浙江省宁波诺丁汉大学附属中学2019-2020学年高一下学期期中考试(实验班)数学试题

宁波诺丁汉大学附属中学
2019-2020学年度第二学期期中实验班考试
[高一]年级 [数学]试题卷
答卷时间：[120分钟] 满分：[150] 命题人：[王飞] 校对人：[白红亮]
一.选择题：(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
3n ＋1 (n 是奇数)，2n －2 (n 是偶数)，则a 2·a 3＝( ) A ．70 B ．28 C ．20 D ．8
2.设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( )
A ．A ≤
B B ．A ≥B
C ．A <B
D ．A >B
==αα
cos ,3
32sin .3则若（ ） 32-A. 31-B. 31.C 3
2.D 4.在各项均为正数的等比数列｛n a ｝中，若65a a ＝9，则log 31a ＋log 32a ＋…＋103log a 等于（ ）
A ．12
B ．10
C ．8
D ．2＋log 53
5.设数列211
+，321
+，…，11
++n n 前n 项和为10，则n 等于（ ）
A ．11
B ．99
C ．120
D ．121
6．=+<<=2
cos 2sin ,32,31sin ααπαπα则设( )
332.A - 332.B 3
4.C 33.D - 7．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是( )
A ．b ＝10，A ＝45°，C ＝70°
B ．a ＝60，c ＝48，B ＝60°
C ．a ＝7，b ＝5，A ＝80°
D ．a ＝14，b ＝16，A ＝45°
8．在△ABC 中，a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 外接圆的直径为( )
A ．4 3
B ．6
C ．5 2
D ．62
9．如果一个等差数列的10S ＝100，100S ＝10，则110S 等于（ ）
A ．90
B ．－90
C ．110
D ．－110
10．设a ＞0，b ＞0，且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b
≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( ) A ．0 B ．4 C ．－4 D ．－2
二.填空题：(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．)
11.已知数列{a n }的首项a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，则a 5=________．
12.在数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2020＝ ________.
13.在等比数列{a n }中，=1，=3，则＝ ________.
14．用一根长为12 m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为________ m ，高为________ m.
15．在△ABC 中，若a ＝4，b ＝2，cos A ＝－14
，则c ＝________，sin C ＝________. 16．在等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12.则a n =________此数列前30项的绝对值之和为________.
17．已知△ABC 的三边a ，b ，c 和面积S 满足S ＝a 2－(b －c )2，且b ＋c ＝8.则cos A=________. S 的最大值为________．
三、解答题：(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 4S 8S 20191817a a a a +++
18(本题满分14分)已知关于x 的一元二次不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)．
(1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值；
(2)若不等式的解集是R ，求k 的取值范围．
19.(本题满分15分)已知sin x 2－2cos x 2
＝0. (1)求tan x 的值； (2)的值。

求)sin().45cos(2cos x x x
++ππ．
20.(本题满分15分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若a cos 2 C 2＋c cos 2 A 2＝32
b . (1)求证：a ，b ，
c 成等差数列；
(2)若B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．
21.(本题满分15分)已知数列{a n}满足a1＝1，a3＋a7＝18，且a n－1＋a n＋1＝2a n(n≥2，n∈N＋)．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若c n＝2n-1·a n，求数列{c n}的前n项和T n.
22.(本小题满分15分)已知数列{a n}的前n项和为S n，点(n，S n)(n∈N＋)在函数f(x)＝3x2－2x的图像上．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设b n＝3
a n a n＋1，求数列{
b n
}的前n项和T n.
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2019-2020学年度第二学期期中实验班考试
[高一]年级 [数学]试题参考答案
1答案：C
2.答案：B
3.答案：C
4.答案：B
5.答案：C
6.答案：A
7.答案：D
8.答案：C
9.答案：D
10.答案：C
11.答案：31
12.答案 -1
13.答案: 16
14.答案：32
,3 设窗户的宽为x ，则其高为6－2x ，要使阳光充足，只要面积最大，S ＝x (6－2x )＝2x (3－
x )≤2×[x ＋(3－x )2]2＝92，当且仅当x ＝32
时等号成立，这时高为3 m. 15.答案：3, 31516
由余弦定理得b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2，即c 2＋c －12＝0，(c ＋4)(c －3)＝0，得c ＝3，
cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1116，sin C ＝ 1－cos 2C ＝
31516. 16.(1)由a 1＝－60，a 17＝a 1＋16d ＝－12，得－12＝－60＋16d ，∴d ＝3.∴a n ＝－60＋3(n －1)＝3n －
63.(2)由a n ≤0，则3n －63≤0⇒n ≤21，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋(a 22＋a 23＋…＋
a 30)＝(3＋6＋9＋…＋60)＋(3＋6＋…＋27)＝(3＋60)2×20＋(3＋27)2
×9＝765. 17.∵S ＝a 2－(b －c )2，且cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
， ∴12
bc sin A ＝2bc (1－cos A )． ∴sin A ＝4(1－cos A )，0<4(1－cos A )<1，
∴34
<cos A <1.∵sin 2A ＝16(1－cos A )2， ∴17cos 2A －32cos A ＋15＝0.得cos A ＝1517
. ∵sin A ＝ 1－cos 2A ＝817
， ∴S ＝12bc sin A ＝417bc ＝417b (8－b )＝417[－(b －4)2＋16]≤6417
(当b ＝4时取最大值)， ∴S 的最大值是6417
. 18. (1)∵不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}
∴00622,32
<=+---k k x kx 的两根，且是方程 ∴5
2-=k (2) ∵不等式的解集为R
∴024402<-=∆<k k 且
∴6
6-<k
∴），的取值范围是（6
6--∞k 19.解：(1)由sin x 2－2cos x 2＝0，知cos x 2
≠0， ∴tan x 2
＝2， ∴tan x ＝2tan x 21－tan 2 x 2
＝2×21－22＝－43. (2)由(1)，知tan x ＝－43 )sin .(4cos(2cos )sin().45cos(2cos x x x x x x
-+-=++）所以πππ ＝(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )22
(cos x －sin x )sin x ＝2×cos x ＋sin x sin x ＝2×1＋tan x tan x ＝24
. 20.(1)证明：a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32
b ， 即a (1＋cos C )＋
c (1＋cos A )＝3b .由正弦定理得：sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ，即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ，∴sin A ＋sin C ＝2sin B .由正弦定理得a ＋c ＝2b ，由a ，b ，c 成等差数列．
(2)由B ＝60°，b ＝4，及余弦定理得：42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，
∴(a ＋c )2－3ac ＝16，又由(1)知a ＋c ＝2b ，代入上式得4b 2－3ac ＝16，
解得ac ＝16，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12
ac sin 60°＝4 3. 21.(1)由a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2，n ∈N ＋)知，数列{a n }是等差数列，设其公差为d ，则a 5＝12
(a 3＋
a 7)＝9，∴d ＝a 5－a 14
＝2，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)∵c n ＝(2n －1)×2n －1，
∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，① 2T n ＝1×21＋3×22＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，②
①－②得－T n ＝1＋2(21＋22＋23＋…＋2n －1)－(2n －1)×2n ，
整理得－T n ＝1＋2×2－2n
1－2
－(2n －1)·2n ＝－(2n －3)×2n －3. ∴T n ＝(2n －3)·2n ＋3.
22：(1)∵点(n ，S n )(n ∈N ＋)在函数f (x )＝3x 2－2x 的图象上，∴S n ＝3n 2－2n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n －5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，也适合a n ＝6n －5. ∴a n ＝6n －5(n ∈N ＋)．
(2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝3(6n －5)(6n ＋1)
＝12(16n －5－16n ＋1
)． ∴T n ＝12[(1－17)＋(17－113)＋…＋(16n －5－16n ＋1)]＝12(1－16n ＋1)＝3n 6n ＋1
.。