两角差的余弦公式详细教案

§3.1.1 《两角差的余弦公式》教学设计
主讲教师：卫金娟教学目标
1、知识目标：
通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用其解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。

2、能力目标：
通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题、解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力
3、情感目标：
使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。

学情分析：
1、知识分析：必修4前两章刚学习了《平面向量》和《三角函数》的知识，学生对前两章知识尚记忆深刻，为第三章第一节“两角差的余弦公式”的学习做了充足的知识准备；
但”两角差的余弦公式”中所涉及的用三角函数线推导公式部分比较难，学生独立探究有一定的困难，需要老师合理引导、并让学生小组讨论合作学习来完成.
2、能力分析：从平时的课堂教学中，我已经培养学生具备了一定的小组讨论和探究合作学习的能力，但由于部分学生学习基础薄弱，课堂参与程度不高，所以我合理分组，让学习基础较好且课堂积极活跃的学生带动小组内其他学生一起完成新课学习；
从学生的归纳总结和语言表达能力来看，学生具有了一定的归纳总结的能力，但对数学中逻辑严密的一般结论，还不能用严格的数学语言来表达.
3、学习习惯与态度：所带班级属于文科班，学习纪律性比较好，听课认真，动笔演算等能力比较好，但作为文科班女生胆子小，回答问题方面不是很活跃，需要合理分组合作学习.
教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式。

教学难点：两次探究过程的组织和引导。

教学方法：讲授法与讨论法相结合，探究学习与合作学习相结合
知识准备：平面向量的数量积、三角函数线、诱导公式
教学准备：多媒体、圆规，三角板
教学流程：
小 结
作 业
教学过程
（同学们好，请坐！今天大家这么精神，我想考你们一个问题：cos15︒等于多少）
一、设置悬念、引入课题（1分钟）
问题：在初中时，我们知道2245cos =
︒，2
330cos =︒，而)3045cos(15cos ︒-︒=︒，那么大家猜想一下，︒15cos 等于多少呢是不是等于︒-︒30cos 45cos 呢 这就是我们今天要学习的内容：两角差的余弦公式.
二、探究新知，共同学习
根据刚才的设想，我们把问题一般化，首先来做一个猜想：（1-2分钟）
猜想：设αβ、是任意角，则cos()αβ-=cos cos αβ-恒成立吗反例验证.（我们换一组角来验证一下，反例验证6030︒︒、）
结论：
那么如何用αβ、的函数值来表示cos()αβ-呢我们来做下面的探究活动。

探究途径：提示学生联系与角的余弦相关的知识点，明确以向量运算中的数量积与三角函数线作为研究途径。

（怎样构造角-αβαβ、、？由于我们要求两角差的余弦，涉及三角函数问题，故可考虑运用单位圆中的向量知识和角的余弦线来证明。

）
探究1：借助向量知识来推导cos()αβ-公式（6分钟）
（分组活动：6-8人一组，小组讨论，由小组代表总结并阐述本组的讨论结果，小组间互评，补充纠正）.
如右图，在单位圆中作出角βα,，它们的终边与单位圆分别交于A 、B 两点，先假设
[]π
,0,∈βα，且βα≥，提出以下问题： 问题1：图中哪个角可以表示βα-
问题2：此时βα-的取值范围是多少
问题:3：βα-可以看作是哪两个向量的夹角
问题4：向量OA OB 、
的坐标分别是什么（3-4分钟） ()cos ,sin OA αα= ()cos ,sin OB ββ=
由向量数量积的概念，有cos cos OA OB OA OB θθ•==……①
由向量数量积的坐标表示，有cos cos sin sin OA OB αβαβ•=+……②
cos()=cos cos αβαβ--不恒成立
比较①②，可得
cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+
问题5：夹角θαβ与、有什么关系？（2分
钟）
（1） （2）
-=,-=-,αβθαβθ由图（1）知，由图（2）知根据终边相同的角的性质有：
2+k ,k Z αβθπ-=±∈
所以，
cos()cos(+2)cos()cos .k αβθπθθ-=±=±=
结论：对任意角α、β有 cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+
探究2：借助三角函数线来推导cos()αβ-公式（10-11分钟）
首先，我们从最简单的情况进行讨论：.αβαβ>设、都为锐角，且
作单位圆O ，（在这里我们取单位圆的四分之一）设角α的终边与单位圆O 交于点1P , 即1xOP α∠=,作1POP β∠=,则xOP αβ∠=-.PM x ⊥作轴，
垂足为M . 问题1：那么cos()αβ-表示哪条线段长
问题2：如何用线段分别表示sin β和cos β
问题3：cos cos =cos OA βαα，它表示哪条线段长sin sin =sin AP βαα，它表示哪条线段长
问题4：利用OM OB BM OB CP =+=+，你能得到什么结论
探究过程：
①PM x ⊥作轴，垂足为M ，则OM =cos()αβ-。

（即-OM αβ就是角的余弦线，我们要设法用OM αβ、的正弦、余弦线来表示）
②1PA OP ⊥作，
垂足为A ，则sin ,AP β=cos OA β=；AB x ⊥作轴，垂足为B ，则OB =,cos cos cos OA αβα=。

③PC AB ⊥作，垂足为C ，则∠PAC =α，进而得CP =AP sin α= sin βsin α。

④ 所以则有 OM OB BM OB CP =+=+=cos cos sin sin αβαβ+.
即： cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+） 结论归纳：两角差的余弦公式（公式及其特征分析，1-2分钟）
对任意角α、β有
cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+
此公式称两角差的余弦公式，C αβ-（）
简记 注意：（1）公式中的α、β是“任意角”；
（2）公式的结构特点：“同名积，符号反”；结构简记“CC+SS”.
（3）对于α、β，只要知道其正弦、余弦，就可以求出cos()αβ-.
三、小试身手、巩固新知（6-8分钟）
例1. 利用差角的余弦公式求cos15°的值. （提示思路，学生独立完成，并由2名学生分别板演两种拆法，纠错讲评，3-4分钟）
分析：15°可以拆为两个特殊角之差，如15°=45°-30°或者15°=60°-45° ，学生自主解决；
解法1： ()cos15cos 4530=-
cos45cos30sin45sin30=+ 23212222=
⨯+⨯ 624+= 解法2：
()cos15cos 6045=- cos60cos45sin60sin45=+
12312222
=⨯+⨯ 264+=
总结：一般的，对于非特殊角，我们将其拆分成两个特殊角之差，灵活运用公式求值即可，注意角拆分的多样性.
变式训练1：（分析特征，师生共同完成，3-4分钟）
cos60cos15sin60sin15︒︒+︒︒（1）
cos70cos 40cos 20cos50+（2） 解：
cos60cos15sin 60sin15cos(6015)
cos 452
︒︒+︒︒
=︒-︒=︒
=（1）
总结：求值化简时，要注意差角公式的逆用，通常观察三角式的结构特征，利用诱导公
式作适当变形，再灵活应用公式. 四、当堂训练，共同提高（提示思路，学生独立完成，8分钟）
1
1.cos(40)cos 20sin(40)sin 202︒︒︒︒-+-=
2.cos 75cos15sin 75sin1951122︒︒︒︒-的值为（ B ）
A.0
B.
3++cos cos sin sin 44θθθθππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
+.计算：（1） 五、课堂小结（1分钟）
通过本节课的学习你有哪些收获
1. 先后用向量与三角函数线的相关知识，探索并证明了两角差的余弦公式：
cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+
2.所涉及的数学思想方法：化归与转化、数形结合；
3.注意公式的特征，公式的正用、逆用
.
2cos80sin 55cos10sin 35cos80cos35sin80sin 35cos(8035)cos 452
︒︒︒︒︒︒︒+=︒+︒=-︒==（
）cos cos sin sin 44cos[()]4
cos 4θθθθθθππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++=-==解：（1）2cos80sin 55cos10sin 35︒︒︒︒+(
)cos 70cos 40cos 20cos50cos 70cos 40cos(9070)cos(9040)cos 70cos 40sin 70sin 40cos(7040)cos30+=+--=+=-=
=（2）
六、课后作业（1分钟）
1.作业：P137：2、3、4
2.课后提升：
提示：在求解cos α、sin β的过程中，一定要弄清角的范围，准确判断三角函数值的符号 45sin ,(,),cos ,cos().5213πααπββαβ=∈=-- 已知是第三象限角，求的值。