高等数学-第七版-课件-17-1 可微性与偏导数
合集下载
偏导数教学课件
02 计算方法：利用偏导数的 定义，对多元函数进行求 导运算
03 应用：多元函数的偏导数 在多元函数优化、多元函 数极值问题、多元函数微 分方程等领域有广泛应用
04 性质：多元函数的偏导数 具有线性性质、可加性、 可乘性等性质，可以用于 求解多元函数的极值问题
多元函数的极值
01
偏导数在多元函 数中的应用：求 多元函数的极值
数
2
求函数 f(x,y)=x^3+y^3 在点(2,3)处的偏导
数
3
求函数 f(x,y)=x^2y+y^ 2x在点(1,1)处的偏
导数
4
求函数 f(x,y)=x^3+xy^ 2在点(2,3)处的偏
导数
求偏导数的技巧
链式法则：将复合 1 函数分解为多个简 单函数，逐层求偏 导数
乘积法则：将乘积 2 函数中的每个变量 看作一个整体，分 别求偏导数
偏导数教学课件
刀客特万
目录
01. 偏导数的概念 02. 偏导数的计算 03. 偏导数在多元函数中的应用
偏导数的概念
偏导数的定义
01
偏导数：多元函数在某一点处沿坐标轴方向的导数
02
定义：设函数f(x,y)在点(x0,y0)处可微分，则称f(x,y)在点(x0,y0)
处沿x轴方向的偏导数为f'x(x0,y0)，沿y轴方向的偏导数为
02
极值条件：偏导 数等于零
03
极值类型：极大 值、极小值和鞍
点
04
极值求解方法： 梯度下降法、牛
顿法等
多元函数的最值
1
2
3
4
偏导数在多元函数 中的应用：求多元
函数的最值
拉格朗日乘数法：求 解多元函数在约束条
《偏导数的概念》课件
偏导数的几何意义
偏导数在几何上表示函数曲面在某一 点处的切线斜率。
对于二元函数z=f(x,y)，其在点(x0,y0) 处的偏导数即为该点处曲面切线的斜 率。
偏导数的计算方法
通过求导法则进行计算：链式法则、乘积法则、商的法则、复合函数求导 法则等。
对于多元函数的偏导数，需要分别对各个自变量求导，然后根据具体问题 选择合适的方向进行计算。
商的乘积。
乘积法则
对于两个函数的乘积，其偏导数为各 自函数的偏导数的乘积加上各自函数 对另一变量的导数的乘积。
反函数法则
对于反函数的偏导数，等于原函数在 该点的导数的倒数。
03
CATALOGUE
偏导数在几何中的应用
曲线的切线
总结词
偏导数可以用来求曲线的切线。
详细描述
在几何学中，曲线的切线是曲线在某一点的邻近线段的行为。通过偏导数，我 们可以找到曲线在某一点的切线斜率，从而确定切线的方向和位置。
描述热量在物体中的传递和扩散过程。
电场与磁场
总结词
偏导数在电场和磁场的研究中也有着重要的应用，它可 以帮助我们理解和描述电场和磁场的变化规律。
详细描述
电场和磁场是物理学中两个重要的物理量，它们描述了 电荷和电流产生的场。在研究电场和磁场时，我们常常 需要用到偏导数来描述它们的变化规律。通过偏导数， 我们可以计算出电场和磁场在不同位置的值，从而更好 地理解和描述电场和磁场的变化规律。
THANKS
感谢观看
边际分析
边际分析
偏导数提供了对经济变量边际变化的度量，即当其他条件保持不变时，某一变量变化一 个单位所引起的另一变量的变化量。
边际成本和边际收益
在决策分析中，偏导数用于计算边际成本和边际收益，帮助企业了解产品定价、产量决 策的合理性。
数学分析第十六章课件偏导数与全微分
解: 已知
则
V 2 rh r r 2h
r 20, h 100, r 0.05, h 1
V 2 20100 0.05 202 (1) 200 (cm3)
即受压后圆柱体体积减少了
作业
• P192:1:(单数题) • P193:7;9 • P208:1:(双数题) • P208:3 • P209:9 • P217:1:(1;3);2:(2;4);6 • P223:2;3;8
定理16.1 ３．全微分与偏导数的关系：
f (x, y) 设 (x0 , y0 ) 可微，在表达式中 分别令 f 0 x 0 和 x 0 y 0
得
定理１６.2
从而：f 在 p0 的全微分可写成
dz |p0 fx (x0 , y0 )dx f y (x0 , y0 )dy
z f (x) 在某区域 G 内（x，y） 点的全微分为
f11,
f12,
f21,
f22
书上记号易混
链式法则的应用
偏微分方程的变换
目的
求解
2）复合函数的全微
设
u
f (x, y),若x, y为自变量，则
du f dx f dy x y
进一步，若x (s,t) y (s,t) 则有
du u ds u dt dx x ds x dt dy y ds y dt
r x 2
2x x2 y2 z2
x r
r z z r
4、计算
的近似值.
解: 设
,则
f x (x, y) y x y1 , f y (x, y) x y ln x
取
则 1.042.02 f (1.04, 2.02 )
1 2 0.04 0 0.02 1.08
高等数学-偏导数
z
记为
,
x x x0
y y0
f x
,
x x0 y y0
zx
x x0 ,
y y0
或
f x ( x0 , y0 ).
2
同理,可定义函数 z f ( x, y) 在点( x0, y0 ) 处
对y的偏导数为
f y( x0 ,
y0 )
lim
y0
f ( x0,
y0
y) y
f ( x0,
y0 )
z
记为
, y x x0
x 导数,则 2z ( ).
xy
yf ( xy) ( x y) y( x y)
z x
1 x2
f ( xy)
y x
f ( xy)
y( x y)
26
设u
yf
x y
xg
y ,其中f , g有连续的 x
二阶 导数, 求x
2u x 2
y
2u xy
.
答案: 0
解
u x
f
x y
u x x x2 y2 ,
2u (x2 y2) x 2x x2 ( x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2
利用函数关于自变量的对称性
2u y 2
x2 y2 (x2 y2)2
.
2u x 2
2u y2
(
y2 x2
x2 y2 )2
(
x2 x2
y2 y2 )2
0
24
例 验证函数 z sin( x ay)满足波动方程:
2z y2
a2
2z x 2
.
证 因 z cos( x ay), x
高等数学 下册-偏导数 ppt课件
p V T RT 1 V T p pV
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z z f x ( x, y ) , f y ( x, y ) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y )
第二节 偏 导 数
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
第八章
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 将振幅
中的 x 固定于 x0 处, 求
关于 t 的
一阶导数与二阶导数.
u o
u ( x0 , t )
u(x , t )
x0
x
;
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 注意: f x ( x0 , y0 ) lim 0 x f ( x x x) f ( x0 ) d y 0 f ( x0 ) lim x 0 x d x x x0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
f y
是曲线
x x0 y y0
Tx
y0
Ty
o x
y
d f ( x0 , y) y y0 dy
x0
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
斜率.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
注意： 函数在某点各偏导数都存在,
但在该点不一定连续.
xy , x2 y2 0 2 例如, z f ( x, y ) x y 2 0 , x2 y2 0
偏导数课件
本节 预备 知识 本节 目的 要求 本节 重点 难点 本节 复习 指导
如 u f ( x, y, z ) 在 ( x , y, z ) 处 f ( x x , y , z ) f ( x , y , z ) f x ( x , y , z ) lim , x 0 x
f ( x , y y , z ) f ( x , y , z ) f y ( x , y , z ) lim , y 0 y
纯偏导
z 2 z f xy ( x, y), y x xy
z 2 z f yx ( x, y ) x y yx
混合偏导 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
主 页 后退 退 出 目录
7.3
偏导数
例 5 设 z x 3 y 2 3 xy 3 xy 1 ，
0 0
7.3
偏导数
本节 预备 知识 本节 目的 要求 本节 重点 难点 本节 复习 指导
如果函数 z f ( x , y )在区域 D 内任一点 ( x , y )处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 x、 y 的函数，它就称为函数 z f ( x , y )对 自变量 x的偏导数，
1 2 2 ln x y ln( x y ), 解 2 u x u y 2 , 2 , 2 2 x x y y x y
本节 预备 知识 本节 目的 要求 本节 重点 难点 本节 复习 指导
解
u aeax cos by, x
u beax sin by; y
2u 2 ax b e cos by, 2 y u abeax sin by. yx
2
2u 2 ax a e cos by, 2 x
如 u f ( x, y, z ) 在 ( x , y, z ) 处 f ( x x , y , z ) f ( x , y , z ) f x ( x , y , z ) lim , x 0 x
f ( x , y y , z ) f ( x , y , z ) f y ( x , y , z ) lim , y 0 y
纯偏导
z 2 z f xy ( x, y), y x xy
z 2 z f yx ( x, y ) x y yx
混合偏导 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
主 页 后退 退 出 目录
7.3
偏导数
例 5 设 z x 3 y 2 3 xy 3 xy 1 ，
0 0
7.3
偏导数
本节 预备 知识 本节 目的 要求 本节 重点 难点 本节 复习 指导
如果函数 z f ( x , y )在区域 D 内任一点 ( x , y )处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 x、 y 的函数，它就称为函数 z f ( x , y )对 自变量 x的偏导数，
1 2 2 ln x y ln( x y ), 解 2 u x u y 2 , 2 , 2 2 x x y y x y
本节 预备 知识 本节 目的 要求 本节 重点 难点 本节 复习 指导
解
u aeax cos by, x
u beax sin by; y
2u 2 ax b e cos by, 2 y u abeax sin by. yx
2
2u 2 ax a e cos by, 2 x
高等数学《偏导数》
的偏导数必定存在？
思考题解答
不能. 例如, f ( x, y) x2 y2 ,
在(0,0)处连续, 但 f x (0,0) f y (0,0)不存在.
练习题
一、填空题:
1、设z ln tan x ,则z ________;z _________.
y x
y
2、设z e xy ( x y),则 z _______;z ________.
(2) 求关于 y 的偏导数，把 z=f (x , y) 中的 x 看成常数，对 y 仍用一元函数求导法求偏导.
例 1 求 z x2 3xy y2在点(1,2) 处的偏导数． [解法一] 先求偏导数再代入具体点. [解法二]先固定 y=2 或 x=1 ，再对 x 或 y 求偏导数.
求 f x ( x0 , y0 ) 的两种常用方法：
即不能看作分子与分母的商.
例3 已知理想气体的状态方程 pV RT （R为常数），求证：p V T 1 . V T p
证
p RT V
p V
RT V2
;
V RT p
V R; T p
T pV R
T V ; p R
p V
V T
T p
RT V2
R V RT p R pV
1.
(2) 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；
二、求下列函数的偏导数:
1、z (1 xy) y ；
2、u arctan(x y)z .
x2 y2
三、曲线
z
4
,在点(2,4,5)处的切线与正向x
y 4
轴所成的倾角是多少?
四、设z
y
x
,求 2 x
z
2
,
思考题解答
不能. 例如, f ( x, y) x2 y2 ,
在(0,0)处连续, 但 f x (0,0) f y (0,0)不存在.
练习题
一、填空题:
1、设z ln tan x ,则z ________;z _________.
y x
y
2、设z e xy ( x y),则 z _______;z ________.
(2) 求关于 y 的偏导数，把 z=f (x , y) 中的 x 看成常数，对 y 仍用一元函数求导法求偏导.
例 1 求 z x2 3xy y2在点(1,2) 处的偏导数． [解法一] 先求偏导数再代入具体点. [解法二]先固定 y=2 或 x=1 ，再对 x 或 y 求偏导数.
求 f x ( x0 , y0 ) 的两种常用方法：
即不能看作分子与分母的商.
例3 已知理想气体的状态方程 pV RT （R为常数），求证：p V T 1 . V T p
证
p RT V
p V
RT V2
;
V RT p
V R; T p
T pV R
T V ; p R
p V
V T
T p
RT V2
R V RT p R pV
1.
(2) 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；
二、求下列函数的偏导数:
1、z (1 xy) y ；
2、u arctan(x y)z .
x2 y2
三、曲线
z
4
,在点(2,4,5)处的切线与正向x
y 4
轴所成的倾角是多少?
四、设z
y
x
,求 2 x
z
2
,
偏导数ppt课件
第七章 多元函数微分学
第1页
7.3 偏导数
嘉兴学院
5/5/2020
第七章 多元函数微分学
第2页
定义1. 设函数 zf(x,y)在点 (x0,y0) 的某邻域内
极限
lx i0m f(x0x,y0 x)f(x 0 ,y0)
存在, 则称此极限为函数 z f( x ,y )在 ( x 0 ,y 点 0 )对 x
第8页
例2. 设 zxy(x0,且 x1 ） ， 求证
xz 1 z2z yx lnxy
证: z yx y1, z xy lnx
x
y
xz 1 z xyxy 2z yx lnxy
例3. 求 r x2y2z2 的偏导数 .
解:
r
2x
x
x 2 x2 y2 z2 r
r y , r z y r z r
有 下 列 四 个 二 阶 偏 导 数：
f xx ( x, y), f xy ( x, y), f yx( x, y), f yy( x, y).
嘉兴学院
5/5/2020
第七章 多元函数微分学
第12页
例1 设z arctanxy，求它的所有的 偏导数 .
2. 定理如果函z数 f(x, y)的两个二阶混 合偏导f数 yx(x, y)及fxy(x, y)在区域 D内连续 那 么 在 该 区 域 内 这 二两 阶个 混 合 偏 导 数 相 等.
2u x2
2u y2
2u z2
0.
嘉兴学院
5/5/2020
第七章 多元函数微分学
第15页
作业 P 18 页 6 : (1 ), ( 3 ) 8、9 : (2 )
嘉兴学院
5/5/2020
第1页
7.3 偏导数
嘉兴学院
5/5/2020
第七章 多元函数微分学
第2页
定义1. 设函数 zf(x,y)在点 (x0,y0) 的某邻域内
极限
lx i0m f(x0x,y0 x)f(x 0 ,y0)
存在, 则称此极限为函数 z f( x ,y )在 ( x 0 ,y 点 0 )对 x
第8页
例2. 设 zxy(x0,且 x1 ） ， 求证
xz 1 z2z yx lnxy
证: z yx y1, z xy lnx
x
y
xz 1 z xyxy 2z yx lnxy
例3. 求 r x2y2z2 的偏导数 .
解:
r
2x
x
x 2 x2 y2 z2 r
r y , r z y r z r
有 下 列 四 个 二 阶 偏 导 数：
f xx ( x, y), f xy ( x, y), f yx( x, y), f yy( x, y).
嘉兴学院
5/5/2020
第七章 多元函数微分学
第12页
例1 设z arctanxy，求它的所有的 偏导数 .
2. 定理如果函z数 f(x, y)的两个二阶混 合偏导f数 yx(x, y)及fxy(x, y)在区域 D内连续 那 么 在 该 区 域 内 这 二两 阶个 混 合 偏 导 数 相 等.
2u x2
2u y2
2u z2
0.
嘉兴学院
5/5/2020
第七章 多元函数微分学
第15页
作业 P 18 页 6 : (1 ), ( 3 ) 8、9 : (2 )
嘉兴学院
5/5/2020