2011中考数学第一轮考点专题测试题41

梯形
知识考点：
掌握梯形、直角梯形、等腰梯形的判定和性质，并能熟练解决实际问题。

精典例题：
【例1】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，中位线EF ＝7，对角线AC ⊥BD ，∠BDC ＝300，求梯形的高AH 。

分析：根据对角线互相垂直，将对角线平移后可构造直角三角形求解。

略解：过A 作AM ∥BD 交CD 的延长线于M 。

∵AB ∥DC ，∴DM ＝AB ，∠AMC ＝∠BDC ＝300 又∵中位线EF ＝7
∴CM ＝CD ＋DM ＝CD ＋AB ＝2EF ＝14 又∵AC ⊥BD ， ∴AC ⊥AM ，AC ＝
2
1
CM ＝7 ∵AH ⊥CD ，∴∠ACD ＝600 ∴AH ＝0
60sin ⋅AC ＝
32
7 评注：平移梯形对角线、平移梯形的腰是解梯形问题时常用的辅助线。

例1图
M
H D C B
A
F
E
例2图
G H
D
C
B A
F
E
【例2】如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∠B ＋∠C ＝900，AD ＝7，BC ＝15，求EF 的长。

分析：将AB 、CD 平移至E 点构成直角三角形即可。

答案：EF ＝4
探索与创新：
【问题】已知，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在AB 上，点F 在DC 上，且AD ＝a ，BC ＝b 。

（1）如果点E 、F 分别为AB 、DC 的中点，求证：EF ∥BC 且EF ＝2
b
a +； （2）如图2，如果
n
m
FC DF EB AE ==，判断EF 和BC 是否平行？请证明你的结论，并用a 、b 、m 、n 的代数式表示EF 。

b
a
问题图1
D C B
A
F
E b
a
问题图2
M
D
C B
A
F
E
分析：（2）根据（1）可猜想EF ∥BC ，连结AF 并延长交BC 的延长线于点M ，利用
平行线分线段成比例定理证明即可。

略证：连结AF 并延长交BC 的延长线于点M
∵AD ∥BM ，
FC DF CM AD FM AF ==，n
m
FC DF EB AE == ∴在△ABM 中有EB AE
FM AF = ∴EF ∥BC ，n m m
BM EF AB AE +== ∴EF ＝
BM n m m +＝)(CM BC n m m
++ 而n m FC DF CM AD ==，故m
na
AD m n CM == ∴EF ＝BM n m m +＝)(m na b n m m ++＝n
m na
mb ++ 评注：本题是一道探索型试题，其目的是考查学生观察、归纳、抽象、概括、猜想的能
力，它要求学生能通过观察进行分析和比较，从特殊到一般去发现规律，并能概括地用数学公式表达出来。

跟踪训练：
一、填空题：
1、梯形的上底长为3，下底长为7，梯形的中位线所分成的上下两部分的面积之比为 。

2、等腰梯形中，上底∶腰∶下底＝1∶2∶3，则下底角的度数是 。

3、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD ＝10，∠C ＝600，则AB 的长为 。

第3题图
D
C B A
第4题图
D
C
B
A
第6题图
E
D
C
B
A
4、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝2∠B ，AD ＝a ，CD ＝b ，那么AB 的长是 。

5、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝3，BD ＝4，AC ＝3，则梯形ABCD 的面积是 。

6、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，CD ＝BC ，E 是BA 、CD 延长线的交点，∠E ＝400，则∠ACD ＝ 度。

二、选择题：
1、在课外活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm 2，则对角线所用的竹条至少需（ ）
A 、230cm
B 、30 cm
C 、60 cm
D 、260 cm 2、如图，直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，EF 为梯形的中位线，DH 为梯形的高，下列结论：①∠BCD ＝600；②四边形EHCF 是菱形；③CEH BEH S S ∆∆=2
1
④以AB 为直径的圆与CD 相切于点F 。

其中正确的结论有（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
第2题图 H
F
E
D
C B A
0120
45第3题图 D
C B
A
第4题图 12
8
13
D
C
B A
第5题图
D
C
B
A
3、已知如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝450，∠C ＝1200，AB ＝8，则CD 的长为（ ） A 、
638 B 、64 C 、23
8
D 、24 4、如图，在直角梯形ABCD 中，底AB ＝13，CD ＝8，AD ⊥AB ，并且AD ＝12，则A 到BC 的距离为（ ）
A 、12
B 、13
C 、10
D 、12×21＋13 5、如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC ＝BC ＋AD 则∠DBC 的度数为（ ） A 、300 B 、450 C 、600 D 、900 三、解答题：
1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，在AB 、DC 上各取一点F 、G ，使BF ＝CG ，E 是AD 的中点。

求证：∠EFG ＝∠EGF 。

2、已知，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AH ⊥BC 于H ，D 是底边上任意一点，过D 作BC 的垂线交AC 于M ，交BA 的延长线于N 。

求证：DM ＋DN ＝2AH 。

3、如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝6，CD ＝2，延长BD 到E ，使DE ＝DB ，作EF ⊥BA 的延长线于点F ，求AF 的长。

第1题图
G
E
F
D
C
B
A
第2题图 N
M
H
D
C
B
A
第3题图 F E
D C
B
A
4、如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，∠ACD ＝600，点S 、P 、Q 分别是OD 、OA 、BC 的中点。

（1）求证：△PQS 是等边三角形； （2）若AB ＝8，CD ＝6，求PQS S ∆的值。

（3）若PQS S ∆∶AOD S ∆＝4∶5，求CD ∶AB 的值。

第4题图
S Q
P
O
D C
B
A
5、如图，直角坐标系内的梯形AOBC ，AC ∥OB ，AC 、OB 的长分别是关于x 的方程
04622=++-m mx x 的两根，并且AOC S ∆∶BOC S ∆＝1∶5。

（1）求AC 、OB 的长；
（2）当BC ⊥OC 时，求OC 的长及OC 所在的直线解析式；
（3）在第（2）问的条件下，线段OC 上是否存在一点M ，过M 点作x 轴的平行线，交y 轴于F ，交BC 于D ，过D 点作y 轴的平行线交x 轴于E ，使ADBC FOED S S 梯形矩形＝2
1，若存在，请直接写出M 点的坐标；若不存在，请说明理由。

跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、2∶3；
2、600；
3、35；
4、b a +；
5、6；
6、150
二、选择题：CBAAC 三；解答题：
1、证△AFE ≌△DEG ；
2、作AH ⊥MN 于N ，则MN ＝MH ，AH ＝MH ＋MD 易证NH ＋DM ＝AH ；
3、2
4、（1）连结CS 、BP ；（2）∵SB ＝
2
1
DO ＋OB ＝11，CS ＝33，BC ＝27112+＝372，SQ ＝37，∴PQS S ∆＝
4
3
37； （3）设CD ＝a ，AB ＝b )(b a <，222
2
2
)2
1
()23(
a b a BC SC BC ++=+=＝ab b a ++22。

∴PQS S ∆＝
)(16
322
ab b a ++，又AOD S ∆∶COD S ∆＝b ∶a ，则AOD S ∆＝
ab 4
3
，∵P QS S ∆∶AOD S ∆＝4∶5，∴ab ab b a 434)(163522⨯=++⨯。

整理得：0511522=+-b ab a ，
102111±=
b a ，又∵b a <，∴10
2111-=b a 。

即： 10
21
11-=
AB CD 。

5、（1）AC ＝1，OB ＝5；（2）C （1，2）；（3）存在，1M （21，1），2M （43，2
3）。