2019-2020学年八年级数学下册《平行四边形的性质》练习题2新人教版.docx
初二下册数学期末复习13平行四边形巩固必刷基础练习题(原卷版)
16．（2019 秋•安丘市期末）如图，在正方形 ABCD 的内侧，作等边 DCE ，则 BAE 的度数是 ．
17．（2019 秋•青白江区期末）如图， ABC 中， ACB 90 ， AC 8 ， BC 6 ，分别以 ABC 的边 AB 、 BC 、 CA 为一边向 ABC 外作正方形 ABDE 、 BCMN 、 CAFG ，连接 EF 、 ND ，则图中阴影部分的面积 之和等于 ．
22．（2019 秋•兰州期末）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 交于点 O ，AB / /DC ，AB BC ，BD 平分 ABC ，过点 C 作 CE AB 交 AB 的延长线于点 E ，连接 OE ． （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 AB 2 5 ， BD 4 ，求 OE 的长．
B． 28
C． 62
D． 67
7．（2020 春•德城区校级月考）检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，不可用的方法是 ( )
A．测量两条对角线是否相等
B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直
C．测量两条对角线是否互相平分
D．测量门框的三个角是否都是直角 8．（2020 春•沙坪坝区校级月考）如图，在 ABCD 中， CD 2 AD ， BE AD 于点 E ， F 为 DC 的中点， 连结 EF 、 BF ，若 FBE 40 ，则 DFE ( )
2019-2020 学年八年级数学下册同步必刷题闯关练（人教版）
第十八章《平行四边形》 章节复习巩固
一．选择题 1．（2020•浙江自主招生）如图所示，甲、乙两动点分别从正方形 ABCD 的顶点 A ，C 同时沿正方形的边开 始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的 4 倍，则它们第 2009 次相遇在边 ( )
(必考题)初中八年级数学下册第十八章《平行四边形》经典练习卷(含答案解析)
一、选择题1．如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母M 所代表的正方形面积可表示为（ ）A ．40064-B ．2240064-C ．2240064-D ．40064+A解析：A【分析】 要求图中字母所代表的正方形的面积，根据面积=边长×边长=边长的平方，设M 的边长为a ，直角三角形斜边的长为c ，另一直角边为b ，则2400c =，264b =，已知斜边和一直角边的平方，由勾股定理即可求出2a ，即可得到答案．【详解】设M 的边长为a ，直角三角形斜边的长为c ，另一直角边为b ，则2400c =，264b =，如图所示，在该直角三角形中，由勾股定理得：22240064a c b =-=-，故选：A ．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用和正方形的面积公式，解题的关键在于熟练运用勾股定理求出正方形的边长的平方．2．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为BDE ，则图中全等三角形共有（ ）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对C解析：C【分析】因为图形对折，所以首先△CDB ≌△ABD ，由于四边形是长方形，进而可得△ABE ≌△CDE ，如此答案可得．【详解】解：∵△BDC 是将长方形纸片ABCD 沿BD 折叠得到的，∴CD=AB ，AD=BC ，∵BD=BD ，∴△CDB ≌△ABD （SSS ），∴∠CBD=∠ADB∴EB=ED∴CE=AE又AB=CD∴△ABE ≌△CDE ，∴图中全等三角形共有2对故选：C【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、SSA 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要由易到难，循序渐进． 3．如图，在平行四边形ABCD 中，90B ∠<︒，BC AB >．作AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，记EAF ∠的度数为α，AE a =，AF b =．则以下选项错误的是（ ）A ．::a b CD BC =B ．D ∠的度数为αC ．若60α=︒，则四边形AECF 的面积为平行四边形ABCD 面积的一半D ．若60α=︒，则平行四边形ABCD )433a b +C 解析：C【分析】由平行四边形的性质得出//AD BC ，AD BC =，AB CD =，B D ∠=∠，得出180D C ∠+∠=︒，求出180EAF C ∠+∠=︒，得出B D EAF α∠=∠=∠=；由平行四边形ABCD 的面积得出::a b CD BC =；若60α=︒，则60B D ∠=∠=︒，求出30BAE DAF ∠=∠=︒，由直角三角形的性质得出33BE AE ==，33DF ，得出232AB BE =，232AD DF ==，求出平行四边形ABCD 的周长2())AB AD a b =+=+；求出ABE ∆的面积212BE AE =⨯=，ADF ∆的面积2=，平行四边形ABCD 的面积BC AE a =⨯=⨯=，得出四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD 的面积ABE -∆的面积ADF -∆的面积22)a b =+≠平行四边形ABCD 面积的一半；即可得出结论． 【详解】 解：四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，AD BC =，AB CD =，B D ∠=∠，180D C ∴∠+∠=︒，AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，360290180EAF C ∴∠+∠=︒-⨯︒=︒，B D EAF α∴∠=∠=∠=；平行四边形ABCD 的面积BC AE CD AF =⨯=⨯，AE a =，AF b =，BC a CD b ∴⨯=⨯，::a b CD BC ∴=；若60α=︒，则60B D ∠=∠=︒，30BAE DAF ∴∠=∠=︒，BE AE ∴==，DF =，2AB BE ∴==，2AD DF ==，∴平行四边形ABCD 的周长2())AB AD a b =+=+；ABE ∆的面积21122BE AE a =⨯=⨯=，ADF ∆的面积21122DF AF b =⨯=⨯，平行四边形ABCD 的面积BC AE a =⨯=⨯=， ∴四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD 的面积ABE -∆的面积ADF -∆的面积22)a b =+≠平行四边形ABCD 面积的一半； 综上所述，选项A 、B 、D 不符合题意，选项C 符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．4．下列命题中，错误的是 （ ）A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形；B ．对角线相等的菱形是正方形；C ．对角线互相垂直的矩形是正方形；D ．一组邻边相等的矩形是正方形．A 解析：A【分析】根据正方形的判定逐项作出判断即可求解．【详解】解：A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形，判断错误，应该是矩形，符合题意；B. 对角线相等的菱形是正方形，判断正确，不合题意；C. 对角线互相垂直的矩形是正方形，判断正确，不合题意；D. 一组邻边相等的矩形是正方形，判断正确，不合题意．故选：A【点睛】本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题关键．5．如果平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，那么在下列条件中，能判断平行四边形ABCD 为菱形的是（ ）A ．OAB OBA ∠=∠；B ．OAB OBC ∠=∠； C ．OAB OCD ∠=∠；D ．OAB OAD ∠=∠．D解析：D【分析】根据菱形的判定方法判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠OAB=∠ACD ，∵∠OAB=∠OAD ，∴∠DAC=∠DCA ，∴AD=CD ， ∴四边形ABCD 是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）故选：D ．【点睛】本题考查菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．6．如图，在123A A A △中，160A ∠=︒，230A ∠=︒，131A A =，3+n A 是1(1,2,3)n n A A n +=⋅⋅⋅的中点，则202120222023A A A △中最短边的长为（ ）A ．100912 B ．101012 C ．101112 D ．102112B解析：B【分析】根据已知条件和图形的变化可得前几个图形的最短边的长度，进而可得结论．【详解】解：在△A 1A 2A 3中，∠A 1A 3A 2=90°，∠A 2=30°，A 1A 3=1，A n+3是A n A n+1（n=1、2、3…）的中点，可知：A 4A 5//A 1A 3，A 3A 4=A 2A 4，∴∠A 3A 5A 4=90°，∠A 4A 3A 2=∠A 2=30°，∴△A 1A 2A 3是含30°角的直角三角形，同理可证△A n A n+1A n+2是含30°角的直角三角形．△A 1A 2A 3中最短边的长度为A 1A 3=1=012， △A 3A 4A 5中最短边的长度为A 4A 5=12=112， △A 5A 6A 7中最短边的长度为A 5A 7=21142=， …， 所以△A n A n+1A n+2中最短边的长度为1212n -，则△A 2019A 2020A 2021中最短边的长度为120211221122n --==101012． 故选：B ．【点睛】 本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．也考查了直角三角形斜边的中线，三角形的中位线，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质等知识．7．顺次连接矩形ABCD 各边的中点，所得四边形是（ ）A ．平行四边形B ．正方形C ．矩形D ．菱形D解析：D【分析】利用三角形中位线定理,矩形对角线的性质,菱形的判定判断即可.【详解】如图，设矩形ABCD各边的中点依次为E，F，G，H，∴EF，FG，GH，HE分别是△ABC，△BCD，△CDA，△DAB的中位线，∴EF=12AC，FG=12BD，GH=12AC，EH=12BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形，故选D.【点睛】本题在矩形背景考查了三角形中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，熟练运用三角形中位线定理，矩形的性质，菱形的判定是解题的关键.8．下列命题中，正确的命题是（）A．菱形的对角线互相平分且相等B．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直平分D．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形B解析：B【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可．【详解】解：A. 菱形的对角线互相平分，但不相等，该命题错误；B. 顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形，该命题正确；C. 矩形的对角线互相平分，但是不垂直，该命题错误；D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，该命题错误；故选：B．【点睛】本题考查特殊四边形的判定和性质，掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是解题的关键．9．如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．添加一个条件，使四边形AEBD 是菱形，这个条件是（ ）A ．BAD BDA ∠=∠B ．AB DE =C ．DF EF =D ．DE 平分ADB ∠D解析：D【分析】 先证明△ADF ≌△BEF ，得到AD=BE ，推出四边形AEBD 是平行四边形，再逐项依次分析即可．【详解】解：在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAB=∠EBA ，∵点F 是AB 的中点，∴AF=BF ，∵∠AFD=∠BFE ，∴△ADF ≌△BEF ，∴AD=BE ，∵AD ∥BE ，∴四边形AEBD 是平行四边形，A 、当BAD BDA ∠=∠时，得到AB=BD ，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合题意；B 、AB=BE 时，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合题意；C 、DF=EF 时，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合题意；D 、当DE 平分ADB ∠时，四边形AEBD 是菱形，故该选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，熟记平行四边形的性质是解题的关键．10．如图，菱形ABCD 中，4AB =，60A ∠=︒，点E 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），作EDF ∠交BC 于点F ，且60EDF ∠=︒，则BEF 周长的最小值是（ ）A ．6B ．43C ．43+D ．423+D解析：D【分析】 只要证明DBE DCF ∆≅∆得出DEF ∆是等边三角形，因为BEF ∆的周长4BE BF EF BF CF EF BC EF EF =++=++=+=+，所以等边三角形DEF ∆的边长最小时，BEF ∆的周长最小，只要求出DEF ∆的边长最小值即可．【详解】解：连接BD ，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，ADB ∴∆与CDB ∆是等边三角形，60DBE C ∴∠=∠=∠︒，BD DC =，60EDF ∠=︒，BDE CDF ∴∠=∠，在BDE ∆和CDF ∆中，DBE C BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DBE DCF ∴∆≅∆，DE DF ∴=，BDE CDF ∠=∠，BE CF =，60EDF BDC ∴∠=∠=︒，DEF ∴∆是等边三角形，BEF ∆的周长4BE BF EF BF CF EF BC EF EF =++=++=+=+，∴等边三角形DEF ∆的边长最小时，BEF ∆的周长最小，当DE AB ⊥时，DE 最小23=，BEF ∴∆的周长最小值为423+，故选：D ．【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、最小值问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，学会转化的思想解决问题，所以中考常考题型．二、填空题11．如图，直线a 过正方形ABCD 的顶点A ，点B 、D 到直线a 的距离分别为1、3，则正方形的边长为_______．【分析】先由正方形的性质可知再证明Rt △AFD ≌Rt △BEA 再由全等三角形的性质可得；最后在在Rt △BEA 中由勾股定理得：即得本题答案【详解】解：在正方形中；∵∴；∵∴；在Rt △AFD 和Rt △BEA 10【分析】先由正方形的性质可知DA AB =，再证明Rt △AFD ≌Rt △BEA ，再由全等三角形的性质可得3DF AE ==，1AF BE ==；最后在在Rt △BEA 中，由勾股定理得：2210AB AE BE =+=【详解】解：在正方形ABCD 中，AD AB =；∵DF AF ⊥，BE AE ⊥，∴90AFD AEB ∠=∠=︒，90ADF DAF ∠+∠=︒；∵90DAF BAE ∠+∠=︒，∴ADF BAE =∠∠；在Rt △AFD 和Rt △BEA 中，AFD AEB ADF BAE AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴Rt △AFD ≌Rt △BEA （AAS ），∴3DF AE ==，1AF BE ==；在Rt △BEA 中，由勾股定理得：22223110AB AE BE =+=+= 10．【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角形全等的性质与判定以及勾股定理的知识． 12．如图，Rt ABC △中，90,5∠=︒=B AB ，D 为AC 的中点， 6.5=BD ，则BC 的长为__________．12【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出再根据勾股定理求解即可【详解】解：∵D 为的中点∴∴故答案是：12【点睛】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线熟悉相关性质是解题的关键解析：12．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AC ，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵90B ∠=︒，D 为AC 的中点， 6.5=BD∴22 6.513AC BD ==⨯=， ∴222212135BC AC AB =--，故答案是：12．【点睛】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线，熟悉相关性质是解题的关键．13．菱形ABCD 有一个内角是60°，它的边长是2，则此菱形的对角线AC 长为_________．或2【分析】根据菱形有一个内角为60°可以得到等边三角形分两种情况画出图形结合勾股定理求出AC 的长【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BDOA=OCOB=ODAD=AB=2若∠BAD=60°∴ 解析：232【分析】根据菱形有一个内角为60°可以得到等边三角形，分两种情况，画出图形，结合勾股定理求出AC 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA=OC ，OB=OD ，AD=AB=2，若∠BAD=60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD=2，∴OD=1，∴22213-=， ∴AC=3若∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC=2；故答案为：23或2．【点睛】此题考查了菱形的性质和勾股定理，等边三角形的判定和性质，要记住菱形的对角线互相平分且垂直，菱形的四条边都相等．14．如图，在ABC ∆中，点,D E 分别在边,AB AC 上，且BD CE =，连接,CD DE ，点,,M N P 分别是,,DE BC CD 的中点，34PMN ∠=，则MPN ∠的度数是_______．【分析】根据点MNP 分别是DEBCCD 的中点可以证明MP 是ΔDEC 的中位线NP 是ΔDBC 的中位线根据中位线定理可得到MP=NP 再根据等腰三角形的性质得到∠PMN=∠PNM 最后根据三角形的内角和定理可解析：112【分析】根据点 M ，N ，P 分别是 DE ，BC ，CD 的中点，可以证明MP 是ΔDEC 的中位线，NP 是ΔDBC 的中位线，根据中位线定理可得到MP=NP ，再根据等腰三角形的性质得到∠PMN=∠PNM ，最后根据三角形的内角和定理可以得到∠MPN ．【详解】解：如图∵点 M，N，P 分别是 DE，BC，CD 的中点∴MP是ΔDEC的中位线，∴MP=1EC，2NP是ΔDBC的中位线∴NP=1BD，2又∵BD=CE∴MP=NP∴∠PMN=∠PNM=34∘∴∠MPN=180∘-∠PMN-∠PNM=180∘-34∘-34∘=112∘故答案位：112°【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质和判定，以及三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理求线段的长度．15．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P 不与写B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连结EF，则EF的最小值等于__________．48【分析】连接由菱形的性质解得再根据勾股定理解得继而证明四边形为矩形得到根据垂线段最短解得当时有最小值最后根据三角形面积公式解题即可【详解】连接四边形是菱形四边形为矩形当时有最小值此时的最小值为故解析：4.8【分析】连接OP ，由菱形的性质解得118,622BO BD OC AC ====，再根据勾股定理解得10BC =，继而证明四边形OEPF 为矩形，得到FE OP =，根据垂线段最短解得当OP BC ⊥时，OP 有最小值，最后根据三角形面积公式解题即可．【详解】 连接OP ，四边形ABCD 是菱形，12,16AC BD ==,AC BD ∴⊥118,622BO BD OC AC ==== 22643610BC OB OC ∴=+=+=,,PE AC PF BD AC BD ⊥⊥⊥∴四边形OEPF 为矩形，FE OP ∴=当OP BC ⊥时，OP 有最小值，此时1122OBC S OB OC BC OP =⋅=⋅ 68 4.810OP ⨯∴== EF ∴的最小值为4.8，故答案为：4.8．【点睛】本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16．如图，在Rt ABC ∆中，90,6,10ACB AC AB ∠===，过点A 作//,AM CB CE 平分ACB ∠交AM 于点,E Q 是线段CE 上的点，连接BQ ，过点B 作BP BQ ⊥交AM 于点P ，当PBQ ∆为等腰三角形时，AP =________________________．【分析】过点P作PG⊥CB交CB的延长线于点G过点Q作QF⊥CB运用AAS定理证明△QBF≌△BPG根据平行线的性质和角平分线的定义求得△AEC为等腰直角三角形利用勾股定理求得线段BC的长然后结合全解析：10【分析】过点P作PG⊥CB，交CB的延长线于点G，过点Q作QF⊥CB，运用AAS定理证明△QBF≌△BPG，根据平行线的性质和角平分线的定义求得△AEC为等腰直角三角形，利用勾股定理求得线段BC的长，然后结合全等三角形和矩形的性质求解．【详解】解：过点P作PG⊥CB，交CB的延长线于点G，过点Q作QF⊥CB∵BP BQ⊥，PG⊥CB∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°∴∠1=∠3∵QF⊥CB，BP BQ⊥∴∠QFB=∠PGB=90°又∵PBQ∆为等腰三角形∴QB=PB在△QBF和△BPG中1=3QFB PGB QB PB∠∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QBF≌△BPG∴PG=BF，BG=QF∵∠ACB=90°，CE平分ACB∠∴∠ACE=∠ECB=45°又∵AM∥CB，∴∠AEC=∠ECB=45°∴∠AEC=∠ACE=45°∴△AEC为等腰直角三角形∵AM∥BC，∠ACB=90°∴∠CAM+∠ACB=180°，即∠CAM=90°∴∠CAM=∠ACB=∠PGB=90°∴四边形ACGP为矩形，∴PG=AC=6，AP=CG在Rt △ABC 中，BC=228AB AC -=∴CF=BC-BF=BC-PG=8-6=2∵QF ⊥BC ，∠ECB=45°∴△CQF 是等腰直角三角形，即CF=QF=2∴AP=CG=BC+BG=BC+QF=8+2=10【点睛】本题考查矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键17．如图，平面直角坐标系中，已知点()9,9A ，点B 、C 分别在y 轴、x 轴上，AB AC ⊥且AB AC =，若B 点坐标为()0,a ，则OC =______（用含a 的代数式表示）．18-【分析】过A 作AE ⊥y 轴于EAD ⊥x 轴于D 构造正方形AEOD 再证△AEB ≌△ADC （SAS ）得BE=CD 由EB=EO-BO=9-可求CD=9-求出OC=OD+CD=9+9-=18-即可【详解】解析：18-a ．【分析】过A 作AE ⊥y 轴于E ，AD ⊥x 轴于D ，构造正方形AEOD ，再证△AEB ≌△ADC （SAS ），得BE=CD ，由EB=EO-BO=9-a ，可求CD=9-a ，求出OC=OD+CD=9+9-a =18-a 即可．【详解】过A 作AE ⊥y 轴于E ，AD ⊥x 轴于D ，∵点()9,9A ，AE=AD=OE=OD=9，∠ADO=90º，四边形AEOD 为正方形，∵AB AC ⊥，∠EAD=90°，∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∴∠BAE=∠CAD ，∵AB AC =，AE=AD ，∴△AEB ≌△ADC （SAS ），∴BE=CD ，∵EB=EO-BO=9-a ，∴CD=9-a ，OC=OD+CD=9+9-a =18-a ，故答案为：18-a ．【点睛】本题考查正方形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握正方形的判定方法与性质，三角形全等判定的方法与性质是解题关键．18．如图，将长方形纸片ABCD 沿着对角线BD 翻折，点C 落在点C '处，BC '与AD 交于点E ．若20AD cm =，5AB cm =，则DE =_______cm ．【分析】根据题意得到BE ＝DE 然后根据勾股定理得到关于线段ABAEBE 的方程解方程即可【详解】解：设ED ＝x 则AE ＝20﹣x ∵四边形ABCD 为矩形∴AD ∥BC ∴∠EDB ＝∠DBC ；由题意得：∠EBD 解析：858【分析】根据题意得到BE ＝DE ，然后根据勾股定理得到关于线段AB 、AE 、BE 的方程，解方程即可．【详解】解：设ED ＝x ，则AE ＝20﹣x ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBC ；由题意得：∠EBD ＝∠DBC ，∴∠EDB ＝∠EBD ，∴EB ＝ED ＝x ；由勾股定理得：BE 2＝AB 2+AE 2，即x 2＝52+（20﹣x ）2，解得：x ＝858， ∴ED ＝858． 【点睛】本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．19．在ABCD 中，BE AD ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，若60EBF ︒∠=，且3AE =，2DF =，则EC =_______．【分析】由▱ABCD 中BE ⊥ADBF ⊥CD 可得∠D=120°继而求得∠A 与∠BCD 的度数然后由勾股定理求得ABBEBC 的长继而求得答案【详解】解：∵BE ⊥ADBF ⊥CD ∴∠BFD=∠BED=∠BFC91【分析】由▱ABCD 中，BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，可得∠D=120°，继而求得∠A 与∠BCD 的度数，然后由勾股定理求得AB ，BE ，BC 的长，继而求得答案．【详解】解：∵BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，∴∠BFD=∠BED=∠BFC=∠BEA=90°，∵∠EBF=60°，∴∠D=120°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠BCD=∠A=60°，∵在△ABE中，∠ABE=30°，∴AB=2AE=2×3=6，∴CD=AB=6，BE=2233AB AE-=，∴CF=CD-DF=6-2=4，∵在△BFC中，∠CBF=30°，∴BC=2CF=2×4=8，∴CE=2291BE BC+=，故答案为：91．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适合，注意掌握数形结合思想的应用．20．在长方形ABCD中，52AB=，4BC=，CE CF=，CF平分ECD∠，则BE=_________．【分析】延长CF交EA的延长线于点G连接EF过点F作FH⊥CE于点H过点E作EM⊥CF于点M由题意易得FH=FDFH=EMEC=EG进而可得△CDF≌△CME然后可得CM=CD=由勾股定理可得BG=解析：7 6【分析】延长CF，交EA的延长线于点G，连接EF，过点F作FH⊥CE于点H，过点E作EM⊥CF于点M，由题意易得FH=FD，FH=EM，EC=EG，进而可得△CDF≌△CME，然后可得CM=CD=52，由勾股定理可得BG=3，设BE=x，则有EC=EG=3+x，最后利用勾股定理可求解．【详解】解：延长CF，交EA的延长线于点G，连接EF，过点F作FH⊥CE于点H，过点E作EM⊥CF于点M，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，4BC =，52AB =∴BC=AD ，52AB DC ==，AB ∥DC ，∠D=∠ABC=∠CBE=90° ∴∠DCF=∠G ，∵CF 平分∠ECD ，∴∠DCF=∠ECF ，DF=FH ，∴∠G=∠ECF ，∴EC=EG ，∴△ECG 是等腰三角形，∴CM=MG ，∵CE=CF ，∴△ECF 是等腰三角形， ∵EM 、FH 分别是等腰三角形ECF 腰上的高线，∴FH=EM=DF ，∴Rt △CDF ≌Rt △CME （HL ）， ∴52CM DC ==， ∴CG=5，∴在Rt △CBG 中，223BG CG CB -=，设BE=x ，则有EC=EG=3+x ，在Rt △CBE 中，222BC BE CE +=，∴()22243x x +=+， 解得：76x =， ∴76BE =； 故答案为76． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理是解题的关键．三、解答题21．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，求AC的长度．解析：4【分析】根据矩形的性质和等边三角形的性质，可以得到OA的长，从而可以求得AC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD，∵∠AOD＝60°，AD＝2，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝OD＝2，∴AC＝2OA＝4，即AC的长度为4．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断出△AOB是等边三角形是解题的关键．22．如图，已知，四边形ABCD是平行四边形，AE∥BD，交CD的延长线于点E， 交BC延长线于点F，求证：四边形ABFD是等腰梯形．EF BC解析：见解析．【分析】首先证明四边形ABDE是平行四边形，即可得AB=DE，等量代换可得CD=DE，根据直角三角形斜边中线的性质定理可得DF＝CD＝DE，进而可得AB=DF，再说明线段AB和DF不平行即可求证结论．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，=．∴AD∥BC，AB∥CD，AB CD∴AB∥DE；又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形．=．∴AB DE∴CD DE=．⊥，∵EF BC∴DF＝CD＝DE．=．∴AB DF∵CD、FD交于点D，∴线段AB与线段FD不平行．∴四边形ABFD是等腰梯形．【点睛】本题考查平行四边形的判定及其性质、梯形的判定，直角三角形的斜边中线的性质定理，解题的关键是掌握两腰相等的梯形是等腰梯形．23．综合与实践：问题情境：数学活动课上，老师和同学们一起以“矩形的旋转”开展数学活动．具体操作如下：第一步：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD和EFGH叠放在一起，这时对角线AC和EG互相重合．第二步：固定矩形ABCD，将矩形EFGH绕AC的中点O逆时针方向旋转，直到点E与点B重合时停止．问题解决：（1）奋进小组发现：在旋转过程中，当边AB与EF交于点M，边CD与GH交于点N，如图2、图3所示，请写出线段AM与CN始终存在的数量关系，并利用图2说明理由．（2）奋进小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形MRNQ 时，如图3所示，请你猜测四边形MRNQ 的形状，并试着证明你的猜想．探索发现：（3）奋进小组还发现在问题（2）中的四边形MRNQ 中MQN ∠与旋转角AOE ∠存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，无需说明理由．解析：（1）AM CN =，理由见解析；（2）四边形MRNQ 为菱形，证明见解析；（3）MQN ∠=AOE ∠【分析】（1）结论：AM=CN ．先证明(AAS)AOS COT ≌△△，推出AS CT =，OS OT =，34∠=∠，再证明(ASA)ESM GTN ≌△△即可解决问题．（2）过点Q 作QK ⊥EF ，QL ⊥CD ，垂足分别为点K ，L ．首先证明四边形QMRN 是平行四边形，再证明QM=QN 即可．（3）结论：∠MQN=∠AOE ．理由三角形的外角的性质以及平行线的性质即可解决问题．【详解】（1）关系：AM CN =理由：如图：设EG 分别与AB 、CD 相交于点S 、T ；∵四边形ABCD 与EFGH 都是矩形，且点O 为对角线的中点；∴//AB CD ，//EF GH ，OA OC =，OE OG =；∴12∠=∠；又AOS COT ∠=∠∴(AAS)AOS COT ≌△△∴AS CT =，OS OT =；∴ES GT =；又//EF GH ，∴56∠=∠；又12∠=∠；∴34∠=∠∴(ASA)ESM GTN ≌△△ ∴SM TN =，则AS SM CT TN +=+即AM CN =（2）四边形MRNQ 为菱形．证明：过点Q 作QK ⊥EF ，QL ⊥CD ，垂足分别为点K ，L ．由题可知：矩形ABCD ≌矩形EFGH∴AD=EH ，AB ∥CD ，EF ∥HG∴四边形QMRN 为平行四边形，∵QK ⊥EF ，QL ⊥CD ，∴QK=EH ，QL=AD ，∠QKM=∠QLN=90°∴QK=QL ，又∵AB ∥CD ，EF ∥HG ，∴∠KMQ=∠MQN ，∠MQN=∠LNQ ，∴∠KMQ=∠LNQ ，∴△QKM ≌△QLN （AAS ）∴MQ=NQ∴四边形MRNQ 为菱形．（3）结论：∠MQN=∠AOE ．理由：如图中，∵∠QND=∠1+∠2，∠AOE=∠1+∠3，又由题意可知旋转前∠2与∠3重合，∴∠2=∠3，∴∠QND═∠AOE，∵AB∥CD，∴∠MQN=∠QND，∴∠MQN=∠AOE．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找确定的三角形解决问题，属于中考压轴题．24．如图，将长方形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F处，已知AB＝6，△ABF的面积是24，求DE的长．解析：10 3【分析】先根据三角形的面积公式求得BF的长，然后根据勾股定理可求得AF=10，由翻折的性质和矩形的性质可知BC=10，故此FC=2，最后在△EFC中，由勾股定理列方程求解即可．【详解】解：∵S△ABF=24，∴12AB•BF＝24，即12×6×BF＝24．解得：BF=8．在Rt△ABF中由勾股定理得：22AB BF=10．由翻折的性质可知：BC=AD=AF=10，ED=FE．∴FC=10-8=2．设DE=x ，则EC=6-x ．在Rt △EFC 中，由勾股定理得：EF 2=FC 2+EC 2，x 2=4+（6-x ）2．解得：x=103， ∴DE=103． 【点睛】本题主要考查的是矩形与折叠、三角形的面积公式、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x 的方程是解题的关键．25．如图，在ABC 中，AB AC =，10BC =．（1）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）①作BAC ∠的平分线交BC 于点D ；②作边AC 的中点E ，连接DE ；（2）在（1）所作的图中，若12AD =，则DE 的长为__________．解析：（1）①见解析；②见解析；（2）6.5【分析】（1）①以A 为圆心，小于AB 的长度为半径画圆，交AB 、AC 于两个点，再分别以这两个点为圆心，一样的半径画弧，交于一点，连接这个点与点A ，即可得到BAC ∠的平分线，再画出它与BC 的交点D ；②作线段AC 的垂直平分线，即可找到线段AC 的中点E ，连接DE ；（2）由等腰三角形“三线合一”的性质得152BD BC ==，AD BC ⊥，用勾股定理求出AB 的长，再根据中位线的性质得到DE 的长．【详解】解：（1）①如图所示：②如图所示：（2）∵AB AC =，AD 平分BAC ∠， ∴152BD BC ==，AD BC ⊥， 在Rt ABD △中，2213AB AD BD =+=， ∵E 、D 分别是AC 和BC 的中点，∴1 6.52DE AB ==， 故答案是：6.5．【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，中位线的定理，以及角平分线和垂直平分线的作法，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理以及作图方法．26．已知：如图，在ABCD 中，4,6,AC BD CA AB ==⊥，求ABCD 的周长和面积． 解析：521+，5【分析】依据平行四边形的对角线互相平分，即可得到2AO =，3BO =，再根据勾股定理即可得出AB 与BC 的长，进而得到ABCD 的周长和面积． 【详解】解：如图所示，4AC =，6BD =，2AO ∴=，3BO =，又CA AB ⊥， Rt AOB ∴∆中，2222325AB BO AO =-=-Rt ABC 中，2222(5)421BC AB AC =+=+=ABCD ∴的周长2(521)25221==，ABCD 的面积5445AB AC =⨯=⨯=．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：平行四边形的对角线互相平分．27．已知：如图，ABCD 中，AE 、CF 分别是BAD ∠和BCD ∠的角平分线，分别交边DC 、AB 于点E 、F ，求证：AE CF =．解析：见解析【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义，证明ADE CBF ∆≅∆即可判断AE CF =．【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，DAB DCB ∴∠=∠，D B ∠=∠，AD BC =．AE ∵、CF 分别是BAD ∠和BCD ∠的角平分线，DAE BCF ∴∠=∠．()ADE CBF ASA ∴∆≅∆．AE CF ∴=．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质．证明线段相等的技巧一般是找到两个线段的相关三角形，通过全等求解．28．如图，AD 为ABC ∆的中线，BE 为ABD ∆的中线．（1）15ABE ∠=︒，40BAD ∠=︒，求 BED ∠的度数；（2）若ABC ∆的面积为40，5BD =，则E 到BC 边的距离为多少．解析：（1）55︒；（2）4．【分析】（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；（2）过E 作BC 边的垂线即可得：E 到BC 边的距离为EF 的长，然后过A 作BC 边的垂线AG ，再根据三角形中位线定理求解即可．【详解】解：（1）BED ∠是ABE ∆的外角， 154055BED ABE BAD ；（2）过E 作BC 边的垂线，F 为垂足，则EF 为所求的E 到BC 边的距离，过A 作BC 边的垂线AG ，AD ∴为ABC ∆的中线，5BD =，22510BC BD ∴==⨯=，ABC ∆的面积为40， ∴1402BC AG ，即110402AG ，解得8AG =，∵AD 为ABC ∆的中线， ∴11402022ABD ABC S S ， 又∵BE 为ABD ∆的中线， ∴11201022EBD ABD S S ， 则有：1151022BD EFEF 4EF ∴=．即E 到BC 边的距离为4．【点睛】本题考查了三角形外角的性质、三角形中位线的性质及三角形的面积公式，添加适当的辅助线是解题的关键．。
人教版2019-2020学年初二数学下学期 第十八章 平行四边形 单元考试试题(含答案)
人教版八年级数学下册 第十八章 平行四边形 单元测试题时间：100分钟 满分：120分一、选择题(共10小题，每小题3分,共30分)1.如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝7，CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，且AE ＝4，则AB 的长为( )A ． 4B ． 3C ．25 D ． 2 2.如图，▱ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC ＝12，BD ＝10，AB ＝m ，那么m 的取值范围是( )A ． 1＜m ＜11B ． 2＜m ＜22C ． 10＜m ＜12D ． 5＜m ＜6 3.如图，在▱ABCD 中，AD ＝8，点E ，F 分别是BD ，CD 的中点，则EF 等于( )A ． 2B ． 3C ． 4D ． 54.Rt △ABC 中，两直角边的长分别为6和8，则其斜边上的中线长为( )A ． 10B ． 3C ． 4D ． 55.如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为( )A ． 2B ． 2.2C ． 2.4D ． 2.56.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，∠B ∶∠BCD ＝1∶2，则对角线AC 等于( )A． 5 B． 10 C． 15 D． 207.如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为()A． 16 B． 15 C． 14 D． 138.正方形具有而矩形不具有的性质是()A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直9.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了错题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图所示)，现有如下四种选法，你认为其中错误的是()A．①② B．②③ C．①③ D．②④10.如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形的面积是(单位：平方厘米)()A． 40 B． 25 C． 26 D． 36二、填空题(共8小题，每小题3分,共24分)11.如图，在▱ABCD中，AB＝2 cm，AD＝4 cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长________ cm.12.如图，△ABC中，AC、BC上的中线交于点O，且BE⊥AD.若BD＝10，BO＝8，则AO的长为________．13.如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD＝AC，则∠B等于________．14.如图平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，∠OAD＝65°.则∠ODC＝__________.15.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为____________．16.如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，给出下列判断：①若△AEF是等边三角形，则∠B＝60°，②若∠B＝60°，则△AEF是等边三角形，③若AE＝AF，则平行四边形ABCD是菱形，④若平行四边形ABCD是菱形，则AE＝AF，其中，结论正确的是__________(只需填写正确结论的序号)．17.已知，如图，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第n个正方形的周长Cn＝____________.18.现有一张边长等于a(a＞16)的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8 cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是____________(填写图形的形状)(如图)，它的一边长是____________ cm.三、解答题(共8小题，共66分)19.（6分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD，相交于点O，EF过点O且与AB、CD 分别相交于点E、F，求证：AE＝CF.20. （6分）如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E、F分别为CA、CB上一点，CE＝CF，M、N分别为AF、BE的中点．求证：AE＝MN.21. （6分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，DE⊥AB于E，FD⊥BC于D，G是FC的中点，连接GD.求证：GD⊥DE.22. （8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝24 cm，BC＝8 cm，点P从A开始沿折线A－B－C－D 以4 cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2 cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C 同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)．当t为何值时，四边形QPBC为矩形？23. （8分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF.24. （10分）如图，已知点E，F分别是▱ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC＝90°.(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若∠B＝30°，BC＝10，求菱形AECF面积．25. （10分）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE、AF、EF.(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)若BC＝8，DE＝6，求△AEF的面积．26. （12分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，连接DE交AC于点F.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．(3)在(2)的条件下，若AB＝AC＝2，求正方形ADCE周长．答案解析1.【答案】B【解析】∵在ABCD 中，CE 平分∠BCD 交AD 于点E ，∴∠DEC ＝∠ECB ，∠DCE ＝∠BCE ，AB ＝DC ，∴∠DEC ＝∠DCE ，∴DE ＝DC ＝AB ，∵AD ＝7，AE ＝4，∴DE ＝DC ＝AB ＝3.故选B.2.【答案】A【解析】在平行四边形ABCD 中，则可得OA ＝21AC ，OB ＝21BD ， 在△AOB 中，由三角形三边关系可得OA －OB ＜AB ＜OA ＋OB ，即6－5＜m ＜6＋5,1＜m ＜11.故选A.3.【答案】C【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD ＝8，∵点E 、F 分别是BD 、CD 的中点，∴EF ＝21BC ＝21×8＝4. 故选C.4.【答案】D【解析】已知直角三角形的两直角边为6、8， 则斜边长为＝10，故斜边的中线长为21×10＝5， 故选D.5.【答案】C 【解析】连接AP ，∵∠A ＝90°，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴∠A ＝∠AEP ＝∠AFP ＝90°，∴四边形AFPE 是矩形，∴EF ＝AP ，要使EF 最小，只要AP 最小即可，过A 作AP ⊥BC 于P ，此时AP 最小，在Rt △BAC 中，∠A ＝90°，AC ＝4，AB ＝3，由勾股定理，得BC ＝5， 由三角形面积公式，得21×4×3＝21×5×AP ， ∴AP ＝2.4，即EF ＝2.4，故选C.6.【答案】A【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＋∠BCD ＝180°，AB ＝BC ，∵∠B ∶∠BCD ＝1∶2，∴∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝5.故选A.7.【答案】A【解析】连接EF，AE与BF交于点O，如图，∵AO平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AB＝EB，同理：AF＝BE，又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE，在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA＝＝＝8，∴AE＝2OA＝16.故选A.8.【答案】D【解析】因为正方形的对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角线相等，互相平分，所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线好像垂直．故选D.9.【答案】B【解析】A.∵四边形ABCD 是平行四边形，当①AB ＝BC 时，平行四边形ABCD 是菱形，当②∠ABC ＝90°时，菱形ABCD 是正方形，故此选项正确，不合题意；B ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴当②∠ABC ＝90°时，平行四边形ABCD 是矩形，当③AC ＝BD 时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD 是正方形，故此选项错误，符合题意；C ．∵四边形ABCD 是平行四边形，当①AB ＝BC 时，平行四边形ABCD 是菱形，当③AC ＝BD 时，菱形ABCD 是正方形，故此选项正确，不合题意；D ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴当②∠ABC ＝90°时，平行四边形ABCD 是矩形，当④AC ⊥BD 时，矩形ABCD 是正方形，故此选项正确，不合题意．故选B.10.【答案】B【解析】设小正方形的边长为a ，大正方形的边长为b ，由这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，可得ab ＋a (b －a )＝24，①由未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，可得(b －a )2＝41a 2－3，② 将①②联立解方程组可得：a ＝4，b ＝5，∴大正方形的边长为5，∴面积是25.故选B.11.【答案】4【解析】在▱ABCD 中，∵AB ＝CD ＝2cm ，AD ＝BC ＝4 cm ，AO ＝CO ，BO ＝DO ， ∵AC ⊥BC ，∴AC＝＝6 cm，∴OC＝3 cm，∴BO＝＝5 cm，∴BD＝10 cm，∴△DBC的周长－△ABC的周长＝BC＋CD＋BD－(AB＋BC＋AC)＝BD－AC＝10－6＝4 cm，12.【答案】12【解析】∵BE⊥AD，BD＝10，BO＝8，∴OD＝＝6，∵AC、BC上的中线交于点O，∴AO＝2OD＝12.13.【答案】30°【解析】∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝AD，又CD＝AC，∴△ADC是等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝30°.14.【答案】25°【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵∠ODA＝∠OAD＝65°，∴∠ODC＝∠ADC－∠ODA＝25°.15.【答案】30°或60°【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABD ＝21∠ABC ，∠BAC ＝21∠BAD ，AD ∥BC ， ∵∠BAC ＝60°，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ＝180°－60°＝120°，∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°. ∴剪口与折痕所成的角α的度数应为30°或60°.16.【答案】①③④【解析】①∵△AEF 是等边三角形，∴∠EAF ＝60°，AE ＝AF ，又∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠C ＝120°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∠C ＝∠BAD ＝120°，∴∠B ＝180°－∠C ＝60°，故①正确；②∵∠D ＝∠B ＝60°，∴∠BAE ＝∠DAF ＝90°－60°＝30°，∴∠EAF ＝120°－30°－30°＝60°，但是AE 不一定等于AF ，故②错误；③若AE ＝AF ，则21BC ·AE ＝21CD ·AF ， ∴BC ＝CD ，∴平行四边形ABCD 是菱形，故③正确；④若平行四边形ABCD 是菱形，则BC ＝CD ， ∴21BC ·AE ＝21CD ·AF ， ∴AE ＝AF ，故④正确；故答案为①③④.17.【答案】2n ＋1【解析】∵∠MON ＝45°，∴△OA 1B 1是等腰直角三角形，∵OA 1＝1，∴正方形A 1B 1C 1A 2的边长为1，∵B 1C 1∥OA 2，∴∠B 2B 1C 1＝∠MON ＝45°，∴△B 1C 1B 2是等腰直角三角形，∴正方形A 2B 2C 2A 3的边长为1＋1＝2，同理，第3个正方形A 3B 3C 3A 4的边长为2＋2＝22，其周长为4×22＝24， 第4个正方形A 4B 4C 4A 5的边长为4＋4＝23，其周长为4×23＝25， 第5个正方形A 5B 5C 5A 6的边长为8＋8＝24，其周长为4×24＝26， 则第n 个正方形的周长Cn ＝2n ＋1.18.【答案】正方形 8【解析】如图，作AB 平行于小正方形的一边，延长小正方形的另一边与大正方形的一边交于B 点，∴△ABC 为直角边长为8 cm 的等腰直角三角形，∴AB ＝AC ＝8，∴阴影正方形的边长＝AB ＝8cm.19.【答案】证明 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，OA ＝OC ，∴∠OAE ＝∠OCF ，在△OAE 和△OCF 中，∴△AOE ≌△COF (ASA)，∴AE ＝CF .【解析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB ∥CD ，OA ＝OC ，继而证得△AOE ≌△COF ，则可证得结论．20.【答案】证明 如图，取AB 的中点G ，连接MG 、NG ，∵M 、N 分别为AF 、BE 的中点，∴NG ＝21AE ，NG ∥AE ，MG ＝21BF ，MG ∥BF ， ∵CE ＝CF ，∠C ＝90°，∴AE ＝BF ，∠MGN ＝∠C ＝90°，∴MG ＝NG ，∴△MNG 是等腰直角三角形，∴NG ＝MN ，∴AE ＝2NG ＝×2MN ＝MN ， 即AE ＝MN .【解析】取AB 的中点G ，连接MG 、NG ，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得NG ＝21AE ，NG ∥AE ，MG ＝21BF ，MG ∥BF ，再求出AE ＝BF ，∠MGN ＝90°，判断出△MNG 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得NG ＝MN ，再表示出AE 即可得证．21.【答案】证明 ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵DE ⊥AB ，FD ⊥BC ，∴∠BED ＝∠FDC ＝90°，∴∠1＋∠B ＝90°，∠3＋∠C ＝90°，∴∠1＝∠3，∵G 是直角三角形FDC 的斜边中点，∴GD ＝GF ，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∵∠FDC ＝∠2＋∠4＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，∴∠2＋∠FDE ＝90°，∴GD ⊥DE .【解析】由∠1＋∠EDF ＝90°可知，只要证明∠1＝∠3，∠2＝∠3，推出∠1＝∠2即可解决问题．22.【答案】解 根据题意得：CQ ＝2t ，AP ＝4t ，则BP ＝24－4t ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，CD ∥AB ，∴只有CQ ＝BP 时，四边形QPBC 是矩形，即2t ＝24－4t ，解得t ＝4，答：当t ＝4 s 时，四边形QPBC 是矩形．【解析】求出CQ ＝2t ，AP ＝4t ，BP ＝24－4t ，由已知推出∠B ＝∠C ＝90°，CD ∥AB ，推出CQ ＝BP 时，四边形QPBC 是矩形，得出方程2t ＝24－4t ，求出即可．23.【答案】证明 ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∵点E 、F 分别为边CD 、AD 的中点，∴AD ＝2DF ，CD ＝2DE ，∴DE ＝DF ，在△ADE 和△CDF 中，∴△ADE ≌△CDF (SAS)．【解析】由菱形的性质得出AD ＝CD ，由中点的定义证出DE ＝DF ，由SAS 证明△ADE ≌△CDF 即可．24.【答案】(1)证明 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点E 是BC 边的中点，∴AE ＝21BC ＝CE ，同理，AF ＝21AD ＝CF ， ∴AE ＝CE ＝AF ＝CF ，∴四边形AECF 是菱形；(2)解 连接EF 交AC 于点O ，如图所示：在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，BC ＝10，∴AC ＝21BC ＝5，AB ＝AC ＝5，∵四边形AECF 是菱形，∴AC ⊥EF ，OA ＝OC ，∴OE 是△ABC 的中位线，∴OE ＝21AB ＝，∴EF ＝5， ∴菱形AECF 的面积＝21AC ·EF ＝21×5×5＝.【解析】(1)由平行四边形的性质得出AD ＝BC ，由直角三角形斜边上的中线性质得出AE ＝21BC ＝CE ，AF ＝21AD ＝CF ，得出AE ＝CE ＝AF ＝CF ，即可得出结论； (2)连接EF 交AC 于点O ，解直角三角形求出AC 、AB ，由三角形中位线定理求出OE ，得出EF ，菱形AECF 的面积＝21AC ·EF ，即可得出结果． 25.【答案】(1)证明 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AB ，∠D ＝∠ABC ＝90°，而F 是CB 的延长线上的点，∴∠ABF ＝90°，在△ADE 和△ABF 中，∴△ADE ≌△ABF (SAS)；(2)解 ∵BC ＝8，∴AD ＝8，在Rt △ADE 中，DE ＝6，AD ＝8，∴AE ＝＝10， ∵△ABF 可以由△ADE 绕旋转中心A 点，按顺时针方向旋转90°得到，∴AE ＝AF ，∠EAF ＝90°，∴△AEF 的面积＝21AE 2＝21×100＝50. 【解析】(1)根据正方形的性质得AD ＝AB ，∠D ＝∠ABC ＝90°，然后利用“SAS”易证得△ADE ≌△ABF ；(2)先利用勾股定理可计算出AE ＝10，再根据△ABF 可以由△ADE 绕旋转中心A 点，按顺时针方向旋转90°得到AE ＝AF ，∠EAF ＝90°，然后根据直角三角形的面积公式计算即可．26.【答案】(1)证明 ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，∴∠CAD ＝21∠BAC . ∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，∴∠CAE ＝21∠CAM . ∵∠BAC 与∠CAM 是邻补角，∴∠BAC ＋∠CAM ＝180°，∴∠CAD ＋∠CAE ＝21(∠BAC ＋∠CAM )＝90°. ∵AD ⊥BC ，CE ⊥AN ，∴∠ADC ＝∠CEA ＝90°，∴四边形ADCE 为矩形；(2)解 ∠BAC ＝90°且AB ＝AC 时，四边形ADCE 是一个正方形，证明：∵∠BAC ＝90°且AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝21∠BAC ＝45°，∠ADC ＝90°， ∴∠ACD ＝∠CAD ＝45°，∴AD ＝CD .∵四边形ADCE 为矩形，∴四边形ADCE 为正方形；(3)解 由勾股定理，得＝AB ，AD ＝CD ， 即AD ＝2，AD ＝2，正方形ADCE 周长4AD ＝4×2＝8. 【解析】(1)根据等腰三角形的性质，可得∠CAD ＝21∠BAC ，根据等式的性质，可得∠CAD ＋∠CAE ＝21(∠BAC ＋∠CAM )＝90°，根据垂线的定义，可得∠ADC ＝∠CEA ，根据矩形的判定，可得答案；(2)根据等腰直角三角形的性质，可得AD 与CD 的关系，根据正方形的判定，可得答案；(3)根据勾股定理，可得AD 的长，根据正方形周长公式，可得答案．。
八年级数学下册平行四边形的性质练习题
八年级数学下册平行四边形的性质练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________一、填空题1．在平行四边形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，则平行四边形ABCD 的周长等于 _____．2．如图，等腰△ABC 中，△BAC =120°，点D 在边BC 上，等腰△ADE 绕点A 顺时针旋转30°后，点D 落在边AB 上，点E 落在边AC 上，若AE =2cm ，则四边形ABDE 的面积是__________．3．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC 是“倍长三角形”，底边BC 的长为3，则腰AB 的长为______．4．如图，已知DG △BC ，AC △BC ，CD △AB ，EF △AB ，则DG 与AC 间的距离是线段________的长，CD 与EF 间的距离是线段________的长．5．如图，平行四边形的中心在原点，AD BC ∥，D （3，2），C （1，﹣2），则A 点的坐标为________，B 点的坐标为________．6．如图，在平面直角坐标系中，点()1,2A -，4OC =，将平行四边形OABC 绕点O 旋转90°后，点B 的对应点B '坐标是______．7．如图，菱形ABCD 中，∠ABD=30°，AC=4，则BD的长为_______．8．如图，在直角坐标系中，平行四边形ABCD的BC边在x轴上，点A（0，3），B（−1，0），若直线y＝−2x＋4恰好平分平行四边形ABCD的面积，则点D的坐标是______．二、单选题9．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于（）.A．1cm2B．2cm2C．0.5cm2D．1.5cm210．已知三角形的三边长分别为2、x、8，则x的值可能是（）A．4B．6C．9D．1011．已知A、B、C三点不在同一条直线上，则以这三点为顶点的平行四边形共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知某点阵的第△△△个图如图所示，按此规律第（ ）个点阵图中，点的个数为2022个．A ．1009B ．2018C ．2022D ．2048三、解答题13．如图，PBD △和PAC △都是直角三角形，90DBP CAP ∠=∠=︒．(1)如图1，PA ，PB 与直线MN 重合，若45BDP ∠=︒，30ACP ∠=︒，求DPC ∠的度数；(2)如图2，若45BDP ∠=︒，30ACP ∠=︒，PBD △保持不动，PAC △绕点P 逆时针旋转一周．在旋转过程中，当PC BD ∥时，求APN ∠的度数；(3)如图3，()90180BPA a α∠=︒<<︒，点E 、F 分别是线段BD 、AC 上一动点，当PEF 周长最小时，直接写出EPF ∠的度数（用含α的代数式表示）．14．在四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线AF 交BC 于F ，延长AB 到E 使BE FC =，G 是AF 的中点，GE 交BC 于O ，连接GD ．(1)当四边形ABCD 是矩形时，如图，求证：△GE GD =；△BO GD GO FC ⋅=⋅．(2)当四边形ABCD 是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论△的证明．15．如图，已知,AF DE AE FD ==，点B 、C 在AD 上，AB CD =，BF CE =．（1）图中共有__________对全等三角形；分别是__________；（2）我会说明__________≌△__________．（写出证明过程）参考答案：1．14【分析】由平行四边形的对边相等即可求得其周长．【详解】解：△四边形ABCD是平行四边形，△AB＝CD，BC＝AD，△平行四边形的周长为＝2（AB+BC）＝2×（3+4）＝14，故答案为：14．【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟知平行四边形的对边相等是解答的关键．22．【分析】如图，作AH△BC于H．证明四边形ABDE是平行四边形即可解决问题．【详解】解：如图，作AH△BC于H．由题意得：△EAD=△BAC=120°，△EAC=△C=30°，△AE△BC，△△ADH=△B+△BAD，△B=△BAD=30°，△△ADH=60°，BD=AD=AE=2cm，△AHcm），△BD=AE，BD△AE，△四边形ABDE是平行四边形，△SABCD=BD•AH cm2）.2．故答案为【点睛】本题考查旋转变换，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．3．6【分析】分类讨论：AB =AC =2BC 或BC =2AB =2AC ，然后根据三角形三边关系即可得出结果．【详解】解：△△ABC 是等腰三角形，底边BC =3△AB =AC当AB =AC =2BC 时，△ABC 是“倍长三角形”；当BC =2AB =2AC 时，AB +AC =BC ，根据三角形三边关系，此时A 、B 、C 不构成三角形，不符合题意； 所以当等腰△ABC 是“倍长三角形”，底边BC 的长为3，则腰AB 的长为6．故答案为6．【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．4． CG DE【分析】根据平行线间的距离等于平行线间任意一条垂线段的长度即可解题.【详解】解：由题可知：DG△AC,CD△EF,△DG 与AC 间的距离是线段CG ，CD 与EF 间的距离是线段DE.【点睛】本题考查了平行线之间的距离,属于简单题,找到平行线之间的垂线段是解题关键.5． （﹣1，2） （﹣3，﹣2）【分析】根据“关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数”即可解答．【详解】解：因为平行四边形是中心对称图形，而平行四边形的中心在原点，则A 点的坐标为（﹣1，2），B 点的坐标为（﹣3，﹣2）．故答案为：（﹣1，2），（﹣3，﹣2）．【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数是解题的关键．6．()2,3-或()2,3-【分析】根据旋转可得： BM = B 1M 1 = B 2M 2 = 3，△AOA 1 =△AOA 2 = 90°，可得B 1和B 2的坐标，即是B '的坐标．【详解】解：△A (-1，2)， OC = 4，△ C (4，0)，B (3，2)，M (0，2)， BM = 3，AB//x轴，BM= 3．将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转90°后，由旋转得：OM=OM1=OM2=2，△AOA1=△AOA2=90°BM=B1M1=B2M2=3，A1B1△x轴，A2B2△x轴，△B1和B2的坐标分别为：(-2，3)，(2，-3)，△B'即是图中的B1和B2，坐标就是，B' (-2，3)，(2，-3)，故答案为：(-2，3)或(2，-3)．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．7．【分析】根据菱形的性质可得△ABO=30°，AO=12AC=2，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可求得BO的长，从而得到结果．【详解】如图：在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，设相交于O点，△ABD=30°，AC=4，△AC△BD，AO=12AC=2，△AB=2AO=4，△BO，22BD BO∴==⨯=故答案为：【点睛】本题考查的是菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，对角线平分对角．8．（72，3）【分析】连接BD，设D（m，3），BD的中点为T．求出点T的坐标，利用的待定系数法，可得结论．【详解】解：连接BD，设D（m，3），BD的中点为T．△B（−1，0），△T（12m-，32），△直线y＝−2x＋4平分平行四边形ABCD的面积，△直线y＝−2x＋4经过点T，△32＝−2×12m-＋4，△m＝72，△D（72，3），故答案为：（72，3）．【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的性质，一次函数的性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．9．A【分析】根据三角形中线的性质可得S△EBC=12S△ABC，1124BEF BEC ABCS S S==，结合已知条件即可求解．【详解】解：△点D ，E 分别为边BC ， AD 中点， 111,,222ABD ABC BED ABD CED ABD SS S S S S ∴===， 12BED DEC BEC ABC S S S S ∴+==，△F 是EC 的中点， 12BEF BEC S S =， 14BEF ABCS S ∴=， △ABC 的面积等于4cm 2，△S △BEF =1cm 2，即阴影部分的面积为1cm 2,故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题的关键．10．C【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进而得出答案．【详解】解：三角形三边长分别为2，8，x ，8282x ∴-<<+，即：610x <<，只有9符合，故选：C ．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，解题的关键是正确把握三角形三边关系定理．11．C【详解】分析：由已知条件可知，顺次连接A 、B 、C 三点可得△ABC ，在分别以AB 、BC 和AC 为对角线各作出一个以点A 、B 、C 为顶点的平行四边形，如下图，由此即可得到本题答案了.详解：△点A 、B 、C 不在同一条直线上时，△顺次连接A 、B 、C 三点可得△ABC ，△分别以AB 、BC 和AC 为对角线各作出一个以点A 、B 、C 为顶点的平行四边形，如下图所示：△当A 、B 、C 三点不在同一条直线上，则以这三点为顶点的平行四边形共有3个.故选C.点睛：知道以三角形的每一条边为一条对角线都可以画出一个以该三角形的三个顶点为顶点的平行四边形，是解答本题的关键.12．A【分析】仔细观察图形变化，找到图形变化的规律，利用规律求解．【详解】解：第1个图里有6个点，6=4+2；第2个图有8个点，8=4+2×2；第3个有10个点，10=4+3×2；…则第n 个图中点的个数为4+2n ，令4+2n =2022， 解得n =1009．故选：A ．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据图形得出每往后一个图形，点的个数相应增加2个．13．(1)75DPC ∠=︒(2)30APN ∠=︒或150︒(3)2180α-︒【分析】（1）先算出9045DPB BDP ∠=︒-∠=︒，9060CPA ACP ∠=︒-∠=︒，然后根据平角的定义，求出75DPC ∠=︒即可；（2）分点C 在MN 上方和点C 在MN 下方两种情况进行讨论，根据平行线的性质，求出结果即可；（3）延长PB 截取BG =PB ，在MN 上截取AH =AP ，连接GH ，交BD 于点E ，交AC 于点F ，连接PE 、PF ，此时△PEF 的周长最小，根据三角形外角的性质和垂直平分线的性质，求出EPF ∠的度数即可．（1）解：△90DBP CAP ∠=∠=︒，45BDP ∠=︒，30ACP ∠=︒，△9045DPB BDP ∠=︒-∠=︒，9060CPA ACP ∠=︒-∠=︒，△PA ，PB 与直线MN 重合，△18075DPC DPB CPA ∠=︒-∠-∠=︒．（2）当点C 在MN 上方时，如图所示：PC BD ∥，45BDP ∠=︒，△45CDP BDP ∠=∠=︒，△45DPB ∠=︒，60CPA ∠=︒，△18030APN BPD CPD CPA ∠=︒-∠-∠-∠=︒；当点C 在MN 下方时，如图所示：△PC BD ∥，90DBP ∠=︒，△90BPC DBP ∠=∠=︒，18090CPN BPC ∴∠=︒-∠=︒，△6090150APN APC CPN ∠=∠+∠=︒+︒=︒；综上分析可知，30APN ∠=︒或150︒．（3）延长PB 截取BG =PB ，在MN 上截取AH =AP ，连接GH ，交BD 于点E ，交AC 于点F ，连接PE 、PF ，此时△PEF 的周长最小，如图所示：△90DBP CAP ∠=∠=︒，△DB GP ⊥，CA PH ⊥，△DB 垂直平分PG ，CA 垂直平分PH ，△EG =EP ，FP =FH ，△EGP EPG ∠=∠，PHF HPF ∠=∠，△△MPG 是△PGH 的外角，△MPG EGP PHF EPG FPH ∠=∠+∠=∠+∠，180MPG α∠=︒-，△180EPG FPH MPG α∠+∠=∠=︒-，△()EPF APB EPG FPH ∠=∠-∠+∠()180αα=-︒-2180α=-︒【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，根据题意作出图形，并进行分类讨论，是解题的关键．14．(1)证明见详解(2)证明见详解【分析】（1）△证明ADG AEG ≌△即可；△连接BG ，CG ，证明ADG BCG ≌△，BOE GOC ∽△△即可证明；（2）△的结论和（1）中证明一样，证明ADG AEG ≌△即可；△的结论，作DM BC GM ⊥，连接，证明BOE GOM ∽△△即可．（1）证明：△证明过程：四边形ABCD 为矩形，90ABC BAD ∴∠=∠=︒AF 平分BAD ∠45BAF DAF ∴∠=∠=︒ABF ∴为等腰直角三角形AB BF ∴=BE FC =AB BE BF CF AE BC AD ∴+=+==，即AG AG =∴ADG AEG ≌△∴GE GD =△证明：连接BG ，CG ，G 为AF 的中点，四边形ABCD 为矩形，90ABC BAD AD BC ∴∠=∠=︒=，BG AG FG ∴==AF 平分BAD ABF ∠，为等腰直角三角形，45BAF DAF ABG CBG ∴∠=∠=︒=∠=∠∴ADG BCG ≌△∴ADG BCG ∠=∠ADG AEG ≌△E ADG ∴∠=∠E BCG ∴∠=∠BOE GOC ∠=∠BOE GOC ∴∽△△BO GO GO BOBE GC GD CF ∴===∴BO GD GO FC ⋅=⋅（2）作DM BC BC M GM GN DM DM N ⊥⊥交于，连接，作交于点，如图所示90DMB GNM GND DMC ∴∠=︒=∠=∠=∠由（1）同理可证：ADG AEG ≌△E ADG ∴∠=∠四边形ABCD 为平行四边形AD BC ∴∥90ADM DMC ∴∠=∠=︒BC GN AD ∴∥∥G 为AF 的中点，由平行线分线段成比例可得DN MN =DG MG ∴=，,GDM GMDADG BMG EBOE GOM ∠=∠BOE GOM ∴∽△△BO GO GO BO BE GM GD CF∴=== ∴BO GD GO FC ⋅=⋅【点睛】本题考查了以矩形与平行四边形为桥梁，涉及全等三角形的证明，相似三角形的证明，正确作出辅助线并由此得到相应的全等三角形和相似三角形是解题的关键．15．（1）3对；,,AED DFA AEC DFB AFB DEC ≌≌≌；（2）AED DFA ≌，证明见解析．【分析】根据已知条件，结合三角形全等的判定定理，推理即可得到正确答案．【详解】解：（1）3对；,,AED DFA AEC DFB AFB DEC ≌≌≌；（2）我会说明AED DFA ≌．证明：在AED 和DFA 中，△,,,DE AF DA AD AE DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩△()AED DFA SSS ≌．【点睛】本题考查三角形全等的判定定理，根据定理内容找到全等条件是解题关键．。
八年级数学下册《平行四边形的性质》练习题及答案(人教版)
八年级数学下册《平行四边形的性质》练习题及答案(人教版) 一、单选题1．平行四边形四个顶点分别为O、A、B、C，已知O（0，0）、A（2，3）、B（5，3），且OC边在x 轴上，则点C的坐标为（）A．（3，0）B．（5，0）C．（3，0）或（﹣3，0）D．（5，0）或（﹣5，0）2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论错误．．的是（）A．OA=OC B．AB=CD C．AD=BC D．∠ABD=∠CBD3．如图在8×5的正方形网格中，AB，AC是经过格点的线段，如果能找到这样的格点M，使得S∠ACM=S∠ABM，这样的点M的个数是（）A．1B．2C．3D．44．如图，在平行四边形 ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E．若∠B=46°，则∠AEC的大小为（）A．110°B．113°C．125°D．134°5．如图，在平行四边形ABCD中，∠BDC=47°42′，依据尺规作图的痕迹，计算α的度数是（）A．67°29′B．67°9′C．66°29′D．66°9′6．如图,在平面直角坐标系中,∠MNEF的两条对角线ME,NF交于原点O,点F的坐标是(3,2),则点N的坐标为()A．(-3,-2)B．(-3,2)C．(-2,3)D．(2,3)7．如图：平行四边形ABCD的周长为24，A、B、D相交于点O, EO⊥BD交AD于点E，则△ABE 的周长为（）A．8B．10C．12D．168．在□ABCD中，∠C、∠D的度数之比为3∠1，则∠A等于（）A．45°B．50°C．135°D．130°9．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD=8，BE=3，则▱ABCD的周长是（）A．16B．14C．26D．2410．在∠ABCD中（如图），连接AC，已知∠BAC=40°，∠ACB=80°，则∠BCD=（）A．80°B．100°C．120°D．140°二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，AD∠BC，AD=5，B（-3，0），C（9，0），点E是BC的中点，点P 是线段BC上一动点，当PB=时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形.12．在平面直角坐标系中，AB//x轴，点A(−1，2)，AB=3，则点B的坐标为.13．如图，已知直角三角形ABC，∠A=90°，AB=4厘米，AC=3厘米，BC=5厘米，将△ABC沿AC方向平移1.5厘米，线段BC在平移过程中所形成图形的面积为平方厘米．14．在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=200°，则∠A=．15．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，三角形AOB是等边三角形，AB=4cm ，求平行四边形ABCD的面积．三、解答题16．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EF过点O交AD于点E，交BC于点F.求证：OE=OF.17．如图，∠ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE=OF．18．在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，连接BE并延长交AD的延长线于F.求证：AD= DF.19．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AB至点E．使BE = AB．连接DE交BC于点F．求证：CF = BF．20．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E,F在AC上，且AF=CE．求证：BE=DF．参考答案1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】D6．【答案】A7．【答案】C8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】1或1112．【答案】（2，2）或（-4，2）13．【答案】614．【答案】80°15．【答案】16√3cm 216．【答案】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =OC ，AD ∥BC∴∠OAE =∠OCF ，∠OEA =∠OFC在△AOE 和△COF 中{∠OAE =∠OCF ∠OEA =∠OFC OA =OC∴△AOE ≅△COF(AAS)∴OE =OF .17．【答案】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，AD∠BC ，∴∠OAE=∠OCF ，在∠OAE和∠OCF 中，{∠OAE =∠OCF OA =OC ∠AOE =∠COF，∴∠AOE∠∠COF （ASA ），∴OE=OF 18．【答案】证明： ∵ 平行四边形 ABCD ∴AD//BC ， AD =BC∴∠C =∠FDE∵E 为 DC 的中点∴DE =CE在 △BCE 与 △FDE 中{∠C=∠FDE CE=DE∠BEC=∠FED∴△BCE≌△FDE∴BC=FD∴AD=DF.19．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AB=CD∴∠DCF=∠EBF，∠CDF=∠BEF∵BE=AB∴BE=CD∴△DCF≌△EBF∴CF=BF20．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD∴∠BAE=∠DCF∵AF=CE∴AF−EF=CE−EF即AE=CF∴ΔCDF≌ΔABE∴BE=DF．。
八年级数学下册平行四边形的判定练习题
BDCAO图1FEDCBA图2F E D CBA HG FEOAB C DOM ABCD图1FE DCB A4321图3F ED CBA H G 图2F E DCB A八年级数学下册平行四边形的判定练习题识记知识1）定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.∵ , ∴四边形ABCD 是平行四边形.2）定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.∵∴四边形ABCD 是平行四边形.3）定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.∵∴四边形ABCD 是平行四边形.4）定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.∵∴四边形ABCD 是平行四边形.5）定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形∵∴四边形ABCD 是平行四边形. 二、平行四边形性质与判定的综合应用例1： 如图， 已知：E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，并且AE=CF 。
求证：四边形BFDE 是平行四边形变式一：在□ABCD 中，E ，F 为AC 上两点，BE//DF ．求证：四边形BEDF 为平行四边形．变式二：在□ABCD 中，E,F 分别是AC 上两点，BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F.求证:四边形BEDF 为平行四边形想一想：在□ABCD 中， E ，F 为AC 上两点， BE ＝DF ．那么可以证明四边形 BEDF 是平行四边形吗？例2：如图，平行四边形ABCD 中，AF ＝CH ，DE ＝BG 。
求证：EG 和HF 互相平分。
练习1、如图所示，在四边形ABCD 中，M 是BC 中点，AM 、BD 互相平分于点O ，那么请说明AM=DC 且AM ∥DC：1、以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个 2、如图，在□ABCD 中，已知两条对角线相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是AO 、BO 、CO 、DO 的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD >BC ，BC = 6cm ,P ,Q 分别从A ，C 同时出发，P 以1厘米/秒的速度由A 向D 运动，Q 以2厘米/秒的速度由C 向B 运动，几秒后四边形ABQP 成为平行四边形？1、下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）A 、一组对边相等，另一组对边平行；C 、一组对角相等，一组邻角互补；B 、一组对边平行，一组对角互补；D 、一组对角互补，另一组对角相等。
八年级数学下册《平行四边形的判定》练习题及答案解析
八年级数学下册《平行四边形的判定》练习题及答案解析一、选择题（共12小题）1. 下面几组条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是( )A. 一组对边相等B. 两条对角线互相平分C. 一组对边平行D. 两条对角线互相垂直2. 在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为( )A. 1cmB. 3cmC. 5cm或3cmD. 1cm或3cm3. 下面条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( )A. 一组对角相等B. 对角线互相平分C. 一组对边相等D. 对角线互相垂直4. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，若动点N从点B出发沿边BC方向向终点C运动，连接BM，CM，AN，DN，则在整个运动过程中，阴影部分面积和的大小变化情况是( )A. 不变B. 一直变大C. 先减小后增大D. 先增大后减小5. 在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动A(0,2)，B(0,4)，连接AC，BD，则AC+BD的最小值为( )A. 2√5B. 2√10C. 6√2D. 3√56. 如图，有a，b，c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线( )A. a户最长B. b户最长C. c户最长D. 三户一样长7. 在同一平面内，已知a∥b∥c，若直线a，b间的距离为3cm，直线a，c间的距离为5cm，则直线b，c间的距离是( )．A. 2cmB. 8cmC. 2cm或8cmD. 不确定8. 下列命题中，说法正确的是( )A. 所有菱形都相似B. 两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似C. 三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍D. 斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似9. 如图，已知直线a∥b，小王在直线a上任取5个点：P1，P2，P3，P4，P5，经测量发现它们到直线b的距离都是3cm；小丁在直线b上任取5个点：Q1，Q2，Q3，Q4，Q5，经测量发现它们到直线a的距离b也都是3cm．该操作反映了平行线的某种性质，下列对该性质的描述中，不正确的是( )A. 如果直线a∥b，那么直线a上任意一点到直线b的距离都相等B. 如果直线a∥b，那么直线b上任意一点到直线a的距离都相等C. 两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值D. 两条平行线中，一条直线上的任意一点与另一条直线上的任意一点之间的距离都是一个定值10. 平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )A. BE=DFB. AE=CFC. AF∥CED. ∠BAE=∠DCF11. 如图所示，l1∥l2，B，C是l2上的两点，A，D，E是l1上的三点，S△ABC记作S1，S△DBC记作S2，S△EBC记作S3，则( )A. S1>S2>S3B. S3>S2>S1C. S1=S2=S3D. 无法比较12. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2021次后形成的图形中所有正方形的面积和是( )A. 2019B. 2020C. 2021D. 2022二、填空题（共8小题）13. 下列四边形中，是平行四边形的是（请填写序号）．14. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加—个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是 .15. 一个四边形四条边顺次是a，b，c，d，且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形是．16. 如图，a∥b，AB⊥b，CD⊥b，AB=4cm，则CD=．17. 已知直线a、b、c互相平行，直线a与b的距离是2厘米，直线b与c的距离是6厘米，那么直线a与c的距离是．18. 如图，已知AD∥BC，AB∥CD，过点A分别画直线BC，CD的垂线，垂足为点E，F．通过度量，可以得到平行线AD与BC间的距离为，平行线AB 与CD间的距离为．19. 在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为A(−2,1)，B(−3,−1)，C(1,−1)．若四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是．20. 如图，AD∥BC，E是线段AD上任意一点，BE与AC相交于点O，若△ABC的面积是5，△EOC的面积是1，则△BOC的面积是．三、解答题（共6小题）21. 已知：如图所示，C为线段BE上一点，AB∥DC，AB=EC，BC=CD．求证：∠A=∠E．22. 如图，已知点E，F分别在长方形ABCD的边AB，CD上，且AF∥CE．请分别度量AE与CF之间的距离，AF与CE之间的距离（精确到0.1cm）．23. 若两个角的两边分别垂直，其中一个角比另一个角的2倍少30∘，求这两个角的度数．24. 如图，已知E为平行四边形ABCD的边BC上的任一点，DE延长线交AB延长线于点F．试说明S△ABE=S△CEF的理由．25. 如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥DB，且CF=DE，连接AE，BF，EF．求证：AE=BF．26. 如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A(0,12)，B(a,c)，C(b,0)，并且a，b满足b=√a−21+√21−a+16．一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P，Q分别从点A，O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）．（1）求B，C两点的坐标；（2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形?并求出此时P，Q两点的坐标；（3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形?并求出P，Q两点的坐标．参考答案与解析1. B2. C3. B4. A【解析】连接MN，过F作WQ⊥AD于Q，交BC于W，过E作EH⊥AD于Q，交BC于P，∴QW=PH，∵AD∥BC，∴WQ⊥BC，∴S△MFD+S△FNC=12×MD×FQ+12×NC×FW=12×(MD+NC)×QW，S△AEM+S△BNE=12×AM×EH+12×BN×EP=12×(AM+BN)×PH，∴阴影部分面积=12×(AD+BC)×QW，∴阴影部分面积不变．5. B【解析】作A(0,2)关于x轴的对称点A′(0,−2)，过A′作A′E∥x轴且A′E=CD=2，故E(2,−2)，连接BE交x轴与D点，过A′作A′C∥DE交x轴于点C，所以四边形CDEA′为平行四边形，此时AC+BD最短等于BE的长，即AC+BD=A′C+BD=DE+BD=BE=√(2−0)2+(−2−4)2=2√10．6. D7. C8. D9. D10. B【解析】A．如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；B．如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；C．如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AF∥CE，∴∠FAO=∠ECO，又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，∴AF∥CE且AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；D．如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，∴AE∥CF，∴AE∥CF且AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意．11. C【解析】同底等高的三角形的面积相等．12. D 【解析】设正方形A，B，C围成的直角三角形的三条边长分别是a，b，c．如图，根据勾股定理，得a2+b2=c2，一次“生长”后，S A+S B=S C=1．第二次“生长”后，S D+S E+S F+S G=S A+S B=S C=1，推而广之，“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022×1=2022．13. ①②③14. 答案不唯一，如：AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B= 180∘或∠C+∠D=180∘等.15. 平行四边形16. 4cm17. 4厘米或8厘米18. 4cm，5cm【解析】如图所示：通过度量，得到AE=4cm，AF=5cm，故平行线AD与BC的距离为4cm，AB与CD 的距离为5cm．19. (−6,1)，(2,1)，(0,−3)20. 421. ∵AB∥DC，∴∠B=∠ECD，在△ABC和△ECD中，{AB=EC,∠B=∠ECD, BC=CD,∴△ABC≌△ECD(SAS)，∴∠A=∠E（全等三角形的对应角相等）．22. 过点E作EH⊥AF于点H．经测量可得：AD=3.2cm，EH=1.3cm，则AE与CF之间的距离是 3.2cm，AF与CE之间的距离是 1.3cm．23. 设另一个角的度数为α，则这个角的度数是2α−30∘．因为两个角的两边分别垂直，所以α+2α−30∘=180∘或α=2α−30∘,解得α=70∘或α=30∘,所以2α−30∘=110∘或2α−30∘=30∘．故这两个角的度数分别是110∘，70∘或30∘，30∘．24. 提示：连接BD，因为AD∥BC，所以S△ABE=S△DBE，因为CD∥AF，所以S△EFD=S△BFC，所以S△BED=S△CEF，所以S△ABE=S△CEF．25. ∵CF∥BD且CF=DE，∴四边形CDEF是平行四边形，∴CD∥EF，CD=EF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴AB∥EF，AB=EF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AE=BF．26. （1）因为b=√a−21+√21−a+16，所以a=21，b=16，故B(21,12)，C(16,0)．（2）根据题意得：QP=2t，QO=t，则：PB=21−2t，QC=16−t，因为当PB=QC时，四边形PQCB是平行四边形，所以21−2t=16−t，计算得出：t=5，所以P(10,12)，Q(5,0)．（3） 当 PQ =CQ 时，过 Q 作 QN ⊥AB ，如图所示，根据题意得：122+t 2=(16−t )2，计算得出：t =72，故 P (7,12)，Q (72,0)，当 PQ =PC 时，过 P 作 PM ⊥x 轴，如图所示，根据题意得：QM =t ，CM =16−2t ，则 t =16−2t ，计算得出：t =163，2t =323， 故 P (323,12)，Q (163,0)．。
人教版八年级数学下册第十八章《平行四边形》单元练习题(含答案)
人教版八年级数学下册第十八章《平行四边形》单元练习题（含答案）一、单选题1．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是 ( )A．40° B．45° C．50° D．60°2．下列叙述，错误的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线相等的四边形是矩形3．在四边形 ABCD 中，AD＝BC，E、M，F 分别为 AB，BD，CD 的中点，若∠EMF＝120°，则∠MEF 等于( )A．20°B．25°C．30°D．35°4．不能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）A．AB=CD，AB∥CD B．∠A=∠C，∠B=∠D C．AB=AD，BC=CD D．AB=CD，AD=BC 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为( )A 73B．4 C．5 D．926．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AB， AC的中点，则下列四个判断中不一定正确的是（）A．四边形AEDF一定是平行四边形B．若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形C．若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形D．若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形7．如图所示，直线a∥b，A是直线a上的一个定点，线段BC在直线b上移动，那么在移动过程中△ABC的面积()A．变大B．变小C．不变D．无法确定8．下列命题中的逆命题错误的是（）A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角B．两条对角线相等的四边形是矩形C．线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等D．全等三角形的对应角相等9．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM=2，则线段BN的长为（）2A．1 B2C．22D10．在平面直角坐标系中，称横．纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（）A．13 B．21 C．17 D．2511．下列命题中，是假命题的是（）A．平行四边形的两组对边分别相等B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．矩形的对角线相等D．对角线相等的四边形是矩形12．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为G，连接DG，则图中阴影部分面积是（）A．5 B．3 C．365D．185二、填空题13．菱形的一个内角为120°，平分这个内角的对角线长为8cm，则菱形周长为cm．14．如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若从三个条件：①AB=AC；②AB=BC；③AC=BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是__（填序号）．15．在平行四边形ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，若∠EBF=60°，且AE=2，DF=1，则EC的长为_____________.16．如图，在ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.若∠EAF=56°.则∠B=_________.17．如图，边长为 4cm 的正方形ABCD 先向上平移 2cm ，再向右平移1cm ，得到正方形A ' B 'C ' D ' ，此时阴影部分的面积为 .18．等腰梯形的腰长为5，对角线互相垂直且交点为对角线的三等分点，则梯形的周长为__________19．如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A 1 B 1 C 1 D 1 ；把正方形A 1 B 1 C 1 D 1 边长按原法延长一倍得到正方形A 2 B 2 C 2 D 2 (如图（2）)；以此下去，则正方形A n B n C n D n 的面积为________．20．如图，已知Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是斜边上的中线，BC=12，AC=5，那么CD=_______.三、解答题21．已知：正方形ABCD 的对角线交于点O ，E 是线段OC 上的一动点，过点A 作AG BE ⊥交G ，交BD 于F ．（1）若动点E 在线段OC 上（不含端点），如图（1），求证：OF OE =；（2）若动点E 在线段OC 的延长线上，如图（2），试判断OEF 的形状，并说明理由．22．如图①，在矩形ABCD 中，8AB =，4=AD .点P 从点A 出发，沿A D C D →→→运动，速度为每秒2个单位长度；点Q 从点A 出发向点B 运动，速度为每秒1个单位长度.P 、Q 两点同时出发，点Q 运动到点B 时，两点同时停止运动，设点Q 的运动时间为t （秒）.连结PQ 、AC 、CP 、CQ .（1）点P 到点C 时，t =____________；当点Q 到终点时，PC 的长度为_________； （2）用含t 的代数式表示PD 的长；（3）当CPQ的面积为9时，求t的值.23．数学实验室：小明取出一张矩形纸片ABCD，AD=BC=5，AB=CD=25．他先在矩形ABCD的边AB上取一点M，接着在CD上取一点N，然后将纸片沿MN折叠，使MB′与DN交于点K，得到△MNK（如图①）．（1）试判断△MNK的形状，并说明理由．（2）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．24．知识再现：已知，如图，四边形ABCD是正方形，点M、N分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，延长CB至G使BG＝DN，连接AG，根据三角形全等的知识，我们可以证明MN＝BM+DN．知识探究：（1）在如图中，作AH⊥MN，垂足为点H，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；知识应用：（2）如图，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，且BD＝2，AD＝6，则CD的长为；知识拓展：（3）如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，F为边CD上一点，∠FEC＝2∠BAE，AB=24，求DF的长．25．如图，在平行四边形ABCD中，点O是AB的中点，且OC=OD．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）若AD=3，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积．26．在矩形ABCD中，AB=3， BC=4，点O为矩形ABCD对角线的交点，点P为AD边上任意一点．（1）如图1，连接PO并延长，与BC边交于点Q．求证: AP=CQ；（2）如图2，连接BP、DQ，将△ABP与△CDQ分别沿BP与DQ翻折，点A与点C分别落在矩形ABCD内的点A′、C′处，连接PA′、QC′，试求证:四边形PA′QC′是平行四边形；（3）在（2）的条件下，请直接写出:当点A′、C′同时落在矩形ABCD 的对角线上时A′C′的长．27．如图，点P 为正方形ABCD 对角线BD 上一点，PE CD ⊥于,E PF BC ⊥于点F .()1求证:PA PC =；()2若正方形ABCD 的边长为1,求四边形PFCE 的周长.28．如图，在矩形ABCD 中，点E 为AD 的中点，不用圆规、量角器等工具，只用无刻度的直尺作图．（1）如图1，在BC 上找点F ，使点F 是BC 的中点；（2）如图2，连接AC ，在AC 上取两点P ，Q ，使P ，Q 是AC 的三等分点．29．．动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC折出∠=∠的方法得到菱形AECF（见方案二）．CAE CAD∠=∠，ACF ACB（1）你能说出小颖、小明折出菱形的理由吗？（2）请你通过计算，比较小颖和小明折出的菱形，哪个菱形面积较大？参考答案1．C2．D3．C4．C5．D6．C7．C8．D9．A10．D11．D12．D13．32.14．②15．316．56°17．6cm 218．19．5n 20．6.521．（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴OA OB =，AOB BOC ∠=∠90=︒，∴∠OBE +∠OEG ＝90°， ∵AG BE ⊥于点G ， ∴90AGE ∠=︒， ∴∠OAF +∠OEG ＝90°， ∴GAE OBE ∠=∠， 在AOF 和BOE △中，AOF BOE AO BOOAF OBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AOF BOE ASA △△≌， ∴OF OE =；（2）解：OEF 是等腰直角三角形，理由如下： ∵四边形ABCD 为正方形， ∴OA OB =，AOB BOC ∠=∠90=︒，∴∠OBE +∠OEG ＝90°， ∵AG BE ⊥于点G ， ∴90AGE ∠=︒， ∴∠OAF +∠OEG ＝90°， ∴GAE OBE ∠=∠， 在AOF 和BOE △中，AOF BOE AO BOOAF OBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AOF BOE ASA △△≌∴OF OE =；又∵90BOC ∠=°，∴OEF 是等腰直角三角形．22．（1）8s ，4；（2）当02t ≤≤时，42PD t =-；当26t <<时，24PD t =-；当68t ≤≤时，202PD t =-；（3）当CPQ 的面积为9时1t =或154t =. 23．（1）△MNK 是等腰三角形（2）S △MNK =32.5．24．（1）答：AB ＝AH ，证明：如图1∵四边形ABCD 是正方形，∴90,ABC D ∠=∠=∴18090,ABG ABC ∠=-∠=又∵AB =AD ，∵在△ABG 和△ADN 中， AB AD ABG ADN BG DN ，=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABG ≌△ADN (SAS )，∴BAG DAN AG AN ∠=∠=，，∵90,45BAD MAN ∠=∠=，∴9045DAN BAM MAN ∠+∠=-∠=，∴45,BAG BAM ∠+∠=即45GAM ∠=，∵在△GAM 和△NAM 中，AG AN GAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GAM ≌△NAM (SAS )，又∵GM 和NM 是对应边，∴AB =AH (全等三角形对应边上的高相等)；(2)作△ABD 关于直线AB 的对称△ABE ，作△ACD 关于直线AC 的对称△ACF ，∵AD 是△ABC 的高，∴90,ADB ADC ∠=∠=∴90E F ∠=∠=，又∵45BAC ∠=∴90,EAF ∠=延长EB 、FC 交于点G ，则四边形AEGF 是矩形，又∵AE =AD =AF∴四边形AEGF 是正方形，由(1)、(2)知：EB =DB =2，AE =AF=AD=EG =6，设CD =x ，∴BG =6−2=4；CG =6− x ；BC =2+ x ，在Rt △BGC 中,()2224(62,)x x +-=+解得3,x =故CD 的长为3.（3）如图3，过点A 作AM EF ⊥交EF 于点M,901,21,AEB FEC ∠=-∠∠=∠180901,AEM AEB FEC ∠=-∠-∠=-∠ ,AEB AEM ∴∠=∠在△ABE 和△AME 中，90,ABE AME AEB AEFAE AE ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△AME (AAS )，1112,22BE ME BC AB ∴==== ,AB AM AD == 在Rt ADF 和Rt AMF 中，,AD AM AF AF =⎧⎨=⎩Rt ADF ≌Rt AMF ,,MF DF ∴=设DF =x ，∴EF =12+ x ；FC =24− x ；EC =12，在Rt △EFC 中,()2221(221)42,x x +-=+解得8,x =故DF 的长为8.图325．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∴∠A+∠B=180°，∵O 是AB 的中点，∴AO=BO ，在△DAO 和△CBO 中AD BC AO BO DO CO ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝∴△DAO ≌△CBO （SSS ），∴∠A=∠B ，∵∠A+∠B=180°，∴∠A=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形；（2）解：∵△DAO ≌△CBO ，∠DOC=60°，∴∠DOA=∠COB=12（180°-∠DOC ）=60°，∵∠A=90°，∴∠ADO=30°，∴ DO=2AO ，∵AD=3，由勾股定理得：2223(2),AO AO +=解得：AO=3， ∴AB=2AO=23，∴▱ABCD 的面积是AB×AD=2336 3.⨯=26．（1）连接AC∵O 是矩形是ABCD 的对角线交点．∴AC 过点O ，且AO=OC∵四边形ABCD 是矩形，∴AD//BC∴∠PAO=∠QCO又∠AOP=∠COQ∴△AOP ≌△COQ （ASA ）∴AP=CQ（2）∵四边形ABCD 是矩形∴AB=CD ，∠A=∠C又∵AP=CQ ，∴△BAP ≌△DCQ （SAS ）∴∠APB=∠DQC ．∵翻折∴∠APA'=2∠APB ，∠C'QC=2∠CQD ，AP=AP'，CQ=CQ'∴∠APA'=∠C'QC A'P=C'Q∵AD//BC∴∠APQ=∠CQP∴∠APA'-∠APQ=∠C'QC-∠CQP即∠QPA'=∠PQC'∴A'P//C'Q又∵A'P=C'Q∴四边形PA'QC'是平行四边形（3）若点A'，点C'都落在BD上时，如图，∵矩形ABCD中，AB=3，BC=4，229165∴==+=+=，BD AC AB CB∵将△ABP与△CDQ分别沿BP与DQ翻折，点A与点C分别落在矩形ABCD内的点A′、C′处，∴AB=A'B=3，CD=C'D=3，∴A'C'=A'B+C'D-BD=1；若点A'，点C'都落在AC上时，如图，设BP与AC交于点E，∵将△ABP折叠，∴BP⊥AA'，AE=A'E，∵S△ABC=12×AB×BC=12×AC×BE，341255BE ⨯∴==，95AE∴===，∴A'E=AE=95，∴A'C=AC-AA'=75，同理可得AC'=75，∴A'C'=AC-AC'-A'C=115，综上所述：A'C=1或115．27．（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABD=∠CBD=45°，∠BCD=90°，在△ABP与△CBP中，AB CBABD CBDBP BP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC；（2）∵PE⊥CD，PF⊥BC，∴∠PFC=90°，∠PEC=90°，又∵∠BCD=90°，∴四边形PFCE是矩形，∴PE=CF，PF=CE，又∵∠CBD=45°，∠PFB=90°，∴△PBF是等腰直角三角形，∴BF=PF，∴矩形PFCE的周长为2（PF+FC）=2（BF+FC）=2BC=2．28．（1）如图1，连接AC、BD交于点O，延长EO交BC于F，则点F即为所求．证明如下：∵ABCD是矩形，∴BO=OD，AD∥BC，AD=BC，∴∠EDO=∠FBO．∵∠EOD=∠FOB，∴△EOD≌△FOB，∴ED=FB=12AD=12BC，∴F为BC的中点．（2）如图2，BD交AC于O，延长EO交BC于F．连接EB交AC于P，连接DF交AC于Q，则P、Q即为所求．证明如下：由（1）可得：F为BC的中点，∴ED=BF=AE=FC，ED∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形，∴BE∥FD．∵FC=BF，∴CQ=PQ．∵AD∥BC，∴∠EAC=∠FCA，∠ADQ=∠CFQ．∵BE∥FD，∴∠AEP=∠ADQ，∴∠AEP=∠CFQ．在△AEP和△CFQ中，∵∠EAC=∠FCA，AE=CF，∠AEP=∠CFQ，∴△AEP≌△CFQ，∴AP=CQ，∴P ，Q 是AC 的三等分点．29．（1）小颖的理由：依次连接矩形ABCD 各边的中点及对角线，由于矩形的对角线相等，利用中位线的性质，得四边形EFGH 的四条边相等，根据四边相等的四边形是菱形，得四边形EFGH 是菱形．小明的理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ，则DAC ACB ∠=∠，又∵CAE CAD ∠=∠，ACF ACB ∠=∠，∴CAE CAD ACF ACB ∠=∠=∠=∠，∴AE EC CF FA ===，∴四边形AECF 是菱形．（2）方案一：21541254630(cm )22AEH EFGH ABCD S S S ∆=-=⨯-⨯⨯⨯=菱形矩形； 方案二：设cm BE x =，则(12)cm CE x =-， ∴225cm AE x =+，由四边形AECF 是菱形，得22AE CE =，即2225(12)x x +=-， ∴11924x =， 21119845212525(cm )22424ABE AECF ABCD S S S ∆=-=⨯-⨯⨯⨯=菱形矩形． 比较可知，小明所折的菱形面积较大．。
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2019-2020 学年八年级数学下册《平行四边形的性质》练习题 2 新人
教版
1.在平行四边形 ABCD中，已知∠ A＝ 40°，则∠ B＝，∠ C＝，∠ D＝.
2.在中，∠ A：∠ B＝ 2： 3，则∠ B＝，∠ C＝，∠ D＝．
3.若一个平行四边形相邻的两内角之比为2： 3，则此平行四边形四个内角的度数分别为
____________．
4. 如图，在平行四边形ABCD中，，求平行四边形各角的度数。
A D
B C
5. 如图 12-1-5 ，在中，∠ B＝120°，DE⊥ AB，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F．求∠
ADE，∠ EDF，∠ FDC的度数．
6.在平行四边形ABCD中，已知 AB＝ 8，周长等于 24，则 BC=，CD＝，AD＝．
7.已知的周长为 28cm， AB： BC＝ 3： 4，则 AB＝， BC＝， CD＝， AD
＝．
8.在中，∠ A＝ 3 0°， AB＝ 7 cm， AD＝ 6 cm，则＝ _________ ___．
9.一个平行四边形的一边长是 8，一条对角线长是 6，则它的另一条对角线 x 的取值范围为
____________．
10.中，周长为20cm，对角线AC交 BD于点 O，△ OAB比△ OBC的周长多4，则边 AB
＝ _______， BC＝ _______．
11.平行四边形的边长等于 5 和 7，这个平行四边形锐角的平分线把长边分成两条线段长各是
____________．
12.平行四边形两邻边分别是 4 和 6 ，其中一边上的高是 3 ，则平行四边形的面积是
____________．
13.如图，中，对角线 AC长为 10 cm，∠ CAB＝ 30°， AB长为 6
cm，则的面积是 ____________．
14.平行四边形邻边长是 4 cm 和 8c m，一边上的高是 5 cm，则另一边上的高是_ ___________．
15.如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和 BD相交于点O，AOB的周长为15， AB
＝ 6，那么对角线 AC和 BD的和是多少？
16.已知：如图，四边形 ABCD是平行四边形，且。
（ 1）说明是等腰三角形。
（ 2）的哪两边之和等于平行四边形ABCD的周长，为什么？
16.如图，已知的周长为60 cm，对角线 AC、BD相交于点O，
△ AOB的周长比△ BOC的周长长 8 cm，求这个四边形各边长．
17.如图，如果△ AOB与△ AOD的周长之差为 8，而 AB∶ AD＝ 3∶ 2，
那么的周长为多少？
18. 如图： AD是△ ABC的角平分线 ,DE∥ AB，如果 BF=AE.
试说明： EF=BD
21.如图 , 在平行四边形 ABCD中 ,M,N 分别是 OA,OC的中点 ,O 为对角线 AC与 BD的交点 , 试问
四边形 BMDN是平行四边形吗 ?说说你的理由 .
D
A
M
O
N
B C。