【数学】2015-2016年山东省济宁市曲阜市高三(上)期中数学试卷与答案(理科)

2015-2016学年山东省济宁市曲阜市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）已知全集U=R，则正确表示集合M={﹣1，0，1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩（Venn）图是（）A．B．C．D．2．（5分）要得到函数y=cos（2x+π）的图象，只需将函数y=cosx的图象（）A．向左平移π个单位，要把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．向右平移π个单位，要把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移π个单位，要把所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向右平移π个单位，要把所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变3．（5分）已知函数f（x）是定义在区间[﹣a，a]上的奇函数，若g（x）=f（x）+2，则g（x）的最大值与最小值之和为（）A．0 B．2 C．4 D．不能确定4．（5分）命题：①“公差为0的等差数列是等比数列”；②“公比为的等比数列一定是递减数列”；③“a，b，c三数成等比数列的充要条件是b2=ac”；④“a，b，c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（5分）sin2α=，，则cos（﹣α）的值为（）A．B．C．D．6．（5分）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，S=（c2﹣a2﹣b2），则角C等于（）A．B． C．D．7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x=对称D．关于点（，0）对称8．（5分）设函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导，且f′（x）＜g′（x），则当a ＜x＜b时，有（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）＜g（x）C．f（x）+g（a）＜g（x）+f（a）D．f（x）+g（b）＜g（x）+f（b）9．（5分）设函数f（x）=x m+ax（m，a为常数）的导数为f′（x）=2x+1，则数列{}（n∈N*）的前n项和为（）A．3﹣B．3﹣C．3+D．﹣10．（5分）设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤10成立，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”，若f（x）=x3﹣2x+7，g（x）=x+m在[2，3]上是“密切函数”，则实数m的取值范围是（）A．[15，+∞）B．（﹣∞，19]C．（15，19）D．[15，19]二、填空题11．（5分）（理）（1+cosx）dx=．12．（5分）已知在等差数列{a n}中，a1，a2017为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a2+a1009+a2016的值为．13．（5分）已知正实数a，b满足=tan，则的值等于．14．（5分）已知命题p1：函数y=lntanx与y=ln是同一函数；p2：已知x0是函数f（x）=+2x的一个零点，若1＜x1＜x0＜x2，则f（x1）＜0＜f（x2），则在以下命题：①p1∨p2；②（￢p1）∧（￢p2）；③（￢p1）∧p2；④p1∨（￢p2）中，真命题是（写出所有正确命题的序号）．15．（5分）已知函数f（x）=+（x∈R），且f（x）有两个极值点x1，x2，满足x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），点P（m，n）在平面直角坐标系中表示的平面区域为D，若函数y=log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是．三、解答题（共75分）16．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a、b、c组成一个公差为d=﹣1的等差数列，若A=2C，试求△ABC的三边a，b，c的长．17．（12分）在等差数列{a n}中，首项a1=﹣1，数列{b n}满足b n=（），且b1b2b3=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=（﹣1）n a n，求数列{c n}的前2n项和T2n．18．（12分）某工厂在2013年底投入100万元，购入一套污水处理设备，该设备每年的运转费用是1万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该工厂使用该设备x（x∈N*）年的总费用为y（万元）．（1）将y表示成x的函数（总费用=购入费用+运转费用+维护费用）；（2）求该设备的最佳使用年限（即使用该设备年平均费用最低的年限）．19．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx，g（x）=xe﹣x．（1）当x∈R时，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若对任意x1∈[1，3]，x2∈[0，]，不等式g（x1）+a+3＞f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．20．（13分）已知数列{a n}各项均为正数，且满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若点P n（a n，y n）（n∈N*）是曲线f（x）=（x＞0）上的列点，且点P n（a n，y n）在x轴上的射影为Q n（a n，0）（n∈N*），设四边形P n Q n Q n+1P n+1的面积是S n，求证：n∈N*时，+++…+＜．21．（14分）设f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（，+ln2）处的切线方程；（2）若x=1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围；（3）当a＜1时，在[，e]上是否存在一点x0，使f（x0）＞e﹣1成立？说明理由．2015-2016学年山东省济宁市曲阜市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）已知全集U=R，则正确表示集合M={﹣1，0，1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩（Venn）图是（）A．B．C．D．【解答】解：．由N={x|x2+x=0}，得N={﹣1，0}．∵M={﹣1，0，1}，∴N⊂M，故选：B．2．（5分）要得到函数y=cos（2x+π）的图象，只需将函数y=cosx的图象（）A．向左平移π个单位，要把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．向右平移π个单位，要把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移π个单位，要把所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向右平移π个单位，要把所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变【解答】解：将函数y=cosx的图象向左平移π个单位，可得y=cos（x+π），把所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得函数y=cos（2x+π）的图象．故选：C．3．（5分）已知函数f（x）是定义在区间[﹣a，a]上的奇函数，若g（x）=f（x）+2，则g（x）的最大值与最小值之和为（）A．0 B．2 C．4 D．不能确定【解答】解：由函数f（x）是定义在区间[﹣a，a]上的奇函数，可设f（x）的最小值为m，则最大值为﹣m，由g（x）=f（x）+2，可得g（x）的最小值为m+2，最大值为2﹣m，则g（x）的最大值与最小值之和为m+2+2﹣m=4．故选：C．4．（5分）命题：①“公差为0的等差数列是等比数列”；②“公比为的等比数列一定是递减数列”；③“a，b，c三数成等比数列的充要条件是b2=ac”；④“a，b，c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：公差为0，首项也为0的等差数列不是等比数列，故①错误；公比为，首项小于0的等比数列是递增数列，故②错误；非零实数a，b，c三数成等比数列的充要条件是b2=ac，故③错误；a，b，c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c，故④正确；故选：A．5．（5分）sin2α=，，则cos（﹣α）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=，且sin2α+cos2α=1，∴（sinα+c osα）2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+=，又，∴sinα+cosα＞0，∴sinα+cosα=，则cos（﹣α）=（cosα+sinα）=sinα+cosα=．故选：C．6．（5分）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，S=（c2﹣a2﹣b2），则角C等于（）A．B． C．D．【解答】解：∵△ABC的面积为S=absinC，∴由S=（c2﹣a2﹣b2），得（c2﹣a2﹣b2）=absinC，即absinC=（c2﹣a2﹣b2），∵根据余弦定理，得a2+b2﹣c2=2abcosC，∴absinC=﹣×2abcosC，得tanC=﹣，∵C∈（0，π），∴C=．故选：B．7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x=对称D．关于点（，0）对称【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为=π，∴ω=2，f（x）=sin（2x+）．令2x+=kπ+，求得x=+，故函数f（x）的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z．令2x+=kπ，求得x=﹣，故函数f（x）的图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故选：D．8．（5分）设函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导，且f′（x）＜g′（x），则当a ＜x＜b时，有（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）＜g（x）C．f（x）+g（a）＜g（x）+f（a）D．f（x）+g（b）＜g（x）+f（b）【解答】解：设F（x）=f（x）﹣g（x），∵在[a，b]上f'（x）＜g'（x），F′（x）=f′（x）﹣g′（x）＜0，∴F（x）在给定的区间[a，b]上是减函数．∴当x＞a时，F（x）＜F（a），即f（x）﹣g（x）＜f（a）﹣g（a）即f（x）+g（a）＜g（x）+f（a）故选：C．9．（5分）设函数f（x）=x m+ax（m，a为常数）的导数为f′（x）=2x+1，则数列{}（n∈N*）的前n项和为（）A．3﹣B．3﹣C．3+D．﹣【解答】解：函数f（x）=x m+ax（m，a为常数）的导数为f′（x）=mx m﹣1+a=2x+1，∴m=2，a=1．∴f（x）=x2+x．∴=．数列{}（n∈N*）的前n项和S n=1+++…+，=+…++，∴=+…+﹣=﹣=﹣，∴S n=3﹣．故选：A．10．（5分）设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤10成立，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”，若f（x）=x3﹣2x+7，g（x）=x+m在[2，3]上是“密切函数”，则实数m的取值范围是（）A．[15，+∞）B．（﹣∞，19]C．（15，19）D．[15，19]【解答】解：∵f（x）与g（x）在[a，b]上是“密切函数”，则|f（x）﹣g（x）|≤10，即|x3﹣2x+7﹣（x+m）|≤10在[2，3]上成立，化简得x3﹣3x﹣3≤m≤x3﹣3x+17在[2，3]上成立，令F（x）=x3﹣3x﹣3，x∈[2，3]，由F′（x）=3x2﹣3＞0在x∈[2，3]成立，可得F（x）在[2，3]上为增函数，则F（x）max=F（3）=15；令G（x）=x3﹣3x+17，x∈[2，3]，由G′（x）=3x2﹣3＞0在x∈[2，3]成立，可得G（x）在[2，3]上为增函数，则G（x）min=G（2）=19．∴15≤m≤19．故选：D．二、填空题11．（5分）（理）（1+cosx）dx=．【解答】解：（x+sinx）=+1﹣（﹣1）=π+2，故答案为π+2．12．（5分）已知在等差数列{a n}中，a1，a2017为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a2+a1009+a2016的值为15．【解答】解：∵a1，a2017为方程x2﹣10x+16=0的两根，∴a1+a2017=10=2a1009，∵数列{a n}是等差数列，则a2+a1009+a2016=3a1009=15．故答案为：15．13．（5分）已知正实数a，b满足=tan，则的值等于．【解答】解：∵=tan，∴=tan，∴tan+=tan（1﹣tan），∴tan+=tan1﹣tan•tan，∴==tan（﹣）=tan；∴=，故答案为：．14．（5分）已知命题p1：函数y=lntanx与y=ln是同一函数；p2：已知x0是函数f（x）=+2x的一个零点，若1＜x1＜x0＜x2，则f（x1）＜0＜f（x2），则在以下命题：①p1∨p2；②（￢p1）∧（￢p2）；③（￢p1）∧p2；④p1∨（￢p2）中，真命题是①③（写出所有正确命题的序号）．【解答】解：关于命题p1：函数y=lntanx与y=ln是同一函数；对于函数y=ln=lntan2x=ln，要求tanx≠0，而函数y=lntanx则要求tanx＞0，故命题p1是假命题；关于命题p2：已知x0是函数f（x）=+2x的一个零点，令f（x）=0，得：2x=，令g（x）=2x，h（x）=，画出函数g（x）和h（x）的图象，如图示：由图象得：若1＜x1＜x0＜x2，则f（x1）＜0＜f（x2），故命题p2是真命题；故答案为：①③．15．（5分）已知函数f（x）=+（x∈R），且f（x）有两个极值点x1，x2，满足x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），点P（m，n）在平面直角坐标系中表示的平面区域为D，若函数y=log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是（1，3）．【解答】解：求导函数可得f'（x）=x2+mx+（m+n），依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），构造函数f（x）=x2+mx+（m+n），∴，∴，如图示：∵直线m+n=0，2+3m+n=0的交点坐标为（﹣1，1）∴要使函数y=log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D上的点，则必须满足1＜log a（﹣1+4）∴log a3＜1，解得a＜3又∵a＞1，∴1＜a＜3，故答案为：（1，3）．三、解答题（共75分）16．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a、b、c组成一个公差为d=﹣1的等差数列，若A=2C，试求△ABC的三边a，b，c的长．【解答】解：依题意，a，b，c组成一个公差d=﹣1的等差数列，即a=b+1，c=b ﹣1（b＞1）由正弦定理，=及A=2C，得，∴，即．①由余弦定理，=得．②由①②两式联立，消去cosC得，解之得b=5．所以a=6，b=5，c=4．17．（12分）在等差数列{a n}中，首项a1=﹣1，数列{b n}满足b n=（），且b1b2b3=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=（﹣1）n a n，求数列{c n}的前2n项和T2n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵，∴．由得，解得d=3．∴a n=﹣1+（n﹣1）•3=3n﹣4．（2）由（Ⅰ）得：c n=（﹣1）n（3n﹣4），∴，∴T2n=c1+c2+c3+c4+…+c2n﹣1+c2n=（c1+c2）+（c3+c4）+…+（c2n﹣1+c2n）=3n．18．（12分）某工厂在2013年底投入100万元，购入一套污水处理设备，该设备每年的运转费用是1万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该工厂使用该设备x（x∈N*）年的总费用为y（万元）．（1）将y表示成x的函数（总费用=购入费用+运转费用+维护费用）；（2）求该设备的最佳使用年限（即使用该设备年平均费用最低的年限）．【解答】解：（Ⅰ）该工厂使用该设备x年的运转费用是x万元，且每年的维护费是首项为2，公差也是2的等差数列．所以该工厂使用该设备的总费用为：y=100+x+（2+4+6+…+2x）==x2+2x+100（x∈N*）（Ⅱ）使用该设备年平均费用=.，则．令g'（x ）=0，得x=10（负值舍去）．从而，当0＜x ＜10时，g'（x ）＜0；当x ＞10时，g'（x ）＞0．所以，g （x ）在（0，10）上递减，在（10，+∞）上递增．当x=10时，g （x ）有最小值．即该设备使用年限是10年时，年平均费用最低，所以该设备的最佳使用年限是10年．另法：使用该设备年平均费用=≥（万元）当且仅当，即x=10时取等号．即该设备使用年限是10年时，年平均费用最低，所以该设备的最佳使用年限是10年．19．（12分）已知函数f （x ）=2cos 2x +2sinxcosx ，g （x ）=xe ﹣x ．（1）当x ∈R 时，求函数f （x ）的单调递减区间； （2）若对任意x 1∈[1，3]，x 2∈[0，]，不等式g （x 1）+a +3＞f （x 2）恒成立，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）．当，即，k ∈Z 时，函数f （x ）单调递减，所以函数f （x ）的单调递减区间为．（Ⅱ）对任意，要使不等式g （x 1）+a +3＞f （x 2）恒成立，只需g （x 1）+a +3在[1，3]上的最小值大于f （x 2）在区间上的最大值．当时，有 ，∴当即时，有最大值1，f（x）有最大值3．所以当时，f（x2）的最大值为3．又由g（x）=x e﹣x得g′（x）=e﹣x﹣x e﹣x=（1﹣x）e﹣x，当1≤x≤3时，g'（x）≤0．∴g（x）在区间[1，3]上是减函数，当x1∈[1，3]时，g（x1）有最小值．所以g（x1）+a+3的最小值为．令＞3得，所以实数a的取值范围是．20．（13分）已知数列{a n}各项均为正数，且满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若点P n（a n，y n）（n∈N*）是曲线f（x）=（x＞0）上的列点，且点P n（a n，y n）在x轴上的射影为Q n（a n，0）（n∈N*），设四边形P n Q n Q n+1P n+1的面积是S n，求证：n∈N*时，+++…+＜．【解答】（1）解：由，得a n+1=2（a n+1）．+1∵a1=1，∴a1+1=2，则a n+1≠0，故{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴．∴；（2）证明：∵，∴，又∵，∴四边形P n Q n Q n+1P n+1的面积为：．当n=1时，．当n＞1时，=，∴==．故有n∈N*时，．21．（14分）设f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（，+ln2）处的切线方程；（2）若x=1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围；（3）当a＜1时，在[，e]上是否存在一点x0，使f（x0）＞e﹣1成立？说明理由．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x﹣lnx，，所以曲线y=f（x）在点处的切线的斜率为．所求切线方程为，即x+y﹣ln2﹣1=0．（2），令f′（x）=0得，x1=1，x2=a﹣1，①当a﹣1≤0即a≤1时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：由表知x=1是函数f（x）的极小值点，不合题意；②当0＜a﹣1＜1即1＜a＜2时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：由表知x=1是函数f（x）的极小值点，不合题意；③当a﹣1=1即a=2时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：由表知x=1不是函数f（x）的极值点，不合题意；④当a﹣1＞1即a＞2时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：由表知x=1是函数f（x）的极大值点，适合题意；综上所述，当a＞2时，x=1是函数f（x）的极大值点．即所求取值范围是（2，+∞）．（3）假设当a＜1时，在存在一点x0，使f（x0）＞e﹣1成立，则只需证明时，f（x）max＞e﹣1即可．由（2）知，当a＜1时，函数f（x）在上递减，在[1，e]上递增，∴．所以只需证明f（e）＞e﹣1或即可．∵=由a＜1知，∴f （ e ）﹣（ e ﹣1）＞0即f （ e ）＞e ﹣1成立 所以假设正确，即当a ＜1时，在上至少存在一点x 0，使f （x 0）＞e﹣1成立．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x第21页（共21页）。