高考数学 3.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式课件
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高考数学一轮复习第三章第二讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件
所以 sin α＝2 5 5，cos α＝－ 55，tan α＝－2，
所以 sin (2α－3π)＋tan π2－α＝－2sin αcos α＋tan1 α＝
－2×2
5
5×－
55－12＝45－12＝130.故选
D.
答案：D
2.(考向 2)已知 sinα－1π2＝13，则 cosα＋1172π的值为(
3sin2θ－cos2θ＋( 3－1)sinθcos sin2θ＋cos2θ
θ＝
3tan2θ－ta1n＋2θ1)＝2
3＋1 5.
故选 B.
答案：B
⊙sin x＋cos x，sin x－cos x，sin x cos x 之间的关系 [例 4]已知 sin θ＋cos θ＝173，θ∈(0，π)，则 tan θ 的值为_______.
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－ cos2α，cos2α＝1－sin2α.
考点二 诱导公式及其应用 考向 1 利用诱导公式化简三角函数式 [例 1](1)化简：sinc－osαπ2－－32απcsoins π232＋π－ααsitnan(2π(＋2πα－) α)＝________.
2.三角函数的诱导公式
序号
一
二
三
四
五六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α
正弦 sin α
－sin α
－α －sin α
π－α sin α
π2－α π2＋α cos α cos α
余弦 cos α
－cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 口诀
tan α
tan α －tan α －tan α — —
高中数学课件-第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
20
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
反思感悟
同角三角函数关系式的应用方法 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可实现角 α 的正弦、余弦的互化，利用csoins αα＝ tan α(α≠π2＋kπ，k∈Z)可实现角 α 的弦切互化. (2)当分式中分子与分母是关于 sin α，cos α 的齐次式时，往往转化为 关于 tan α 的式子求解. (3)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α 这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
常用结论
1.同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，
变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
1
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
第2讲 同角三角函 数的基本关系与诱导 公式
2
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
考试要求
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，csoins
x x
＝tan x.2.能利用单位圆中的对称性推导出π2±α，π±α 的正弦、余弦、正切
A.sin θ＝45
B.cos θ＝－35
( ABD)
C.tan θ＝－34
D.sin θ－cos θ＝75
19
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
ABD 由题意知 sin θ＋cos θ＝15， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝215， ∴2sin θcos θ＝－2245<0，∵θ∈(0，π)，∴π2<θ<π，∴sin θ－cos θ>0， ∴sin θ－cos θ＝ 1－2sin θcos θ＝ 1－（－2245）＝ 2459＝75， ∴sin θ＝45，cos θ＝－35.∴tan θ＝－43，∴ABD 正确.
3.2同角三角函数基本关系诱导公式(48张)
(3)f(x)＝cosπ－sinx·－sinx6·sπi－n xπ2＋x
＝ cos
x－sisni2nxπ2＋x＝－sicno2sx2x＝－tan2x，
所以f－241π＝－tan2－241π＝－tan2－5π－π4
＝－tan2－π4＝－tan2π4＝－1.
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【例4】 (1)已知cos α是方程3x2－x－2＝0的根，且α是第
(3)学会观察两角之间的关系，看看它们的和或差是否为π2 的整数倍．
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【例3】
(1)计算：2sin －361π ＋cos
12π＋tan
7π 4
＝
__________.
(2)(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin θ＋π4 ＝
35，则tanθ－π4＝__________.
tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z.
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公式二：sin(π＋α)＝_－__s_in__α_，cos(π＋α)＝－___c_o_s_α_， tan(π＋α)＝___ta_n__α___. 公式三：sin(－α)＝_－__s_i_n__α_，cos(－α)＝__c_o_s_α__， tan(－α)＝_－__t_a_n_α__. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝_－__c_o_s_α_，
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解析 (1)错误．sin 120°＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝ 23， cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12.
(2)错误．在tan α＝csoins αα中α≠kπ＋π2，k∈Z. (3)错误．对于正、余弦的诱导公式角α可以为任意角，
高考数学(文江苏专用)一轮复习课件：第三章第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式
第三章三角函数、解三角形同角三角函数的基本关系与诱导公式教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源Ml谋梳理严1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2a +cos2a =1(«GR)；(2)商数关系：tan a =订—A：eZ2.六组诱导公式k兀“亍土a仗已Z)"的三角函数记忆口诀“奇变偶不对于角变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时, 正弦变余弦,余弦变正弦;当吃为偶数时，函数名不变”.“符号看象限”是指“在久的三角函数值前面加上当。
为锐角时原函数值的符号”.匿0【做二微〕,贝0 sin x = 2 .、JI解得sin x= -1±^52因为一lWsinxWl, 所以 smx=―— 1.已知 tanx=smx+y^| 解析：因为 tanx=sin x+~ ,所以 tanx=cosx, \ /丿 所以 sinx=cos 2x,所以 sinL+sin x —1=0,2.tan 690°的值为—3 解析：tan 690° =tan(—30' =tan(—30° )=—tan 30°3 +2X360° )3 •3.已知cos12=T解析：因为cos 13’角a是第二象限角、则tan(2 —a)角a是第二象限角，故sin a =12 0所以tan 12故tan（2 兀—a）=—tan12要會厂1.必明辨的2个易错点(1)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.(2)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.2.必会的3种方法(三角函数求值与化简的常用方法)⑴弦切互化法：主要利用公式tan a化成正、余弦.⑵和积转换法：利用(sin 0 ±cos 0)2=l±2sin "cos &的关系进行变形、转化.l=sin2e +cos2e =cos2 ^(1+tan2 0)=:(3)巧用“F啲变换( 又因为n,3兀、解析：因为tana=2,所以汨^=2,所以sina=2cos a. 又 sin 2a+cos 2a=l, 所以(2cos a)2+cos 2a=l, 所以 cos 2a=1.已知么丘,tan a =2,贝J cos a =所以COS… M t 2sin a —cos3・若tan a =2,则sin 育囲2sin a —cos a 2tan a —1 sin a +2cos a tan a +2 2X2-1 3 2+24-2.若 sin 0 •cos1 … .cos 0 “ 亠= a刃则5 〃+赢「万的值疋―:解析：tan .cos sin £_sin 0 cos 0 cos i +sin0 _ 0 cos hn=2-；的值为 _____解析:典例剖析▼考点突破*考点一三角函数的诱导公式「茲 sin (k n +a) , cos (k n +a) ,⑶已知*sin Q + cos。
第五章第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式课件共51张PPT
(3)∵sin α＝45 且 α 为锐角∴cos α＝ 1－sin2α ＝
4
∴tanα＝csoins
α α
＝52
＝43
，故 AB 正确．
5
∴sin α＋cos α＝45
＋35
＝75
8 ≠5
，
sin α－cos α＝45 －35 ＝15 ≠－15 ，故 CD 错误．]
1－452 ＝35 ，
同角三角函数关系式的应用方法 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可实现 α 的正弦、余弦的互化，利用csoinsαα ＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化． (2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数 值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在 的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
所以 f－253π
＝cos
－253π
＝cos
π 3
＝12
.
答案：
1 2
同角三角函数基本关系式
角度一 公式的直接应用
(1)已知角
α
是第二象限角，且满足
sin
5π (2
＋α)＋3cos (α－π)＝1，
则 tan (π＋α)等于( )
A． 3
B．－ 3
C．－
3 3
D．－1
(2)(2020·北京市适应性测试)已知 α 是第四象限角，且 tan α＝－34 ，则 sin
解析： (1)因为 f(2 020)＝sin π2 ×2 020＋α ＋1＝sin (1 010π＋α)＋1
＝sin α＋1＝2，
所以 sin α＝1，cos α＝0.
所以 f(2 021)＝sin
高三数学同角三角函数和诱导公式PPT教学课件
5
求 cot的值。
四、回归原始题型
例4：已知角的顶点与直角坐标系的原点 重合，始边在X轴的正半轴上，终边经过
点 P(1,= 3x上，
用三角函数的定义，求sinβ与cotβ的值。
【思维点拨】 1）注意用三角函数的定义解
2）有参数时应分类讨论。
注：
0 1~、90诱角导的公三式角的函主数要。作用是将任意角的三角函数转化为
2、主要用途：
a) 已知一个角的三角函数 值，求此角的其他三角函数 值（①要注意题设中角的范围，②用三角函数的定义 求解会更方便）；
b) 化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式。
例题分析
一、化简三角式
例1.化简 1si6nco6s sin2sin4
同角三角函数的关系式及诱导公式
高三备课组
一、基础知识
（一） 同角三角函数的基本关系式：
①平方关系；s2 in c2 o s1
②商式关系；csion s tan
③倒数关系。tac no 1 t
（二） 正弦余弦的诱导公式：
k (kZ)与 的三角函数关系 2 是“奇变偶不变，符号看象限”。
练习：
化 s 4 in 简 n 1 c 4 o n 1 s n z 4 4
二、证明题
例2.证明： 1 2 c s o i s n c s i o n 1 s cs o i n 1 s sc i o ns
练习
求证： ttaa n n ssi i n nttaa n n ssi i n n
思维点拨：证等式常用方法：（1）左边证明 到右边或右边证明到左边（从繁到简为原则） （2）两边向中间证（3）分析法
三、条件求值的题型
例3、已知 tan2，求
高考数学第一轮基础复习 同角三角函数的基本关系及诱导公式课件
解法 2：设 tanα1＝185，α1 为锐角， 如图在 Rt△ABC 中，由 tanα1＝185， 设 AC＝8，BC＝15，则 AB＝17， ∴sinα1＝187，
∵α 为第二象限角，∴sinα>0，从而 sinα＝187. 解法 3：∵α 是第二象限角，∴sinα>0，排除 B、D， 又 tanα＝csionsαα＝－185，由勾股数组 8,15,17 知排除 A， ∴选 C.
已知
tan2α ＝ － 2
2
，
且
满
足
π 4
<α<
π 2
，
则
2cos2α2－sinα－1 2sinπ4＋α
的值为(
)
A. 2
B．－ 2
C．－3＋2 2
D．3－2 2
解析：2cos22sα2i－nπ4si＋nαα－ 1＝csionsαα＋－csoinsαα＝1ta－nαta＋nα1. 又 tan2α＝－2 2＝1－2tatannα2α
cos2
sin2
＝sinα2＋cosα2 －sinα2－cosα2
α2为第二象限角 α2为第四象限角
∴原式＝± 2sinα2＋π4. 答案：± 2sinα2＋π4
利用诱导公式进行化简求值
[例 3] 设 f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋α)，其中 a，b，
α∈R，且 ab≠0，α≠kπ (k∈Z)．若 f(2009)＝5，则 f(2010)
答案：C
点评：本题中由 sinθ＋cosθ＝ 32－1两边平方扩大了 θ 的取值范围会引起增解，必须结合 0<θ<π 与 0<sinθ＋ cosθ<1 得出π2<θ<π，进而得出|sinθ|>|cosθ|来去掉增解 tanθ ＝－ 33，故变换时必须要等价，使用不等价变换时，一 定要检验．
同角三角函数的基本关系与诱导公式 课件——2025届高三数学一轮复习
3
5
π
( x － )的最大值为(
6
A
)
1
5
sin
π
6
( x ＋ )，所以 f ( x )＝ sin
3
5
(x＋
(2)[北京高考]若函数 f ( x )＝ sin ( x ＋φ)＋ cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值
为
π
(答案不唯一)
2
.
[解析] 易知当 y ＝ sin ( x ＋φ)， y ＝ cos x 同时取得最大值1时，函数 f ( x )＝ sin ( x ＋
−cossin
2
·tan α＝
·tan2α＝－tan2α.解方程5 x
sincos
2－
3
5
3
5
7 x －6＝0，得 x 1＝－ ， x 2＝2.又α是第三象限角，∴ sin α＝－ ，∴ cos α＝
4
－ ，∴tan
5
3
9
2
α＝ .故原式＝－tan α＝－ .
4
16
命题点3 同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用
sin2 ＋cos2 ＋sincos
θ＝
＝
＝
1
sin2 ＋cos2
π
(2)[2023全国卷乙]若θ∈(0， )，tan
2
[解析] 由
－
5
.
5
sin
1
tan＝
＝ ，
cos
2
sin2 ＋cos 2 = 1，
1
θ＝ ，则
2
π
2
sin θ－ cos θ＝ －
且θ∈(0， )，解得
π
6
5
π
( x － )的最大值为(
6
A
)
1
5
sin
π
6
( x ＋ )，所以 f ( x )＝ sin
3
5
(x＋
(2)[北京高考]若函数 f ( x )＝ sin ( x ＋φ)＋ cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值
为
π
(答案不唯一)
2
.
[解析] 易知当 y ＝ sin ( x ＋φ)， y ＝ cos x 同时取得最大值1时，函数 f ( x )＝ sin ( x ＋
−cossin
2
·tan α＝
·tan2α＝－tan2α.解方程5 x
sincos
2－
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5
3
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7 x －6＝0，得 x 1＝－ ， x 2＝2.又α是第三象限角，∴ sin α＝－ ，∴ cos α＝
4
－ ，∴tan
5
3
9
2
α＝ .故原式＝－tan α＝－ .
4
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命题点3 同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用
sin2 ＋cos2 ＋sincos
θ＝
＝
＝
1
sin2 ＋cos2
π
(2)[2023全国卷乙]若θ∈(0， )，tan
2
[解析] 由
－
5
.
5
sin
1
tan＝
＝ ，
cos
2
sin2 ＋cos 2 = 1，
1
θ＝ ，则
2
π
2
sin θ－ cos θ＝ －
且θ∈(0， )，解得
π
6
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(2)注意角 -α与α- 的2 关 系，用诱导公式转化求值.
6
3
(3)利用诱导公式先化简，再求值.
【规范解答】(1)原式= 2 sin ( 6 5 ) c o s0 ta n (2 )
6
4
2 s i n 5 1 t a n 2 s i n ( ) 1 1 2 s i n 1 .
2
所以 f( 2 1 ) ta n 2 ( 2 1 ) ta n 2 ( 5 )
4
4
4
tan2()tan21.
4
4
答案：-1
【互动探究】在本例题(2)的条件下，求 cos(5)sin() 的值.
6
3
【解析】cos(5)sin()
6
3
c o s [ ( ) ] s i n [ ( ) ] c o s 2 ( ) 4 .
10
方法二：因为α为锐角，且tan(π-α)+3=0,所以-tan α+3=0即 tan α=3.在如图直角三角形中，令A=α，BC=3则AC=1，故
A B321210.
所以 sin 3 3 10.
10 10
考点1 诱导公式的应用
【典例1】(1)(2015·兰州模拟)计算：2sin( 3 1 )+cos 12π+
的值是( )
A .1 B .31 0 C .37 D .35
3 1 0
7
5
【解析】选B.方法一：由tan(π-α)+3=0得tan α=3，即 sin 3,
cos
sin α=3cos α,所以sin2α=9(1-sin2α),10sin2α=9,sin2α= 9 .
10
又因为α为锐角，所以sin α= 3 1 0 .
2
cos 120°=cos(180°-60°)=-cos 60° =1 .
2
(2)错误.在tan α= s i n中 α≠ +kπ ，k∈Z.
cos
2
(3)错误.对于正、余弦的诱导公式角α可以为任意角，而对于正切的
诱导公式α≠ ＋ kπ，k∈Z.
2
(4)正确.诱导公式的“符号看象限”中的符号是把任意角α都看成锐
64
6
6
答案：1
(2)因为 ()(2)，
6
32
所以 sin( 2 )sin[( )]
3
26
s in [ ( )] c o s ( ) 2 .
26
63
答案： 2
3
(3)因为f(x)=
sin(x) sinx
cos(x) sin[6(x)]
2
cosx[ sisn in2x (x)]scin os2x 2xtan2x.
_0_
1
_2__
2 2
3
3
1
_2__ 1 __2__ __2 __
0
cosα
_1_
3
_2__
2 2
1
_2__
0
___12 _ _ __2 3_
-1
tanα
_0_
3
_3__
1
__3 _
___3_ _ __3 3_
0
3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:统一法,整体代换法. (2)数学思想:转化与化归的思想. (3)记忆口诀:三角函数诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变,符号看象 限”.
答案:-2
3.真题小试 感悟考题 试一试
(1)(2015·泰安模拟)sin 600°的值为( )
A . 1 B .3 C .1 D . 3
2
2
2
2
【解析】选B.sin 600°=sin(360°+240°)=sin
240°=sin(180°+ 3 .
2
60°)=-sin 60°=
(2)(2015·梅州模拟)已知α为锐角，且tan(π-α)+3=0,则sin α
第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式
【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)同角三角函数的基本关系: ①平方关系:_s_i_n_2_α__+_c_o_s_2α__=_1_. ②商数关系:_t_an__=__cs_oins___.
(2)三角函数的诱导公式:
组数 一
二
三
四
2kπ+α 角 (k∈Z) π+α -α
π-α
正弦 sinα _-_s_i_n_α_ _-_s_i_n_α__ _s_i_n_α__
余弦 cosα _-_c_o_s_α_ _c_o_s_α__ _-_c_o_s_α__
正切 tanα _t_a_n_α__ _-_t_a_n_α__ _-_t_a_n_α__
五
2
_c_o_s_α__ _s_i_n_α__
六
2
_c_o_s_α__ _-_s_i_n_α__
2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)sin2α=1-cos2α,cos2α=_1_-_s_i_n_2α__.
(2)特殊角的三角函数值
角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180°
角α的 0
2
5
π
弧度数
6
4
3
2
3
6
sinα
角时原函数值的符号，因而与α的大小无关.
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2.教材改编 链接教材 练一练
(1)(必修4P21T5改编)已知f(x)= sin (x ) 2 sin (x ) 4 c o s2 x
4
4
3cos(x 3 ), 则f(- )的值为( )
4
4
A.0
B.1
C.-5
D.-9
【解析】选C.f(- ) =sin 0+2sin(- )- 4cos(- )+ 3cos(-π)=
4
2
2
0+2×(-1)-4×0+3×(-1)=-5.
(2)(必修4P22T3改编)已知tan α=-2,则 3sin cos =______.
sin2cos2
【解析】原式= ta3nta2n 14612.
6
tan 7 =______.
4
(2)已知cos( -α)= 2 ，则sin(α- 2 )=_____.
6
3
3 sin(2
x)
cos(
3
x)
(3)(2015·淮南模拟)已知f(x)=
2
,
则f( 2 1 )=________.
cos(3 x) sin(11 x) 2
4
【解题提示】(1)利用诱导公式化大角为小角，再求值.
【小题快练】
1.思考辨析静心思考判一判
(1)120°角的正弦值是 1
2
，余弦值是
3 .(
2
)
(2)同角三角函数关系式中的角α是任
(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与α
的大小无关.( )
【解析】(1)错误.sin 120°=sin(180°-60°)=sin 60°= 3 ,