两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)
(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
成功是必须的:两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C( a — 3 ): cos( a — 3 )= S( a + 3 ): sin( a + 3 )=T( a + 3 ): tan( a + 3 )=2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2 : sin2 a = C( a + 3 ): cos( a + 3 )= S( a — 3 ): T( a — 3 )： 2h例 2 设 cos a —21 9’T 2 : tan2 . asin 2 — 23,其中n 2,n0, 2，求 cos( a+ 3).sin( a — 3 )= tan( a — 3 )= C 2 : cos2 a =— — ,3、 在准确熟练地记住公式的基础上 ，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等。
如T( a± 3可变形为：tan a± tan 3= 考点自测： 1、已知tan A 、7 11 B、 tan 3 = 3, 7 11 变式2:已知03.ncos(— 4 435，sin( 4)—,求 sin( a + 3 )的值. 13则 tan( a C 、？ 13 tan a an 3= 3)=( 13 题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围;值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调 )；(3)求出角。
1 1例 3 已知 a, 3^ (0, n,且 tan (a — 3 ="2, tan 3=— 7 求 2 a — 3 的值.(2)求角的某一个三角函数n a — 6 +A —症A . 5 2、已知cos 3、在厶ABC 中，若 sin a= 43」 B辺B.5 4 q 5cosA = 5，cosB = 13, B 56 B.65sin 7 n a+舀的值是( C . — 4 5 则cosC 的值是( c 丄或56 C.65或65 4、若 cos2 9+ cos 0= 0,贝U sin2 0+ sin B 的值等于( )C . 0 或 3 4D ・516 65 0或土 3A . 0B . ± 3 一.卜 2cos55 — j‘3sin55、二角式 A 辽 2 题型训练 题型1给角求值 一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 cos5B.o■值为( 例 1 求[2si n50 sin 10 (1 3tan10)]? 2sin 280 的值• 11变式3:已知tan a =, tan 3 =-，并且a , 3均为锐角，求a +23的值.7 3题型4辅助角公式的应用J 22asinx bcosx a b sin x (其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定，角的值由btan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)两角和差的正弦余弦正切公式练题一、选择题1.给出如下四个命题：①对于任意的实数α和β，等式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ恒成立；②存在实数α，β，使等式cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ能成立；③公式tan(α+β)=tanα+tanβ成立的条件是α≠kπ+π(k∈Z)且β≠kπ+π(k∈Z)；1-tanαtanβ/2④不存在无穷多个α和β，使sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。
其中假命题是（）A。
①②B。
②③C。
③④D。
②③④2.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是（）A。
1+2B。
2-1C。
2D。
2/33.当x∈[-π/2,π/2]时，函数f(x)=sinx+3cosx的（）A。
最大值为1，最小值为-1B。
最大值为1，最小值为-1/2C。
最大值为2，最小值为-2D。
最大值为2，最小值为-14.已知tan(α+β)=7，tanαtanβ=2/3，则cos(α-β)的值（）A。
1/2B。
2/2C。
-2D。
±25.已知π/2<β<α<3π/4，cos(α-β)=12/13，sin(α+β)=-3/5，则sin2α=（）A。
56/65B。
-56/65C。
6565/56D。
-5/66.sin15°sin30°sin75°的值等于（）A。
3/4B。
3/8C。
1/8D。
1/47.函数f(x)=tan(x+π/4)+1+tanx/4，g(x)=1-tanx，h(x)=cot(π/4-x)。
其中为相同函数的是（）A。
f(x)与g(x)B。
g(x)与h(x)C。
h(x)与f(x)D。
f(x)与g(x)及h(x)8.α、β、γ都是锐角，tanα=1/2，tanβ=1/5，tanγ=1/8，则α+β+γ等于（）A。
π/3B。
π/4C。
π/5D。
三角函数恒等变换练习题与答案详解
两角和与差的正弦、余弦、正切1. 利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换;2•利用三角变换讨论三角函数的图象和性质2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2•灵活使用（正用、逆用、变形用）两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键•知识点回顾1 •两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos( a—0)= cos acos0+ sin ocsin0(C a- 0cos( a+ 0)= cos. acos _ 0—sin__ asin_ 0(C a+ 0sin( a—0 = sin a cos0- cos ocsin(S a—0sin( a+ 0 = sin a cos0+ cos ocsin0(S a+ 0tan a—tan 卩tan( a—® ；(T a—01 + tan atan 卩tan a+ tan 卩tan(%+ ® = (T a + 01 —tan %tan 02 •二倍角公式sin 2 a= 2sin ： cos：；cos 2 a= cos2a—sin2a= 2cos 2a—1 = 1 —2sin2a；2ta n atan 2 a= .1 —tan a3 •在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等•如T a±0可变形为tan a± tan 0= tan( a± 0(1? tan_ %tan_ 0,tan a+ tan 0 tan a—tan 0tan %tan 0= 1 —= —1.tan a+ 0 tan a—04 • 函数f( a= a cos a+ b sin a(a, b 为常数),可以化为f( a = \i a2+ b2sin( a+ 0)或f( %)='：：：［a2+b2cos( a—0),其中0可由a, b的值唯一确定.［难点正本疑点清源］三角变换中的三变”(1) 变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是配凑”.(2) 变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有切化弦”、升幕与降幕”等.(3) 变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有换”、逆用变用公式”、通分约分”、分解与组合”、配方与平方”等.热身训练2 1 tan a1. 已知sin( a+ , sin( a—3 =—-，贝U 的值为 ____________ .3 5 tan 32. 函数f(x)= 2sin x(sin x+ cos x)的单调增区间为________________________3. (2012江苏)设a为锐角，若cos = 4,则I 6丿5sin a+ COS a1则tan 2 a等于( )4. (2012江西)若=sin a一(cos a23344A.—-B.C.—-D._4433n15. (2011 辽宁)设sin(+4B)= 3，则sin 2 B等于( )7117A.—_B. 一—C- D._9999典例分析题型一三角函数式的化简、求值问题【例1】(1)化简:I 1 a、f—tan _ |a 2 | 1 + tan a •⑵求值：［2sin 50 ° + sin 10 3tan (10 +° 摩in 280 °常值代a tan"；2丿变J： i.l兔I在厶ABC中，已知三个内角AA, B, C成等差数列，则tan-2 + tan 值为 _______题型二三角函数的给角求值与给值求角问题【例2]n(1)已知0<仟_<2口r兀、a n,且cos II 2丿1_, sin9求cos（a+ 3的值；1⑵已知a,氏（0, n ）且tan（「沪2，tan A1~,求2 a-卩的值.A C—ta n 一的 2 2题型三三角变换的简单应用f 1 \f 兀、【例 3】 已知 f(x) = 1 + ------ [sin 2x — 2sin x +— !'I tan x 丿 < 4 丿(1)若 tan a = 2,求 f ( a 的值;变式训练2 已知COSa=13 nCOS ( a — ®=，且 0< 仟 ％<一，求(3.14 2n n求f(x)的取值范围⑵若x€五，2变出讣映3已知函数f(x)= J3sin i 2x厂+2sin2「-巨丿x R)-⑴求函数f(x)的最小正周期；⑵求使函数f(x)取得最大值时x的集合.利用三角变换研究三角函数的性质典例：(12分)(2011 •北京)已知函数f(x) = 4cos x - si(x +巴L 1 I 6丿(1)求f(x)的最小正周期；⑵求f(x)在区间，一上的最大值和最小值•II 6 4总结方法与技巧巧用公式变形和差角公式变形：tan x ± tai y = tan （x 土y ） • ?1tan x tan y ）；有-a 2 + b 2>|y |. 3.重视三角函数的 三变”：三变”是指变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名 、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形 式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形 4.已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧 ：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加 减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值 ，可使所求的复杂问题简单化. 5.熟悉三角公式的整体结构，灵活变换.本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构 ，更 要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形 失误与防范1 .运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意1 ”的各种变通.所对应的角 a +卩不是唯一的2 .在(0, n 范围内，Sin( a + (3)=23.在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值倍角公式变形：降幕公式cos1 + COS2 a1 — COS2 a2a=, Sin a=配方变形：1 ± sin a =sin2 ± aCOS 2,1 + cos2丿a aa = 2cos 2—, 1 — cos a = 2sin 2—.2 2利用辅助角公式求最值 、单调区间、周期. 由 y = a sin a + b cos a = A / a 2 + b 2sin （ a + 0）（其中 tan 0=_ ）过手训练（时间：25分钟，满分：43分）、选择题（每小题5分，共15分）函数 f (x )= sin x + - 3cos x 的A. 最大值是1 ,最小值是一 11B. 最大值是1 ,最小值是一—2C. 最大值是2,最小值是一 2 D .最大值是2,最小值是一 1、填空题（每小题5分，共15分）已知锐角 a 满足cos 2 a= cos贝U sin 2a = 已知cos —= MU 丿13 a€ 0,-, .4cos 2 a 则― sin（2012山东 ＞若灰一4'2sin 23 A.— 54 B.- 53 D.— 4已知tan （z=5怕…144 '那么tanJIn4等于13 A.— 1813 B.— 223 c.— 221 D7 6n n 当-尹笃时，三、解答题（13分）（2012广东）已知函数f （x ） = 2cos B X +二i （其中o>0 , x € R ）的最小正周期为I 6丿⑴求co 的值；课后习题、选择题（每小题5分，共20分）6.设x €0, 一 i,贝V 函数y = 2si n 2x + 1的最小值为sin 2 x:(5、65 \ 阻0, — ,f 5 a+ — nf 5 (3-_n2< 3丿5< 6丿⑵设a ,16=石，求COS （计®的值. （时间：35分钟, 满分：57分）(2012江西)若tan1°+恳4，则sin 2。
2022秋新教材高中数学第五章两角和与差的正弦余弦正切公式课后提能训练新人教A版必修第一册
第五章 5.5.1 第2课时A级——基础过关练1．sin 105°的值为( )A．B．C．D．【答案】D 【解析】sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°·cos 60°＋cos 45°sin 60°＝×＋×＝.2．(多选)下列四个选项，化简正确的是( )A．cos(－15°)＝B．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝D．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝【答案】BCD 【解析】对于A，(方法一)原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝，(方法二)原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝，A错误．对于B，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B正确．对于C，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝，C正确．对于D，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝，D正确．故选BCD．3．(2020年青岛高一期中)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－，则tan β＝( )A．2B．C．D．【答案】A 【解析】因为α，β为锐角，所以0＜α＋β＜π，所以sin(α＋β)＝＝，tan(α＋β)＝＝－2，则tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝2.故选A．4．(2020年抚州高一期中)已知cos＝2cos(π＋α)，且tan(α＋β)＝，则tan β的值为( )A．－7B．7C．1D．－1【答案】B 【解析】因为cos＝2cos(π＋α)，所以sin α＝－2cos α，即 tan α＝－2.又因为tan(α＋β)＝＝＝，解得tan β＝7.故选B．5．已知cos(α－β)＝，sin β＝－，且α∈，β∈，则cos α＝( )A．B．C．－ D．－【答案】B 【解析】因为0＜α＜，－<β<0，所以0＜α－β＜π.又cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝.因为－<β<0，sin β＝－，所以cos β＝.所以cos α＝cos[(α－β)＋β]＝cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β＝×－×＝.6．(2020年上海黄浦区高一期中)已知sin x＝，x∈，则tan的值等于________．【答案】－ 【解析】因为sin x＝，x∈，所以cos x＝－，tan x＝－.所以tan＝＝＝－.7．若sin α＋2cos α＝0(0＜α＜π)，则tan α＝________，tan＝________.【答案】－2 － 【解析】因为sin α＋2cos α＝0(0＜α＜π)，所以sin α＝－2cos α，即tan α＝－2.所以tan＝＝＝－.8．(2020年湘潭高一期中)已知tan α，tan β是方程2x2＋3x－5＝0的两个实数根，则tan(α＋β)＝________.【答案】－ 【解析】因为tan α，tan β是方程2x2＋3x－5＝0的两个实数根，所以tan α＋tan β＝－，tan αtan β＝－.所以tan(α＋β)＝＝＝－.9．已知cos α＝(α为第一象限角)，求cos，sin的值．解：因为cos α＝，且α为第一象限角，所以sin α＝ ＝＝.所以cos＝cos cos α－sin sin α＝×－×＝，sin＝sincos α＋cossin α＝×＋×＝.B级——能力提升练10．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝( )A．±1B．1C．－1D．0【答案】D 【解析】原式＝sin[60°＋(θ＋15°)]＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝－cos(θ＋15°)＋sin(θ＋15°)＋cos(θ＋45°)＝sin(θ－45°)＋cos(θ＋45°)＝0.故选D．11．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为( )A．－B．C．D．－【答案】A 【解析】tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝＝－.12．在△ABC中，cos A＝，cos B＝，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形【答案】B 【解析】由题意得sin A＝，sin B＝，所以cos C＝cos(π－A－B)＝－cos(A＋B)＝－cos A·cos B＋sin A sin B＝－×＋×＝－＝－＝－<0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．13．在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan A·tan B，则角C等于( )A．B．C．D．【答案】A 【解析】由已知，得tan A＋tan B＝·(tan A tan B－1)，即＝－.所以tan(A ＋B)＝－.所以tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝，得C＝.14．已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.(1)求cos(2α－β)的值；(2)求β的值．解：(1)因为α，β∈，所以α－β∈.又因为sin(α－β)＝>0，所以0<α－β<.所以sin α＝＝，cos(α－β)＝＝.cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝×－×＝.(2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.又因为β∈，所以β＝.C级——探究创新练15．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2－2cos2x(x∈R)．(1)求函数f(x)的周期和递增区间；(2)若函数g(x)＝f(x)－m在上有两个不同的零点x1，x2，求tan(x1＋x2)的值．解：(1)因为f(x)＝(sin x＋cos x)2－2cos2x＝1＋2sin x·cos x－2cos2x＝sin 2x－cos 2x＝sin(x∈R)，所以函数f(x)的周期T＝＝π.因为函数y＝sin x的单调递增区间为(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，化简得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，即(k∈Z)．(2)因为方程g(x)＝f(x)－m＝0同解于f(x)＝m.在直角坐标系中画出函数f(x)＝sin在上的图象，如图，当且仅当m∈[1，)时，方程f(x)＝m在上的区间和有两个不同的解x1、x2，且x1与x2关于直线x＝对称，即＝，所以x1＋x2＝，故tan(x1＋x2)＝tan＝－1.。
完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题
完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题两角和与差的正弦、余弦、正切cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ1、求值：1)cos15°2)cos80°cos20°+sin80°sin20°3)cos130°cos10°+sin130°sin10°5)sin75°7)cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB2.1)证明：cos(π/2-α)=sinα4)cos105°6)求cos75°cos105°+sin75°sin105°8)cos91°cos29°-sin91°sin29°2)已知sinθ=15π，且θ为第二象限角，求cos(θ-π)的值．3)已知sin(30°+α)=√3/2，60°<α<150°，求cosα．4)化简cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)．5)已知sinα=-4/5，求cosα的值。
6)已知cosα=-3π/32，α∈(π/2,π)，求sin(α+π/4)的值。
7)已知α，β都是锐角，cosα=32π/53，α∈(π/3,π/2)，cosβ=-3π/52，β∈(π/6,π/4)，求cos(α+β)的值。
8)已知cos(α+β)=-11/53，求cosβ的值。
9)在△ABC中，已知sinA=√3/5，cosB=1/4，求cosC的值.两角和与差的正弦sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ利用和差角公式计算下列各式的值：1)sin72°cos42°-cos72°sin42°2)3sinx+cosx3)cos2x-sin2x证明：1)sinα+cosα=sin(α+π/2)2)cosθ+sinθ=2sin(θ+π/4)3)2(sin x+cos x)=2cos(x-π/4)1)已知sinα=-3/5，α是第四象限角，求sin(-α)的值。
第3讲 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式(练习)原卷版
第3讲 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式（练习）夯实基础一、单选题1．（2020·上海高一课时练习）满足cos cos sin sin 2=+αβαβ的一组,αβ的值是（ ）．A ．133,124==απβπ B ．,23==ππαβC ．,26ππαβ==D ．,36ππαβ==2．（2020·上海高一课时练习）若sin cos ()2,()2,==∈x x f x g x x R ，则函数()()f x g x ⋅必有（ ）A ．最大值4B ．最小值4C ．最大值D ．最小值3．（2020·上海高一课时练习）下列关系中，角α存在的是（ ） A ．3sin cos 2αα+=B ．4sin cos 3αα+=C ．1sin 3α=且2cos 3α= D ．cos sin -=αα4．（2020·上海高一课时练习）如果21tan(),tan 544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，那么tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1318B ．1322C ．322D ．165．（2020·上海高一课时练习）已知α、β均为锐角，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()sin sin sin αβαβ+>+B ．()sin sin sin αβαβ+<+C ．()cos cos cos αβαβ+>+D ．()cos sin sin αβαβ+<+6．44x x ππ⎛⎫⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的化简结果是（）A ．512x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．512x π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．712x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．712x π⎛⎫-⎪⎝⎭二、填空题7．（2020·上海高一课时练习）化简：在ABC 中，cos cos()sin sin()⋅++⋅+=A A C B B C ________．8．（2020·上海高一课时练习）若31sin cos 444x x ππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 4x =______. 9．（2020·上海高一课时练习）sin15°+cos15°=__.10．（2020·上海高一课时练习）若3sin α4cos α，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．11．（2020·上海高一课时练习）若tan 36⎛⎫+= ⎪⎝⎭πα，则tan α=_________． 12．（2020·上海高一课时练习）求值：tan 22tan 383tan 22tan 38++⋅=____________．13．（2020·上海高一课时练习）若4sin 5α，cot 3β=，且α是第二象限角，则tan αβ________．14．（2020·上海高一课时练习）将cos αα化成cos()(0,0)A A αϕϕπ+><<的形式是____________．15．sin -x x 写成sin()(0,0)+><<A x A ϕϕπ的形式为___________．16．（2020·上海高一课时练习）若35sin ,6536⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭ππααπ，则5sin 12⎛⎫+=⎪⎝⎭πα________.17．（2020·上海高一课时练习）将2sin -αα化为sin()(0,02)A A αϕϕπ+>≤<的形式为___________.18．（2020·上海高一课时练习）若3sin ,,452⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππθθπ，则cos θ=_________. 19．（2020·上海高一课时练习）若43sin ,,252⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭ααππ，则sin 6πα⎛⎫+=⎪⎝⎭________．20．（2020·上海高一课时练习）在三角形ABC 中，若cos cos sin sin =A B A B ，则三角形ABC 是三角形______.21．（2020·上海高一课时练习）求值：sin28cos73sin62cos17︒︒︒︒-=_________．22．（2020·上海高一课时练习）关于x 的方程46sin 4m x x m-=-有解，则实数m 的取值范围是_________三、解答题23．（2020·上海高一课时练习）已知21sin(),sin()35+=-=αβαβ，求tan cot ⋅αβ的值．24．（2020·上海高一课时练习）已知31tan(),tan443⎛⎫+=+=⎪⎝⎭παββ，求tan4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值．25．（2020·上海高一课时练习）化简下列各式：（1）1tan151tan15︒︒-+；（2）tan 20tan 4020tan 40︒︒︒︒++⋅；（3）tan tan tan tan 44⎛⎫⎛⎫+-+⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππθθθθ．26．（2020·上海高一课时练习）求证：1csc1022︒︒-=．27．（2020·上海高一课时练习）已知3sin 3cos ),(0,2)-=+∈αααϕϕπ，求ϕ的值．28．（2020·上海高一课时练习）已知,αβ是锐角，且sin==αβ，求αβ+的值．29．（2020·上海高一课时练习）在斜三角形ABC 中，求证：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=.30．（2020·上海高一课时练习）已知8sin 17α=，5cos 13β=-，,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()cos αβ+.31．（2020·上海高一课时练习）是否存在锐角,αβ，使得：223παβ+=，tantan 22αβ⋅=,αβ的值；若不存在，说明理由.32．（2020·上海高一课时练习）已知tan α=α+β)=-1114,α,β均为锐角,求cos β的值.33．（2020·上海高一课时练习）已知3,24ππβα<<<且123cos()sin()135αβαβ-=+=-，，求：cos2α的值．能力提升一、填空题1．若1cos()cos()3αβαβ+-=，则22cos cos +=αβ_________.2．若23sin ,,,tan ,3272ππααπββπ⎛⎫⎛⎫=∈=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin()αβ-=________.3．若3tan ,,42⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭πθθπ，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________. 4．sin cos sin sin 44⎛⎫⎛⎫+⋅--⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππαααα的值为_________．二、解答题5．若0,sin cos ,sin cos 4<<<+=+=p q παβααββ，判断下列结论是否正确，并说明理由．（1）1<pq ； （2）p q <； （3）2>pq ．6．化简下列各式：（1cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()cos101sin 40︒︒︒+；（3）sin 2cos 3⎛⎫-+-⎪⎝⎭πααα．7．已知,αβ都是锐角，且11sin )14=+=-ααβ，求角β的值.8．已知3,,,sin 2510⎛⎫∈=-=- ⎪⎝⎭παβπαβ，求角αβ-的值.9．已知tan ,tan αβ是方程23410x x +-=的两根，0,,,22⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππαβπ. 求：（1）角αβ+的值；（2）cot()-αβ的值.10．（1）证明：22sin3sin1sin 2sin 1=-；（2）推广上述结论，使（1）成为其特例，并证明推广的等式．11．在ABC 中，已知35sin ,cos 513A B ==，求sin C 和cos C 的值．12．已知343sin(),cos(),,5522+=--=-<<<<παβαβπαπβπ，求sin2β．13．已知13cos(),cos,0,,0,3422⎛⎫⎛⎫-==-∈∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππαββαββ，求sinα的值．14．已知23sin(),sin()34+=-=αβαβ，求tantanαβ的值．15．已知3cos45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，35sin413πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭，344ππα<<，04πβ<<，求()cosαβ+的值．。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
自主梳理
1．(1)两角和与差的余弦 cos(α＋β)＝_____________________________________________， cos(α－β)＝_____________________________________________. (2)两角和与差的正弦 sin(α＋β)＝_____________________________________________， sin(α－β)＝_____________________________________________.
＝
s3icno7s02°0°＝
3.
(2)原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)·tan(π6＋θ)]＋ 3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝ 3. 例 2 解题导引 对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三
角函数值，关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应
(1)求 sin α 的值； (2)求 β 的值．
变式迁移 若 sin A＝ 55，sin B＝ 1100，且 A、B 均为钝角，求 A＋B 的值．
探究点 2 给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)
【课后自主检测】
1．已知 sinα＋π3＋sin α＝－45 3，则 cosα＋23π等于
2．辅助角公式：asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ)，
其中csions
φ＝ φ＝
tan φ＝ba，
， ， 角 φ 称为辅助角（考试只要求特殊角）．
【基础自测】
1．计算 sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于
两角和与差的正弦余弦正切公式课后练习
3.1.1 两角和与差的余弦基础巩固 新人教A 版必修4一、选择题1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是( ) A ．0B ．12C ．32D ．－122．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2xD ．－cos2y4．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于( ) A ．0B ．12C ．32D ．15．sin π12－3cos π12的值是( )A ．0B ．－ 2C ． 2D ．26．△ABC 中，cos A ＝35，且cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365B ．3365 C ．－6365D ．6365二、填空题7．若cos α＝15，α∈(0，π2)，则cos(α＋π3)＝________.8．已知cos x －cos y ＝14，sin x －sin y ＝13，则cos(x －y )＝________.三、解答题9．已知sin α＋sin β＝sin γ，cos α＋cos β＝cos γ.求证：cos(α－γ)＝12.一、选择题1．函数y ＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期是( ) A ．π B ．π2C ．π4D ．2π2．在△ABC 中，若tan A ·tan B >1，则△ABC 一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x 、y 的大小关系为( ) A ．x ≤y B ．x >y C ．x <yD ．x ≥y4．(2014·山东潍坊重点中学高一期末测试)函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] 二、填空题5．形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的式子叫做行列式，其运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sinπ6sin π3 cos π6的值是________． 6．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan α·tan β＝________.三、解答题7．已知cos(α－30°)＝1517，30°<α<90°，求cos α的值．8．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若向量a 与b 的夹角为60°，求cos(α－β)的值．9．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α、β∈[0，π2]，f (5α＋5π3)＝－65，f (5β－5π6)＝1617，求cos(α＋β)的值．。
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两角和差的正弦余弦正切公式练习题
知识梳理
1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin( a±3 = sin_a cos B±cos_osin 3 cos(a? 3 = cos _ocos_3sin 一 o (sin 3
tan a±a n 3 tan (a±3 = . 1?tan a an 3
2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 a= 2sin_ a os_a
2 ■ 2 2 ■ 2
cos 2a= cos a — sin a= 2cos a — 1 = 1 一 2sin a
3. 有关公式的逆用、变形等
(1)ta n a±an 3= tan( a±3(1 ?tan_ a an_ 3.
4. 函数 f(M = asin a+ bcos o(a, b 为常数)，可以化为 f( a = a 2 + b 2
sin(a+ ©，其中 tan
一、选择题
1.给出如下四个命题
②存在实数a,3 ,使等式 cos( ) cos cos
sin sin 能成立；
③公式tan(
)
tan an
成立的条件是
k
—(k Z)且 k —(k Z)；
1 tan tan
2
2
④不存在无穷多个 a 和3,使 sin(
)sin cos
co s
，sin ；
其中假命题是
( )
A.①②
B.②③
C. ③④
D. ②③④
2 .函数 y 2sin x(sin x cosx)的最大值是
( )
A. 1 . 2
B. .. 2 1
C.
、2
D. 2
①对于任意的实数a 和3,等式cos( )cos cos sin sin 恒成立； tan 2 2ta n a
1 tan 2
a 2
(2)cos a=
1 + cos 2a
2 sin 2
a= 1 — COS
2a
2 -
2
(3)1 + sin 2 a= (sin a+ cos c), 1 — sin 2 a= (sin a — cos a )2
, sin a±cos a= 2sin a±4t .
当 x [ — ^]时，函数 f(x) sinx .. 3cosx 的 ( )
A •最大值为4,最小值为—
1
B 最大值为
1
最小值为土
C •最大值为2,最小值为—2
D.最大值为2,最小值为—1
已知tan( ) 7,ta n tan
2
则cos(
)的值
( )
八
1 D
、、2
c 2
D.
A.—
B.
C. -
2
2
2
2
已知一
3
,cos()
12
3
,si n( )
，则 sin 2
( )
2
4
13 5
A
56
56
65 D.
65 A.
B.———
C.—
65
65
56
56
sin15 sin30 sin 75 的值等于
( )
八＜3
c 1 D.
1
A.
D
B.
C.-
4
8
8
4
函数 f (x) tan(x
)g (x )
1
tanx ,h(x) cot( x)其中为相同函数的是 4 丿，
g (x)
4
1
tanx
( )
A. f (x)与 g(x)
B. g(x)与 h(x)
C. h(x)与f (x)
D. f (x)与g(x)及h(x)
1
a 、B 、 都是锐角，tan
—
2 ,tan 1
,ta n 贝
U
等于 ( )
小 5
5
A.—
B.-
C.-
D.
3 4
6
4
设 tan 和 tan(— 4 )是方程x 2 px q 0的两个根，则 P 、
q 之间的关系是(
)
A. p+q+1=O
B. p — q+仁
C. p+q —仁0
D. p — q —
1=0
已知 cos
a,sin 4sin( ),则 tan( )的值是 ( )
13.已知 sin( )
4分，共16分，将答案填在横线上)
sin( ) m ,则 cos 2
cos 2 的值为
A
1 a 2
B. —V 1 2
a
C.
a 4
D.
1 a 2
a 4
a 4 1 a 2
a 4
.在厶 ABC 中, C 90o ，则tan A tanB 与1的关系为
( : )
A. tanA tanB 1
B. tan A tanB 1
C. tanA tanB 1
D. 不能确定
.sin 20 cos70 sin10
sin
50
的值是
( : )
A.—
B.
3
C. —
D.
3
4
2
2
4
、填空题(每小题
3.
4.
5. 6.
7.
8.
9.
10
11
12
15 .若sin( 24 ) cos(24 ),则tan( 60)= _____________ . ____
16. 若sinx si ny -,则cosx cosy的取值范围是
2 ---------------------------------------
三、解答题（本大题共74分，17— 21题每题12分，22题14分）
17. 化简求值：sinq 3x） cosq 3x） cos（石 3x） sin3x）.
求tan( 2 )的值.
19.求证：tan (x y) tan (x y)
18.已知0 90 ,且cos , cos 是方程 x2, 2sin50 x sin250 0的两根,
20.已知a,p€( 0,n )且 tan( )1,tan 1
弓，求2的值.
21
.证明：tan|x眄2sin x
cosx cos2x
22.已知△ ABC的三个内角满足: A+C=2B
1
cos A
1
cosC
2求cos^
cosB
sin 2x 2 ~2~
cos x sin y
11. 1. C 2 B 12 . 两角和差的正弦余弦正切公式练习题 .A 3 . D 4 . D A 参考答案 .C 8 . B 9 . B 10 . D 18. 19. 20. 21. 22. 13. m 14 . - 15 . 3
2 .
3 16 .[ 帀 J i?】
17
.原式円叫3x)cos(3 3x) si n( 3x) cos(- 3 4 2 3x)t 6 岳i ns 。
｛(旋si ns 。
)2 伯 n 25。
》
x ---------------------------------------- - sin(50 X 1 tan ( 证:
45 ), sin 95o cos5o , 2 ) tan 75 左 sin(x y) cos(x y) sin2x
x 2 sin5o cos85o
, 2 .3 . sin(x y) cos(x y) sin [(x y) (x 2 2 cos x cos
y)] 2 y
y sin 2 x sin cos 2
x (cos 2
x sin 2
x)sin 2
y
cos
sin 2x
2~ x sin 2 y tan
1, tan(2
3
)1,
3 x 3 x sin — xcos — cos —xs in — 左= 2 2 2
2
3 cos — x 2 x cos — 2 sin 3"- cos x 2 x cos — 2
2sin x cosx cos2x
右.
由题设
B=60°
A+C=120 ，设
知 A=60° + a ,C=60 —
a,
cos A cosC
cos
2 . 2,即 cos
2
3
cos
2。