北京市清华大学2020届高三中学生标准学术能力诊断性测试(11月)+数学(文)+Word版含答案

中学生标准学术能力诊断性测试2019年11月测试

文科数学试卷(一卷)

本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.己知全集U ＝R ，集合A ＝{x|

1x x

-≥0}，B ＝{x|y ＝lg(3x －1)}，则A ∩(U ðB)＝ A.(0，1] B.(0，13] C.(13，1] D.(－∞，13

] 2.己知a ∈R ，复数z ＝23a i i

-+(i 为虚数单位)，若z 为纯虚数，则a ＝ A.23 B.23- C.6 D.－6 3.某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取25名职工进行问卷调查，若采用分层抽样方法，则40～50岁年龄段应抽取的人数是

A.7

B.8

C.9

D.10

4.下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是

A.y ＝3－x

B.y ＝log 0.5x

C.21y x =

D.12

x y x +=+ 5.已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线交于A 、B 两点，若|AF|＝3|BF|，则|AB|＝

A.4

B.

92 C.132 D.163

6.己知1tan()43πα-=-，则sin(2)2sin()cos()2

παπαπα+--+= A.75 B.15 C.15- D.3125 7.设变量x 、y 满足约束条件20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩

，且z ＝kx ＋y 的最大值为12，则实数k 的值为

A.－2

B.－3

C.2

D.3

8.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，v ，若a ＝1，c ＝bsinA ＝asin(

3π－B)，则sinC ＝

9.某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为l ，则该三棱锥外接球的表面积为

A.27π

B.28π

C.29π

D.30π

10.函数13cos 6

x y x e =-的大致图象是

11.已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，直线l ：y 与C 交于A ，B 两点，AF ，BF 的中点分别为M ，N ，若以线段MN 为直径的圆经过原点，则双曲线的离心率为

A.3 1 2 1

12.在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，∠A ＝600，M 为△ABC 的外心，若AM AB AC λμ=+，λ，μ∈R ，则4λ＋3μ＝ A.34 B.53 C.73 D.83

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.己知{a n }为等比数列，若a 3＝3，a 5＝12，则“a 7＝ 。

14.若函数f(x)＝2cos(x ＋2θ)＋cos2x(0<θ<

2

π)的图象过点M(0，1)，则f(x)的值域为 。

15.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：

1,(,)()0,0,1[0,1]q q x p q q

p p R x x ⎧=⎪=⎨⎪=⎩

当都是正整数,是既约真分数当或上的无理数， 若函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有f(2－x)＋f(x)＝0，当x ∈[0，1]时，f(x)＝R(x)，则18()(lg30)5

f f += 。 16.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，过点D 1、E 、F 的截面将正方体分割成两部分，则较小部分几何体的体积为 。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：60分。

17.(12分)某学校为了解学生假期参与志愿服务活动的情况，随机调查了30名男生，30名女生，得到他们一周参与志愿服务活动时间的统计数据如右表(单位：人)：

(1)能否有95%的把握认为该校学生一周参与志愿服务活动时间是否超过1小时与性别有关？

(2)以这60名学生参与志愿服务活动时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机抽查10名学生，试估计这10名学生中一周参与志愿服务活动时间超过1小时的人数。

2

2

()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++

18.(12分)已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 4－3a 2＝7；数列{b n }为等比数列。且b 1＝a 2，b 4＝S 9。

(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；

(2)若n n n a c b =，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求证13

≤T n ≤1。 19.(12分)如图，已知四边形ABCD 为梯形，AB//CD ， ∠CBA ＝900，四边形ACFE 为矩形，且平面ACFE ⊥平面ABCD ，又AB ＝BC ＝CF ＝a ，CD ＝2a 。

(1)求证：DE ⊥BF ；

(2)求点E 到平面BDF 的距离。

20.(12分)己知点M(2，53

)在椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>上，A 1，A 2分别为E 的左、右顶点，直线A 1M 与A 2M 的斜率之积为59-，F 为椭圆的右焦点，直线l ：x ＝

92

。 (1)求椭圆E 的方程；

(2)直线m 过点F 且与椭圆E 交于B ，C 两点，直线BA 2、CA 2分别与直线l 交于P ，Q 两点。试问：以PQ 为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标。否则，请说明理由。

21.(12分)已知函数f(x)＝lnx －ax ，a ∈R 。

(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f(x)在点M(1，f(1))处的切线方程；

(2)当a>1时，求证：函数g(x)＝f(x)＋a 恰有两个零点。

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程选讲](10分)

以平面直角坐标系中的坐标原点为极点，x 轴的正半抽为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝6sin θ＋4cos θ，直线l 的参数方程是4cos 3sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩

，(t 为参数)。 (1)求曲线C 的直角坐标方程；