用matlab实现线性常系数差分方程的求解

数字信号处理课程设计

题目：试实现线性常系数差分方程的求解

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题目：用Matlab 实现线性常系数差分方程求解

一． 设计要求

1． 掌握线性常系数差分方程的求解

2． 熟练掌握Matlab 基本操作和各类函数调用 3．

结合Matlab 实现线性常系数差分方程的求解

二．设计原理

1．差分与差分方程

与连续时间信号的微分及积分运算相对应，离散时间信号有差分及序列求和运算。设有序列f(k),则称…,f(k+2),f(k+1),…,f(k －1),f(k －2),…为f(k)的移位序列。序列的差分可以分为前向差分和后向差分。一阶前向差分定义为

()(1)()f k f k f k ∆=+- （3.1—1）

一阶后向差分定义为

()()(1)f k f k f k ∆=-- （3.1—2）

式中Δ和Δ称为差分算子。由式（3.1—1）和式（3.1—2）可见，前向差分与后向差分的关系为

()(1)f k f k ∆=∆- （3.1—3）

二者仅移位不同，没有原则上的差别，因而它们的性质也相同。此处主要采用后向差分，并简称其为差分。

由查分的定义，若有序列1()f k 、2()f k 和常数1a ，2a 则

1122112211221112221122[()()][()()][(1)(1)][()(1)][()(1)]()()

a f k a f k a f k a f k a f k a f k a f k f k a f k f k a f k a f k ∆+=+--+-=--+--=∆+∆ （3.1—4）

这表明差分运算具有线性性质。 二阶差分可定义为

2()[()][()(1)]()(1)

()2(1)(2)

f k f k f k f k f k f k f k f k f k ∆=∆∆=∆--=∆-∆-=--+- （3.1—5）

类似的，可定义三阶、四阶、…、n 阶差分。一般地，n 阶差分

1

0()[()](1)()n

n n j

j n f k f k f k j j -=⎛⎫

∆=∆∆

=-- ⎪⎝⎭

∑ （3.1—6）

式中

!

,0,1,2,,()!!

n n j n j n j j ⎛⎫== ⎪

-⎝⎭ （3.1—7）

为二项式系数

序列f(k)的求和运算为

()k

i f i =-∝

∑

（3.1—8）

差分方程是包含关于变量k 的未知序列y(k)及其各阶差分的方程式，它的一般形式可写为

,(),(),,()0n F k y k y k y k ⎡⎤∆∆=⎣⎦ （3.1—9a ）

式中差分的最高阶为n 阶，称为n 阶差分方程。由式（3.1—6）可知，各阶差分均可写为y(k)及其各移位序列的线性组合，故上式常写为

[],(),(1),,()0G k y k y k y k n --= （3.1—9b ）

通常所说的差分方程是指式（3.1—9b ）形式的方程。

若式（3.1—9b ）中，y(k)及其各移位序列均为常数，就称其为常系数差分方程；如果某些系数是变量k 的函数，就称其为变系数差分方程。描述LTI 离散系统的是常系数线性差分方程。

差分方程是具有递推关系的代数方程，若一直初始条件和激励，利用迭代法渴求的差分方程的数值解。

2. 差分方程的经典解

一般而言，如果但输入—单输出的LTI 系统的激励f(k)，其全响应为y(k)，那么，描述该系统激励f(k)与响应y(k)之间关系的数学模型式n 阶常系数线性差分方程，它可写为

1010()(1)()

()(1)()

n m m y k a y k a y k n b f k b f k b f k m --+-++-=+-+

+- （3.1—10a ）

式中(0,1,,1)j a j n =-、(0,1,

,)i b i m =都是常数。上式可缩写为

()()(=1)n

m

n j

m i n j i a

y k j a f k i a --==-=-∑∑式中 （3.1—10b ）

与微分方程的经典解类似，上述差分方程的解由齐次解和特解两部分组成。齐次解用()h y k 表示，特解用()p y k 表示，即

()=()()h p y k y k y k + （3.1—11）

a.齐次解

当式（3.1—10)中的f(k)及其各移位项均为零时，齐次方程

10()(1)()0n y k a y k a y k n -+-++-= （3.1—12）

的解称为齐次解。

首先分析最简单的一阶差分方程。若一阶差分方程的齐次方程为

()(1)0y k ay k +-= （3.1—13）

它可改写为

()

(1)y k a

y k =--

y(k)与y(k －1)之比等于－a 表明，序列y(k)是一个公比为－a 的等比级数，因

此y(k)应有如下形式

()()k y k C a =- （3.1—14）

式中C 式常数，有初始条件确定。

对于n 阶齐次差分方程，它的齐次解由形式为k

C λ的序列组合而成，将

k C λ代入到式（3.1—12），得

111100

k k k n k n n C a C a C a C λλλλ-----++++=

由于C ≠0，消去C ；且λ≠0，以k n

λ-除上式，得