专题3.10 判断点在圆内外向量应用最厉害-玩转压轴题突破140分之高三数学解答题高端精品 Word版 含答案
2024年高三培优讲义33---向量中的隐圆问题
专题5-4 向量中的隐圆问题目录知识点梳理：构隐圆的几大角度 (1)题型一 定值圆（由模长是定值构造圆） (3)题型二 直径圆（两向量垂直构造圆） (4)题型三 外接圆（定边对定角构造圆） (6)题型四 对角互补构造圆 (6)题型五 向量与阿氏圆 (6)题型六 向量圆（极化圆） (7)题型七 其它隐圆 (7)题型八 设点坐标，构造函数求最值 (8)构隐圆的几大角度角度一、定值圆（由模长是构造圆）记A ，B ，C 为定点，若出现AP λ=，AP AC λ±=，AP AB AC λ−−=，都可以得出隐圆有时也会出现c a b −−=λ这种形式，我们可以设a OA =，b OB =，c OC =，也能转化成上面第三种形式角度二、直径圆圆的直径所对的圆周角为直角，因此当两个向量相互垂直时，可以选择一个共同的起点，则该起点在以两个向量的终点构成的线段为直径的圆上．在向量问题中，向量a ，b 的垂直条件体现为，,90︒=a b 0⊥a b ＝，0⋅a b ＝等．角度三、外接圆（定边定角）,,a b a b ±<>均为定值时，可以构造圆在三角形中，若遇到一边一对角问题，可以考虑构造此三角形的外接圆，从几何的角度进行解题．同样的道理，在向量问题中，若两个或三个向量可以构造出一个三角形(如a ，b ，a -b )，且给出边一对角的条件，可以考虑构造外接圆模型进行解题． 角度四、四点共圆（对角互补）圆内接四边形的对角互补；反之，若某四边形的对角和为180°，则该四边形的四个顶点共圆．在向量问题中，只需有三个向量，选取1个共同起点，加上3个终点，便可构成一个四边形，若该四边形满足上述条件，可以构造“隐圆”模型进行解题，四点共圆模型可以认为是外接圆模型的延伸． 角度五、比例圆(阿波罗尼斯圆) 在平面上给定两点A ，B ，设点P 满足||||PA PB =λ，则当λ>0且λ≠1时，点P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．在向量问题中，若|a |=λ|b |(λ>0且λ≠1)，即两个向量的模长呈现一定的比例时，可以考虑构造阿波罗尼斯圆进行解题 角度六、向量圆（极化恒等式）若PA PB λ⋅=(λ≠0且λ∈R )，其中点P 为动点，A ，B 为两个定点，则点P 的轨迹为圆． 简证：取AB 中点M ，2222PA PB PM AM PM PM λλλ⋅=⇒−=⇒=+，故PM 为定值以此为突破口，可以将向量的最值与范围问题转化为圆的最值与范围问题进行求解．值得注意的是，在向量问题中PA PB λ⋅=也表示为(c －a )·(c －b )＝λ，其中a ，b 为定向量． 角度七、其它隐圆极化恒等式和型：λ=+22PB PA定理：若B A ，为定点，P 满足λ=+22PB PA ,则P 的轨迹是以AB 中点M 为圆心，2212AB −λ为半径的圆。
专题33 判断点在圆内外
【题型综述】点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：①利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆心到点的距离并和半径比较得解；②向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知AB是圆的直径，G 是平面内一点，则0GA GB ⋅<u u u r u u u r ⇔点G 在圆内；0GA GB ⋅>u u u r u u u r⇔点G 在圆外；0GA GB ⋅=u u u r u u u r⇔点G 在圆上．③方程法，已知圆的方程222)()(:r b y a x M =-+-，点N ),(00y x ，则22020)()(r b y a x <-+-⇔点N 在圆M 内；22020)()(r b y a x =-+-⇔点N 在圆M 上；22020)()(r b y a x >-+-⇔点N 在圆M 外.四点共圆问题的解题策略：①利用四点构成的四边形的对角互补；②利用待定系数法求出过其中三点的圆的方程，然后证明第四点坐标满足圆的方程.【典例指引】类型一 向量法判定点与圆的位置关系例1 【2015高考福建，理18】已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b+=>>过点2），且离心率为22．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设直线1x my m R =-?，()交椭圆E 于A ，B 两点， 判断点G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得2222,b c a a b c ì=ïïï=íïï=+ïî解得2a b c ì=ïï=íïïî 所以椭圆E 的方程为22142x y +=． (Ⅱ)设点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ．由22221(m 2)y 230,142x my my x y ì=-ï+--=íï+=ïî得 所以12122223y +y =,y y =m 2m 2m ++，从而022y m 2=+. 所以222222200000095525GH|()y (my )y (m +1)y +my +44216x =++=++=.22222121212()(y )(m +1)(y )|AB|444x x y y -+--== 22221212012(m +1)[(y )4y ](m +1)(y y )4y y y +-==-, 故222222012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my (m +1)y 042162(m 2)m 21616(m 2)m m y +-=++=-+=>+++ 所以|AB||GH|>2，故G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外．所以cos GA,GB 0,GA GB 狁>u u u r u u u r u u u r u u u r 又，不共线，所以AGB Ð为锐角. 故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 类型二 四点共圆应用问题例2. （2014全国大纲21）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程.类型三 动圆过定点问题例3(2012福建理19)如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e 。
专题2.15超越方程反解难,巧妙构造变简单-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品(原卷版)
专题15 超越方程反解难，巧妙构造变简单【题型综述】导数研究超越方程超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解．在探求诸如0109623x x x ，22ln 22x x x x 方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决．此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域．2、求导数，得单调区间和极值点．[来源:学*科*网]3、画出函数草图．4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况求解．【典例指引】例1．已知函数ln f x ax x x 在2x e 处取得极小值．（1）求实数a 的值；（2）设22l n F x x x x f x ，其导函数为F x ，若F x 的图象交x 轴于两点12,0,,0C x D x 且12x x ，设线段CD 的中点为,0N s ，试问s 是否为0Fx 的根？说明理由．例2．设函数21ln 2fx x ax bx （1）当3,2a b 时，求函数f x 的单调区间；（2）令21(03)2aF xf x ax bx x x ，其图象上任意一点00,P x y 处切线的斜率12k 恒成立，求实数a 的取值范围．（3）当0,1ab 时，方程f x mx 在区间21,e 内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．例3．已知函数（）（1）讨论的单调性；（2）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围．【同步训练】1．已知函数21e 2x f x t x （R t ），且f x 的导数为f x ．（Ⅰ）若2F x f xx 是定义域内的增函数，求实数t 的取值范围；（Ⅱ）若方程222f x f x x x 有3个不同的实数根，求实数t 的取值范围．2．已知函数322ln 3f x ax x 的图象的一条切线为x 轴．（1）求实数a 的值；（2）令g x f x f x ，若存在不相等的两个实数12,x x 满足12g x g x ，求证：121x x ．3．已知函数ln f x a x x （0a ），2g x x ．（1）若f x 的图象在1x 处的切线恰好也是g x 图象的切线．①求实数a 的值；②若方程f xmx 在区间1,e 内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．（2）当01a时，求证：对于区间1,2上的任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有1212fx f x g x g x成立．[来源:Z,xx,]4．已知函数ln , 2.718f x x x e ．（1）设2216g x f x x e x ，①记g x 的导函数为g x ，求g e ；②若方程0g x a 有两个不同实根，求实数a 的取值范围；（2）若在1,e 上存在一点0x 使20011m f x x 成立，求实数m 的取值范围．[来源学科网]5．已知函数233x f x x x e ．（1）试确定t 的取值范围，使得函数f x 在2,(2)t t 上为单调函数；（2）若t 为自然数，则当t 取哪些值时，方程0f x z x R 在2,t 上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数z 的取值范围．6．已知函数21ln ,f x x ax g x x b x ，且直线12y 是函数f x 的一条切线．（1）求a 的值；（2）对任意的11,x e ，都存在21,4x ，使得12f x g x ，求b 的取值范围；（3）已知方程f x cx 有两个根1212,()x x x x ，若1220g x x c ，求证: 0b ．[来源学。
高考数学 玩转压轴题 专题3.13 探究代数表达式函数方程来发力-人教版高三全册数学试题
专题3.13 探究代数表达式函数方程来发力 【题型综述】 探究代数表达式包括以下若干类型：（1）参数值的探索，根据题中的条件将参数转化为关于直线与圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题，若利用设而不求思想与韦达定理即可求出参数的值即存在，否则不存在.(2)等式恒成立问题，根据题中条件和有关向量、距离公式、平面几何知识等方法，转化为关于直线与圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题，若利用设而不求思想与韦达定理即可求出参数的值即存在。
【典例指引】类型一 参数值的探究例1 【2016年高考某某理数】（本小题满分13分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T .（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l’平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得2PT PA PB λ=⋅，并求λ的值.方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得323222m -<<. 由②得212124412=,33m m x x x x -+-=. 所以221112252(2)(1)3323m m m PA x y x =--++-=--， 同理25223m PB x =--， 所以12522(2)(2)433m m PA PB x x ⋅=---- 21212522(2)(2)()433m m x x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+2109m =. 故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅.类型二 恒等式成立探究 例2. 【2015高考某某，理20】如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率是22，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为22.(1)求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PA QBPB =恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.（2）当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点.如果存在定点Q 满足条件，则||||1||||QC PC QD PD ==，即||||QC QD =.所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为0(0,)y .当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点.则2),(0,2)M N ，由||||||||QM PM QN PN =0022|2|21y =++，解得01y =或02y =.所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为(0,2)Q .下面证明：对任意的直线l ，均有||||||||QA PA QB PB =. 当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y .联立221,421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=. 其判别式22168(21)0k k ∆=++>，类型三 面积最小值存在性例3【2015高考某某，文22】一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．22111222||||||||222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441OPQ k m S k k ∆+==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--.因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以第22题图1 B A D O M N 第22题图2x D O M N y228(1)814OPQ S k∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8. 综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8. 类型四 面积关系探究例4.（2011某某理21）如图7,椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32,x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长.(Ⅰ)求12,C C 的方程;(Ⅱ)设2C 与y 轴的交点为M ,过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点,A B ,直线,MA MB 分别与1C 相交于点,D E .(ⅰ)求证:MD ME ⊥;(ⅱ)记,MAB MDE ∆∆的面积分别为12,S S .问:是否存在直线l ,使得121732S S =?请说明理由.【扩展】1. F 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的其中一个焦点，若P 是椭圆上一点，则c a PF c a +≤≤-||. 2. F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点，若P 是双曲线右支上一点，则c a PF -≥||，若P 是双曲线左支上一点，则c a PF +≥||，.3. F 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点，AB 是过左焦点倾斜角为θ的弦，点A 在x 轴上方，则θcos ||2c a b AF -=,θcos ||2c a b BF +=,θ2222cos 2||c a ab AB -=,θθcos cos ||||c a c a BF AF -+=. 4. F 为抛物线)0(22>=p px y 的焦点，AB 是过左焦点倾斜角为θ的弦，点A 在x 轴上方，则θcos 1||-=p AF ，θcos 1||+=p BF ,θθ22sin 2cos 12||p p AB =-=,θθcos 1cos 1||||-+=BF AF .【同步训练】1．已知A为椭圆=1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB，AC分别过左右焦点F1，F2，且当线段AF1的中点在y轴上时，cos∠F1AF2=．（1）求该椭圆的离心率；（2）设，试判断λ1+λ2是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．【思路点拨】（1）当线段AF1的中点在y轴上时，AC垂直于x轴，△AF1F2为直角三角形．运用余弦函数的定义可得|AF1|=3|AF2|，易知|AF2|=，再由椭圆的定义，结合离心率公式即可得到所求值；（2）由（1）得椭圆方程为x2+2y2=2b2，焦点坐标为F1（﹣b，0），F2（b，0），（1）当AB，AC的斜率都存在时，设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），求得直线AC的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由向量共线定理，可得λ1+λ2为定值6；若AC⊥x轴，若AB⊥x轴，计算即可得到所求定值．同理λ1=，可得λ1+λ2=6；②若AC⊥x轴，则λ2=1，λ1==5，这时λ1+λ2=6；若AB⊥x轴，则λ1=1，λ2=5，这时也有λ1+λ2=6；综上所述，λ1+λ2是定值6．2.（2017•某某二模）已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分别是椭圆G：+=1（0＜b＜a＜3）的左、右焦点，点P（2，）是椭圆G上一点，且|PF1|﹣|PF2|=a．（1）求椭圆G的方程；（2）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若⊥，其中O为坐标原点，判断O到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【思路点拨】（1）根据椭圆的定义，求得丨PF1丨=a=3|PF2|，根据点到直线的距离公式，即可求得c的值，则求得a的值，b2=a2﹣c2=4，即可求得椭圆方程；（2）当直线l⊥x轴，将直线x=m代入椭圆方程，求得A和B点坐标，由向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，求得O到直线l的距离；当直线AB的斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，即可求得O到直线l的距离为定值．②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+n，则，消去y整理得：（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣8=0，x1+x2=﹣，x1x2=，则y1y2=（kx1+n）（kx2+n）=k2x1x2+kn（x1+x2）+n2=，由⊥，∴x1x2+y1y2=0，故+=0，整理得：3n2﹣8k2﹣8=0，即3n2=8k2+8，①则原点O到直线l的距离d=，∴d2=（）2==，②将①代入②，则d2==，∴d=，综上可知：点O到直线l的距离为定值．3.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线与椭圆C交于两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD 与x轴、y轴分别交于M，N两点．设直线BD，AM斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值．【思路点拨】（1）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；（2）设出A，D的坐标分别为（x1，y1）（x1y1≠0），（x2，y2），用A的坐标表示B的坐标，把AB和AD的斜率都用A的坐标表示，写出直线AD的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和，求出AD中点坐标，则BD斜率可求，再写出BD所在直线方程，取y=0得到M点坐标，由两点求斜率得到AM 的斜率，由两直线斜率的关系得到λ的值．4.已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆，离心率，且椭圆过点．（1）求椭圆的方程；（2）椭圆左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）设椭圆方程，由题意列关于a，b，c的方程组求解a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，设△F1AB的内切圆的径R，则△F1AB的周长=4a=8，=（|AB|+|F1A|+|F1B|）R=4R，因此最大，R就最大．设直线l的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F1AB的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，．则=，令，则m2=t2﹣1，∴=，令f（t）=3t+，则f′（t）=3﹣，当t≥1时，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4，≤3，即当t=1，m=0时，≤3，由=4R，得R max=，这时所求内切圆面积的最大值为．故直线l：x=1，△F1AB内切圆面积的最大值为．5.已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为（O 为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）若点M在以椭圆C的短轴为直径的圆上，且M在第一象限，过M作此圆的切线交椭圆于P，Q两点．试问△PFQ的周长是否为定值？若是，求此定值；若不是，说明理由．【思路点拨】（1）由椭圆的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为（O为坐标原点），列出方程组，求出a=，b=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），，连结OM，OP，求出|PF|+|PM|=|QF|+|QM|=，从而求出△PFQ的周长为定值2．6.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，联接椭圆四个顶点的四边形面积为2．（1）求椭圆C的方程；（2）A、B是椭圆的左右顶点，P（x P，y P）是椭圆上任意一点，椭圆在P点处的切线与过A、B且与x轴垂直的直线分别交于C、D两点，直线AD、BC交于Q（x Q，y Q），是否存在实数λ，使x P=λx Q恒成立，并说明理由．【思路点拨】（1）由椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，联接椭圆四个顶点的四边形面积为2，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设切线方程为y=kx+m，与椭圆联立消元得（2+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，组合已知条件能求出存在λ=1，使x P=λx Q恒成立．7.已知椭圆C：=1，直线l过点M（﹣1，0），与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点N．（1）设MN的中点恰在椭圆C上，求直线l的方程；（2）设=λ，=μ，试探究λ+μ是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【思路点拨】（1）设点N（0，n），表示出MN中点坐标，代入椭圆方程即可求得n值，从而可得直线方程；（2）直线AB的斜率存在且不为0，设直线方程为x=ty﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），M（﹣1，0），N（0，﹣），联立，消x可得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，利用韦达定理，以及向量共线的坐标可得λ=﹣1﹣，同理可得μ=﹣1﹣，然后化简即可．8.已知离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，0），过点Q（1，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，设点P（4，3），记PA，PB的斜率分别为k1，k2（1）求椭圆C的方程；（2）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值，如果不是，求出k1+k2的取值X围．【思路点拨】（1）由题意可知a=2c，a=2，则c=1，b2=a2﹣c2=3，（2）分类讨论，当直线线AB的斜率存在时，代入椭圆方程，由韦达定理及直线斜率公式，即可求得的k1+k2值．（2）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A（1，），B（1，﹣），则k1==，k2==，故k1+k2=2，当直线AB的斜率存在时，设其为k，则直线AB：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）．由，消去y，整理得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴x1+x2=，x1x2=，k1+k2=+=+=，===2，综上可知：k1+k2为定值，定值为2．9.已知椭圆C：+=1（a＞b＞1）的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，直线x﹣y+=0与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切．（1）求该椭圆C的方程；（2）过点F的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D、E两点，记△GFD的面积为S1，△OED的面积为S2，问：是否存在直线AB，使得S1=S2，若存在，求直线AB的方程，若不存在，说明理由．【思路点拨】（1）通过抛物线方程可知c=1，利用点到直线的距离公式可知e==，结合a、b、c三者之间的关系可求出a=2、b=1，进而可得椭圆C的方程；（2）通过假设存在直线AB使得S1=S2，则可设其方程为：y=k（x+1）（k≠0），并与椭圆C方程联立，结合韦达定理可得G（，），利用DG⊥AB可得D（，0），结合△GFD～△OED可得=，联立S1=S2整理得8k2+9=0，由于此方程无解推出假设不成立．10.在直角坐标系xOy中，椭圆C1：的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，P 为椭圆C1上任意一点，|PF1|2+|PF2|2的最小值为8．（1）求椭圆C1的方程；（2）设椭圆C2：为椭圆C2上一点，过点Q的直线交椭圆C1于A，B两点，且Q为线段AB的中点，过O，Q两点的直线交椭圆C1于E，F两点．（i）求证：直线AB的方程为x0x+2y0y=2；（ii）当Q在椭圆C2上移动时，四边形AEBF的面积是否为定值？若是，求出该定值；不是，请说明理由．【思路点拨】（1）由椭圆的离心率为、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C1上任意一点，|PF1|2+|PF2|2的最小值为8，列出方程，求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程为+．（2）（i）由（1）知椭圆C2：=1，Q（x0，y0）为椭圆E上一点，=1，利用点差法求出直线AB的方程为x0x+2y0y=2，由此能求出直线AB的方程．（ii）联立直线EF与椭圆C1的方程，得E（，），F（﹣，﹣），联立直线AB与椭圆C1的方程，得：，利用韦达定理求出|AB|=，点E（）、F（﹣）到直线AB的距离为d1，d2，﹣﹣由此能求出当Q在椭圆C2上移动时，四边形AEBF的面积为定值4．（ii）直线EF的方程为y0x﹣x0y=0，联立直线EF与椭圆C1的方程，解得E（，），F（﹣，﹣），联立直线AB与椭圆C1的方程，消去y，得：，x1+x2=2x0，x1x2=2﹣4y02，|AB|=•=•=，设点E（）、F（﹣）到直线AB的距离分别为d1，d2，S AEBF=S△ABE+S△ABF=，==，==，∴S AEBF=•==4．故当Q在椭圆C2上移动时，四边形AEBF的面积为定值4．11.已知椭圆C：+=1 （a＞b＞0）的短轴长为2，过上顶点E和右焦点F的直线与圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l过点（1，0），且与椭圆C交于点A，B，则在x轴上是否存在一点T（t，0）（t≠0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB （其中O为坐标原点），若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由已知可得：b=1，结合直线与圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．进而可得c2=3，a2=4，即得椭圆C的标准方程；（2）在x轴上是否存在一点T（4，0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB，联立直线与椭圆方程，结合∠OTA=∠OTB 时，直线TA，TB的斜率k1，k2和为0，可证得结论．即，解得：c2=3，则a2=4，故椭圆C的标准方程为：；12.已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线C：x2=2py（p＞0）上不同两点．（1）设直线l：y=与y轴交于点M，若A，B两点所在的直线方程为y=x﹣1，且直线l：y=恰好平分∠AFB，求抛物线C的标准方程．（2）若直线AB与x轴交于点P，与y轴的正半轴交于点Q，且y1y2=，是否存在直线AB，使得+=？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，），由，消去y整理得x2﹣2px+2p=0，直线y=平分∠AFB，可得k AM+k BM=0，利用韦达定理求得p，即可（2）由题意知，直线AB的斜率存在，且不为零，设直线AB的方程为：y=kx+b （k≠0，b＞0），由，得x2﹣2pkx﹣2pb=0，∴，由已知可得b=．直线AB的方程为：y=kx+．作AA′⊥x轴，BB′⊥x轴，垂足为A′，B′，+=+=，得k，。
高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题3.10 判断点在圆内外向量应用最厉害()
【题型综述】点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：①利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆心到点的距离并和半径比较得解；②向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知AB 是圆的直径，G 是平面内一点，则0GA GB ⋅<⇔点G 在圆内；0GA GB ⋅>⇔点G 在圆外；0GA GB ⋅=⇔点G 在圆上．③方程法，已知圆的方程222)()(:r b y a x M =-+-，点N ),(00y x ，则22020)()(r b y a x <-+-⇔点N 在圆M 内；22020)()(r b y a x =-+-⇔点N 在圆M 上；22020)()(r b y a x >-+-⇔点N 在圆M 外.四点共圆问题的解题策略：①利用四点构成的四边形的对角互补；②利用待定系数法求出过其中三点的圆的方程，然后证明第四点坐标满足圆的方程.【典例指引】类型一 向量法判定点与圆的位置关系例1 【2015高考福建，理18】已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b +=>>过点．(Ⅰ)求椭圆E 的方程； (Ⅱ)设直线1x my m R =-?，()交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得2222,b caa b c ìïïï=íïï=+ïî解得2a b c ì=ïï=íïï=î 所以椭圆E 的方程为22142x y +=． (Ⅱ)设点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ．由22221(m 2)y 230,142x my my x y ì=-ï+--=íï+=ïî得 所以12122223y +y =,y y =m 2m 2m ++，从而022y m 2=+. 所以222222200000095525GH|()y (my )y (m +1)y +my +44216x =++=++=.22222121212()(y )(m +1)(y )|AB|444x x y y -+--== 22221212012(m +1)[(y )4y ](m +1)(y y )4y y y +-==-, 故222222012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my (m +1)y 042162(m 2)m 21616(m 2)m m y +-=++=-+=>+++ 所以|AB||GH|>2，故G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外．所以cos GA,GB 0,GA GB 狁>又，不共线，所以AGB Ð为锐角. 故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 类型二 四点共圆应用问题例2. （2014全国大纲21）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程.类型三 动圆过定点问题例3(2012福建理19)如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e 。
专题6.1 导数中的构造函数-玩转压轴题,突破140分之高三数学选择题填空题高端精品
【方法综述】函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中．在导数小题中构造函数的常见结论：出现()()nf x xf x '+形式，构造函数()()F nx x f x =；出现()()xf x nf x '-形式，构造函数()()F n f x x x =；出现()()f x nf x '+形式，构造函数()()F nxx e f x =；出现()()f x nf x '-形式，构造函数()()F nxf x x e =． 【解答策略】类型一、利用()f x 进行抽象函数构造 1．利用()f x 与x （n x ）构造 常用构造形式有()xf x ，()f x x ；这类形式是对u v ⋅，uv型函数导数计算的推广及应用，我们对u v ⋅，u v 的导函数观察可得知，u v ⋅型导函数中体现的是“+”法，uv型导函数中体现的是“-”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造u v ⋅型，当导函数形式出现的是“-”法形式时，优先考虑构造uv． 例1.【2019届高三第二次全国大联考】设是定义在上的可导偶函数，若当时，，则函数的零点个数为 A ．0 B ．1 C ．2D ．0或2 【指点迷津】设，当时，，可得当时，，故函数在上单调递减，从而求出函数的零点的个数．【举一反三】【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】的定义域是，其导函数为，若，且（其中是自然对数的底数），则A ．B ．C ．当时，取得极大值D ．当时，2．利用()f x 与x e 构造()f x 与x e 构造，一方面是对u v ⋅，uv函数形式的考察，另外一方面是对()x x e e '=的考察．所以对于()()f x f x '±类型，我们可以等同()xf x ，()f x x的类型处理， “+”法优先考虑构造()()F xx f x e =⋅， “-”法优先考虑构造()()F xf x x e=． 例2、【湖南省长郡中学2019届高三下学期第六次月考】已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【指点迷津】令，可得，可设，，解得，，利用导数研究其单调性极值与最值并且画出图象即可得出．【举一反三】【安徽省黄山市2019届高三第二次检测】已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数x ，都有，当时，若，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3．利用()f x 与sin x ，cos x 构造sin x ，cos x 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式．()()F sin x f x x =，()()()F sin cos x f x x f x x ''=+；()()F sin f x x x =，()()()2sin cos F sin f x x f x xx x'-'=； ()()F cos x f x x =，()()()F cos sin x f x x f x x ''=-；()()F cos f x x x =，()()()2cos sin F cos f x x f x xx x'+'=．例3、已知函数()y f x =对于任意,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是（ ） A ．234f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．234f f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()024f f π⎛⎫<⎪⎝⎭ D ．()023f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭【指点迷津】满足“()()cos sin 0f x x f x x '+>”形式，优先构造()()F cos f x x x=，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化． 类型二 构造具体函数关系式这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题． 1.直接法：直接根据题设条件构造函数 例4、α，,22ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（ ） A ．αβ> B ．22αβ> C ．αβ< D ．0αβ+> 【指点迷津】根据题目中不等式的构成，构造函数()sin f x x x =，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．【举一反三】【福建省2019届备考关键问题指导适应性练习（四)】已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【指点迷津】根据题目中方程的构成，构造函数，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．2. 参变分离，构造函数例5.【云南省玉溪市第一中学2019届高三下学期第五次调研】 设为函数的导函数，且满足，若恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【指点迷津】根据，变形可得，通过构造函数，进一步确定的最大值，利用导数，结合的单调性，即可求解.【举一反三】【河北省唐山市2019届高三下学期第一次模拟】设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为（）A．B．C．D．【强化训练】一、选择题1．【山西省2019届高三百日冲刺】已知函数，若对任意的，恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．2．【海南省海口市2019届高三高考调研】已知函数的导函数满足对恒成立，则下列判断一定正确的是（）A．B．C．D．3．【辽宁省抚顺市2019届高三一模】若函数有三个零点，则实数的取值范围是() A．B．C．D．4．【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．5．【2019届山西省太原市第五中学高三4月检测】已知函数，若函数在上无零点，则（）A．B．C．D．6．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7．【2019届湘赣十四校高三第二次联考】已知函数为上的偶函数，且当时函数满足，，则的解集是（）A．B．C．D．8．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第三次测评】若函数在区间上单调递增，则的最小值是（）A．-3 B．-4 C．-5 D．9．【宁夏六盘山高级中学2019届高三二模】定义域为的奇函数，当时，恒成立，若，，则（）A．B．C．D．10．【四川省教考联盟2019届高三第三次诊断】已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为（）A．B．C．D．11．【2019届高三第二次全国大联考】已知定义在上的可导函数的导函数为，若当时，，则函数的零点个数为A．0 B．1 C．2 D．0或2二、填空题12．【江苏省海安高级中学2019届高三上学期第二次月考】若关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是______．13．【山东省济南市山东师范大学附属中学2019届高三四模】定义在R上的奇函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为______．14．【广东省佛山市第一中学2019届高三上学期期中】已知定义在R上的奇函数满足f（1）=0，当x ＞0时，，则不等式的解集是______．15.【重庆市第一中学校2019届高三3月月考】设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为______. 16．【湖南师大附中2019届高三月考（七)】设为整数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是__________．。
专题3.10 判断点在圆内外,向量应用最厉害(解析版)-高中数学压轴题讲义(解答题)
【题型综述】点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：①利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆心到点的距离并和半径比较得解；②向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知AB 是圆的直径，G 是平面内一点，则0GA GB ⋅< ⇔点G 在圆内；0GA GB ⋅> ⇔点G 在圆外；0GA GB ⋅= ⇔点G 在圆上．③方程法，已知圆的方程222)()(:r b y a x M =-+-，点N ),(00y x ，则22020)()(r b y a x <-+-⇔点N 在圆M 内；22020)()(r b y a x =-+-⇔点N 在圆M 上；22020)()(r b y a x >-+-⇔点N 在圆M 外.四点共圆问题的解题策略：①利用四点构成的四边形的对角互补；②利用待定系数法求出过其中三点的圆的方程，然后证明第四点坐标满足圆的方程.【典例指引】类型一向量法判定点与圆的位置关系例1【2015高考福建，理18】已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b +=>>过点2），且离心率为22．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设直线1x my m R =-Î，()交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得2222,2,b c a a b c ì=ïïï=íïï=+ïî解得2a b c ì=ïï=íïï=î所以椭圆E 的方程为22142x y +=．(Ⅱ)设点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ．由22221(m 2)y 230,142x my my x y ì=-ï+--=íï+=ïî得学科&网所以12122223y +y =,y y =m 2m 2m ++，从而022y m 2=+.所以222222200000095525GH|()y (my )y (m +1)y +my +44216x =++=++=.22222121212()(y )(m +1)(y )|AB|444x x y y -+--==22221212012(m +1)[(y )4y ](m +1)(y y )4y y y +-==-,故222222012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my (m +1)y 042162(m 2)m 21616(m 2)m m y +-=++=-+=>+++所以|AB||GH|>2，故G 9(4-,0)在以AB为直径的圆外．所以cos GA,GB 0,GA GB 狁> 又，不共线，所以AGB Ð为锐角.故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外．学科&网类型二四点共圆应用问题例2.（2014全国大纲21）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =.（I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程.类型三动圆过定点问题例3(2012福建理19)如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e 。
利用圆巧解题
利用圆巧解题作者：俞新龙来源：《广东教育·高中》2020年第05期因為圆在初中平面几何中有较多的涉及，在高中数学中又有圆锥曲线压身，所以圆的身份比较尴尬：想被重视却重视不起来，从而导致一些能用圆巧妙解决的较难问题无法被有效突破. 本文举例说明.一、寻找向量中圆的身影，有效突破最值向量作为高考必考的知识点已经成为高考命题者尝试创新命题的一个重要阵地，近年来在高考和各省市模拟卷中出现了不少有新意的考题，其中有一些考题若能挖掘出题中隐含的“圆”，则问题便能较好的求解.我们知道向量是数形结合体，故一般向量问题都会有两种解决办法：代数法和几何法.下面我们就从这两个方面来进行求解.例1. 已知■，■，■是平面向量，■是单位向量.若非零向量■与■的夹角为■，向量b满足■-4■·■+3=0，则|■-■|的最小值是（）A. ■-1B. ■+1C. 2D. 2-■解析：代数法（坐标法）：如图1建立平面直角坐标系，设■=■=（1，0），■=■，■=■=（x，y），则可知A在射线y=■x（x>0）上，又根据等式■-4■·■+3=0可得（x-2）2+y2=1，所以知B在以（2，0）为圆心、1为半径的圆上. |■-■|的几何意义是线段AB的距离，即圆（x-2）2+y2=1上任意一点与射线y=■x（x>0）上任意一点的距离，故|■-■|的最小值显然是圆心（2，0）到射线y=■x（x>0）的距离■减去圆半径1，故答案为A.几何法：因为■-4■·■+3=■-4■·■+3■=（■-■）·（■-3■）=0，所以BE⊥BD，如图1所示，则可知B在以ED为直径的圆上，即得B的轨迹为（x-2）2+y2=1，其余做法同代数法，略.评注：代数法中的圆从方程中能够直观得到，但几何法中的圆需要结合直角三角形直角顶点一定在以斜边为直径的圆上这个性质.例2. 已知平面向量■，■，■满足|■|=4，■·（■-■）=■·（■-■）=3，当■与■的夹角最大时，■·■=________.解析：设■=■=（4，0），代数法（坐标法）：设■=■=（x，y），则根据■·（■-■）=3得x（4-x）+y（-y）=3，化简得（x-2）2+y2=1，即向量■终点A在（2，0）为圆心、1为半径的圆上，同理■终点B也在（2，0）为圆心、1为半径的圆上，如图2所示OA、OB与圆相切时向量■与■的夹角最大，此时A（■，■），B（■，-■），所以■·■=■-■=■.几何法：由条件等式■·（■-■）=■·（■-■）=3整理得（■-■）2=（■-■）2=1，即知向量■与■是（2，0）为圆心、1为半径的圆上的两个动点，记■=■，■=■，如图2所示OA、OB与圆相切时向量■与■的夹角最大，此时A（■，■），B（■，-■），所以■·■=■-■=■.评注：配方是个难点，从配方式子中看出轨迹是圆是关键点.例3. 已知非零向量■，■，■，满足|■|=2，■·■=■|■|，■=■■·■-2，则对任意实数t，|■-t■|的最小值为___________.解析：设■=■=（2，0），根据条件■·■=■|■|知向量■、■的夹角为30°.代数法（坐标法）：设■=■=（x， y），则根据■=■■·■-2得x2+y2=3x-2，化简得（x-■）2+y2=■，如图3所示，点B在直线OD：y=■x上运动，点C在以E（■， 0）为圆心、■为半径的圆上运动，因为| ■-t■ | 的几何意义是圆E上的任意一点到直线OD上的任意一点的距离，故| ■-t■ | 的最小值为圆心E到直线OD的距离减去圆半径■，即■-■=■.几何法：由■=■■·■-2得2■=3■·■-4=3■·■-■，从而得（2■-■）（■-■）=0，如图4所示，■=■，2■=■，则2■-■=■，■-■=■，所以■⊥■，又FC1//AC2，所以FC1⊥AC2，因此，向量■的终点C1在以AF为直径的圆上. 下同，略.评注：本题几何法找向量的终点需要进行平行转化，具有一定的难度.二、寻找阿波罗尼斯圆的身影，有效突破最值若 A（a， 0）， B（0， 0），若 | PA |2=k2 | PB |2（k≠1），则（x-a）2+y2= k2（x2+y2），化简得（x+■）2+y2 = （■）2，故P点轨迹是圆心在AB上且半径为|■| 的圆. 这个轨迹最先是由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，简称阿氏圆. 阿氏圆能化身各种形态存在于问题中，需要我们去发现其身影.例4. 已知■，■是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量■满足| ■-■ |=■，则| ■+■-■ |+2| ■-■ | 的最小值为________.解析：如图5，以■=■，■=■，则|■+■-■ |+2|■-■ |=CD+2CB，设C（x， y），由| ■- ■ |=■得（x-1）2+y2=■，则根据阿波罗尼斯圆知可在AD上找一点E（1， m）使CD=2CE，即■= 2■，化简得x2-2x+y2-■y+■=0，此方程与点C轨迹方程是一样的，则■=0，■=■，解得E（1，■），则| ■+■-■ |+2| ■-■ |=2CE+2CB≥2BE，故| ■+■-■ |+2| ■-■ |≥■.评注：阿波罗尼斯圆的正用不难，难的是逆用甚至变用，一般求两条比例为1：λ（λ≠1）的线段和就可以试着用阿波罗尼斯圆的性质进行求解.例5. 已知A，B是平面上的两个定点，平面上的动点C，D满足■=■=k，若对于任意的k≥3，不等式λ≥■恒成立，求实数λ的最小值.解析：如前所述，阿波罗尼斯圆半径r= |■|=■，即只与两个定点间距离和比值有关. 根据本题条件■=■=k可知，点C、D同在由A、B、k确定的阿波罗尼斯圆上，故CD的最大值就是直径为■，于是■=■，又由于k≥3，所以■=■=■，易知y=■在k≥3上是减函数，故■有最大值■. 根据λ≥■恒成立得λ≥■.评注：巧妙利用阿氏圆半径，将问题化为函数单调性问题确实事半功倍.例6. 已知两个不共线的向量■，■，满足| ■ | =3，| ■+■ | =2|■-■ |，设■，■的夹角为？兹，求cos？兹的最小值.解析：本题用阿波罗尼斯圆来解答的难点在如何根据条件| ■+■ | =2|■-■ | 来构造？记■=■=■，■=■，则■ =■+■，■=■-■，故 | AP | = 2 | CP | ，因此，P在以 | AC | =6、k=2的阿波罗尼斯圆O上. 如图6所示，圆半径r=■=4，因为？兹=∠PBC，所以易知当BP与圆O相切时？兹最大，此时cos？兹取到最小值.根据等量关系可以求出CO=2，所以BO=5，故相切时可求得BP=3，此时cos？兹=■，所以cos？兹的最小值为■.评注：从■+ ■、■- ■不难联想到平行四边形，所以可以先用平行四边形对角线性质解题，即|■+ ■ |2+|■- ■ |2=2（|■|2+| ■ |2）=5|■- ■|2，化简得| ■ |2-10cos？兹| ■ | +9=0，由该方程有解得△=100cos？兹2-36≥0，解得| cos？兹|≥■. 根据|■+ ■|=2|■- ■|可知■，■的夹角？兹为锐角，所以cos？兹≥■.三、利用直径与圆内外點所成角，有效突破范围我们知道，圆上的点与直径两端成直角，圆内的点与直径两端成钝角，圆外的点与直径两端成锐角，在解题时一定要有效用起来，以达到突破问题的效果.例7. 已知圆O：x2+y2=4，A、B为圆上两个动点，满足|AB|=2■，D为线段AB的中点，E（3，m），F（3，m+5）. 当A、B在圆上运动时，存在某个位置使∠EDF为钝角，则实数m的取值范围是_________.解析：如图7，因为弦长|AB|=2■，所以根据垂径定理知圆心距|OD|=1，所以点D的轨迹方程为x2+y2=1. 当A、B在圆上运动时，存在某个位置使∠EDF为钝角，等价于当D点在圆上运动时，存在位于以AB为直径的圆内的时候. 记AB中点M（3，m+■），则|DM|<■有解，故|DM|min<■. 而|DM|min=|OM|-1=■-1，解得 -■<m<■.评注：存在某个位置问题转化为距离的大小关系问题，显然将问题的难度大大降低了.责任编辑徐国坚。
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【题型综述】
点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：①利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆心到点的距离并和半径比较得解；②向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知AB
是圆的直径，G 是平面内一点，则0GA GB ⋅< ⇔点G 在圆内；0GA GB ⋅> ⇔点G 在圆外；
0GA GB ⋅= ⇔点G 在圆上．③方程法，已知圆的方程222)()(:r b y a x M =-+-，点N ),(00y x ，则22020)()(r b y a x <-+-⇔点N 在圆M 内；22020)()(r b y a x =-+-⇔点N 在圆M 上；22020)()(r b y a x >-+-⇔点N 在圆M 外.
四点共圆问题的解题策略：①利用四点构成的四边形的对角互补；②利用待定系数法求出过其中三点的圆的方程，然后证明第四点坐标满足圆的方程. 【典例指引】 类型一 向量法判定点与圆的位置关系
例1 【2015高考福建，理18】已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b +=>>过点． (Ⅰ)求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)设直线1x my m R =-?，()交椭圆E 于A ，B 两点，
判断点G 9
(4
-,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．
【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得
2222,b c a a b c ìïïï=íïï=+ïî
解得2a b c ì=ïï=íïï=î 所以椭圆E 的方程为22
142
x y +=． (Ⅱ)设点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ． 由22221(m 2)y 230,142
x my my x y ì=-ï+--=íï+=ïî得 所以12122223y +y =
,y y =m 2m 2m ++，从而022y m 2
=+. 所以222222200000095525GH|()y (my )y (m +1)y +my +44216x =++=++=. 2222
2121212()(y )(m +1)(y )|AB|444
x x y y -+--== 22221212012(m +1)[(y )4y ](m +1)(y y )4
y y y +-==-, 故22222
2012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my (m +1)y 042162(m 2)m 21616(m 2)m m y +-=++=-+=>+++ 所以|AB||GH|>2，故G 9(4
-,0)在以AB 为直径的圆外．
所以cos GA,GB 0,GA GB 狁> 又，不共线，所以AGB Ð为锐角.
故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 类型二 四点共圆应用问题
例2. （2014全国大纲21）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4
QF PQ =
. （I ）求C 的方程；
（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程.
类型三 动圆过定点问题
例3(2012福建理19)如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率2
1=e 。
过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8。
（Ⅰ）求椭圆E 的方程。
（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q 。
试探究： 在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；
若不存在，说明理由。