2017年辽宁省抚顺市高考数学一模试卷(文科)含答案解析
辽宁省抚顺市高考数学一模试卷(文科).docx
2016年辽宁省抚顺市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．若集合A={x|x+2＜0}，B={x|﹣4＜x＜3}，则集合A∩B为（）A．{x|x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣4＜x＜2} D．{x|﹣2＜x＜3}2．已知i是虚数单位，则复数z=的虚部是（）A．B．C．﹣ D． i3．已知命题p：“∀a＞0，有e a≥1成立”，则￢p为（）A．∃a≤0，有e a≤1成立B．∃a≤0，有e a≥1成立C．∃a＞0，有e a＜1成立D．∃a＞0，有e a≤1成立4．设sinα=，α∈（，π），则tanα的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣5．已知向量||=4，||=3，且（+2）（﹣）=4，则向量与向量的夹角θ的值为（）A．B．C． D．6．若实数x，y满足，则z=x+2y的最小值是（）A．0 B．C．5 D．17．已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（）A．9 B．9+C．12D．128．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A ．﹣1B ．﹣2C ．2D ．9．已知直线l ：kx+y ﹣2=0（k ∈R ）是圆C ：x 2+y 2﹣6x+2y+9=0的对称轴，过点A （0，k ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则线段AB 的长为（ ）A ．2B ．2C ．3D ．210．已知SC 是球O 的直径，A ，B 是该球面上的两点，△ABC 是边长为的正三角形，若三棱锥S ﹣ABC 的体积为，则球O 的表面积为（ ）A ．16πB ．18πC ．20πD ．24π11．设函数f （x ）的定义域为R ，f （x ）=且对任意的x ∈R 都有f （x+1）=f （x ﹣1），若在区间[﹣1，3]上函数g （x ）=f （x ）﹣mx ﹣m 恰有四个不同零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[0，]B ．[0，）C ．（0，]D ．（0，]12．若函数f （x ）=﹣lnx 在x=x 0处取得最大值，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x 0）＜x 0B ．f （x 0）=x 0C ．f （x 0）＞x 0D ．f （x 0）=﹣x 0二、填空题:本大题共4小题。
辽宁省沈阳市2017-2018学年高三一模数学(文)试卷 Word版含解析
辽宁省沈阳市2017-2018学年高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合（∁U M）∩N等于( ) A．{2，3} B．{2，3，5，6} C．{1，4} D．{1，4，5，6}2．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=( )A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是( )A．（0，a）B．（a，0）C．（0，）D．（，0）5．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=( ) A．5 B．6 C．7 D．86．已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是( )A．B．C．2cm3D．4cm37．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为( )A．3 B．﹣3 C．1 D．8．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为( )A．4 B．5 C．6 D．79．已知函数，若，则f（﹣a）=( )A．B．C．D．10．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=( )A．B．C．D．11．函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于( )A．2 B．4 C．6 D．812．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为( )A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是__________．14．已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=__________．15．若直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是__________．16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A=，AC=4，AA1=4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q=3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值__________．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．18．某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如表所示参加社团活动不参加社团活动合计学习积极性高17 8 25学习积极性一般 5 20 25合计22 28 50（Ⅰ）如果随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是多少？抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少？（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系？并说明理由．x2=．P（x2≥k）0.05 0.01 0.001K 3.841 6.635 10.82819．如图，设四棱锥E﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，AE=BE=．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），e=，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C交于点A、B，点A，B的中点横坐标为，且=λ（其中λ＞1）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．选修4-1：几何证明选讲22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC 于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧BD的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角α=．（Ⅰ）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．辽宁省沈阳市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合（∁U M）∩N等于( ) A．{2，3} B．{2，3，5，6} C．{1，4} D．{1，4，5，6}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：由补集的定义可得∁U N={2，3，5}，则（∁U N）∩M={2，3}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=( )A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：根据所给的等式两边同时除以1﹣i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果．解答：解：∵复数z满足z（1﹣i）=2i，∴z==﹣1+i故选A．点评：本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算．3．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：计算题；简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．4．抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是( )A．（0，a）B．（a，0）C．（0，）D．（，0）考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先将抛物线的方程化为标准式，再求出抛物线的焦点坐标．解答：解：由题意知，y=4ax2（a≠0），则x2=，所以抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是（0，），故选：C．点评：本题考查抛物线的标准方程、焦点坐标，属于基础题．5．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=( ) A．5 B．6 C．7 D．8考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由S n+2﹣S n=36，得a n+1+a n+2=36，代入等差数列的通项公式求解n．解答：解：由S n+2﹣S n=36，得：a n+1+a n+2=36，即a1+nd+a1+（n+1）d=36，又a1=1，d=2，∴2+2n+2（n+1）=36．解得：n=8．故选：D．点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础题．6．已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是( )A．B．C．2cm3D．4cm3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体，然后直接利用三棱锥的体积公式求解．解答：解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，如图，故，故选B．点评：本题考查了棱锥的体积，考查了空间几何体的三视图，能够由三视图还原得到原几何体是解答该题的关键，是基础题．7．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为( )A．3 B．﹣3 C．1 D．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．解答：解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选A．点评：本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．8．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为( )A．4 B．5 C．6 D．7考点：程序框图．专题：计算题；规律型；算法和程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．第一次运行：满足条件，s=1，k=1；第二次运行：满足条件，s=3，k=2；第三次运行：满足条件，s=11＜100，k=3；满足判断框的条件，继续运行，第四次运行：s=1+2+8+211＞100，k=4，不满足判断框的条件，退出循环．故最后输出k的值为4．故选：A．点评：本题考查根据流程图（或伪代码）输出程序的运行结果．这是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9．已知函数，若，则f（﹣a）=( )A．B．C．D．考点：函数的值．专题：计算题．分析：利用f（x）=1+，f（x）+f（﹣x）=2即可求得答案．解答：解：∵f（x）==1+，∴f（﹣x）=1﹣，∴f（x）+f（﹣x）=2；∵f（a）=，∴f（﹣a）=2﹣f（a）=2﹣=．故选C．点评：本题考查函数的值，求得f（x）+f（﹣x）=2是关键，属于中档题．10．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=( )A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求．解答：解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0，E，F为BC边的三等分点，则=（+）•（+）=（）•（）=（+）•（+）=++=×（1+4）+0=．故选B．点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算能力，属于中档题．11．函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于( )A．2 B．4 C．6 D．8考点：奇偶函数图象的对称性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：压轴题；数形结合．分析：的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．解答：解：函数，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图当1＜x≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在和上是减函数；在和上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：x A+x H=x B+x G═x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8故选D点评：发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为( )A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解答：解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是y=x．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的a，b，再由渐近线方程y=x，即可得到所求方程．解答：解：双曲线E的标准方程是，则a=2，b=1，即有渐近线方程为y=x，即为y=x．故答案为：y=x．点评：本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．14．已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项的特点发现仍是等比数列，根据等比数列求和公式可得出答案．解答：解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故答案为．点评：本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息．15．若直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是3+2．考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：把点（1，1）代入直线方程，得到=1，然后利用a+b=（a+b）（），展开后利用基本不等式求最值．解答：解：∵直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）∴=1，∴a+b=（a+b）（）=3+≥3+2，当且仅当b=a时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2．故答案为：3+2．点评：本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题．16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A=，AC=4，AA1=4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q=3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PQ与AC所成角的正弦值．解答：解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意得A（0，4，0），C（0，0，0），B（4，0，0），M（0，4，2），A1（0，4，4），P（2，2，1），==（0，4，4）=（0，1，1），∴Q（0，1，1），=（0，﹣4，0），=（﹣2，﹣1，0），设异面直线PQ与AC所成角为θ，cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．故答案为：．点评：本题考查异面直线PQ与AC所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（I）先化简求得解析式f（x）=sin（2x﹣）+，从而可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）先求2x﹣的范围，可得sin（2x﹣）的范围，从而可求函数f（x）的值域．解答：解：（I）f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x …=sin（2x﹣）+．…函数f（x）的最小正周期为T=π．…因为﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，所以函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，．…（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]sin（2x﹣）∈[﹣，1]，…所以函数f（x）的值域为f（x）∈[0，1+]．…点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．18．某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如表所示参加社团活动不参加社团活动合计学习积极性高17 8 25学习积极性一般 5 20 25合计22 28 50（Ⅰ）如果随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是多少？抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少？（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系？并说明理由．x2=．P（x2≥k）0.05 0.01 0.001K 3.841 6.635 10.828考点：独立性检验的应用．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）求出积极参加社团活动的学生有22人，总人数为50人，得到概率，不参加社团活动且学习积极性一般的学生为20人，得到概率．（Ⅱ）根据条件中所给的数据，代入求这组数据的观测值的公式，求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系．解答：解：（Ⅰ）积极参加社团活动的学生有22人，总人数为50人，所以随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是=；抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生为20人，所以其概率为=；（Ⅱ）x2=≈11.7∵x2＞10.828，∴有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系．点评：本题考查独立性检验的意义，是一个基础题，题目一般给出公式，只要我们代入数据进行运算就可以，注意数字的运算不要出错．19．如图，设四棱锥E﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，AE=BE=．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）取AB的中点O，连结EO、CO，由已知得△ABC是等边三角形，由此能证明平面EAB⊥平面ABCD．（II）V E﹣ABCD=，由此能求出四棱锥E﹣ABCD的体积．解答：（I）证明：取AB的中点O，连结EO、CO．由AE=BE=，知△AEB为等腰直角三角形．故EO⊥AB，EO=1，又AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是等边三角形，从而CO=．又因为EC=2，所以EC2=EO2+CO2，所以EO⊥CO．又EO⊥AB，CO∩AB=O，因此EO⊥平面ABCD．又EO⊂平面EAB，故平面EAB⊥平面ABCD．…（II）解：V E﹣ABCD===．…点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），e=，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C交于点A、B，点A，B的中点横坐标为，且=λ（其中λ＞1）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）由条件可知c=1，a=2，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）由，可知A，B，F三点共线，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB⊥x 轴，则x1=x2=1，不合意题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k（x﹣1）．由，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出实数λ的值．解答：解：（I）由条件可知c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，椭圆的标准方程是．…（Ⅱ）由，可知A，B，F三点共线，设A（x1，y1），B（x2，y2），若直线AB⊥x轴，则x1=x2=1，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k（x﹣1）．由，消去y得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．①由①的判别式△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=144（k2+1）＞0．因为，…所以=，所以．…将代入方程①，得4x2﹣2x﹣11=0，解得x=．…又因为=（1﹣x1，﹣y1），=（x2﹣1，y2），，，解得．…点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的实数的值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值；（Ⅱ）构造函数，利用导数证明不等式即可；（Ⅲ）利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论．解答：解答：（I）函数的f（x）的导数f′（x）=，∵过点A（2，f（2））的切线斜率为2，∴f′（2）==2，解得a=4．…（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣）=a（lnx﹣1+）；则函数的导数g′（x）=a（）．…令g′（x）＞0，即a（）＞0，解得x＞1，∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．∴g（x）最小值为g（1）=0，故f（x）≥a（1﹣）成立．…（Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，则h′（x）=﹣1，令h′（x）＞0，解得x＜a．…当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）＞h（1）=0．…当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．…当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0，∵h（e）=a+1﹣e＜0不合题意．…综上，a≥e﹣1…点评：本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握导数的几何意义，函数单调性最值和导数之间的关系，考查学生的综合应用能力．选修4-1：几何证明选讲22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC 于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧BD的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：（I）要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明∠CAB=∠DAC，根据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，我们易根据同角的余角相等，得到结论．（II）由已知及（I）的结论，我们易证明△BFC及△GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论．解答：解：（I）∵CF=FG∴∠CGF=∠FCG∴AB圆O的直径∴∵CE⊥AB∴∵∴∠CBA=∠ACE∵∠CGF=∠DGA∴∴∠CAB=∠DAC∴C为劣弧BD的中点（II）∵∴∠GBC=∠FCB∴CF=FB同理可证：CF=GF∴BF=FG点评：本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根据AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角α=．（Ⅰ）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）利用同角的三角函数的平方关系消去θ，得到圆的普通方程，再由直线过定点和倾斜角确定直线的参数方程；（Ⅱ）把直线方程代入圆的方程，得到关于t的方程，利用根与系数的关系得到所求．解答：解：（I）消去θ，得圆的标准方程为x2+y2=16．…直线l的参数方程为，即（t为参数）…（Ⅱ）把直线的方程代入x2+y2=16，得（1+t）2+（2+t）2=16，即t2+（2+）t﹣11=0，…所以t1t2=﹣11，即|PA|•|PB|=11．…点评：本题考查了圆的参数方程化为普通方程、直线的参数方程以及直线与圆的位置关系问题，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数最值的应用．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：（1）分类讨论，当x≥4时，当时，当时，分别求出不等式的解集，再把解集取交集．（2）利用绝对值的性质，求出f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．解答：解：（1）当x≥4时f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0得x＞﹣5，所以，x≥4时，不等式成立．当时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以，1＜x＜4时，不等式成立．当时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以，x＜﹣5成立综上，原不等式的解集为：{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当，所以，f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．点评：本题考查绝对值不等式的解法，求函数的最小值的方法，绝对值不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想．。
辽宁省抚顺市高2020届高2017级高三下学期二模考试文科数学试题及参考答案解析
2020年420模拟考试 数学试卷(文科)一､选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{1,0,1,2,3}A =-,{|31}B x x =-<<,则A B =( )A.{|12}x x -<<B.{1,0,1}-C.{1,0}-D.{0,1}【参考答案】：C找两个集合的公共元素.【详细解答】∵{1,0,1,2,3}A =-,{|31}B x x =-<<, ∴{}1,0A B ⋂=- 故选：C.本题考查集合的交集运算,考查理解辨析能力,是基础题. 2.(2)(1)i i ++=( ) A.13i + B.13i - C.13i -+ D.13i --【参考答案】：A复数的乘法类似于多项式乘多项式,遇到2i 化为1-. 【详细解答】2(2)(1)2213i i i i i i ++=+++=+. 故选：A.本题考查复数的乘法运算,考查运算求解能力,是基础题. 3.已知向量(2,23a =,()3,b m =,则向量a b ⊥,则m =( )A.3B.3-C.1D.1-【参考答案】：D利用向量垂直的坐标表示列方程,解方程求得m 的值.【详细解答】因为a b ⊥,所以20+=,所以1m =-. 故选：D本小题主要考查向量垂直的坐标表示,属于基础题. 4.已知3tan 4α=,则sin 2cos 2sin cos αααα-=+( ) A.2-B.2C.12-D.12【参考答案】：C分子分母同除cos α,利用同角三角函数的基本关系式化简求值. 【详细解答】sin 2cos tan 212sin cos 2tan 12αααααα--==-++.故选：C.本题考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值,考查运算求解能力,是基础题. 5.已知3log 5a =,0.23b -=, 1.23c =,则( ) A.b c a << B.b a c <<C.a c b <<D.a b c <<【参考答案】：B利用对数函数和指数函数单调性与特殊值比较大小,再比较,,a b c 的大小. 详解】∵3331log log 5lo 392g =<<=,0.2031-<<, 1.233>, ∴b a c <<. 故选：B.本题考查利用利用对数函数和指数函数单调性比较大小,先判断正负,再看具体情况与特殊值比较,考查运算求解能力,是基础题.6.下图是甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图(虚线代表甲,实线代表乙).根据下图中的信息,下面说法错误．．的是( )A.甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数B.甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数C.甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同D.甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差【参考答案】：B通过雷达图分别求出甲、乙轮胎宽度的平均数、众数中位数和极差,对照选项选出错误的答案. 【详细解答】由题意可知甲厂轮胎宽度的平均数是195,众数是194,中位数是194.5,极差是3；乙厂轮胎宽度的平均数是194,众数是195,中位数是194.5,极差是5；则A,C,D正确,B错误.故选：B.本题考查用雷达图计算平均数、众数中位数和极差,需注意甲、乙数据不要搞混,考查理解辨析能力和运算求解能力,是基础题.7.函数2()1cos1xf x xe⎛⎫=-⎪-⎝⎭的部分图象大致为( )A. B.C. D.【参考答案】：D先利用函数的奇偶性进行排除,再利用特殊取值判断. 【详细解答】()21222()1cos()1cos cos 1cos 1111x x x x x xe ef x x x x x e e e e ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-==-- ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭即()()f x f x -=-,所以()f x 是奇函数,排除A,B ； 当02x π<<时,2101xe-->-,cos 0x >,则()0f x >,排除C. 故选：D.本题考查利用函数解析式判断函数图像,考查理解辨析能力和推理论证能力,是基础题. 8.已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半,且其轴截面的周长是18,则该圆柱的侧面积是( ) A.18πB.36πC.27πD.54π【参考答案】：A分别设出圆柱的底面半径和高,由已知列出关于底面半径和高的方程,解方程,最后可求圆柱的侧面积.【详细解答】设圆柱的底面圆的半径为r ,高为h ,由题意可得2212222(2)18rhr rhr hπππ⎧=⎪+⎨⎪+=⎩,解得3r h==,则该圆柱的侧面积是218rhππ=.故选：A.本题考查圆柱表面积和轴截面周长的计算,考查运算求解能力和直观想象能力,是基础题.9.如图,P,Q是函数()cos()(0,0,0)f x A x Aωϕωπϕ=+>>-<<的图象与x轴的两个相邻交点,(1,2)M是函数()f x的图象的一个最高点,若MPQ是等腰直角三角形,则函数()f x的解析式是( )A.()2cos24f x xππ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.()2cos44f x xππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.()2cos22f x xππ⎛⎫=-⎪⎝⎭D.()2cos42f x xππ⎛⎫=-⎪⎝⎭【参考答案】：B通过(1,2)M,MPQ是等腰直角三角形,可得||PQ长度,从而求出周期T,由T可得ω得值,再将(1,2)M代入()f x计算ϕ的值,最后可得()f x的解析式.【详细解答】由题意可得2A=,因为MPQ是等腰直角三角,所以||4PQ=,所以42T=,即8T=则24Tππω==,故()2cos4f x xπϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭,将(1,2)M代入()f x解析式得2cos24πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭,可得24k πϕπ+=()k ∈Z ,解得24k πϕπ=-+()k ∈Z ,因为||2ϕπ<,所以4πϕ=-,则()2cos 44f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：B.本题考查三角函数识图求解析式,考查理解辨析能力和运算求解能力,是基础题.10.祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家.他一生钻研自然科学,其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面,特别是在探索圆周率π的精确度上,首次将“π”精确到小数点后第七位,即 3.1415926π=,在此基础上,我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a ,b ,则事件“||3a b -≤”的概率为( ) A.13B.815C.23D.715【参考答案】：B把第三到第八位6个有效数字两两组合,列出所有可能情况,找出符合要求事件个数,求概率. 【详细解答】由题意可知第三到第八位有效数字为4,1,5,9,2,6, 则取到数字a ,b 的情况有(4,1),(4,5),(4,9),(4,2),(4,6),(1,5),(1,9),(1,2),(1,6),(5,9),(5,2),(5,6),(9,2),(9,6),(2,6),共15种,其中符合条件的有8种,故所求概率815P =. 故选：B.本题考查用列举法求古典概型的概率,考查数据处理能力和运算求解能力,是基础题. 11.已知直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点F ,且与抛物线C 在第一象限的交点为M ,点N在抛物线C 的准线1l 上,且1MN l ⊥.若点M 到直线NF 的距离是则直线l 的斜率是( )A.C.【参考答案】：D设出M 点坐标,由此得到N 的坐标,求出直线NF 的方程,利用点到直线距离公式列方程,由此求得M 点的坐标,进而求得直线l 的斜率.【详细解答】由题意可知()2,0F ,设()00,M x y ,则()02,N y -, 直线NF 的方程为()024y y x =--,即00204y x y y +-=. 因为点M 到直线NF的距离是=因为点M 在抛物线C 上,所以208y x =,=整理得()2200166448y y ⋅+=⨯,解得0y =,所以06x =,即(M ,故直线l=故选：D本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查点到直线的距离公式,属于中档题.12.若对任意实数(],1x ∈-∞,2211xx ax e-+≥恒成立,则a =( ) A.12-B.0C.12D.e【参考答案】：A构造函数()()2211xx ax f x x e -+=≤,求得()'f x ,对a 进行分类讨论,结合2211x x ax e -+≥恒成立,求得a 的值.【详细解答】()()2211xx ax f x x e -+=≤,则()()()()1211xx x a f x x e --+⎡⎤⎣⎦'=≤. 当211a +≥,即0a ≥时,()0f x '≤,则()f x 在(],1-∞单调递减, 故()()2211a f x f e -≥=≥,解得102ea ≤-<,所以0a ≥不符合题意； 当211a +<,即0a <时,()f x 在(),21a -∞+上单调递减,在(]21,1a +上单调递增, 则()()min 21f x f a =+.因为2211xx ax e-+≥,所以()()2122211a a f x f a e ++≥+=≥. 令211a t +=<,不等式21221a a e ++≥可转化10t e t --≤,设()1tg t e t =--,则()1tg t e '=-,令()0g t '<,得0t <；令()0g t '>,得01t <<, 则()g t 在(),0-∞上单调递减,在()0,1上单调递增, 当0t =时,()g t 有最小值0,即()0g t ≥,因为()0g t ≤,所以()0g t =,此时210a +=,故12a =-. 故选：A本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查分类讨论的数学思想方法,属于难题. 二､填空题13.已知双曲线22214x y a -=的一条渐近线方程为3y x =,则该双曲线的实轴长为______.【参考答案】：根据双曲线的渐近线方程求得ba,结合24b =求得a 的值,进而求得双曲线的实轴长.【详细解答】由题意可得2334b a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,解得23a =,则该双曲线的实轴长为243a =.故答案为：43本小题主要考查双曲线的渐近线方程,属于基础题.14.若实数x ,y 满足约束条件2022033x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =-的最小值为__________.【参考答案】：11-根据不等式组作出可行域,结合可行域求目标函数最值. 【详细解答】如图,可行域为图中阴影部分,目标函数3z x y =-在点59,22A ⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值,5931122z =-⨯=-.故答案为：11-.本题考查线性规划求目标函数最值,考查运算求解能力和数形结合思想,是基础题. 15.在ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知(sin 3)csin sin b B C C a A -+=,且8+=b c ,则ABC 的面积的最大值是__________. 【参考答案】：4利用正弦定理把已知等式角化边,并结合余弦定理可求得角A ；8+=b c ,利用基本不等式可得bc 的最大值,最后可得ABC 的面积的最大值.【详细解答】因为(sin )sin sin b B C c C a A -+=,所以222b c a -+=,即222b c a +-=,所以222cos 2b c a A bc +-==, 则1sin 2A =. 因为8+=b c ,所以2162b c bc +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭(当且仅当4b c ==时,等号成立), 故ABC 的面积111sin 164222S bc A =≤⨯⨯=. 故答案为：4.本题考查利用正、余弦定理解三角形,并求三角形面积的最值,考查运算求解能力,是中档题. 16.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,AD CD =,24AB BC ==,四边形ABCD 的外接圆的圆心在线段AC 上.若四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36,则该四棱柱的外接球的体积为______.【参考答案】：36π根据四棱柱1111ABCD A B C D -的体积求得侧棱长,利用勾股定理计算出四棱柱外接球的半径,进而计算出外接球的体积.【详细解答】由题意可得ABC 和ACD 都是以AC 为斜边的直角三角形,因为24AB BC ==,所以AC =因为AD CD =,所以AD CD ==所以四边形ABCD 的面积11421010922S =⨯⨯+⨯⨯=. 因为四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36,所以14AA =,所以该四棱柱的外接球的半径22154322R AC AA ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ =⎪⎝⎭⎝⎭,故该四棱柱的外接球的体积为34π36π3R =. 故答案为：36π本小题主要考查几何体外接球的有关计算,属于基础题. 三､解答题：17.在数列{}n a 中,11a =,23a =,11320n n n a a a +--+=(n +∈N 且2n ≥). (1)证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式.【参考答案】：(1)见解析；(2)21nn a =-.(1)利用定义法证明数列{}1n n a a +-是等比数列；(2)结合数列{}1n n a a +-的通项公式,利用累加法可求得数列{}n a 的通项公式. 【详细解答】(1)证明：∵11320n n n a a a +--+=, ∴()112n n n n a a a a +--=-,又11a =,23a =,2120a a ∴-=≠； ∴112n nn n a a a a +--=-(n +∈N ,且2n ≥),故数列{}1n n a a +-是首项和公比都是2的等比数列；(2)解：由(1)可得12nn n a a +-=, 则112n n n a a ---=(n +∈N ,且2n ≥),故()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+…12322221n n n ---=+++++…122112n n -==--(n +∈N ,且2n ≥), 当1n =时,1a 1=满足上式,∴21nn a =-.本题考查了等比数列的证明方法——定义法,等比数列通项公式,累加法求求通项公式,特别是累加法求通项要验证首项,考查理解辨析能力和运算求解能力,是中档题.18.某中学有教师400人,其中高中教师240人.为了了解该校教师每天课外锻炼时间,现利用分层抽样的方法从该校教师中随机抽取了100名教师进行调查,统计其每天课外锻炼时间(所有教师每天课外锻炼时间均在[]0,60分钟内),将统计数据按[)0,10,[)10,20,[)20,30,…,[]50,60分成6组,制成频率分布直方图如下：假设每位教师每天课外锻炼时间相互独立,并称每天锻炼时间小于20分钟为缺乏锻炼. (1)试估计本校教师中缺乏锻炼的人数；(2)若从参与调查,且每天课外锻炼时间在[]50,60内的该校教师中任取2人,求至少有1名初中教师被选中的概率. 【参考答案】：(1)176人.(2)710(1)先求得样本中初中、高中教师缺乏锻炼的频率,由此计算出该校教师中缺乏锻炼的人数.利用列举法,结合古典概型概率计算公式,计算出所求概率. (2)利用列举法,结合古典概型概率计算公式,计算出所求概率.【详细解答】(1)由题意可得样本中初中教师缺乏锻炼的频率为()0.0150.020100.35+⨯=, 样本中高中教师缺乏锻炼的频率为()0.0100.040100.5+⨯=,估计该校教师中缺乏锻炼的人数为1600.352400.556120176⨯+⨯=+=.(2)由题意可参与调查初中教师每天课外锻炼时间在[]50,60的人数为400.052⨯=,记为a ,b ；高中教师每天课外锻炼时间在[]50,60的人数为600.053⨯=,记为D ,E ,F . 从这5人中选取2人的情况有(),a b ,(),a D ,(),a E ,(),a F ,(),b D ,(),b E ,(),b F ,(),D E ,(),D F ,(),E F ,共10种；其中符合条件的情况有(),a b ,(),a D ,(),a E ,(),a F ,(),b D ,(),b E ,(),b F ,共7种. 故所求概率710P =. 本小题主要考查利用频率分布直方图进行估计,考查古典概型概率计算,属于基础题. 19.如图1,在梯形ABCD 中,//AB CD ,且24AB CD ==,ABC 是等腰直角三角形,其中BC 为斜边.若把ACD 沿AC 边折叠到ACP △的位置,使平面PAC ⊥平面ABC ,如图2.(1)证明：AB PA ⊥；(2)若E 为棱BC 的中点,求点B 到平面PAE 的距离. 【参考答案】：(1)见解析；(2)263.(1)证明AB ⊥平面PAC ,则有AB PA ⊥； (2)等体积法求点到平面的距离.【详细解答】(1)证明：∵ABC 是等腰直角三角形,BC 为斜边, ∴AB AC ⊥.∵平面PAC ⊥平面ABC ,平面PAC 平面ABC AC =,AB平面ABC∴AB ⊥平面PAC , ∵PA ⊂平面PAC , ∴AB PA ⊥；(2)解：由(1)知AB AC ⊥,PC ⊥平面ABC , 由题意可得2PC =,4AC AB ==,AC AB ⊥, 则42BC =41625PA =+=∵E 为棱BC 的中点, ∴1222AE CE BC ===∴4823PE =+=在PAE △中,22AE =5PA =3PE =∴222AE PE PA +=, 即AE PE ⊥,则PAE △的面积为12⨯=设点B 到平面PAE 的距离为h ∵B PAE P ABE V V --=,∴21111423322⨯=⨯⨯⨯⨯,∴h =. 本题考查线面垂直的判定,面面垂直的性质,点到平面距离的求法,考查直观想象能力、推理论证能力和运算求解能力,是中档题. 20.已知函数()()xf x ax e a =-∈R . (1)讨论()f x 的单调性；(2)讨论()f x 在(0,)+∞上的零点个数.【参考答案】：(1)当0a ≤时,()f x 在R 上单调递减,当a 0>时,()f x 在(,ln )a -∞上单调递增,在(ln ,)a +∞上单调递减；(2)当a e <时,()f x 在(0,)+∞上没有零点,当a e =时,()f x 在(0,)+∞上只有一个零点,当a e >时,()f x 在(0,)+∞上有两个零点.(1)利用函数()f x 的导函数,分类讨论参数a ,得出()f x 的单调性；(2)转化问题,原函数有零点即函数()(0)x e g x x x =>有解,求导得出()(0)x e g x x x=>的单调性和极值,分类讨论得出()f x 在(0,)+∞上的零点个数. 【详细解答】解：(1)∵()xf x ax e =-,∴()xf x a e '=-,当0a ≤时,()0f x '<恒成立,∴()f x 在R 上单调递减, 当0a >时,令()0f x '>,得ln x a <,令()0f x '<,得ln x a >. ∴()f x 在(,ln )a -∞上单调递增,在(ln ,)a +∞上单调递减, 综上所述,当0a ≤时,()f x 在R 上单调递减,当a 0>时,()f x 在(,ln )a -∞上单调递增,在(ln ,)a +∞上单调递减；(2)令()0xf x ax e =-=,得e xa x=,设()(0)x e g x x x =>,则2(1)()(0)x xe x e g x x x x -'==>.令()0g x '>,得1x >, 令()0g x '<,得01x <<,∴()g x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增,则()(1)g x g e ≥=.当a e <时,xea x=在(0,)+∞上无解,所以()f x 在(0,)+∞上没有零点；当a e =时,x ea x =在(0,)+∞上有且仅一个解,所以()f x 在(0,)+∞上有一个零点；当a e >时,x ea x=在(0,)+∞上有两个解,所以()f x 在(0,)+∞上有两个零点.综上,当a e <时,()f x 在(0,)+∞上没有零点； 当a e =时,()f x 在(0,)+∞上只有一个零点； 当a e >时,()f x 在(0,)+∞上有两个零点.本题考查利用导数研究含参数的函数单调性,利用导数求函数单调性和极值讨论函数零点问题,考查了分类讨论思想、转化与化归思想和运算求解能力,是中档题.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2,且四个顶点构成的四边形的面积是(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l 经过点(2,0)P -,且不垂直于y 轴,直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,M 为AB的中点,直线OM 与椭圆C 交于E ,F 两点(O 是坐标原点),若四边形AEBF 的面积为求直线l 的方程.【参考答案】：(1)22184x y +=；(2)20x ±+=.(1)离心率提供a 与c 的关系,四个顶点构成的四边形对角线互相垂直,列出等量关系求a ,b 的值；(2)直线l 经过点(2,0)P -,由直线点斜式方程设出直线l的方程,并设出直线l 与椭圆C 交点A 、B 的坐标,联立方程,由韦达定理可表示出AB 的中点M的坐标；由中点M 的坐标可得直线OM 的方程,联立直线OM 的方程与椭圆C 的方程,利用韦达定理可求||EF ,再利用点到直线距离公式可求点A 、B 到直线OM 的距离,由四边形AEBF 的面积为关系,最后可求出直线l 的方程.【详细解答】解：(1)由题意可得222212222c a a b ab a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅⋅==⎨⎪=+⎪⎪⎩解得a =2b =,故椭圆C 的方程为22184x y +=.(2)设直线l 的方程为2x my =-,()11,A x y ,()22,B x y .联立222184x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得()222440m y my +--=,则12242m y y m +=+,12242y y m =-+, 从而()12122842x x m y y m +=+-=-+,故2242,22m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭, 直线OM 的斜率为2m -,所以直线OM 的方程为2my x =-, 即20mx y +=.联立2220184mx y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得22162x m =+,则||EF ==设点A 到直线OM 的距离为d ,则点B 到直线OM 的距离也为d ,从而2d =.∵点A ,B 在直线OM 的两侧, ∴()()1122220mx y mx y ++<,∴112211222222mx y mx y mx y mx y +++=+--,则2d =,∵1222y y m -==+,∴2d =则四边形AEBF的面积11||222S EF d =⋅=⨯=∵四边形AEBF 的面积为∴=解得m =故直线l 的方程为20x +=.本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,联立方程利用韦达定理求弦长,考查转化与化归思想和运算求解能力,是难题.22.在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos 23sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. (1)求C 与l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于M ,N 两点,点(2,2)P -,求11||||PM PN +的值. 【参考答案】：(1)22(2)9x y +-=,40x y -+=；.(1)直接利用参数方程和极坐标方程转化公式,可得出C 与l 的直角坐标方程；(2)将直线l 的直角坐标方程化为参数方程,点(2,2)P -在直线上l ,利用参数t 的几何意义,可得11||||PM PN +的值. 【详细解答】解：(1)因为曲线C 的参数方程为3cos 23sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数),所以其直角坐标方程为22(2)9x y +-=, ∵直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴sin cos 4ρθρθ-=,∴其直角坐标方程为40x y -+=；(2)直线l 过点(2,2)P -且参数方程可表示为2222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),代入曲线C 的方程,得250t --=,则12t t +=125t t =-,∴121211||||t t PM PN t t -+==.本题考查了利用公式把参数方程、极坐标方程转化为直角坐标方程,直线参数方程参数t 的几何意义,考查运算求解的能力和转化与化归思想,是基础题. 23.已知函数()|||5|f x x a x =++-. (1)当3a =时,求不等式()10f x ≤的解集； (2)若()1f x ≥,求a 的取值范围.【参考答案】：(1)[4,6]-；(2)(,6][4,)-∞-⋃-+∞.(1)分类讨论去绝对值解不等式；(2)利用三角不等式解法解不等式,从而得出a 的取值范围.【详细解答】解：(1)当3a =时,22,3()8,3522,5x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩,不等式()10f x ≤等价于32210x x <-⎧⎨-+≤⎩或35810x -≤≤⎧⎨≤⎩或52210x x >⎧⎨-≤⎩,解得43x -≤<-或35x -≤≤或56x <≤. ∴原不等式的解集为[4,6]-；(2)()1f x ≥等价于|||5|1x a x ++-≥. 因为|||5||5|x a x x ++-≥+, 所以|5|1x +≥,所以4a ≥-或6a ≤-. 则a 的取值范围是(,6][4,)-∞-⋃-+∞.本题考查绝对值不等式的解法,考查绝对值三角不等式和绝对值不等式成立问题,考查运算求解能力、分类讨论思想和转化与化归思想,是基础题.。
辽宁省葫芦岛市2017-2018学年高三一模数学(文)试卷 Word版含解析
辽宁省葫芦岛市2017-2018学年高考数学一模试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若P={y|y≥0}，Q={x|﹣≤x≤}，则P∩Q=( )A．{0，} B．{（1，1），（﹣1，﹣1）} C．[0，]D．[﹣，]2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则|z|=( )A．5 B．C．1+2i D．±（1﹣2i）3．单位向量与的夹角为，则=( )A．B．1 C．D．24．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是( )A．B．C．D．35．下列中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β6．已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为( )A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=27．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=( )A．5 B．6 C．7 D．88．运行如图所示的程序，则运行后输出的结果为( )A．7 B．9 C．10 D．119．如图，在圆心角为直角的扇形OAB区域中，M、N分别为OA、OB的中点，在M、N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA、OB为直径的圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点无信号的概率是( )A．1﹣B．﹣C．+D．10．抛物线C1：y2=4x，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若C1的焦点恰为C2的右焦点，则2a+b的最大值为( )A．B．5 C．D．211．如图，一个几何体的三视图如图所示，则该多面体的几条棱中，最长的棱的长度为( )A．3B．C．D．312．已知f（x）=lnx﹣+，g（x）=﹣x2﹣2ax+4，若对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围是( )A．[﹣，+∞）B．[，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，]二、填空题（每小题5分，共20分）13．函数单调增区间为__________．14．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=__________．15．已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R则f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值分别为__________．16．给出如下四个结论：①已知集合{a，b，c}={1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b=3；③c≠1有且只有一个正确，则3a+2b+c等于14；②∃a∈R+，使的f（x）=﹣a有三个零点；③设直线回归方程为=3﹣2x，则变量x增加一个单位时，y平均减少2个单位；④若p：∀x∈R．e x＞x+1，则￢p为真．以上四个结论正确的是__________．（把你认为正确的结论都填上）三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}为等差数列，a3=5，a4+a8=22．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和公式S n；（2）令b n=，求证：b1+b2+…b n＜．18．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，BF⊥AE，F是垂足．（1）求证：BF⊥AC；（2）若CE=1，∠CBE=30°，求三棱锥F﹣BCE的体积．19．为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从2014-2015学年高二年级100名学生（其中走读生450名，住宿生550名）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查，根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组①[0，30），②[30，60）③[60，90）④[90，120）⑤[120，150）⑥[150，180）⑦[180，210）⑧[210，240），得到频率布直方图如图，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人．（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；（2）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：利用时间充分利用时间不充分合计走读生__________ __________ __________住校生__________ 10 __________合计__________ __________ __________据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住校有关？（3）若在第①组、第②组共抽出2人调查影响有效利用时间的原因，求抽出的2人中第①组第②组各有1人的概率．20．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+t（k≠0）与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与y轴交点P（0，﹣），求△MON（O为坐标原点）面积的最大值．21．已知f（x）=，g（x）=2lnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2=0．（1）求a，b的值；（2）若当x≥1时，g（x）≤mf（x）恒成立，求m的取值范围．【选修4—1】几何证明选讲22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【选修4—4】坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（θ为参数）若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin （θ+）=（其中t为常数）．（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；（2）当t=﹣2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离．【选修4—5】不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|．（1）解不等式f（x）＞5；（2）若关于x的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．辽宁省葫芦岛市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若P={y|y≥0}，Q={x|﹣≤x≤}，则P∩Q=( )A．{0，} B．{（1，1），（﹣1，﹣1）} C．[0，] D．[﹣，]考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由P与Q，求出两集合的交集即可．解答：解：∵P=[0，+∞），Q=[﹣，]，∴P∩Q=[0，]，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则|z|=( )A．5 B．C．1+2i D．±（1﹣2i）考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的运算法则求解即可．解答：解：复数z满足（1+2i）z=4+3i，两边求模可得：|1+2i||z|=|4+3i|，可得|z|=5，∴|z|=．故选：B．点评：本题考查复数的模的求法，复数的运算法则的应用，考查计算能力．3．单位向量与的夹角为，则=( )A．B．1 C．D．2考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，由||=||=1，与的夹角为60°，故，，，又由=，代入即可得到答案．解答：解：∵向量与为单位向量，且向量与的夹角为，∴，，∴===1﹣1+1=1∴=1故选B点评：向量的数量积运算中，要熟练掌握如下性质：==，4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是( )A．B．C．D．3考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：将“c2=（a﹣b）2+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，比较两式，得到ab的值，计算其面积．解答：解：由题意得，c2=a2+b2﹣2ab+6，又由余弦定理可知，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴﹣2ab+6=﹣ab，即ab=6．∴S△ABC==．故选：C．点评：本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是应用最为广泛，也是最方便的定理之一，2015届高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查．5．下列中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β考点：平面与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答时：A注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B反证法即可获得解答；C利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；D结合实物举反例即可．解答：解：由题意可知：A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此成立；B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此成立；C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故成立；D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此错误．故选D．点评：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用．值得同学们体会和反思．6．已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为( )A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=2考点：圆的标准方程．分析：圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．解答：解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是；圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是．故A错误．故选B．点评：一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．7．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=( )A．5 B．6 C．7 D．8考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．8．运行如图所示的程序，则运行后输出的结果为( )A．7 B．9 C．10 D．11考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：第1次执行循环体后，i=1，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第2次执行循环体后，i=2，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第3次执行循环体后，i=3，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第4次执行循环体后，i=4，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第5次执行循环体后，i=5，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第6次执行循环体后，i=6，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第7次执行循环体后，i=7，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第8次执行循环体后，i=8，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第9次执行循环体后，i=9，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第10次执行循环体后，i=10，S=lg，满足S＜﹣1，故输出的i值为10，故选：C点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．如图，在圆心角为直角的扇形OAB区域中，M、N分别为OA、OB的中点，在M、N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA、OB为直径的圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点无信号的概率是( )A．1﹣B．﹣C．+D．考点：几何概型．专题：应用题；概率与统计．分析：OA的中点是M，则∠CMO=90°，这样就可以求出弧OC与弦OC围成的弓形的面积，从而可求出两个圆的弧OC围成的阴影部分的面积，用扇形OAB的面积减去三角形的面积，减去加上两个弧OC围成的面积就是无信号部分的面积，最后根据几何概型的概率公式解之即可．解答：解：OA的中点是M，则∠CMO=90°，半径为OA=rS扇形OAB=πr2，S半圆OAC=π（）2=πr2，S△OmC=××=r2，S弧OC=S半圆OAC﹣S△ODC=πr2﹣r2，两个圆的弧OC围成的阴影部分的面积为πr2﹣r2，图中无信号部分的面积为πr2﹣r2﹣（πr2﹣r2）=πr2﹣r2，∴无信号部分的概率是：．故选：A．点评：本题主要考查了几何概型，解题的关键是求无信号部分的面积，不规则图形的面积可以转化为几个不规则的图形的面积的和或差的计算，属于中档题．10．抛物线C1：y2=4x，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若C1的焦点恰为C2的右焦点，则2a+b的最大值为( )A．B．5 C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点（1，0），即有c=1，即a2+b2=1，（a＞0，b＞0），设a=cosα，b=sinα（0＜α＜），运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到最大值．解答：解：抛物线C1：y2=4x的焦点为（1，0），即有双曲线的c=1，即a2+b2=1，（a＞0，b＞0），设a=cosα，b=sinα（0＜α＜），则2a+b=2cosα+sinα=（cosα+sinα）=sin（α+θ）（其中tanθ=2，θ为锐角），当α+θ=时，2a+b取得最大值，且为．故选A．点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系，运用三角换元和正弦函数的值域是解题的关键．11．如图，一个几何体的三视图如图所示，则该多面体的几条棱中，最长的棱的长度为( )A．3B．C．D．3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱锥，画出它的直观图，求出各条棱长即可．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是三棱锥P﹣ABC，如图所示；PA=4，AB=3+2=5，C到AB中点D的距离为CD=3，∴PB===，AC===，BC==，PC===，∴PB最长，长度为．故选：C．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征是什么．12．已知f（x）=lnx﹣+，g（x）=﹣x2﹣2ax+4，若对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围是( )A．[﹣，+∞）B．[，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，]考点：函数的单调性与导数的关系．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由题意，要使对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x1）min≥g（x2）min，且x1∈（0，2]，x2∈[1，2]，然后利用导数研究它们的最值即可．解答：解：因为f′（x）===，易知当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上递减，在[1，2]上递增，故f（x）min=f（1）=．对于二次函数g（x）=）=﹣x2﹣2ax+4，该函数开口向下，所以其在区间[1，2]上的最小值在端点处取得，所以要使对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x1）min≥g（x2）min，即或，所以或．解得．故选A．点评：本题考查了不等式恒成立问题以及不等式有解问题的综合思路，概念性很强，注意理解．二、填空题（每小题5分，共20分）13．函数单调增区间为（﹣∞，﹣2）．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：先求原函数的定义域，再将原函数分解成两个简单函数y=、g（x）=x2﹣4，因为y=单调递减，求原函数的单调递增区间，即求g（x）=x2﹣4的减区间（根据同增异减的性质），再结合定义域即可得到答案．解答：解：∵，∴要使得函数有意义，则x2﹣4＞0，即（x+2）（x﹣2）＞0，解得，x＜﹣2或x＞2，∴的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），要求函数的单调递增区间，即求g（x）=x2﹣4的单调递减区间，g（x）=x2﹣4，开口向上，对称轴为x=0，∴g（x）=x2﹣4的单调递减区间是（﹣∞，0），又∵的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），∴函数，的单调递增区间是（﹣∞，﹣2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）．点评：本题主要考查复合函数单调性的问题、函数单调性的应用、一元二次不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，求复合函数单调性时注意同增异减的性质即可，求单调区间特别要注意先求出定义域，单调区间是定义域的子集．属于基础题．14．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可．解答：解：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=f（8﹣）+f（8﹣）=f（﹣）+f（﹣）=﹣f（）﹣f（）===．故答案为：．点评：本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．15．已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R则f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值分别为、﹣．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），又x∈[﹣，]，可得2x﹣∈[﹣，]，根据正弦函数的性质即可得解．解答：解：∵f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+=cosx（sinx+cosx）﹣cos2x+=sinxcosx+cos2x﹣cos2x+=sin2x﹣×+=sin（2x﹣），又∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣=﹣，即x=﹣时，f（x）min=﹣，当2x﹣=，即x=时，f（x）min=，故答案为：、﹣．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的最值的解法，属于基本知识的考查．16．给出如下四个结论：①已知集合{a，b，c}={1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b=3；③c≠1有且只有一个正确，则3a+2b+c等于14；②∃a∈R+，使的f（x）=﹣a有三个零点；③设直线回归方程为=3﹣2x，则变量x增加一个单位时，y平均减少2个单位；④若p：∀x∈R．e x＞x+1，则￢p为真．以上四个结论正确的是③④．（把你认为正确的结论都填上）考点：的真假判断与应用．专题：阅读型；概率与统计；集合；简易逻辑．分析：对三个关系一一判断，结合集合中元素的性质，计算即可判断①；考虑抛物线和指数函数的图象的交点最多有2个交点，即可判断②；运用类似一次函数的单调性，即可判断③；取x=0，即可判断p假，进而判断④．解答：解：对于①，已知集合{a，b，c}={1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b=3；③c≠1有且只有一个正确，若①正确，则c=1，a=2，b=2不成立，若②正确，则b=3，c=1，a=3不成立，若③正确，则a=3，b=1，c=2，即有3a+2b+c=13，则①错误；对于②，∃a∈R+，f（x）=﹣a，令f（x）=0则有﹣x2﹣x+1=ae x，由于y=﹣x2﹣x+1为开口向下的抛物线，y=ae x为下凹的指数函数图象，它们最多有2个交点，则②错误；对于③，设直线回归方程为=3﹣2x，由一次函数的单调性，可得变量x增加一个单位时，y平均减少2个单位，则③正确；对于④，若x=0，则e x=x+1=1，即有p为假，则￢p为真，则④正确．故答案为：③④．点评：本题考查集合中元素的性质和函数的零点的个数，同时考查复合的真假和线性回归方程的特点，运用函数方程的转化思想和函数的性质是解题的关键．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}为等差数列，a3=5，a4+a8=22．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和公式S n；（2）令b n=，求证：b1+b2+…b n＜．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知求出等差数列的首项和公差，代入等差数列的通项公式和前n项和得答案；（2）把等差数列的前n项和代入b n=，列项和求出b1+b2+…b n，放缩后得答案．解答：（1）解：由a4+a8=22得：a6=11，又a3=5，∴d=2，则a1=a3﹣2d=1．∴a n=2n﹣1；S n=═n2 ；（2）证明：b n===，当n=1时，b1=，原不等式成立；当n≥2时，b1+b2+…+b n==＜=．∴b1+b2+…+b n＜．点评：本题考查了等差数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．18．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，BF⊥AE，F是垂足．（1）求证：BF⊥AC；（2）若CE=1，∠CBE=30°，求三棱锥F﹣BCE的体积．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．（1）欲证BF⊥AC，先证BF⊥平面AEC，根据线面垂直的判定定理可知只需证CE⊥BF，分析：BF⊥AE且CE∩AE=E，即可证得线面垂直；（2）V F﹣BCE=V C﹣BEF=•S△BEF•CE=••EF•BF•CE，即可求出三棱锥F﹣BCE的体积．解答：（1）证明：∵AB⊥平面BEC，CE⊂平面BEC，∴AB⊥CE∵BC为圆的直径，∴BE⊥CE．∵BE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，BE∩AB=B∴CE⊥平面ABE，∵BF⊂平面ABE，∴CE⊥BF，又BF⊥AE且CE∩AE=E，∴BF⊥平面AEC，∵AC⊂平面AEC，∴BF⊥AC…（2）解：在Rt△BEC中，∵CE=1，∠CBE=30°∴BE=，BC=2又∵ABCD为正方形，∴AB=2，∴AE=，∴BF•AE=AB•BE，∴BF=，∴EF=∴V F﹣BCE=V C﹣BEF=•S△BEF•CE=••EF•BF•CE=••••1=…点评：本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力，考查三棱锥F﹣BCE的体积的计算，属于中档题．19．为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从2014-2015学年高二年级100名学生（其中走读生450名，住宿生550名）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查，根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组①[0，30），②[30，60）③[60，90）④[90，120）⑤[120，150）⑥[150，180）⑦[180，210）⑧[210，240），得到频率布直方图如图，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人．（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；（2）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：利用时间充分利用时间不充分合计走读生30 15 45住校生45 10 55合计75 25 100据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住校有关？（3）若在第①组、第②组共抽出2人调查影响有效利用时间的原因，求抽出的2人中第①组第②组各有1人的概率．考点：频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）由分层抽样及频率分布直方图的特点即可求得结果；（2）由分布直方图可完成表格，再将数据带入给定的公式即可；（3）先列出基本事件总数的情况，再挑出满足条件的情况即可．解答：解：（1）设第i组的频率为P i（i=1，2，…，8），由图可知：P1=，P2=，∴学习时间少于60分钟的频率为P1+P2=，由题意：n×=5∴n=100，又P3=，P5=，P6=，P7=，P8=，∴P4=1﹣（P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8）=，∴第④组的高度为：h=，频率分布直方图如右图（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“走读生”有45人，利用时间不充分的有40人，从而2×2列联表如下：利用时间充分利用时间不充分总计走读生30 15 45住宿生45 10 55总计75 25 100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2==≈3.030，因为3.030＜3.841，所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关；（3）记第①组2人为A1、A2，第②组的3人为B1、B2、B2，则“从5人中抽取2人”所构成的基本事件空间Ω=“A1A2、A1B1、A1B2、A1B3、A2B1、A2B2、A2B3、B1B2、B1B3、B2B3”，共10个基本事件；记“抽取2人中第①组、第②组各有1人”记作事件A，则事件A所包含的基本事件有：A1B1、A1B2、A1B3、A2B1、A2B2、A2B3共6个基本事件，∴P（A）=，即抽出的2人中第①组第②组各有1人的概率为．点评：本题考查频率分布直方图及概率的计算，做题时要认真审题，弄清题意，属基础题．20．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+t（k≠0）与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与y轴交点P（0，﹣），求△MON（O为坐标原点）面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：对第（1）问，由离心率得a与c的等量关系，由椭圆的通径长为，得a与b有等量关系，结合c2=a2﹣b2，消去c，即得a2，b2，从而得椭圆C的标准方程．对第（2）问，联立直线l与椭圆C的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为G（x0，y0），由韦达定理及中点公式，得x0及y0的表达式，用k，t表示直线MN的垂直平分线的方程，将P点坐标（0，﹣）代入，得k与t的等量关系．由弦长公式，得|MN|，由点到直线距离公式，得△MON底边MN上的高，从而得△MON面积的表达式，即可探求其面积的最大值．解答：解：（1）设F（﹣c，0），由离心率知，a2=3c2=3（a2﹣b2），得3b2=2a2．…①易知，过F且与x轴垂直的直线方程为x=﹣c，代入椭圆方程中，得，解得y=±由题意，得，得．…②联立①、②，得，b2=2，故椭圆C的方程为．（2）由，消去y，整理，得（3k2+2）x2+6ktx+3t2﹣6=0，…③有△=24（3k2+2﹣t2）＞0，得3k2+2＞t2，…④设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为G（x0，y0），由韦达定理，得x1+x2=，，则x0=，，∴线段MN的垂直平分线方程为：y﹣=﹣（x+），将P点的坐标（0，﹣）代入上式中，得﹣﹣=﹣（0+），化简得：3k2+2=4t，代入④式中，有4t＞t2，得0＜t＜4．|MN|===．设原点O到直线MN的距离为d，则，∴S△MON=•|MN|•d=•．==，当t=2时，S△MON有最大值，此时，由3k2+2=4t知，k=±，∴△MON面积的最大值为，此时直线l的方程为y=±x+2．点评：本题计算量较大，考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆相交的综合问题，处理此类问题的常见技巧如下：1．确定椭圆的标准方程，关键是确定a2，b2的值，若引入c，则需建立关于a，b，c的三个独立的方程，注意隐含条件“a2=b2+c2”运用．2．对于直线与椭圆相交的有关三角形面积的最值问题，一般是联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式，写出面积的表达式，转化为一元二次函数问题，或利用导数，或利用其本不等式寻求最值．21．已知f（x）=，g（x）=2lnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2=0．（1）求a，b的值；（2）若当x≥1时，g（x）≤mf（x）恒成立，求m的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：分类讨论；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出f（x）的导数，求切线方程可得切线的斜率和切点坐标，解方程可得a，b；（2）由g（x）≤mf（x）得：2lnx≤m（x﹣），即有2lnx﹣m（x﹣）≤0，令h（x）=2lnx ﹣m（x﹣），求出导数，对m讨论，分①当m=0时，②当m≤﹣1时，③当﹣1＜m＜0时，④当0＜m＜1时，⑤当m≥1时，判断h（x）在x≥1时的单调性，由恒成立思想即可得到m的范围．解答：解：（1）f（x）=ax+，导数f′（x）=a﹣，由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2=0，可得f′（1）=2，f（1）=0，即a﹣b=2，a+b=0，解得：a=1，b=﹣1；（2）f（x）=x﹣，由g（x）≤mf（x）得：2lnx≤m（x﹣），即有2lnx﹣m（x﹣）≤0，令h（x）=2lnx﹣m（x﹣），则h′（x）=﹣m（1+）=，①当m=0时，h′（x）=＞0恒成立，即h（x）在（1，+∞）上单调递增，即有h（x）＞h（1）=0，这与h（x）≤0矛盾，不合题意；若m≠0，令△=4﹣4m2=4（1+m）（1﹣m），②当m≤﹣1时，△≤0恒成立且﹣m＞0，即有﹣mx2+2x﹣m≥0恒成立即h′（x）≥0恒成立，即h（x）在（1，+∞）上单调递增，h（x）＞h（1）=0，这与h（x）≤0矛盾，不合题意；③当﹣1＜m＜0时，△＞0，方程﹣mx2+2x﹣m=0有两个不等实根x1，x2（不妨设x1＜x2），由韦达定理得x1•x2=1＞0，x1+x2=＜0，即x1＜x2＜0，即有当x≥1时，﹣mx2+2x﹣m≥0恒成立，即h′（x）＞0恒成立，h（x）在（1，+∞）上单调递增，h（x）＞h（1）=0，这与h（x）≤0矛盾，不合题意；④当0＜m＜1时，△＞0，方程﹣mx2+2x﹣m=0有两个不等实根x1，x2（不妨设x1＜x2），0＜x1=＜1，x2=＞1即有0＜x1＜1＜x2，即h（x）在（1，x2）单调递增，即有当x∈（1，x2）时，h′（x）＞0 则h（x）在（1，+∞）上单调递增，即有h（x）＞h（1）=0，这与h（x）≤0矛盾，不合题意；⑤当m≥1时，△≤0且﹣m＜0，即有h′（x）≤0恒成立，h（x）在[1，+∞）上单调递减，则h（x）≤h（1）=0，合题意．综上所述，当m∈[1，+∞）时，g（x）≤mf（x）恒成立．点评：本题考查导数的运用：求切线的方程和求单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法和二次方程的韦达定理及求根公式是解题的关键．【选修4—1】几何证明选讲22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．解答：证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4—4】坐标系与参数方程。
2017年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2. 【觥答】 解：在 A 中，平均数是表不一组数据仗中趋势的址数，它是反映数据梊中趋势的一项指标， 故 A 不可以用来评估这种农什物由产量稳定程度； 在 B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故 B 可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度； 在 C 中，最大值是一组数据最大的量，故 C 不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度； 在 D 中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的＂中等水平”, 故 D 不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度． 故选： B.
尺寸的均值与标准差．（精确到 0.01) n
区 ( xi-x) ( yi-y)
:n11(＝:1 云） 2荨了 ＇ 三=0.09. 附：杆本 (x;, y;) (i=l, 2,..., n) 的相关系数 r=
21. (12 分）已知函数 f (x) =e'(e•-a) -a奴
（ 1) 讨论 f (x) 的单调性； （ 2) 若 f (x) ?co, 求 a 的取值范围．
I: (x, - x) (i - 8.5) = - 2.78, 其中 x 为抽取的第 i 个零件的尺寸， i=l, 2,..., 16.
1=1
（ 1) 求 (x;, i) (i=l, 2,..., 16) 的相关系数 r, 并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生 产过程的进行而系统地变大或变小（若 I rl <o.2s, 则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而
－冗
x
－冗
X
A. 1-4
B. 千
c. 1_2
D. 于
2017年辽宁省抚顺市省重点高中协作校高考数学一模试卷(理科) Word版含解析
2017年辽宁省抚顺市省重点高中协作校高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={0，1}，B={y|y=2x，x∈A}，则（∁R A）∩B=（）A．{0}B．{2}C．{2，4}D．{0，1，2}2．在等差数列{a n}中，a3+a6=11，a5+a8=39，则公差d为（）A．﹣14 B．﹣7 C．7 D．143．若函数f（x）=3cos（ωx﹣）（1＜ω＜14）的图象关于x=对称，则ω等于（）A．2 B．3 C．6 D．94．函数的零点所在区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）5．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosA+acosB=c2，a=b=2，则△ABC的周长为（）A．7.5 B．7 C．6 D．56．设向量=（2tanα，tanβ），向量=（4，﹣3），且+=，则tan（α+β）等于（）A．B．﹣ C．D．﹣7．当双曲线M：﹣=1（﹣2≤m＜0）的焦距取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±2x D．y=±x8．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（）A．6π+12 B．6π+24 C．12π+12 D．24π+129．设正数x，y满足﹣1＜x﹣y＜2，则z=x﹣2y的取值范围为（）A．（0，2） B．（﹣∞，2）C．（﹣2，2）D．（2，+∞）10．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则2x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．11．在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记者5人，主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问，且这4人中，既有甲电台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为（）A．1200 B．2400 C．3000 D．360012．已知函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2，给下列三个命题：p1：若x∈R，则f（x）f（﹣x）的最大值为16；p2：不等式f（x）＜g（x）的解集为集合{x|﹣1＜x＜3}的真子集；p3：当a＞0时，若∀x1，x2∈[a，a+2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，则a≥3，那么，这三个命题中所有的真命题是（）A．p1，p2，p3B．p2，p3C．p1，p2D．p1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．sin63°cos18°+cos63°cos108°=．14．设函数f（x）=，则f（3）+f（4）=．15．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述的已知条件，可求得该女子前3天所织布的总尺数为．16．在Rt△AOB中，，，，AB边上的高线为OD，点E位于线段OD上，若，则向量在向量上的投影为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设函数为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）在区间（a+1，+∞）上的单调性，并用定义法证明．18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，C为锐角且asinA=bsinBsinC，．（1）求C的大小；（2）求的值．19．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的建康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a（单位：万元）满足P=80+4，Q=a+120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）求f（50）的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？20．已知数列{a n}的前n项和，且a1，a4是等比数列{b n}的前两项，记b n与b n之间包含的数列{a n}的项数为c n，如b1与b2之间包含{a n}中的+1项为a2，a3，则c1=2．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n c n}的前n项和．21．已知函数f（x）=（kx+a）e x的极值点为﹣a﹣1，其中k，a∈R，且a≠0．（1）若曲线y=f（x）在点A（0，a）处的切线l与直线y=|2a﹣2|x平行，求l 的方程；（2）若∀a∈[1，2]，函数f（x）在（b﹣e a，2）上为增函数，求证：e2﹣3≤b ＜e a+2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A （6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于M，N两点，若|MN|≥2，求实数a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．（1）解不等式f（x）≤5；（2）若不等式m2﹣m＜f（x），∀x∈R都成立，求实数m的取值范围．2017年辽宁省抚顺市省重点高中协作校高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={0，1}，B={y|y=2x，x∈A}，则（∁R A）∩B=（）A．{0}B．{2}C．{2，4}D．{0，1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据题意，由集合B={y|y=2x，x∈A}，结合A的元素可得集合B，分析可得（∁R A）∩B中的元素为属于B不属于A的元素，即可得答案．【解答】解：根据题意，集合A={0，1}，则B={y|y=2x，x∈A}={0，2}，则（∁R A）∩B={2}；故选：B．2．在等差数列{a n}中，a3+a6=11，a5+a8=39，则公差d为（）A．﹣14 B．﹣7 C．7 D．14【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】解：∵a3+a6=11，a5+a8=39，则4d=28，解得d=7．故选：C．3．若函数f（x）=3cos（ωx﹣）（1＜ω＜14）的图象关于x=对称，则ω等于（）A．2 B．3 C．6 D．9【考点】余弦函数的图象．【分析】由题意可得ω﹣=kπ，k∈Z，由此求得ω的值．【解答】解：∵f（x）=3cos（ωx﹣）（1＜ω＜14）的图象关于x=对称，∴ω﹣=kπ，k∈Z，即ω=12k+3．∵1＜ω＜14，∴由此求得ω=3，故选：B．4．函数的零点所在区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【分析】判断函数的单调性，利用函数的零点定理判断求解即可．【解答】解：函数是单调减函数，因为f（1）=1＞0，f（2）=1﹣＜0，∴f（1）f（2）＜0，可知函数的零点所在区间为：（1，2）．故选：B．5．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosA+acosB=c2，a=b=2，则△ABC的周长为（）A．7.5 B．7 C．6 D．5【考点】正弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求c的值，进而可得周长的值．【解答】解：∵bcosA+acosB=c2，a=b=2，∴由余弦定理可得：b×+a×=c2，整理可得：2c2=2c3，∴解得：c=1，则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5．故选：D．6．设向量=（2tanα，tanβ），向量=（4，﹣3），且+=，则tan（α+β）等于（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用两个向量坐标形式的运算法则，两角和的正切公式，求得tan（α+β）的值．【解答】解：由题意可得+=（2tanα+4，tanβ﹣3 ）=，∴tanα=﹣2，tanβ=3，∴tan（α+β）===，故选：A．7．当双曲线M：﹣=1（﹣2≤m＜0）的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±2x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c2=m2+2m+6=（m+1）2+5，可得m=﹣1取得最小值，由双曲线的渐近线方程，可得渐近线的斜率．【解答】解：由题意可得c2=m2+2m+6=（m+1）2+5，可得当m=﹣1时，焦距2c取得最小值，双曲线的方程为=1，即有渐近线方程为y=±2x．故选：C．8．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（）A．6π+12 B．6π+24 C．12π+12 D．24π+12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，利用体积公式，即可得出结论．【解答】解：由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，V==6π+12，故选A．9．设正数x，y满足﹣1＜x﹣y＜2，则z=x﹣2y的取值范围为（）A．（0，2） B．（﹣∞，2）C．（﹣2，2）D．（2，+∞）【考点】不等式的基本性质．【分析】由约束条件作出可行域，z=x﹣2y，化为直线方程的斜截式，求出z的范围得答案．【解答】解：由，得可行域如图：令z=x﹣2y，由图可知，当z=x﹣2y过A（2，0）时，z有最大值2，∴z＜2，故选B．10．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则2x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的图象．【分析】由已知可得g（x）=+1，若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则g（x1）=g（x2）=3，则，结合x1，x2∈[﹣2π，2π]，可得答案．【解答】解：函数的图象向左平移个单位，可得y=的图象，再向上平移1个单位，得到g（x）=+1的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则g（x1）=g（x2）=3，则，即，由x1，x2∈[﹣2π，2π]，得：x1，x2∈{﹣，﹣，， }，当x1=，x2=﹣时，2x1﹣x2取最大值，故选：A11．在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记者5人，主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问，且这4人中，既有甲电台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为（）A．1200 B．2400 C．3000 D．3600【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由题意，甲电台记者选1名，乙电视台记者选3人，不同的提问方式的种数为=1200；甲电台记者选2名，乙电视台记者选2人，不同的提问方式的种数为=1200，即可得出结论．【解答】解：由题意，甲电台记者选1名，乙电视台记者选3人，不同的提问方式的种数为=1200；甲电台记者选2名，乙电视台记者选2人，不同的提问方式的种数为=1200，总共不同的提问方式的种数为2400，故选B．12．已知函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2，给下列三个命题：p1：若x∈R，则f（x）f（﹣x）的最大值为16；p2：不等式f（x）＜g（x）的解集为集合{x|﹣1＜x＜3}的真子集；p3：当a＞0时，若∀x1，x2∈[a，a+2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，则a≥3，那么，这三个命题中所有的真命题是（）A．p1，p2，p3B．p2，p3C．p1，p2D．p1【考点】命题的真假判断与应用．【分析】给出f（x）f（﹣x）的表达式，结合基本不等式，可判断p1，在同一坐标系中作出函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2的图象，数形结合，可判断p2，p3【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2，∴f（x）f（﹣x）=（2x﹣5）（2﹣x﹣5）=26﹣5（2x+2﹣x）≤26﹣10=16，故p1：若x∈R，则f（x）f（﹣x）的最大值为16，为真命题；在同一坐标系中作出函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2的图象如下图所示：由图可得：p2：不等式f（x）＜g（x）的解集为集合{x|﹣1＜x＜3}的真子集，为真命题；p3：当a＞0时，若∀x1，x2∈[a，a+2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，则a≥3，为真命题；故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．sin63°cos18°+cos63°cos108°=．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用诱导公式，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．【解答】解：sin63°cos18°+cos63°cos108°=sin63°cos18°+cos63°cos（90°+18°）=sin63°cos18°﹣cos63°sin18°=sin（63°﹣18°）=sin45°=．故答案为：．14．设函数f（x）=，则f（3）+f（4）=4．【考点】函数的值．【分析】先分别求出f（3）=f（9）=1+log69，f（4）=1+log64，由此能求出f（3）+f（4）．【解答】解：∵f（x）=，∴f（3）=f（9）=1+log69，f（4）=1+log64，∴f（3）+f（4）=2+log69+log64=2+log636=2+2=4．故答案为：4．15．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述的已知条件，可求得该女子前3天所织布的总尺数为．【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：设该女五第一天织布x尺，则=5，解得x=，∴该女子前3天所织布的总尺数==．故答案为：．16．在Rt△AOB中，，，，AB边上的高线为OD，点E位于线段OD上，若，则向量在向量上的投影为或．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得∠AOB=，建立如图所示的坐标系，利用三角形相似，求出AD的值，可得D、E的坐标，由，求得λ的值，可得向量在向量上的投影为ED=|﹣|的值．【解答】解：在Rt△AOB中，，∴∠AOB=，∵，，∴AB==5，∵AB边上的高线为OD，点E位于线段OD上，建立如图所示的坐标系，则A（，0）、B（0，2）、设D（m，n），则△OAD∽△BAO，∴=，∴AD=1，∴=，即（m﹣，n）=（﹣，2），求得m=，n=，∴D（，）．则=λ•=λ（，）=（λ，λ），=（﹣λ，﹣λ）．∵=λ•（﹣λ）﹣，∴λ=，或λ=，则向量在向量上的投影为ED=|﹣|=|（，）﹣（λ，λ）|=|（（1﹣λ），）（1﹣λ）|．当λ=时，ED=|（，）|=；当λ=时，ED=|（，）|=，故答案为：或．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设函数为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）在区间（a+1，+∞）上的单调性，并用定义法证明．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）利用为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），即可求实数a的值；（2）利用函数单调性的定义进行证明．【解答】解：（1）∵为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴，∴a=0．（2）函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．证明：设1＜x1＜x2，则．∵1＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，C为锐角且asinA=bsinBsinC，．（1）求C的大小；（2）求的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知利用正弦定理可得：a2=b2sinC=2a2sinC，可求sinC=，结合C为锐角，可求C的值．（2）由余弦定理即可解得的值．【解答】解：（1）由已知，asinA=bsinBsinC，利用正弦定理可得：a2=b2sinC=2a2sinC，由于：sinC=，C为锐角，解得：C=．（2）由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=3a2﹣2a×=3a2﹣a2，故解得：．19．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的建康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a（单位：万元）满足P=80+4，Q=a+120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）求f（50）的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，把a的值代入即可得出．（2），依题意得，通过换元利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，∴万元．（2），依题意得，故．令，则，当，即x=128时，f （x ）max =282万元．所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．20．已知数列{a n }的前n 项和，且a 1，a 4是等比数列{b n }的前两项，记b n 与b n +1之间包含的数列{a n }的项数为c n ，如b 1与b 2之间包含{a n }中的项为a 2，a 3，则c 1=2．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{a n c n }的前n 项和． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用a n =S n ﹣S n ﹣1，求出数列{a n }的通项公式，利用且a 1，a 4是等比数列{b n }的前两项，求出公比即可求解{b n }的通项公式． （2）化简通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可． 【解答】解：（1）由题意知，，两式作差得a n =2n ﹣1+a n ﹣a n ﹣1，即a n ﹣1=2n ﹣1（n ≥2）… 所以a n =2n +1，则a 1=3，a 4=9，…所以，所以…（2），因为数列{a n }是由连续的奇数组成的数列，而b n 和b n +1都是奇数，所以b n 与b n +1之间包含的奇数个数为，所以…．设{（2n +1）3n }的前n项和为T n，，①，②①﹣﹣﹣②，得，则，…所以数列{a n c n }的前n 项和为…21．已知函数f（x）=（kx+a）e x的极值点为﹣a﹣1，其中k，a∈R，且a≠0．（1）若曲线y=f（x）在点A（0，a）处的切线l与直线y=|2a﹣2|x平行，求l 的方程；（2）若∀a∈[1，2]，函数f（x）在（b﹣e a，2）上为增函数，求证：e2﹣3≤b ＜e a+2．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，求出k的值，从而求出a的值，带入a的值，求出切线方程即可；（2）问题转化为x≥﹣a﹣1对x∈（b﹣e a，2）恒成立，根据﹣a﹣1≤b﹣e a，即b≥e a﹣a﹣1对a∈[1，2]恒成立，设g（a）=e a﹣a﹣1，a∈[1，2]，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）当k=0时，f（x）无极值，故k≠0．由f'（x）=（kx+a+k）e x=0，得，∴a+k=ak+k．∵a≠0，∴k=1．∵f'（0）=a+1=|2a﹣2|，∴a=3或．当a=3时，f（x）=（x+3）e x，f（0）=3，∴l的方程为y=4x+3．当时，，，∴l的方程为．（2）证明：由题可知f'（x）=（x+a+1）e x≥0对x∈（b﹣e a，2）恒成立，∵e x＞0，∴x+a+1≥0，即x≥﹣a﹣1对x∈（b﹣e a，2）恒成立，∴﹣a﹣1≤b﹣e a，即b≥e a﹣a﹣1对a∈[1，2]恒成立．设g（a）=e a﹣a﹣1，a∈[1，2]，则g'（a）=e a﹣1＞0，∴g（a）在[1，2]上递增，∴，∴b≥e2﹣3．又（b﹣e a＜2，∴e2﹣3≤b＜e a+2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A （6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于M，N两点，若|MN|≥2，求实数a的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，运用点到直线的距离公式和弦长公式，解不等式即可得到取值范围．【解答】解：（1）根据题意，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，曲线C1的极坐标方程ρ（ρ﹣4sinθ）=12，可得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，设点P（x′，y′），Q（x，y），根据中点坐标公式，得，代入x2+y2﹣4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4；（2）直线l的普通方程为：y=ax，设圆心到直线的距离为d，由弦长公式可得，|MN|=2≥2，可得圆心（3，1）到直线的距离为d=≤，即为4a2﹣3a≤0，解得实数a的取值范围为：[0，]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．（1）解不等式f（x）≤5；（2）若不等式m2﹣m＜f（x），∀x∈R都成立，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）原不等式等价于①，或②，或③．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为2，可得m2﹣m＜2，由此解得实数m的取值范围．【解答】解：（1）原不等式等价于①，或②，或③．解①求得，解②求得，解③求得，因此不等式的解集为．（2）∵f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣（2x﹣3）|=2，∴m2﹣m＜2，解得﹣1＜m＜2，即实数m的取值范围为（﹣1，2）．。
2017届高考数学仿真卷：文科数学试卷(1)(含答案解析)
2017高考仿真卷·文科数学(一)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(∁U A)∪B=()A.(2,3]B.(-∞,1]∪(2,+∞)C.[1,2)D.(-∞,0)∪[1,+∞)2.已知i是虚数单位,若a+b i=(a,b∈R),则a+b的值是()A.0B.-iC.-D.3.已知p:a<0,q:a2>a,则 p是 q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆),则该几何体的表面积为()A.92+14πB.82+14πC.92+24πD.82+24π5.已知双曲线=1(a>0,b>0)与椭圆=1的焦点相同,若过右焦点F,且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同的交点,则此双曲线的实半轴长的取值范围是()A.(2,4)B.(2,4]C.[2,4)D.(2,+∞)6.若数列{a n}满足=d(n∈N*,d为常数),则称数列{a n}为调和数列.已知数列为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=()A.10B.20C.30D.407.已知实数x,y满足约束条件则x2+y2+2x的最小值是()A. B.-1 C. D.18.执行如图所示的程序框图,输出结果s的值为()A. B. C. D.9.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中0<φ<2π,若f(x)≤对任意的x∈R恒成立,且f>f(π),则φ等于()A. B. C. D.10.若在区间[-1,1]上随机取一个数x,则sin的值介于-之间的概率为()A.B.C.D.11.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为()A. B. C. D.212.若定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且对任意的x∈R,都有f'(x)<,则不等式f(log2x)>的解集为()A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,2)D.(2,+∞)第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知a,b是两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量k a-b垂直,则k=.14.已知等比数列{a n}为递增数列,a1=-2,且3(a n+a n+2)=10a n+1,则公比q=.15.如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,P是以A为圆心,AB为半径的圆弧上的任意一点.设向量=λ+μ,则λ+μ的最小值为.16.定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为.(用含有a的式子表示)三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin.(1)求cos C的值;(2)若△ABC的面积为,且sin2A+sin2B=sin2C,求a,b及c的值.18.(本小题满分12分)在中学生综合素质评价某个维度的测评中,分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人,女生400人,为了了解性别对该维度测评结果的影响,采用分层抽样方法从高一年级选取了45名学生的测评结果,并作出频数统计表如下:表1:男生(1)从表2的非优秀学生中随机选取2人交谈,求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率;(2)由表中统计数据填写下面2×2列联表,并判断是否能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“测评结果优秀与性别有关”.参考数据与公式:K2=,其中n=a+b+c+d.临界值表:19.(本小题满分12分)如图,在底面是菱形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠ABC=60°,AA1=AC=2,A1B=A1D=2,点E在A1D上,(1)证明:AA1⊥平面ABCD;(2)当为何值时,A1B∥平面EAC,并求出此时直线A1B与平面EAC之间的距离.20.(本小题满分12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点F1与抛物线y2=4x的焦点重合,原点到过点A(a,0),B(0,- b)的直线的距离是.(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P,过F1作PF1的垂线与直线l交于点Q,求证:点Q在定直线上,并求出定直线的方程.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x--a ln x(a∈R).(1)讨论f(x)的单调区间;(2)设g(x)=f(x)+2a ln x,且g(x)有两个极值点为x1,x2,其中x1∈(0,e],求g(x1)-g(x2)的最小值.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程极坐标系与平面直角坐标系xOy有相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴.已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin,曲线C2的极坐标方程为ρsin θ=a(a>0),射线θ=φ,θ=φ+,θ=φ-,θ=+φ与曲线C1分别交于四点A,B,C,D.(1)若曲线C1关于曲线C2对称,求a的值,并把曲线C1和C2化成直角坐标方程;(2)求|OA|·|OC|+|OB|·|OD|的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-a|.(1)若f(x)≤m的解集为[-1,5],求实数a,m的值;(2)当a=2,且0≤t<2时,解关于x的不等式f(x)+t≥f(x+2).参考答案2017高考仿真卷·文科数学(一)1.D解析因为∁U A={x|x>2或x<0},B={y|1≤y≤3},所以(∁U A)∪B=(-∞,0)∪[1,+∞).2.D解析因为a+b i=,所以a=,b=0.所以a+b=.3.B解析因为 p:a≥0, q:0≤a≤1,所以 p是 q的必要不充分条件.4.A解析由三视图可知,该几何体是由长方体和半圆柱组成的,可知该几何体的表面积为20+2×16+2×20+π×22+2π×5=92+14π,故选A.5.A解析因为双曲线=1(a>0,b>0)与椭圆=1的焦点相同,所以双曲线的半焦距c=4.因为过右焦点F,且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同的交点,所以双曲线的其中一条渐近线方程的斜率小于直线的斜率,即<tan 60°,即b<a.又因为c2=a2+b2,所以c2-a2<3a2,整理,得c<2a.所以a>2.又因为a<c=4,所以双曲线的实半轴长的取值范围是(2,4).6.B解析∵数列为调和数列,∴=x n+1-x n=d.∴{x n}是等差数列.又x1+x2+…+x20=200=,∴x1+x20=20.又x1+x20=x5+x16,∴x5+x16=20.7.D解析约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示.因为x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1,所以x2+y2+2x表示点(-1,0)到可行域内一点距离的平方减1.由图可知,当x=0,y=1时,x2+y2+2x取得最小值1.8.D解析由题中的程序框图可知,s=cos×cos×cos×cos==.9.C解析若f(x)≤对任意的x∈R恒成立,则f为函数f(x)的最大值或最小值,即2×+φ=kπ+,k ∈Z.则φ=kπ+,k∈Z.又因为f>f(π),所以sin φ<0.又因为0<φ<2π,所以只有当k=1时,φ=才满足条件.10.D解析因为-1≤x≤1,所以-.由-≤sin,得-,则-≤x≤1.故所求事件的概率为.11.C解析设直线AB的倾斜角为θ(0<θ<π),|BF|=m.∵|AF|=3,∴点A到准线l:x=-1的距离为3.∴2+3cos θ=3,即cos θ=.∴sin θ=.∵|BF|=m,∴m=2+m cos(π-θ),即m=.∴△AOB的面积为S=|OF|·|AB|·sin θ=×1×.12.C解析设g(x)=f(x)-x.∵f'(x)<,∴g'(x)=f'(x)-<0.∴g(x)在R上为减函数.又f(1)=1,f(log2x)>=log2x+,∴g(log2x)=f(log2x)-log2x>log2x+log2x=.又g(1)=f(1)-=1-,∴g(log2x)>g(1),即log2x<1.∴0<x<2.13.1解析∵向量a+b与向量k a-b垂直,∴(a+b)·(k a-b)=0,即k-1+(k-1)a·b=0.∴(k-1)(1+a·b)=0.又1+a·b=0不成立,∴k=1.14.解析因为等比数列{a n}为递增数列,且a1=-2<0,所以公比0<q<1.又因为3(a n+a n+2)=10a n+1,所以3(1+q2)=10q,即3q2-10q+3=0,解得q=3或q=.又因为0<q<1,所以q=.15.解析以A为原点,以AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.设正方形ABCD的边长为1,P(cos θ,sin θ),其中θ∈.可知E,C(1,1),D(0,1),A(0,0),故=(1,1),=(cos θ,sin θ).因为=λ+μ,所以λ+μ(cos θ,sin θ)==(1,1).所以所以令f(θ)=λ+μ==-1+,可知f'(θ)=>0.故y=f(θ)在上是增函数.因此,当θ=0时,λ+μ取得最小值为.16.1-3a解析因为f(x)是R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=所以可画出f(x)的图象如图所示.因为函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的零点即为函数y=f(x)与y=a(0<a<1)的图象的交点的横坐标,所以函数F(x)=f(x)-a有5个零点,从左到右依次设为x1,x2,x3,x4,x5.因为函数f(x)为奇函数,所以结合图象可得x1+x2=-8,x4+x5=8.当-2≤x<0时,则0<-x≤2.所以f(-x)=lo(-x+1)=-log3(1-x).所以f(x)=log3(1-x),其中-2≤x<0.由f(x)=log3(1-x)=a,解得x=1-3a,即x3=1-3a.所以函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为x1+x2+x3+x4+x5=1-3a.17.解(1)因为sin,所以cos C=1-2sin2=-.(2)因为sin2A+sin2B=sin2C,所以a2+b2=c2.①由余弦定理得a2+b2=c2+2ab cos C,将cos C=-及①代入上式得ab=c2.②由S△ABC=及sin C=,得ab=6.③由①②③得经检验都满足题意.所以18.解(1)设从高一年级男生中选取m人,可知,解得m=25,故x=25-20=5,y=20-18=2.因此,题中表2的非优秀学生共5人,记测评等级为合格的3人为a,b,c,尚待改进的2人为A,B,则从这5人中任选2人的所有可能结果为(a,b),(a,c),(b,c),(A,B),(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),共10种.设事件C表示“从题中表2的非优秀学生中随机选取2人,恰有1人测评等级为合格”, 则C包含的结果为(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),共6种,故P(C)=,即所求概率为.(2)填写2×2列联表如下:男生女生总计优秀15 15 30非优秀10 5 15总计25 20 45由列联表可知K2==1.125<2.706.所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为“测评结果优秀与性别有关”.19.(1)证明因为底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,所以△ABC是等边三角形,所以AB=AC=2.又因为AA1=2,A1B=2,所以A+AB2=A1B2.所以AA1⊥AB.同理,AA1⊥AD.又因为AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以AA1⊥平面ABCD.(2)解当=1时,A1B∥平面EAC.证明如下:连接BD,交AC于点O.当=1,即点E为A1D的中点时,连接OE,则OE∥A1B.又因为OE⊂平面EAC,A1B⊄平面EAC,所以A1B∥平面EAC.因此,直线A1B与平面ACE之间的距离等于点A1到平面ACE的距离.因为E为A1D的中点,所以可转化为点D到平面ACE的距离.V三棱锥D-AEC=V三棱锥E-ACD.设AD的中点为F,连接EF,则EF∥AA1,所以EF⊥平面ACD,且EF=1.又因为S△ACD=,所以V三棱锥E-ACD=×1×.设点D到平面ACE的距离为h.因为△A1AD是直角三角形,E为A1D的中点,A1D=2,所以AE=.连接CF,可知CF=,则CE=2.又因为AC=2,所以S△AEC=.所以V三棱锥D-AEC=·S△AEC·h=.又因为V三棱锥D-AEC=V三棱锥E-ACD,所以,即h=.所以A1B与平面EAC之间的距离为.20.(1)解因为抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),所以c=1.所以a2=b2+1.因为原点到直线AB:=1的距离为d=,所以a2=4,b2=3,所以椭圆C的方程为=1.(2)证明由可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.(*)由题意可知直线与椭圆相切,故m≠0,且Δ=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,整理,得4k2-m2+3=0.将4k2+3=m2,m2-3=4k2代入(*)式得m2x2+8kmx+16k2=0,即(mx+4k)2=0,解得x=-.所以P.又因为F1(1,0),所以=-,所以,所以直线F1Q的方程为y=(x-1).联立方程组得x=4,故点Q在定直线x=4上.21.解(1)由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+.令f'(x)=0,得x2-ax+1=0.①当-2≤a≤2时,Δ=a2-4≤0,此时,f'(x)≥0恒成立,所以f(x)在定义域(0,+∞)内单调递增;②当a<-2时,Δ=a2-4>0,但x2-ax+1=0的两根x1,x2均为负数,此时,f'(x)>0在(0,+∞)内恒成立,所以f(x)在定义域(0,+∞)内单调递增;③当a>2时,Δ=a2-4>0,解得x2-ax+1=0的两根为x1=,x2=,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增.综上可得,当a≤2时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;当a>2时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)由题意可知,g(x)=x-+a ln x,定义域为(0,+∞),则g'(x)=1+.令g'(x)=0,得x2+ax+1=0,其两根为x1,x2,且所以x2=,a=-.所以a<0.所以g(x1)-g(x2)=g(x1)-g=x1-+a ln x1-=2+2a ln x1=2-2ln x1.设h(x)=2-2ln x,x∈(0,e],可知[g(x1)-g(x2)]min=h(x)min.因为h'(x)=2-2,所以当x∈(0,e]时,恒有h'(x)≤0.所以h(x)在(0,e]上单调递减.所以h(x)min=h(e)=-,所以[g(x1)-g(x2)]min=-.22.解(1)因为C1的极坐标方程为ρ=2sin=2sin θ+2cos θ,所以C1的直角坐标方程为x2+y2=2y+2x,化为标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.由题意可知曲线C2的直角坐标方程为y=a.因为曲线C1关于曲线C2对称,所以a=1,所以曲线C2的直角坐标方程为y=1.(2)因为|OA|=2sin,|OB|=2sin=2cos φ,|OC|=2sin φ,|OD|=2sin=2cos,所以|OA|·|OC|+|OB|·|OD|=2sin·2sin φ+2cos φ·2cos=8cos=8×=4.23.解(1)因为|x-a|≤m,所以a-m≤x≤a+m.又因为f(x)≤m的解集为[-1,5],所以解得(2)当a=2时,f(x)+t≥f(x+2)等价于|x-2|+t≥|x|.当x≥2时,不等式转化为x-2+t≥x,解得t≥2,与0≤t<2矛盾,故舍去;当0≤x<2时,不等式转化为2-x+t≥x,解得0≤x≤;当x<0时,不等式转化为2-x+t≥-x,解得t≥-2,符合题意.所以原不等式解集是.。
2017届辽宁省沈阳市高三数学(文)一模试题答案
参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P【考点】子集与真子集．【分析】此题只要求出x2＜4的解集{x|﹣2＜x＜2}，画数轴即可求出．【解答】解：P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，如图所示，可知Q⊆P，故选：B．2．复数，且A+B=0，则m的值是（）A．B．C．﹣D．2【考点】复数相等的充要条件．【分析】复数方程两边同乘1+2i，利用复数相等求出A、B，利用A+B=0，求出m的值．【解答】解：因为，所以2﹣mi=（A+Bi）（1+2i），可得A﹣2B=2，2A+B=m 解得5（A+B）=﹣3m﹣2=0所以m=故选C．3．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A．1+a，4B．1+a，4+a C．1，4D．1，4+a【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．【解答】解：方法1：∵y i=x i+a，∴E（y i）=E（x i）+E（a）=1+a，方差D（y i）=D（x i）+E（a）=4．方法2：由题意知y i=x i+a，则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，方差s2= [（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4．故选：A．4．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（）A．18B．24C．60D．90【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】由等比中项的定义可得a42=a3a7，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程解出a1和d，进而求出s10．【解答】解：∵a4是a3与a7的等比中项，∴a42=a3a7，即（a1+3d）2=（a1+2d）（a1+6d），整理得2a1+3d=0，①又∵，整理得2a1+7d=8，②由①②联立，解得d=2，a1=﹣3，∴，故选：C．5．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），则|F1P|=，由F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点可知|F1P|==2c，由此可求出b==a，进而得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，设F1（﹣c，0），F2（c，0），则|F1P|=，∵F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点，∴=2c，∴c2+4b2=4c2，∴c2+4（c2﹣a2）=4c2，∴c2=4a2，即c=2a，b==a ，∴双曲线的渐近线方程为y=±x ，即为y=±x ．故选：B ．6．在△ABC 中，O 为其内部一点，且满足，则△AOB 和△AOC 的面积比是（ ）A ．3：4B ．3：2C ．1：1D ．1：3 【考点】向量的加法及其几何意义；向量的三角形法则．【分析】设M 为AC 的中点，则由向量加法的平行四边形法则可得+=2，结合题意可得2=﹣3，由数乘向量的性质可得B ，O ，M 三点共线，且2OM=3BO ；进而可得==，而又由S △AOB +S △BOC =S △ABC ，分析可得S △AOB =S △ABC ，结合题意计算可得△AOB 和△AOC 的面积比，即可得答案．【解答】解：根据题意，如图：在△ABC 中，M 为AC 的中点，则+=2， 又由，则有2=﹣3，从而可得B ，O ，M 三点共线，且2OM=3BO ；由2OM=3BO 可得，==，S △AOB +S △BOC =S △ABC ，又由S △AOB =S △BOC ，则S △AOB =S △ABC ，则=；故选：D．7．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是（）A．18B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离分别是：d+r，d﹣r，其两者之差即为圆的直径，进而可得答案．【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0，∴（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，∴圆半径r=3．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离分别是：d+r，d﹣r，其两者之差即为圆的直径，故圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是，故选：B8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．故选B．9．若变量x，y满足，则x2+2x+y2的最大值是（）A．4B．9C．16D．18【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由x2+2x+y2=（x+1）2+y2﹣1=，其几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，0）距离的平方减1求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∵x2+2x+y2=（x+1）2+y2﹣1=，其几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，0）距离的平方减1，联立，解得A（3，﹣1），而|PA|2=（﹣1﹣3）2+（0+1）2=17，∴x2+2x+y2的最大值是16．故选：C．10．设a=log23，，c=log34，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性求解．【解答】解：∵a=log23＞==b，=＞log34=c，∴a，b，c的大小关系为c＜b＜a．故选：D．11．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC 最短为（）A．（1+）米B．2米C．（1+）米D．（2+）米【考点】余弦定理；基本不等式．【分析】设BC的长度为x米，AC的长度为y米，依据题意可表示出AB的长度，然后代入到余弦定理中求得x和y的关系式，利用基本不等式求得y的最小值，并求得取等号时x的值．【解答】解：设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y﹣0.5）米，在△ABC中，依余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB，即（y﹣0.5）2=y2+x2﹣2yx×，化简，得y（x﹣1）=x2﹣，∵x＞1，∴x﹣1＞0，因此y=，y=（x﹣1）++2≥+2，当且仅当x﹣1=时，取“=”号，即x=1+时，y有最小值2+．故选：D．12．已知椭圆的左焦点为F1，有一小球A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得a+c=5（a﹣c），由此即可求得椭圆的离心率．【解答】解：∵椭圆上的点到左焦点距离最小的点是左顶点，距离最大的点是右顶点，∴由题意可得a+c=5（a﹣c），即4a=6c，得．∴椭圆的离心率为．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．等比数列{a n}的公比q＞0．已知a2=1，a n+a n+1=6a n，则{a n}的前4项和S4=+2．【考点】等比数列的前n项和．【分析】先根据：{a n}是等比数列把a n+2+a n+1=6a n整成理q2+q﹣6=0求得q，进而根据a2求得a1，最后跟等比数列前n项的和求得S4．【解答】解：∵{a n}是等比数列，∴a n+2+a n+1=6a n可化为a1q n+1+a1q n=6a1q n﹣1，∴q2+q﹣6=0．∵q＞0，∴q=2．a2=a1q=1，∴a1=．∴S4===．故答案为14．如图所示，输出的x的值为17．【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的x的值，当a=b=17时满足条件a=b，输出x的值为17．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=51，b=221不满足条件a=b，满足b＞a，b=221﹣51=170，不满足条件a=b，满足b＞a，b=170﹣51=119，不满足条件a=b，满足b＞a，b=119﹣51=68，不满足条件a=b，满足b＞a，b=68﹣51=17，不满足条件a=b，满足a＞b，a=51﹣17=34，不满足条件a=b，满足a＞b，a=34﹣17=17，满足条件a=b，x=17，输出x的值为17．故答案为：17．15．方程|cos（x+）|=|log18x|的解的个数为12．（用数值作答）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出y=|sinx|与y=|log18x|的函数图象，根据图象的交点个数得出答案．【解答】解：∵|cos（x+）|=|log18x|，∴|sinx|=|log18x|，作出y=|sinx|与y=|log18x|在（0，+∞）上的函数图象如图所示：由图象可知y=|sinx|与y=|log18x|有12个交点，∴方程|cos（x+）|=|log18x|有12个解．故答案为：12．16．已知四面体ABCD，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球半径为2．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】作出图形，利用勾股定理，求出四面体外接球半径．【解答】解：如图所示，O′为△ACD的外心，O为球心，BE⊥平面ACD，BF⊥AC，则EF⊥AC，∴AF=2，AE=2，BE==2．设该四面体外接球半径为R，OO′=d，则2+（2+d）2=d2+（3）2，∴d=，CD=6，∴R==2，故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）化简可得f（x）=2sin（2x+）+a+1，由题意易得﹣1+a+1=2，解方程可得a值，解不等式2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得单调区间；（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣）+3，可得sin（4x﹣）=，解方程可得x=或x=，相加即可．【解答】解：（1）化简可得f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a=cos2x+1+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴f（x）的最小值为﹣1+a+1=2，解得a=2，∴f（x）=2sin（2x+）+3，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）；（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣）+3，由g（x）=4可得sin（4x﹣）=，∴4x﹣=2kπ+或4x﹣=2kπ+，解得x=+或x=+，（k∈Z），∵x∈[0，]，∴x=或x=，∴所有根之和为+=．18．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科803020研究生x20y（Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为10的样本，将该样本看成一个总体，从中任取3人，求至少有1人的学历为研究生的概率；（Ⅰ）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x、y的值．【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）设抽取学历为本科的人数为m，由题意可得，由此解得m=6，可得抽取了学历为研究生4人，学历为本科6人，故从中任取3人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为．（Ⅰ）依题意得：，解得N的值，可得35～50岁中被抽取的人数，再根据分层抽样的定义和性质列出比例式，求得、xy的值．【解答】（Ⅰ）解：设抽取学历为本科的人数为m，由题意可得，解得m=6．∴抽取了学历为研究生4人，学历为本科6人，∴从中任取3人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为=．（Ⅰ）解：依题意得：，解得N=78．∴35～50岁中被抽取的人数为78﹣48﹣10=20．∴，解得x=40，y=5．19．如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且FD=EA=1．（Ⅰ）求多面体EABCDF的体积；（Ⅰ）求直线EB与平面ECF所成角的正弦值；（Ⅰ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．+V E﹣ABCD ，只有分别求解【分析】（Ⅰ）连接ED，多面体EABCDF的体积V=V E﹣FCD两个棱锥的体积即可；（Ⅰ）以点A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，求出平面ECF的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线EB与平面ECF所成角的正弦值；（Ⅰ）取线段CD的中点Q；连接KQ，直线KQ即为所求．【解答】解：（Ⅰ）连接ED，∵EA⊥底面ABCD，FD∥EA，∴FD⊥底面ABCD，∴FD⊥AD，FD∩AD=D，∴AD⊥平面FDC，V E=AD•S△FDC=××1×2×2=，﹣FCD=EA•S正方形ABCD=×2×2×2=，V E﹣ABCD∴多面体EABCDF的体积V=V E+V E﹣ABCD =+=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣FCD﹣﹣﹣（Ⅰ）以点A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A（0，0，0），E（0，0，2），B（2，0，0），C （2，2，0），F（0，2，1），∴=（2，2，﹣2），=（2，0，﹣2），=（0，2，﹣1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣设平面ECF的法向量为=（x，y，z），得：取y=1，得平面ECF的一个法向量为=（1，1，2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣设直线EB与平面ECF所成角为θ，∴sinθ=|cos＜，＞|==﹣﹣﹣﹣（Ⅰ）取线段CD的中点Q；连接KQ，直线KQ即为所求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣如图所示…20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2是椭圆的左、右焦点，过F2作直线l交椭圆于A、B两点，若△F1AB的周长为8．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅰ）若直线l的斜率为0，且它的中垂线与y轴交于Q，求Q的纵坐标的范围；（Ⅰ）是否在x轴上存在点M（m，0），使得x轴平分∠AMB？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的性质可知：2a=8，e==及b2=a2﹣c2，即可求得a和b 的值，即可求得椭圆的方程；（Ⅰ）当k不存在时，Q为原点，y0=0，当k存在时，将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得x1+x2及x1•x2，根据中点坐标公式，求得P点坐标，求得直线PQ方程，令x=0，y Q=∈[﹣，0）∪（0，]，即可求得Q的纵坐标的范围；（Ⅰ）假设存在m，由x轴平分∠AMB可得， +=0，由（Ⅰ）可知，代入即可求得m的值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的性质可知：4a=8，a=2，e==，c=1，b2=a2﹣c2=4﹣1=3，b=，∴椭圆的方程；（Ⅰ）当k不存在时，Q为原点，y0=0，当k存在时，由，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=1，∴x1+x2=，x1•x2=，设弦AB的中点为P（x P，y P），则x P=，y P=k（x P﹣1）=，则l PQ：（y+）=﹣（x﹣），令x=0，有y Q=∈[﹣，0）∪（0，]，∴综上所述，Q的纵坐标的范围[﹣，]；（Ⅰ）存在m=4，假设存在m，由x轴平分∠AMB可得，k MA+k MB=0，即+=0，k（x1﹣1）（x2﹣m）+k（x2﹣1）（x1﹣m）=0，∴2x1•x2﹣（m+1）（x1+x2）+2m=0，∴8k2﹣24﹣8k2m﹣8k2+6m+8mk2=0，解得：m=4．21．已知方程x3+ax2+bx+c=0（a，b，c∈R）．（1）设a=b=4，方程有三个不同实根，求c的取值范围；（2）求证：a2﹣3b＞0是方程有三个不同实根的必要不充分条件．【考点】利用导数研究函数的单调性；必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）当a=b=4时，方程x3+4x2+4x+c=0有三个不同实根，等价于函数f （x）=x3+4x2+4x+c=0有三个不同零点，由f（x）的单调性知，当且仅当时，函数f（x）=x3+4x2+4x+c有三个不同零点，可得结论；（2）若函数f（x）有三个不同零点，则必有△=4a2﹣12b＞0，故a2﹣3b＞0是f （x）有三个不同零点的必要条件，再证明充分性即可．【解答】解：设f（x）=x3+ax2+bx+c．（1）当a=b=4时，方程x3+4x2+4x+c=0有三个不同实根，等价于函数f（x）=x3+4x2+4x+c=0有三个不同零点，f'（x）=3x3+8x+4，令f'（x）=0得x1=﹣2或，f（x）与f'（x）的区间（﹣∞，+∞）上情况如下：x（﹣∞，﹣2）﹣2（﹣2，﹣）﹣（﹣，+∞）f（x）+0﹣0+f'（x）c c﹣所以，当c＞0时且时，存在x1∈（﹣4，﹣2），，，使得f（x1）=f（x2）=f（x3）=0．由f（x）的单调性知，当且仅当时，函数f（x）=x3+4x2+4x+c有三个不同零点．即方程x3+4x2+4x+c=0有三个不同实根．（2）当△=4a2﹣12b＜0时，f'（x）=3x2+2ax+b＞0，x∈（﹣∞，+∞），此时函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增，所以f（x）不可能有三个不同零点．当△=4a2﹣12b＜0时，f'（x）=3x2+2ax+b只有一个零点，记作x0，当x∈（﹣∞，x0）时，f'（x）＞0，f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递增；当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在区间（x0，+∞）上单调递增．所以f（x）不可能有三个不同零点．综上所述，若函数f（x）有三个不同零点，则必有△=4a2﹣12b＞0．故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要条件．当a=b=4，c=0时，a2﹣3b＞0，f（x）=x3+4x2+4x=x（x+2）2只有两个不同零点，所以a2﹣3b＞0不是f（x）有三个不同零点的充分条件．因此a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．即a2﹣3b＞0是方程x3+ax2+bx+c=0有三个不同实根的必要而不充分条件．选修4-4：坐标系与参数方程22．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]选修4-5：不等式选讲23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：|a+b|＜；（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．【解答】解：（1）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．…∵a、b∈M，∴，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×=．…（2）由（1）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…。
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2017年辽宁省抚顺市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．若集合A={x|x（x﹣3）≤0，x∈N}，B={﹣1，0，1}，则集合A∩B为（ ）
A．{﹣1，0} B．{1} C．{0，1} D．{﹣1，0，1，2，3}
2．已知i是虚数单位，若复数z=3﹣4i，则计算的结果为（ ）
A．﹣4﹣3i B．4﹣3i C．4+3i D．﹣4+3i 3．已知向量=（1，0），=（0，1），则下列向量中与向量2+垂直的是（ ）
A． + B．﹣ C．2﹣ D．﹣2 4．在等差数列{an}中，若a3+a11=6，则其前13项的和S13的值是（ ）
A．32 B．39 C．46 D．78 5．直线ax﹣y+a=0（a≥0）与圆x2+y2=9的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相离
6．已知x=log52，y=ln2，z=，则下列结论正确的是（ ）
A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x 7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． +π B．4+π C． +2π D．4+2π 8．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ） A．49 B．50 C．99 D．100 9．已知点P时抛物线y2=﹣4x上的动点，设点P到此抛物线的准线的距离为d1，
到直线x+y﹣4=0的距离为d2，则d1+d2的最小值是（ ） A．2 B． C． D．
10．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，若AB=2，PA=1，
则此四棱锥的外接球的体积为（ ） A．36π B．16π C． D．
11．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，
则f（）的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．﹣
12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），若对任意实数
x都有x2f′（x）＞2xf（﹣x），则不等式x2f（x）＜（3x﹣1）2f（1﹣3x）的解集
是（ ） A．（，+∞） B．（0，） C．（﹣∞，） D．（﹣∞，）∪（，+∞）
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．从3男1女4名学生中，随机抽取2名学生组成小组代表班级参加学校的比
赛活动，则该小组中有女生的概率为 ．
14．若实数x、y满足约束条件，则z=4x+y的最大值为 ．
15．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，焦距为8，左顶点为
A，在y轴上有一点B（0，b），满足•=2a，则该双曲线的离心率的值为 ．
16．已知数列{an}是等比数列，其公比为2，设bn=log2an，且数列{bn}的前10项
的和为25，那么a1+a2+a3+…+a10的值为 ．
三、解答题（共5小题，满分60分） 17．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a≠b，c=，
且bsinB﹣asinA=acosA﹣bcosB． （Ⅰ）求C； （Ⅱ）若△ABC的面积为，求a与b的值． 18．某学校为了了解本校高一学生每周课外阅读时间（单位：小时）的情况，按
10%的比例对该校高一600名学生进行抽样统计，将样本数据分为5组：第一组
[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10），并将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方图： （Ⅰ）求图中的x的值； （Ⅱ）估计该校高一学生每周课外阅读的平均时间； （Ⅲ）为了进一步提高本校高一学生对课外阅读的兴趣，学校准备选拔2名学生参加全市阅读知识竞赛，现决定先在第三组、第四组、第五组中用分层抽样的放法，共随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生代表学校参加全市竞赛，在此条件下，求第三组中恰有一名学生被抽取的概率． 19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是直角梯形，其中AB⊥
AD，AB=2AD=2AA1=4，CD=1．
（Ⅰ）证明：BD1⊥平面A1C1D； （Ⅱ）求多面体BDC1A1D1的体积．
20．已知椭圆C； +=1（a＞b＞c）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2
（c，0），过原点O的直线（与x轴不重合）与椭圆C相交于D、Q两点，且|DF1|+|QF1|=4，P为椭圆C上的动点，△PF1F2的面积的最大值为． （1）求椭圆C的离心率； （2）若过左焦点F1的任意直线与椭圆C相交于S、T两点，求的取值范围． 21．已知函数f（x）=lnx﹣．
（1）若a=4，求函数f（x）的单调区间； （2）若函数f（x）在区间（0，1]内单调递增，求实数a的取值范围； （3）若x1、x2∈R+，且x1≤x2，求证：（lnx1﹣lnx2）（x1+2x2）≤3（x1﹣x2）．
考生注意：请考生在第22、23两题中任选一题作答[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），
将曲线C1上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为4ρsin（θ+）+=0． （1）求曲线C2的极坐标方程及直线l与曲线C2交点的极坐标； （2）设点P为曲线C1上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．
[选修4-5:不等式选讲] 23．已知函数f（x）=|a﹣x|（a∈R）
（Ⅰ）当a=时，求使不等式f（2x﹣）＞2f（x+2）+2成立的x的集合A； （Ⅱ）设x0∈A，证明f（x0x）≥x0f（x）+f（ax0）． 2017年辽宁省抚顺市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．若集合A={x|x（x﹣3）≤0，x∈N}，B={﹣1，0，1}，则集合A∩B为（ ）
A．{﹣1，0} B．{1} C．{0，1} D．{﹣1，0，1，2，3}
【考点】交集及其运算． 【分析】确定出A，求出A与B的交集即可． 【解答】解：集合A={x|x（x﹣3）≤0，x∈N}={0≤x≤3，x∈N}={0，1，2，3}
B={﹣1，0，1}，
则集合A∩B={0，1} 故选：C．
2．已知i是虚数单位，若复数z=3﹣4i，则计算的结果为（ ）
A．﹣4﹣3i B．4﹣3i C．4+3i D．﹣4+3i 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【解答】解：复数z=3﹣4i，则===4﹣3i， 故选：B．
3．已知向量=（1，0），=（0，1），则下列向量中与向量2+垂直的是（ ）
A． + B．﹣ C．2﹣ D．﹣2 【考点】平面向量的坐标运算． 【分析】根据坐标运算求出2+和﹣2的坐标，计算即可． 【解答】解： =（1，0），=（0，1）， 则2+=（2，1）， 而﹣2=（1，﹣2）， 故（2+）（﹣2）=0， 故选：D．
4．在等差数列{an}中，若a3+a11=6，则其前13项的和S13的值是（ ）
A．32 B．39 C．46 D．78 【考点】等差数列的前n项和． 【分析】由等差数列前n项和公式及通项公式得S13=，由此能求出结果． 【解答】解：∵等差数列{an}中，a3+a11=6， ∴其前13项的和： S13==．
故选：B．
5．直线ax﹣y+a=0（a≥0）与圆x2+y2=9的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相离
【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系． 【解答】解：直线ax﹣y+a=0（a≥0）恒过定点（﹣，0），而（﹣，0）满足2+02＜9，所以直线与圆相交． 故选：A．
6．已知x=log52，y=ln2，z=，则下列结论正确的是（ ）
A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x 【考点】对数值大小的比较． 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【解答】解：∵x=log52＜=，1＞y=ln2=，z=＞1， ∴x＜y＜z． 故选：A． 7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． +π B．4+π C． +2π D．4+2π 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图可知：该几何体由三棱柱与一个半圆柱组成的几何体． 【解答】解：由三视图可知：该几何体由三棱柱与一个半圆柱组成的几何体． ∴该几何体的体积=+π×12×2=4+π． 故选：B．
8．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）
A．49 B．50 C．99 D．100 【考点】程序框图． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量i的值，并输出不满足条件退出循环条件时的