(新高考)2021届高三11月高考模拟特供卷 数学(四)教师版
浙江省嘉兴市2021届新高考数学仿真第四次备考试题含解析
浙江省嘉兴市2021届新高考数学仿真第四次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若1tan 2α=，则cos2=α( ) A ．45-B ．35C ．45D ．35【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果． 【详解】 ∵1tan 2α=， ∴22222211cos sin 1tan 34cos21cos sin 1tan 514ααααααα---====+++， 故选D 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．2．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21e D ．31e 【答案】C 【解析】 【分析】根据()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立可构造函数()()ln 23h x x m x n =-+-,求导后分情况讨论()h x 的最大值可得最大值最大值()1ln 23123h m n m ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭,即()ln 2310m n -+--≤.根据题意化简可得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦,求得()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,再换元求导分析最大值即可.【详解】设()()ln 23h x x m x n =-+-,则()h x 的最大值小于等于0. 又()()1'23h x m x=-+, 若230m +≤则()'0h x >,()h x 在()0,∞+上单调递增, ()h x 无最大值. 若230m +>,则当123x m >+时,()'0h x <,()h x 在1,23m ⎛⎫+∞⎪+⎝⎭上单调递减, 当1023x m <<+时,()'0h x >,()h x 在10,23m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递增.故在123x m =+处()h x 取得最大值()11ln 1ln 2312323h n m n m m ⎛⎫=--=-+-- ⎪++⎝⎭. 故()ln 2310m n -+--≤,化简得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦.故()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,令()23,0t m t =+>,可令()()ln 1k t t t =-+, 故()'ln 2k t t =--,当21t e >时, ()'0k t <,()k t 在21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减； 当210t e <<时, ()'0k t >,()k t 在210,e⎛⎫⎪⎝⎭递增. 故在21t e =处()h t 取得极大值,为22221111ln 1=k e e e e⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故(),F m n 的最大值为21e. 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解()23m n +的最大值.属于难题. 3．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．16B ．48C ．96D ．128【答案】B 【解析】 【分析】列出每一次循环，直到计数变量i 满足3i >退出循环. 【详解】第一次循环：12(11)4,2S i =+==；第二次循环：242(12)16,3S i =++==； 第三次循环：3162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48. 故选：B. 【点睛】本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题.4．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25B ．2C ．72D ．3【答案】B 【解析】 【分析】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果.过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-.2FA AS =，13SASF ∴=，133p AN OF ∴==，43AM p ∴=， 由抛物线定义知：43AF AM p ==，1223AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.由抛物线性质11212AF BF p p +==得：3114p BF p+=，解得：4BF p =， 422FB pTS p∴==. 故选：B . 【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式. 5．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A ．5B ．52C ．52-D ．-5【答案】C 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由（1+i ）z ＝|3+4i|22345=+=， 得z ()()()5155511122i i i i i -===-++-， ∴z 的虚部为5-．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 6．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（ ） A ．2 B ．5 C ．1 D ．3【答案】B 【解析】 【分析】由函数2()(2)g x f x x =+为奇函数,则有(1)(1)0(2)1(2)10g g f f -+=⇒-+++=,代入已知即可求得.【详解】(1)(1)0(2)1(2)10(2)5g g f f f -+=⇒-+++=⇒-=-.故选:B . 【点睛】本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易.7．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是（ ）A ．甲得分的平均数比乙大B ．甲得分的极差比乙大C ．甲得分的方差比乙小D ．甲得分的中位数和乙相等【答案】B 【解析】 【分析】由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论． 【详解】 对于甲，179888282939185.86x +++++=≈；对于乙，272748189969985.26x +++++=≈，故A 正确；甲的极差为937914-=，乙的极差为997227-=，故B 错误；对于乙，方差22106.5S ≈，故C 正确； 甲得分的中位数为8288852+=，乙得分的中位数为8189852+=，故D 正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．8．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( ) A ．sin y x =π. B ．|1|y x =- C ．cos y x π= D ．e e x x y -=+【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案. 【详解】A 中，当1x =时，sin 01y x =π=≠，所以sin y x =π不关于直线1x =对称，则A 错误；B 中，()()1,111,1x x y x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩，所以在区间[1,0]-上为减函数，则B 错误；D 中，()xxy f x e e -==+，而()()2202,2f f e e -==+，则()()02f f ≠，所以e e x x y -=+不关于直线1x =对称，则D 错误； 故选：C. 【点睛】本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.9．已知函数()f x 满足：当[)2,2x ∈-时，()()22,20log ,02x x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨<<⎩，且对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则()2019f =（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．2log 3【答案】C 【解析】 【分析】由()()4f x f x +=可知函数()f x 是周期为4的函数，∴()()()()20191450511121f f f =-+⨯=-=-⨯-+=-.故选：C. 【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题.10．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ． B ．C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案.【详解】每一次成功的概率为，服从二项分布，故.故选：. 【点睛】本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.11．已知函数()(0xf x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则|2)|a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得01m <<，(1)0f =，则()f x 为减函数，从而得出函数|()|f x 的单调性，可比较a 和b ，因为()(0xf x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限， 所以01m <<，(1)0f =，所以函数()f x 为减函数，函数|()|f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 又因为31382412422<=<=<，所以a b <，又|(0)|1c f m ==-，2|(2)|f m m =-，则|2|(2)||(0)|10f f m -=-<， 即|(2)||(0)|f f <， 所以a b c <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想.12．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数是（ ） A ．160 B ．240C ．280D ．320【答案】C 【解析】 【分析】首先把1x x +看作为一个整体，进而利用二项展开式求得2y 的系数，再求71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中1x -的系数，二者相乘即可求解. 【详解】由二项展开式的通项公式可得821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的第1r +项为82181rr r r T C x y x -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1r =，则712281T C x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +为7271771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令3r =，则3735C =，所以12x y -的系数是358280⨯=. 故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省普通高中2021届高考数学仿真试卷(四)(含答案解析)
广东省普通高中2021届高考数学仿真试卷(四)一、单选题（本大题共15小题，共60.0分）1.设集合A={y|y=1nx,x≥1}，B={y|y=1−2x,x∈R}，则A∩B=()A. [0.1)B. [0,1]C. (−∞,1]D. [0,+∞)2.A. −2B. − 12C. 12D. 23.下列函数中，值域是(0,+∞)的是A. y=B. y=(x∈(0,+∞))C. y=(x∈N)D. y=4.已知向量a⃗=(x+1,2)，b⃗ =(−1,x).若a⃗与b⃗ 垂直，则x=()A. 1B. √2C. 2D. 45.欧拉三角形定义如下：△ABC的三个欧拉点(顶点与垂心连线的中点)构成的三角形称为△ABC的欧拉三角形．如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，△ABC的垂心为P，AP，BP，CP的中点分别为A1，B1，C1，△A1B1C1即为△ABC的欧拉三角形，则向△ABC中随机投掷一点，该点落在△PA1B1内的概率为()A. 19B. 18C. 332D. 7646.方程y=k(x−2)表示()A. 过点(−2,0)的一切直线B. 过点(2,0)的一切直线C. 过点(2,0)且不垂直于x轴的一切直线D. 过点(2,0)且除去x轴的一切直线7.如图所示，甲、乙、丙是三个空间立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是()①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱．A. ③②④B. ②①③C. ①②③D. ④③②8.已知两个平面垂直，下列四个命题中，正确命题的个数是()①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．A. 0B. 1C. 2D. 39.设函数f(x)=cosωx(ω>0)，将y=f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于()A. 13B. 3C. 6D. 910.sin275°−cos275°的值是()A. 12B. √32C. −12D. −√3211.4、过点M(2,)，且与圆x2+y2=10相切的直线方程是A. x+y=B. x+y=10C. 4x+6y==D. 2x+y=1012.在△ABC中，sinAsinBsinC=18，且△ABC面积为1，则下列结论不正确的是()A. ab|a−b|<8B. ab(a+b)>8C. a(b2+c2)<16D. a+b+c>613.已知函数则函数的所有零点之和是()A. B. C. D.14.下列结论正确的是()A. 当且时，B. 当时，C. 当时，的最小值为2D. 当时，无最大值15.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，则该数列的第1项等于()A. 27B. 163C. 812D. 8二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）16.某县中学高二年级文科班共有学生350人，其中，男生70人，女生280人，为了调查男女生数学成绩性别差异，现要从350名学生中抽取50人，则男生应抽取______ 人．17.分别写有数字1，2，3，4的4张卡片，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率是______．18.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a+b=5，sinCsinAsinB =3√72，c=4b，则△ABC的面积为______．19.若直线ax+4y+1=0与直线2x+y−2=0互相平行，则a的值等于______ ．三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）20.如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC//PD，且PD=2EC，(1)求证：BE//平面PDA；(2)若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB；(3)若PDAD=√2，求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小．(n∈N∗)，数列{b n}中，b n=a n−a n+1．21.设数列{a n}的通项公式是a n=(2n+1)×12n−1(Ⅰ)若数列{b n}的前n项和T n<λ对于n∈N∗恒成立，求λ的最小值；(Ⅱ)利用裂项相消法求数列{a n}的前n项和S n，并写出数列{(An+B)×q n}(q≠0且q≠1)的前n项和S n′.22.在三角形ABC的对边分别为a，b，c，且b=acosC+csinA(1)求角A的大小(2)若a=3，求三角形ABC的面积的最大值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵集合A={y|y=1nx,x≥1}={x|x≥0}，B={y|y=1−2x,x∈R}={x|x<1}∴A∩B={x|0≤x<1}故选：A．根据对数函数和指数函数图象化简集合A和B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B．本题主要考查对数函数和指数函数的值域，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2.答案：D解析：本题考查对数的运算，属于基础题．解：．故选D．3.答案：D解析：本小题主要考查二次函数的值域、绝对值函数的值域、分式函数的值域等基础知识，考查运算求解能力．解：对于A，，值域是[0,+∞)，故错；对于B，(x∈(0,+∞))值域是{y|y>1}，故错；对于C，(x∈N)，由于x∈N，值域中数是一系列孤立的数，不是(0,+∞)，故错；对于D，，值域是R+，故正确；故选：D．4.答案：A解析：解：根据题意，向量a⃗=(x+1,2)，b⃗ =(−1,x)．若a⃗与b⃗ 垂直，则有a⃗⋅b⃗ =(x+1)×(−1)+2x=x−1=0，解可得x=1；故选：A ．根据题意，由向量垂直的判定方法，有a ⃗ ⋅b ⃗ =(x +1)×(−1)+2x =x −1=0，解可得x 的值，即可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算公式，关键是得到关于x 的方程．5.答案：D解析：解：以BC 所在的直线为x 轴以线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，由题意可得：AO =√AB 2−BO 2=√32−12=2√2， B(−1,0)，C(1,0)，A(0,2√2)，设垂心P(0,b)，则BP ⊥AC ，即AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，而AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2√2)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,b)，∴1×1−2√2b =0，解得b =2√2=√24，即P(0,√24)，设P 到AB 的距离为d ，则S △ABC =12BC ⋅OA =2⋅12⋅AB ⋅d +12⋅BC ⋅OP ，即2×2√2=2×3d +2×√24，解得：d =7√212， 所以S △PAB =12AB ⋅d =12×3×7√212=7√28， 因为A 1，B 1是PA ，PB 的中点，所以A 1B 1是三角形PAB 的中位线， 所以S PA 1B 1=14S △PAB =7√232，而S △ABC =12BC ⋅OA =12×2×2√2=2√2，所以S △PA 1B 1S △ABC=7√2322√2=764，由几何概型的概率公式可得该点落在△PA 1B 1内的概率为764， 故选：D ．由几何概型的概率求法可得点落在△PA 1B 1内的概率为三角形PA 1B 1的面积与三角形ABC 的面积之比，由题意可得三角形ABC 的面积，建立适当的平面直角坐标系，由P 为垂心可得，BP ⊥AC ，即AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得P 的坐标，再由等面积法求出P 到AB 的距离，进而求出三角形PAB 的面积，而A 1，B 1为中点，所以由相似三角形面积之比等于相似比的平方可得三角形PA 1B 1的面积，进而求出三角形PA 1B 1的面积与三角形ABC 的面积之比，即求出概率． 考查几何概型的概率求法及相似三角形性质，属于中档题．6.答案：C解析：由方程y =k(x −2)知直线过点(2,0)且直线的斜率存在，可得结论．本题考查恒过定点的直线，容易误选B．解：由方程y=k(x−2)知直线过点(2,0)且直线的斜率存在．故选：C．7.答案：D解析：解：根据甲、乙、丙的三视图，得出甲是圆柱体，乙是三棱锥，丙是圆锥；∴甲乙丙对应的标号应是④③②．故选：D．根据甲、乙、丙的三视图，得出甲、乙、丙各个几何体几何特征，进而可得答案．本题考查了空间几何体的三视图的知识，解题时应根据几何体的三视图能判断该几何体是什么，是基础题．8.答案：B解析：利用面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，对①、②、③、④四个选项逐一判断即可．本题考查命题的真假判断与应用，着重考查面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，属于中档题．解：对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误；对于②，设平面α∩平面β=m，n⊂α，l⊂β，∵平面α⊥平面β，∴当l⊥m时，必有l⊥α，而n⊂α，∴l⊥n，而在平面β内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；对于③，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；对于④，当两个平面垂直时，条件中“任意一点”有可能就在交线上，这时候再作垂线，垂线不一定在第一平面里面，此垂线不一定垂直于另一个平面，故④错误．故选：B．9.答案：C解析：解：f(x)的周期T=2πω，函数图象平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以π3=k⋅2πω，k∈Z.令k=1，可得ω=6．故选：C．函数图象平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．10.答案：B解析：解：sin275°−cos275°=−cos150°=cos30°=√32．故选：B．由余弦函数的二倍角公式把sin275°−cos275°等价转化为−cos150°，再由诱导公式进一步简化为cos30°，由此能求出结果．本题考查余弦函数的二倍角公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意诱导公式的灵活运用．11.答案：D解析：12.答案：C解析：解：S=12absinC，S=12bcsinA，S=12casinB，sinAsinBsinC=18，且△ABC面积为S=1，1=18(abc)2sinAsinBsinC，可得abc=8，由|a−b|<c<a+b，可得ab|a−b|<abc=8，ab(a+b)>8，故A，B正确；a+b+c≥3√abc3=3×2=6，当且仅当a=b=c取得等号，由于sinAsinBsinC=18≠3√38，故等号不成立，可得a+b+c>6，故D正确；由a(b2+c2)≥2abc=16，故C错误．故选：C．由三角形的面积公式可得abc=8，由三角形的边角关系和基本不等式可判断A，B，D正确；C错误．本题考查三角形的面积公式，以及三角形的边角关系、基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．13.答案：B解析：试题分析：如图分别作出函数f(x)和g(x)的图象如下：由图象可知：由=0得：g(x)=2或g(x)=−2；由g(x)=2得到：，解得；由g(x)=−2得到：，解得；故得函数的所有零点之和是：，故选B。
高考数学模拟试卷11月 文科数学(四)教师版
高三文科数学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2230A x x x =--≥，{}23B x x =-<≤，则A B =I （ ） A ．[)2,3- B ．[]2,1--C ．[]1,1-D ．[)1,3【答案】B 2．()()231i 1i +=-（ ）A ．11i 22+B ．11i 22-C ．11i 22-+D ．11i 22--【答案】D3．已知F 为双曲线()22:40C x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．2m D ．4m【答案】A4．一次数学考试中，4位同学各自在第22题和第23题中任选一题作答，则第22题和第23题都有同学选答的概率为（ ） A ．516B ．38C ．78D ．1516【答案】C5．设()f x 是周期为4的奇函数，当01x ≤≤时，()()1f x x x =+，则92f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．34-B ．14-C ．14D ．34【答案】A6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A．2B．52C．3 D．72【答案】D7．我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字1，不点火表示数字0，这蕴含了进位制的思想．如图所示的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”．执行该程序框图，若输入110011a =，2k =，6n =，则输出b 的值为（ ）A ．19B ．31C ．51D ．63【答案】C8．在等比数列{}n a中，2a =，3a 112011172017a a a a +=+（ ）A ．29B ．49C ．23D ．89【答案】D9．某房间的室温T （单位：摄氏度）与时间t （单位：小时）的函数关系是：sin cos T a t b t =+，()0,t ∈+∞，其中a ，b 是正实数．如果该房间的最大温差为10摄氏度，则a b +的最大值是（ ） A．B ．10C．D ．20【答案】A10．设函数()()41lg 121f x x x =+-+，则使得()()324f x f x ->-成立的x 的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．()3,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U【答案】D11．已知抛物线2:4C y x =，点()2,0D ，()4,0E ，M 是抛物线C 异于原点O 的动点，连接ME 并延长交抛物线C 于点N ，连接MD ，ND 并分别延长交拋物线C 于点P ，Q ，连接PQ ，若直线MN ，PQ 的斜率存在且分别为1k ，2k ，则21k k =（ ） A ．4 B ．3 C ．2D ．1【答案】C12．若函数()f x 满足()()3e xxf x f x x '-=，()10f =，则当0x >时，()f x （ ）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值又无极小值【答案】B第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设向量,a b 满足1==a b ，12=⋅﹣a b ，则|2|=+a b ____________．【答案】14．若,x y 满足约束条件20,1,70,x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤≥≤则y x 的最大值是__________．【答案】615．设等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足201611S S -=，则2017S =__________． 【答案】2017201516．传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的．这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12cm 且以每秒1cm 等速率缩短，而长度以每秒20cm 等速率增长．已知神针的底面半径只能从12cm 缩到4cm 为止，且知在这段变形过程中，当底面半径为10cm 时其体积最大．假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为_________cm ． 【答案】4三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．已知ABC △的三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且2cos (cos cos )B c A a C b +=．（1）证明：A ，B ，C 成等差数列； （2）若ABC △b 的最小值． 【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）因为2cos (cos cos )B c A a C b +=，所以由正弦定理得2cos (sin cos sin cos )sin B C A A C B +=， 即2cos sin()sin B A C B +=．在ABC △中，sin()sin A C B +=且sin 0B ≠，所以1cos 2B =． 因为B ∈π（0，），所以3B π=．又因为A B C++=π，所以223A C Bπ+==．所以A，B，C成等差数列．（2）因为1sin2ABCac B==△S，所以6ac=．所以222222cos6b ac ac B a c ac ac=+-=+-=≥，当且仅当a c=时取等号．所以b18．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且60DAB∠=︒，EF AC∥，2AD=，EA ED EF===（1）证明：AD BE⊥；（2）若BE=F ABD-的体积．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）如图，取AD的中点O，连接EO，BO．因为EA ED=，所以EO AD⊥．因为四边形ABCD为菱形，所以AB AD=，因为60DAB∠=︒，所以ABD△为等边三角形，所以BA BD=，所以BO AD⊥．因为BO EO O=I，所以AD⊥平面BEO．因为BE⊂平面BEO，所以AD BE⊥．（2）在EAD△中，EA ED=，2AD=，所以EO=．因为ABD△为等边三角形，所以2AB BD AD===，BO=．因为BE=222EO OB BE+=，所以EO OB⊥．又因为EO AD⊥，AD OB O=I，所以EO⊥平面ABCD．因为EF AC∥，11222ABDS AD OB=⋅⋅=⨯△=所以1133F ABD E ABD ABDV V S EO--==⋅==△．19．某地区2008年至2016年粮食产量的部分数据如下表：（1）求该地区2008年至2016年的粮食年产量y与年份t之间的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2008年至2016年该地区粮食产量的变化情况，并预测该地区2018年的粮食产量．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211ˆn ni i i ii in ni ii it t y y t y nt ybt t t nt====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bt=-．【答案】（1）()ˆ 6.52012260.2y t=-+；（2）预测该地区2018年的粮食产量为299.2万吨．【解析】（1）由所给数据可以看出，粮食年产量y与年份之间是近似直线上升，下面来求线性回归方程，为此对数据预处理如下：对预处理后的数据，容易算得420245x--+++==，2111019293.25y--+++==，∴()()()()()()2222242121121942950 3.2260ˆ 6.540422450b-⨯-+-⨯-+⨯+⨯-⨯⨯===-+-++-⨯，ˆ 3.2 6.50 3.2a=-⨯=．由上述计算结果，知所求线性回归方程为()()ˆˆˆ2572012 6.52012 3.2y b t a t-=-+=-+，即()ˆ 6.52012260.2y t=-+．（2）由（1）知，ˆ 6.50b=>，故2008年至2016年该地区粮食产量逐年增加，平均每两年增加6.5万吨．将2018t =代入（1）中的线性回归方程，得ˆ 6.56260.2299.2y=⨯+=，故预测该地区2018年的粮食产量为299.2万吨． 20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为，点()2,1M 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线平行于OM ，且与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点．若AOB ∠为钝角，求直线在y 轴上的截距m 的取位范围．【答案】（1）22182x y +=；（2）()(U ．【解析】（1）依题意有22411,a b =⎨⎪+=⎪⎩解得228,2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的方程为22182x y +=． （2）由直线平行于OM ，得直线的斜率12OM k =， 又在y 轴上的截距为m ，所以直线的方程为12y x m =+．由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222240x mx m ++-=． 因为直线与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点，所以()()2224240m m ∆=-->，解得22m -<<．设()()1122,,,A x y B x y ，又AOB ∠为钝角等价于0OA OB ⋅<u u u r u u u r且0m ≠， 则121212121122OA OB x x y y x x x m x m ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ()212125042m x x x x m =+++<，将122x x m +=-，21224x x m =-代入上式，化简整理得22m <，即m << 故m的取值范围是()(U ．21．设函数()e ln xf x x x =-，()xg x =，其中e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数．（1）讨论()g x 的单调性；（2）证明：()32f x >． 【答案】（1）()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；（2）见解析．【解析】（1）因为())0x g x x =>，所以()321e 2x g x x x -⎛⎫'=- ⎪⎝⎭．所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>．故()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增．（2）∵()e ln x f x x x =-，从而()32f x >等价于13223ln e 2xx x x+>．由（1）知()g x 在()0,+∞的最小值为1212g ⎛⎫= ⎪⎝⎭．设函数()323ln 2x h x x+=，则()5253ln 42h x x x -⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭．所以当560,e x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>；当56e ,x -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '<．故()h x 在560,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递増，在56e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，从而()h x 在()0,+∞的最大值为55642e e 3h -⎛⎫= ⎪⎝⎭．因为381e 4>34e >15242e 3>．综上，当0x >时，()()g x h x >，()32f x >． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为cos sin 0m ρθθ-=．（1）若1m =，求直线交曲线C 所得的弦长；（2）若C 上的点到直线的距离的最小值为1，求m 的值． 【答案】（1（2）6m =±．【解析】（1）曲线C 的普通方程为224x y +=． 当1m =时，直线的普通方程为10x -=． 设圆心到直线的距离为d ，则12d ==． 从而直线交曲线C所得的弦长为2=．（2）直线的普通方程为0x m -=． 则圆心到直线的距离2m d =． ∴由题意知212m-=，∴6m =±． 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x x a =-+-． （1）若1a =-，解不等式()3f x ≥；（2）若x ∀∈R ，()3f x ≥，求实数a 的取值范围．【答案】（1）33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ；（2）(][),24,-∞-+∞U ．【解析】（1）当1a =-时，()11f x x x =-++． 由()3f x ≥得113x x -++≥．当1x -≤时，不等式可化为113x x ---≥，即32x -≤， 此时不等式()3f x ≥的解集为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．当11x -<≤时，不等式可化为113x x -++≥，即23≥， 此时不等式()3f x ≥的解集为∅．当1x >时，不等式可化为113x x -++≥，即32x ≥， 此时不等式()3f x ≥的解集为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．综上知不等式()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ．（2）方法一：∵()1113f x x x a x x a a =-+---+=-≥≥，∴13a -≥或13a --≤，即4a ≥或2a -≤． ∴a 的取值范围是(][),24,-∞-+∞U ．方法二：若1a =，()21f x x =-，不满足题设条件．若1a <，()21,,1,1,21, 1.x a x a f x a a x x a x -++⎧⎪=-<<⎨⎪--⎩≤≥此时()f x 的最小值为1a -．若1a >，()21,1,1,1,21,.x a x f x a x a x a x a -++⎧⎪=-<<⎨⎪--⎩≤≥此时()f x 的最小值为1a -．所以x ∀∈R ，()3f x ≥的充要条件是13a -≥， 从而a 的取值范围是(][),24,-∞-+∞U ．。
山东省2021届高三数学新高考模拟试题卷四附答案解析
山东省2021届高三数学新高考模拟试题卷四第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}，B ＝{x |x <2}，则A ∩B ＝( ) A ．[0,2] B ．[0,1] C ．(0,2] D ．[－1,0]2．若复数z ＝1＋i1＋a i (i 表示虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为( )A ．1B ．0C ．－12D ．－13．设{a n }为公差不为0的等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p ＋q >k ＋l ”是“a p ＋a q >αk ＋a l ”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知a ＝2，b ＝log 2 13，c ＝log 13，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a5．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m 个(m 为正整数)，若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是( )A.18B.17C.16D.156．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，BCAC ＝5－12.根据这些信息，可得sin 234°＝( )A.1－254 B ．－3＋58 C ．－5＋14 D ．－4＋587．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，直线l 为双曲线C 的一条渐近线，F 1关于直线l 的对称点F ′1在以F 2为圆心，以半焦距c 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B.3 C ．2 D ．38．已知△ABC 为等边三角形，动点P 在以BC 为直径的圆上，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋2μ的最大值为( )1312A.12 B ．1＋33 C.52 D ．2＋32二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知a >b ≥2，则( )A ．b 2<3b －aB ．a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2C ．ab >a ＋b D.12＋2ab >1a ＋1b10．如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，若M 为线段A 1C 的中点，则△ADE 在翻折过程中，下列说法正确的是( )A ．线段BM 的长是定值B ．存在某个位置，使DE ⊥A 1C C ．点M 的运动轨迹是一个圆D ．存在某个位置，使MB ⊥平面A 1DE11．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C ：(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论正确的是( )A ．曲线C 经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)B ．曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2 C ．曲线C 围成区域的面积大于4πD ．方程(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2(xy >0)表示的曲线C 在第一象限和第三象限12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)满足f (x 0)＝f (x 0＋1)＝－12，且f (x )在(x 0，x 0＋1)上有最小值，无最大值．则( )A ．f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝－1 B ．若x 0＝0，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2πx －π6 C ．f (x )的最小正周期为3D ．f (x )在(0,2 019)上的零点个数最少为1 346个第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．为做好社区新冠疫情防控工作，需将六名志愿者分配到甲、乙、丙、丁四个小区开展工作，其中甲小区至少分配两名志愿者，其它三个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有________种．(用数字作答)14．已知函数f (x )＝x ＋2cos x ＋λ，在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上任取三个数x 1，x 2，x 3，均存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为边长的三角形，则λ的取值范围是________．15．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F (1,0)，准线为l ，过焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足为C ，D ，若|AF |＝4|BF |，则p ＝________，三角形CDF 的面积为________． 16．在三棱锥P ABC 中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且AB ＝2，P A ＝PC ＝5，PB 与底面ABC 所成的角的正弦值为13，则三棱锥P ABC 的外接球的体积为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)如图，在△ABC 中，C ＝π4，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，且tan ∠CBD ＝12.(1)求sin A ；(2)若CA →·CB →＝28，求AB 的长．18.(12分)在①a 2n ＋1－a 2n ＝3(a n >0)，②a 2n －a n a n －1－3a n －1－9＝0，③S n ＝n 2－2n ＋2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．已知：数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，________. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对大于1的自然数n ，是否存在大于2的自然数m ，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．19．(12分)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ABC ＝90°，AB ＝2DC ＝2BC ，E 为AB 的中点，沿DE 将△ADE 折起，使得点A 到点P 位置，且PE ⊥EB ，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点(与点B ，C 不重合)．(1)证明：平面EMN ⊥平面PBC ；(2)是否存在点N ，使得二面角B EN M 的余弦值为66，若存在，确定N 点位置；若不存在，说明理由．20．(12分)沙漠蝗虫灾害年年有，今年灾害特别大．为防范罕见暴发的蝗群迁飞入境，我国决定建立起多道防线，从源头上控制沙漠蝗群．经研究，每只蝗虫的平均产卵数y 和平均温度x 有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．∑i ＝17x i ＝192，∑i ＝17y i ＝569，∑i ＝17x i y i ＝18 542，∑i ＝17x 2i＝5 414，∑i ＝17z i ＝25.2848，∑i ＝17x i z i ＝733.7079.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫其中z i ＝ln y i ，z ＝17∑i ＝17z i (1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c e dx (其中e ＝2.718…自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)并由判断结果及表中数据，求出y 关于x 的回归方程．(计算结果精确到小数点后第三位)(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为p (0<p <1)．①记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为f (p )，求f (p )的最大值，并求出相应的概率p . ②当f (p )取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X ，求X 的数学期望和方差．附：线性回归方程系数公式b ^＝∑i ＝1n(x i －x )·(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，a ^＝y －b ^x .21．(12分)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，定点A (1,0)，P 为平面内一动点，以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，设动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点Q (2，3)的直线l 与C 交于E ，F 两点，已知点D (2,0)，直线x ＝x 0分别与直线DE ，DF 交于S ，T 两点．线段ST 的中点M 是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由．22．(12分)已知函数f (x )＝e x －ax －cos x ，其中a ∈R .(1)求证：当a ≤－1时，f (x )无极值点；(2)若函数g (x )＝f (x )＋ln(x ＋1)，是否存在a ，使得g (x )在x ＝0处取得极小值？并说明理由． 四1．答案：A解析：求得A ＝[－1,2]，B ＝[0,4)，所以A ∩B ＝[0,2]，故选A. 2．答案：D解析：设z ＝b i ，b ∈R 且b ≠0， 则1＋i1＋a i＝b i ，得到1＋i ＝－ab ＋b i ， ∴1＝－ab ，且1＝b ，解得a ＝－1， 故选D. 3．答案：D解析：设等差数列的公差为d ， a p ＋a q >a k ＋a l ⇒a 1＋(p －1)d ＋a 1＋(q －1)d >a 1＋(k －1)d ＋a 1＋(l －1)d ⇒d [(p ＋q )－(k ＋l )]>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ d >0p ＋q >k ＋l 或⎩⎪⎨⎪⎧d <0p ＋q <k ＋l， 显然由p ＋q >k ＋l 不一定能推出a p ＋a q >a k ＋a l ， 由a p ＋a q >a k ＋a l 也不一定能推出p ＋q >k ＋l ，因此p ＋q >k ＋l 是a p ＋a q >a k ＋a l 的既不充分也不必要条件， 故选D. 4．答案：C 解析：a ＝＝∈(0,1)；b ＝log 2 13<0；c ＝＝log 23>1，∴c >a >b ，故选C. 5．答案：B解析：设首项为a 1，因为和为80， 所以5a 1＋12×5×4×m ＝80，故m ＝8－12a 1.因为m ，a 1∈N *，1-321312⎛⎫ ⎪⎝⎭121log 3所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，m ＝7，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，m ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝6，m ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝8，m ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝10，m ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝12，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，m ＝1. 因此“公”恰好分得30个橘子的概率是17.故选B. 6．答案：C解析：由题可知∠ACB ＝72°， 且cos 72°＝12BC AC ＝5－14，cos 144°＝2cos 2 72°－1＝－5＋14， 则sin 234°＝sin(144°＋90°)＝cos 144°＝－5＋14. 故选C. 7．答案：C解析：方法一：直线l 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线，则不妨设直线l 为y ＝ba x ，∵F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点， ∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，∵F 1关于直线l 的对称点为F ′1，则F ′1为(x ，y )， ∴y x ＋c＝－a b ，y ＋02＝b a ·x －c2，解得x ＝b 2－a 2c ，y ＝－2abc ，∴F ′1⎝⎛⎭⎫b 2－a 2c，－2ab c ，∵F ′1在以F 2为圆心，以半焦距c 为半径的圆上， ∴⎝⎛⎭⎫b 2－a 2c －c 2＋⎝⎛⎭⎫－2ab c －02＝c 2， 整理可得4a 2＝c 2，即2a ＝c ， ∴e ＝ca＝2，故选C.方法二：由题意知|F ′1O |＝|OF 1|＝|OF 2|＝|F ′1F 2|， 所以三角形F ′1F 1F 2是直角三角形，且∠F ′1F 1F 2＝30°， 又由焦点到渐近线的距离为b ，得|F ′1F 1|＝2b ， 所以2b ＝3c ，所以e ＝2. 故选C. 8．答案：C解析：设△ABC 的边长为2，不妨设线段BC 的中点O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，则点A (0，3)、B (－1,0)、C (1,0)，以线段BC 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， 设点P (cos θ，sin θ)，则＝(－1，－3)，＝(1，－3)，＝(cos θ，sin θ－3)， 由于＝λ＋μ，则－λ＋μ＝cos θ，－3λ－3μ＝sin θ－3， 解得λ＝12－36sin θ－12cos θ，μ＝12－36sin θ＋12cos θ， 所以λ＋2μ＝⎝⎛⎭⎫12－36sin θ－12cos θ＋2⎝⎛⎭⎫12－36sin θ＋12cos θ＝32－32sin θ＋12cos θ ＝32－sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 因此，λ＋2μ的最大值为52.故选C. 9．答案：BC解析：对于A ，因为a >b ≥2， 所以b 2－(3b －a )＝(a －b )＋b (b －2)>0， 故A 错误；对于B ，可通过作差证明，B 正确； 对于C ，ab －(a ＋b )＝ab －2a ＋ab －2b2＝a (b －2)＋b (a －2)2>0，故C 正确；对于D ，若12＋2ab >1a ＋1b 成立，当a ＝10，b ＝2时，左边＝右边＝35，故D 错误． 所以，选BC. 10．答案：AC解析：对A ，取CD 中点F ，连接MF ，BF ，则MF ∥DA 1，BF ∥DE ，由∠A 1DE ＝∠MFB ，MF ＝12A 1D 为定值，FB ＝DE 为定值，由余弦定理可得MB 2＝MF 2＋FB 2－2MF ·FB cos ∠MFB ， 所以FB 为定值，A 正确；若B 正确，即DE ⊥A 1C ，由∠AED ＝∠BEC ＝45°， 可得DE ⊥CE ，则DE ⊥平面A 1EC ，所以DE ⊥A 1E ，而这与DA 1⊥A 1E 矛盾，故B 错误；因为B 是定点，所以M 在以B 为圆心，MB 为半径的圆上，故C 正确； 取CD 中点F ，连接MF ，BF ， 则MF ∥DA 1，BF ∥DE ，由面面平行的判定定理得平面MBF ∥平面A 1DE ， 即有MB ∥平面A 1DE ，可得D 错误． 故选AC. 11．答案：BD解析：(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2≤16⎝⎛⎭⎫x 2＋y 222， 解得x 2＋y 2≤4(当且仅当x 2＝y 2＝2时取等号)，则B 正确； 将x 2＋y 2＝4和(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2联立， 解得x 2＝y 2＝2，即圆x 2＋y 2＝4与曲线C 相切于点(2，2)，(－2，2)，(－2，－2)，(2，－2)， 则A 和C 都错误；由xy >0，得D 正确．综上，选BD. 12．答案：AC解析：(x 0，x 0＋1)区间中点为x 0＋12，根据正弦曲线的对称性知f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝－1， 故选项A 正确；若x 0＝0，则f (x 0)＝f (x 0＋1)＝－12，即sin φ＝－12，不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2πx －π6，满足条件，但f ⎝⎛⎭⎫13＝1为(0,1)上的最大值，不满足条件， 故选项B 错误；不妨令ωx 0＋φ＝2k π－5π6，ω(x 0＋1)＋φ＝2k π－π6，k ∈Z ，两式相减得ω＝2π3，即函数的周期T ＝2πω＝3，故C 正确；区间(0,2 019)的长度恰好为673个周期， 当f (0)＝0时，即φ＝k π(k ∈Z )时，f (x )在开区间(0,2 019)上零点个数至少为673×2－1＝1 345， 故D 错误．故正确的是AC. 13．答案：660解析：若甲小区2人，乙、丙、丁其中一小区2人，共有C 26C 24A 33种，若甲小区3人，乙、丙、丁每小区1人，共有C 36A 33种，则不同的分配方案共有C 26C 24A 33＋C 36A 33＝660种．14．答案：⎝⎛⎭⎫3－5π6，＋∞ 解析：求导得f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )＝0，得x ＝π6，易得f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝π6＋3＋λ， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2＋λ， 又由题意知f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2＋λ>0， 且f ⎝⎛⎭⎫π2＋f ⎝⎛⎭⎫π2>f ⎝⎛⎭⎫π6，由此解得λ的取值范围为λ>3－5π6. 15．答案：2 5解析：抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F (1,0)， 所以p ＝2，准线为x ＝－1， 设过焦点的直线方程为x ＝my ＋1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0，∴y 1y 2＝－4 ①又|AF |＝4|BF |，y 1＝－4y 2 ②由①②解得y 1＝－4，y 2＝1或y 1＝4，y 2＝－1， 所以|CD |＝|y 1－y 2|＝5，所以三角形CDF 的面积为12×2×5＝5.16．答案：9π2或8989π6解析：如图，取AC 中点O ′，因为P A ＝PC ＝5，AB ＝BC ， 所以AC ⊥PO ′，AC ⊥O ′B ，所以AC ⊥平面PO ′B ，所以平面PO ′B ⊥平面ABC ， 易知∠O ′BP 即为PB 与底面ABC 所成的角或补角． O ′B ＝2，O ′P ＝3，所以在△O ′PB 中， (2)2＋PB 2－2·2·PB ·cos ∠O ′BP ＝(3)2， 因为sin ∠O ′BP ＝13，当cos ∠O ′BP ＝223时，求得PB ＝3，此时∠PCB ＝∠P AB ＝90°.故PB 为三棱锥P ABC 外接球直径，V ＝9π2；当cos ∠O ′BP ＝－223时，求得PB ＝13，延长BO ′交外接球于Q ，则BQ 为圆O ′的直径， 则△QBP 的外接圆直径为球的直径， 由PQ 2＝BQ 2＋BP 2－2·BQ ·BP ·cos ∠QBP ＝(22)2＋⎝⎛⎭⎫132－2·22·13⎝⎛⎭⎫－223＝899， 球的直径为2R ＝PQ sin ∠QBP ＝89，可求得V ＝8989π6.综上外接球的体积为9π2或8989π6.17．解析：(1)设∠CBD ＝θ，因为tan θ＝12，又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故sin θ＝55，cos θ＝255，则sin ∠ABC ＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×55×255＝45，cos ∠ABC ＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×45－1＝35，故sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋2θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋2θ＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝22×⎝⎛⎭⎫45＋35＝7210.(2)由正弦定理BC sin A ＝ACsin ∠ABC ， 即BC 7210＝AC45，所以BC ＝728AC ，又·＝22||||＝28，所以||||＝282，所以AC ＝42，又由AB sin C ＝AC sin ∠ABC ，得AB 22＝AC45，所以AB ＝5.18．解析：方案一：选条件①.(1)由a 2n ＋1－a 2n ＝3，得{a 2n }是公差为3的等差数列，由a 1＝1，得a 21＝1，则a 2n ＝3n －2，又a n >0，所以a n ＝3n －2.(2)根据a 1，a n ，a m 成等比数列，得到a 2n ＝a 1a m ，即3n －2＝3m －2，则有m ＝3n 2－4n ＋2，因为n ∈N *且n ≥2，所以m ＝3n 2－4n ＋2∈N *，当n ＝2时，m min ＝6；方案二：选条件②.(1)因为a 2n －a n a n －1－3a n －1－9＝0⇔(a n ＋3)(a n －a n －1－3)＝0，因为a 1＝1，所以a n －a n －1－3＝0，则{a n }是等差数列，则a n ＝3n －2.(2)要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1a m ，即(3n －2)2＝3m －2，则有m ＝3n 2－4n ＋2，因为n ∈N *且n ≥2，所以m ＝3n 2－4n ＋2∈N *，当n ＝2时，m min ＝6；方案三：选条件③.(1)由S n ＝n 2－2n ＋2，得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 n ＝12n －3 n ≥2.(2)要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1a m ，即(2n －3)2＝2m －3，则有m ＝2n 2－6n ＋6，因为n ∈N *且n ≥2，所以m ＝2n 2－6n ＋6∈N *，当n ＝2时，m min ＝2.19．解析：(1)证明：因为PE ⊥EB ，PE ⊥ED ，EB ∩ED ＝E ， 所以PE ⊥平面EBCD ，又PE ⊂平面PEB ，所以平面PEB ⊥平面EBCD ，而BC ⊂平面EBCD ，BC ⊥EB ，所以平面PBC ⊥平面PEB ，由PE ＝EB ，PM ＝MB 知，EM ⊥PB ，于是EM ⊥平面PBC . 又EM ⊂平面EMN ，所以平面EMN ⊥平面PBC .(2)假设存在点N 满足题意，取E 为原点，直线EB ，ED ，EP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系E xyz ，不妨设PE ＝EB ＝2，显然平面BEN 的一个法向量为n 1＝(0,0,1)，设BN ＝m (0<m <2)，则＝(1,0,1)，＝(2，m,0)．设平面EMN 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则由·n 2＝·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ (1，0，1)·(x ，y ，z )＝0(2，m ，0)·(x ，y ，z )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝02x ＋my ＝0， 故可取n 2＝(m ，－2，－m )，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝(0，0，1)·(m ，－2，－m )2m 2＋4＝－m 2m 2＋4， 依题意⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m 2m 2＋4＝66， 解得m ＝1∈(0,2)，此时N 为BC 的中点．综上知，存在点N ，使得二面角B EN M 的余弦值为66， 此时N 为BC 的中点．20．解析：(1)根据散点图可以判断，y ＝c e dx 更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型；对y ＝c e dx 两边取自然对数，得ln y ＝ln c ＋dx ；令z ＝ln y ，a ＝ln c ，b ＝d ，得z ＝a ＋bx ； 因为＝∑i ＝17(x i －x )(z i －z )∑i ＝17 (x i －x )2＝＝40.1820147.7143≈0.272， ＝z －x ＝3.612－0.272×27.429≈－3.849；所以z 关于x 的回归方程为＝0.272x －3.849；所以y 关于x 的回归方程为＝e 0.272x－3.849.(2)①由f (p )＝C 35·p 3·(1－p )2，得f ′(p )＝C 35·p 2(1－p )(3－5p )， 因为0<p <1，令f ′(p )>0，得3－5p >0， 解得0<p <35； 所以f (p )在⎝⎛⎭⎫0，35上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫35，1上单调递减，所以f (p )有唯一的极大值为f ⎝⎛⎭⎫35，也是最大值；所以当p ＝35时，f (p )max ＝f ⎝⎛⎭⎫35＝216625； ②由①知，当f (p )取最大值时，p ＝35，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫5，35，所以X 的数学期望为E (X )＝5×35＝3，方差为D (X )＝5×35×25＝65.21．解析：(1)设以AP 为直径的圆的圆心为B ，切点为N ， 则|OB |＝2－|BA |，∴|OB |＋|BA |＝2.取A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′P ，故|A ′P |＋|AP |＝2(|BO |＋|BA |)＝4>2.所以点P 的轨迹是以A ′，A 为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a ＝2，c ＝1，曲线C 方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为x ＝ty ＋(2－3t )，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，直线DE 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)，故y S ＝y 1x 1－2(x 0－2)，同理y T ＝y 2x 2－2(x 0－2)；所以2y 0＝y S ＋y T ＝y 1x 1－2(x 0－2)＋y 2x 2－2(x 0－2)，即2y 0x 0－2＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2 ＝y 1t (y 1－3)＋y 2t (y 2－3) ＝2y 1y 2－3(y 1＋y 2)t [y 1y 2－3(y 1＋y 2)＋3]③联立⎩⎨⎧ x ＝ty ＋(2－3t )3x 2＋4y 2－12＝0，化简得(3t 2＋4)y 2＋(12t －63t 2)y ＋9t 2－123t ＝0，所以y 1＋y 2＝63t 2－12t 3t 2＋4，y 1y 2＝9t 2－123t3t 2＋4 代入③得，2y 0x 0－2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫9t 2－123t 3t 2＋4－3×63t 2－12t3t 2＋4t ⎣⎢⎡⎦⎥⎤9t 2－123t 3t 2＋4－3×63t 2－12t 3t 2＋4＋3＝－123t 12t ＝－3⇒3x 0＋2y 0－23＝0，所以点M 都在定直线3x ＋2y －23＝0上．22．解析：(1)证明：对f (x )求导得f ′(x )＝e x ＋sin x －a ，显然e x >0，sin x ≥－1，所以e x ＋sin x －a >0－1－a ≥0，即f ′(x )>0，所以f (x )在其定义域上是单调递增函数，故f (x )无极值点；(2)解法一：对g (x )求导得g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－a ＋sin x (x >－1)，又注意到g ′(0)＝2－a ，令g ′(0)＝2－a ＝0，得a ＝2.此时g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－2＋sin x ，令h (x )＝g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－2＋sin x ，则h ′(x )＝e x －1(x ＋1)2＋cos x ，显然，在x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2上，e x >1>1(x ＋1)2，cos x >0，此时h ′(x )＝e x －1(x ＋1)2＋cos x >0，故h (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，所以h (x )>h (0)＝0，即g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－2＋sin x >0；又当x ∈(－1,0)时，令s (x )＝(x ＋1)2e x ，t (x )＝(x ＋1)2cos x ，则s ′(x )＝(x ＋1)(x ＋3)e x >0，s (x )是(－1,0)上的增函数，所以s (－1)<s (x )<s (0)，即0<s (x )<1，故存在区间(x 1,0)⊂(－1,0)，使s (x )>12，即e x >12(x ＋1)2；又0<(x ＋1)2<1，cos 1<cos x <1，即0<t (x )<1，故存在区间(x 2,0)⊂(－1,0)，使t (x )>12，即cos x >12(x ＋1)2，现设(x 1,0)∩(x 2,0)＝(x 0,0)，则在区间(x 0,0)上，e x >12(x ＋1)2，cos x >12(x ＋1)2同时成立，即h ′(x )＝e x －1(x ＋1)2＋cos x >0，故h (x )在(x 0,0)上是增函数，h (x )<h (0)＝0.从而存在区间(x 0,0)， 使得g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－2＋sin x <0；因此存在a ＝2，使得g (x )在x ＝0处取得极小值．解法二：x ＝0是f (x )的极小值点的必要条件是f ′(0)＝2－a ，即a ＝2. 此时，g ′(x )＝e x ＋11＋x －2＋sin x ，显然当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，g ′(x )＝e x ＋11＋x －2＋sin x≥1＋x ＋11＋x －2＋sin x >0；当－14<x <0时，(1＋x )⎝⎛⎭⎫1－x ＋32x 2＝1＋x 22(3x ＋1)>1⇒11＋x <1－x ＋32x 2.令m (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋x ＋x 22e －x ，m ′(x )＝－x 22e －x ≤0，故m (x )是减函数．因此，当x <0时，m (x )>m (0)＝1，即e x <1＋x ＋x 22.令h (x )＝sin x －12x ，h ′(x )＝cos x －12.当－1<x <0时，h ′(x )>cos 1－12>0，故h (x )在(－1,0)上单调递增．因此，当－1<x <0时，h (x )<h (0)＝0，即sin x <12x .故当x ∈⎝⎛⎭⎫－14，0时，g ′(x )＝e x ＋11＋x －2＋sin x≤⎝⎛⎭⎫1＋x ＋x22＋⎝⎛⎭⎫1－x ＋32x 2－2＋x 2＝2x 2＋x 2<0；因此，a ＝2时x ＝0是g (x )的极小值点．。
2021年高考数学模拟试卷全国卷(附参考答案和详解)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生模拟考试（4）数学（适用新高考地区）总分：150分 考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,2,3,4}P =，{3,4,5}Q =，则()U P Q =（ ）A.{1,2,3,4,6}B.{1,2,3,4,5}C.{1,2,5}D.{1,2}2.复数z 满足(i)(2i)5z --=，则z =（ ）A.22i --B.22i -+C.22i -D.22i +3.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）A.7B.15C.25D.354.曲线321y x x =-+在点(1,0)处的切线方程为（ ）A.1y x =-B.1y x =-+C.22y x =-D.22y x =-+5.函数π()sin cos 6f x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的值域为（ ）A.[2,2]-B.[C.[1,1]-D.,22⎡-⎢⎣⎦6.函数3()22x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是（ ）A.0B.1C.2D.37.已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3P35 310 110则X 的数学期望E X =()（ ）A.32B.2C.52D.38.已知实数x ，y 满足(01)xya a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ） A.33x y >B.sin sin x y >C.22ln(1)ln(1)x y +>+D.221111x y >++ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.设某中学的高中女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据i i (,)x y (i 1,2,3,,)n =，用最小二乘法近似得到回归直线方程为0.85 5.1ˆ87yx =-，则下列结论中正确的是（ ） A.y 与x 具有正线性相关关系 B.回归直线过样本的中心点(,)x yC.若该中学某高中女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该中学某高中女生身高为160cm ，则可估计其体重为50.29kg10.如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，且1MD NB ==，G 为MC 的中点．则下列结论中正确的是（ ）A.MC AN ⊥B.GB AMN 平面C.CMN AMN ⊥平面平面D.DCM ABN 平面平面11.能够把圆22:9O x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数()f x 称为圆O 的“亲和函数”，下列函数中，是圆O 的“亲和函数”的为（ ）A.32()4f x x x =+B.5()ln5xf x x -=+ C.e e ()2x xf x -+=D.()tan5x f x =12.某房地产建筑公司在挖掘地基时，出土了一个宋时小文物，如图，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面由半椭圆1C ：22221(0)x y x a b +=≥与半椭圆2C ：22221(0)x y x c b+=<（其中222a b c =+，0a b c >>>）组成．设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是轴截面与x ，y 轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，若宝珠的体积是32π3，1F ，2F 在宝珠珠面上，012F F F 是等边三角形，给出以下四个命题，其中是真命题的有（ ）A.椭圆1C 的离心率为217B.椭圆2C 的离心率大于椭圆1C 的离心率C.椭圆2C 的焦点在y 轴上D.椭圆2C 的长、短轴之比大于椭圆1C 的长、短轴之比第Ⅱ卷本卷包括填空题和解答题两部分，共90分. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分。
2021届高考数学(新高考)仿真模拟卷(四)(含答案)
2021届高考数学（新高考）仿真模拟卷（四）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知复数2i1iz =+，则z z ⋅的值 A ．0B ．2iC ．2D ．12．命题“x R ∀∈，2210x x ++>”的否定是 A ．0x R ∃∈，使得200210x x ++> B ．0x R ∃∈，使得200210x x ++≤ C ．x R ∀∈，2210x x ++≤ D ．x R ∀∈，2210x x ++<3．已知向量()2,1m =-，(),2n λ=，若()2m n m -⊥，则λ= A ．94B ．94-C ．7-D ．74．如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME -7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===⋯==，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为A ．n a n =，*n N ∈B ．n a =*n N ∈C ．n a =，*n N ∈D ．2n a n =，*n N ∈5．已知正实数a ，b 满足1a b +=，则1231⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a b 的最小值为A ．14+B ．25C ．24D ．6．在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()2sin 2BA C +=.2a =，3c =，则sin 2A 的值为A ．7-B ．14C ．7D ．14-7．已知a 、b 满足0a b e <<<，则ln +ba a a 与ln +ab b b的大小关系为 A ．ln ln +>+a ba ba b a b B ．ln ln +=+a ba b a b a bC ．ln ln +<+a ba b a b a bD ．不能确定8．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．德国数学家狄里克雷（1805—1859）在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围内的每一个x ，都有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示.他还发现了狄里克雷函数D(x )，即：当自变量x 取有理数时，函数值为1，当自变量x 取无理数时，函数值为0.狄里克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，下列关于狄里克雷函数D(x )的性质表述正确的是A ．()0D π=B ．()D x 是奇函数C ．()D x 的值域是{}0,1D ．()()1D x D x +=10．若2nx⎛ ⎝的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的可能值为A ．9B ．10C ．11D ．1211．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有 A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，线段11B D 上有两个动点,E F ，且1EF =，以下结论正确的有A ．AC BE ⊥B ．异面直线,AE BF 所成的角为定值C ．点A 到平面BEF 的距离为定值D ．三棱锥A BEF -的体积是定值三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．在Rt ABC 中，2A π∠=，2AC =，那么CB CA ⋅=_____；14．夏､秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为____.15．设函数()()21,11,1x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，()lg g x x =，则函数()()()F x f x g x =-零点的个数有______个.16．若n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2121232222n n a a a a n n -++++=+，则n a =______n S =_____四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．如图，ABC 中的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，8c =，1cos 7ACB ∠=-且14cos b B =．（1）求B（2）点D 在BC边的延长线上，且AD =CD 的长．18．设33M a =-，22N a =，4T a =，给出以下四种排序：①M ，N ，T ；②M ，T ，N ；③N ，T ，M ；④T ，N ，M ．从中任选一个，补充在下面的问题中，解答相应的问题．已知等比数列{}n a 中的各项都为正数，11a =，且__________依次成等差数列． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅰ）设,01,{1,1,n n n n na ab a a <≤=>数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足100n n S b >的最小正整数n ．注：若选择多种排序分别解答，按第一个解答计分．19．为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km h 的有40人，不超过100km h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km h 的有20人，不超过100km h 的有25人.（1）完成下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的前提下认为“平均车速超过100km h 与性别有关”？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.（2）在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100km h 的人中随机抽取2人，求这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；（3）以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100km h 且为男性驾驶员的车辆数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .20．如图，在四棱锥P −ABCD 中，AD //BC ，AD =2BC =4，AB =2√3，∠BAD =90∘，M,O 分别为线段CD,AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ．（1）求证：平面PBM ⊥平面PAC ；（2）是否存在线段PM 上一点N ，使得ON //平面PAB ，若存在，求PN PM的值；若不存在，请说明理由．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b +=和椭圆2C ：22221x yc b+=，其中0a c b >>>，222a b c =+，1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，且满足12:e e =A ，B 分别是椭圆2C 的右、下顶点，直线AB 与椭圆1C 的另一个交点为P ，且185PB =.（1）求椭圆1C 的方程；（2）与椭圆2C 相切的直线MN 交椭圆1C 与点M ，N ，求MN 的最大值. 22．已知函数()22xf x x ax e =+-在R 上单调递减.（1）求实数a 的取值范围；（2）若存在非零实数1x ，2x 满足1f x ，()0f ，2f x 依次成等差数列.求证：120x x +<.参考答案1．C 2．B 3．A 4．C 5．A 6．C 7．C 8．C 9．ACD 10．ABC 11．ACD 12．ACD 13．4 14．1315．8 16．1212n n -+ 125102n n -+- 17．（1）3B π=；（2）7CD =.【解析】（1）因为1cos 7ACB ∠=-，(0,)ACB π∠∈，所以sin ACB ∠== 在ABC 中，由正弦定理得：sin sin b c B ACB=∠，所以sin sin 3c B b B ACB ==∠，又14cos b B =14cos B B =，所以tan B = 因为(0,)B π∈，所以3B π=.（2）由（1）可得11472b =⨯=，在ACD △中，1cos cos 7ACD ACB ∠=-∠=， 由余弦定理可得：2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅⋅∠，即22217277CD CD =+-⋅⋅⋅，即22350CD CD -⋅-=， 解得：7CD =或5-（舍去）， 所以7CD =.18．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅰ）答案见解析. 【解析】（解答一）选②或③：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，则0q >．由条件得423223a a a =-，又因为11a =，所以32223q q q =-，即22320q q +-=，解得12q =（负值舍去）．所以112n n a -=．（Ⅰ）由题意得112n n b -=，则1112121212n nn n S ---==-．由100n n S b >得 112110022n n n --->，即2101>n ，又因为*n ∈N ，所以n 的最小值为7． （解答二）选①或④：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，则0q >．由条件得24343a a a =-，又因为11a =，所以3243q q q =-，即2340q q --=，解得4q =（负值舍去）．所以14n n a -=．（Ⅰ）由题意得114n n b -=，则11141413414n n n n S ---==⨯-．由100n n S b >得 1141100344n n n --->⨯，即4301n >，又因为*n ∈N ，所以n 的最小值为5． 19．（1）答案见解析，能；（2）2552；（3）答案见解析，65.【解析】（1）完成的22⨯列联表如下：()22100402515208.2497.87955456040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为“平均车速超过100km h 与性别有关”. （2）平均车速不超过100km h 的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为240C ，记“这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A ， 则事件A 所包含的基本事件数为111525C C ，所以所求的概率()111525240152525203952C C P A C ⨯===⨯. （3）根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车， 平均车速超过100km h 且为男性驾驶员的概率为4021005=， 故2(3,)5XB .所以0332327(0)()()55125P X C ===；()12323541()()55125P X C ===； ()22323362()()55125P X C ===；3303238(3)()()55125P X C ===. 所以X 的分布列为()2701231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（或()26355E X =⨯=）.20．（1）证明见解析；（2）λ=13. 【解析】试题分析：（1）以A 为原点建立空间直角坐标系A −xyz ，可得BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2,0)， BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，BM ⊥AC 又BM ⊥PO 得BM ⊥平面PAC ，进而得结论；（2）设OP =ℎ，可得平面PAB 的一个法向量为n ⃗ =(0,−ℎ,1)，再根据ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2λℎ+ℎ−λℎ=0可解得λ. 试题解析：（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A −xyz ，B(2√3,0,0)，C(2√3,2,0)，D(0,4,0)，所以CD 中点M(√3,3)，则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2,0)，则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3)×(2√3)+3×2=0，所以BM ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，所以BM ⊥PO ，由AC ∩PO =O ， 所以BM ⊥平面PAC ，又BM ⊂平面PBM ，所以平面PBM ⊥平面PAC .（2）法一：设OP =ℎ，则O(√3,1,0)，P(√3,1,ℎ)，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−ℎ)， 设平面PAB 的一个法向量为n ⃗ =(x 0,y 0,z 0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,ℎ)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)， 所以{n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，则{√3x 0+y 0+ℎz 0=02x 0=0 ，令z 0=1，得n ⃗ =(0,−ℎ,1)，设PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2λ,−λℎ) (0≤λ≤1)，则 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2λ,ℎ−λℎ)， 若ON//平面PAB ，则ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2λℎ+ℎ−λℎ=0，解得λ=13.法二：（略解）：连接MO 延长与AB 交于点E ，连接PE ，若存在ON//平面PAB ，则ON//PE ， 证明OE EM=13即可.21．（1）22193x y +=；（2）2. 【解析】（1）由题意知1c e a =，2e c c==，因为12:e e =2c a c=⋅，22， 将等号两边同时平方，得42243840c a c a -+=，即()()22222230a c a c --=，所以2232a c =，又222a b c =+，所以3a b ，c =，所以),0A ，()0,B b -，所以直线AB 的方程为2y x b =-，与椭圆1C ：222213x y b b +=联立并消去y ，得222332x x b b ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，整理得10x =，25x =，所以,55b P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因为185PB =185=，得b =3a =，椭圆1C 的方程为22193x y +=. （2）当直线MN 的斜率不存在时，易得2MN =.当直线MN 的斜率存在时，设直线MN ：()0y kx m k =+≠，与椭圆2C ：22163x y +=联立并消去y ， 得()222124260k x knx m +++-=，因为直线MN 与椭圆2C 相切，所以()()222216412260k m km ∆=-+-=，整理得()22630*k m +-=， 将直线MN 与椭圆1C 方程联立并消去y ，得()222136390k x kmx m +++-=， 由()*式可得()()()22222223641339129336k m k m k m k ∆=-+-=+-=.设(),M M M x y ，(),N N N x y ，则2613M N km x x k -+=+，223913M N m x x k-=+，所以213M NMN xk=-==+设213k t+=，则1t>，2MN==≤，22<，所以当4t=，即1k=±时，MN最大，且最大值为2.22．（1）(],2-∞；（2）证明见解析.【解析】（1）根据题意，()220xf x x a e'=+-≤恒成立，即()maxf x'≤，设()()g x f x'=，则()22xg x e='-.令0g x，得0x=，当0x<时，0g x，()g x 单调递增；当0x>时，0g x，()g x单调递减.所以()()max02g x g a==-.所以20a-≤，即2a≤.故a的取值范围为(],2-∞.（2）由题意得()()()1202f x f xf+=，因为()f x单调递减，不妨设12x x<<.设()()()22x xf x f xF x x e e-+-==--，则()2x xF x x e e-'=-+.设()()G x F x'=，则()20x xG x e e-'=--≤，所以()G x单调递减，即()F x'单调递减.当0x<时，()()00F x F''>=，所以()F x在,0上单调递增.因为10x<，所以()()1F x F<，即()()()()()1112022f x f x f x f x f +-+<=，整理可得()()12f x f x -<. 因为()f x 在R 上单调递减，所以12x x ->，即120x x +<.。
江西省赣州市2021届新高考数学仿真第四次备考试题含解析
江西省赣州市2021届新高考数学仿真第四次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A ⋃B ，则集合中的元素共有 （ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】A 【解析】试题分析：{}3,4,5,7,8,9U A B =⋃=,{}4,7,9A B ⋂=,所以{}()3,5,8U C A B ⋂=，即集合()U C A B ⋂中共有3个元素，故选A ． 考点：集合的运算．2．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( ) A ．sin y x =π. B ．|1|y x =- C ．cos y x π= D ．e e x x y -=+【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案. 【详解】A 中，当1x =时，sin 01y x =π=≠，所以sin y x =π不关于直线1x =对称，则A 错误；B 中，()()1,111,1x x y x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩，所以在区间[1,0]-上为减函数，则B 错误； D 中，()xxy f x e e -==+，而()()2202,2f f e e -==+，则()()02f f ≠，所以e e x x y -=+不关于直线1x =对称，则D 错误； 故选：C. 【点睛】本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.3．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）A．13B．12C．23D．34【答案】B【解析】【分析】基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个，由此求出概率.【详解】解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共6个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个，所以，所求的概率3162 P==.故选：B.【点睛】本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题．4．定义运算()()a a ba bb a b≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x=⊕的图象是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值，因此函数()1,0122,0xx x f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩，只有选项A 中的图象符合要求，故选A.5．已知命题p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥；命题q ：a b >，则有22a b >．则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】B 【解析】 【分析】先分别判断命题,p q 真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论. 【详解】p 为真命题；命题q 是假命题，比如当0a b >>,或=12a b =-，时，则22a b > 不成立. 则p q ∧，()()p q ⌝∧⌝，()p q ⌝∨均为假. 故选:B 【点睛】本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题. 6．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．12y x = B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=-【答案】C 【解析】 【分析】由每个函数的单调区间，即可得到本题答案. 【详解】因为函数12,2x y x y ==和1y x =-在(0,)+∞递增，而12log y x =在(0,)+∞递减.故选：C 【点睛】本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题.7．已知向量a r 与b r 的夹角为θ，定义a b ⨯r r 为a r 与b r 的“向量积”，且a b ⨯r r是一个向量，它的长度sin a b a b θ⨯=r r r r ，若()2,0u =r ，(1,u v -=r r ，则()u u v ⨯+=r r r（ ）A ．BC ．6D ．【答案】D 【解析】 【分析】先根据向量坐标运算求出(u v +=r r和cos ,u u v +r r r ，进而求出sin ,u u v +r r r ，代入题中给的定义即可求解. 【详解】由题意()(v u u v =--=r r r r ，则(u v +=r r ，cos ,2u u v +=r r r ，得1sin ,2u u v +=r r r ，由定义知()1sin ,22u u v u u v u u v ⨯+=⋅++=⨯=r r r r r r r r r ，故选:D. 【点睛】此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目. 8．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题，得到结果. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可得0:p x R ⌝∃∈，200x ≤本题正确选项：B 【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.9．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．4【答案】A 【解析】 【分析】224442+=()()2222224+=22222+=的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法. 【详解】最底层正方体的棱长为8，224442+= ()()2222224+=，222222+=， ()()22222+=，22112+=2222122⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2211222⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题. 10．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则 A ．{|02}A B x x ⋂=<<B ．{|2}A B x x ⋂=<C ．{|2}A B x x ⋃=<D ．{|12}A B x x =-<<U【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为2{|1}{|11}A x x x x =<=-<<,2{|log 1}{|02}B x x x x =<=<<,所以{|01}A B x x =<<I ,{|12}A B x x =-<<U ,故选D ．11．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题： ①若m αβ=I ，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若m α⊥，m β⊥，则//αβ； ③若//m n ，m α⊂，//αβ，则βn//；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ 其中正确的是（ ） A ．①② B ．③④C ．①④D ．②④【答案】D 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理可判断①；根据空间面面平行的判定定理可判断②；根据线面平行的判定定理可判断③；根据面面垂直的判定定理可判断④. 【详解】对于①，若m αβ=I ，n ⊂α，n m ⊥，α，β两平面相交，但不一定垂直，故①错误； 对于②，若m α⊥，m β⊥，则//αβ，故②正确；对于③，若//m n ，m α⊂，//αβ，当n β⊂，则n 与β不平行，故③错误； 对于④，若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥，故④正确； 故选：D 【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题.12．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F,抛物线C 与圆22:(3C x y +-='交于M,N 两点,若||MN =,则MNF V 的面积为( )A B ．38C ．8D ．4【分析】由圆C '过原点，知,M N 中有一点M 与原点重合，作出图形，由3C M C N ''==，6MN =，得C M C N ''⊥，从而直线MN倾斜角为4π，写出N 点坐标，代入抛物线方程求出参数p ，可得F 点坐标，从而得三角形面积． 【详解】由题意圆C '过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为M ，如图， 由于3C M C N ''==，6MN =，∴C M C N ''⊥，∴4C MN π'∠=，4NOx π∠=，∴点N 坐标为(3,3)，代入抛物线方程得2(3)23p =⨯，3p =， ∴3(,0)F ，11333228FMN N S MF y ∆=⨯=⨯⨯=． 故选：B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点O 是其中一个交点，从而MNC '∆是等腰直角三角形，于是可得N 点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省六安市2021届新高考数学仿真第四次备考试题含解析
安徽省六安市2021届新高考数学仿真第四次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（ ） A ．10 B ．16C ．20D ．24【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质得到46582a a a +==，再计算得到答案. 【详解】已知等差数列{}n a 中，4655824a a a a +==⇒=345675520a a a a a a ++++==故答案选C 【点睛】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.2．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若32a =，12b =，则输出的n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】分析：根据流程图中的2a a a =+可知，每次循环a 的值应是一个等比数列，公比为32；根据流程图中的2b b =可知，每次循环b 的值应是一个等比数列，公比为2，根据每次循环得到的,a b 的值的大小决定循环的次数即可.详解： 记执行第n 次循环时，a 的值记为有n a ，则有3322nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 记执行第n 次循环时，b 的值记为有n b ，则有122nn b =⨯.令3321222n n ⎛⎫≤⨯ ⎪⎝⎭，则有3348n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故 4n ≥，故选B.点睛：本题为算法中的循环结构和数列通项的综合，属于中档题，解题时注意流程图中蕴含的数列关系（比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义，是否是求数列的前n 和、前n 项积等）. 3．已知复数z 534i=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．45B ．45-C ．45iD ．45-i 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【详解】()()()53453434343455i z i i i i -===-++-，则复数z 的虚部为45-. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 4．如图所示是某年第一季度五省GDP 情况图，则下列说法中不正确的是（ ）A ．该年第一季度GDP 增速由高到低排位第3的是山东省B ．与去年同期相比，该年第一季度的GDP 总量实现了增长C ．该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D ．去年同期浙江省的GDP 总量超过了4500亿元 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可. 【详解】由折线图可知A 、B 项均正确，该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的 省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C 项正确；4632.1(1 3.3%)44844500÷+≈<. 故D 项不正确. 故选：D. 【点睛】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.5．设椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】C 【解析】 【分析】连接OM ，OM 为ABC ∆的中位线，从而OFM AFB ∆∆:，且12OF FA=，进而12c a c =-，由此能求出椭圆的离心率. 【详解】如图，连接OM ，Q 椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ， B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B 在第二象限， 直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点∴OM 为ABC ∆的中位线， ∴OFM AFB ∆∆:，且12OF FA=， 12c a c ∴=-， 解得椭圆E 的离心率13c e a ==. 故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.6．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C 【解析】 【分析】取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，根据正棱柱的结构性质，得出1A E //AD ，则1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角，求出11tan CECA E A E∠=，即可得出结果. 【详解】解：如图，取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，由于正三棱柱111ABC A B C -，则1BB ⊥底面111A B C ，而1A E ⊂底面111A B C ，所以11BB A E ⊥， 由正三棱柱的性质可知，111A B C △为等边三角形， 所以111A E B C ⊥，且111A E B C E =I , 所以1A E ⊥平面11BB C C ，而EC ⊂平面11BB C C ，则1A E ⊥EC ， 则1A E //AD ，190A EC ∠=︒，∴1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角， 设2AB =，则122AA =，13A E =，3CE =， 则11tan 33CE CA E A E ∠===， ∴13πCA E ∠=. 故选：C. 【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.7．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是： A ．①④ B ．②③C ．①③④D ．①②④【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】对于①，根据基尼系数公式Gini aS=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可得()1f x x<，所以②错误.对于③，因为1223100111()d ()|236a x x x x x =-=-=⎰，所以116Gini 132a S ===，所以③错误.对于④，因为1324100111()d ()|244a x x x x x =-=-=⎰，所以114Gini 122a S ===，所以④正确.故选A ．8．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ）A．y x =±B．y x = C ．2x y =±D ．2y x =±【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意可知，双曲线2214x y -=的渐近线方程是2x y =±.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用．9．已知向量()()1,3,2a m b ==-v v ，，且()a b b +⊥vv v ，则m=( )A ．−8B ．−6C ．6D ．8【答案】D由已知向量的坐标求出a b +rr 的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-r r r r ，又()a b b +⊥rr r ，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝1． 故选D ． 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．10．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ） A ．12B ．14C ．15D ．110【答案】D 【解析】 【分析】把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件．计数后可求得概率． 【详解】3本不同的语文书编号为,,A B C ，2本不同的数学书编号为,a b ，从中任意取出2本，所有的可能为：,,,,,,,,,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb ab 共10个，恰好都是数学书的只有ab 一种，∴所求概率为110P =． 故选：D. 【点睛】本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率． 11．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．83该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积114222323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选C .12．设复数z 满足()117i z i +=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 【分析】化简得到34z i =--，得到答案. 【详解】()117i z i +=-，故()()()()1711768341112i i i iz i i i i -----====--++-，对应点在第三象限. 故选：C . 【点睛】本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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（新高考）2020-2021学年11月份
内部特供卷
数 学（四）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列函数与函数y x =相等的是（ ） A ．2
()y x = B ．2
y x =
C ．3
3()y x =
D ．2
x y x
=
【答案】C
【解析】因为函数2()y x =的定义域为[0,)+∞，而函数y x =的定义域为R ，故A 选项错误； 因为函数2y x =
的值域为[0,)+∞，而函数y x =的值域为R ，故B 选项错误；
因为函数2
x y x
=的定义域为{}0x x ≠，而函数y x =的定义域为R ，故D 选项错误；
因为33()y x =与y x =的定义域、值域、对应关系都相同，故C 选项正确， 故选C ．
2．函数2
241log x y x
-=+的定义域为（ ）
A ．(]0,2
B ．110,,222⎛⎫⎛⎤
⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦
C ．()2,2-
D ．[]2,2-
【答案】B
【解析】要使函数有意义，则2
240
01log 0x x x ⎧-⎪
>⎨⎪+≥≠⎩，得22012x x x ⎧
⎪-≤≤⎪>⎨⎪⎪≠
⎩
，
即102x <<
或1
22
x <≤， 即函数的定义域为110,
,222⎛⎫⎛⎤
⎪ ⎥⎝
⎭⎝⎦
，故选B ． 3．若1
tan 3α=
，1tan()2
αβ+=，则tan β=（ ） A ．
17 B ．
16
C ．
57
D ．
56
【答案】A
【解析】由题意11tan()tan 1
23tan tan[()]111tan()tan 7
123
αβαβαβααββ-
+-=+-=
==+++⨯，故选A ． 4．函数()sin y A x ωϕ=+（0A >，0>ω，πϕ<）的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）
A ．()π2sin 26f x x ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭ B ．()π2sin 23f x x ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
C ．()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
D ．()1
π2sin 2
3f x x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭
【答案】A
【解析】根据函数sin()(0y A x A ωϕ=+>，0>ω，||π)ϕ<的部分图象，
可得2A =，
2π236
π1πω⋅=+，2ω∴=． 再根据五点法作图，可得π2π23ϕ⨯+=，6
π
ϕ∴=-，
此
卷只
装
订
不
密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号。