两角差的余弦公式 说课稿 教案
高中数学《两角差的余弦公式》教案和教案说明
高中数学《两角差的余弦公式》教案和教案说明教案说明：本教案旨在帮助学生理解和掌握两角差的余弦公式，并能运用该公式解决相关问题。
通过本节课的学习，学生将能够：1. 理解两角差的余弦公式的定义和意义；2. 熟练掌握两角差的余弦公式的推导过程；3. 能够运用两角差的余弦公式解决实际问题。
教案内容：一、教学目标1. 理解两角差的余弦公式的定义和意义；2. 掌握两角差的余弦公式的推导过程；3. 能够运用两角差的余弦公式解决实际问题。
二、教学重点与难点1. 教学重点：两角差的余弦公式的定义和意义，推导过程；2. 教学难点：两角差的余弦公式的运用。
三、教学准备1. 教师准备：教材、教案、PPT、黑板、粉笔；2. 学生准备：课本、笔记本、文具。
四、教学过程1. 导入：引导学生回顾已学过的三角函数知识，为新课的学习做好铺垫；2. 讲解：讲解两角差的余弦公式的定义和意义，通过示例让学生理解公式的应用；3. 推导：引导学生通过图形和逻辑推理，推导出两角差的余弦公式；4. 练习：布置一些练习题，让学生运用两角差的余弦公式解决问题；五、课后作业1. 复习本节课所学内容，巩固两角差的余弦公式的理解和运用；2. 完成课后练习题，提高运用两角差的余弦公式解决问题的能力。
教学反思：在课后，教师应认真反思本节课的教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对两角差的余弦公式的理解和运用能力。
关注学生的学习反馈，及时解答学生的疑问，提高教学质量。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对两角差的余弦公式的理解程度，观察学生是否能清晰地解释公式的含义和应用；2. 练习题目：评估学生运用两角差的余弦公式解决问题的能力，检查解答的准确性；3. 课后作业：检查学生完成作业的情况，观察是否能正确运用公式并解决实际问题。
七、教学拓展1. 引导学生思考：两角差的余弦公式在实际生活中的应用，例如测量角度、建筑设计等；2. 介绍进一步的研究：引导学生探索更多关于三角函数的性质和公式，激发学生的学习兴趣。
两角差的余弦公式 说课稿 教案
两角差的余弦公式一、概述本节课选自人教版必修四，第三章第一节，其中心任务是通过已知的《平面向量》和《三角函数》的知识，探索推导出两角差的余弦公式。
并通过简单的运用，使学生初步理解公式的由来，结构，功能及其运用，分一课时完成。
三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇点上，两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材。
所以，从知识的结构和内容上看都具有承上启下的作用。
二、教学目标分析由于新课程要求要让学生经历数学知识的形成与应用过程,要鼓励学生自主探索合作交流，因此三维目标主要体现在:知识与技能目标：1、理解两角差余弦公式的推导过程；2、掌握两角差的余弦公式并能用之解决某些简单的问题。
过程与方法目标：1、通过对公式的推导，让学生体会所蕴含的类比思想和分类讨论的思想；2、通过对公式的推导提高学生分析问题，解决问题的能力，让学生从公式探索中体会认知新事物时从一般到特殊的思想和规律;情感态度与价值观目标：通过对公式的推导与简单应用，使学生经历数学知识的发现、认知的过程，体验成功探索新知的乐趣，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试，从而提高学生的学习兴趣。
(二）教学重、难点重点：两角差的余弦公式及公式的灵活应用；［设计意图］：课标要求要让学生经历数学知识的形成与应用过程；难点：余弦公式的探索，推导和证明;［设计意图］：高一学生逻辑思维能力还比较薄弱，对于公式的证明还存在很大的问题。
三、学习者特征分析1从学生已有的知识与方法看:高一学生已经学习了《平面向量》和《三角函数》的知识，从日常教学所反应的学生特点来看，学生对类比和分类讨论的思想有所体会，但是还是只停留在体会阶段，没有办法真正灵活的运用。
具有了一定归纳总结的能力，但对于一般结论的原因，还是没能用严格的定义证明；2从学生的情感，态度看：高一学生已经厌倦老师的单独说教，希望老师创设便于他们进行观察的环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会，希望老师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，小组交流，使他们获得施展自己创造才能的空间。
人教版高中数学两角差的余弦公式教案和教案说明
人教版高中数学两角差的余弦公式教案和教案说明教案内容：一、教学目标：1. 让学生理解两角差的余弦公式的概念和意义。
2. 引导学生掌握两角差的余弦公式的推导过程。
3. 培养学生运用两角差的余弦公式解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点：1. 重点：两角差的余弦公式的推导过程及其应用。
2. 难点：两角差的余弦公式的灵活运用。
三、教学方法与手段：1. 采用讲授法、探究法、练习法等教学方法。
2. 使用多媒体课件、黑板、教具等教学手段。
四、教学过程：1. 导入：回顾上一节课所学的两角和的余弦公式，引导学生思考两角差的余弦公式。
2. 新课讲解：（1）介绍两角差的余弦公式的概念和意义。
（2）引导学生推导两角差的余弦公式。
（3）通过例题讲解两角差的余弦公式的应用。
3. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
4. 总结与拓展：回顾本节课所学内容，引导学生思考两角差的余弦公式的拓展应用。
五、课后作业：1. 抄写并理解两角差的余弦公式。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
教案说明：本教案旨在帮助学生掌握两角差的余弦公式，通过导入、新课讲解、课堂练习、总结与拓展等环节，让学生逐步理解两角差的余弦公式的概念和意义，并能够灵活运用到实际问题中。
在教学过程中，教师应注重引导学生主动探究，培养学生的动手实践能力和思维能力。
课后作业的布置有助于巩固所学知识，提高学生的学习效果。
六、教学评价：1. 评价目标：检查学生对两角差的余弦公式的理解程度和应用能力。
2. 评价方法：（1）课堂问答：通过提问方式检查学生对两角差的余弦公式的概念和推导过程的理解。
（2）课后作业：布置相关的习题，评估学生对两角差的余弦公式的应用能力。
（3）单元测试：进行一次单元测试，全面评估学生对两角差的余弦公式的掌握情况。
七、教学反思：在教学过程中，教师应根据学生的反馈情况及时进行调整教学方法和节奏。
针对学生的薄弱环节，加强针对性训练，提高学生的理解和应用能力。
两角差的余弦公式说课稿
两角差的余弦公式说课稿一、教材分析本节课是高中数学必修4（人教A版）第三章3.1.1两角差的余弦公式的内容，教学安排是1课时。
在学习本章之前学生已经学习了任意角的三角函数和诱导公式等知识，并学习了向量的相关知识，因此我准备优先选择运用向量的知识推导和证明两角差的余弦公式，降低新课难度，使学生容易接受。
本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式，因此本节内容对于后续内容三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。
二、学情分析本节课的主要内容就是“推导两角差的余弦公式”，用到的方法有三角函数线和向量法。
都属于必修4刚刚学过的基础知识，内容简单，容易理解和接受，这是学习本节课的有利因素。
π，这与两但是，使用向量法来推导公式虽然简单，而向量夹角范围是[0,]角差αβ-的范围并不一致，还要分类计论。
分类讨论是学生的弱项，客观上也成为学习本节的不利因素，也成为本节课的一个难点。
三、教学目标分析课标要求：了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；理解两角差的余弦公式.1．知识与技能目标理解用向量方法推导两角差的余弦公并能够初步运用.2．过程与方法目标在两角差余弦公式的推导过程中，进一步体会向量方法的作用，体会数形结合，分类讨论思想、化归思想的运用。
3．情感、态度与价值观目标①培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。
②通过观察、对比体会公式的对称美，给学生以美的陶冶。
四、教学重点、难点分析重点：两角差的余弦公式的推导与运用。
难点：两角差余弦公式的推导过程中两角差αβ-的范围的讨论。
解决难点的关键是，搞清向量夹角的范围，运用数形结合的思想，使角的关系变得形象直观，容易找到αβ-与向量的夹角θ之间的等量关系()2k αβθπ-+=，从而降代难度，化解难点。
五、教法与学法分析（1）坚持“低起点-小步子-引方法-勤反馈”四个基本原则；低起点旨在带所有学生入门，积极参与课堂，打消学困生的畏难情绪；小步子是指设置难度梯度的问题情境和练习题以及变式训练，让学生学得轻松，易于掌握；引方法是数学教学中需长期坚持的原则，数学非常体重方法的引导和思维的训练；勤反馈是课堂效率得以保障的重要途径，通过学生交流讨论，回答问题，以及上黑板做题，课堂小检测等方面及时反馈学生的掌握情况。
八年级数学《两角差的余弦公式》的说课稿
八年级数学《两角差的余弦公式》的说课稿八年级数学《两角差的余弦公式》的说课稿一、教材分析“两角差的余弦公式”是课标教材人教版必修4第三章《三角恒等变换》第一节第一课时的内容。
学生已经学习了三角函数的基本关系和诱导公式以及平面向量，在此基础上，本章将学习任意两个角和、差的三角函数式的变换。
作为本章的第一节课，重点是引导学生通过合作、交流，探索两角差的余弦公式，为后续简单的恒等变换的学习打好基础。
由于两角差的余弦公式推导方法有很多，书本上出现两种证明方法——三角函数线法和向量法。
课本中丰富的生活实例为学生用数学的眼光看待生活，体验用数学知识解决实际问题，有助于增强学生的数学应用意识。
二、学情分析学生在第一章已经学习了三角函数的基本关系和诱导公式以及平面向量，但只对有特殊关系的两个角的三角函数关系通过诱导公式变换有一定的了解。
对任意两角和、差的三角函数知之甚少。
本课时面对的学生是高一年级的学生，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望，但应用已有知识解决问题的能力还处在初期，需进一步提高。
三、教法学法分析（一）、说教法基于新课标的理念中“学生主体性和教师主导性”的原则以及本班学生的实际情况，我采取如下教学方法：1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为公式学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生的求知欲，调动学生的主体参与的积极性。
2、突破教材，引导学生利用较为简洁的两种方法——两点间距离公式和向量法，在鼓励学生主体参与、乐于探究、勤于思考公式推导的同时，充分发挥教师的主导作用。
3、采用投影仪、多媒体等现代教学手段，增强教学简易性和直观性。
4、通过有梯度的练习、变式训练、分层作业，学生对知识掌握逐步提高。
（二）、说学法从学生已有的认知水平、认知能力出发，经过观察分析、自主探究、推导证明、归纳总结等环节，理解公式的推导过程，通过有梯度的练习、变式训练、分层作业，学生逐步提高对知识掌握。
四、教学目标（根据新课程标准和本节知识的特点，以及本班学生的实际情况，确立以下教学目标）（一）、知识目标1、理解两角差的余弦公式的推导过程，并会利用两角差的余弦公式解决简单问题。
两角差的余弦公式详细教案
两角差的余弦公式详细教案第一章：两角差的余弦公式简介1.1 教学目标了解两角差的余弦公式的概念和意义掌握两角差的余弦公式的表达式1.2 教学内容两角差的余弦公式的定义两角差的余弦公式的推导过程两角差的余弦公式的应用示例1.3 教学方法通过图片和实例引入两角差的余弦公式的概念利用几何图形和三角函数的性质推导两角差的余弦公式通过例题和练习题引导学生运用两角差的余弦公式解决问题1.4 教学评估课堂讲解和互动，了解学生对两角差的余弦公式的理解程度练习题和作业的批改，评估学生对两角差的余弦公式的掌握情况第二章：两角差的余弦公式的推导2.1 教学目标掌握两角差的余弦公式的推导过程理解两角差的余弦公式的几何意义2.2 教学内容两角差的余弦公式的推导方法2.3 教学方法利用三角函数的性质和几何图形推导两角差的余弦公式通过图示和动画演示两角差的余弦公式的几何意义2.4 教学评估课堂讲解和互动，了解学生对两角差的余弦公式的推导过程的理解程度练习题和作业的批改，评估学生对两角差的余弦公式的掌握情况第三章：两角差的余弦公式的应用3.1 教学目标掌握两角差的余弦公式的应用方法能够运用两角差的余弦公式解决实际问题3.2 教学内容两角差的余弦公式的应用示例两角差的余弦公式在实际问题中的应用3.3 教学方法通过例题和练习题引导学生运用两角差的余弦公式解决问题利用图形和实际问题解释两角差的余弦公式的应用方法3.4 教学评估课堂讲解和互动，了解学生对两角差的余弦公式的应用方法的理解程度练习题和作业的批改，评估学生对两角差的余弦公式的掌握情况第四章：两角差的余弦公式的拓展4.1 教学目标掌握两角差的余弦公式的推广和应用4.2 教学内容两角差的余弦公式的推广公式两角差的余弦公式在其他领域的应用4.3 教学方法通过讲解和示例引导学生了解两角差的余弦公式的推广公式通过相关领域的实例展示两角差的余弦公式的应用范围4.4 教学评估课堂讲解和互动，了解学生对两角差的余弦公式的拓展知识的理解程度练习题和作业的批改，评估学生对两角差的余弦公式的推广和应用的掌握情况第五章：两角差的余弦公式的综合练习5.1 教学目标巩固对两角差的余弦公式的理解和掌握提高运用两角差的余弦公式解决综合问题的能力5.2 教学内容综合练习题，涵盖两角差的余弦公式的各个方面5.3 教学方法通过综合练习题，让学生综合运用两角差的余弦公式解决问题提供解答和解析，帮助学生理解和纠正错误5.4 教学评估课堂讲解和互动，了解学生对两角差的余弦公式的综合练习的掌握情况练习题和作业的批改，评估学生对两角差的余弦公式的综合运用能力第六章：两角差的余弦公式的逆向应用6.1 教学目标理解两角差的余弦公式的逆向应用的概念学会如何使用逆向应用解决相关问题6.2 教学内容两角差的余弦公式的逆向应用的定义和原理逆向应用的典型例题解析6.3 教学方法通过讲解和示例，让学生理解两角差的余弦公式的逆向应用的概念引导学生运用逆向应用解决实际问题6.4 教学评估课堂讲解和互动，了解学生对两角差的余弦公式的逆向应用的理解程度练习题和作业的批改，评估学生对两角差的余弦公式的逆向应用的掌握情况第七章：两角差的余弦公式在三角函数图像中的应用7.1 教学目标理解两角差的余弦公式在三角函数图像中的应用学会如何利用两角差的余弦公式分析三角函数图像的特点7.2 教学内容两角差的余弦公式在三角函数图像中的应用方法利用两角差的余弦公式分析三角函数图像的典型例题7.3 教学方法通过讲解和示例，让学生理解两角差的余弦公式在三角函数图像中的应用方法引导学生运用两角差的余弦公式分析三角函数图像的特点7.4 教学评估课堂讲解和互动，了解学生对两角差的余弦公式在三角函数图像中的应用的理解程度练习题和作业的批改，评估学生对两角差的余弦公式在三角函数图像中的应用的掌握情况第八章：两角差的余弦公式在实际生活中的应用8.1 教学目标理解两角差的余弦公式在实际生活中的应用学会如何利用两角差的余弦公式解决实际问题8.2 教学内容两角差的余弦公式在实际生活中的应用实例利用两角差的余弦公式解决实际问题的方法8.3 教学方法通过讲解和示例，让学生理解两角差的余弦公式在实际生活中的应用引导学生运用两角差的余弦公式解决实际问题8.4 教学评估课堂讲解和互动，了解学生对两角差的余弦公式在实际生活中的应用的理解程度练习题和作业的批改，评估学生对两角差的余弦公式在实际生活中的应用的掌握情况第九章：两角差的余弦公式的拓展与研究培养学生对两角差的余弦公式的深入理解激发学生对两角差的余弦公式的探究欲望9.2 教学内容两角差的余弦公式的深入讲解和分析引导学生对两角差的余弦公式进行探究和研究9.3 教学方法通过深入讲解和分析，让学生对两角差的余弦公式有更深入的理解鼓励学生提出问题，引导学生进行探究和研究9.4 教学评估课堂讲解和互动，了解学生对两角差的余弦公式的深入理解的程度学生的问题和探究成果，评估学生对两角差的余弦公式的探究和研究的能力第十章：两角差的余弦公式总结与复习10.1 教学目标巩固学生对两角差的余弦公式的理解和掌握提高学生对两角差的余弦公式的运用能力10.2 教学内容两角差的余弦公式的总结和复习针对学生掌握情况，进行针对性的练习和讲解10.3 教学方法通过总结和复习，让学生巩固对两角差的余弦公式的理解和掌握根据学生的掌握情况，进行针对性的练习和讲解课堂讲解和互动，了解学生对两角差的余弦公式的总结和复习的理解程度练习题和作业的批改，评估学生对两角差的余弦公式的掌握情况重点和难点解析重点：1. 两角差的余弦公式的概念和表达式。
两角差的余弦公式说课稿
导和组织学生参与探索公式的建立和推导过程，鼓励
学生独立思考，让学生在参与推理的过程中感受成功
的快乐和提高逻辑推理能力 .
在突破难点上，主要通过以下四个方面的师生活动 :
1.课本P 习题3.1A组第1(1)、(3)；2；3题. 137 课本P 习题3.1A组第4题. 2.（选做题） 137
五、评价分析
本节课的学生评价坚持形成性评价的原则 1.从学习兴趣、交流合作、情绪情感、逻辑推理能力 等方面对学生学习效果进行过程评价； 2.对出现困难的学生，指出其可取之处并耐心引导， 这样有助于培养他们面对挫折，敢于探索的精神； 3.当学生做的精彩，及时给予充分的鼓励，进一步 激发学生学习的潜能，提高他们的求知欲望； 4.通过例题、练习、课堂小结、作业等对学生在三维 目标方面进一步评价，反思教学，改进方法.
求 cos2 .
①深化对公式结构的认识; ②有意识培养学生见角找联系，而不是见角拆角， 盲目运用公式.
（六）、课堂小结
1.对公式的探索过程中你是怎么联系有关知识的？ 怎样进行探索的？运用了什么工具? 2.对公式 C( ) 的结构和功能的认识. . 3. 教师加以提炼和补充.
（七）、布置作业
①引导学生积极思考，大胆探索，学会对目标进行
对比分析，把握思维方向；
②组织学生共同钻研，学会合作，开展讨论交流；
③对学生的探求活动适当指导，适时地给与帮助；
④完善推理过程——对 0, 的情况引导 学生完善.
四、过程分析
（一）、设置问题,引发思考
1.填空：
cos(
高中数学《两角差的余弦公式》教案和教案说明
3.1.1 两角差的余弦公式教学分析本节首先引导学生对cos(α-β)的结果进行探究,让学生充分发挥想象力,进行猜想,给出所有可能的结果,然后再去验证其真假.这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程,最后提出了两种推导证明“两角差的余弦公式”的方案.方案一,利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导,让学生动手画图,构造出α-β角,利用学过的三角函数知识探索存在一定的难度,教师要作恰当的引导.方案二,利用向量知识探索两角差的余弦公式时,要注意推导的层次性:①在回顾求角的余弦有哪些方法时,联系向量知识,体会向量方法的作用;②结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备;③探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其线索进行探索,然后再反思,予以完善;④补充完善的过程,既要运用分类讨论的思想,又要用到诱导公式.本节是数学公式的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下几方面:①要使学生了解公式的由来;②使学生认识公式的结构特征,加以记忆;③使学生掌握公式的推导和证明;④通过例子使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题.三维目标1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.2.通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.重点难点教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式.教学难点:探索过程的组织和适当引导.课时安排1课时教学过程导入新课思路2.(复习导入)我们在初中时就知道cos45°=22,cos30°=23,由此我们能否得到cos15°=cos(45°-30°)=?这里是不是等于cos45°-cos30°呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？cos(α-β)等于什么呢？这时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础.推进新课新知探究提出问题①请学生猜想cos(α-β)=?②利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用α、β的三角函数来表示cos(α-β)呢？ ③利用向量的知识,又能如何推导发现cos(α-β)=?④细心观察C (α-β)公式的结构,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？⑤如何正用、逆用、灵活运用C (α-β)公式进行求值计算？活动:问题①,出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学可能就首先想到cos(α-β)=cosα-cosβ的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如α=60°,β=30°,则cos(α-β)=cos30°=23,而cosα-cosβ=cos60°-cos30°=231-,这一反例足以说明cos(α-β)≠cosα-cosβ. 0060,30,αβ==如让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即可.问题②,既然cos(α-β)≠cosα-cosβ,那么cos(α-β)究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题,是α-β这个角的余弦问题,我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢？图1如图1,设角α的终边与单位圆的交点为P 1,∠POP 1=β,则∠POx=α-β.过点P 作PM 垂直于x 轴,垂足为M,那么OM 就是角α-β的余弦线,即OM=cos(α-β),这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM.过点P 作PA 垂直于OP 1,垂足为A,过点A 作AB 垂直于x 轴,垂足为B,过点P 作PC 垂直于AB,垂足为C.那么,OA 表示cosβ,AP 表示sinβ,并且∠PAC=∠P 1Ox=α.于是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina =cosβcosα+sinβsinα,所以,cos(α-β)=cosαcosβ+sinα sinβ.教师引导学生进一步思考,以上的推理过程中,角α、β、α-β是有条件限制的,即α、β、α-β均为锐角,且α>β,如果要说明此结果是否对任意角α、β都成立,还要做不少推广工作,并且这项推广工作的过程比较繁琐,由同学们课后动手试一试.图2问题③,教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图2,在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O,以Ox 为始边作角α、β,它们的终边与单位圆O 的交点分别为A 、B,则=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),∠AOB =α-β.由向量数量积的定义有OA ·OB =|OA ||OB |·cos(α-β)=cos(α-β), 由向量数量积的坐标表示有·=(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ, 于是,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角α-β必须符合条件0≤α-β≤π,以上结论才正确,由于α、β都是任意角,α-β也是任意角,因此就是研究当α-β是任意角时,以上公式是否正确的问题.当α-β是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角θ∈［0,2π),使cosθ=cos(α-β),若θ∈［0,π］,则OA ·OB =cosθ=cos(α-β).若θ∈［π,2π］,则2π-θ∈［0,π］,且OA ·OB =cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β). 由此可知,对于任意角α、β都有此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为C (α-β).有了公式C (α-β)以后,我们只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值,就可以求得cos(α-β)的值了.问题④,教师引导学生细心观察公式C (α-β)的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆,特别是运算符号,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空,如:cos(A-B)=__________,cos(θ-φ)= __________等.因此,只要知道了sinα、cosα、sinβ、cosβ的值就可以求得cos(α-β)的值了. 问题⑤,对于公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧.如cos75°cos45°+sin75°sin45°=cos(75°-45°)=cos30°=23, cosα=cos ［(α+β)-β］=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ.讨论结果:①—⑤略.应用示例思路1例1 利用差角余弦公式求cos15°的值.活动:先让学生自己探究,对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角15°,它可以拆分为哪些特殊角的差,如15°=45°-30°或者15°=60°-45°,从而就可以直接套用公式C (α-β)计算求值.教师不要包办,充分让学生自己独立完成,在学生的具体操作下,体会公式的结构,公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法.对于很快就完成的同学,教师鼓励其换个角度继续探究.解:方法一:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =.42621222322+=⨯+⨯ 方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°＋sin60°sin45° =21×.426232222+=⨯+ 点评:本题是指定方法求cos15°的值,属于套用公式型的,这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵活运用公式求值.本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角,但可以拆分成两角差的情形.至于如何拆分,让学生在应用中仔细体会.变式训练1.不查表求sin75°,sin15°的值解:sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =.42621322322+=⨯+⨯ sin15°= 15cos 12-=2)426(1+-=.426162628-=⨯- 点评:本题是例题的变式,比例题有一定的难度,但学生只要细心分析,利用相关的诱导公式,不难得到上面的解答方法.2.不查表求值:cos110°cos20°＋sin110°sin20°.解:原式=cos(110°-20°)=cos90°=0.点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,让学生细心观察,再结合公式C (α-β)的右边的特征,逆用公式便可得到cos(110°-20°).这就是公式逆用的典例,从而培养了学生思维的灵活性.例2 已知sinα=54,α∈(2π,π),cosβ=135-,β是第三象限角,求cos (α-β)的值. 活动:教师引导学生观察题目的结构特征,联想到刚刚推导的余弦公式,学生不难发现,欲求cos(α-β)的值,必先知道sinα、cosα、sinβ、cosβ的值,然后利用公式C (α-β)即可求解.从已知条件看,还少cosα与sinβ的值,根据诱导公式不难求出,但是这里必须让学生注意利用同角的平方和关系式时,角α、β所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号.本例可由学生自己独立完成.解:由sinα=54,α∈(2π,π),得 cosα=.53)54(1sin 122-=--=--a又由cosβ=135-,β是第三象限角,得 sinβ=.1312)135(1cos 122-=---=--β 所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =.6533)1312(54)135()53(-=-⨯+-⨯- 点评:本题是直接运用公式C (α-β)求值的基础练习,但必须思考使用公式前应作出的必要准备.特别是运用同角三角函数平方关系式求值时,一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符号.教师可提醒学生注意这点,养成良好的学习习惯.变式训练已知sinα=54,α∈(0,π),cosβ=135-,β是第三象限角,求cos(α-β)的值.解:①当α∈［2π,π)时,且sinα=54,得cosα=53)54(1sin 122-=--=--a , 又由cosβ=135-,β是第三象限角,得 s inβ=22)135(1cos 1---=--β=1312-. 所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =.6533)1312(54)135()53(-=-⨯+-⨯-. ②当α∈(0,2π)时,且sinα=54,得 cosα=53)54(1sin 122=-=-a , 又由cosβ=135-,β是第三象限角,得 sinβ=.1312)135(1cos 122-=---=--β 所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =.6563)1312(54)135(53-=-⨯+-⨯ 点评:本题与例2的显著的不同点就是角α的范围不同.由于α∈(0,π),这样cosα的符号可正、可负,需讨论,教师引导学生运用分类讨论的思想,对角α进行分类讨论,从而培养学生思维的严密性和逻辑的条理性.教师强调分类时要不重不漏.课堂小结1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识点小结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能的认识;三角变换的特点.2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.多对题目进行一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的.作业1、 课本习题3.1 A 组2、3、4任选两题；2、 （选做题）课本习题3.1 B 组第4题.教案说明：1.本节课是典型的公式教学模式,因此本节课的设计流程为“实际问题→猜想→探索推导→记忆→应用”.它充分展示了公式教学中以学生为主体,进行主动探索数学知识发生、发展的过程.同时充分发挥教师的主导作用,引导学生利用旧知识推导、证明新知识,并学会记忆公式的方法,灵活运用公式解决实际问题,从而培养学生独立探索数学知识的能力,增强学生的应用意识,激发学生学习的积极性.2.纵观本教案的设计,学生发现推导出公式C(α-β)后就是应用,同时如何训练公式的正用、逆用、变形用也是本节的重点难点.而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律,又发现了怎样逆用公式及活用公式,那才是深层的,那才是我们中学数学教育的最终目的.3.教学矛盾的主要方面是学生的学,学是中心,会学是目的,根据高中三角函数的推理特点,本节主要是教给学生“研究问题、猜想探索公式、验证特殊情形、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法.这样做增强了学生的参与意识,教给了学生发现规律、探索推导,获取新知的途径,让学生真正尝到探索的喜悦,真正成为教学的主体.学生体会到数学的美,产生一种成功感,从而提高了学习数学的兴趣.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
两角差的余弦公式
教学设计说明
一、教材地位及其作用
恒等变换在数学中扮演着重要的角色，它的主要作用是化简.在数学中通过恒等变换，可以把复杂的关系用简单的形式表示出来.三角恒等变换在后续学习中具有重要的作用.
而以本节课为起始课的第三章内容需要学习三角函数运算中蕴涵的恒等关系.由于和、差、倍之间存在的联系，和角、差角、倍角的三角函数之间必然存在紧密的内在联系，因而需要推出一个公式作为基础。
由于三角恒等变换的内容与三角函数没有直接的关系，因此现行的课改教材（人教A 版）安排学生学完三角函数后，先学习了平面向量，因此选择了运用向量方法推导公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-作为建立其它公式的基础，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，降低了思考难度。
本节课的作用承前启后,非常重要。
二、学情分析与教学目标
学生在前两章已经学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式及平面向量，为探究两角差的余弦公式建立了良好的基础。
但学生的逻辑推理能力有限，要发现并证明公式C (α-β)有一定的难度，教师可引导学生通过合作交流，体会向量法的作用，探索两角差的余弦公式。
由于学生初次使用恒等变换去推理解答问题，分析问题的能力和逻辑推理的能力都有所欠缺，并且面对新问题如何运用已学知识和方法去解决存有困惑.但同时学生在学习新的一章知识时又都会充满好奇心，这对教学是非常有利的。
根据学生的认知结构和心理特点，我制定了本课的学习目标如下：
1．知识与技能
（1）通过对两角差的余弦公式的推导，使学生体会应用向量解决数学问题的技能。
（2）通过公式的灵活应用，使学生掌握两角差的余弦公式的作用。
2．过程与方法
（1）利用两角差的余弦公式推导过程，使学生体会向量在代数几何方面运用的方式方法。
（2）在公式的灵活运用过程中进一步培养学生分类讨论思想、转化和化归思想、数形结合思想。
3．情感态度与价值观
通过引导学生主动参与、大胆猜想独立探索、激发学生学习兴趣，形成探究、证明、应用的获取知识的方式。
从应用中去体会数学的严谨，形成理性思维，体会向量及两角差的余弦公式的运用价值。
三、教学重点及难点
重点：两角差的余弦公式的运用.
难点：用两角差余弦公式进行简化、计算及逆用公式等技能.
四、教法选择和学法指导
基于对教材和学生的分析，本节课我采用“引导发现”和“主动参与、独立探索”等方法组织课堂教学.
为了抓住重点，我从学生已有的认知水平出发，设计具有梯度的问题导入，激发学生的求知欲，引导和组织学生参与探索公式的建立和推导过程，鼓励学生独立思考，让学生在参与推理的过程中感受成功的快乐和提高逻辑推理能力；在突破难点上，主要通过以下四个方面的师生活动：
①引导学生积极思考，大胆探索，学会对目标进行对比分析，把握思维方向；
②组织学生共同钻研，学会合作，开展讨论交流；
③对学生的探究活动适当指导，适时地给与帮助；
④完善推理过程——对[]πβα,0∉-的情况引导学生完善.
通过实际生活问题引入课题，为公式学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生的求知欲。
采用多媒体等现代教学手段，增强教学简易性和直观性。
通过有梯度的练习、变式训练、分层作业，让学生对知识掌握逐步提高。
学法分析
①.教师在课前让学生简单复习一下本课要用到的一些知识点，如三角函数的定义，向量的数量积等。
②.在学生自主探究过程中，教师要从某些角度引导学生去发现公式，给出一些证明方法的提示性问题，引导学生去推导公式。