实验2 离散序列的卷积和系统差分方程的MATLAB实现

实验2离散序列的卷积和系统差分方程的MATLAB 实现
1. 实验目的
熟悉序列的卷积运算及其MATLAB 实现；熟悉离散序列的傅里叶变换理论及其MATLAB 实现；加深对离散系统的差分方程和系统频率响应的理解。

2.实例分析
2.1离散序列卷积运算的MATLAB 实现
例2.1已知(){1,2,3,4,5}x n =，(){6,2,3,6,4,2}h n =，计算()()*()y n x n h n =。

两序列的线性卷积定义为：()*()()()k x n y n x k y n k ∞
=-∞=
-∑ MATLAB 提供了一个内部函数conv(x,h)来计算两个有限长序列之间的卷积。

将下列指令编辑到“exe2conv.m ”文件中。

% exe2conv.m 利用conv 函数实现卷积运算
N=5;M=6;L=N+M-1;
x=[1,2,3,4,5]; nx =0:N-1;
h=[6,2,3,6,4,2]; nh=0:M-1;
y=conv(x,h); ny=0:L-1;
subplot(1,3,1);stem(nx,x,'.');xlabel('n');ylabel('x(n)');grid on ; subplot(1,3,2);stem(nh,h,'.');xlabel('n');ylabel('h(n)');grid on ; subplot(1,3,3);stem(ny,y,'.');xlabel('n');ylabel('y(n)');grid on ;
运行“exe2conv.m ”文件将产生如图2-1所示的序列。

图3-1 卷积运算
例2.2已知(){3,11,7,0,1,4,2}x n =-，33n -≤≤，
(){2,3,0,5,2,1}h n =-，14n -≤≤， 计算()()*()y n x n h n =。

将下列指令编辑到“conv_m.m ”文件中。

% conv_m.m 实现任意位置序列卷积运算
function [y,ny]=conv_m(x,nx,h,nh)
nyb=nx(1)+nh(1);
nye=nyb+length(x)+length(h)-2;
ny=[nyb:nye];
y=conv(x,h);
文件编辑后保存，再将下列指令编辑到“exe2conv_m.m ”文件中。

% exe2conv_m.m 实现任意位置序列卷积运算实例
x=[3,11,7,0,-1,4,2];
nx=-3:3;
h=[2,3,0,-5,2,1];
nh=-1:4;
[y,ny]=conv_m(x,nx,h,nh);
subplot(1,3,1);stem(nx,x,'.');xlabel('n');ylabel('x(n)');grid on ;
subplot(1,3,2);stem(nh,h,'.');xlabel('n');ylabel('h(n)');grid on ;
subplot(1,3,3);stem(ny,y,'.');xlabel('n');ylabel('y(n)');grid on ;
运行“exe2conv_m.m ”文件将产生如图2-2所示的序列。

图3-2 任意位置序列卷积运算
2.2离散系统差分方程的MATLAB 求解方法 对于时域离散系统，可用差分方程描述或研究输入、输出之间的关系。

对于
线性时不变系统，经常用的是线性常系数差分方程。

一个N 阶线性常系数差分方程用下式表示：
00()()N M
i i
i i b y n i a x n i ==-=-∑∑ 当0,1,2,,i b i N == 时，[]h n 是有限长度的，称系统为FIR 系统；反之，称系统为IIR 系统。

在MATLAB 中，可以用函数filter(a,b,x)求解差分方程，其中参数a,b 分别系统函数的分子和分母多项式的系数。

例2.3给出系统：()0.75(1)0.125(2)()(1)y n y n y n x n x n +-+-=--的单位冲激响应和阶跃响应。

将下列指令编辑到“exe2filt.m ”文件中。

% exe2filt.m 差分方程求解
N=21;
a=[1,-1];
b=[1,0.75,0.125];
x1=[1 zeros(1,N-1)];
x2=ones(1,N);
k=0:1:N-1;
h=filter(a,b,x1);
y=filter(a,b,x2);
subplot(2,1,1);stem(k,h,'.');xlabel('n');ylabel('单位冲激响应');grid on ; subplot(2,1,2);stem(k,y,'.');xlabel('n');ylabel('单位阶跃响应');grid on ;
运行“exe2filt.m ”文件将产生如图2-4所示的序列。

图3-4矩形序列
3.实验内容
3.1已知1(){1,1,1,1,1}x n =，2(){1,1,1,1,1,1,1}x n =，计算12()()*()y n x n x n =。

3.2求系统：()0.5((1)(2)(3)(4))y n x n x n x n x n =-+-+-+-的单位冲激响应和阶跃响应。

3.3 完成习题一的7、16、18。

4. 思考题
4.1理论计算实验内容3.2中的单位冲激响应和阶跃响应，并同实验结果加以比较。