两角差的余弦公式教案(示范课)
两角差的余弦公式教案
两角差的余弦公式教案
目标：学生能够理解和应用两角差的余弦公式解决相关问题。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
1. 使用举例的方式引起学生对两角差的兴趣，并引导他们思考两角差的概念。
2. 提问学生：你们知道两角差的余弦公式是什么吗？有什么用途？
二、理论介绍（15分钟）
1. 介绍两角差的概念和符号表示。
2. 说明两角差的余弦公式的推导过程。
3. 引导学生理解公式的意义，并提供实际应用案例。
三、示范与实践（20分钟）
1. 通过具体的示范问题，展示如何使用两角差的余弦公式。
2. 导引学生解决练习题，巩固所学知识。
3. 现场纠正学生的错误答案，并让他们讲解正确答案的解题方法。
四、归纳总结（10分钟）
2. 与学生讨论公式的实际应用，并回答他们的问题。
五、拓展延伸（10分钟）
1. 提供更具挑战性的问题，让学生思考扩展形式。
六、作业布置（5分钟）
1. 布置相关练习题作为课后作业。
评估方法：
1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和回答问题的准确性。
2. 作业完成度：检查学生完成的作业，看是否能正确运用两角差的余弦公式。
教学资源：
1. 投影仪或白板，用于展示教学内容。
2. 复印的练习题和答案。
注意事项：
1. 确保教学步骤的顺序和时长合理，以确保学生的学习效果和兴趣。
2. 鼓励学生互动与讨论，以促进他们的思考和理解。
两角差的余弦公式教案
3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标1．知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.2．过程与方法：通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.3．情感态度与价值观：通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.二、重点难点教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式.教学难点:探索过程的组织和适当引导.三、教学设计（一）导入新课(复习导入)我们在初中时就知道cos45°=22,cos30°=23,由此我们能否得到cos15°=cos(45°-30°)=?这里是不是等于cos45°-cos30°呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？cos(α-β)等于什么呢？这时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础.（二）推进新课、新知探究、提出问题①请学生猜想cos(α-β)=?②利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用α、β的三角函数来表示cos(α-β)呢？ ③利用向量的知识,又能如何推导发现cos(α-β)=?④细心观察C (α-β)公式的结构,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？⑤如何正用、逆用、灵活运用C (α-β)公式进行求值计算？活动:问题1：出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学可能就首先想到cos(α-β)=cosα-cosβ的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如α=60°,β=30°,则cos(α-β)=cos30°=23,而cosα-cosβ=cos60°-cos30°=231 ,这一反例足以说明cos(α-β)≠cosα-cosβ.让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即可.图2问题2：教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图2,在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O,以Ox 为始边作角α、β,它们的终边与单位圆O 的交点分别为A 、B,则OA =(cosα,sinα),OB =(cosβ,sinβ),∠AOB =α-β.由向量数量积的定义有OA ·OB =|OA ||OB |·cos(α-β)=cos(α-β),由向量数量积的坐标表示有OA ·OB =(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ,于是,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角α-β必须符合条件0≤α-β≤π,以上结论才正确,由于α、β都是任意角,α-β也是任意角,因此就是研究当α-β是任意角时,以上公式是否正确的问题.当α-β是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角θ∈［0,2π),使cosθ=cos(α-β),若θ∈［0,π］,则OA ·OB =c osθ=cos(α-β).若θ∈［π,2π］,则2π-θ∈［0,π］,且OA ·OB =cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β).由此可知,对于任意角α、β都有c os(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C (α-β))此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为C (α-β).有了公式C (α-β)以后,我们只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值,就可以求得cos(α-β)的值了.问题3：:教师引导学生细心观察公式C (α-β)的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆,特别是运算符号,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空,如:cos(A-B)=__________,cos(θ-φ)= __________等.因此,只要知道了sinα、cosα、sinβ、cosβ的值就可以求得cos(α-β)的值了. 问题4：对于公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧.如cos75°cos45°+sin75°sin45°=cos(75°-45°)=cos30°=23, cosα=cos ［(α+β)-β］=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ.（三）应用示例例1 利用差角余弦公式求cos15°的值.解:方法一:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30°=.42621222322+=⨯+⨯ 方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°＋sin60°sin45° =21×.426232222+=⨯+ 点评:本题是指定方法求cos15°的值,属于套用公式型的,这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵活运用公式求值.本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角,但可以拆分成两角差的情形.至于如何拆分,让学生在应用中仔细体会.变式训练1.求sin75°,sin15°的值.解:sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =.42621322322+=⨯+⨯ sin15°= 15cos 12-=2)426(1+-=.426162628-=⨯- 点评:本题是例题的变式,比例题有一定的难度,但学生只要细心分析,利用相关的诱导公式,不难得到上面的解答方法.2.求值:cos110°cos20°＋sin110°sin20°.解:原式=cos(110°-20°)=cos90°=0.点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,让学生细心观察,再结合公式C (α-β)的右边的特征,逆用公式便可得到cos(110°-20°).这就是公式逆用的典例,从而培养了学生思维的灵活性.例2 已知sinα=54,α∈(2π,π),cosβ=135-,β是第三象限角,求cos(α-β)的值. 解:由sinα=54,α∈(2π,π),得 cosα=.53)54(1sin 122-=--=--a又由cosβ=135-,β是第三象限角,得 sinβ=.1312)135(1cos 122-=---=--β 所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =.6533)1312(54)135()53(-=-⨯+-⨯-点评:本题是直接运用公式C(α-β)求值的基础练习,但必须思考使用公式前应作出的必要准备.特别是运用同角三角函数平方关系式求值时,一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符号.教师可提醒学生注意这点,养成良好的学习习惯.（四）课堂小结1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识点小结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能的认识;三角变换的特点.2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.多对题目进行一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的.（五）作业。
两角差的余弦公式优秀教学设计1
两角差的余弦公式一、教学目标知识与技能目标：1、理解两角差余弦公式的推导过程；2、掌握两角差的余弦公式并能用之解决某些简单的问题。
过程与方法目标：1、通过对公式的推导，让学生体会所蕴含的类比思想和分类讨论的思想；2、通过对公式的推导提高学生分析问题，解决问题的能力，让学生从公式探索中体会认知新事物时从一般到特殊的思想和规律;情感态度与价值观目标：通过对公式的推导与简单应用，使学生经历数学知识的发现、认知的过程，体验成功探索新知的乐趣，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试，从而提高学生的学习兴趣。
二、教学重点两角差的余弦公式及公式的灵活应用三、教学难点余弦公式的探索，推导和证明四、教学策略选择与设计课标要求我们要尽量的把课堂还给学生，让学生小组合作，在得到新知的同时又能培养他们的合作，分析和探索能力。
我们主要采用引导探索的教学方法，引导学生自主探索，合作交流去发现，探求两角差的余弦公式（关键在于如何引导学生通过大胆猜想，类比得出公式）。
五、教学过程：（一）回顾复习在三角函数中，我们学习了哪些基本的三角函数公式？问题引入: 我们在前面所学三角函数值时就知道，21cos45,cos302==，而cos15cos(4530)=-，大家猜想一下，cos15等于多少呢？是不是等于cos45-cos30？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的，也就是cos()α β不会等于cos -cos αβ问：那么会是多少呢？（学生大胆猜测两角差余弦的表达式）（二）得出新知所以，cos()α-β=cos cos sin sin αβ+αβ（三）定义解析1 成立条件：是不是对于任意的α，β都适用于差的余弦公式?等价于α-β不属于[0，π]时是否成立？2 结论：归纳为“余余正正符号异”（四）定义巩固例1 利用差角余弦公式求cos15°的值分析：引导学生用15°=45°-30°，和15°=60°-45°两种方法求解．(2)cos15cos105sin15sin105+= ．(3)cos(21)cos(24)sin(21)sin(24)θ+θ-+θ+θ-= ．例2 已知45sin ,(,),cos ,5213πα=α∈πβ=-β是第三象限角，求cos(α-β)的值． 分析：注意各角所在象限的符号，对于基础好的学生，把条件(,)2πα∈π去掉，结果又如何？ 例3 公式逆用 求13cos15sin152+的值 ［（五）回顾提高刚才我们经历了两角差的余弦公式的完整、曲折探索过程，回顾来看，大家有什么启 发和感悟？（引导学生从思想方法，思路转换等方面去总结提高）公式探究的一般步骤：特殊→猜想→证明根据你所总结的知识，能否证明下面的公式：例4 对于任意的α，β cos()α+β=cos cos sin sin αβ-αβ分析：可以把+β看成是-（-β）；或者根据两角差的余弦公式探索过程，重新证明两角和的余弦公式；（六）课堂练习例5 α，β都是锐角 111cos ,cos(714α=α+β)=-，求cos β的值。
教学设计1：3.1.1 两角差的余弦公式
必修四第3章 三角恒等变形 3．1.1 两角差的余弦公式教学目的：知识目标：掌握应用两角差的余弦公式求三角函数值 能用所学知识解决有关综合问题能力目标：让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
情感目标：通过本节课的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
教学重点：应用两角差的余弦公式求三角函数值 教学难点：应用两角差的余弦公式求三角函数值 教学过程： 一、复习准备：上节课我们学习了两角差的余弦公式cos(α–β)＝cosαcos β+ sinαsinβ（黑板板书）。
这节课我们将学习一下如何应用两角差的余弦公式求三角函数值 例一： 用两角差的余弦公式证明问题（1）cos (π—β)＝－cos β （2）cos (2π—β)＝cos β证明（1） cos(π—β) ＝ cosπ·cosβ＋sinπ·sin β＝－1·cosβ +0·sinβ＝－cosβ 左边=右边 所以cos(π—β)＝－cosβ得证证明（2） cos(2π—β) ＝ cos2π·cosβ + sin 2π·sinβ＝1·cosβ + 0·sinβ＝cosβ 左边=右边 所以cos(2π—β)＝cosβ得证 前面我们都是用抽象的角度,现用具体角度. 例二: 用两角差余弦公式求cos15°.解法一:cos15° ＝cos(45°—30°)＝cos45°·cos30°+sin45°·sin30°12⨯+解法二: cos15°= cos(60°—45°)= cos60°·cos45°＋sin60°·sin45° （分成17°-2°是否可行?） 练习：证明: cos(α＋β)= cosα·cos β－sinα·sinβ思考 : 能否参考两角差的余弦公式进行推导? 我们的新课改提倡“减负”，从数学的角度，减负就是---“加正”，所以 α＋β=α- (- β）证明:∵ cos (α＋β)= cos [α－(- β）]=cosα·cos( -β) +sin α ·sin(-β)= cosα·cosβ－sinα·sin β ∴cos(α＋β)=cosα·cosβ－sinα·sinβ 课后作业1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos 75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224=+=-=⨯-=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224=-=+=⨯+=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活运用.2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.3、利用和、差角余弦公式求、的值.解：6cos 75cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 304-=+=-=6cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 304+=-=+=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos 15cos(6045)=-，要学会灵活运用.4、已知4sin 5α=，(,)2παπ∈5,cos 13β=-是第三象限角， 求cos()αβ-的值. 解：因为(,)2παπ∈，4sin 5α=由此得3cos5α==- 又因为5cos 13β=-，β是第三象限角，所以12sin 13β==- 所以33cos()cos cos sin sin 65αβαβαβ-=+=-课后小结：cos(α–β)＝cosαcos β+ sinαsinβ板书设计：cos 75cos15。
两角差的余弦公式教案(示范课)
《3.1.1两角差的余弦公式》教案玉林高中数学科 授课人：饶蔼教学目标1. 知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础.2. 过程与方法：在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题、合作交流的能力；通过两角差的余弦公式的简单运用,掌握不同方法求值.3. 情感态度：通过课题背景的设计，增强学生的探究、应用意识，认识到数学来源于生活，激发学生的学习积极性.教学重、难点1. 重点：两角差余弦公式的探究、证明过程和公式的初步应用.2. 难点：探究过程的组织和适当引导.学情分析学生已经掌握了利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数，也学习了同角三角函数式的变换；理解了平面向量及其运算的意义，并能用数量积表示两个向量的夹角，经历了用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，具有一定的推理能力、运算能力和解决实际问题的能力，但利用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需要引导学生搞清楚两角差与相应向量夹角的联系与区别. 教法、学法1. 教法：问题驱动、引导发现、合作探究相结合的教学方法展开教学.2. 学法：课前预习、小组探究、反思小结等.教学过程（一）创设情境，引入课题金城超市电梯长度约为8米，坡度（与地面夹角）约为30度，请问当我们上完电梯后，在水平方向上前进了多少米？设前进量为x 米，则3430cos 8=︒=x 米提问：当电梯坡度为45度时，其他不变，x 等于多少？8 m x︒30答：2445cos 8=︒=x 米提问：当电梯坡度为15度时，此时x 又等于多少？答：︒=15cos 8x 米问题1：︒15cos 等于多少？能否用特殊角三角函数值来表示？【设计意图】从学生的实际生活出发，自然地引出问题，培养学生把实际问题抽象为数学模型来解决的能力，让学生感知数学来源于生活，并应用于生活，激发学生的学习兴趣；（二）探究归纳，提出猜想问题2：对任意的βα,，βαβαcos cos )cos(-=-是否成立？1. 思考：︒15能否用特殊角表示？预案1：)3045cos(15cos ︒-︒=︒问：︒-︒=︒30cos 45cos 15cos 是否成立？为什么？【设计意图】让学生经历提出假设 证明假设的过程，知道要证明一个假设不成立，只需举出反例即可，即明白特殊与一般的辩证关系。
《两角差的余弦公式》优质课教学设计
高中数学人教A版必修4第三章《3.1.1两角差的余弦公式》（第一学时）教学设计一、教学目标：1. 通过对两角差的余弦公式的猜想和探究过程,培养学生通过交流,探索,发现和获得新知（二）新知探究在平面直角坐标系xOy 中内作单位圆O ,以Ox 为始边作角βα,，它们的终边与单位圆的交 点分别为B A ,，则()(),sin ,cos ,sin ,cos ββαα==OB OA 由向量数量积的坐标表示有：βαβαsin sin cos cos +=⋅OB OA 。
设向量OA 与OB 的夹角为θ，由向量数量积的定义有：θθcos ==⋅OB OA ，所以βαβαθsin sin cos cos cos +=。
已知()()Z k k Z k k ∈+=∈++=πθβαπθβα2-2或，所以()Z k k ∈±=-θπβα2，所以()θβαcos cos =-，又因为βαβαθsin sin cos cos cos +=，所以可知对任意角βα,，都有()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-。
（三）巩固理解例1、利用差角余弦公式求o15cos 的值。
分析:本题关键是将o15角分成o45与o30的差或者分解成o60与o45的差,再利用两角差的余弦公式即可求解。
例2、已知,135cos ,,2,54sin -=⎪⎭⎫⎝⎛∈=βππααβ是第三象限角，求()βα-cos 的值。
分析:观察公式()βα-cos 与本题已知条件应先计算出αcos ,βsin ,再代入公式求值。
求βαsin ,cos 的值可借助于同角三角函数的平方关系,并注意βα,的取值范围来求解。
例3、求值（1）oooo35sin 65sin 35cos 65cos + （2）απααπαsin 3sin cos 3cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+（3）oooo 40cos 110sin 50cos 110cos + （4）oooo42sin 78cos 42cos 12cos +为o50sin ,再逆向使用两角差余弦公,即可将原式化为o60cos ；对于(4),可先用诱导公式化o 78cos 为o 12sin ,再逆向使用两角差余弦公,即可将原式化为o 30cos 。
两角差的余弦公式说课稿省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
在教学过程步骤，采取先提出问题，再逐 步展开方式，能够充分调动学生学习主动 性，让学生探索含有明确目标性，降低盲 目性。在得到两角差余弦公式后，使学生 深入体会代数思想深刻性。经过对公式对 比，能够加深学生对公式特征印象，同时 体会公式线形美与对称美，给学生以美陶 冶。作业布置中，突出了学生学习个体差 异现实，使学有余力学生产生挑战心理感 受，也为下一节内容学习做准备。
3、经过本节学习使学生体会探究乐趣，认识世间万物联络与 转化，养成用辨证与联络观点看问题。创设问题情景，激发 学生分析、探求学习态度，强化学生参加意识，从而培养学 生分析问题、处理问题能力和代换、演绎、数形结合等数学 思想方法。
第4页
三、教法学法分析
1、教法分析： 依据学生情况，本节课特点，按照高中学生认知规律，
D
射塔视角（∠CAD)约为45°.求这座
电视发射塔高度.
C
45°
A B
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2.问题串引导教学：
（1）请学生猜测cos( ) ?
（2）利用前面学过单位圆上三角函数线，怎样
用 、三角 函数来表示
cos(呢 ？) ?
（3）利用向量知识，又能怎样推导发觉
cos( ) ?
（4）细心观察公式 cos( )结构，它有哪些特征？ 其中角取值范围怎样？
（5）怎样正用、逆用、灵活利用公式进行求值计 算？
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3.例题讲解：
例1、利用差角余弦公式求 cos15 ,cos75
例2、化简
（1）cos 42 cos18 sin 42 sin18
（2）cos 70 sin 40 sin 70 cos 40
例3、已知sin 象限角，求
co54s，( 2)
两角差的余弦公式详细教案
两角差的余弦公式详细教案第一章：两角差的余弦公式的引入1.1 教学目标理解两角差的余弦公式的概念和意义。
掌握两角差的余弦公式的推导过程。
1.2 教学内容引入两角差的余弦公式的概念，即对于任意实数α和β，两角差的余弦公式可以表示为cos(αβ) = cosαcosβ+ sinαsinβ。
解释两角差的余弦公式的意义，即求两个角的差的余弦值可以通过求两个角的余弦值和正弦值的乘积来计算。
1.3 教学方法通过举例和实际问题引入两角差的余弦公式，让学生感受到公式的实际应用。
通过图形和几何解释两角差的余弦公式的推导过程，让学生直观地理解公式。
1.4 教学活动举例说明两角差的余弦公式的应用，如计算一个角度与参考角度的差的余弦值。
引导学生通过图形和几何推理来推导两角差的余弦公式。
第二章：两角差的余弦公式的推导2.1 教学目标掌握两角差的余弦公式的推导过程。
理解两角差的余弦公式的几何意义。
2.2 教学内容推导两角差的余弦公式，通过构造一个直角三角形，利用三角形的边长关系和余弦定理。
解释两角差的余弦公式的几何意义，即两个角的差的余弦值等于这两个角的余弦值的乘积加上这两个角的正弦值的乘积。
2.3 教学方法通过图形和几何推理推导两角差的余弦公式，让学生直观地理解公式的推导过程。
通过实际例子和计算，让学生巩固两角差的余弦公式的应用。
2.4 教学活动引导学生通过构造直角三角形，利用三角形的边长关系和余弦定理推导两角差的余弦公式。
让学生通过实际例子和计算，运用两角差的余弦公式计算角度的差的余弦值。
第三章：两角差的余弦公式的应用3.1 教学目标掌握两角差的余弦公式的应用。
能够灵活运用两角差的余弦公式解决实际问题。
3.2 教学内容介绍两角差的余弦公式的应用，包括解决三角函数的和差问题、计算向量的夹角余弦值等。
通过实际例子和计算，展示两角差的余弦公式的应用方法和步骤。
3.3 教学方法通过实际例子和计算，让学生掌握两角差的余弦公式的应用方法。
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《3.1.1两角差的余弦公式》教案
玉林高中数学科 授课人：饶蔼
教学目标
1. 知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础.
2. 过程与方法：在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题、合作交流的能力；通过两角差的余弦公式的简单运用,掌握不同方法求值.
3. 情感态度：通过课题背景的设计，增强学生的探究、应用意识，认识到数学来源于生活，激发学生的学习积极性.
教学重、难点
1. 重点：两角差余弦公式的探究、证明过程和公式的初步应用.
2. 难点：探究过程的组织和适当引导.
学情分析
学生已经掌握了利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数，也学习了同角三角函数式的变换；理解了平面向量及其运算的意义，并能用数量积表示两个向量的夹角，经历了用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，具有一定的推理能力、运算能力和解决实际问题的能力，但利用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需要引导学生搞清楚两角差与相应向量夹角的联系与区别. 教法、学法
1. 教法：问题驱动、引导发现、合作探究相结合的教学方法展开教学.
2. 学法：课前预习、小组探究、反思小结等.
教学过程
（一）创设情境，引入课题
金城超市电梯长度约为8米，坡度（与地面夹角）约为30度，请问当我们上完电梯后，在水平方向上前进了多少米？
设前进量为x 米，则3430cos 8=︒=x 米
提问：当电梯坡度为45度时，其他不变，x 等于多少？
8 m x
︒30
答：2445cos 8=︒=x 米
提问：当电梯坡度为15度时，此时x 又等于多少？
答：︒=15cos 8x 米
问题1：︒15cos 等于多少？能否用特殊角三角函数值来表示？
【设计意图】从学生的实际生活出发，自然地引出问题，培养学生把实际问题抽象为数学模型来解决的能力，让学生感知数学来源于生活，并应用于生活，激发学生的学习兴趣；
（二）探究归纳，提出猜想
问题2：对任意的βα,，βαβαcos cos )cos(-=-是否成立？
1. 思考：︒15能否用特殊角表示？
预案1：)3045cos(15cos ︒-︒=︒
问：︒-︒=︒30cos 45cos 15cos 是否成立？为什么？
【设计意图】让学生经历提出假设 证明假设的过程，知道要证明一个假设不成立，只需举出反例即可，即明白特殊与一般的辩证关系。
2. 探究：︒
15cos 能否用特殊角三角函数来表示？如何表示？
提示：利用单位圆、向量知识
在右图中，
得出结论：30sin 45sin 30cos 45cos )3045cos(︒+︒︒=︒-︒
提出猜想：对任意的βα,，都有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-.
【
设计意图】通过求︒
15cos 的值，让小组展示成果，不仅培养学生合作探究能力、表达能力，还培养了观察能力、归纳能力，并由此提出猜想，使学生懂得如何探究问题，从特殊情况迁移到一般情况下的讨论，为下个环节能突出重点起到铺垫作用。
（三）小组合作，证明猜想
问题3：以上探究︒15cos 值时，都是用到特殊角来求值，对一般情况下的角是否成立？
探究：证明对任意的βα,都有βαβαβαsin sin cos cos )cos(
+=-. )45︒ )30sin ,︒︒ =•OB OA sin ,30(cos )45sin ,45(cos ︒•︒︒︒+︒︒=30sin 45sin 30cos 45cos =•OB OA 又θcos )3045cos(cos ︒-︒==θ︒+︒︒=︒-︒∴45sin 30cos 45cos )3045cos(
方案1：利用单位圆、向量知识。
问题4：如何探讨βα,的任意性？
若 则
而
方案2：利用三角函数线 此时，过P 点作垂线PA ⊥OP 1于点A ， PM ⊥Ox 于点M. 过A 点作垂线AB ⊥OM 于点B ，
过P 点作垂线PC ⊥ AB 于点C.
则 PAC ∠=∠α
定义： βα,∀，都有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-，称为差角余弦公式。
记为：ss cc C +=-)(βα，特征：任意角、同名积、符号反
【设计意图】本环节由小组展示探究过程，让学生根据已有的经验（探究︒15cos ）去证明一般情况下的结论，符合学生的思维发展规律。
通过各种方法的证明和教师适当的点评、指导，起到突出本节课重点的作用。
在探究角的任意性过程中，也培养了学生严谨的逻辑思维能力。
O x y O x
y )sin ,(cos αα=OA )sin ,(cos ββ=OB )sin ,(cos )sin ,(cos ββαα•=•OB OA βαβαsin sin cos cos +=)cos(AOB OB OA OB OA ∠•=•又β
αβαβαsin sin cos cos )cos(+=-∴βα-θ
βα-=-θθπβαcos )2cos()cos(=±=-∴k β
αβαθsin sin cos cos )cos(+=-θπβα±=-k 2βαβαsin sin cos cos +=β
α-=∠∴xOP OM
=-∴)cos(βαCP OB BM OB OM +=+=∴ααsin cos AP OA +=αβαβsin sin cos cos +=β
αβαβαsin sin cos cos )cos(+=-∴
（四）.课堂巩固练习
例1：利用差角余弦公式求︒15cos 的值？
法1：︒︒+︒︒=︒-︒=︒30sin 45sin 30cos 45cos )3045cos(15cos
4
2621222322+=⨯+⨯= 法2：︒︒+︒︒=︒-︒=︒45sin 60sin 45cos 60cos )4560cos(15cos
4
6222232221+=⨯+⨯=
变式1：利用差角余弦公式求︒75cos 的值？ 法1：︒︒+︒︒=︒-︒=︒45sin 120sin 45cos 120cos )45120cos(75cos
22232221⨯+⨯-=4
26-= 法2：)30sin(45sin )30cos(45cos )]30(45cos[75cos ︒-︒+︒-︒=︒--︒=︒
︒︒-︒︒=30sin 45sin 30cos 45cos
21222322⨯-⨯=
4
26-= 【设计意图】通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础；通过变式的应用，培养学生用多种方法解决问题的能力。
（五）课堂小结，回顾反思
1.这堂课你学到了什么内容？如何学习的？
①学习了差角余弦公式；
②假设猜想—反证否定—用向量、三角函数线探究公式—证明结论—公式应用
2.学习与应用过程中，你有什么体会？
①证明一个假设不成立，只需举出反例即可。
②探究证明公式过程中，可以通过特殊情况去讨论证明一般情况。
③公式应用中，可以有不同的解题方法。
【设计意图】让学生对探究的过程与思路、方法有一个清晰的认识，进一步达到“教思维”的目的。
（六）布置作业。