高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算自我小测
高中数学第三章空间向量与立体几何1空间向量及其运算5空间向量运算的坐标表示3课件新人教A版选修2
变式训练
已知 a＝(1,2，12)，b＝(12，－12，1)，c＝(－2,3， －12)，d＝(1，－32，14)．
求证：a⊥b，c∥d.
证明： ∵ a＝ (1,2，12)， b＝ (12，－12，1)， ∴a·b＝1×12＋2×(－12)＋12×1＝0. ∴ a⊥ b. ∵ c＝ (－ 2,3，－12)， d＝ (1，－32，14)， ∴ c＝－ 2(1，－32，14)＝－ 2d. ∴ c∥ d.
(1)求证：EF⊥CF； (2)求E→F与C→G所成角的余弦值； (3)求 CE 的长． [分析] 可建立空间直角坐标系，利用向量的坐 标形式解题．
[解] 建立如图 3 所示的空间直角坐标系 D－xyz， 则 D(0,0,0)，E(0,0，12)，C(0,1,0)， F(12，12，0)，G(1,1，12)．
[解] (1)如图 1，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在的直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 AA1＝a，
则 B(4,4,0)，N(2,2，a)， A(4,0,0)，M(2,4，a2)，
图1
∴B→N＝ (－ 2，－ 2， a)， A→M＝ (－ 2, 4，a)，
2 由B→N⊥A→M得B→N·A→M ＝ 0， ∴4－8＋a2＝0，a＝2 2，
b32.
2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设 A(a1，a2，a3)，B(b1， b2， b3)，则： (1)A→B＝ (b1－ a1， b2－ a2， b3－ a3)； (2)AB＝ |A→B|＝
b1－ a1 2＋ b2－ a2 2＋ b3－ a3 2.
如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐 标运算间的关系？
|E→F|＝ |C→G|＝
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.4 空间向量的直角坐标运算学
3.1.4 空间向量的直角坐标运算1．了解空间向量坐标的定义．2．掌握空间向量的坐标运算．3．会利用向量的坐标关系，判定两个向量共线或垂直．4．会计算向量的长度及两向量的夹角．1．空间向量的坐标表示(1)单位正交基底．建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引________向量i，j，k，这三个互相________的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．单位向量i，j，k都叫做________．【做一做1－1】设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，则|e1|＋|e2|＋|e3|＝__________.(2)空间向量的坐标表示．在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在______实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组__________叫做向量a在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作a＝__________.【做一做1－2】向量0的坐标为__________．向量的坐标与点的坐标表示方法不同，如向量a＝(x，y，z)，点A(x，y，z)．2．空间向量的直角坐标运算(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则容易得到a＋b＝____________；a－b＝____________；λa＝______________；a·b＝____________.(2)向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝OB－OA＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．【做一做2】设a＝(1,2,3)，b＝(1,1,1)，则2a＋b＝__________.3．空间向量平行和垂直的条件设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a∥b(b≠0)⇔__________⇔__________，当b1，b2，b3都不为0时，a∥b⇔__________；(2)a⊥b⇔__________⇔__________.【做一做3】设a＝(1,2,3)，b＝(1，－1，x)，a⊥b，则x＝__________.4．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝____________，|b|＝____________，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝________________________. 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝____________.【做一做4】向量a ＝(2，－1，－1)，b ＝(1，－1,0)的夹角余弦值为__________，||a －b ＝__________.(1)空间向量的坐标是空间向量的一种形式．在坐标形式下的模长公式，夹角公式，向量平行和垂直的条件与在普通基底下相同，仅仅是形式不同；(2)空间向量在坐标形式下同样可以用来求距离(长度)，夹角，证明垂直和平行关系等．如何理解空间向量的坐标及其运算？剖析：(1)注意空间向量的坐标与向量终点的坐标的区别与联系．向量的坐标是其终点与起点坐标的差量．只有以原点为起点的向量，向量的坐标才等于向量终点的坐标．(2)空间向量的坐标运算和平面向量基本一致，只是多了一个竖坐标． (3)坐标形式下向量的计算就是指坐标的运算．题型一 空间向量的坐标运算【例1】设向量a ＝(3,5,－4)，b ＝(2,1,8)，计算3a －2b ，(a ＋b )·(a －b )． 分析：利用空间向量的坐标运算先求3a,2b ，a ＋b ，a －b ；再进行相关运算． 反思：空间向量的坐标运算首先进行数乘运算然后再进行加减运算，最后进行数量积运算，先算括号内的后算括号外的．题型二 空间向量的平行与垂直问题【例2】设向量a ＝(1，x,1－x )，b ＝(1－x 2，－3x ，x ＋1)，求满足下列条件时，实数x 的值．(1)a ∥b ；(2)a ⊥b .分析：解答本题可先由a ∥b ，a ⊥b 分别建立x 的方程，再解方程即可． 反思：要熟练掌握向量平行和垂直的条件，借助此条件可将立体几何中的平行垂直问题转化为向量的坐标运算．在应用坐标形式下的平行条件时，一定注意结论成立的前提条件，在条件不明确时，要分类讨论．在解答本题时易出现由a ∥b ⇔1－x 21＝－3x x ＝x ＋11－x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝－3x ＋11－x＝－3⇔x ＝2的错误，导致此错误的原因是忘记了这个结论成立的前提条件是1，x,1－x 都不是0.题型三 空间向量的夹角及长度公式的应用【例3】已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1,－1,5)，求以AB ，AC 为邻边的平行四边形面积．分析：已知三点A ，B ，C 的坐标，先求AB ，AC ，|AB |，|AC |，AB ·AC ，再求cos 〈AB ，AC 〉，sin 〈AB ，AC 〉，从而得到结论．反思：运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的基本思路是： ①建立空间坐标系；②求出相关点的坐标和向量坐标； ③结合公式进行计算；④将计算的向量结果转化为几何结论．1．若A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，令a ＝CA ，b ＝CB ，则a ＋b 对应的坐标为( )A ．(5,－9,2)B ．(－5,9,－2)C ．(5,9,－2)D ．(5,－9,－2)2．下面各组向量不平行的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，b ＝(－3,0,0) B ．c ＝(0,1,0)，d ＝(1,0,1) C ．e ＝(0,1,－1)，f ＝(0,－1,1) D ．g ＝(1,0,0)，h ＝(0,0,0) 3．(2010·广东高考，理10)已知a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)且(c －a )·2b ＝－2，则x 的值为( )A ．3B ．4C ．2D ．1 4．若A (2,0,1)，B (3,4，－2)，则|AB |＝__________.5．向量a ＝(2，－3，3)，b ＝(1,0,0)，则cos 〈a ，b 〉＝__________. 6．已知向量a ＝(－2,2,0)，b ＝(－2,0,2)，求向量n 使n ⊥a 且n ⊥b . 答案：基础知识·梳理1．(1)单位 垂直 坐标向量 【做一做1－1】3(2)唯一 (a 1，a 2，a 3) (a 1，a 2，a 3) 【做一做1－2】(0,0,0)2．(1)(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) (a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3) (λa 1，λa 2，λa 3) a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3【做一做2】(3,5,7)3．(1)a ＝λb a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3(2)a ·b ＝0 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 【做一做3】134．a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23 b ·b ＝b 21＋b 22＋b 23a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12【做一做4】322 典型例题·领悟【例1】解：3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(9－4,15－2，－12－16)＝(5,13，－28)；a ＋b ＝(3,5，－4)＋(2,1,8)＝(3＋2,5＋1，－4＋8)＝(5,6,4)；a －b ＝(3,5，－4)－(2,1,8)＝(3－2，5－1，－4－8)＝(1,4，－12)，(a ＋b )·(a －b )＝(5,6,4)·(1,4，－12)＝5×1＋6×4＋4×(－12)＝5＋24－48＝－19.【例2】解：(1)①当x ＝0时，a ＝(1,0,1)，b ＝(1,0,1)，a ＝b ，满足a ∥b . ②当x ＝1时，a ＝(1,1,0)，b ＝(0，－3,2)，不满足a ∥b ， ∴x ≠1.③当x ≠0，x ≠1时，由a ∥b ⇔1－x 21＝－3x x ＝x ＋11－x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝－3，x ＋11－x＝－3⇔x ＝2.综上所述，当x ＝0，或x ＝2时，a ∥b .(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0，∴(1，x,1－x )·(1－x 2，－3x ，x ＋1)＝0⇔1－x 2－3x 2＋1－x 2＝0，解得x ＝±105. ∴当x ＝±105时，a ⊥b . 【例3】解：∵A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)， ∴AB ＝(－2,1,6)－(0,2,3)＝(－2，－1,3)，AC ＝(1，－1,5)－(0,2,3)＝(1，－3,2)．∴|AB |＝－2＋－2＋32＝14，|AC |＝12＋－2＋22＝14，AB ·AC ＝(－2，－1,3)·(1，－3,2)＝－2＋3＋6＝7.∴cos 〈AB ，AC 〉＝A B →·A C →|AB →||AC →|＝12，∴sin 〈AB ，AC 〉＝32， 以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积S ＝|AB →||AC →|sin 〈AB ，AC 〉＝7 3.随堂练习·巩固1．B a ＝CA →＝(2，－4，－1)－(3，－4,1)＝(－1,0，－2)，b ＝CB →＝(－1,5,1)－(3，－4,1)＝(－4,9,0)，故a ＋b ＝(－5,9，－2)．2．B A 项中b ＝－3a ，a ∥b ，C 项中f ＝－e ，f ∥e ，D 项中h ＝0， ∴h ∥g .3．C ∵(c －a )·2b ＝(0,0,1－x )·(2,4,2)＝－2， ∴2(1－x )＝－2，x ＝2. 4．26 |AB →|＝－2＋－2＋－2－2＝26.5．12 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b | ＝2×1＋0＋022＋－2＋3212＋02＋02＝12. 6．解：设n ＝(x ，y ，z )，则n ·a ＝(x ，y ，z )·(－2,2，0)＝－2x ＋2y ＝0， n ·b ＝(x ，y ，z )·(－2,0,2)＝－2x ＋2z ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＝0，－2x ＋2z ＝0，可得y ＝x ，z ＝x .于是向量n ＝(x ，x ，x )＝x (1,1,1)，x ∈R .。
高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量的线性运算课件
2．在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c， 则D→1B等于( ) A．a＋b＋c B．a＋b－c C．a－b－c D．－a＋b＋c 解析：选 C．画图可得D→1B＝A→B－A→D1＝A→B－(A→A1＋A→1D1)＝A→B －(A→A1＋A→D)＝a－b－c.
1．对空间向量加减运算的认识 减法运算是加法运算的逆运算，可以在理解相反向量的基础上， 结合向量的加法运算掌握减法运算，并会利用三角形作出减向 量． 2．关于空间向量加法的运算需注意的几点 (1)首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的起点指向最后向 量的终点的向量． (2)两个向量相加的平行四边形法则在空间中仍然成立．
解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 (1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点： ①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的． ②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是 1. ③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相 等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方 向相反，则它们为相反向量．
(2)如图所示，在以长、宽、高分别为 AB＝3，AD＝2，AA1＝1 的长方体 ABCD-A1B1C1D1 的八个顶点中的两点为起点和终点的 向量中，
①单位向量共有多少个？ ②试写出模为 5的所有向量．
【解】 (1)①正确；②正确，因为A→A1与C→1C的大小相等方向相 反，即为互为相反向量，所以A→A1＝－C→1C；③|a|＝|b|，不能确 定其方向，所以 a 与 b 的方向不能确定；④中只有当四边形 ABCD 是平行四边形时，才有A→B＋A→D＝A→C. 综上可知，正确命题为①②.故填①②.
3．利用向量证明几何问题的常用方法 (1)正确分析被证向量式与题目中的特殊点、特殊线段之间的关 系； (2)正确运用三角形法则与平行四边形法则，用要证明的某一向 量构建三角形或平行四边形； (3)掌握常用向量变换技巧．
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算
5．平行(共线)向量与共面向量
平行(共线)向量
共面向量
表示空间向量的有向线段所
位置
在的直线的位置关系：
定 关系
_____互_相__平_行__或_重__合____ 义
平行于同一个__平__面____的向量
特征 方向___相_同__或_相__反_____
特例 零向量与__任__意_向__量_____共线
• (2)能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．
• (3)能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定 理)．
• (4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角 计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．
• 本章重点
• 空间向量的基本概念和基本运算；以空间向量为工具判断或证明立 体几何中的位置关系；求空间角和空间的距离．
2．几类常见的空间向量
名称
方向
零向量 单位向量
___任__意___ 任意
相反向量
____相_反___
相等向量
相同
模 ___0___ ___1___
相等
___相_等____
记法 ___0___
a 的相反向量：___－__a__ A→B的相反向量：_B_→_A___ a＝b
3.空间向量的加减法和运算律 (1)加法：O→B＝__O_→_A_＋__A→_B____＝a＋b． (2)减法：C→A＝___O→_A_－__O_→_C_＝a－b． (3)加法运算律：
• 1987年11月台湾开放台胞来大陆探亲，开始时要从香港绕道，比 如从台北到上海的路径是：台北→香港→上海.2008年7月开始两岸 直航后，从台北到上海的路径是：台北→上海．如果把台北→香港 的位移记为向量a，香港→上海的位移记为向量b，台北→上海的位 移记为向量c，那么a＋b与c有怎样的关系呢？
高中数学第三章空间向量与立体几何3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示3-1空间向量基本定理北师
答案：3a＋3b－5c
解析：如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，则
1
1
1
1
1
EF＝GF − GE＝ CD − BA＝ CD + AB＝ (5a＋6b－
2
2
1
8c)＋ (a－2c)＝3a＋3b－5c.
2
2
2
2
易错辨析 对基理解不清致误
例3 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M为AC与BD的交点．若
的值分别是(
)
1
1
1
1
1
1
A．x＝ ，y＝ ，z＝ B．z＝ ，y＝ ，z＝
3
3
3
1
1
1
C．x＝ ，y＝ ，z＝
3
6
3
答案：D
3
3
6
1
1
1
D．x＝ ，y＝ ，z＝
6
3
3
(2)在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，设AB＝a，AD＝b，AA′ ＝c，P是
CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且
A1 B1 ＝a，A1 D1 ＝b，A1 ＝c，试用基{a，b，c}表示向量C1 ．
解析：如图，连接A1M，A1C1 ，则C1 ＝A1 －
1
A1 C1 ＝A1 ＋AM－(A1 B1 ＋A1 D1 )＝A1 ＋ (A1 B1
1
＋A1 D1 )－(A1 B1 ＋A1 D1 )＝A1A－
2
1
1
b构成基的向量是(
)
A．a
B．b
C．a＋2b
D．a＋2c
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算a21
解析:(2)①( AB + BC )+ CC1 = AC + CC1 = AC1 ; ②( AA1 + A1D1 )+ D1C1 = AD1 + D1C1 = AC1 ; ③( AB + BB1 )+ B1C1 = AB1 + B1C1 = AC1 ; ④( AA1 + A1B1 )+ B1C1 = AB1 + B1C1 = AC1 .
3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算
课标要求:1.经历向量及其运算由平面到空间推广的过程,了解空间向量的 概念.2.掌握空间向量的加法、减法和数乘运算.3.理解空间共线向量和共 面向量定理及推论.
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1.空间向量及其长度的定义 与平面向量一样,在空间,我们把 具有大小和方向的量 叫做空间向量,
解析:容易判断D是假命题,共线的单位向量是相等向量或相反向量.故
选D.
2.空间两向量a,b互为相反向量,已知向量|b|=3,则下列结论正确的是
(D)
(A)a=b
(B)a+b为实数0
(C)a与b方向相同
(D)|a|=3
3.在下列条件中,使 M 与 A,B,C 一定共面的是( C )
(A) OM =3 OA -2 OB - OC (B) OM + OA + OB + OC =0
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量的线性运算省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
规律与方法
1.一些特殊向量特征 (1)零向量不是没有方向，而是它方向是任意. (2)单位向量方向即使不一定相同，但它们长度都是1. (3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相 等，则它们不但模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向 相反，则它们为相反向量.
|a|.或|A→B|
第6页
(2)几类特殊空间向量
名称
定义及表示
零向量 • 起点与终点重合向量叫做
，零记向为量0
单位向量 • 相反向量 •
相等向量 •
向量称为模单为位1向量
与 －向a 量a长相度等
而相方反向
向量，称为a相反向量，记为
方相向同 且相模等 向量称为相等向量，同向 等且长 有向线
段表示同一向量或相等向量
②(A→A1＋A→1D1)＋D→1C1＝A→D1＋D→1C1＝A→C1； ③(A→B＋B→B1)＋B→1C1＝A→B1＋B→1C1＝A→C1；
④(A→A1＋A→1B1)＋B→1C1＝A→B1＋B→1C1＝A→C1. 所以 4 个式子的运算结果都是A→C1.
1 2 3 4第39页5
5.化简 2A→B＋2B→C＋3C→D＋3D→A＋A→C＝__0__. 答案 解析 2A→B＋2B→C＋3C→D＋3D→A＋A→C ＝2A→B＋2B→C＋2C→D＋2D→A＋C→D＋D→A＋A→C＝0.
O→B＋B→C＋C→D＋D→E＋E→F＋F→G＋G→H＋H→O＝0.
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(3)空间向量减法运算也能够看成是向量加法运算，即a－b＝a＋(－b). (4)因为空间任意两个向量都能够平移到同一平面内，成为同一个平面内 两个向量，而平面向量满足加法交换律，所以空间向量也满足加法交换 律. (5) 空间向量加法结合律证实：如图，
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算讲义
3．1.1 空间向量及其加减运算1．空间向量 (1)定义□01在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度□02向量的大小叫做向量的长度或□03模． (3)表示方法(4)几类特殊的空间向量①零向量：□08规定长度为0的向量叫做零向量，记为□090. ②单位向量：□10模为1的向量称为单位向量． ③相反向量：□11与向量a 长度相等而方向相反的向量称为a 的相反向量，记为□12－a . ④相等向量：□13方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示□14同一向量或□15相等向量． 2．空间向量的加减法 (1)定义类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝□16a ＋b ； CA →＝OA →－OC →＝□17a －b . (2)加法运算律①交换律：a ＋b ＝□18b ＋a ； ②结合律：(a ＋b )＋c ＝□19a ＋(b ＋c )．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．( )(2)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．( ) (3)0向量是长度为0，没有方向的向量．( ) (4)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b .( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________． (2)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是________． (3)如图所示，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，化简下列向量的表达式：①AA 1→－CB →＝________. ②AB 1→＋B 1C 1→＋C 1D 1→＝________. ③12AD →＋12AB →－12A 1A →＝________.(4)(教材改编P 86T 3)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示向量MN →，则MN →＝________.答案 (1)球面 (2)BD 1→ (3)①AD 1→②AD 1→③12AC 1→(4)12AB →＋12AD →＋12AA 1→解析 (4)MN →＝MB →＋BC →＋→＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋BB 1→)＝12AB →＋AD →＋12(－AD →＋AA 1→)＝12AB →＋12AD→＋12AA 1→.探究1 空间向量的概念 例1 给出下列命题：①两个相等的向量，若它们的起点相同，则终点必相同； ②在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→； ③若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤只有零向量的模为0. 其中假命题的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析]①真命题．根据向量相等的定义，两个相等的向量若起点相同，终点必相同，只有这样才能保证它们的方向和大小都相同．②真命题．根据正方体的性质，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AC →与A 1C 1→的方向相同，模长也相等，应有AC →＝A 1C 1→.③真命题．向量的相等满足传递规律．④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，故不一定相等． ⑤真命题．根据零向量的定义可知． [答案] A 拓展提升处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系(1)两个要素判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可． (2)两个关系①模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．②向量的模与向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．但向量的模是可以比较大小的．【跟踪训练1】 (1)给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a ，b 满足|a |＞|b |且a ，b 同向，则a ＞b ；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④向量BA →与向量AB →的长度相等．其中正确命题的序号为________． 答案 ④解析 ①错误，方向相反且长度相等的两个向量是相反向量；②错误，向量不能比较大小；③错误，如BA →≠AB →但|BA →|＝|AB →|，④正确．(2)给出下列命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若a ＝0，则－a ＝0；③|－a |＝|a |，其中正确命题的序号是________．答案 ②③解析 ①错误，若|a |＝0，则a ＝0；②正确．③正确． 探究2 空间向量的加减运算例2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量BD 1→的是( )①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ [解析]①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝A 1D 1→＋AA 1→＋BA →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC →＋BB 1→＋C 1D 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－DD 1→＝BD →＋D 1D →＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D →≠BD 1→； ④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→＝B 1D 1→＋AA 1→＋DD 1→＝B 1D 1→＋BB 1→＋DD 1→＝BD 1→＋DD 1→≠BD 1→.因此，①②两式的运算结果为向量BD 1→，而③④两式的运算结果不为向量BD 1→.故选A. [答案] A[结论探究] 例2条件下，判断下列各式中运算结果为向量AC 1→的有哪些？ ①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→－B 1A 1→)＋B 1C 1→. 解 ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④(AA 1→－B 1A 1→)＋B 1C 1→＝(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→. 故①②③④式运算结果都是向量AC 1→. 拓展提升、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．2．化简空间向量的常用思路(1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简．(2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．(3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)．【跟踪训练2】 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )A.EF →＋GH →＋PQ →＝0B.EF →－GH →－PQ →＝0 C.EF →＋GH →－PQ →＝0 D.EF →－GH →＋PQ →＝0 答案 A解析 EF →＋GH →＋PQ →＝AF →－AE →＋CH →－CG →＋D 1Q →－D 1P →＝0.探究3 空间向量证明题 例3 在如图所示的平行六面体中．求证：AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.[证明]∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′→＝AB →＋AA ′→，AD ′→＝AD →＋AA ′→.∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)＝2(AB →＋AD →＋AA ′→)， 又∵AA ′→＝CC ′→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→， ∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→. 拓展提升空间向量证明题的注意点利用三角形法则或平行四边形法则进行证明，一定要注意和(差)向量的方向．必要时利用空间向量可自由平移，使作图容易．【跟踪训练3】 借助平行六面体，证明：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．证明 作平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′使AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，如图，则：(a ＋b )＋c ＝(AB →＋AD →)＋AA ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→，a ＋(b ＋c )＝AB →＋(AD →＋AA ′→)＝AB →＋(BC →＋CC ′→)＝AB →＋BC ′→＝AC ′→，所以(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．，向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反. ，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加、减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行.，一定要抓住向量的起点与终点，否则容易导致结果计算错误．如AB →－AD →，误写成BD →，应为DB →.1．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A ．a ＝b B ．a ＋b 为实数0 C ．a 与b 方向相同 D ．|a |＝3 答案 D解析 因为a ，b 互为相反向量，所以a ＝－b ，a ＋b ＝0，a 与 b 方向相反，|a |＝|b |＝3.2．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD → B.AB →－DC →＋BC →＝AD → C.AD →＝AB →＋BC →＋DC → D.BC →＝BD →－DC → 答案 B解析 AB →－DC →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.3．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．空间四边形 B ．平行四边形 C ．等腰梯形 D ．矩形答案 B解析 ∵AO →＋OB →＝AB →，DO →＋OC →＝DC →， ∴AB →＝DC →，∴线段AB ，DC 平行且相等， ∴四边形ABCD 是平行四边形．4．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则在下列各结论中正确结论的序号为________． ①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量； ④OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量． 答案 ①③④解析 下图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AD ，B 1C 1的中点，则由向量运算的平行四边形法则，知OA →＋OD →＝2OE →，OB 1→＋OC 1→＝2OF →，又OE →＝－OF →，所以命题①正确．由于OB →－OC →＝CB →，OA 1→－OD 1→＝D 1A 1→，所以OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是两个相等的向量，所以命题②是不正确的． 同理可得命题③④是正确的．5．下图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的所有向量中，(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量； (3)试写出与AB →相等的所有向量；(4)试写出AA 1→的相反向量．解 (1)由于AA 1＝1，所以AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为5，所以模为5的向量为AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→.(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)为A 1B 1→，DC →，D 1C 1→. (4)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →.。
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3.1.1 空间向量的线性运算
自我小测
1．如图所示的空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于( )
A.32DB → B ．3MG → C ．3GM → D ．2MG →
2．平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为BD 1与AC 1的交点，下列说法正确的是( )
A ．AO →＝12(A
B →＋AD →＋AA 1→)
B ．AO →＝13A
C 1→ C ．BO →＝12
(B A →＋BC →＋BD 1→) D ．BO →＝14(AC 1→＋BD 1→) 3．如图所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为
BC 的中点，则MN →等于( )
A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12
c 4．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )
A ．PA →＋P
B →＝0 B ．PB →＋P
C →＝0 C ．PC →＋PA →＝0
D ．PA →＋PB →＋PC →
＝0 5．设点M 是BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝( )
A ．8
B ．4
C ．2
D ．1
6．化简：(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝__________.
7．化简：12(a ＋2b －3c )＋5⎝ ⎛⎭
⎪⎫23a －12b ＋23c －3(a －2b ＋c )＝__________. 8.在平行六面体ABCD EFGH 中，AG →＝xAC →＋yAF →＋zAH →，则x ＋y ＋z ＝__________.
9．在四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点，求证：AB →＋CB →＋AD →＋CD →＝4EF →.
10．已知ABCD A ′B ′C ′D ′是平行六面体，AA ′的中点为E ，点F 为D ′C ′上一点，且D ′F ＝23
D ′C ′. (1)化简：12AA ′→＋BC →＋23
AB →； (2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34
分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA ′→，试求α，β，γ的值．
参考答案
1．解析：MG →－A B →＋AD →＝MG →＋B D →＝MG →＋2MG →＝3MG →.
答案：B
2．解析：AB →＋AD →＋AA 1→＝AC →＋AA 1→＝AC 1→.故选A.
答案：A
3．解析：MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12×(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12
c . ∴应选B.
答案：B
4．解析：∵BC →＋BA →＝2BP →，
∴BC →－BP →＋BA →－BP →＝0，
即PC →＋PA →
＝0.
答案：C 5．解析：由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|＝|CB →|＝|BC →|＝4，
又M 为BC 的中点，
所以|AM →|＝12
|AB →＋AC →|＝2. 答案：C
6．答案：0
7．答案：56a ＋92b －76
c 8．解析：因为AG →＝AB →＋AD →＋AE →，
所以AG →＝AB →＋AD →＋AE →＝x (AB →＋AD →)＋y (AB →＋AE →)＋z (AE →＋AD →)，
所以AG →＝(x ＋y )AB →＋(x ＋z )AD →＋(y ＋z )AE →，
所以x ＋y ＝x ＋z ＝y ＋z ＝1，
所以x ＋y ＋z ＝32
. 答案：32
9．证明：左边＝(AB →＋AD →)＋(CB →＋CD →)
＝2AF →＋2CF →＝2(AF →＋CF →)＝4EF →＝右边，得证．。