MATLAB与差分方程

120 110
x=5/0.0324=154.32
100 0
r=-0.0324,b=5
50
100
150
200
一阶线性常系数差分方程的平衡点及其稳定性
差分方程的一般形式 xk 1ak xb , k0 ,1 ,2 ,
差分方程的平衡点 ~代数方程 x=ax+b 的根 x=b/(1-a) 差分方程的解 xkakx0b11 aak, k0,1,2,
一年生植物只能活一年，且近似地认为，种子最 多可以活过两个冬天。
建立数学模型研究植物数量的变化规律， 及它能够一直繁殖下去的条件.
例 一年生植物的繁殖
模型及其求解
设一棵植物平均产种数为c, 种子能够活过冬天 的比例为b, 活过冬天的那些种子在来年春季发芽的 比例为a1，未能发芽的那些种子又活过一个冬天的 比例仍为b, 在下一年春季发芽的比例为a2。
MATLAB与差分方程
西南交通大学数学建模
差分方程 ~ 离散时段上描述变化过程的数学模型
• 一年期存款年利率为r，存入M， 记第k年本息为xk
x k 1 ( 1 r ) x k , k 0 ,1 ,2 , , x 0 M
n年后本息为 xn (1r)nM
• 污水处理厂每天将污水浓度降低比例q, 记第k天
寻找形如xk=k的解
例 一年生植物的繁殖 模型及其求解
设c=10， a1=0.5，a2=0.25，b=0.18, 0.19, 0.20，x0=100 差分方程 xkpk x 1qk x20
特征方程 特征根
2pq0
1,2
p
p2 4q 2
差分方程的解
xkc11 kc2k 2, k0 ,1 ,2 , 常数c1, c2由x0, x1确定
一阶线性常系数差分方程 例1 濒危物种(Florida 沙丘鹤)的自然演变
和人工孵化
生态学 • 在较好自然环境下，年平均增长率为1.94% 家估计 • 在中等自然环境下，年平均增长率为-3.24%
• 在较差自然环境下，年平均增长率为-3.82%
如果在某自然保护区内开始有100只鹤，建立 描述其数量变化规律的模型，并作数值计算.
如果每年人工孵化5只鹤放入该保护区， 在中等自然环境下鹤的数量将如何变化?
例1 濒危物种(Florida 沙丘鹤)的自然演变 和人工孵化
模型及其求解
160
140
记第k年沙丘鹤的数量为xk，
120 100
自然环境下年平均增长率为r 80
60
x k 1 ak,xa 1 r, k 0 ,1 ,2 ,400
140
r=0.0194
百度文库
r=-0.0324 r=-0.0382
5
10
15
20
设每年人工孵化的数量为b， 120
100
r=-0.0324,b=5
xk 1ak xb, k0,1,2,
80 r=-0.0324,b=0
60
40 0
5
10
15
20
例 濒危物种(Florida 沙丘鹤)的自然演变 和人工孵化
结果分析 时间充分长后(k→∞)沙丘鹤数量的变化趋势
平衡点稳定的条件: 所有特征根的模小于1
高阶线性常系数差分方程
例 一年生植物的繁殖
一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种。 没有腐烂、风干、被人为掠去的那些种子可以活过冬 天，其中的一部分能在第二年春季发芽，然后开花、 产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一 个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开 花、产种，如此继续。
植物能够一直繁殖下去的条件为b>0.191
线性常系数差分方程组
例 汽车租赁公司的运营
汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，在一个 城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还.
在A市租赁在A, B, C市归还的比例分别为0.6, 0.3, 0.1 在B市租赁在A, B, C市归还的比例分别为0.2, 0.7, 0.1 在C市租赁在A, B, C市归还的比例分别为0.1, 0.3, 0.6
自然环境下 xk 1ak,xa1r, xkakx0, k0,1,2, a>1(r>0)时xk→∞, a<1(r<0)时xk→0
在中等及较差的自然环境下沙丘鹤将濒于灭绝。
人工孵化条件下 xk1akxb 160 150
xkakx0b11 aak, k0,1,2,
140 130
a<1(r<0)时xk→x=b/(1-a)
1,2
5 30b 2
b 0 .1 , 8 x k 9 .6 5 (0 .9 4)k 4 4 .3 3 ( 0 6 .0)k 43 b 0 .2 , x k 9.6 5 ( 1 .5 04 )k 4 7 .3( 7 0 5 .04 )k 7
1, 2<1时xk0 (k) 1, 2 >1时xk (k)
的污水浓度为ck , ck 1 (1 q )ck, k 0 ,1 ,2 ,
cn (1q)nc0
n lg2 天后污水浓度降低一半
lg(1 q)
离散动态过程（系统），实际的变化可以是连续的
差分方程
1. 一阶线性常系数差分方程 2. 高阶线性常系数差分方程 3. 线性常系数差分方程组
• 建立离散动态过程的数学模型; • 用MATLAB计算数值解; • 作理论分析(平衡点及其稳定性).
xk~第k年的植物数量 设今年种下(并成活)的数量为x0
x1 a1bcx0
xk a1bckx1a 2 b (1 a 1 )bk c 2 x 0 ,k 2 ,3 ,
记 p= -a1bc, q= -a2b(1-a1) bc
x 1 p 0 0 x ,x k p k 1 x q k 2 x 0 ,k 2 , 3 ,
特征方程
a 0n a 1n 1 a n 1 a n 0
特征根
1, 2, …n
平衡点
x b /a ( 0 a 1 a n 1 a n )
差分方程的解 x k c 11 k c 2k 2 c nk n x ,k 1 ,2 ,
c1, …,c n由初始值x1, …,x n确定
x k cka b /1 ( a ),k 0 ,1 ,2 ,
c= x0-b/(1-a)由初始值x0 和a、b确定
若k→∞时xk→x, 平衡点x稳定, 否则平衡点x不稳定 平衡点稳定的充要条件是 a <1
高阶线性常系数差分方程的平衡点及其稳定性
a 0 x k n a 1 x k n 1 a n 1 x k 1 a n x k b ,k 1 , 2 ,