记作:tanA tanA=
i
α 100m
60m ┌
1.坡面与水平面的夹角(α)叫坡角 2.坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i (或坡比),即坡度等于坡角的正切。 3.坡度越大,坡面越陡。
例2 如图，拦水坝的坡度i＝１： 3 ，若坝高 BC=２０米，求坝面ＡＢ的长。
解:在Rt△ABC中,BC=20米 3 ∵坡度i＝１： BC 1 ∴ AC 3
3.如图,分别根据图(1) 和图(2)求tanA的值.
A
B 3
B
4
4 ┌ ┌ C A C (1) (2)
3
4.在Rt△ABC中,∠C=90°, (1)AC=3,AB=6,求tanA和tanB. (2) AC=4,tanA=0.8,求BC. （3）BC=3,tanA=
5 12
,求AC和AB.
A
B
C A
B
7m ┍ 10m C (2)
(1)
1.tan B =
AC BC
C
BC
A tan = AC
A C B
2.如图, ∠C=90°CD⊥AB. AD tan∠ACD= CD AC CD tanB= BC BD
A
┌ D
B
例1 下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶 梯比较陡?
甲
6m
┐ 8m α
乙
13m β ┌5m解:梯中, 乙梯中,6 3 tan . 8 4 5 5 tan . 132 52 12
∵ tanα> tanβ,
∴甲梯更陡.
斜坡的倾斜程度常用坡度表示.例如，有一山坡 在水平方向上每前进100m就升高60m,山坡的坡度
60 3 i tan . 100 5
∠A的对边
∠A的邻边
∠A的对边
A
∠A的邻边
C
思考 前面我们讨论了梯子的倾斜程度， 梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？
tanA越大 ，梯子越陡
BC ( 错). 1. 如图 (1) tan A AC BC (错 ). A 2．如图 (2) tan A AB 10 (对 ). 3．如图 (2) tan B 7 AC (错 ). 4．如图 (2) tan A BC
第一章 直角三角形的边角关系
----正切
1、掌握直角三角形中边和角的其中一种关系 ， 即一个锐角A的正切----tanA。
2、了解梯子的倾斜程度与倾斜角A和tanA的
关系。 3、掌握正切也可以用来描述山坡的坡度。
自学教材P2--4的内容，并回答以下问题：
1、梯子在上升变陡过程中，倾斜角的大小发 生了什么变化？梯子的倾斜程度与哪些因素有 关系？
5.在等腰△ABC中, AB=AC=13,BC=10,求tanB.
B
┌ D
C
B
在Rt△ABC中, 如果 锐角A确定, 那么 ∠A的对边与邻边的比 随之确定, 这个比叫做 ∠A的正切. 记作:tanA
∠A的对边
tanA=
∠A的对边 ∠A的邻边
A
∠A的邻边
C
tanA的值越大,梯子AB越陡.
《天府前沿》
铅 直 高 度 水平距离
观察图片 思考： 哪一把梯 子更陡？ 有哪些比 较指标可 以衡量？
10m
10m
（1）
1m
5m
（2）
梯子在上升变陡过程中，倾斜角的大小发生了什 么变化？
方 法 一 ： 利 用 倾 斜 角
倾 斜 角 越 大 梯 子 越 陡
铅 直 高 度
——
水平宽度
方法二： 用梯子 铅直高 度及水 平宽度 来判断。