最新离散数学习题三 含答案
离散数学试题及答案
离散数学试题及答案一、选择题1. 在集合论中，下列哪个选项表示两个集合A和B的并集？A. A ∩ BB. A ∪ BC. A - BD. A × B答案：B2. 命题逻辑中，下列哪个符号表示逻辑非？A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：C3. 在有向图中，如果存在一条从顶点u到顶点v的路径，那么称顶点v为顶点u的：A. 祖先B. 后代C. 邻居D. 连接点答案：B二、填空题1. 一个命题函数P(x)表示为“x是偶数”，那么其否定形式为________。
答案：x是奇数2. 在关系R上，如果对于所有的a和b，如果(a, b)∈R且(b, a)∈R，则称R为________。
答案：自反的三、简答题1. 简述什么是等价关系，并给出其三个基本性质。
答案：等价关系是一种特殊的二元关系，它满足自反性、对称性和传递性。
自反性指每个元素都与自身相关；对称性指如果a与b相关，则b也与a相关；传递性指如果a与b相关，b与c相关，则a与c也相关。
2. 解释什么是图的连通分量，并给出如何判断一个图是否是连通图。
答案：连通分量是指图中最大的连通子图，即图中任意两个顶点之间都存在路径。
判断一个图是否是连通图，可以通过深度优先搜索或广度优先搜索算法遍历整个图，如果所有顶点都被访问，则图是连通的。
四、计算题1. 给定命题公式P：((p → q) ∧ (r → ¬p)) → (q ∨ ¬r)，证明P是一个重言式。
答案：通过使用命题逻辑的等价规则和真值表，可以证明P在所有可能的p, q, r的真值组合下都为真，因此P是一个重言式。
2. 给定一个有向图G，顶点集合V(G)={1, 2, 3, 4}，边集合E(G)={(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1), (2, 4)}。
找出所有强连通分量。
答案：通过Kosaraju算法或Tarjan算法，可以找到图G的强连通分量，结果为{1, 4}和{2, 3}。
(完整版)离散数学课后习题答案(第三章)
a t a t i m e an dA l lt h i ng si nt h ei r be i ng ar eg oo df o r so me t hi n 3-5.1 列出所有从X={a,b,c}到Y={s}的关系。
解：Z 1={<a,s>}Z 2={<b,s>} Z 3={<c,s>}Z 4={<a,s>,<b,s>} Z 5={<a,s>,<c,s>} Z 6={<b,s>,<c,s>}Z 7={<a,s>,<b,s>,<c,s>}3-5.2 在一个有n 个元素的集合上，可以有多少种不同的关系。
解 因为在X 中的任何二元关系都是X ×X 的子集，而X ×X=X 2中共有n 2个元素，取0个到n 2个元素，共可组成22n 个子集，即22|)(|n X X =⨯℘。
3-5.3 设A ＝{6：00，6：30,7：30，…, 9：30,10：30}表示在晚上每隔半小时的九个时刻的集合，设B={3,12,15,17}表示本地四个电视频道的集合,设R 1和R 2是从A 到B 的两个二元关系，对于二无关系R 1，R 2，R 1∪R 2，R 1∩R 2，R 1⊕R 2和R 1-R 2可分别得出怎样的解释。
解：A ×B 表示在晚上九个时刻和四个电视频道所组成的电视节目表。
R 1和R 2分别是A ×B 的两个子集，例如R 1表示音乐节目播出的时间表，R 2是戏曲节日的播出时间表，则R 1∪R 2表示音乐或戏曲节目的播出时间表，R 1∩R 2表示音乐和戏曲一起播出的时间表，R 1⊕R 2表示音乐节目表以及戏曲节目表，但不是音乐和戏曲一起的节日表，R 1-R 2表示不是戏曲时间的音乐节目时间麦。
3-5.4 设L 表示关系“小于或等于”，D 表示‘整除”关系,L 和D 刀均定义于解：L={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,3>,<2,6>, <3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>}D={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>} L ∩D={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>}3-5.5对下列每一式，给出A 上的二元关系，试给出关系图：a){<x,y>|0≤x ∧y ≤3}，这里A={1,2,3,4}；b){<x,y>|2≤x,y ≤7且x 除尽y ,这里A ＝{n|n ∈N ∧n ≤10}c) {<x,y>|0≤x-y<3}，这里A={0,1,2,3,4}；d){<x,y>|x,y 是互质的}，这里A={2,3,4,5,6}解：a) R={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>, <1,0>,<1,1>,<1,2>,<1,3>, <2,0>,<2,1>,<2,2>,<2,3>, <3,0>,<3,1>,<3,2>,<3,3>,} 其关系图b) R={<2,0>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,0>,<3,3>,<3,6>, <4,0>,<4,4>, <5,0>,<5,5>,i m e an dA l lt h in gs in th ei r be i ng ar eg oo df o rsa）若R1和R2是自反的，则R1○R2也是自反的；b）若R1和R2是反自反的，则R1○R2也是反自反的；c）若R1和R2是对称的，则R1○R2也是对称的；d）若R1和R2是传递的，则R1○R2也是传递的。
离散数学习题答案.docx
精品文档离散数学习题答案习题一及答案：（ P14-15 ）14、将下列命题符号化：（ 5）李辛与李末是兄弟解：设 p：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（ 6）王强与刘威都学过法语解：设 p：王强学过法语； q：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q （ 9）只有天下大雨，他才乘班车上班解：设 p：天下大雨； q：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p（ 11）下雪路滑，他迟到了解：设 p：下雪； q：路滑； r ：他迟到了；则命题符号化的结果是( p q)r15、设 p： 2+3=5.q：大熊猫产在中国 .r：太阳从西方升起 .求下列复合命题的真值：（ 4）(p q r )(( p q)r )解： p=1， q=1，r=0 ，(p q r )(110)1，((p q)r )((11)0)(00)1(p q r )(( p q)r ) 1 1119、用真值表判断下列公式的类型：（ 2）( p p)q解：列出公式的真值表，如下所示：p q p qp) ( p p)q( p001111011010100101110001由真值表可以看出公式有 3 个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值：精品文档（ 4）( p q)q解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：( p q)1p0q0q0所以公式的成真赋值有： 01，10， 11。
习题二及答案：（ P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（ 2）(p q) (q r )解：原式( p q) q r q r( p p) q r( p q r ) ( p q r )m3m7，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011， 111。
6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（ 2）( p q) ( p r )解：原式( pp r ) ( p q r )( p q r )M 4，此即公式的主合取范式，所以成假赋值为 100。
《离散数学》试题带答案(三)
《离散数学》试题带答案试卷十四试题与答案一、 填空 10% （每小题 2分）1、 设>-∧∨<,,,A 是由有限布尔格≤><,A 诱导的代数系统，S 是布尔格≤><,A ，中所有原子的集合，则>-∧∨<,,,A ～ 。
2、 集合S={α，β，γ，δ}上的二元运算*为那么，代数系统<S, *>中的幺元是 , α的逆元是 。
3、 设I 是整数集合，Z 3是由模3的同余类组成的同余类集，在Z 3上定义+3如下：]3m od )[(][][3j i j i +=+，则+3的运算表为 ；<Z +,+3>是否构成群 。
4、 设G 是n 阶完全图，则G 的边数m= 。
5、 如果有一台计算机，它有一条加法指令，可计算四数的和。
现有28个数需要计算和，它至少要执行 次这个加法指令。
二、 选择 20% （每小题 2分）1、 在有理数集Q 上定义的二元运算*，Q y x ∈∀,有xy y x y x -+=*，则Q 中满足（ ）。
A 、 所有元素都有逆元；B 、只有唯一逆元；C 、1,≠∈∀x Q x 时有逆元1-x ； D 、所有元素都无逆元。
2、 设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >是（ ）。
A 、 半群，但不是独异点；B 、只是独异点，但不是群；C 、群；D 、环，但不是群。
3、图 给出一个格L ，则L 是（ ）。
A 、分配格；B 、有补格；C 、布尔格；D 、 A,B,C 都不对。
3、 有向图D=<V , E>，则41v v 到长度为2的通路有（ ）条。
A 、0；B 、1；C 、2；D 、3 。
4、 在Peterson 图中，至少填加（ ）条边才能构成Euler图。
A 、1；B 、2；C 、4；D 、5 。
三、 判断 10% （每小题 2分）1、 在代数系统<A,*>中如果元素A a ∈的左逆元1-e a 存在，则它一定唯一且11--=e a a 。
(完整版)离散数学习题答案
离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p （6）王强与刘威都学过法语解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q∧（9）只有天下大雨，他才乘班车上班解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p →（11）下雪路滑，他迟到了解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r∧→15、设p ：2+3=5. q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→解：p=1，q=1，r=0，，()(110)1p q r ∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔(())((11)0)(00)1p q r ⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔()(())111p q r p q r ∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔19、用真值表判断下列公式的类型：（2）()p p q→⌝→⌝解：列出公式的真值表，如下所示：p qp⌝q⌝()p p →⌝()p p q→⌝→⌝001111011010100101110001由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值：（4）()p q q⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒0p q ⇔⎧⎨⇔⎩所以公式的成真赋值有：01，10，11。
习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧，此即公式的主析取范式，()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式，此即公式的主合取范式，()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔所以成假赋值为100。
最新离散数学试题及答案
最新离散数学试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B=（）A. {1,2,3}B. {2,3}C. {1,2,4}D. {1,4}2. 若一个命题的逆命题为真，则原命题（）A. 一定为真B. 一定为假C. 不能确定真假D. 以上都不对3. 函数f(x)=x^2的值域是（）A. {x|x≥0}B. {x|x≤0}C. {x|x>0}D. {x|x<0}4. 以下哪个选项是二元运算？（）A. 求最大公约数B. 求和C. 求平均数D. 求差5. 以下哪个选项是等价命题？（）A. p∧q和p∨qB. p∧q和¬p∨¬qC. p∨q和¬p∧¬qD. p∧¬q和¬p∨q6. 以下哪个选项是逻辑运算中的合取？（）A. ANDB. ORC. NOTD. XOR7. 以下哪个选项是逻辑运算中的析取？（）A. ANDB. ORC. NOTD. XOR8. 在图论中，一个有向图的入度是指（）A. 指向该顶点的边的数量B. 从该顶点出发的边的数量C. 与该顶点相连的边的数量D. 以上都不对9. 以下哪个选项是图的连通性的定义？（）A. 图中任意两个顶点间都有路径相连B. 图中任意两个顶点间都有边相连C. 图中任意两个顶点间都有弧相连D. 图中任意两个顶点间都有回路相连10. 在组合数学中，排列数的计算公式为（）A. P(n,r)=n!/(n-r)!B. P(n,r)=n!/(n-r)!(n-r)!C. P(n,r)=n!/(n-r)!D. P(n,r)=n!/(n-r)!二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个集合的基数是指该集合中元素的____。
2. 若命题p和命题q互为逆否命题，则p和q是____命题。
3. 函数f(x)=x^3的反函数是f^-1(x)=____。
4. 在图论中，一个无向图的度是指与该顶点相连的边的____。
最新离散数学试题及答案
最新离散数学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在离散数学中，以下哪个不是命题逻辑的基本联结词？A. 与（∧）B. 或（∨）C. 非（¬）D. 模（%）答案：D2. 以下哪个选项不是命题逻辑的真值表的正确形式？A. P | Q | P ∧ QB. P | Q | P ∨ QC. P | Q | P → QD. P | Q | P ↔ Q答案：B3. 集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求A∪B的结果。
A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 2, 3, 4}D. {4}答案：C4. 以下哪个是等价关系的属性？A. 自反性B. 对称性C. 传递性D. 所有选项都是答案：D5. 以下哪个是图论中的基本概念？A. 顶点B. 边C. 路径D. 所有选项都是答案：D6. 在有向图中，如果存在一条从顶点u到顶点v的有向路径，那么称v为u的后继。
以下哪个选项不是后继的定义？A. 存在一条从u到v的有向路径B. 存在一条从v到u的有向路径C. 存在一条从u到v的有向简单路径D. 存在一条从v到u的有向简单路径答案：B7. 以下哪个是二元关系R的自反性的定义？A. 对于所有a，(a, a) ∈ RB. 对于所有a，(a, a) ∉ RC. 对于所有a和b，如果(a, b) ∈ R，则(b, a) ∈ RD. 对于所有a和b，如果(a, b) ∈ R，则(a, a) ∈ R答案：A8. 在命题逻辑中，以下哪个是德摩根定律的表达式？A. ¬(P ∧ Q) ↔¬P ∨ ¬QB. ¬(P ∨ Q) ↔¬P ∧ ¬QC. P ∧ Q ↔¬P ∨ ¬QD. P ∨ Q ↔¬P ∧ ¬Q答案：B9. 以下哪个是集合的幂集？A. 包含集合本身的所有子集的集合B. 包含集合本身的所有超集的集合C. 包含集合本身的所有真子集的集合D. 包含集合本身的所有非空子集的集合答案：A10. 在图论中，以下哪个是强连通性的图？A. 任意两个顶点之间都存在有向路径B. 任意两个顶点之间都存在无向路径C. 任意两个顶点之间都存在有向简单路径D. 任意两个顶点之间都存在无向简单路径答案：C二、填空题（每空1分，共10分）11. 命题逻辑中的“与”操作可以用符号________表示。
离散数学考试题及答案
离散数学考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不是离散数学的研究对象？A. 图论B. 组合数学C. 微积分D. 逻辑学答案：C2. 在逻辑学中，下列哪个命题是真命题？A. 如果今天是周一，那么明天是周二。
B. 如果今天是周一，那么明天是周三。
C. 如果今天是周一，那么明天是周四。
D. 如果今天是周一，那么明天是周五。
答案：A3. 在集合论中，下列哪个符号表示集合的并集？A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案：B4. 在图论中，下列哪个术语描述的是图中的顶点集合？A. 边B. 路径C. 子图D. 顶点答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果一个集合A包含5个元素，那么它的子集个数是______。
答案：322. 在逻辑学中，如果命题P和命题Q都是真命题，那么复合命题“P且Q”的真值是______。
答案：真3. 在图论中，如果一个图的顶点数为n，那么它的最大边数是______。
答案：n(n-1)/24. 如果一个二叉树的深度为3，那么它最多包含______个节点。
答案：7三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的连通性，并给出一个例子。
答案：图的连通性是指在图中任意两个顶点之间都存在一条路径。
例如，在一个完全图K3中，任意两个顶点之间都可以通过一条边直接连接，因此它是连通的。
2. 解释什么是逻辑蕴含，并给出一个例子。
答案：逻辑蕴含是指如果一个命题P为真，则另一个命题Q也必须为真。
例如，命题P：“如果今天是周一”，命题Q：“明天是周二”。
如果今天是周一，那么根据逻辑蕴含，明天必须是周二。
3. 请描述什么是二叉搜索树，并给出它的一个性质。
答案：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，其中每个节点的左子树只包含小于当前节点的数，右子树只包含大于当前节点的数。
它的一个性质是中序遍历可以得到一个有序序列。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个集合A={1, 2, 3, 4, 5}，请计算它的幂集，并列出所有元素。
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离散数学习题三
11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
前提：p
∨
p→
⌝
,
⌝
∨
s
,
r
r
q
q,
结论：s
证明：①p 前提引入
②q
⌝p前提引入
∨
③q （①②析取三段论）
④r
⌝前提引入
q∨
⑤r （③④析取三段论）
⑥s
r→前提引入
⑦s （⑤⑥假言推理）
12、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
前提：s)
→
→
p→
→
(r
q
r),
(q
结论：s
∧
(p→
q)
证明：①q)
(p∧（附加前提）
②p （①化简规则）
③q （①化简规则）
④r)
→前提引入
p→
(q
⑤r
q→（②④假言推理）
⑥r （③⑤假言推理）
⑦s)
→前提引入
(r
q→
⑧s)
(r→（③⑦假言推理）
⑨s （⑥⑧假言推理）
13、前提：s
∧
⌝
∨
→
q)
r,q
p(→
p
q,
结论1：r
结论2：s
结论3：s
r
∨
（1）证明从此前提出发，推出结论1，结论2，结论3的推理都是正确的。
（2）证明从此前提出发，推任何结论的推理都是正确的。
证明：（1）①r
((→
∨
→
⌝
→
∧
∨
∨
s))
p(
q)
r(
q)
(p
q)
∧
⌝
∧
⌝
∨
∨
⌝
⇔
⌝
∨
⌝
∨
q)
r(
s))
r
1
q)
p
((⇔
p
q)
(
∨
②s
∨
→
∨
→
⌝
((→
∨
∧
s))
p(
q)
r(
q)
q)
(p
∧
⌝
⌝
∨
∨
∧
⌝
⌝
⇔
∨
∨
⌝
q)
r(
q)
∨
s
1
p
s))
p
(
q)
((⇔
③s)
∨
∨
→
∨
⌝r
→
→
∧
(p
q)
s))
((∨
(
r(
q)
q)
p(
⌝
∧
∨
∧
⌝
⌝
⌝
⇔r
∨
∨
⌝
∨
∨
r(
q)
∨
s
1
p
s))
((⇔
p
q)
(
q)
即结论1，结论2，结论3的推理都是正确的。
（2）s)
∨
∧
∧
∧
→
(→
⌝
r(
p(
(p
q)
q)
q)
∧
⇔
∨
⌝
∧
⌝
∨
∧
∧
∧
⌝
⌝
⇔
∨
⌝
∨
∧
∧
(∨
(p
q)
p(
q)
(
s)
r
s)
q
r
p
(
q)
q)
(
q)
(p
∨
⌝
∧
0⇔
⇔
∨
∧
s)
(p
r
(
q)
即推任何结论的推理都是正确的。
14、在自然推理系统P中构造下面推理的证明：
（1）前提：q
→
→
p，
p,
r)
(q
结论：s
r→
证明：①r)
→前提引入
(q
p→
②p 前提引入
③r)
(q→①②假言推理
④q 前提引入
⑤r③④假言推理
⑥s
r→⑤附加律
15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面的推理：
前提：q
→
→s
，
p→
(q
p,
r)
结论：r
s→
证明：
①s 附加前提引入
②p
s前提引入
→
③p①②假言推理
④r)
→前提引入
p→
(q
⑤r
q→③④假言推理
⑥q 前提引入
⑦r ⑤⑥假言推理
即根据附加前提证明法，推理正确。
16、在自然推理系统P中用归谬法证明下面的推理：
前提：s
→
q
p→
∨，
q
r,
q
结论：s
r∨
证明：
①s)
⌝结论否定引入
(r∨
②q
p前提引入
∨
③r
q→前提引入
④s
q→前提引入
⑤s
r∨②③④构造性二难
⑥s)
∨
⌝①⑤合取
∧
s)
(r∨
(r
因为⑥为矛盾式即推理正确
17、在自然推理系统P中构造下面推理的证明：
只要A曾到过受害者房间并且11点以前没离开，A就是谋杀嫌犯。
A曾到过受害者房间，如果A在11点以前离开，看门人会看见他。
看门人没有看见他。
所以，A是谋杀嫌犯。
答：令p: A到过受害者房间q: A在11点以前离开
r: A是谋杀嫌犯s: 看门人看见过A
前提：s
→
∧q
(p⌝
⌝
→
)
q
s,
p,
r,
结论：r
证明：①s
q→前提引入
②s
⌝前提引入
③q
⌝①②拒取式
④p 前提引入
⑤q
p③④合取
∧
⌝
⑥r
⌝
∧q前提引入
(p→
)
⑦r ⑤⑥假言推理
1114490009
张梦婷
二年级句子排序练习
1.排列句子，整理成一段通顺的话。
（）吃在嘴里，又香又甜。
（）它的形状是弯弯的，像个小月牙。
（）剥开果皮，露出了白色的果肉。
（）香蕉是我最喜爱吃的水果。
（）果皮是淡果黄色的，还略带些小黑点。
2.排列句子成一段通顺的话
（）高年级同学收了花的种子，把花坛整理好，摆出了一盆盆菊花。
（）菊花不怕冷，不和别的花争艳。
（）秋天一到，校园里的花都谢了。
（）我爱菊花。
（）菊花的颜色可真多呀！它们迎着秋天的阳光开放。
3.排列句子。
（）北风猛烈地吹着。
（）慢慢地，树变白了，房子变白了，马路也变白了。
（）雪花像鹅毛一样纷纷飘落下来。
４、排列句子
（）树枝上长出了嫩绿的叶子。
（）春天到了，同学们在种树。
（）再把树根埋好。
（）过了些时候，小树全活了。
（）他们先挖了坑。
（）然后浇上水。
5、（）肖邦从小就喜欢音乐，他六岁开始练习钢琴，八岁就举办演奏会了。
（）当时的人，都惊讶于他的音乐天赋，争着要为他出版呢。
（）肖邦是波兰的一位伟大的音乐家。
（）在他十五岁那年，就已经写成了第一首圆舞曲。
（）他出生在波兰的首都华沙，父亲是一位教师。
6．( )这样一快一慢，鱼鳞身上出现了一圈松（夏季）一圈紧（冬季）的痕迹。
( )鱼的生长跟气候有直接的关系。
( )于是，人们根据鱼的“生长圈”，计算出鱼的年龄。
( )秋冬季节，气温低，鱼儿长得慢。
( )有的科学家叫它“生长圈”。
( )春夏季节，气温高，鱼儿吃得多，长得快。
7．( )小溪的一边是果园。
春天，花香弥漫；秋天，硕果累累。
( )田野的尽头，连绵起伏的山峰犹如大海里起伏的波涛。
( )溪水是那么清澈、明净，水里的小鱼无忧无虑地游来游去。
( )山腰的公路，像一条银灰色的带子飘向远方。
( )一条小溪从我们村里流过。
( )小溪的另一边是田野。
如今沉甸甸的麦穗，正点着头报告丰收的喜讯。
8．( )我把钢笔交给老师。
( )我心里感到很高兴。
( )我在校门口拾到一支钢笔。