二项分布-修正版.pdf
二项分布课件
（1）全部成活的概率为
9 4 6561 P ( X 4) C ( ) 4 10 10
4 4
（2）全部死亡的概率为
9 4 1 P ( X 0) C（1 ） 4 10 10
0 4
小结
1.二项分布
（1）每次实验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“ 成
功” 和“ 失败” ； （2）每次实验“ 成功” 的概率均为p，“ 失败” 的概率 均为1-p；
n投k中呢？
姚明罚球一次，命中的概率是0.8
问题1：他在练习罚球时，投篮4次，全部投中的 概率是多少？ 问题2：他在练习罚球时，投篮4次，全部没有投中 的概率是多少？ 问题3：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中1次的
概率是多少？
问题4：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中2次的 概率是多少？
姚明罚球一次，命中的概率是0.8
问题1：他在练习罚球时，投篮4次，全部投中的 概率是多少？
分析： 令Ai
“ 第i次投中” （i 1， 2， 3， 4）
用X 表示4次投篮中投中的次数
P( X 4) P( A1 A2 A3 A4 )
P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 )
0.8 4
问题2：他在练习罚球时，投篮4次，全部没有投中 的概率是多少？
学生探究：已知诸葛亮贡献正确意见的概率为0.9,五位谋士贡献
正确意见的概率都为0.7， 每个人必须单独征求意见，符合独立重复 试验模型.由二项分布可求出谋士团体7 (1 0.7)
k 3 k
n k
则三个人得出正确结论的概率为：
3 P 1 P(X 0) 1 C0 0.3 1 0.027 0.973 3
第六章二项分布22
例6-7 为研究某职业人群颈椎病发病的性别 差异，今随机抽查了该职业人群男性120人和女性 110人，发现男性中有36人患有颈椎病，女性中有 22人患有颈椎病。试作统计推断。
H 0 : 1＝ 2 , H1 : 1 2 , 0.05, 双侧。
S( p1 p2 ) 36 22 36 22 1 1 (1 )( ) 0.0573 120 110 120 110 120 110
例6-1 某种药物治疗某种非传染性疾病的有效 率为0.70，无效率为0.30。今用该药治疗该疾病患 者10人，试分别计算这10人中有6人、7人、8人有 效的概率。
10! 6 10 6 P(6) 0.70 (1 0.70) 0.20012 6!(10 6)! 10! 7 10 7 P(7) 0.70 (1 0.70) 0.26683 7!(10 7)! 10! 8 10 8 P(8) 0.70 (1 0.70) 0.23347 8!(10 8)!
p 0 u 0 (1 0 ) / n
例6-6 已知某疾病采用常规治疗的治愈率约为45%。 现随机抽取180名该疾病患者改用新治疗方法进行治疗， 结果治愈117人。问新治疗方法是否比常规疗法效果好？ 本例应采用单侧检验。
0＝45％，p 117 / 180 65%。
H 0 : 0 0.45, H1 : 0 , 0.05。
P(X)
π=0.2、n=10时的二项分布
X
n=3, π=0.5 P(X)
X
n=0.3 ， π=0.5的二项分布
p
.3
p p
.4 .2 .3
.3
.2
n=30 n=20
二项分布
样本率与已知总体率的比较
例6.5 已知A药物治疗幽门螺旋杆菌感染的治愈 率为60%。现拟用B药物治疗。现用B药治疗幽门螺 旋杆菌感染患者10人，其中9人治愈。问B药治疗 幽门螺旋杆菌感染的治愈率是否不同于A药的治愈 率。
样本量较小，需要使用确切概率计算来 完成分析 显然，本次检验应当是双侧检验。
样本率与总体率的比较 prtesti 样本量 事件发生数 总体率，count
样本率与已知总体率的比较
假设检验(正态近似法) H0：新法和常规疗法治疗流行性出血热的病死率 相等， = 0 H1：新法和常规疗法治疗流行性出血热的病死率 不相等，即 ≠ 0 设=0.05 P 0 检验统计量为U
0 (1 0 ) / n
当H0成立时，统计量U近似服从标准正态分布。 即：若|U|>1.96 ，则拒绝H0。
n=20，=0.5
n＝5，=0.3
二项分布的基本特征
二项分布的名称由来是因为计算公式中含有二项 式的展开项 二项分布的均数和方差 μ=n 方差=n(1- ) n! n x x Pr(x) 1 n n 1 x!n x !
二项分布的基本特征
• 当 =0.5时，图形对称；当 ≠0.5时，图形呈偏态，但 随n的增大，图形逐渐对称。 因此，当n较大， 不太极端时，可以采用正态近似方法 计算概率分布规律（例如计算参考值范围）
n=10
=0.3
n=30
=0.3
样本率的抽样分布
对于大量重复随机抽样而言，样本率p围绕着总体 率附近随机波动，样本量n的值越大，这种波动的 幅度就越小。 当n充分大时，p的分布就近似于均数为，标准差 为sqrt( (1- )/n)的正态分布。 一般的标准是n和n(1- )均大于5，且n>40
06 二项分布
例：一条航线上共有10个航空站，问这条行线上 共有多少种不同的飞机票？ 起点 终点
2 p10 10 (10 1) 90种
3.全排列：从n个各不相同的东西中，任取n个 的排列，又称全配列数。
n pn n (n 1) n 2... 2 1 n!
例：有四幢大楼将分配给四个单位使用，分配原 则是每个单位只允许分配一幢，共有多少种分配方案。 单位：甲乙丙丁 大楼：ABCD
6! 5 ！ CC C 1 60 1!5! 2 ！ 3 ！
1 6 2 5 3 3
三、二项分布 （一）二项分布
二点分布：进行一次试验，试验的结果只有两类。 例：扔掷一枚硬币的结果：0正面 1反面 如果扔掷两枚硬币，或者说，一枚硬币扔掷两次， 讨论出现正面的次数： p ( 0) q 1.出现0次的概率 p ( 1) p 0 0 2 p( 0) q q C2 p q p q 1 2.出现1次的概率 1 1 1 p( 1) q p p q C2 pq 3.出现2次的概率
(2)至少有4名学生升学的概率是多少？ P(4 6)
5 6 C64 (0.7) 4 (0.3) 2 C6 (0.7)5 (0.3)1 C6 (0.7) 6 (0.3) 0
(3)至多有2名学生升学的概率是多少？ P(0 2)
0 1 C6 (0.7) 0 (0.3) 6 C6 (0.7)1 (0.3)5 C62 (0.7) 2 (0.3) 4
x 0
n
（二）二项分布的讨论 1、二项分布为离散型分布。当独立试验次数为n时， 二项分布共有n+1个取值。 2、n和p是二项分布的两个参数。q值永远等于1-p。因 此二项分布3个参数：n，p，q实际只要知道n和p两个参数 就够了。 3、二项分布的图形：当p=0.5时，是对称的。当p不等 于0.5时，是非对称的，而当n越大时非对称性越不明显。
第2章 2.4 二项分布
2.4 二项分布1．理解n 次独立重复试验的模型及二项分布．(重点) 2．能利用二项分布解决一些简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理 二项分布阅读教材P 63～P 64“例1”以上部分，完成下列问题． 1．n 次独立重复试验(1)定义：一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次试验中P (A )＝p >0.我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验．(2)概率计算：在n 次独立重复试验中，如果每次试验事件A 发生的概率均为p (0<p <1)，那么在这n 次试验中，事件A 恰好发生k 次的概率．P n (k )＝C k n p k qn －k，k ＝0,1,2，…，n . 2．二项分布若随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k qn －k ， 其中0＜p ＜1，p ＋q ＝1，k ＝0,1,2，…，n ，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作X ～B (n ，p )．1．独立重复试验满足的条件是________．(填序号) ①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生和不发生两种情况； ③每次试验中发生的机会是相同； ④每次试验发生的事件是互斥的．【解析】 由n 次独立重复试验的定义知①②③正确． 【答案】 ①②③2．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．【解析】 抛掷一枚硬币出现正面的概率为12，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为P ＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38.【答案】 383．已知随机变量X 服从二项分布，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，则P (X ＝2)等于________.【导学号：29440050】【解析】 P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝80243.【答案】 80243[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]每次射击是否击中目标之间没有影响，有下列结论：①他三次都击中目标的概率是0.93； ②他第三次击中目标的概率是0.9；③他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1； ④他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12.其中正确结论的序号是________(把正确结论的序号都填上)．(2)某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)： ①5次预报中恰有2次准确的概率； ②5次预报中至少有2次准确的概率；③5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．【精彩点拨】 先判断“射击手连续射击3次”能否看成，“一次射击”试验重复做了三次，同样，气象站5次预报准确与否也可看成是5次独立重复的试验，结合二项分布求概率．【自主解答】(1)三次射击是三次独立重复试验，故正确结论的序号是①②④.【答案】①②④(2)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P＝C25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.②“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝C05×(0.2)5＋C15×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01.所以所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99.所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.③说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．所以概率为P＝C14×0.8×0.23×0.8＝0.02 048≈0.02，所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.独立重复试验概率求法的三个步骤1．判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．2．分拆：判断所求事件是否需要分拆．3．计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．[再练一题]1．(1)甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为23，没有平局．若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为________．(2)在4次独立重复试验中，事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为________．【解析】 (1)“甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，并胜最后一局．即P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋C 12×23×13×23＝2027. (2)由题意知，C 04p 0(1－p )4＝1－6581，p ＝13. 【答案】 (1)2027 (2)135个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．【精彩点拨】 (1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值．再求η取各值的概率．【自主解答】 (1)ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，ξ的分布列为P (ξ＝k ) ＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k，k ＝0,1,2,3,4,5. (2)η的分布列为P (η＝k )＝P (前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·13，k＝0,1,2,3,4；P (η＝5)＝P (5个均为绿灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫235.故η的分布列为1．本例属于二项分布，当X 服从二项分布时，应弄清X ～B (n ，p )中的试验次数n 与成功概率p .2．解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．[再练一题]2．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为12，且各人的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．【解】 (1)设事件A 表示“甲选做14题”，事件B 表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB ＋A －B －”，且事件A ，B 相互独立．∴P (AB ＋A －B －)＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12.∴P (ξ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝⎛⎭⎪⎫1－124－k＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫124(k ＝0,1,2,3,4)． ∴随机变量ξ的分布列为案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？【提示】 做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n ＝1的二项分布．探究2 王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？【提示】 服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．探究3 王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？【提示】 不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点，判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB )．【精彩点拨】 (1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n ＝3，p ＝23；(2)AB 表示事件A 、B 同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．【自主解答】 (1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且 p (ξ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎪⎫1－233＝127， P (ξ＝1)＝C 1323⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＝29， P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝49， P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827. 所以ξ的分布列为(2)用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB ＝C ＋D ，且C ，D 互斥，又P (C )＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23⎣⎢⎡23×13×12＋13×23×⎦⎥⎤12＋13×13×12＝1034， P (D )＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫13×13×12＝435， 由互斥事件的概率公式得 P (AB )＝P (C )＋P (D ) ＝1034＋435＝3435＝34243.对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A ＋B 还是AB ，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解.[再练一题]3．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．【解】 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3且i ，j ，k 互不相同)相互独立，用P (A i )＝12，P (B j )＝13，P (C k )＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率． P ＝3! P (A 1B 2C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13，且ξ＝3－η，所以 P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127，P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29，P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827. 故ξ的分布列是法二：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D i ，i ＝1,2,3.由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且P (D i )＝P (A i ∪C i )＝P (A i )＋P (C i )＝12＋16＝23，所以ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，即P (ξ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫133－k，k ＝0,1,2,3.故ξ的分布列是1．已知Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，则P (Y ＝4)＝________.【解析】 由Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13可知，P (Y ＝4)＝C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫134×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝20243.【答案】202432．小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是________．【解析】P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝⎛⎭⎪⎫1－132＝49.【答案】 493．下列说法正确的是________．(填序号)①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10,0.6)；②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，p )；③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12.【解析】 ①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．【答案】 ①②4．设X ～B (4，p )，且P (X ＝2)＝827，那么一次试验成功的概率p 等于________.【导学号：29440051】【解析】 P (X ＝2)＝C 24p 2(1－p )2＝827， 即p 2(1－p )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫232， 解得p ＝13或p ＝23. 【答案】 13或235．甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是23和34，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率． 【解】 设“甲、乙两人各射击一次击中目标分别记为A ，B ”，则P (A )＝23，P (B )＝34.(1)甲射击4次，全击中目标的概率为C 44P 4(A )[1－P (A )]0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681. 所以甲射击4次至少1次未击中目标的概率为1－1681＝6581.(2)甲、乙各射击4次，甲恰好击中2次，概率为C 24P 2(A )·[1－P (A )]2＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝827. 乙恰好击中3次，概率为C 34P 3(B )·[1－P (B )]1＝2764. 故所求概率为827×2764＝18.我还有这些不足：(1)(2) 我的课下提升方案：(1)(2)。
二项分布修订稿(使用)
复习旧知识
相互独立事件： 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这时我 们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相 互独立事件。 相互独立事件的概率公式：
1、投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率 为0.5。 2、某同学玩射击气球游戏,每次射击击破气球的概 率为0.7，现有气球10个射击10次。 3、某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次。 4、口袋内装有5个白球、3个黑球，有放回地抽取5 个球。
n次独立重复试验
一般地，在相同条件下重复做的n次 试验称为n次独立重复试验. 注意： ⑴独立重复试验，是在相同条件下各次之 间相互独立地进行的一种试验，从而每次试 验的结果不会受其他试验结果的影响； ⑵每次试验只有“成功”或“失败”两种 可能结果；每次试验“成功”的概率为p ， “失败”的概率为1-p.
引例
问题 上面这些试验有什么共同的特点？ 提示：从下面几个方面探究： （1)每次实验的条件；（2）每次实验间的关 系；（3）每次试验可能的结果；（4）每次 试验下某事件的概率；（5）各次试验中事件 发生的次数
创设情景
1、投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率 为0.5。 2、某同学玩射击气球游戏,每次射击击破气球的概 率为0.7，现有气球10个。 3、某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次。 4、口袋内装有5个白球、3个黑球，放回地抽取5个 球。
问题
上面这些试验有什么共同的特点？——④每次出现A的概率相同为p ， 的概率也相 A 同，为1-p；
创设情景
1、投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率 为0.5。 2、某同学玩射击气球游戏,每次射击击破气球的概 率为0.7，现有气球10个。 3、某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次。 4、口袋内装有5个白球、3个黑球，放回地抽取5个 球。
二项分布
二项分布Binomial distribution二项分布的概念定义，概率，均数与标准差，图形样本率的均数和标准差二项分布的应用二项分布定义任意一次试验中，只有事件A发生和不发生两种结果，发生的概率分别是: π和1－π若在相同的条件下，进行n次独立重复试验，用X表示这n次试验中事件A发生的次数，那么X 服从二项分布，记做X~B(n,π)，也叫Bernolli 分布。
二项分布的适用条件重复实验互相独立每次实验只出现两种互拆的结果已知某一结果的概率为π，其对立结果概率则为1-π。
实际工作要求π是从大量观察结果中获得的比较稳定的数值二项分布的概率例题假设小白鼠接受一定剂量的毒物时,其死亡概率是80%。
对每只小白鼠来说，其死亡事件A发生的概率是0.8，生存事件A的发生概率是0.2。
试验用3只小白鼠，请列举可能出现的试验结果及发生的概率。
白鼠存亡排列方式排列的概率组合的概率生存数死亡数甲乙丙30生生生0.2×0.2×0.20.00821生生死生死生死生生0.2×0.2×0.80.2×0.8×0.20.8×0.2×0.20.09612生死死死生死死死生0.2×0.8×0.80.8×0.2×0.80.8×0.8×0.20.38403死死死0.8×0.8×0.80.512表、三只白鼠存亡的排列和组合情况和其概率的计算那么(0.2+0.8)3=(0.2)3+3(0.2)2(0.8)+3(0.2)(0.8)2+(0.8)3其一般表达式为:((1-π)+ π) n =(1-π)n + + …+ + …+ πn ()k n k n k--)1(ππ()111)1(--n n ππ()222)1(--n n ππ那么事件A （死亡）发生的次数X （1，2，3….n)的概率P:各种符号的意义X ~B(n,π):随机变量X 服从以n,π为参数的二项分布。
第4章 二项分布.
由于 计算有
＝0．002＜0．1，用二项分布近 似 ，由(8．6)式得
两种方法计算结果比较一下，仅在小数点后第5位上 才出现误差。当然在＞0．1时，如此计算误差会比较大。 另外，二项分布的计算量仍不算小，有时还可以将二项分
布近似为泊松分布，这一点我们将在下一节讨论。
泊松分布
适用：稀有事件的研究。一个事件的平均发生次数 是大量实验的结果，在这些试验中，此事件可能发生，但 是发生的概率非常小。
泊松分布亦为离散型随机变量的概率分布，随机变量 X为样本内成功事件的次数。若λ为成功次数的期望值， 假定它为已知。而且在某一时空中成功的次数很少，超过 5次的成功概率可忽不计，那么X的某一具体取值x（即稀 有事件出现的次数）的概率分布为
泊松分布的性质：x的取值为零和一切正整数；图 形是非对称的，但随着的λ增加，图形变得对称；泊松 分布的数学期望和方差均为λ。
适用：小群体的两分变量。假定总体为 K个成功类、（N-K）个为失败类
1.超几何分布为离散型随机变量的概率 分布，它的数学形式是
2.超几何分布的数学期望值和方差
如果用
，则有
[例] 以随机方式自5男3女的小群体中选出5人组成一个 委员会，求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与
变异数。
[解] 由题意可知：N＝8．K＝3，N―K＝5．n＝5， 代入(8．1)式，故概率分布如下：
组合
一般来说，从n个不
同元素中，任取m
（m<n)个元素编成
一组，称为从n个不
同元素中每次取m
个元素的一个组合，
这些组合的种数记
作
Cnm
C mn!n Nhomakorabeam!( n m)!
n!表示n的阶乘， n!=n×(n-1)(n-2)……3 ×2 ×1