用matlab实现线性常系数差分方程的求解
怎样用Matlab求解差分方程题解读
模型建立 记第k年沙丘鹤的数量为xk,年均增长率为 r，则第k+1年鹤的数量为
xk+1=(1+r)xk k=0,1,2······
已知x0=100, 在较好，中等和较差的自然 环境下 r=0.0194, -0.0324,和-0.0382 我们利用 Matlab编程，递推20年后观察沙丘鹤的 数量变化情况
Xk-1决定的部分是 a1bcXk-1,由Xk-2决定的部分是 a2b(1-a1)bcXk-2
Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2
Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2
实际上，就是Xk= pXk-1 + qXk-2 我们需 要知道x0,a1,a2,c, 考察b不同时，种子繁 殖的情况。在这里假设 X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.18~0.20 这样可以用matlab计算了
K=(0:20)’; Y1=zwfz(100,21,0.18); Y2=zwfz(100,21,0.19); Y3=zwfz(100,21,0,20); Round([k,y1’,y2’,y3’]) Plot(k,y1,k,y2,’:’,k,y3,’o’), Gtext(‘b=0.18’),gtext(‘b=0.19’),gtext(‘b=0.20’)
function x=czqc(n) A=[0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6]; x(:,1)=[200,200,200]'; for k=1:n x(:,k+1)=A*x(:,k); end
如果直接看10年或者20年发展趋势，可以直接在命令窗 口（commond window）作，而不是必须编一个函数
matlab差分方程
matlab差分方程MATLAB是一种广泛使用的计算机辅助工具，其中包含了许多实用算法和解决方案。
差分方程是MATLAB中非常重要的一种工具，可以用于模拟和解决各种差分方程问题。
下面将介绍如何使用MATLAB来解决差分方程问题。
首先在MATLAB窗口中打开一个新的脚本文件（Ctrl+N），左侧显示脚本编辑器的窗口。
在窗口中输入以下内容：function dy = diffeq(t,y)dy = zeros(2,1);dy(1) = y(2);dy(2) = -0.1*y(2) - y(1) - 10*(y(1)^3);在这个脚本中，我们定义了一个名为“diffeq”的函数，它有两个参数（t和y）。
该函数返回一个长度为2的dy向量，dy是y的导数（dy/dt）。
在本例中，我们使用了系统描述的常见方法：x'=f（x，t），y是系统状态向量。
换句话说，我们将梯度设置为我们想要模拟的方程。
一旦函数被定义，我们现在可以开始运行模拟。
接下来，我们将使用MATLAB的ODE求解器来解决我们的差分方程问题。
我们可以这样编写代码：[t,y] = ode45(@diffeq,[0 30],[1 0]);在这里，ode45是MATLAB中用于解决常微分方程的函数，它需要三个参数。
第一个参数是定义我们的方程的函数（即我们之前声明的diffeq函数），第二个参数是我们期望的时间范围（从0到30，单位为秒），第三个参数是初值（在这个例子中，我们使用y(0)=1和y'(0)=0作为初值）。
运行后，MATLAB会将结果存储在两个向量t和y中，我们可以使用下面的代码来显示不同时间点t的y值：plot(t,y(:,1),'-')在此代码中，我们使用plot函数来绘制y的前一个元素（我们的状态向量正在被建模）以及时间t之间的关系。
结果应该是一个类似于与时间的函数y（t）的曲线。
这个值可以根据不同的初值和系统变量被改变。
Matlab中的差分方程求解
Matlab中的差分方程求解差分方程是微分方程的离散形式，常常在计算机科学、物理学、经济学等领域中广泛应用。
而Matlab作为一种数值计算软件，提供了强大的工具和函数用于差分方程的求解和分析。
本文将介绍Matlab中差分方程求解的基本方法和常见应用。
一、差分方程的基本概念差分方程是一种通过递归关系描述变量之间关系的数学表达式。
与微分方程不同，差分方程是以离散时间点为基础的，适用于描述离散系统的动态行为。
一般来说，差分方程可以分为线性差分方程和非线性差分方程两类。
线性差分方程的一般形式为：y[n] = a*y[n-1] + b*y[n-2] + ... + c*x[n]，其中y[n]为方程的解，x[n]为给定的输入，a、b、c为系数。
而非线性差分方程则没有这种简单的表达形式，通常需要通过迭代或数值方法求解。
二、在Matlab中，可以利用函数和工具箱来求解差分方程。
下面将介绍几种常见的求解方法。
1. 符号计算方法Matlab的符号计算工具箱提供了一系列用于求解差分方程的函数，例如dsolve()函数。
这些函数可以根据给定的差分方程自动进行符号运算，得到方程的解析解。
符号计算方法适用于简单的线性差分方程，对于复杂的非线性差分方程则很难求解。
2. 数值迭代方法对于非线性差分方程，常常采用数值迭代的方法来求解。
Matlab提供了多种迭代函数，例如fsolve()函数和fminsearch()函数。
这些函数可以根据给定的差分方程和初始值，通过迭代计算得到方程的数值解。
数值迭代方法适用于各种类型的差分方程，但需要注意选择合适的初始值和迭代算法以确保收敛。
3. 差分方程求解函数除了符号计算和数值迭代方法，Matlab还提供了一些专门用于求解差分方程的函数，例如ode23()函数和ode45()函数。
这些函数可以根据给定的差分方程和初始条件，通过数值方法求解方程的数值解。
相比于数值迭代方法，差分方程求解函数更加高效和稳定，适用于大规模的复杂差分方程。
用matlab解差分方程
• title('(a)'); xlabel('(n)');ylabel('(n)');%ep141.m: 调用filter解差分方程y(n)-ay(n-1)=x(n)
• a=0.8; ys=1;
%设差分方程系数a=0.8，初始状态：y(-1)=1
• xn=[1,zeros(1,30)] %x(n)=单位脉冲序列，长度N=31
• B=1; A=[1,-a]; %差分方程系数
• xi=filtic(B,A,ys); %由初始条件计算等效初始条件的输入序列xi
• yn=filter(B,A,xn,xi); %调用filter解差分方程，求系统输出信号y(n)
图形表现
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用matlab解差分方程
本例子截取书上第19页，
matlab求解程序
• %ep141.m: 调用filter解差分方程y(n)-ay(n-1)=x(n)
• a=0.8; ys=1;
%设差分方程系数a=0.8，初始状态：y(-1)=1
• xn=[1,zeros(1,30)] %x(n)=单位脉冲序列，长度N=31
• B=1; A=[1,-a]; %差分方程系数
• xi=filtic(B,A,ys); %由初始条件计算等效初始条件的输入; %调用filter解差分方程，求系统输出信号y(n)
• n=0:length(yn)-1;
• subplot(3,2,1);stem(n,yn,'.')
差分方程的程序求解
采用filter函数实现线性常系数差分方程的递推 求解 yn=filter(B,A,xn) 计算输入信号xn的零状态响 应yn yn=filter(B,A,xn,xi) 计算输入信号xn的全响应 yn，xi为等效初始条件的输入序列 xi=filtic(B,A,ys,xs) 由初始条件计算xi的函数
程序结果
(a) 2 1.5
y(n)
1 0.5 0
0
5
10
15 n (b)
20
25
30
1
ห้องสมุดไป่ตู้
y(n)
0.5
0
0
5
10
15 n
20
25
30
xn=[1 zeros(1,20)] B=[2,3] A=[1,0.5,0.06] ys=[1,2] xi=filtic(B,A,ys) yn1=filter(B,A,xn) yn2=filter(B,A,xn,xi) subplot(2,1,1) n1=0:length(yn1)-1 stem(n1,yn1,'.') axis([0,21,-3,3]) subplot(2,1,2) n2=0:length(yn2)-1 stem(n2,yn2,'.')
%初始状态: y(-1)=1
xn=［1, zeros(1, 30)］; %x(n)=单位脉冲序列, 长度N=31 B=1; A=［1, -a］; xi=filtic(B, A, ys); % %由初始条件计算等效初始条件 的输入序列xi
yn=filter(B, A, xn, xi); %调用filter解差分方程， 求
系统输出信号y(n)。
n=0:length(yn)-1; subplot(3, 2, 1); stem(n, yn, '.') title('(a)'); xlabel('n'); ylabel('y(n)') 程序中取差分方程系数a=0.8时，得到系统输出y(n)
用matlab实现线性常系数差分方程的求解
数字信号处理课程设计题目：试实现线性常系数差分方程的求解学院：专业：班级：学号：组员：指导教师：题目：用Matlab 实现线性常系数差分方程求解一． 设计要求1． 掌握线性常系数差分方程的求解2． 熟练掌握Matlab 基本操作和各类函数调用 3．结合Matlab 实现线性常系数差分方程的求解二．设计原理1．差分与差分方程与连续时间信号的微分及积分运算相对应，离散时间信号有差分及序列求和运算。
设有序列f(k),则称…,f(k+2),f(k+1),…,f(k －1),f(k －2),…为f(k)的移位序列。
序列的差分可以分为前向差分和后向差分。
一阶前向差分定义为()(1)()f k f k f k ∆=+- （3.1—1）一阶后向差分定义为()()(1)f k f k f k ∆=-- （3.1—2）式中Δ和Δ称为差分算子。
由式（3.1—1）和式（3.1—2）可见，前向差分与后向差分的关系为()(1)f k f k ∆=∆- （3.1—3）二者仅移位不同，没有原则上的差别，因而它们的性质也相同。
此处主要采用后向差分，并简称其为差分。
由查分的定义，若有序列1()f k 、2()f k 和常数1a ，2a 则1122112211221112221122[()()][()()][(1)(1)][()(1)][()(1)]()()a f k a f k a f k a f k a f k a f k a f k f k a f k f k a f k a f k ∆+=+--+-=--+--=∆+∆ （3.1—4）这表明差分运算具有线性性质。
二阶差分可定义为2()[()][()(1)]()(1)()2(1)(2)f k f k f k f k f k f k f k f k f k ∆=∆∆=∆--=∆-∆-=--+- （3.1—5）类似的，可定义三阶、四阶、…、n 阶差分。
一般地，n 阶差分10()[()](1)()nn n jj n f k f k f k j j -=⎛⎫∆=∆∆=-- ⎪⎝⎭∑ （3.1—6）式中!,0,1,2,,()!!n n j n j n j j ⎛⎫== ⎪-⎝⎭ （3.1—7）为二项式系数序列f(k)的求和运算为()ki f i =-∝∑（3.1—8）差分方程是包含关于变量k 的未知序列y(k)及其各阶差分的方程式，它的一般形式可写为,(),(),,()0n F k y k y k y k ⎡⎤∆∆=⎣⎦ （3.1—9a ）式中差分的最高阶为n 阶，称为n 阶差分方程。
用Matlab求解差分方程问题
高阶线性常系数差分方程
如果第k+1时段变量Xk+1不仅取决 于第k时段变量Xk，而且与以前时段变 量有关，就要用高阶差分方程来描述
一年生植物的繁殖
一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季 产种，没有腐烂，风干，被人为掠取的 那些种子可以活过冬天，其中一部分能 在第2年春季发芽，然后开花，产种，其 中的另一部分虽未能发芽，但如又能活 过一个冬天，则其中一部分可在第三年 春季发芽，然后开花，产种，如此继续， 一年生植物只能活1年，而近似的认为， 种子最多可以活过两个冬天，试建立数 学模型研究这种植物数量变化的规律， 及它能一直繁殖下去的条件。
1, 2
5 10 2
b
植物能一直繁殖下去的条件是b>0.191
线性常系数差分方程组
汽车租赁公司的运营
一家汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，为方便顾客起见公司 承诺，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还。根据经
验估计和市场调查，一个租赁期内在A市租赁的汽车 在A,B,C市归还的比例分别为0.6,0.3,0.1;在B市 租赁的汽车归还比例0.2,0.7,0.1;C市租赁的归还 比例分别为0.1,0.3,0.6。若公司开业时将600辆 汽车平均分配到3个城市，建立运营过程中汽 车数量在3个城市间转移的模型，并讨论时间 充分长以后的变化趋势。
x2
(k
1)
0.3
0.7
0.3
x2
(
k
)
x3 (k 1) 0.1 0.1 0.6 x3 (k )
function x=czqc(n) A=[0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6]; x(:,1)=[200,200,200]'; for k=1:n
MATLAB中的差分方程建模与求解方法
MATLAB中的差分方程建模与求解方法引言差分方程是数学中常见的一种方程类型，是一种离散形式的微分方程。
在实际问题中，差分方程能够提供对系统的离散描述，对于动态模型的建立和求解具有重要作用。
MATLAB作为一种功能强大的数值计算软件，其内置了丰富的工具箱和函数，为差分方程的建模和求解提供了便利。
一、差分方程的建模差分方程的建模是将实际问题转化为数学方程的过程。
在MATLAB中，差分方程的建模可以通过定义离散系统的状态和状态转移方程来实现。
下面以一个简单的例子说明差分方程的建模过程。
假设有一个人口增长模型，人口数在每年增加10%，则差分方程可以表示为：P(n+1) = P(n) + 0.1 * P(n)，其中P(n)表示第n年的人口数，P(n+1)表示第n+1年的人口数。
在MATLAB中，可以通过定义一个函数来描述差分方程的状态转移方程，代码如下：```matlabfunction Pn = population_growth(Pn_minus_1)growth_rate = 0.1;Pn = Pn_minus_1 + growth_rate * Pn_minus_1;end```上述代码定义了一个名为"population_growth"的函数，该函数的输入参数为上一年的人口数"Pn_minus_1"，输出为当前年的人口数"Pn"。
其中，growth_rate表示人口增长率，根据差分方程的定义，将上一年的人口数乘以增长率再加上本身，即可得到当前年的人口数。
二、差分方程的求解方法在MATLAB中，差分方程的求解可以通过多种方法实现。
下面介绍两种常用的差分方程求解方法：欧拉法和四阶龙格-库塔法。
1. 欧拉法（Euler's method）欧拉法是差分方程求解中最简单直观的一种方法。
其基本思想是通过离散化的方式逐步逼近连续函数的解。
具体步骤如下：1) 将时间段分割成若干个小区间；2) 根据差分方程的状态转移方程，在每个小区间内进行计算；3) 迭代计算直到达到指定的时间点。
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数字信号处理课程设计题目：试实现线性常系数差分方程的求解学院：专业：班级：学号：组员：指导教师：题目：用Matlab 实现线性常系数差分方程求解一． 设计要求1． 掌握线性常系数差分方程的求解2． 熟练掌握Matlab 基本操作和各类函数调用 3．结合Matlab 实现线性常系数差分方程的求解二．设计原理1．差分与差分方程与连续时间信号的微分及积分运算相对应，离散时间信号有差分及序列求和运算。
设有序列f(k),则称…,f(k+2),f(k+1),…,f(k －1),f(k －2),…为f(k)的移位序列。
序列的差分可以分为前向差分和后向差分。
一阶前向差分定义为()(1)()f k f k f k ∆=+- （3.1—1）一阶后向差分定义为()()(1)f k f k f k ∆=-- （3.1—2）式中Δ和Δ称为差分算子。
由式（3.1—1）和式（3.1—2）可见，前向差分与后向差分的关系为()(1)f k f k ∆=∆- （3.1—3）二者仅移位不同，没有原则上的差别，因而它们的性质也相同。
此处主要采用后向差分，并简称其为差分。
由查分的定义，若有序列1()f k 、2()f k 和常数1a ，2a 则1122112211221112221122[()()][()()][(1)(1)][()(1)][()(1)]()()a f k a f k a f k a f k a f k a f k a f k f k a f k f k a f k a f k ∆+=+--+-=--+--=∆+∆ （3.1—4）这表明差分运算具有线性性质。
二阶差分可定义为2()[()][()(1)]()(1)()2(1)(2)f k f k f k f k f k f k f k f k f k ∆=∆∆=∆--=∆-∆-=--+- （3.1—5）类似的，可定义三阶、四阶、…、n 阶差分。
一般地，n 阶差分10()[()](1)()nn n jj n f k f k f k j j -=⎛⎫∆=∆∆=-- ⎪⎝⎭∑ （3.1—6）式中!,0,1,2,,()!!n n j n j n j j ⎛⎫== ⎪-⎝⎭ （3.1—7）为二项式系数序列f(k)的求和运算为()ki f i =-∝∑（3.1—8）差分方程是包含关于变量k 的未知序列y(k)及其各阶差分的方程式，它的一般形式可写为,(),(),,()0n F k y k y k y k ⎡⎤∆∆=⎣⎦ （3.1—9a ）式中差分的最高阶为n 阶，称为n 阶差分方程。
由式（3.1—6）可知，各阶差分均可写为y(k)及其各移位序列的线性组合，故上式常写为[],(),(1),,()0G k y k y k y k n --= （3.1—9b ）通常所说的差分方程是指式（3.1—9b ）形式的方程。
若式（3.1—9b ）中，y(k)及其各移位序列均为常数，就称其为常系数差分方程；如果某些系数是变量k 的函数，就称其为变系数差分方程。
描述LTI 离散系统的是常系数线性差分方程。
差分方程是具有递推关系的代数方程，若一直初始条件和激励，利用迭代法渴求的差分方程的数值解。
2. 差分方程的经典解一般而言，如果但输入—单输出的LTI 系统的激励f(k)，其全响应为y(k)，那么，描述该系统激励f(k)与响应y(k)之间关系的数学模型式n 阶常系数线性差分方程，它可写为1010()(1)()()(1)()n m m y k a y k a y k n b f k b f k b f k m --+-++-=+-++- （3.1—10a ）式中(0,1,,1)j a j n =-、(0,1,,)i b i m =都是常数。
上式可缩写为()()(=1)nmn jm i n j i ay k j a f k i a --==-=-∑∑式中 （3.1—10b ）与微分方程的经典解类似，上述差分方程的解由齐次解和特解两部分组成。
齐次解用()h y k 表示，特解用()p y k 表示，即()=()()h p y k y k y k + （3.1—11）a.齐次解当式（3.1—10)中的f(k)及其各移位项均为零时，齐次方程10()(1)()0n y k a y k a y k n -+-++-= （3.1—12）的解称为齐次解。
首先分析最简单的一阶差分方程。
若一阶差分方程的齐次方程为()(1)0y k ay k +-= （3.1—13）它可改写为()(1)y k ay k =--y(k)与y(k －1)之比等于－a 表明，序列y(k)是一个公比为－a 的等比级数，因此y(k)应有如下形式()()k y k C a =- （3.1—14）式中C 式常数，有初始条件确定。
对于n 阶齐次差分方程，它的齐次解由形式为kC λ的序列组合而成，将k C λ代入到式（3.1—12），得111100k k k n k n n C a C a C a C λλλλ-----++++=由于C ≠0，消去C ；且λ≠0，以k nλ-除上式，得11100n n n a a a λλλ--++++=（3.1—15）上式称为差分方程式（3.1—10）和式（3.1—12）的特征方程，它有n 个根(0,1,,)j j n λ=，称为差分方程的特征根。
显然，形式为jk j C λ的序列都满足式（3.1—12），因而它们是式（3.1—10）方程的齐次解。
依特征根取值的不同，差分方程齐次解的形式见表3—1,其中j C 、j D 、j A 、j θ等为待定常数表3—1 不同特征根所对应的齐次解0)]θ- b.特解特解的函数形式与激励的函数形式有关，表3—2列出了集中典型的激励f(k)所对应的特解()p y k 。
选定特解后代入原差分方程，求出其待定系数()j P A θ或等，就得出方程的特解。
表3—2 不同激励所对应的特解1Pk -++不等于特征根时cos()k β或sin()k βcos()sin()cos(),A j P k Q k A k e P jQ θβββθ+-=+或其中所有特征根均不等于j e β±c.全解式（3.1—10）的线性差分方程的全解是齐次解与特解之和。
如果方程的特征根均为单根，则差分方程的全解为1()=()()()nk h p j j p jy k y k y k C y k λ=+=+∑（3.1—16）如果特征根1λ为r 重根，而其余n －r 个特征根为单根时，差分方程的全解为11()=()rnr jk k j jj j p j j r y k C kC y k λλ-==+++∑∑（3.1—17）式中各系数jC 由初始条件确定。
如果激励信号是在k=0时接入的，差分方程的解适合于k ≥0。
对于n 阶差分方程，用给定的n 个初始条件y(0),y(1),…,y(n －1)就可确定全部待定系数。
如果差分方程的特解都是单根，则方程的全解为式（3.1—16），将给定的初始条件y(0),y(1),…,y(n －1)分别代入到式（3.1—16），可得1211221111122(0)(0)(1)(1)(1)(1)n p n n p n n n n n p y C C C y y C C C y y n C C C y n λλλλλλ---=++++=++++-=++++-（3.1—18）由以上方程可求得全部待定系数(0,1,,)j C j n =。
2.1零输入响应系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应，称为零输入响应，用()zi y k 表示。
在零输入条件下，式（3.1—10）等号右端为零，化为齐次方程，即()0nn jzi j ay k j -=-=∑ （3.1—25）一般设定激励是在k=0时接入系统的，在k ＜0时，激励尚未接入，故式（3.1—25）的几个初始状态满足(1)(1)(2)(2)()()zi zi zi y y y y y n y n -=--=--=- （3.1—26）式（3.1—26）中的y(－1),y(－2),…,y(－n)为系数的初始状态，由式（3.1—25）和式（3.1—26）可求得零输入响应()zi y k 。
2.2零状态响应当系统的初始状态为零，仅由激励f(k)所产生的响应，称为零状态响应，用 表示。
在零状态情况下，式（3.1—10）仍是非齐次方程，其初始状态为零，即零状态响应满足()()(1)(2)()0nmn jzs m i j i zs zs zs ay k j a f k i y y y n --==-=--=-==-=∑∑（3.1—30）的解。
若其特征根均为单根，则其零状态响应为1()()nk zs zsj j p j y k C y k λ==+∑ （3.1—31）式中zsj C 为待定常数，()p y k 为特解。
需要指出，零状态响应的初始状态(1),(2),,()zs zs zs y y y n ---为零为零，但其初始值(0),(1),,(1)zs zs zs y y y n -不一定等于零。
3.线性常系数差分方程3.1一个N 阶线性常系数差分方程可用下式表示：1()()()M Ni i i i y n b x n i a y n i ===---∑∑（1.4.1）或者()(),1N Miii i a y n i b x n i a==-=-=∑∑ （1.4.2）式中，x （n ）和y(n)分别是系统的输入序列和输出序列，ai 和bi 均为常系数，式中y(n-i)和x(n-i)项只有一次幂，也没有相互交叉相乘项，故称为线性常系数差分方程。
差分方程的阶数是用方程y(n-i)项中i 的最大取值与最小取值之差确定的。
在（1.4.2）式中，y(n-i)项i 最大的取值N ，i 的最小取值为零，因此称为N 阶差分方程。
4． 线性常系数差分方程的求解已知系统的输入序列，通过求解差分方程可以求出输出序列。
求解差分方程的基本方法有以下三种：（1） 经典解法。
这种方法类似于模拟系统中求解微分方程的方法，它包括齐次解与特解，由边界条件求待定系数，上节已作简单介绍，这里不作介绍。
（2） 递推解法。
这种方法简单，且适合用计算机求解，但只能得到数值解，对于阶次较高的线性常系数差分方程不容易得到封闭式（公式）解答。
（3） 变换域方法。
这种方法是将差分方程变换到z 域进行求解，方法简便有效。
当然还可以不直接求解差分方程，而是先由差分方程求出系统的单位脉冲响应，再与已知的输入序列进行卷积运算，得到系统输出。
但是系统的单位脉冲响应如果不是预先知道，仍然需要求解差分方程，求其零状态响应解。
（4） 卷积法：由差分方程求出系统的h(n)，再与已知的x(n) 进行卷积，得到y(n)。