线性回归
《线性回归方程》课件

线性回归方程的假设
线性关系
自变量和因变量之间存在线性关系,即它们 之间的关系可以用一条直线来描述。
无异方差性
误差项的方差在所有观测值中保持恒定,没 有系统的变化。
无多重共线性
自变量之间不存在多重共线性,即它们之间 没有高度的相关性。
无自相关
误差项在不同观测值之间是独立的,没有相 关性。
02
线性回归方程的建立
详细描述
在销售预测中,线性回归方程可以用来分析历史销售数据,并找出影响销售的关键因素。通过建立线性回归模型 ,可以预测未来的销售趋势,为企业的生产和营销策略提供依据。
案例二:股票价格预测
总结词
线性回归方程在股票价格预测中具有一定的 应用价值,通过分析历史股票价ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和影响股 票价格的因素,可以预测未来的股票价格走 势。
04
线性回归方程的应用
预测新数据
1 2
预测新数据
线性回归方程可以用来预测新数据,通过将自变 量代入方程,可以计算出对应的因变量的预测值 。
预测趋势
通过分析历史数据,线性回归方程可以预测未来 的趋势,帮助决策者制定相应的策略。
3
预测异常值
线性回归方程还可以用于检测异常值,通过观察 偏离预测值的点,可以发现可能的数据错误或异 常情况。
确定自变量和因变量
确定自变量
自变量是影响因变量的因素,通 常在研究问题中是可控制的变量 。在建立线性回归方程时,首先 需要确定自变量。
确定因变量
因变量是受自变量影响的变量, 通常是我们关心的结果或目标。 在建立线性回归方程时,需要明 确因变量的定义和测量方式。
收集数据
数据来源
确定数据来源,包括调查、实验、公开数据等,确保数据质量和可靠性。
高中数学线性回归方程线性回归方程公式详解

高中数学线性回归方程线性回归方程公式详解
线性回归方程是一种用于拟合一组数据的最常见的数学模型,它可以用来预测一个因变量(例如销售额)和一个或多个自变量(例如广告费用)之间的关系。
下面是线性回归方程的公式详解:
假设有n个数据点,每个数据点包含一个因变量y和k个自变量x1,x2,...,xk。
线性回归方程可以表示为:
y = β0 + β1*x1 + β2*x2 + ... + βk*xk + ε
其中,β0, β1, β2, ..., βk是模型的系数,ε是误差项,用来表示实际数据和模型预测之间的差异。
系数β0表示当所有自变量均为0时的截距,而β1, β2, ..., βk 则表示每个自变量对因变量的影响。
当系数为正时,自变量增加时因变量也会增加;而当系数为负时,自变量增加时因变量会减少。
通常,我们使用最小二乘法来估计模型的系数。
最小二乘法就是通过最小化所有数据点与模型预测之间的距离来找到最优的系数。
具体来说,我们可以使用以下公式来计算系数:
β = (X'X)-1 X'y
其中,X是一个n×(k+1)的矩阵,第一列全为1,其余的列为自变量x1,x2,...,xk。
y是一个n×1的向量,每一行对应一个因
变量。
X'表示X的转置,-1表示X的逆矩阵,而β则是一个(k+1)×1的向量,包含所有系数。
当拟合出线性回归方程后,我们可以使用它来预测新的数据点的因变量。
具体来说,我们可以将自变量代入方程中,计算出相应的因变量值。
如果模型的系数是可靠的,我们可以相信这些预测结果是比较准确的。
线性回归

d. Predicto rs: (C o nstant), 俄 语 词 汇 学 成 绩 , 俄 语 阅 读 成 绩 , 俄 语 语 法 成 绩 , 俄 罗斯 概况成 绩
e. Dependent V ari abl e: 俄 语 作 文 词 汇 密 集 度
方差分析表:验证因变量与自变量无线性相关的概率,如 果P<0.05,则回归模型具有统计意义。
Coefficientsa
Unstandardized C o effic ients
Model
1
(C o nstant)
试题库平均分
B Std. Error
1.070
9.935
1.007
.094
a. Dependent Variable: 最 新 模 拟 得 分
Standardized C o effic ients
629.008 4650.200
df 1 18 19
Mean Square 4021.192 34.945
a. Predicto rs: (Co nstant), 试 题 库 平 均 分
b. Dependent Variable: 最 新 模 拟 得 分
F 115.072
Sig. .000a
方差分析表:验证因变量与自变量 无线性相关的概率,如果P<0.05, 则回归模型具有统计意义。
.000d
Residu al
.082
25
.003
Total
.591
29
a. Predicto rs: (C o nstant), 俄 语 词 汇 学 成 绩
b. Predicto rs: (C o nstant), 俄 语 词 汇 学 成 绩 , 俄 语 阅 读 成 绩
线性回归方程公式_数学公式

线性回归方程公式_数学公式线性回归方程公式线性回归方程公式:b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)。
线性回归方程公式求法:第一:用所给样本求出两个相关变量的(算术)平均值:x_=(x1+x2+x3+...+xn)/ny_=(y1+y2+y3+...+yn)/n第二:分别计算分子和分母:(两个公式任选其一)分子=(x1y1+x2y2+x3y3+...+xnyn)-nx_Y_分母=(x1^2+x2^2+x3^2+...+xn^2)-n__x_^2第三:计算b:b=分子/分母用最小二乘法估计参数b,设服从正态分布,分别求对a、b的偏导数并令它们等于零。
其中,且为观测值的样本方差.线性方程称为关于的线性回归方程,称为回归系数,对应的直线称为回归直线.顺便指出,将来还需用到,其中为观测值的样本方差。
先求x,y的平均值X,Y再用公式代入求解:b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)后把x,y的平均数X,Y代入a=Y-bX求出a并代入总的公式y=bx+a得到线性回归方程(X为xi的平均数,Y为yi的平均数)线性回归方程的应用线性回归方程是回归分析中第一种经过严格研究并在实际应用中广泛使用的类型。
这是因为线性依赖于其未知参数的模型比非线性依赖于其位置参数的模型更容易拟合,而且产生的估计的统计特性也更容易确定。
线性回归有很多实际用途。
分为以下两大类:如果目标是预测或者映射,线性回归可以用来对观测数据集的和X的值拟合出一个预测模型。
当完成这样一个模型以后,对于一个新增的X值,在没有给定与它相配对的y的情况下,可以用这个拟合过的模型预测出一个y值。
给定一个变量y和一些变量X1,...,Xp,这些变量有可能与y相关,线性回归分析可以用来量化y与Xj之间相关性的强度,评估出与y不相关的Xj,并识别出哪些Xj的子集包含了关于y的冗余信息。
线性回归分析

线性回归分析线性回归分析是一种常见的统计分析方法,主要用于探索两个或多个变量之间的线性关系,并预测因变量的值。
在现代运营和管理中,线性回归分析被广泛应用于市场营销、财务分析、生产预测、风险评估等领域。
本文将介绍线性回归分析的基本原理、应用场景、建模流程及常见误区。
一、基本原理线性回归分析基于自变量和因变量之间存在一定的线性关系,即当自变量发生变化时,因变量也会随之发生变化。
例如,销售额与广告投入之间存在一定的线性关系,当广告投入增加时,销售额也会随之增加。
线性回归分析的目标是找到这种线性关系的最佳拟合线,并利用该线性方程来预测因变量的值。
二、应用场景线性回归分析可以应用于许多不同的领域,例如:1.市场营销。
通过分析销售额和广告投入之间的关系,企业可以确定最佳的广告投入量,从而提高销售额。
2.财务分析。
线性回归分析可以用于预测公司的收入、费用和利润等财务指标,并帮助企业制定有效的财务战略。
3.生产预测。
通过分析生产量和生产成本之间的关系,企业可以确定最佳的生产计划,从而提高生产效率。
4.风险评估。
通过分析不同变量之间的关系,企业可以评估各种风险并采取相应的措施,从而减少损失。
三、建模流程线性回归分析的建模流程包括以下步骤:1.确定自变量和因变量。
自变量是用来预测因变量的变量,而因变量是需要预测的变量。
2.收集数据。
收集与自变量和因变量相关的数据,并进行初步的数据处理和清理工作。
3.拟合最佳拟合线。
利用最小二乘法拟合最佳拟合线,并计算相关的统计指标(如拟合优度、标准误等)。
4.判断线性关系的签ificance。
利用t检验或F检验来判断线性关系的签ificance,并进行推断分析。
5.进行预测。
利用已知的自变量的值,通过线性方程来预测因变量的值。
四、常见误区在进行线性回归分析时,有一些常见的误区需要注意:1.线性假设误区。
线性回归分析建立在自变量和因变量之间存在线性关系的基础之上,如果这种关系不是线性的,则建立的回归模型将失效。
线性回归

( X X )(Y Y ) 41.20 b 0.061 677 . 42 ( X X )
2
6
Y X
Y
n X n
99.2 31 534 31
3.2 17.23
a Y b X 3.2 0.06117.23 2.15
Y a bX 2.15 0.061 X
5
编号 (1)
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
尿雌三醇 mg/24h (2) 17 25 27 15 15 15 16 19 18 17 18 20 22 25 24
产儿体重 kg (3) 3.2 3.2 3.4 3.4 3.4 3.5 3.5 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 4.0 3.9 4.3
17
18
19
R相关系数
20
b ANOVA
Model 1
Reg ression Residual Total
Sum of Squares 2.506 4.234 6.740
df 1 29 30
Mean Square 2.506 .146
F 17.162
Sig . .000a
a. Predic to rs: (Cons tant), 尿 雌三 醇 ( mg/24h ) b. Dep endent Variable: 产 儿体 重 (kg)
22
3.利用回归方程进行统计控制 利用回归方程进行逆估计,即要求因变 量y的容 许取值范围,逆向估计X的取值范围。
4.利用多重回归描述多因素的影响 在实际应用中,我们会发现,通常一个结果 的产生是由多种原因造成的。为了综合考虑这些 因素,可以用多重回归的方法来解决。
第2章 线性回归

体重与体表面 积的关系
回归分析是用来研究非确定性关系的一种统计分析方法
2.1.3 相关分析与回归分析
相关分析就是对两个变量之间线性关系的描述和度量。 统计关系的形态大体上可以分为线性相关、非线性相 关、完全相关和不相关等几种。
相关关系的种类:
1、按相关关系涉及变量的多少可分为: 单相关
是两个变量之间存在的相关关系,
量是随机的。而回归分析一般都假设解释变量是确定性的, 在重复抽样中取固定的值;被解释变量是随机的,它有一 个概率分布。回归分析的目的就是要通过给定解释变量的 值来预测或控制被解释变量的总体均值或个别值。
2.1.3 相关分析与回归分析
相关分析和回归分析的联系
在进行回归分析之前,一般要确定变量之间的线性关
不同形态的散点图
10名学生的身高与体重散点图
体重(Y)
75 70 65 60 55 50 45 40 158 163 168
身高(X)
ˆ y a bx
173
178
2.1.3 相关分析与回归分析量之间有无相关关系,并对 变量之间的关系形态做出大致的描述,但散点图不能准 确反映变量之间的关系密切程度。 因此,为准确地度量两个变量之间的关系密切程度,需 要计算相关系数。 相关系数是对变量之间密切程度的度量。对两个变量之 间线性相关程度的度量称为简单相关系数。若相关系数 是根据总体全部数据计算出来的,称为总体相关系数 ; 若是根据样本数据计算出来的,则称为样本相关系数 。 样本相关系数的计算公式为:
系是否密切,这就要依赖相关分析。
变量之间的相关系数与回归分析中的拟合程度存在一
定关系。
2.1.4 随机误差项
线性回归方法

线性回归方法
一个“点”是一条线,一条曲线是另外一条线。
一些图形可以构成多条直线,这样就产生了一种用于描述多维空间分布的数学工具——线性回归方法( linear regression)。
简而言之:它将连续型变
量转换为离散型变量并且运用最小二乘法拟合模型中各个自变量与
所有因变量之间的相关系数。
这种拟合能力保证当未知量取值越来越趋近于零时,回归平方和仍旧显示出明确的趋势。
从定义上看,线性回归可以解决两类问题:其一是多元回归问题;其二是自变量在某区域内呈现规律式或周期波动等非参数特征的情
况下需要进行的统计推断,如利率预测等经济管理领域。
通常地说到用到线性回归时,我们都会想起多项线性函数来表达变化较大的不同指标对应关系及回归意思[2];但此处提供给读者的不仅限于函数的
单纯展开作业!我认识更高层次理论原则只停留几何物体本身尺寸公差研究….等客观实际概念-=更深入去探讨下吧:不错!在西文中称做
μ范数(function of<ε>),以上均属数学名词定位准。
但不好查找!无奈只得使用下线性的线字改头衔目前才获悉(^_^)嘻嘻
1、什么是线性回归方法?线性代数里面关键技术,属于多项数
据综合评估回归计算精密仪器分析软件包。
最早发源于欧洲大陆国家、荷兰。
2、这款软件由来?说真话老人讲:东南亚马来半岛那块古巴
比伦曾被叫希腊土著占过大片领域故事很遥远,仿佛昨天还是刚把记忆存放回档点电脑报纸杂志书籍资料库开始逐渐建立于百度大概搜
索引擎里创造软件历史最久也颇受争议。
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∑ (x
σ2 2
i
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6
4.2
对σ2的估计 2 记 Q = ∑ εi
则 所以 : σˆ =
一元线性回归
=
∑
ˆ (yi − yi)2 =
2
∑
ˆ ˆ ( y i − ( a + b x i ))
2
2
E (Q ) = ( n − 2 ) σ
2
即
E(
Q ) =σ n − 2
Q 是 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ n − 2
ˆ ˆ a, b, R 2 , F , P 的值可以使用 的值可以使用polyfit()或regress()命令计 或 命令计
具体说明。 算,用法参看MATLAB具体说明。 用法参看 具体说明
2011-8-18
9
4.2
一元线性回归
利用回归模型进行预测 当回归模型和系数通过检验后,可由给定的 当回归模型和系数通过检验后,可由给定的x0值代入回归 方程得到Y的点预测值 的点预测值y 方程得到 的点预测值 0:
一元线性回归
利用回归模型进行控制 观察值y在某个区间 取值时, 的取值范围, 观察值 在某个区间(y1,y2)取值时,应如何控制 的取值范围, 在某个区间 取值时 应如何控制x的取值范围 使得响应的观察值落入指定区间的概率至少为1-a.解方程: 解方程: 使得响应的观察值落入指定区间的概率至少为 解方程
2011-8-18 4
4.2
一元线性回归
回归系数的最小二乘估计 已知(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn),代入回归模型得到: 已知 ,代入回归模型得到:
y i = a + bxi + ε i , ε i ~ N (0, σ 2 ), i = 1,2,..., n
采用最小二乘法(即使观测值与回归值的离差平方和最小): 采用最小二乘法(即使观测值与回归值的离差平方和最小):
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4.2
一元线性回归
R=
样本相关系数及其显著性检验
样本相关系数 R
∑ (x ∑ (x
i
i
− x )( y i − y )
2
− x)
∑(y
i
− y)
2
=
L xy L xx L yy
显然:样本相关系数R的符号决定于 xy,因此与相关系数b的 显然:样本相关系数 的符号决定于L 因此与相关系数 的 的符号决定于 符号一致。说明: 符号一致。说明: (1)当R=0时, Lxy =0,因此 的变化与X无关 当 时 ,因此b=0,说明 的变化与 无关,此时 ,说明Y的变化与 无关, Y与X毫无线性相关关系; 毫无线性相关关系; 与 毫无线性相关关系 (2)当R=±1时, 所有的样本点都在回归直线上,此时称 与X 当 ± 时 所有的样本点都在回归直线上,此时称Y与 完全线性相关,R=1,完全正相关,R=-1,完全负相关; 完全线性相关, ,完全正相关, ,完全负相关; (3)当0<|R|<1时, 说明 与Y存在一定的线性相关关系, 存在一定的线性相关关系, 当 时 说明X与 存在一定的线性相关关系 0<R<1,正相关; -1 <R<0,负相关;R的绝对值越大,相关 的绝对值越大, ,正相关; ,负相关; 的绝对值越大 关系越显著。 关系越显著。
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4.2
一元线性回归
显著性检验:原假设 显著性检验:原假设H0:b=0 ( yi − y ) 2 R2 ∑ ˆ 统计量 F = ( n − 2) = ( n − 2) ~ F (1, n − 2) 2 2 ˆ 1− R ∑ ( yi − yi ) 给定显著性水平a,查表得 的临界值 若 的临界值F 给定显著性水平 ,查表得F的临界值 a,若F*>Fa (F*为F的观 为 的观 测值),则拒绝假设即认为X与 之间相关关系显著 ),则拒绝假设即认为 之间相关关系显著; 测值),则拒绝假设即认为 与Y之间相关关系显著;否则认 不存在线性相关关系; 来比较, 为Y与X不存在线性相关关系;也可使用 与 不存在线性相关关系 也可使用P=P{F>F*} 来比较, 则拒绝假设即认为X与 之间相关关系显 若P<a(即F*> Fa),则拒绝假设即认为 与Y之间相关关系显 ( 则拒绝假设即认为 著;一般使用时,P接近于 。 一般使用时, 接近于0。 接近于
Y = a + bX + ε ε ~ N (0, σ 2 )
其中a,b称为一元线性回归的回归系数; 表示回归值与测量 其中 称为一元线性回归的回归系数;ε表示回归值与测量 称为一元线性回归的回归系数 值之间的误差。 值之间的误差。 针对该模型,需要解决以下问题: 针对该模型,需要解决以下问题: (1)如何估计参数 以及 2; 如何估计参数a,b以及 如何估计参数 以及σ (2)模型的假设是否正确? 模型的假设是否正确? 模型的假设是否正确 (3)如何应用所求的回归方程对试验指标进行预测。 如何应用所求的回归方程对试验指标进行预测。 如何应用所求的回归方程对试验指标进行预测
y1 = y1 − σU α / 2 = a + bx1 − σU α / 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y 2 = y 2 + σU α / 2 = a + bx 2 + σU α / 2
解得x 即可以得到x的控制区间的两个端点值 的控制区间的两个端点值。 解得 1,x2,即可以得到 的控制区间的两个端点值。 y2
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3
4.2
一元线性回归
一元线性回归模型 给定一组数据点(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn),如果通过散 给定一组数据点 ,如果通过散 点图可以观察出变量间大致存在线性函数关系 可以观察出变量间大致存在线性函数关系, 点图可以观察出变量间大致存在线性函数关系,则可以建立 如下模型: 如下模型:
y1
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ˆ y2 ˆ y1
x1 x2
11
4.2
一元线性回归
异常数据的剔除 当用regress()命令得到回归模型的系数估计值和残差及 命令得到回归模型的系数估计值和残差及 当用 残差置信区间时,由于残差符合均值为零的正态分布, 残差置信区间时,由于残差符合均值为零的正态分布,所以残 差置信区间应该通过零点。 画出残差图, 差置信区间应该通过零点。用rcoplot(r,rint)画出残差图,由 画出残差图 图可容易看出异常数据点,剔除这些异常点, 图可容易看出异常数据点,剔除这些异常点,重新进行回归分 可使模型预测更精确。 析,可使模型预测更精确。
第四部分 回归分析
回归分析的概念 一元线性回归 多元线性回归 多项式回归 非线性回归 逐步回归
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4.1
回归分析的概念
在工农业生产和科学研究中, 在工农业生产和科学研究中,常常需要研究变量之间的 关系。变量之间的关系可以分为两类:确定性关系、 关系。变量之间的关系可以分为两类:确定性关系、非确定 性关系。确定性关系就是指存在某种函数关系。然而, 性关系。确定性关系就是指存在某种函数关系。然而,更常 见的变量之间的关系存在着某种不确定性。例如: 见的变量之间的关系存在着某种不确定性。例如:商品的销 售量与当地人口有关,人口越多,销售量越大, 售量与当地人口有关,人口越多,销售量越大,但它们之间 并没有确定性的数值关系,同样的人口, 并没有确定性的数值关系,同样的人口,可能有不同的销售 这种既有关联,又不存在确定性数值关系的相互关系, 量。这种既有关联,又不存在确定性数值关系的相互关系, 就称为相关关系 相关关系。 就称为相关关系。 回归分析就是研究变量之间相关关系的一种数理统计分 析方法。在回归分析中,主要研究以下几个问题: 析方法。在回归分析中,主要研究以下几个问题:
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12
4.2
一元线性回归
例4.1人口预测 人口预测 1949年—1994年我国人口数据资料如下: 年我国人口数据资料如下: 年 年我国人口数据资料如下 年份xi 49 54 59 64 69 74 79 84 89 年份 94 人数y 人数 i 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8 建模分析我国人口增长的规律, 预报1999、2005年我国人 建模分析我国人口增长的规律 预报 、 年我国人 口数。 口数。 建模分析步骤: 建模分析步骤: (1) 在坐标系上作观测数据的散点图。 在坐标系上作观测数据的散点图。 (2) 根据散点分布的几何特征提出模型 (3) 利用数据估计模型的参数 (4) 计算拟合效果 (1)散点图 散点图
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2
4.1
回归分析的概念
(1)拟合:建立变量之间有效的经验函数关系; 拟合: 拟合 建立变量之间有效的经验函数关系; 变量选择: (2)变量选择:在一批变量中确定哪些变量对因变量有显著 变量选择 影响,哪些没有实质影响; 影响,哪些没有实质影响; (3)估计与检验:估计回归模型中的未知参数,并且对模型 估计与检验: 估计与检验 估计回归模型中的未知参数, 提出的各种假设进行推断; 提出的各种假设进行推断; (4)预测:给定某个自变量,预测因变量的值或范围。 预测: 预测 给定某个自变量,预测因变量的值或范围。 根据自变量个数和经验函数形式的不同, 根据自变量个数和经验函数形式的不同,回归分析可以 分为许多类别。 分为许多类别。
x2 σ2 ˆ ]σ 2 ), b ~ N (b, ) 2 2 ∑ ( xi − x ) ∑ ( xi − x ) (x − x)2 ]σ 2 ) ( xi − x ) 2 ∑ x − x)
1 ˆ = a + b x ~ N ( a + bx , [ + ˆ ˆ y n ( 4) ˆ ˆ E ( a − a ) (b − b ) = −