第二章实数 (四)——最简二次根式
八年级上册数学第二章
C.3个
D.4个
2. （2020赤峰）估计 A. 4和5之间
的值应该在( A ) B. 5和6之间
C. 6和7之间
D.7和8之间
3. 3的相反数是（ A ）
A.-3
B.3
C.
D.±3
4. （2020北京）实数a在数轴上的对应点的位置如图Z2-1，若实
数b满足-a＜b＜a，则b的值可以是( B )
A. 2
知识导航
无理数 概念：无限不循环小数
算术平方根
实
定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即
数 平方根 x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根.
规定：0的算术平方根是0.
表示方法：正数a的算术平方根表示为 读作
“根号a”
续表
平方根 定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2 = a，那么这个 数叫做a 的平方根（二次方根）. 平 性质: 实 方 ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 数 根 ②0只有一个平方根，它是0本身； ③负数没有平方根
第二章 实数
单元复习课 本章知识梳理
目录
01 课标要求 02 知识导航
课标要求
1. 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的 平方根、算术平方根、立方根. 2. 了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平 方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和 立方根. 3. 了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应. 能求实数的相反数与绝对值.
B. -1
C. -2
D.-3
5. 如图Z2-2所示为洪涛同学的小测验卷，他的得分应是
___1_0_0____分.
姓名___洪涛___
北师大版八年级数学上册第二章 二次根式的计算
18
解：(1)
＝
3
(3)
1
35÷
3
15；
18
＝
6.
3
32
32
(2)
＝
＝
4＝2.
8
8
1
3
16 5
(3) 35÷ 15＝
5 ×8＝ 2.
3 ab3 3
(4)
2＝
2 ab 2
ab3 3
ab2＝2 b.
3 ab3
(4)
.
2 ab2
题型二
二次根式的加减
5 2
例 2：计算 8＋ 18的结果是________．
1
－ 2
变式 1：计算 8－6
的结果是__________．
2
变式 2：计算：(1)( 3＋ 2)－ 2； (2)2 3＋3 2－5 3－3 2；
(3)( 8＋ 12)－(2 3－ 2)．
解：(1)原式＝ 3＋ 2－ 2＝ 3.
(2)原式＝(2 3－5 3)＋(3 2－3 2)＝－3 3.
(3)原式＝(2 2＋2 3)－(2 3－ 2)＝2 2＋2 3－2
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提疑惑：你有什么疑惑？
知识点1：二次根式的乘除(重点)
1．乘法法则： a· b＝ ab
(a≥0，b≥0)，即两个二次根式相乘，
根指数不变，只把被开方数相乘．
注意：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要
注意：公式中a，b都必须是非负数；
(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
8＋ 18
8
18
(5)
＝ ＋＝ 4＋ 9＝2＋源自＝5222
问题1：你能直接写出下列式子的结果吗？
最简二次根式与同类二次根式
最简二次根式与同类二次根式
《最简二次根式与同类二次根式》
在数学中，二次根式是一种特殊的代数表达式，通常在形式上为一个数和一个根号的乘积。
在二次根式中，有两种特别重要的概念，分别是最简二次根式和同类二次根式。
首先来看最简二次根式。
最简二次根式指的是不能再约分根号内部的数的二次根式，也就是说，根号内的数不能再被开方，且在根号外的系数最小化。
例如，√2和√3就是最简二次根式，因
为它们的根号内部的数不能再被开方，且在根号外的系数也是最小的。
接下来是同类二次根式。
同类二次根式指的是二次根式中根号内部的数相同，根号外的系数也相同的二次根式。
例如，√2和2√2就是同类二次根式，因为它们的根号内部的数都是2，根号
外的系数也都是1。
最简二次根式和同类二次根式在化简和运算中都有其特殊的用途。
化简最简二次根式可以使得计算更加简便，而同类二次根式在加减乘除的运算中也有特定的规则。
总之，最简二次根式和同类二次根式是二次根式中的两个重要概念，它们在数学中有着广泛的应用和重要的意义。
通过对这两个概念的深入理解，我们可以更好地应用二次根式进行化简和运算。
最简二次根式的定义。
最简二次根式的定义。
全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最简二次根式是数学中的一个重要概念，指的是含有二次根号并不能再简化的根式。
在代数学中，我们常常遇到二次根式，因此了解最简二次根式的定义和特点对我们的数学学习至关重要。
我们来解释一下什么是根式。
根式是含有根号的代数式，常见的根式有平方根和其他次方根。
最简二次根式指的是含有二次根号，并且不能再进行约分或者整理的根式。
最简二次根式的一般形式为：a√b，其中a和b为任意实数，且b为正整数，b的开方不能约分。
√6和5√7都是最简二次根式。
最简二次根式的主要特点是不能再进行进一步的化简。
这是因为二次根号下面所包含的数不是一个完全平方数，无法被开方后得到一个整数，也就无法约分或者化简。
如果一个二次根式中所包含的数是一个完全平方数，那么我们可以进行化简，将根号内的数开方，得到一个整数，这样就无法再简化成最简二次根式了。
最简二次根式在数学中的应用非常广泛，特别是在代数方程的求解过程中。
当我们遇到含有二次根式的方程时，我们通常会将其化简成最简二次根式的形式，便于进行进一步的运算和求解，这样就可以简化计算的步骤和难度。
最简二次根式是含有二次根号并且不能再进行化简的根式。
它在数学中有着重要的应用，特别是在代数方程的求解和计算过程中。
了解最简二次根式的定义和特点可以帮助我们更好地理解和运用代数知识，提高数学学习的效果。
希望通过本文的介绍，读者能够对最简二次根式有更深入的理解，从而更好地掌握数学知识。
第二篇示例：二次根式，又称为根式，是数学中常见的一种形式。
在代数学中，根是多项式方程的一个解，而二次根式具体来说是指其中的二次根。
举例来说，像√2、√3这样的数就是二次根式。
在二次根式中，有两个重要的概念：最简二次根式和非最简二次根式。
这篇文章将会着重介绍最简二次根式的定义及相关知识。
最简二次根式是指二次根式中化简后的形式。
在进行化简时，需要将根号内的数进行简化，使得根号内不含完全平方数。
河北省邯郸市肥乡县八年级数学上册第二章实数复习教案新版北师大版
第二章这章我们已经学完，让我们复习这一单元的知识。
课导入第二章《实数》知识点梳理及题型解析一、知识归纳（一）平方根与开平方课1.平方根的含义aa的平方根。
，那么这个数就叫做如果一个数的平方等于2ax a?x，即的平方根。
叫做程2.平方根的性质与表示aa?a?a也称为算术平方根，的平方根用表示，⑴表示：正数叫做正平方根，讲a的负平方根。
叫做授a?（根指数2⑵一个正数有两个平方根：省略）00?，记作，负数没有平方根00有一个平方根，为平方与开平方互为逆运算⑶a的平方根的运算。
开平方：求一个数 1立方根的性质2.任何实数都有唯一确定的立方根。
正数的立方根是一个正数。
负数的立方根是一. 立方根是０个负数。
０的开立方与立方3.开立方：求一个数的立方根的运算。
??333333aa?a??a?a?a a取任何数）（这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
*０的平方根和立方根都是０本身。
n（三）推广：次方根naann１次方根。
，这个数就叫做次方（. 如果一个数的是大于１的整数）等于的22. 实数和数轴上的点的对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．实数和数轴上的点一一对应，即数轴上的每一个点都可以表示一个实数．2的画法：画边长为1的正方形的对角线在数轴上表示无理数通常有两种情况：2①尺规可作的无理数，如……②尺规不可作的无理数，只能近似地表示，如π，1.010010001 思考：2a一定是正数吗？）－一定是负数吗？－a （1是一个无理数，那么（2）大家都知道－1在哪两个整数之间？15，则ba= , b= 。
小数部分为）（3的整数部分为a, ）判（4断下面的语句对不对？并说明判断的理由。
①无限小数都是无理数； 333一、平方法：比较的大小和22332和的大小二、根号法：比较1?5的大小和三、求差法：比较12 4.实数的三个非负性及性质数范围内，正数和零统称为非负数。
(1)在实(2)非负数有三种形式0；①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥a2②任何一个实数a的平方是非负数，即；≥0 ③任何非负数的算术平方根是非负数，即0?a）非负数具有以下性质3（①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数；0 ，则每个非负数都等于③几个非负数之和等于0二、题型解析、有关概念的识别题型一.，其中，无理数，，，3π1.010010001下面几个数：例1. ，…，1.23）的个数有（4 D、3 C 、 1 A、 B2 、】下列说法中正确的是（【变式1 ） B3 的平方根是±A、、的立方根是±114、是5的平方根的相反数=C、±1 D题型二、计算类型题），则下列结论正确的是（例2.设 B. A.D.C..计算：例3 4.例先化简，再求值：b111?51?5，b=．，其中a=??)(ab?ba?ba22a33b31?1?2a互为相反数，求的值。
最简二次根式的定义。
最简二次根式的定义。
全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最简二次根式是指根号下面的被开方数为正数，且不能再约简的二次根式。
它是代数学中一个非常重要的概念，常常出现在高中数学的教学内容中。
二次根式在数学中的引入，是为了解决方程x^2=a 中的数a 是不是负数时的问题。
在实数范围内，如果a 大于等于0，那么方程x^2=a 有两个不同的实根；如果a 小于0，那么方程就没有实数根了。
为了能够对所有的实数进行开平方运算，数学家就引入了二次根式的概念。
最简二次根式就是在二次根式中的一种特殊形式，它只包含一个根号和一个不可约的正整数。
也就是说，如果一个二次根式不能再约简，那么它就是最简二次根式。
最简二次根式的一般形式为\sqrt{n} ，其中n 是一个正整数，且n 不含有平方因子，即n 的素因数分解中没有一个数出现了两次及以上。
举例来说，\sqrt{2} 、\sqrt{3} 、\sqrt{5} 都是最简二次根式，因为它们没有共同的公因数，无法再约简；而\sqrt{4} 、\sqrt{6} 、\sqrt{8} 就不是最简二次根式，因为它们的因数中有平方因子。
最简二次根式在数学中的运算和化简中有着很重要的作用。
在代数中，我们常常需要对二次根式进行加减乘除等运算，而如果能够将二次根式化为最简形式，就可以简化运算过程，减少出错的可能性。
最简二次根式的化简规则是：提取出平方因数后，就无法再继续简化了。
对于\sqrt{4m^2} ，我们可以提取出m，得到m\times \sqrt{4} = 2m ，但不能再将其简化。
最简二次根式在数学中的应用非常广泛，不仅在代数中常见，也会在几何、物理等领域中不断出现。
掌握好最简二次根式的定义和化简方法，可以帮助我们更好地理解数学知识，提高解题的速度和准确性。
在学习最简二次根式的过程中，我们还需要注意以下几点：要能够区分最简二次根式和一般的二次根式；要掌握最简二次根式的化简规则；要多做练习，加深对最简二次根式的理解和运用能力。
最简二次根式的定义。
最简二次根式的定义。
最简二次根式是一种特殊的数学表达形式，它可以表示为一个数的平方根乘以一个常数。
这种形式简洁明了，便于计算和理解。
下面，我将通过一个小故事来说明最简二次根式的定义。
从前有一个叫小明的小孩，他非常喜欢数学。
有一天，他在课堂上学到了最简二次根式的定义。
他觉得这个概念非常有趣，于是决定用一个故事来解释它。
小明想象自己是一颗种子，他被种在了一片美丽的花园里。
花园里有各种各样的花朵，有红的、黄的、蓝的，还有紫的。
小明非常喜欢这些花朵，他想要把它们种植在自己的花园里。
于是，小明开始仔细观察每一朵花的特点。
他发现，每一朵花的花瓣数量都是一个平方数。
比如，有的花有4片花瓣，有的花有9片花瓣，还有的花有16片花瓣。
小明觉得这非常有趣，于是他开始思考如何用最简二次根式来表示这些花瓣数量。
小明想了很久，终于找到了一个规律。
他发现，每一朵花的花瓣数量可以表示为一个数的平方根乘以一个常数。
比如，有4片花瓣的花可以表示为2乘以根号2，有9片花瓣的花可以表示为3乘以根号3，有16片花瓣的花可以表示为4乘以根号4。
小明非常高兴地告诉他的朋友们这个有趣的发现。
他们也都被小明的观察和思考所打动，纷纷开始在花园里寻找平方根和常数的关系。
通过这个故事，我们可以看出最简二次根式的定义是如何应用在现实生活中的。
它不仅仅是一种数学概念，更是一种思维方式和观察力的培养。
这种简洁明了的表达形式，使我们能够更好地理解和计算各种数学问题，同时也增加了我们对数学的兴趣和热爱。
希望这个故事能够帮助大家更好地理解最简二次根式的定义，同时也能够激发大家对数学的兴趣和热爱。
让我们一起在数学的花园里探索和发现更多的美丽与奇迹吧！。
最简二次根式的定义。-概述说明以及解释
最简二次根式的定义。
-概述说明以及解释1.引言1.1 概述最简二次根式是数学中一个重要的概念，它在代数与数论的研究中有着广泛的应用。
简单来说，最简二次根式是指一个形如√a的根式表达式，其中a是一个自然数。
最简二次根式可以被表示为有理数的平方根，并且在根号下的数a是一个最简分数。
最简二次根式在数学中扮演着重要的角色，它们广泛应用于各个领域，包括几何、代数、物理等。
在几何中，最简二次根式可以用来表示一些特殊的长度或比例关系。
而在代数中，最简二次根式的性质与运算规则可以帮助我们进行各种复杂的数学计算。
为了更好地理解最简二次根式的定义，我们需要了解一些相关概念，如根式、有理数和最简分数。
根式是指一个形如√a的表达式，其中a可以是任何实数。
有理数是可以写成m/n的数，其中m和n都是整数，且n不能为零。
最简分数是指一个分数，其分子和分母没有公因数，即它不能被更小的整数表示。
通过对最简二次根式的深入研究，我们可以发现它们具有一些独特的性质。
例如，最简二次根式的和、差、积和商仍然是最简二次根式。
这些性质为我们解决一些复杂的问题提供了便利。
在本文的后续部分中，我们将进一步探讨最简二次根式的性质和应用。
首先，我们将介绍最简二次根式的定义和相关概念。
接着，我们将详细讨论最简二次根式的特性和运算规则。
最后，我们将总结本文的主要内容，并展望最简二次根式在未来研究中的应用前景。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分介绍了整篇文章的组织结构和各部分的内容概述，帮助读者更好地理解文章的整体架构和各个部分的作用。
文章结构部分一般包括以下内容：1. 引言部分：简要介绍文章的主题和研究背景，概述文章的目的和意义。
引言部分可以用几句话引起读者的兴趣和关注，概述研究领域中的问题和现状。
2. 正文部分：根据文章大纲中的各个要点进行展开。
每个要点可以单独成为一个小节，在正文中进行详细的叙述和论证。
正文部分应该清晰地叙述问题、提出观点、列举例证，论述论据等。