2-2空间向量的运算(北师大版选修2-1)ppt课件

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活页限时训练ຫໍສະໝຸດ 【训练 1】 已知四边形 ABCD 为正方形，P 是 ABCD 所在平面 外一点，P 在平面 ABCD 上的射影恰好是正方形 ABCD 的中心 O.Q 是 CD 的中点，求下列各式中 x、y 的值： (1)O→Q＝P→Q＋xP→C＋yP→A； (2)P→A＝xP→O＋yP→Q＋P→D.
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3．平面向量的数乘运算推广到空间向量的数乘运算及其运算律 仍然是成立的． 4．因为空间任意两个向量都是共面的，所以空间向量共线定理 与平面向量共线定理是相同的；定理中 b≠0 不可丢掉，否则实 数 λ 不一定存在，且不一定唯一．如 a≠0，b＝0，则 λ 不存在， a＝b＝0，则 λ 不唯一． 5．在 a＝λb 中，对于确定的 λ 与 b，a＝λb 可以表示空间中与 b 平行且长度为|λb|的所有的向量．
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6．向量的数量积是一个数量(数值)，而不是向量，它的值为两 向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦 的符号确定． 7．两向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的 数的乘法有区别，在书写时要严格区分开来，数量积写成 a·b， 而不能写成 ab，亦不能写成 a×b. 8．a·b 的几何意义：a 与 b 的数量积等于 a 的模与 b 在 a 上的 投影|b|cos〈a，b〉的乘积，也可等于 b 的模与 a 在 b 上的投影 |a|cos〈a，b〉的乘积．
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规律方法 对于向量算式的化简问题，要注意观察每步中所涉 及的向量在图形中的位置特点及封口多边形法则的应用．特别 注意：始点相同的三个不共面的向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为起点的对角线所表示的向 量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广，可以 称作空间向量加法的平行六面体法则．
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(3)与数量积有关的结论
①|a|＝ a·a．
②a⊥b⇔ a·b＝0 ．
③cos〈a，b〉＝ a|a·||bb|(a≠0，b≠0)．
7．向量 a 的单位向量
对于任意一个非零向量
a，把
a |a|
叫做向量
a
的单位向量，记
作a0 ，a0 与 a 方向相同．
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6．(1)数量积的定义
空间两个向量 a 和 b 的数量积是一个数，等于|a||b|·cos〈a，b〉 ．记
作 a·b ．
(2)数量积的运算律
①交换律：a·b＝b·a ．
②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c ．
③λ(a·b)＝ (λa)·b(λ∈R)
．
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一些简单的问题．
【核心扫描】
1．空间两个向量共线定理、空间向量的线性运算及数量积．(重
点)
2．向量的数量积．(难点)
3．向量夹角与数量积的关系．(疑点)
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自学导引
1．空间向量的加法
设 a 和 b 是空间两个向量，如图，过点 O
作O→A＝a，O→B＝b，则平行四边形的对角线 OC
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题型一 空间向量的线性运算
【例 1】 已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1，化简下列各向量表 达式，并标出化简结果的向量．
(1)A→B＋B→C；
(2)A→B＋A→D＋A→A1； (3)A→B＋A→D＋12C→C1； (4)13(A→B＋A→D＋A→A1)．
[思路探索] 利用空间向量加减法运算的平行四边形法则和三
角形法则化简表达式，并给出合理的标注．
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解 (1)A→B＋B→C＝A→C. (2)A→B＋A→D＋A→A1＝A→B＋B→C＋C→C1＝A→C1. (3)在线段 CC1 上取中点 M，则有C→M＝12C→C1， 则有：A→B＋A→D＋12C→C1＝A→B＋B→C＋C→M＝A→M. (4)由(2)知13(A→B＋A→D＋A→A1)＝13A→C1，在线段 AC1 上取点 G，使 得 AG＝13AC1，即：13(A→B＋A→D＋A→A1)＝A→G.
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名师点睛 1．空间向量的加减法与平面向量的加减法完全相同．在化简向 量表达式时，要结合空间图形，分析各个向量在图形中的表示， 把空间向量转化为平面向量，并化到最简为止． 2．封口多边形法则：A→1A2＋A→2A3＋A→3A4＋…＋An－1An＝A→1An.因 此，在解决空间向量加、减运算问题时，可以通过平移将它们 转化为首尾相接的向量的和来解决．
对应的 向量
→ OC
就是 a 与 b 的和，记作
a＋b
．
2．空间向量的减法
a 与 b 的差定义为 a＋(－b) ，记作 a－b ，其中－b 是 b 的相
反向量．
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3．空间向量加减法的运算律 (1)结合律：(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) ． (2)交换律：a＋b＝ b＋a ． 4．数乘的定义 空间向量 a 与实数 λ 的乘积是一个 向量 ，记λ作a ． (1)|λa|＝ |λ||a| ． (2)当λ>0 时，λa 与 a 方向相同；当λ<0 时，λa 与 a 方向相反； 当λ＝0 时，λa＝0.
§2 空间向量的运算
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【课标要求】
1．掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间
向量及其运算的意义．
2．掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线向量定理．
3．掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律．
4．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中
：(1)类比平面向量，你能说出 a·b 的几何意义吗？ 提示 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影
|b|·cos θ的乘积．
(2) ＜a，b＞与 ＜b，a＞的关系是怎样的？ ＜a，b＞ 与 ＜a，－b＞ 的关系呢？
提示 ＜a，b＞ ＝ ＜b，a＞ ， ＜a，－b＞ ＝π－ ＜a，b＞
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(3)交换律：λa＝ aλ(λ∈R) ．
(4)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ．
(λ＋μ)a＝ λa＋μa(λ∈R，μ∈R)
．
(5)结合律：(λμ)a＝ λ(μa)(λ∈R，μ∈R)
．
5．空间两个向量 a 与 b(b≠0)共线的充分必要条件是存在实数
λ，使得a＝λb 或者b＝λa ．