2014届高考数学11月基础过关检测2 Word版含答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解全国新课标Ⅱ文
2014年全国新课标Ⅱ文一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合A=−2,0,2，B=x x2−x−2=0，则A∩B= A. ∅B. 2C. 0D. −22. 1+3i1−i= A. 1+2iB. −1+2iC. 1−2iD. −1−2i3. 函数f x在x=x0处导数存在，若p:fʹx0=0；q:x=x0是f x的极值点，则 A. p是q的充分必要条件B. p是q的充分条件，但不是q的必要条件C. p是q的必要条件，但不是q的充分条件D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4. 设向量a,b满足a+b=10，a−b=6，则a⋅b= A. 1B. 2C. 3D. 55. 等差数列a n的公差是2，若a2,a4,a8成等比数列，则a n的前n项和S n= A. n n+1B. n n−1C. n n+12D. n n−126. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1 cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉的部分的体积与原来毛坯体积的比值为 A. 1727B. 59C. 1027D. 137. 正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥A−B1DC1的体积为 A. 3B. 32C. 1 D. 328. 执行如图所示的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S= A. 4B. 5C. 6D. 79. 设x,y满足约束条件x+y−1≥0,x−y−1≤0,x−3y+3≥0,则z=x+2y的最大值为 A. 8B. 7C. 2D. 110. 设F为抛物线C:y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30∘的直线交C于A，B两点，则 AB = A. 303B. 6C. 12D. 711. 若函数f x=kx−ln x在区间1,+∞单调递增，则k的取值范围是 A. −∞,−2B. −∞,−1C. 2,+∞D. 1,+∞12. 设点M x0,1，若在圆O:x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45∘，则x0的取值范围是 A. −1,1B. −12,12C. −2,2D. −22,22二、填空题（共4小题；共20分）13. 甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．14. 函数f x=sin x+φ−2sinφcos x的最大值为．15. 偶函数y=f x的图象关于直线x=2对称，f3=3，则f−1=．16. 数列a n满足a n+1=11−a n，a8=2，则a1=．三、解答题（共8小题；共104分）17. 四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．18. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设AP=1，AD=3，三棱锥P−ABD的体积V=34，求A到平面PBC的距离．19. 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．20. 设F1、F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为34，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且MN=5F1N，求a，b．21. 已知函数f x=x3−3x2+ax+2，曲线y=f x在点0,2处的切线与x轴交点的横坐标为−2．（1）求a；（2）证明：当k<1时，曲线y=f x与直线y=kx−2只有一个交点．22. 如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．证明：（1）BE=EC；（2）AD⋅DE=2PB2．23. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方．程为ρ=2cosθ，θ∈0,π2（1）求C的参数方程；（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线l:y=3x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标．+ x−a a>0．24. 设函数f x=x+1a（1）证明：f x≥2；（2）若f3<5，求a的取值范围．答案第一部分1. B2. B3. C4. A5. A6. C 【解析】由三视图可知，切得的几何体是两个圆柱的组合体，所以该组合体的体积为V1=π×22×4+π×32×2=34πcm3，原毛坯体积为V2=π×32×6=54πcm3，则切削掉的部分的体积为20πcm3．7. C 【解析】如图所示：AD为三棱锥A−B1DC1的高，V=13S△DB1C1×AD=13×3×3=1．8. D 9. B 10. C【解析】根据题意可求出直线方程为AB:y=33x−34，联立直线方程与抛物线方程得2x2−21x+98=0，故x1+x2=212，AB=x1+x2+p=12．11. D 【解析】若函数f x=kx−ln x在区间1,+∞上单调递增，则fʹx=k−1x≥0在1,+∞上恒成立，即k≥1x在1,+∞上恒成立，所以k≥1．12. A 【解析】点M在直线l:y=1上，过M作圆O的两条切线，记该点对圆O的张角为θ，则圆上存在点N使得∠OMN∈0,θ2．由此知只需在直线l上寻找对圆的张角等于90∘的两点M1，M2，则线段M1M2上的点的横坐标范围即为所求．事实上，张角等于90∘时，M点与圆心及切点构成的四边形为正方形，易知x0∈−1,1．第二部分13. 1314. 115. 3【解析】因为函数为偶函数，所以f−1=f1，又函数图象关于直线x=2对称，所以f1=f3，故f−1=f3=3．16. 12【解析】因为a n+1=11−a n =11−11−a n−1=1−1a n−1=1−111−a n−2=a n−2,所以数列a n是以3为周期的数列，于是2=a8=a2=11−a1，解得a1=12．第三部分17. （1）由题设及余弦定理得BD2=BC2+CD2−2BC⋅CD cos C=13−12cos C, ⋯⋯①BD2=AB2+DA2−2AB⋅DA cos A=5+4cos C. ⋯⋯②由①②得cos C=12，故C=60∘，BD=．（2）四边形ABCD的面积为S=12AB⋅DA sin A+12BC⋅CD sin C=12×1×2+12×3×2sin60∘=2 3.18. （1）如图，设BD与AC的交点为O，连接EO．因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又E为PD的中点，所以EO∥PB．因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC．（2）因为V=16PA⋅AB⋅AD=36AB.由V=34，可得AB=32．如图，作AH⊥PB交PB于H．由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又AH=PA⋅ABPB=31313.所以A到平面PBC的距离为31313．19. （1）由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为66+682=67．所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67．（2）由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为5 50=0.1,850=0.16,故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16．（3）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．20. （1）设M为第一象限内的点．根据c=2−b2M c,b2,2b2=3ac,将b2=a2−c2代入2b2=3ac，解得c a =12,ca=−2舍去故C的离心率为12．（2）由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D0,2是线段MF1的中点，故b2a=4,即b2=4a, ⋯⋯①由 MN =5F1N 得DF1=2F1N .设N x1,y1，由题意知y1<0，则2−c−x1=c,−2y1=2,即x1=−3 c,y1=−1,代入C的方程，得9c2 4a2+1b2=1. ⋯⋯②将①及c= a2−b2代入②得9a2−4a4a2+14a=1,解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=27.21. （1）fʹx=3x2−6x+a，fʹ0=a．曲线y=f x在点0,2处的切线方程为y=ax+2．由题设得−2a=−2，所以a=1．（2）由（1）知f x=x3−3x2+x+2,设g x=f x−kx+2=x3−3x2+1−k x+4.由题设知1−k>0．当x≤0时，gʹx=3x2−6x+1−k>0，g x单调递增，且g−1=k−1<0,g0=4,所以g x=0在−∞,0有唯一实根．当x>0时，令 x=x3−3x2+4，则g x= x+1−k x> x.ʹx=3x2−6x=3x x−2,x在0,2单调递减，在2,+∞单调递增，所以g x> x≥ 2=0.所以g x=0在0,+∞没有实根．综上，g x=0在R有唯一实根，即曲线y=f x与直线y=kx−2只有一个交点．22. （1）如图，连接AB，AC．由题设知PA=PD，故∠PAD=∠PDA．因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,∠PAD=∠BAD+∠PAB,∠DCA=∠PAB,所以∠DAC=∠BAD，从而BE=EC．因此BE=EC.（2）由切割线定理得PA2=PB⋅PC.因为PA=PD=DC，所以DC=2PB,BD=PB.由相交弦定理得AD⋅DE=BD⋅DC,所以AD⋅DE=2PB2.23. （1）C的普通方程为x−12+y2=10≤y≤1.可得C的参数方程为x=1+cos ty=sin t t为参数,0≤t≤π .（2）设D1+cos t,sin t．由（1）知C是以G1,0为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD的斜率与l的斜率相同，所以tan t=3,t=π.故D的直角坐标为1+cosπ3,sinπ3，即D32,32．24. （1）由a>0，有f x=x+1+ x−a≥x+1−x−a=1a+a≥2.所以f x≥2.（2）f3=3+1+3−a .当a>3时，f3=a+1a，由f3<5得3<a<5+212;当0<a≤3时，f3=6−a+1a，由f3<5得1+52<a≤3.综上，a的取值范围是1+52,5+212．。
2014北京东城高考二模数学理(含答案)
东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）高三数学 （理科)第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）设集合{12}A x x =∈+≥R ，集合{2,1,0,1,2}B =--，则AB =（ ）．A ．{2}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{1,0,1,2}-（2）在复平面内，复数32i 1i--对应的点位于（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限（3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 值为（ ）．A ．2或2-B ．1-或2-C ．1或2-D ．2或1-（4）如果实数x ，y 满足条件10,10,10,x y x y y -+≥⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为（ ）．A ．3-B ．1-C ．0D ．1（5）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n =（ ）． A ．5 B ．6C ．7D ．8（6）6个人站成一排，其中甲、乙必须站在两端，且丙、丁相邻，则不同站法的种数为（ ）．A ．12B ．18C ．24D ．36（7）若直线1,x t y a t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）被圆22cos 22sin x y =+⎧⎨=+⎩αα（α为参数）所截的弦长为22，则a 的值为（ ）．A ．1 或5B ．1- 或5C ．1 或5-D ．1- 或5-（8）对任意实数a ，b 定义运算“⊙”：,1,,1,b a b ab a a b -⎧=⎨-<⎩…设2()(1)(4)f x x x k =-++，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是（ ）．A ．(2,1)-B ．[0,1]C ．[2,0)-D ．[2,1)-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． （9）已知tan =2α，那么cos 2=α ．（10）已知平面向量a ，b ，若3=a ，13-=a b ，6⋅=a b ，则=b ；向量a ，b 夹角的大小为 ．（11）在区间[0,6]上随机取两个实数x ，y ,则事件“26x y +…”的概率为_________．（12）如图所示，PA 与圆O 相切于A ，直线PO 交圆O 于B ，C 两点，AD BC ⊥，垂足为D ，且D 是OC 的中点，若6PA =，则PC = ．（13）若直线(1)(0)y k x k =+>与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，且A ，B 两点在抛物线的准线上的射影分别是M ，N ，若2BN AM =，则k 的值是 ．A BCPD O·（14）在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点P 是正方体棱上一点（不包括棱的端点），1PA PC m +=，①若2m =，则满足条件的点P 的个数为________；②若满足1PA PC m +=的点P 的个数为6，则m 的取值范围是________． 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）已知函数2()sin 3sin sin()2f x x x x π=++．（Ⅰ）求()12f π的值； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值．（16）（本小题共13分）“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话．活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在[10,20)，[20,30)，，[50,60)的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求[50,60)年龄段抽取的人数； （Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在[50,60)年龄段的人数，求X 的分布列及数学期望．0.020 0.02510 20 30 40 50 60 0.015 0.005频率 组距（17）（本小题共14分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ,DC //AB ,BC CD ⊥,EA ED ⊥,且4AB =，2BC CD EA ED ====．（I ）求证：BD ⊥平面ADE ；（II ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值；（III ）在线段CE 上是否存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE ，请说明理由．DCBEA（18）（本小题共13分）已知0a >，函数2()21axf x a x =++，()ln g x a x x a =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：对于任意的12,(0,e)x x ∈，都有12()()f x g x >．（19）（本小题共13分）已知椭圆22221x ya b+=的一个焦点为(2,0)F，且离心率为63．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）斜率为k的直线l过点F，且与椭圆交于,A B两点，P为直线3x=上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．（20）（本小题共14分）设a 是一个自然数，()f a 是a 的各位数字的平方和，定义数列{}n a ：1a 是自然数，1()n n a f a -=（*n ∈N ，2n ≥）．（Ⅰ）求(99)f ，(2014)f ； （Ⅱ）若1100a ≥，求证：12a a >；（Ⅲ）当11000a <时，求证：存在*m ∈N ，使得32m m a a =．东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）B （2）A （3）C （4）D （5）D （6）C （7）A （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）35- （10）4 60（11）14（12）23 （13）223（14）6 (3,5) 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）2()sin 3sin sin()2f x x x x π=++2sin 3sin cos x x x =+ 1cos 23sin 222x x -=+ 311sin 2cos 2222x x =-+ 1sin(2)62x π=-+． 所以1()122f π=． …………………7分 （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，52666x πππ-≤-≤． 所以，当266x ππ-=-时，即0x =时，函数()f x 取得最小值0； 当262x ππ-=时，即3x π=时，函数()f x 取得最大值32．…………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）110(0.0200.0250.0150.005)0.35-⨯+++=，1000.35⨯=，即随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数为35．………………………4分 （Ⅱ）1000.1515⨯=，1000.055⨯=，所以85220⨯=， 即抽取的8人中[50,60)年龄段抽取的人数为2． ……………………7分（Ⅲ）X 的所有可能取值为0，1，2．36385(0)14C P X C ===；12263815(1)28C C P X C ===； 2126383(2)28C C P X C ===．所以X 的分布列为X 0 1 2P514 1528 328X 的数学期望为515330121428284EX =⨯+⨯+⨯=．………………………13分 （17）（共14分）解：（I ）由BC CD ⊥，2BC CD==．,可得22BD =．由EA ED ⊥，且2EA ED ==， 可得22AD =． 又4AB =． 所以BD AD ⊥．又平面EAD ⊥平面ABCD ， 平面ADE平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面ADE ． ……………５分 （II ）如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，(0,22,0)B ，(2,2,0)C -，(2,0,2)E ，(2,22,2)BE =-，(2,0,2)DE =，(2,2,0)DC =-．D B ACEzxy设(,,)x y z =n 是平面CDE 的一个法向量，则0DE ⋅=n ，0DC ⋅=n ，即0,0.x z x y +=⎧⎨-+=⎩ 令1x =，则(1,1,1)=-n ．设直线BE 与平面CDE 所成的角为α， 则|||2222|2sin |cos ,|3||||233BE BE BE ⋅--=<>===⋅⋅αn n n ． 所以BE 和平面CDE 所成的角的正弦值23． ……………1０分 （III ）设CF CE =λ，[0,1]λ∈．(2,2,0)DC =-，(22,2,2)CE =-，(0,22,0)DB =．则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ．设(,,)x'y'z'=m 是平面BEF 一个法向量，则0EB ⋅=n ，0EF ⋅=n ，即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ 令1x'=，则21(1,0,)λλ-=-m ．若平面BEF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈． 所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BEF ⊥平面CDE ．……………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ,()()()()()()a x a x x f x x x --+'==++2222211111， 因为0a >，所以，当1x <-，或1x >时，'()0f x <；当11x -<<时，'()0f x >．所以，()f x 的单调递增区间为(,)-11,单调递减区间为(,)-∞-1,(,)+∞1．……6分（Ⅱ）因为()f x 在区间(,)01上单调递增，在区间(,e)1上单调递减，又()f a =02，e (e)e a f a a =+>+2221， 所以，当(,e)x ∈0时，()f x a >2．由()ln g x a x x a =-+，可得'()1a a x g x x x-=-=． 所以当e a ≥时，函数()g x 在区间(0,e)上是增函数，所以，当(,e)x ∈0时，()(e)g x g a e a <=-<22．所以，当(,e)x ∈0时，对于任意的12,(0,e)x x ∈，都有1()2f x a >，2()2g x a <，所以12()()f x g x >． 当0e a <<时，函数()g x 在区间(0,)a 上是增函数，在区间(,e)a 上是减函数， 所以，当(,e)x ∈0时，()()ln g x g a a a a ≤=<2．所以，当(,e)x ∈0时，对于任意的12,(0,e)x x ∈，都有1()2f x a >，2()2g x a <，所以12()()f x g x >． 综上，对于任意的12,(0,e)x x ∈，都有12()()f x g x >． ……………13分（19）（共13分）解（Ⅰ）依题意有2c =，63c a =． 可得26a =，22b =．故椭圆方程为22162x y +=． ………………………………………………５分 （Ⅱ）直线l 的方程为(2)y k x =-．联立方程组22(2),1.62y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得2222(31)121260k x k x k +-+-=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ． 故21221231k x x k +=+，212212631k x x k -=+． 则2221212121(1)[()4]AB k x x k x x x x =+-=++-2226(1)31k k +=+． 设AB 的中点为00(,)M x y ．可得202631k x k =+，02231k y k =-+． 直线MP 的斜率为1k-，又 3P x =， 所以220222113(1)1(31)P k k MP x x k k k ++=+⋅-=⋅+． 当△ABP 为正三角形时，32MP AB =， 可得22222213(1)326(1)(31)231k k k k k k +++⋅=⋅++， 解得1k =±．即直线l 的方程为20x y --=，或20x y +-=．………………………………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）22(99)99162f =+=；2222(2014)201421f =+++=． ………………5分（Ⅱ）假设1a 是一个n 位数（3n ≥），那么可以设1221132110101010n n n n a b b b b b ---=⋅+⋅++⋅+⋅+，其中09i b ≤≤且i b ∈N （1i n ≤≤），且0n b ≠．由21()a f a =可得，2222221321n n a b b b b b -=+++++．1221211332111(10)(10)(10)(10)(1),n n n n n n a a b b b b b b b b b b -----=-+-++-+-+- 所以11211(10)(1)n n n a a b b b b --≥---．因为0n b ≠，所以1(10)99n n n b b --≥．而11(1)72b b -≤，所以120a a ->，即12a a >． ………………9分（Ⅲ）由11000a <，即1999a ≤，可知2222999243a ≤++=．同理999n a ≤，可知2221999243n a +≤++=．由数学归纳法知，对任意*n ∈N ，有999n a ≤．即对任意*n ∈N ，有{1,2,3,,999}n a ∈．因此，存在,*p q ∈N （p q <），有p q a a =．则11p q a a ++=，22p q a a ++=，…，11q q q p a a -+--=，可得对任意*n ∈N ，n p ≥，有n q p n a a +-=．设q p T -=，即对任意n p ≥，有n T n a a +=．若T p ≥，取m T =，2n m =，则有32m m a a =．若T p <，由n T n a a +=，可得n pT n a a +=，取m pT =，2n m =，则有32m m a a =． ………………14分。
2014年高考真题——理科数学(新课标II)精校版含答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i3.设向量a,b 满足|a+b 10|a-b 6a ⋅b = ( ) A. 1B. 2C. 3D. 54.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，2，则AC=( )A. 5B.5 C. 2 D. 15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. 1727 B. 59 C. 1027 D. 137.执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 78.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = A. 0 B. 1 C. 2 D. 39.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 210.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A.33 B.938 C. 6332 D. 9411.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） A. 110 B. 25C.30 D.2 12.设函数()3x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ） A.()(),66,-∞-⋃∞ B.()(),44,-∞-⋃∞ C.()(),22,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题13.()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案) 14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.16.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，3E-ACD 的体积.19. （本小题满分12分）（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-20. （本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .21. （本小题满分12分） 已知函数()f x =2x x e e x --- （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值； （Ⅲ）已知1.4142 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E.证明： （Ⅰ）BE=EC ；（Ⅱ）AD ⋅DE=22PB23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C （7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）C 二、填空题（13）12（14）1 （15）()1,3- （16）[]1,1- 三、解答题 （17）解：（Ⅰ）由131n n a a +=+得 n 111a 3().22n a ++=+ 又11322a +=，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为3的等比数列。
2014年全国高考新课标Ⅱ数学(理)试卷及答案【精校版】
2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，zxxk 12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i3.设向量a,b 满足|a+b 10|a-b 6，则a ⋅b = ( ) A. 1B. 2C. 3D. 54.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，2 ，则AC=( )A. 5B.5 C. 2 D. 15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良 的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. 1727 B. 59C. 1027D. 137.执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 78.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = A. 0 B. 1 C. 2 D. 39.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 210.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A. 33 B.93 C. 6332 D. 9411.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） A. 110 B. 25C.30 D.2 12.设函数()3x f x m π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ） A.()(),66,-∞-⋃∞ B.()(),44,-∞-⋃∞ C.()(),22,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题， 每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题13.()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案) 14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.16.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得zxxk ∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，3E-ACD 的体积.19. （本小题满分12分）（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121nii i nii tty y b tt∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-20. （本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆C:()222210y x a b a b+=>>的左,右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N. （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .21. （本小题满分12分） 已知函数()f x =2x x e e x ---zxxk （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值； （Ⅲ）已知1.4142 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做， 同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点 E.证明：（Ⅰ）BE=EC ；（Ⅱ）AD ⋅DE=22PB23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.zxxk （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的 取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、 选择题（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C（7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）C二、 填空题（13）12（14）1 （15）（1,3-） （16）[]1,1-三、 解答题 （17）解：（I ）由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+。
湖北省部分重点高中2014届高三十一月联考数学(文)试题-含答案
湖北省部分重点高中2014届高三十一月联考数学（文）试题时间：2013年11月15日 下午：15：00—17：00 本试题卷共4页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数1012ii-= ( )A ．-4+ 2iB ．4- 2iC ．2- 4iD ．2+4i2．己知集合{|||2,},{|2,}A x x x R B x x Z =≤∈=≤∈，则A B =( )A ．（0,2）B ．[0,2]C ．{0,2}D ．{0,1,2}3．执行右面的框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是 ( )A ．1 20B ．720C ．1440D ．50404．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上 平移1个单位,所得图象的函数解析式是( )A. 22cos y x = B. 22sin y x = C.)42sin(1π++=x yD. cos 2y x =5．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸 （单位：cm ）。
可得这个几何体的体积是( ) A ．313cm B ．323cmC ．343cmD ．383cm6．已知m ，n 是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是 ( ) A ．若n m n m //,//,//,//则βαβα B ．若,//,//,βαβαn m ⊥则n m ⊥C ．若n m n m //,,,则βαβα⊥⊥⊥D ．若则,,//,//βαβα⊥n m n m ⊥7．设p 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BABP ＋＝，则( )A.PAPB ＋＝0 B.PC PA ＋＝0C.PB PC ＋＝0D.PAPB PC ＋＋＝0 8．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。
2014北京东城高考二模数学文(含解析)
东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）高三数学 （文科)第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）设集合{12}A x x =∈+≥R ，集合{2,1,0,1,2}--，则A B ⋂=（ ）．（A ）{2} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2} （D ）{1,0,1,2}-（2）在复平面内，复数21i-对应的点位于（ ）．（A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限（3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 值为（ ）．（A ）2或2- （B ）1-或2-（C ）1或2- （D ）2或1-（4）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6726a a =+，则9S 的值是（ ）．（A ）18 （B ）36（C ）54 （D ）72（5）已知tan =2α，那么sin 2α的值是（ ）．（A ）45- （B ）45 （C ）35- （D ）35（6）已知函数)(x f 在[0,)+∞上是增函数，()(||)g x f x =，若),1()(lg g x g >则x 的取值范围是（ ）．（A ）(0,10) （B ）(10,)+∞ （C ）1(,10)10 （D ）1(0,)(10,)10+∞（7）已知点(2,0)A ，(2,4)B -，(5,8)C ，若线段AB 和CD 有相同的垂直平分线，则点D 的坐标是（ ）．（A ）(6,7) （B ）(7,6)（C ）(5,4)-- （D ）(4,5)--（8）对任意实数a ，b 定义运算“⊙”：,1,,1,b a b ab a a b -≥⎧=⎨-<⎩设2()(1)(4)f x x x k =-++，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是（ ）．（A ）(2,1)- （B ）[0,1] （C ）[2,0)- （D ）[2,1)-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． （9）函数0.5log (43)y x =-的定义域是 ．（10）已知平面向量(1,2)=a ，(2,)m =-b ，且a ∥b ，则=b ．（11）在区间[0,6]上随机取两个实数x ，y ,则事件“26x y +≤”的概率为_________．（12）已知数列的前项和为,且对任意*n ∈N ,有232n n S a =-，则1a = ；n S = ．（13）过点(1,0)A -且斜率为(0)k k >的直线与抛物线24y x =相交于B ，C 两点，若B 为AC 中点，则k 的值是 ．（14）在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点P 是正方体棱上一点（不包括棱的端点），1PA PC m +=，①若2m =，则满足条件的点P 的个数为________；②若满足1PA PC m +=的点P 的个数为6，则m 的取值范围是________．{}n a n n S三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）已知函数2()sin 3sin cos f x x x x =+． （Ⅰ）求()12f π的值； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值．（16）（本小题共13分）汽车的碳排放量比较大，某地规定，从2014年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km 的轻型汽车进行惩罚性征税．检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km ）．经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为120g /km x 乙．（Ⅰ）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130g /km 的概率是多少？（Ⅱ）求表中x 的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性．（17）（本小题共14分）如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，090ABC ∠=，平面PAB ⊥平面ABC ，D ，E 分别为AB ，AC 中点．（Ⅰ）求证：//DE 平面PBC ； （Ⅱ）求证：AB PE ⊥； （Ⅲ）求三棱锥P BEC -的体积．E AD AC ABAP AA（18）（本小题共13分）已知a ∈R ，函数3211()(2)62f x x a x b =+-+，()2ln g x a x =． （Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处的切线互相垂直，求a ，b 的值； （Ⅱ）设()'()()F x f x g x =-，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都有2121()()()F x F x a x x ->-，求a 的取值范围．（19）（本小题共13分）已知椭圆22221x y a b +=的一个焦点为(2,0)F ，且离心率为63．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过点(3,0)M 且斜率为k 的直线与椭圆交于两点，点A 关于x 轴的对称点为C ，求△MBC 面积的最大值．B A ,（20）（本小题共14分）设a 是一个自然数，()f a 是a 的各位数字的平方和，定义数列{}n a ：1a 是自然数，1()n n a f a -=（*n ∈N ，2n ≥）．（Ⅰ）求(99)f ，(2014)f ； （Ⅱ）若1100a ≥，求证：12a a >； （Ⅲ）求证：存在*m ∈N ，使得100m a <．东城区2013-2014学年度第二学期综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准 （文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）B （2）A （3）C （4）C （5）B （6）D （7）A （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）3[,)4+∞ （10）25 （11）14（12）2 31n - （13）22 （14）6 (3,5) 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）2()sin 3sin cos f x x x x =+ 1cos 23sin 222x x -=+ 311sin 2cos 2222x x =-+ 1sin(2)62x π=-+． 所以1()122f π=． （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，52666x πππ-≤-≤． 所以，当266x ππ-=-时，即0x =时，函数()f x 取得最小值0； 当262x ππ-=时，即3x π=时，函数()f x 取得最大值32．（16）（共13分）解：（Ⅰ）从被检测的5辆甲品牌的轻型汽车中任取2辆，共有10种不同的二氧化碳排放量结果：(80,110)，(80,120)，(80,140)，(80,150)，(110,120)，(110,140)，(110,150)，(120,140)，(120,150)，(140,150)．设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130g /km ”为事件A ， 则事件A 包含以下7种不同的结果：(80,140)，(80,150)，(110,140)，(110,150)，(120,140)，(120,150)，(140,150)．所以 7()0.710P A ==． 即至少有一辆二氧化碳排放量超过130g /km 的概率为0.7． （Ⅱ）由题可知，120x =乙，所以4801205x+=，解得 120x =． 22222215600.s ⎡⎤=++++⎣⎦=甲（80-120）（110-120）（120-120）（140-120）（150-120） 22222215480.s ⎡⎤=++++⎣⎦=乙（100-120）（120-120）（120-120）（100-120）（160-120）， 因为 ==120x x 甲乙 ，22s s >甲乙所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好．（17）（共14分）解：（Ⅰ）因为D ，E 分别为AB ，AC 中点，所以DE ∥BC ，又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//DE 平面PBC ． （Ⅱ）连结PD ，因为//DE BC ，又090ABC ∠=， 所以DE AB ⊥．又PA PB =，D 为中点， 所以PD AB ⊥． 所以AB ⊥平面PDE ， 所以AB PE ⊥．（Ⅲ）因为平面PAB ⊥ 平面ABC ，有PD AB ⊥， 所以PD ⊥平面ABC ， 所以1111323322322P BEC P ABC V V --==⨯⨯⨯⨯⨯=． AB E AD AC ABAP AA（18）（共13分） 解：（Ⅰ）21'()(2)2f x x a x =+-，3'(1)2f a =-． 2'()ag x x=，'(1)2g a =． 依题意有'(1)'(1)1f g =-，可得32()12a a -=-，解得1a =，或12a = ． （Ⅱ）21()(2)2ln 2F x x a x a x =+--． 不妨设12x x <，则2121()()F x F x a x x ->-等价于2121()()()F x F x a x x ->-， 即2211()()F x ax F x ax ->-． 设()()G x F x ax =-，则对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都有2121()()F x F x a x x ->-， 等价于()()G x F x ax =-在(0,)+∞是增函数．21()2l n 22G x x a x x =--， 可得2222'()2a x x aG x x x x--=--=， 依题意有，对任意0x >，有2220x x a --≥．由2222(1)1a x x x ≤-=--，可得12a ≤-．（19）（共13分）解:（Ⅰ）依题意有2c =，63c a =． 可得26a =，22b =．故椭圆方程为22162x y +=．（Ⅱ）直线l 的方程为(3)y k x =-．联立方程组22(3),1.62y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得2222(31)182760k x k x k +-+-=． （*） 设11(,)A x y ，22(,)B x y ．故21221831k x x k +=+，212227631k x x k -=+．不妨设12x x <，显然12,x x 均小于3．则111112(3)(3)2AMC S y x y x =⋅⋅-=-，12112112()()2ABC S y x x y x x =⋅⋅-=-．1212(3)(3)(3)M B C A B C A M C S S S y x k x x =-=-=-- 121223[93()]31kk x x x x k =-++=+ 233223kk≤=．等号成立时，可得213k =，此时方程（*）为 22630x x -+=，满足0∆>．所以MBC ∆面积S 的最大值为2．（20）（共14分）解：（Ⅰ）22(99)99162f =+=；2222(2014)201421f =+++=． （Ⅱ）假设1a 是一个n 位数（3n ≥）， 那么可以设1221132110101010n n n n a b b b b b ---=⋅+⋅++⋅+⋅+，其中09i b ≤≤且i b ∈N （1i n ≤≤），且0n b ≠．由21()a f a =可得，2222221321n n a b b b b b -=+++++．1221211332111(10)(10)(10)(10)(1),n n n n n n a a b b b b b b b b b b -----=-+-++-+-+-所以11211(10)(1)n n n a a b b b b --≥---．因为0n b ≠，所以1(10)99n n n b b --≥．而11(1)72b b -≤，所以120a a ->，即12a a >．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当1100a ≥时， 12a a >．同理当100n a ≥时， 1n n a a +>． 若不存在*m ∈N ，使得100m a <．则对任意的*n ∈N ，有100n a ≥，总有1n n a a +>． 则11n n a a -≤-， 可得1(1)n a a n ≤--．取1n a =，则1n a ≤，与100n a ≥矛盾．存在*m ∈N ，使得100m a <．北京市东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）数学（文史类）选填解析一、 选择题 1．【答案】B【解析】解：由题意知：{1}A x x =∈≥R ，A B ⋂={1,2} 故选B ．2．【答案】A【解析】解：22(1i)11i (1i)(1i)i +==+--+ ，点(1,1) 在第一象限故选A ．3．【答案】C【解析】解：当0x ≥ ，则210y x =-= ，解得:1x =± 取1x = ；当0x < ，则220y x x =+= ，解得：0x = （舍）或2x =- 故选C ．4．【答案】C【解析】解：由题意知：112(5)66a d a d +=++ ，即146a d += ，从而9119899(4)542S a d a d ⨯=+=+= 故选C ．5．【答案】B【解析】解： 222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5ααααααα--===-++ 故选B6．【答案】D【解析】解：由题意知：()g x 是偶函数，在[)0,+∞ 是增函数，在(],0-∞ 是增函数，所以lg 1x > ，或lg 1x <- ，即10x > 或1010x <<故答案为D ．7．【答案】A【解析】解：设(,)D x y ，由题意知：AB 与CD 的中点坐标是(0,2) ，58(,)22x y++ 是同一个点，解得：5x =- ，4y =- 故答案选A ．8．【答案】D【解析】解： 由题意得24,2,3()1,23x k x x f x x k x ++≤-≥⎧⎪=⎨-+-<<⎪⎩或 ，先画出2g()(1)(4)x x x =-+的图像如图下图所示，显然[)2,1k ∈- 故答案选D ．二、 填空题 9．【答案】 3[,)4+∞【解析】解：由题意得：43x ≥ ，即34x ≥ 故答案为3[,)4+∞．10．【答案】25【解析】解：有题意知：12(2)m ⨯=⨯- ，即4m =- ,224225b ∴=+=r故答案为25 11．【答案】14【解析】如图，概率为13612=664⨯⨯⨯故答案为14．12．【答案】2， 31n -【解析】解： 当1n = ，1112232S a a ==- ，解得12a = ：当2n ≥ ，11233n n n n n a S S a a --=-=- ，即13n n a a -= ，则2(13)3113n n n S -==-- 故答案为2，31n - ．13．【答案】223【解析】解：解：联立2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩ 消去x 得到2440ky y k -+= ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则121244y y k y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ ，由题意知122y y = ，带入韦达定理得到：223k = 故答案为223． 故答案为223．14．【答案】6，(3,5)【解析】解： 如下图所示，AB ,1AA ,AD ，以及1C B ，1C C ，11C D 棱上面的点到A ，1C 距离的情况是一致的，范围在(3,21)+ 之间，而另外六条棱上的点情况是一致的，以1BB 为例，当P 点在M 位置时，值最小是5．当2m =时，满足条件的在AB ,1AA ,AD ，1C B ，1C C ，11C D 棱上各有一点；如果满足条件的点个数为6，那么m 的取值范围是(3,5)． 故答案为6，(3,5)．。
湖北省部分重点高中2014届高三11月联考数学理试题Word版含解析
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=14922y x x M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=123y x y N ，则=⋂N M （ ） A 、∅B 、{})0,2(),0,3(C 、 ]3,3[-D 、{}2,32.复数321i i -（i 为虚数单位）的虚部是（ ） A ． 15iB ．15C ． 15i -D ．15-3.下列命题中是假命题．．．的是（ ）A ．,)1()(,342是幂函数使+-⋅-=∈∃m m xm x f m R ),0(+∞且在上递减B ．有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02C ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R ;D ．,()sin(2)f x x ϕϕ∀∈=+R 函数都不是偶函数4.若曲线()co s f x a x =与曲线2()1g x x b x =++在交点(0,)m 处有公切线，a b +=（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．25.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足548213510S a a -+=,则下列数中恒为常数的是（ ）A.8aB. 9SC. 17aD. 17S故选D.考点：等差数列求和公式6.函数sin()(0)y x πϕϕ=+>的部分图象如图所示,设P 是图象的最高点,,A B 是图象与x 轴的交点,记APB θ∠=,则sin2θ的值是（ ） A ．1665B ．6365C ．1663-D ．1665-7.某几何体的三视图如图所示，当xy 最大时，该几何体的体积为（ ）AB ．CD【答案】A 【解析】8.八个一样的小球按顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，求恰好三个连续的小球涂红色，则涂法共有（ ）A ．24种B ．30种C ．20种D ．36种9.如图，偶函数)(x f 的图像形如字母M ，奇函数)(x g 的图像形如字母N ，若方程：,0))((,0))((==x g f x f f 0))((,0))((==x f g x g g 的实根个数分别为a 、b 、c 、d ，则d c b a +++=（ ）A ． 27B ． 30C ．33D ． 36【答案】B 【解析】试题分析：由图象可知9,9,9,3====d c b a 得，故30=+++d c b a ，选B. 考点：1.复合函数；2.函数的零点10.定义][x 表示不超过x 的最大整数，记{}][x x x -=，其中对于3160≤≤x 时，函数1}{sin ][sin )(22-+=x x x f 和函数{}13][)(--⋅=xx x x g 的零点个数分别为.,n m 则（ ） A ． 314,101==n m B ． 313,101==n m C ．313,100==n mD ．314,100==n m直线131+=x y 在)4,3[∈x 有一个交点，在)5,4[∈x 有一个交点， ，在)316,315[∈x 有一个交点，共有313个，故313=n .选B.考点：1.函数的图像；2.函数的零点；3.数形结合法处理函数问题第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.） (一)必考题（11—14题）11.若框图（右图）所给的程序运行结果为90S =，那么判断框中应填入 的关于k 的条件是__________．【答案】k<9? 或者k<=8?12.A 是曲线2x y =与围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ． 【答案】121 【解析】试题分析：如图所示，31)(012=-=⎰x x S ，由几何概型可得1212231=⨯=P .考点：1.利用定积分求曲面面积；2.几何概型第11题13.已知各项全不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S ＝11(3n n a a n +∈N *),其中1a =1.则n a ==-12n a233)1(1-=⨯-+n n ，设12-=n t ，则21+=t n ，2123-=t a t （t 为奇数）.故有：.考点：数列的通项公式14.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的连线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 最长时，PM PN 的取值范围是 ．考点：1.平面向量的数量积；2.空间直角坐标系选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答）15．（选修4-1：几何证明选讲）AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD AB ⊥，垂足为D ，且5AD DB =，设COD θ∠=，则tan θ的值为 .16.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为为参数），，t t y t x (33⎩⎨⎧=-=. 以直角坐标系xOy 中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为03cos 42=+-θρρ，则圆心C 到直线l 距离为 .考点：1.直线的参数方程；2.圆的极坐标方程；3.点到直线的距离公式三、解答题 （本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知(sin m A =与(3,sin n A =其中A 是△ABC 的内角．（1）求角A 的大小；（2）若BC =2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.又，…………………8分PM是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入18.（本小题满分12分） 2.5PM的含量对空气质量评定的肺颗粒物，它对空气质量和能见度等有重要的影响。
2014年全国2卷数学答案.
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．解答：解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．解答：解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A点评：本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：将等式进行平方，相加即可得到结论．解答：解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．点评：本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1考点：余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B 为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．解答：解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．解答：解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则有题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．解答：解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π．切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据条件，依次运行程序，即可得到结论．解答：解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．解答：解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故答案选D．点评：本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10 B．8C．3D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB 的面积为（）A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．解答：解：由y2=3x，得2p=3，p=，则F（）．∴过A，B的直线方程为y=，即．联立，得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．∴==．故选：D．点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．解答：解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．故选：C．点评：本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）考点：正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．解答：解：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．点评：本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．解答：解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r+1=•x10﹣r•a r，令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．考点：三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．解答：解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．解答：解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：画出图形即可得到结果．解答：解：由题意画出图形如图：∵点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，∴圆心到MN的距离为1，要使MN=1，才能使得∠OMN=45°，图中M′显然不满足题意，当MN垂直x轴时，满足题意，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：证明题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．解答：证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+1+…+==＜．∴对n∈N+时，++…+＜．点评：本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．18．（12分）如图，四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AF至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．解答：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AF至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AF=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．点评： 本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份代号t 1 2 3 4 5 6 7人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析： （Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b 的值，再求出a 的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t 的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．解答：解：（Ⅰ）由题意，=（1+2+3+4+5+6+7）=4，=（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3， ∴===0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y 关于t 的线性回归方程为=0.5t+2.3； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得： =0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．点评： 本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．20．（12分）设F 1，F 2分别是C ：+=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ．（1）若直线MN 的斜率为，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|=5|F 1N|，求a ，b ．考点： 椭圆的应用．专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．分析： （1）根据条件求出M 的坐标，利用直线MN 的斜率为，建立关于a ，c 的方程即可求C 的离心率； （2）根据直线MN 在y 轴上的截距为2，以及|MN|=5|F 1N|，建立方程组关系，求出N 的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．解答： 解：（1）∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，∴M 的横坐标为c ，当x=c 时，y=，即M （c ，），若直线MN 的斜率为， 即tan ∠MF 1F 2=，即b 2==a 2﹣c 2， 即c 2﹣﹣a 2=0， 则， 解得e=． （Ⅱ）由题意，原点O 是F 1F 2的中点，则直线MF 1与y 轴的交点D （0，2）是线段MF 1的中点，故=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．点评：本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数发是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g'（x）＞0是否成立”的问题；对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．解答：解：（Ⅰ）由f（x）得f'（x）=e x+e﹣x﹣2，即f'（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f'（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g'（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x﹣2b+2）．①∵e x+e﹣x≥2，e x+e﹣x+2≥4，∴当2b≤4，即b≤2时，g'（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即时，g'（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，．当b=2时，由，得；当时，有，由，得．所以ln2的近似值为0.693．点评：1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC 的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．专题：选作题；几何证明．分析：（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．解答：证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]．（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．考点：参数方程化成普通方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；圆的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，令x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，可得半圆C的参数方程．（Ⅱ）由题意可得直线CD和直线l平行．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），根据直线CD和直线l的斜率相等求得cotα的值，可得α的值，从而得到点D的坐标．解答：解：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，x∈[0，2]、y∈[0，1]．令x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，α∈[0，π]．故半圆C的参数方程为，α∈[0，π]．（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，∴直线CD和直线l平行，故直线CD和直线l斜率相等．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），∵C（1，0），∴=，解得tanα=，即α=，故点D的坐标为（，）．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，把直角坐标方程化为参数方程，注意参数的范围，属于基础题．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．解答：解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜≤3．综上可得，a的取值范围（，）．点评：本题主要考查绝对值三角不等时，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；maths；静定禅心；qiss；sllwyn；刘长柏；任老师；sxs123；尹伟云（排名不分先后）菁优网2014年6月23日。
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2014高考数学11月基础过关检测2一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若实数t 满足f t t =-()，则称t 是函数f x ()的一个次不动点．设函数ln f x x =()与函数e xg x =()（其中e 为自然对数的底数）的所有次不动点之和为m ，则( ) A ．0m < B ．0m = C ．01m << D ．1m >【答案】B2．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．1ln ||y x = B ．3y x =C ．||2x y =D ．y ＝cosx【答案】A3．指数函数y=a x的图像经过点（2，16）则a 的值是( )A ．41 B ．21 C ．2 D ．4【答案】D4．已知二次函数2(),f x ax bx c =++满足42c ba +>且0c <，则含有()f x 零点的一个区间是( ) A ．(-2,0) B ．(-1,0)C ．(0,1)D ．(0,2)【答案】A5．函数，若f(1)+f(a)=2,则a 的所有可能值为( )A ．1B ．－C ．1, －D ．1,【答案】C6．设f (x)= x 2－6x+5，若实数x ，y 满足条件f (y) ≤ f (x) ≤0，则xy的最大值为( ) A ．5 B ．3 C ．1D ．9－45【答案】A7．a b c 、、依次表示方程21xx +=，22xx +=，32x x +=的根，则a b c 、、的大小顺序为( )A ． c a b <<B ． a b c <<C ． a c b <<D ． c b a <<【答案】C8．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A ．10B ．10C ．20D ．100 【答案】A9．设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是( )A ． ),3()1,3(+∞⋃-B ． ),2()1,3(+∞⋃-C ． ),3()1,1(+∞⋃-D ． )3,1()3,(⋃--∞【答案】A10．函数)(x f y =满足 (2)()f x f x +=-，当(]2,2x ∈-时，1)(-=x x f ，则()f x 在[]0,2010上零点的个数为( )A ．1004B ．1005C ．2009D ．2010【答案】B11．已知函数，则的值为( )A ．0B ．C ．1D ．【答案】C12．已知定义在R 上的函数)(x f 的导函数)('x f 的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是( )A ． )()()(d f c f b f >>B ． )()()(e f a f b f >>C ． ))()(fa b f c f >>D ． )()()(d f e f c f >>【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是____________【答案】5≥a14．若函数23()log log 2f x a x b x =++,且1()52012f =,则(2012)f 的值为_ ． 【答案】-115．函数 2x 1ax )x (f ++=在区间),2(+∞-上单调递增，则实数a 的取值范围是____________【答案】1(,)2+∞16．函数()log (1)a f x x =+（0a >且1≠a ）在1[,1]2上的最小值是1，则a = .【答案】32三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．x 的二次方程x 2+z 1x+z 2+m=0中,z 1，z 2，m 均是复数，且z 21－4z 2=16+20i ，设这个方程的两个根α、β，满足|α－β|=27,求|m|的最大值和最小值.【答案】设m=a+bi(a ，b ∈R)．则△=z 12－4z 2－4m=16+20i －4a －4bi=4[(4－a)+(5－b)i]．设△的平方根为u+vi ．(u ，v ∈R) 即(u+vi)2=4[(4－a)+(5－b)i]．|α－β|=27，⇔|α－β|2=28，⇔|(4－a)+(5－b)i|=7，⇔(a －4)2+(b －5)2=72，即表示复数m 的点在圆(a －4)2+(b －5)2=72上，该点与原点距离的最大值为7+41，最小值为7－41．18．有时可用函数0.115ln ,6,() 4.4,64a x a xf x x x ⎧+≤⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩ x描述学习某学科知识的掌握程度.其中x 表示某学科知识的学习次数（*x N ∈），()f x 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关.(1）证明：当x ≥7时，掌握程度的增长量f （x+1）- f(x)总是下降；(2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为（115，121］,(121,127］, (127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.(0.05e=1.05)【答案】（1）当7x ≥时，0.4(1)()(3)(4)f x f x x x +-=--而当7x ≥时，函数(3)(4)y x x =--单调递增，且(3)(4)0x x --> 故函数(1)()f x f x +-单调递减当7x ≥时，掌握程度的增长量(1)()f x f x +-总是下降(2)有题意可知0.115ln 0.856aa +=-整理得0.056ae a =-解得0.050.0562161261e a e =⋅=⋅=- (121,127]∈ 由此可知，该学科是乙学科19．已知函数()log (1)(01)xa f x a a =-<< (Ⅰ）求()f x 的定义域； (Ⅱ） 讨论()f x 的单调性； (Ⅲ） 解不等式1(2)()f x fx ->.【答案】 (Ⅰ）由题01a a x=>,因为10<<a ,所以0<x , 即()f x 的定义域为{}0|<x x(Ⅱ）函数()f x 在)0,(-∞上是单调递增的. 因为:令函数1)(-=xa x u ,因10<<a 故1)(-=xa x u 在)0,(-∞上是单调递减的, 又因为x x g a log )(=也是单调递减的, 由复合函数的单调性知,复合函数()f x ))((x u g =在)0,(-∞上是单调递增的. (Ⅲ）由题知)1(log )(1+=-x a a x f,R x ∈于是不等式1(2)()f x f x ->等价为112+<-x x a a 即:0)1)(2(<+-x x a a从而2log 2a aa x=<,所以2log a x >,又须02<x ,综上,原不等式的解集为{}02log |<<x x a 20．设函数()(01)xxf x ka aa a -=->≠且是定义域为R 上的奇函数；(Ⅰ）若(1)0f >，试求不等式2(2)(4)0f x x f x ++->的解集； (Ⅱ）若223(1),()4(),()[1,)2x x f g x a a f x g x -==+-+∞且求在上的最小值。
【答案】()f x 是定义域为R 上的奇函数，(0)0,10,1f k k ∴=∴-=∴=(I ）1(1)0,0,01f a a a a>∴->>≠ 又且， 1,()x x a f x a a -∴>=-()ln ln ()ln 0x x x x f x a a a a a a a --'=+=+>()f x ∴在R 上为增函数原不等式分为：2(2)(4)f x x f x +>-2224,340x x x x x ∴+>-+->即14,{|14}x x x x x ∴><-∴><-或不等式的解集为或(II ）313(1),22f a a =∴-= 即212320,22a a a a --=∴==-或（舍去） 222()224(22)(22)4(22)2x x x x x x x tx g x ---∴=+--=---+令22(1)xxt x -=-≥ 则()(1,)th x =+∞在为增函数（由（I ）可知），即3()(1)2h x h ≥=22()42(2)2f x t t t ∴=-+=--min 222,log (12x ∴=-=+-当x=2时,g(x)此时当x=log 时g(x)有最小值21．设f (x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x)，当0≤x ≤1时，f (x)＝x. (I ）求f (π)的值；(II ）当－4≤x ≤4时，求f (x)的图像与x 轴围成图形的面积 【答案】（1）由f(x ＋2)＝－f(x)，得f(x ＋4)＝f[(x ＋2)＋2]＝－f(x ＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，从而得f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数且f(x ＋2)＝－f(x)，得f[(x －1)＋2]＝－f(x －1)＝f[－(x －1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)，故知函数y ＝f(x)的图像关于直线x ＝1对称．又0≤x ≤1时，f(x)＝x ，且f(x)的图像关于原点成中心对称，则f(x)的图像如图所示．当－4≤x ≤4时，设f(x)的图像与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4.22．设函数是定义在上的减函数，并且满足，(1）求,,的值，（2）如果，求x 的取值范围。
【答案】（1）令，则，∴令, 则, ∴∴∴(2）∵，又由是定义在R＋上的减函数，得：解之得：。