三角函数诱导公式大全
三角函数诱导公式大全
三角函数诱导公式大全1.正弦函数诱导公式：正弦函数的诱导公式是通过余弦函数定义和平方性质得到的。
sin^2A + cos^2A = 1根据这个公式，我们可以得到以下诱导公式：sin(-A) = -sinAsin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinBsin2A = 2sinAcosAsin3A = 3sinA - 4sin^3A2.余弦函数诱导公式：余弦函数的诱导公式是通过正弦函数定义和平方性质得到的。
sin^2A + cos^2A = 1根据这个公式，我们可以得到以下诱导公式：cos(-A) = cosAcos(A ± B) = cosA cosB - sinA sinBcos2A = cos^2A - sin^2A = 2cos^2A - 1 = 1 - 2sin^2Acos3A = 4cos^3A - 3cosA3.正切函数诱导公式：正切函数的诱导公式是通过正弦函数和余弦函数诱导公式得到的。
tanA = sinA / cosA根据正弦函数和余弦函数诱导公式，我们可以得到以下诱导公式：tan(-A) = -tanAta n(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB)tan2A = 2tanA / (1 - tan^2A)tan3A = (3tanA - tan^3A) / (1 - 3tan^2A)4.余切函数诱导公式：余切函数的诱导公式是通过正切函数的诱导公式得到的。
cotA = 1 / tanA根据正切函数的诱导公式，我们可以得到以下诱导公式：cot(-A) = -cotAcot(A ± B) = (cotA cotB ∓ 1) / (cotB ± cotA)cot2A = (1 - tan^2A) / 2tanAcot3A = (3cotA - cot^3A) / (cot^2A - 3)5.正割函数诱导公式：正割函数的诱导公式是通过余弦函数的诱导公式得到的。
诱导公式总结大全
tan3am(3tan—tan八3(a))/(1-3ta门八2(a))
sin3 om sin(2(+a msin2acos+cos2asina
m2sinacosA2(+)1—2sin八2(a))sina
m2sina—2si门八3(a+sin—2sin八3(a)
=3sina—4si门八3(a)
tan( a+ B)=(tan+tanB)/(1—tana •tanB)
tan( a— B) =(tan—tanB)/(1+tana •tanB)
二倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2a2sinacosa
cos2aCOSA2(a—SinA2(a¥2COSA2(a—1a1—2sinA2(a)
tan2a2tana/(1—tan八2(a))
变”是指正弦变余弦，正切变余切。(反之亦然成立)符号看象限”的含
义是：把角a看做锐角，不考虑a角所在象限，看n•(n/2)是第几象限角， 从而得到等式右边是正号还是负号。一全正；二正弦；三两切；四余弦
这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都
是+”第二象限内只有正弦是+”其余全部是第三象限内只有
sin—sin#2cos((r B)/2)•sin((帥/2)
cosa+cosB=2cos((rB)/2)•cos— B)/2) cosa—cosB=—2sin((+B)/2)•sin— B)/2)
三角函数的积化和差公式
sina・cosBsin(+ B +sin(— B)]
cosa・si牛Bsin(+ B —sin(— B)]
三角函数诱导公式大全
三角函數誘導公式大全三角函数诱导公式常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与αsin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：的三角函数值之间的关系：对于k2π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）例如：，k＝4为偶数，所以取sinα。
－α）＝sin(42π/2－α）sin(2π当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。
三角函数诱导公式全集
三角函数诱导公式全集三角函数诱导公式一：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）=-sinαcos（-α）=cosαtan（-α）=-tanαcot（-α）=-cotα三角函数诱导公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）=-sinαcos（π+α）=-cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotα三角函数诱导公式三：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）=sinαcos（π-α）=-cosαtan（π-α）=-tanαcot（π-α）=-cotα三角函数诱导公式四：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinα(k∈Z)cos（2kπ+α）=cosα(k∈Z)tan（2kπ+α）=tanα(k∈Z)cot（2kπ+α）=cotα(k∈Z)三角函数诱导公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）=-sinαcos（2π-α）=cosαtan（2π-α）=-tanαcot（2π-α）=-cotα三角函数诱导公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=-sinαtan（π/2+α）=-cotαcot（π/2+α）=-tanαsin（π/2-α）=cosαcos（π/2-α）=sinαtan（π/2-α）=cotαcot（π/2-α）=tanαsin（3π/2+α）=-cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=-cotαcot（3π/2+α）=-tanαsin（3π/2-α）=-cosαcos（3π/2-α）=-sinαtan（3π/2-α）=cotαcot（3π/2-α）=tanα（以上k∈Z）注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
三角函数的诱导公式【六公式】
）/ ）
九倍角
sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2 ）* （ 64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3 ））
cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2 ）* （ 64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3 ））
tan9A=tanA* （ 9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8 ） / （1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8 ）
例. c^3=c*c^2=c* （1-s^2 ）， c^5=c*(c^2 ） ^2=c* （ 1-s^2 ） ^2 ）
特殊公式
（sina+sin θ） * （ sina- sin θ） =sin （a+θ） *sin （ a- θ）
证明：（sina+sin θ） *（ sina- sin θ） =2 sin[ （θ +a)/2] cos[(a - θ)/2] *2 cos[ （θ +a)/2] sin[(a- θ） /2]
tan （α +β+γ） =（tan α+tan β+tan γ - tan α· tan β· tan γ） / （1- tan α· tan β - tan β· tan γ - tan α· tan γ）
（α +β+γ≠π /2+2k π，α、β、γ≠π /2+2k π）
积化和差的四个公式
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
三角函数 高中数学诱导公式大全
常用得诱导公式有以下几组:公式一:设α为任意角,终边相同得角得同一三角函数得值相等:sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)公式二:设α为任意角,π+α得三角函数值与α得三角函数值之间得关系: sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三:任意角α与 -α得三角函数值之间得关系:sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四:利用公式二与公式三可以得到π-α与α得三角函数值之间得关系: sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五:利用公式一与公式三可以得到2π-α与α得三角函数值之间得关系: sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六:π/2±α及3π/2±α与α得三角函数值之间得关系:sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)注意:在做题时,将a瞧成锐角来做会比较好做。
诱导公式记忆口诀规律总结上面这些诱导公式可以概括为:对于π/2*k ±α(k∈Z)得三角函数值,①当k就是偶数时,得到α得同名函数值,即函数名不改变;②当k就是奇数时,得到α相应得余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan、(奇变偶不变)然后在前面加上把α瞧成锐角时原函数值得符号。
三角函数诱导公式大全
三角函数诱导公式大全三角函数诱导公式三角函数诱导公式一：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα三角函数诱导公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα三角函数诱导公式三：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα三角函数诱导公式四：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)三角函数诱导公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα三角函数诱导公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)2诱导公式作用及用法一、三角函数诱导公式的作用：可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数。
三角函数-高中数学诱导公式大全
常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
诱导公式记忆口诀规律总结上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变;②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot，cot→tan.(奇变偶不变)然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
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三角函数得求导公式就是什么？tanα·cotα＝1sinα·cscα＝1cosα·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝11＋tan2α＝sec2α1＋cot2α＝csc2α诱导公式sin(－α)＝－sinαcos(－α)＝cosα tan(－α)＝－tanαcot(－α)＝－cotαsin(π/2－α)＝cosαcos(π/2－α)＝sinαtan(π/2－α)＝cotαcot(π/2－α)＝tanαsin(π/2＋α)＝cosαcos(π/2＋α)＝－sinαtan(π/2＋α)＝－cotαcot(π/2＋α)＝－tanαsin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝－cosαtan(π－α)＝－tanαcot(π－α)＝－cotαsin(π＋α)＝－sinαcos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tanαcot(π＋α)＝cotαsin(3π/2－α)＝－cosαcos(3π/2－α)＝－sinαtan(3π/2－α)＝cotαcot(3π/2－α)＝tanαsin(3π/2＋α)＝－cosαcos(3π/2＋α)＝sinαtan(3π/2＋α)＝－cotαcot(3π/2＋α)＝－tanαsin(2π－α)＝－sinαcos(2π－α)＝cosαtan(2π－α)＝－tanαcot(2π－α)＝－cotαsin(2kπ＋α)＝sinαcos(2kπ＋α)＝cosαtan(2kπ＋α)＝tanαcot(2kπ＋α)＝cotα(其中k∈Z)两角与与差得三角函数公式万能公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβsin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβcos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβcos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtan(α＋β)＝——————1－tanα·tanβtanα－tanβtan(α－β)＝——————1＋tanα·tanβ2tan(α/2)sinα＝——————1＋tan2(α/2)1－tan2(α/2)cosα＝——————1＋tan2(α/2)2tan(α/2)tanα＝——————1－tan2(α/2)半角得正弦、余弦与正切公式三角函数得降幂公式二倍角得正弦、余弦与正切公式三倍角得正弦、余弦与正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α三角函数得与差化积公式三角函数得积化与差公式α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－—2 2α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—2 2α＋βα－βcosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—2 2α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－—2 2 1sinα·cosβ＝-[sin(α＋β)＋sin(α－β)]21cosα·sinβ＝-[sin(α＋β)－sin(α－β)]21cosα·cosβ＝-[cos(α＋β)＋cos(α－β)]21sinα·sinβ＝－ -[cos(α＋β)－cos(α－β)]2化asinα±bcosα为一个角得一个三角函数得形式(辅助角得三角函数得公式)这就是公式塞！其实其她公式都就是前3个公式推得！炎炎19812009-03-30 12:45:57COS求导就是-SIN,SIN求导就是COS,ARCSINX求导就是1/根号下1-X平方,ARCCOS求导就是-1/根号下1-X平方。
错得话别骂我bozq1882009-11-10 21:12:37式一:设α为任意角,终边相同得角得同一三角函数得值相等:sin(2kπ＋α)＝sinαcos(2kπ＋α)＝cosαtan(2kπ＋α)＝tanαcot(2kπ＋α)＝cotα公式二:设α为任意角,π+α得三角函数值与α得三角函数值之间得关系:sin(π＋α)＝－sinαcos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tanαcot(π＋α)＝cotα公式三:任意角α与 -α得三角函数值之间得关系:sin(－α)＝－sinαcos(－α)＝cosαtan(－α)＝－tanαcot(－α)＝－cotα公式四:利用公式二与公式三可以得到π-α与α得三角函数值之间得关系: sin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝－cosαtan(π－α)＝－tanαcot(π－α)＝－cotα公式五:利用公式一与公式三可以得到2π-α与α得三角函数值之间得关系: sin(2π－α)＝－sinαcos(2π－α)＝cosαtan(2π－α)＝－tanαcot(2π－α)＝－cotα公式六:π/2±α及3π/2±α与α得三角函数值之间得关系:sin(π/2＋α)＝cosαcos(π/2＋α)＝－sinαtan(π/2＋α)＝－cotαcot(π/2＋α)＝－tanαsin(π/2－α)＝cosαcos(π/2－α)＝sinαtan(π/2－α)＝cotαcot(π/2－α)＝tanαsin(3π/2＋α)＝－cosαcos(3π/2＋α)＝sinαtan(3π/2＋α)＝－cotαcot(3π/2＋α)＝－tanαsin(3π/2－α)＝－cosαcos(3π/2－α)＝－sinαtan(3π/2－α)＝cotαcot(3π/2－α)＝tanα(以上k∈Z)票数: 5图题涂题2009-11-21 22:19:16三角函数目录[隐藏]起源同角三角函数间得基本关系式: 三角函数得诱导公式正余弦定理三角恒等式部分高等内容三角函数得计算三角函数定义域与值域初等三角函数导数反三角函数起源同角三角函数间得基本关系式:三角函数得诱导公式正余弦定理三角恒等式部分高等内容三角函数得计算三角函数定义域与值域初等三角函数导数反三角函数起源历史表明,重要数学概念对数学发展得作用就是不可估量得,函数概念对数学发展得影响,可以说就是贯穿古今、旷日持久、作用非凡,回顾函数概念得历史发展,瞧一瞧函数概念不断被精炼、深化、丰富得历史过程,就是一件十分有益得事情,它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识得清晰度,而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展,数学学习得巨大作用.(一)马克思曾经认为,函数概念来源于代数学中不定方程得研究.由于罗马时代得丢番图对不定方程已有相当研究,所以函数概念至少在那时已经萌芽.自哥白尼得天文学革命以后,运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣得问题,人们在思索:既然地球不就是宇宙中心,它本身又有自转与公转,那么下降得物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行得轨道就是椭圆,原理就是什么?还有,研究在地球表面上抛射物体得路线、射程与所能达到得高度,以及炮弹速度对于高度与射程得影响等问题,既就是科学家得力图解决得问题,也就是军事家要求解决得问题,函数概念就就是从运动得研究中引申出得一个数学概念,这就是函数概念得力学来源.(二)早在函数概念尚未明确提出以前,数学家已经接触并研究了不少具体得函数,比如对数函数、三角函数、双曲函数等等.1673年前后笛卡儿在她得解析几何中,已经注意到了一个变量对于另一个变量得依赖关系,但由于当时尚未意识到需要提炼一般得函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分得时候,数学家还没有明确函数得一般意义.1673年,莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”,后来她用该词表示曲线上点得横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点得有关几何量.由此可以瞧出,函数一词最初得数学含义就是相当广泛而较为模糊得,几乎与此同时,牛顿在微积分得讨论中,使用另一名词“流量”来表示变量间得关系,直到1689年,瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念得基础上,对函数概念进行了明确定义,贝努里把变量x与常量按任何方式构成得量叫“x得函数”,表示为yx、当时,由于连接变数与常数得运算主要就是算术运算、三角运算、指数运算与对数运算,所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x与常数c而成得式子,取名为解析函数,还将它分成了“代数函数”与“超越函数”.18世纪中叶,由于研究弦振动问题,达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意得函数”得说法.在解释“任意得函数”概念得时候,达朗贝尔说就是指“任意得解析式”,而欧拉则认为就是“任意画出得一条曲线”.现在瞧来这都就是函数得表达方式,就是函数概念得外延.(三)函数概念缺乏科学得定义,引起了理论与实践得尖锐矛盾.例如,偏微分方程在工程技术中有广泛应用,但由于没有函数得科学定义,就极大地限制了偏微分方程理论得建立.1833年至1834年,高斯开始把注意力转向物理学.她在与W·威伯尔合作发明电报得过程中,做了许多关于磁得实验工作,提出了“力与距离得平方成反比例”这个重要得理论,使得函数作为数学得一个独立分支而出现了,实际得需要促使人们对函数得定义进一步研究.后来,人们又给出了这样得定义:如果一个量依赖着另一个量,当后一量变化时前一量也随着变化,那么第一个量称为第二个量得函数.“这个定义虽然还没有道出函数得本质,但却把变化、运动注入到函数定义中去,就是可喜得进步.”在函数概念发展史上,法国数学家富里埃得工作影响最大,富里埃深刻地揭示了函数得本质,主张函数不必局限于解析表达式.1822年,她在名著《热得解析理论》中说,“通常,函数表示相接得一组值或纵坐标,它们中得每一个都就是任意得……,我们不假定这些纵坐标服从一个共同得规律;她们以任何方式一个挨一个.”在该书中,她用一个三角级数与得形式表达了一个由不连续得“线”所给出得函数.更确切地说就就是,任意一个以2π为周期函数,在〔－π,π〕区间内,可以由表示出,其中富里埃得研究,从根本上动摇了旧得关于函数概念得传统思想,在当时得数学界引起了很大得震动.原来,在解析式与曲线之间并不存在不可逾越得鸿沟,级数把解析式与曲线沟通了,那种视函数为解析式得观点终于成为揭示函数关系得巨大障碍.通过一场争论,产生了罗巴切夫斯基与狄里克莱得函数定义.1834年,俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数得定义:“x得函数就是这样得一个数,它对于每个x都有确定得值,并且随着x一起变化.函数值可以由解析式给出,也可以由一个条件给出,这个条件提供了一种寻求全部对应值得方法.函数得这种依赖关系可以存在,但仍然就是未知得.”这个定义建立了变量与函数之间得对应关系,就是对函数概念得一个重大发展,因为“对应”就是函数概念得一种本质属性与核心部分.1837年,德国数学家狄里克莱(Dirichlet)认为怎样去建立x与y之间得关系无关紧要,所以她得定义就是:“如果对于x得每一值,y总有完全确定得值与之对应,则y就是x得函数.”根据这个定义,即使像如下表述得,它仍然被说成就是函数(狄里克莱函数): f(x)= 1(x为有理数),0(x为无理数).在这个函数中,如果x由0逐渐增大地取值,则f(x)忽0忽1.在无论怎样小得区间里,f(x)无限止地忽0忽1.因此,它难用一个或几个式子来加以表示,甚至究竟能否找出表达式也就是一个问题.但就是不管其能否用表达式表示,在狄里克莱得定义下,这个f(x)仍就是一个函数.狄里克莱得函数定义,出色地避免了以往函数定义中所有得关于依赖关系得描述,以完全清晰得方式为所有数学家无条件地接受.至此,我们已可以说,函数概念、函数得本质定义已经形成,这就就是人们常说得经典函数定义.(四)生产实践与科学实验得进一步发展,又引起函数概念新得尖锐矛盾,本世纪20年代,人类开始研究微观物理现象.1930年量子力学问世了,在量子力学中需要用到一种新得函数——δ-函数,即ρ(x)＝ 0,x≠0,∞,x=0.且δ-函数得出现,引起了人们得激烈争论.按照函数原来得定义,只允许数与数之间建立对应关系,而没有把“∞”作为数.另外,对于自变量只有一个点不为零得函数,其积分值却不等于零,这也就是不可想象得.然而,δ-函数确实就是实际模型得抽象.例如,当汽车、火车通过桥梁时,自然对桥梁产生压力.从理论上讲,车辆得轮子与桥面得接触点只有一个,设车辆对轨道、桥面得压力为一单位,这时在接触点x=0处得压强就是P(0)=压力／接触面=1／0=∞.其余点x≠0处,因无压力,故无压强,即P(x)=0、另外,我们知道压强函数得积分等于压力,即函数概念就在这样得历史条件下能动地向前发展,产生了新得现代函数定义:若对集合M得任意元素x,总有集合N确定得元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f(x)、元素x称为自变元,元素y称为因变元.函数得现代定义与经典定义从形式上瞧虽然只相差几个字,但却就是概念上得重大发展,就是数学发展道路上得重大转折,近代得泛函分析可以作为这种转折得标志,它研究得就是一般集合上得函数关系.函数概念得定义经过二百多年来得锤炼、变革,形成了函数得现代定义,应该说已经相当完善了.不过数学得发展就是无止境得,函数现代定义得形式并不意味着函数概念发展得历史终结,近二十年来,数学家们又把函数归结为一种更广泛得概念—“关系”.设集合X、Y,我们定义X与Y得积集X×Y为X×Y=｛(x,y)｜x∈X,y∈Y｝.积集X×Y中得一子集R称为X与Y得一个关系,若(x,y)∈R,则称x与y有关系R,记为xRy、若(x,y)R,则称x与y无关系.现设f就是X与Y得关系,即fX×Y,如果(x,y),(x,z)∈f,必有y=z,那么称f为X 到Y得函数.在此定义中,已在形式上回避了“对应”得术语,全部使用集合论得语言了.从以上函数概念发展得全过程中,我们体会到,联系实际、联系大量数学素材,研究、发掘、拓广数学概念得内涵就是何等重要.三角函数就是数学中属于初等函数中得超越函数得一类函数。