高考数学平面向量知识点及相关题型精修订
高中数学平面向量知识点归纳总结
高中数学平面向量知识点归纳总结
1. 平面向量的定义
平面向量是具有大小和方向的有序数对，可以用箭头表示。
常
用字母表示向量，如a、b等。
向量的大小可以用模表示，记作|a|。
2. 平面向量的运算
2.1 向量的加法
向量的加法是指将两个向量按照相同的方向连接起来，得到一
个新的向量。
加法满足交换律和结合律。
2.2 向量的减法
向量的减法是指将两个向量相加的相反向量相加，得到一个新
的向量。
2.3 向量的数量积
向量的数量积（点积）是指两个向量相乘后的数量，用点表示，记作a · b。
数量积满足交换律和分配律。
2.4 向量的向量积
向量的向量积（叉积）是指两个向量相乘后的向量，用叉表示，记作a × b。
3. 平面向量的性质
3.1 平行向量
如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
平行向
量的数量积等于两个向量的模的乘积。
3.2 垂直向量
如果两个向量的数量积为0，则它们是垂直向量。
垂直向量的
点积为0。
3.3 向量的模
向量的模表示向量的大小，可以使用勾股定理求解。
4. 平面向量的应用
平面向量在几何中有广泛的应用，可以用来表示平移、旋转和
线段的位置关系等。
在物理学中，平面向量可以用来表示力的大小
和方向。
以上是关于高中数学平面向量的基本知识点归纳总结。
希望能够对你的学习和理解有所帮助！。
高考平面向量知识点总结
高考平面向量知识点总结高考平面向量的知识点总结如下：1. 平面向量的定义：平面上的向量是有大小和方向的有向线段，可以用有向线段的终点与起点之间的位移来表示。
2. 平面向量的表示：平面向量可以用坐标表示，形如AB→=(x2-x1, y2-y1)。
3. 平面向量的基本运算：a) 向量的加法：将两个向量的相应分量相加，得到一个新的向量。
b) 向量的减法：将两个向量的相应分量相减，得到一个新的向量。
c) 向量的数乘：将向量的每一个分量都乘以一个标量，得到一个新的向量。
d) 向量的数量积：将两个向量的相应分量相乘，再将这些乘积相加，得到一个标量。
e) 向量的模长：向量的模长等于对应坐标差的平方和的平方根。
4. 平面向量的运算规律：a) 加法的交换律：A+B=B+Ab) 加法的结合律：(A+B)+C = A+(B+C)c) 数乘的结合律：k(A+B) = kA+kBd) 数乘的分配律：(k+l)A = kA + lA5. 平面向量共线与平行：若向量a与向量b线性相关，则称向量a 与向量b共线；若向量a与向量b既共线又同向或反向，则称向量a与向量b平行。
6. 平面向量的数量积与夹角关系：a) 两个向量共线时，它们的数量积等于它们的模长的乘积。
b) 两个向量平行时，它们的数量积等于它们的模长的乘积乘以它们的夹角余弦值。
7. 平面向量的坐标表示与几何应用：a) 两个向量的坐标之间的关系：可以根据向量与坐标之间的关系，求解所有给出的向量的坐标。
b) 利用向量的坐标表示进行运算：可以通过向量的坐标表示来进行向量的加法、减法、数量积等运算。
c) 利用向量的几何应用：可以用向量的几何性质解决平面几何问题，如求线段的垂直平分线等。
这些是高考平面向量的基本知识点，掌握了这些知识点可以帮助理解和解决与平面向量相关的问题。
高考平面向量题型归纳总结
高考平面向量题型归纳总结在高考数学考试中，平面向量是一个常见的考点，也是学生普遍认为较为困难的部分之一。
平面向量题型包括向量的加减、数量积、向量方向等。
本文将对高考平面向量题型进行归纳总结，帮助学生更好地掌握此类题型。
一、向量的加减1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
在解题过程中，可以利用向量的平移性质，将向量平移至同一起点，再连接终点得到新的向量。
2. 向量的减法向量的减法可以转化为加法进行处理，即a - b = a + (-b)。
其中，-b表示b的反向量，即方向相反的向量，模长相等。
二、数量积数量积又称为内积或点积，记作a·b。
1. 定义对于两个向量a(x₁, y₁)和b(x₂, y₂)，它们的数量积a·b = x₁x₂ +y₁y₂。
另外，数量积还可以表示为向量模长和夹角的乘积，即a·b =|a| · |b| · cosθ，其中θ为a与b的夹角。
2. 性质(1) 交换律：a·b = b·a(2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c(3) 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中k为实数(4) 若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个为零向量(5) 若a·b > 0，则夹角θ为锐角；若a·b < 0，则夹角θ为钝角。
三、向量方向向量的方向可以用两种方式来表示：1. 向量的方向角：向量a(x, y)的方向角为与x轴正方向之间的夹角α，其中-π < α ≤ π。
2. 方向余弦：向量a(x, y)的方向余弦为与x轴的夹角的余弦值cosα，与y轴的夹角的余弦值cosβ。
在解决平面向量题型时，可以利用这两种方式来确定向量的方向。
考点31平面向量基本定理及坐标表示(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习(新高考版
考点31平面向量基本定理及坐标表示（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．【知识点】1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，一对实数λ1，λ2，使a ＝.若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个 ．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝，a －b ＝，λa ＝，|a |＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则 坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝ ，|AB →|＝.4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔ .常用结论已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点P 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)；已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)..【核心题型】题型一 平面向量基本定理的应用(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【例题1】（2024·湖南衡阳·三模）在三角形ABC 中，点M 在平面ABC 内，且满足(,)BM BA BC l m l m =+ÎR uuuu r uuu r uuu r ，条件:3P AM MC =uuuu r uuu u r，条件:221Q m l -=，则P 是Q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【变式1】（2024·河北·模拟预测）在边长为1的正三角形ABC 中，13A A DB =uuu u u ru r ，13BE BC =uuu r uuu r ，AE 与CD 交于点F ，则CD BF ×=uuu r uuu r（ ）A ．1B ．0C ．12-D ．【变式2】（2023·陕西咸阳·模拟预测）在ABC V 中，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上，且13BE BA BC l =+uuu r uuu r uuu r ，AE xBA yBC =+uuu r uuu r uuu r，则x y l -=.【变式3】（2023·广东佛山·模拟预测）在ABC V 中，2AB =，BC =，M 点为BC 的中点，N 点在线段AC 上且13AN AC =，2BN =.(1)求AC ；(2)若点P 为AM 与BN 的交点，求MPN Ð的余弦值.题型二 平面向量的坐标运算(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．【例题2】（2023·广东佛山·二模）已知ABCD Y 的顶点()1,2--A ，()3,1B -，()5,6C ，则顶点D 的坐标为（ ）A ．()1,4B ．()1,5C ．()2,4D ．()2,5【变式1】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 内，已知点()()1,1,1,2A AB -=-uuu r ，则OB =uuu r（ ）A ．()2,3-B ．()0,1-C ．()2,3-D ．()0,1【变式2】(多选)（2022·海南·模拟预测）用下列1e u r ，2e u ur 能表示向量()3,2a =r 的是（ ）A ．()16,4e =u r ，()29,6e =u u rB ．()11,2e =-u r，()25,2e =-u u r C ．()13,5e =u r，()26,10e =u u r D ．()12,3e =-u r，()22,3e =-u u r 【变式3】（2023·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，点()0,0A ，()4,4B -，()2,6D ．若AC 与BD 的交点为M ，则DM 的中点E 的坐标为,题型三 向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1.(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )．命题点1 利用向量共线求参数【例题3】（2024·陕西渭南·三模）已知向量()2,m l =r ，()2,4n l =--r ，若m r与n r 共线且反向，则实数l 的值为（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．2-或4【变式1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量()4,a m =r ，()2,2b m =r ，若a b r r ∥，则m =（ ）A ．4或2B ．2-C ．2D ．2或2-【变式2】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知向量()3,4a =r ，()2,b k =r，且()//a b a +r r r ，则实数k = .【变式3】（2023·四川成都·一模）已知向量()sin ,1a x =r，),2b x =-r ，函数()()f x a b a =+×r r r .(1)若//a b r r ，求cos2x 的值；(2)a ，b ，c 为ABC V 的内角A ，B ，C 的对边，2a =，且()12f A =，求ABC V 面积的最大值.命题点2 利用向量共线求向量或点的坐标【例题4】（2024·全国·模拟预测）已知()4,2M -，()6,4N --，且12MP MN =-uuu r uuuur ，则点P 的坐标为（ ）A ．()1,1B ．()9,1-C ．()2,2-D ．()2,1-【变式1】（2024·江苏南京·二模）已知向量()1,2a =r ，(),3b x x =+r ．若a b rr P ，则x =（ ）A ．6-B ．2-C ．3D ．6【变式2】（2023·山东青岛·一模）已知()0,0O ，()1,2A ，()3,1B -，若向量m OA uuu r r ∥，且mr 与OB uuu r 的夹角为钝角，写出一个满足条件的m r的坐标为 ．【变式3】（2024·河南信阳·模拟预测）抛物线E ：24y x =的焦点为F ，直线AB ，CD 过F 分别交抛物线E 于点A ，B ，C ，D ，且直线AD ，BC 交x 轴于N ，M ，其中()2,0N ，则M 点坐标为．【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在边长为2的等边ABC V 中，点E 为中线BD 的三等分点（靠近点B ），点F 为BC 的中点，则FE FB ×=uuu r uuu r（ ）A ．B ．12-C ．34D ．122．（2024·河北承德·二模）在ABC V 中，D 为BC 中点，连接AD ，设E 为AD 中点，且,BA x BE y ==uuu r uuu r r r ，则BC =uuu r（ ）A ．42x y+r r B ．4x y-+r r C ．42x y--r r D ．42y x-r r 3．（2024·河北秦皇岛·二模）已知向量(),23a m m =+r ，()1,41b m =+r ，则“34m =-”是“a r 与br 共线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．（2024·四川·模拟预测）已知向量()2,1a =r ，(),2b x =r ，若//a b r r ，则x =（ ）A ．4B ．2C ．1D ．1-二、多选题5．（2024·全国·模拟预测）已知向量()(),1,4,2a x b ==r r ，则（ ）A ．若a b r r∥，则2x =B ．若a b ^rr ，则12x =C ．若3x =，则向量a r 与向量b rD ．若=1x -，则向量b r 在向量a r上的投影向量为6．（23-24高三上·山东枣庄·期末）设()1,3m =-r，()1,2n =r ，则（ ）A ．210m n -=r rB ．()2m n m-^r r rC ．若()2m n -r r P ()km n +r r ，则12k =-D ．n r 在m r上的投影向量为12mr 三、填空题7．（2023·河南郑州·模拟预测）已知点O 为坐标原点，()1,1OA =uuu r ，()3,4OB =-uuu r，点P 在线段AB 上，且1AP =uuu r，则点P 的坐标为 ．8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知平面向量()()3,4,3a b m ==r r ，.若向量2a b -r r与a b +r r 共线，则实数m 的值为.9．（2023·河南开封·模拟预测）已知两点(1,2)A -，(2,4)B ，若向量(2,)a m =r与AB uuu r垂直，则m =．四、解答题10．（2024·湖北·二模）如图，O 为坐标原点，F 为抛物线22y x =的焦点，过F 的直线交抛物线于,A B 两点，直线AO 交抛物线的准线于点D ，设抛物线在B 点处的切线为l ．(1)若直线l 与y 轴的交点为E ，求证：DE EF =；(2)过点B 作l 的垂线与直线AO 交于点G ，求证：2||AD AO AG =×．11．（2022·北京·三模）如图四棱锥P ABCD -中，PAD V 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，AB AD ^，222AD AB BC ===，PC =E 为PD 的中点.(1)求证：直线CE ∥平面PAB(2)求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值.(3)设F 是BE 的中点，判断点F 是否在平面PAC 内，并证明结论.【综合提升练】一、单选题1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知向量(2,)a t =r，(1,2)b =r ，若当1=t t 时，a b a b ×=×r r r r ，当2=t t 时，a b ^rr ，则（ ）A ．14t =-，21t =-B ．14t =-，21t =C ．14t =，21t =-D ．14t =，21t =2．（2024·山西·模拟预测）已知向量()2,a x =r ，()1,3b =-r ，若a b ∥r r，则a b +=r r （ ）A B ．C ．3D 3．（2024·重庆·三模）已知向量(2,3),(1,21)a b m m ==-+r r ，若//a b rr ，则m =（ ）A ．3B ．18C ．18-D ．5-4．（2024·浙江温州·三模）平面向量()(),2,2,4a m b ==-r r，若()a ab -r r r ∥，则m =（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．25．（2024·辽宁·二模）已知平行四边形ABCD ，点P 在BCD △的内部（不含边界），则下列选项中，AP uuu r可能的关系式为（ ）A ．1355AP AB AD=+uuu r uuu r uuu rB ．1344AP AB AD =+uuu r uuu r uuu rC ．2334AP AB AD =+uuu r uuu r uuu r D ．2433AP AB AD=+uuu r uuu r uuu r6．（2024·全国·模拟预测）在ABC V 中，点D 满足20BD AD +=uuu r uu r ru ．若3CA =uuu r π4ACD Ð=，则CB =uuu r （ ）A ．4B ．C ．D ．7．（2023·全国·模拟预测）在ABC V 中，点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点，点E 是线段CD 上靠近D 的三等分点，则AE =uuu r（ ）A ．2133CA CB-+uuur uuu r B ．1526CA CB-uuur uuu r C ．5162CA CB -+uuu r uuu r D ．1233CA CB-+uuur uuu r 8．（2024·山东泰安·模拟预测）已知向量()2,3a =-r ，()3,b m =r ，且a b r r∥，则m =（ ）A ．2B ．-2C ．92D ．92-二、多选题9．（2024·江西景德镇·三模）等边ABC V 边长为2，2AD DC =uuu r uuu r ，AE EB =uuu r uuu r，BD 与CE 交于点F ，则（ ）A ．2133BD BA BC=+uuu r uuu r uuu r B ．12CF CE=uuu r uuu r C ．1BD CE ×=-uuu r uuu rD ．BD uuu r 在BC uuu r 方向上的投影向量为56BCuuur10．（2024·山东济南·二模）如图，在直角三角形ABC 中，AB BC ==AO OC =，点P 是以AC 为直径的半圆弧上的动点，若BP xBA yBC =+uuu r uuu r uuu r，则（ ）A ．1122BO BA BC =+uuu r uuu r uuu r B ．1CB BO ×=uuu r uuu rC ．BP BC ×uuu r uuu r最大值为1D ．B ，O ，P 三点共线时2x y +=11．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知向量()()cos ,sin ,3,4a b q q ==-r r，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若//a b rr ，则4tan 3q =-B ．若a b ^rr ，则3sin 5q =C ．a b -rr 的最大值为6D ．若()0a a b ×-=r r r ，则a b -=rr 三、填空题12．（2022·黑龙江·一模）已知向量()3,4a =-r ，2AB a =uuu r r，点A 的坐标为()3,4-，则点B 的坐标为 ．13．（2020高三上·全国·专题练习）已知向量(),2a x =v ，()2,1b =v ，且//a b v v ，则a =v14．（2023·上海徐汇·三模）函数()ln y x =-沿着向量a r 平移后得到函数()ln 12y x =-+，则向量a r的坐标是.四、解答题15．（2023·吉林·一模）已知向量),cos a x x =r，()cos ,cos b x x =r．(1)若//a b r r且()0,πx Î，求x ；(2)若函数()12=×-r r f x a b ，求()f x 的单调递增区间．16．（2023·安徽滁州·模拟预测）已知ABC V 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，向量(),,p a c b =-u r()si n si n ,si n si n q C B A B =++r，且p q u r r ∥.(1)求角C ；(2)若c ABC =V ABC V 的周长.17．（2020·山东济宁·模拟预测）已知向量()1,1a =r，()2,b m =r ，R m Î．(1)若//a b r r，求m 的值；(2)若a b ^r r，求m 的值；(3)若a r 与b r夹角为锐角，求m 的取值范围．18．（2023·全国·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos cos2c a A B b A A B =-£．(1)求A ；(2)若D 是BC 上的一点，且:1:2,2BD DC AD ==，求a 的最小值．19．（2023·福建福州·三模）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知()sin cos sin A A C C a=+，2c =.(1)求B ；(2)D 为AC 的中点，234BD BC =,求ABC V 的面积.【拓展冲刺练】一、单选题1．（2024·河南·模拟预测）已知向量()2,1AB =-uuu r ，()3,2AC =uuu r ，点()1,2C -，则点B 的坐标为（ ）A ．()2,1--B ．()0,5C ．()2,5-D ．()2,1-2．（2024·山东济南·一模）已知(),1a m =r ，()31,2b m =-r ，若//a b r r ，则m =（ ）A ．1B ．1-C ．23D ．23-3．（2024·陕西榆林·二模）若向量()()0,1,,2,AB CD m AB ==-uuu r uuu r uuu r P CD uuu r ，则m =（ ）A ．1-B ．2C ．1D ．04．（2024·全国·模拟预测）已知O 为平面直角坐标系的原点，向量(1,3),(2,1),(1,2)OA AB AP ==--=-uuu r uuu r uuu r ，设M 是直线OP 上的动点，当MA MB ×uuu r uuu r 取得最小值时，OM =uuuu r （ ）A ．11,2æöç÷èøB ．11,2æö--ç÷èøC ．(2,1)D ．(2,1)--二、多选题5．（2023·全国·模拟预测）已知向量(1,2),(2,1)a b ==-r r .若()//()xa b a xb --r r r r ，则x =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．26．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知向量a r ，b r ，c r 为非零向量，下列说法正确的有（ ）A ．若a b ^r r ，b c ^r r ，则a c^r r B ．已知向量()1,2a =r ，()23,2a b +=r r ，则()1,2b =r C ．若a b a c ×=×r r r r ，则b r 和c r 在a r 上的投影向量相等D ．已知2AB a b =+uu r u r r ，56BC a b =-+uuu r r r ，72CD a b =-uuu r r r ，则点A ，B ，D 一定共线三、填空题7．（2024·山东潍坊·三模）已知向量()()()1,2,4,2,1,a b c l ==-=r r r ，若()20c a b ×+=r r r ，则实数l =8．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知向量()1,1a =-r ，()2,1b =r ，则()a ab ×-=r r r 9．（2023·上海普陀·二模）设x 、R y Î，若向量a r ，b r ，c r 满足(,1)a x =r ，(2,)b y =r ，(1,1)c =r ，且向量a b -r r 与cr 互相平行，则||2||a b +r r 的最小值为 ．四、解答题10．（2023·河南洛阳·一模）已知函数2()cos 2sin 2f x x x x p æö=-+ç÷èø，在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()3f A =．(1)求角A ；(2)若b =3，c =2，点D 为BC 边上靠近点C 的三等分点，求AD 的长度．11．（2023·江苏·三模）已知椭圆E ：221164x y +=，椭圆上有四个动点A ，B ，C ，D ，//CD AB ，AD 与BC 相交于P 点.如图所示.(1)当A ，B 恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD 与BC 的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；(2)若点P 的坐标为()8,6，求直线AB 的斜率.。
平面向量知识点归纳高考
平面向量知识点归纳高考一、向量的定义和性质在数学中，向量是由大小和方向组成的量。
平面向量可以表示为有序的数对，其中第一个数表示向量在水平方向上的分量，第二个数表示向量在垂直方向上的分量。
即向量a可以表示为a=(a₁, a₂)。
向量的性质有：1. 向量相等：如果两个向量的对应分量相等，那么这两个向量是相等的。
2. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
即a+b=(a₁+b₁, a₂+b₂)。
3. 向量的数乘：向量的数乘是指将向量的每个分量都乘以一个常数得到一个新的向量。
即k×a=(k×a₁, k×a₂)。
4. 向量的减法：向量的减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
即a-b=(a₁-b₁, a₂-b₂)。
5. 零向量：所有分量都为零的向量称为零向量，用0表示。
二、向量的模和方向角1. 向量的模：向量的模是指向量的长度，也就是向量的大小。
向量a的模可以表示为|a|=√(a₁²+a₂²)。
2. 向量的方向角：向量的方向角是指向量与某个固定直线之间的夹角。
一般将向量与x轴正方向之间的夹角称为向量的方向角。
三、向量的数量积和向量积1. 向量的数量积：向量的数量积又称为点积或内积。
数量积的结果是一个标量，表示两个向量的相似程度。
向量a和向量b的数量积可以表示为a·b=a₁b₁+a₂b₂。
2. 向量的向量积：向量的向量积又称为叉积或外积。
向量积的结果是一个向量，垂直于这两个向量所在的平面。
向量a和向量b的向量积可以表示为a×b=(a₁b₂-a₂b₁)。
四、平面向量的运算定律1. 交换律：向量的加法满足交换律，即a+b=b+a；向量的数量积满足交换律，即a·b=b·a。
2. 结合律：向量的加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)；向量的数量积满足结合律，即(a·b)·c=a·(b·c)。
高考数学考点与题型知识点5平面向量
平面向量平面向量 (2)第一节平面向量的概念及线性运算 (2)考点一平面向量的有关概念 (3)考点二平面向量的线性运算 (5)考点三共线向量定理的应用 (7)第二节平面向量基本定理及坐标表示 (13)考点一平面向量基本定理及其应用 (14)考点二平面向量的坐标运算 (15)考点三平面向量共线的坐标表示 (16)第三节平面向量的数量积 (22)考点一平面向量的数量积的运算 (23)考点二平面向量数量积的性质 (26)第四节平面向量的综合应用 (33)考点一平面向量与平面几何 (33)考点二平面向量与解析几何 (34)考点三平面向量与三角函数 (35)第五章 平面向量第一节 平面向量的概念及线性运算一、基础知识1．向量的有关概念(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以A 为起点、B 为终点的向量记作AB ―→，也可用黑体的单个小写字母a ，b ，c ，…来表示向量．(2)向量的长度(模)：向量AB ―→的大小即向量AB ―→的长度(模)，记为|AB ―→|. 2．几种特殊向量单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a 平行的单位向量有两个，即向量a|a |和－a|a |.3．向量的线性运算三角形法则 平行四边形法则三角形法则多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a＋b＋c表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点.4．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.只有a≠0才保证实数λ的存在性和唯一性.二、常用结论(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP―→＝12(OA―→＋OB―→)．(2)OA―→＝λOB―→＋μOC―→(λ，μ为实数)，若点A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.考点一平面向量的有关概念[典例]给出下列命题：①若a＝b，b＝c，则a＝c；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB―→＝DC―→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是________．[解析] ①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .②正确．∵AB ―→＝DC ―→，∴|AB ―→|＝|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|，因此，AB ―→＝DC ―→.③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是①②. [答案] ①②[解题技法] 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线． [题组训练] 1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量．故错误的命题有3个，故选D.2．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.考点二 平面向量的线性运算[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ―→＝( )A.34AB ―→－14AC ―→B.14AB ―→－34AC ―→C.34AB ―→＋14AC ―→ D.14AB ―→＋34AC ―→(2)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ―→＝14AB ―→，BE ―→＝2EC ―→， 且AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] (1)作出示意图如图所示．EB ―→＝ED ―→＋DB ―→＝12AD ―→＋12CB ―→＝12×12(AB ―→＋AC ―→)＋12(AB ―→－AC ―→)＝34AB ―→－14AC ―→.故选A. (2)根据图形，由题意可得AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(BA ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23(AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23⎝⎛⎭⎫AD ―→＋14AB ―→＝12AB ―→＋23AD ―→. 因为AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3.[答案] (1)A (2)C[解题技法] 向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果． (4)与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．[题组训练]1．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝3CD ―→，则( ) A ．AD ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→B ．AD ―→＝13AB ―→－43AC ―→C ．AD ―→＝43AB ―→＋13AC ―→D ．AD ―→＝43AB ―→－13AC ―→解析：选A 由题意得AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→＋13BC ―→＝AC ―→＋13AC ―→－13AB ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→. 2．(2019·太原模拟)在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则实数λ＋μ＝________.解析：如图，∵AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋12BC ―→＝DC ―→＋12BC ―→，①AN ―→＝AD ―→＋DN ―→＝BC ―→＋12DC ―→，②由①②得BC ―→＝43AN ―→－23AM ―→，DC ―→＝43AM ―→－23AN ―→，∴AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝DC ―→＋BC ―→＝43AM ―→－23AN ―→＋43AN ―→－23AM ―→＝23AM ―→＋23AN ―→，∵AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，∴λ＝23，μ＝23，λ＋μ＝43.答案：43考点三 共线向量定理的应用[典例] 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 同向．[解] (1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ， ∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB ―→， ∴AB ―→，BD ―→共线． 又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 同向，∴存在实数λ(λ>0)，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b . ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －λ＝0，λk －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1， 又∵λ>0，∴k ＝1.1.向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．[题组训练]1．在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对解析：选C 由已知，得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC ―→，故AD ―→∥BC ―→.又因为AB ―→与CD ―→不平行，所以四边形ABCD 是梯形．2．已知向量e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，若向量a 与向量b 共线，则( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0 C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝0解析：选D 因为向量e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，又因为向量a 和b 共线，存在实数k ，使得a ＝k b ，所以e 1＋λe 2＝2k e 1，所以λe 2＝(2k －1)e 1，所以e 1∥e 2或λ＝0.3．已知O 为△ABC 内一点，且AO ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)，AD ―→＝t AC ―→，若B ，O ，D 三点共线，则t ＝( )A.14B.13C.12D.23解析：选B 设E 是BC 边的中点，则12(OB ―→＋OC ―→)＝OE ―→，由题意得AO ―→＝OE ―→，所以AO ―→＝12AE ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)＝14AB ―→＋14t AD ―→，又因为B ，O ，D 三点共线，所以14＋14t ＝1，解得t ＝13，故选B.4．已知O ，A ，B 三点不共线，P 为该平面内一点，且OP ―→＝OA ―→＋AB―→|AB ―→|，则( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段AB 的反向延长线上D ．点P 在射线AB 上解析：选D 由OP ―→＝OA ―→＋AB ―→|AB ―→|，得OP ―→－OA ―→＝AB ―→|AB ―→|，∴AP ―→＝1|AB ―→|·AB ―→，∴点P在射线AB 上，故选D.[课时跟踪检测]1．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ―→＋FC ―→＝( ) A ．AD ―→B.12AD ―→C.12BC ―→ D ．BC ―→解析：选A 由题意得EB ―→＋FC ―→＝12(AB ―→＋CB ―→)＋12(AC ―→＋BC ―→)＝12(AB ―→＋AC ―→)＝AD ―→.2．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝kd (k ＜0)， 于是λa ＋b ＝k []a ＋(2λ－1)b . 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.3．设向量a ，b 不共线，AB ―→＝2a ＋p b ，BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选B 因为BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，所以BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a －b .又因为A ，B ，D 三点共线，所以AB ―→，BD ―→共线．设AB ―→＝λBD ―→，所以2a ＋p b ＝λ(2a －b )，所以2＝2λ，p ＝－λ，即λ＝1，p ＝－1.4．(2019·甘肃诊断)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝－4CD ―→，则AD ―→＝( ) A.14AB ―→－34AC ―→ B.14AB ―→＋34AC ―→C.34AB ―→－14AC ―→ D.34AB ―→＋14AC ―→解析：选B 法一：设AD ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，由BC ―→＝－4CD ―→可得，BA ―→＋AC ―→＝－4CA―→－4AD ―→，即－AB ―→－3AC ―→＝－4x AB ―→－4y AC ―→，则⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＝－1，－4y ＝－3，解得⎩⎨⎧x ＝14，y ＝34，即AD ―→＝14AB ―→＋34AC ―→，故选B.法二：在△ABC 中，BC ―→＝－4CD ―→，即－14BC ―→＝CD ―→，则AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→－14BC―→＝AC ―→－14(BA ―→＋AC ―→)＝14AB ―→＋34AC ―→，故选B.5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC ―→＝34OA ―→＋14OB ―→，则|BC ―→||AC ―→|等于( )A ．1B ．2C ．3D.32解析：选C 因为BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝34OA ―→＋14OB ―→－OB ―→＝34BA ―→，AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝34OA ―→＋14OB ―→－OA ―→＝14AB ―→，所以|BC ―→||AC ―→|＝3.故选C.6．已知△ABC 的边BC 的中点为D ，点G 满足GA ―→＋BG ―→＋CG ―→＝0，且AG ―→＝λGD ―→，则λ的值是( )A.12 B ．2 C ．－2D ．－12解析：选C 由GA ―→＋BG ―→＋CG ―→＝0，得G 为以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AG ―→＝－2GD ―→，则λ＝－2.故选C.7．下列四个结论：①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝0；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝0； ③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝0；④N Q ―→＋Q P ―→＋MN ―→－MP ―→＝0， 其中一定正确的结论个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝AC ―→＋CA ―→＝0，①正确；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝AB ―→＋MO ―→＋OM ―→＝AB ―→，②错误；③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DC ―→＝CD ―→＋DC ―→＝0，③正确；④N Q ―→＋Q P ―→＋MN ―→－MP ―→＝NP ―→＋PN ―→＝0，④正确．故①③④正确．8.如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且AM ―→＝34AB ―→，AN ―→＝23AD ―→，AC ，MN 交于点P .若AP ―→＝λAC ―→，则λ的值为( ) A.35 B.37C.316D.617解析：选D ∵AM ―→＝34AB ―→，AN ―→＝23AD ―→，∴AP ―→＝λAC ―→＝λ(AB ―→＋AD ―→)＝λ⎝⎛⎭⎫43AM ―→＋32AN ―→＝43λAM ―→＋32λAN ―→.∵点M ，N ，P 三点共线，∴43λ＋32λ＝1，则λ＝617.故选D. 9．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. 解析：因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以可设λa ＋b ＝k (a ＋2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2k ，所以λ＝12.答案：1210．若AP ―→＝12PB ―→，AB ―→＝(λ＋1)BP ―→，则λ＝________.解析：如图，由AP ―→＝12PB ―→，可知点P 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，则AB ―→＝－32BP ―→，结合题意可得λ＋1＝－32，所以λ＝－52.答案：－5211．已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则DC ―→＝________，BC ―→＝________.(用a ，b 表示)解析：如图，DC ―→＝AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝b －a ，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝－OA ―→－OB ―→＝－a －b .答案：b －a －a －b12．(2019·长沙模拟)在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μDB ―→，则λ－μ＝________.解析：如图，在平行四边形ABCD 中，AB ―→＝DC ―→，所以AB ―→＝AM ―→＋MB ―→＝AM ―→＋12CB ―→＝AM ―→＋12(DB ―→－DC ―→)＝AM ―→＋12(DB ―→－AB ―→)＝AM ―→＋12DB ―→－12AB ―→，所以32AB ―→＝AM ―→＋12DB ―→，所以AB ―→＝23AM ―→＋13DB ―→，所以λ＝23，μ＝13，所以λ－μ＝13.答案：1313．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ―→＝2e 1－8e 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB ―→＝2e 1－8e 2， ∴AB ―→＝2BD ―→.又∵AB ―→与BD ―→有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD ―→＝e 1－4e 2，∵BF ―→＝3e 1－ke 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴存在实数λ，使BF ―→＝λBD ―→， 即3e 1－ke 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.第二节 平面向量基本定理及坐标表示一、基础知识1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． (1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；(3)如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，则可以得到⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝μ1，λ2＝μ2.2．平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.若a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y 2. (2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x 1x 2＝y 1y 2等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．考点一 平面向量基本定理及其应用[典例] 如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边作平行四边形OADB ，BM ―→＝13BC ―→，CN ―→＝13CD ―→，用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→.[解] ∵BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝a －b ， BM ―→＝16BA ―→＝16a －16b ，∴OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝16a ＋56b .∵OD ―→＝a ＋b ， ∴ON ―→＝OC ―→＋13CD ―→＝12OD ―→＋16OD ―→ ＝23OD ―→＝23a ＋23b ， ∴MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM ―→＝16a ＋56b ，ON ―→＝23a ＋23b ，MN ―→＝12a －16b .[解题技法]1．平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．2．应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组． (2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．[题组训练]1．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则P Q ―→＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b解析：选A 由题意知P Q ―→＝PB ―→＋B Q ―→＝23AB ―→＋13BC ―→＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b . 2．已知在△ABC 中，点O 满足OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，点P 是OC 上异于端点的任意一点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，则m ＋n 的取值范围是________．解析：依题意，设OP ―→＝λOC ―→(0<λ<1)， 由OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，知OC ―→＝－(OA ―→＋OB ―→)， 所以OP ―→＝－λOA ―→－λOB ―→，由平面向量基本定理可知， m ＋n ＝－2λ，所以m ＋n ∈(－2,0)． 答案：(－2,0)考点二 平面向量的坐标运算[典例] 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)设O 为坐标原点，∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ， ∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ， ∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ―→＝(9，－18)．[变透练清]1.(变结论)本例条件不变，若a ＝m b ＋n c ，则m ＝________，n ＝________. 解析：∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，a ＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.答案：－1 －12．已知O 为坐标原点，向量OA ―→＝(2,3)，OB ―→＝(4，－1)，且AP ―→＝3PB ―→，则|OP ―→|＝________.解析：设P (x ，y )，由题意可得A ，B 两点的坐标分别为(2,3)，(4，－1)，由AP ―→＝3PB ―→，可得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝12－3x ，y －3＝－3y －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝0，故|OP ―→|＝72.答案：72[解题技法]1．平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解．2．向量坐标运算的注意事项(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同． (2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算．(3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆，需清楚结论推导过程与结果，加以区分． 考点三 平面向量共线的坐标表示[典例] 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． [解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，∴k ＝－12.(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥BC ―→， ∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32.[解题技法]1．平面向量共线的充要条件的2种形式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb . 2．两个向量共线的充要条件的作用判断两个向量是否共线(或平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两个向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求参数的值．[题组训练]1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k 的取值为( ) A ．－13B.13C ．－3D ．3解析：选A k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)． a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 则由(k a ＋b )∥(a －3b )得(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，所以k ＝－13.2．(2019·唐山模拟)已知在平面直角坐标系xOy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3―→与向量a ＝(1，－1)共线，若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→，则λ＝( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1解析：选D 设OP 3―→＝(x ，y )，则由OP 3―→∥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3―→＝(x ，－x )．若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→，则有(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D.3．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ， ∴DC ―→＝2AB ―→.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC ―→＝(4－x,2－y )，AB ―→＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． 答案：(2,4)[课时跟踪检测]1．(2019·昆明调研)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,3)，则|2a －b |＝( ) A.2 B ．2 C.10D ．10解析：选C 由已知，易得2a －b ＝2(－1,2)－(1,3)＝(－3,1)，所以|2a －b |＝(－3)2＋12＝10.故选C.2．已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23,12) C ．(7,0)D ．(－7,0)解析：选A 由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．3．(2018·石家庄模拟)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,1)，则“m ＝1”是“a ∥b ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若a ∥b ，则m 2＝1，即m ＝±1，故“m ＝1”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A.4．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC ―→＝2AE ―→，则EM ―→＝( ) A.12AC ―→＋13AB ―→ B.12AC ―→＋16AB ―→C.16AC ―→＋12AB ―→ D.16AC ―→＋32AB ―→解析：选C 如图，因为EC ―→＝2AE ―→，所以EC ―→＝23AC ―→，所以EM ―→＝EC ―→＋CM ―→＝23AC ―→＋12CB ―→＝23AC ―→＋12(AB ―→－AC ―→)＝12AB ―→＋16AC ―→.5．已知点A (8，－1)，B (1，－3)，若点C (2m －1，m ＋2)在直线AB 上，则实数m ＝( ) A ．－12 B ．13 C ．－13D ．12解析：选C 因为点C 在直线AB 上，所以AC ―→与AB ―→同向．又AB ―→＝(－7，－2)，AC ―→＝(2m －9，m ＋3)，故2m －9－7＝m ＋3－2，所以m ＝－13.故选C.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限的点，且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( )A ．22 B.2 C ．2 D ．42解析：选A 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又因为OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.7．已知|OA ―→|＝1，|OB ―→|＝3，OA ―→⊥OB ―→， 点C 在线段AB 上，∠AOC ＝30°.设OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R )，则m n等于( )A.13 B ．3 C.33D.3 解析：选B 如图，由已知|OA ―→|＝1，|OB ―→|＝3，OA ―→⊥OB ―→，可得AB ＝2，∠A ＝60°，因为点C 在线段AB 上，∠AOC ＝30°，所以OC ⊥AB ，过点C 作CD ⊥OA ，垂足为点D ，则OD ＝34，CD ＝34，所以OD ―→＝34OA ―→，DC ―→＝ 14OB ―→，即OC ―→＝34OA ―→＋14OB ―→，所以mn＝3.8.(2019·深圳模拟)如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC ―→＝λAM ―→＋μBD ―→，则λ＋μ＝( )A.43B.53C.158D ．2解析：选B 以点A 为坐标原点，分别以AB ―→，AD ―→的方向为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)．设正方形的边长为2，则A (0,0)，C (2,2)，M (2,1)，B (2,0)，D (0,2)，所以AC ―→＝(2,2)，AM ―→＝(2,1)，BD ―→＝(－2,2)，所以λAM ―→＋μBD ―→＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为AC―→＝λAM ―→＋μBD ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.9．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5， ∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－310．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(4，m )，若有(2|a |－|b |)(a ＋b )＝0，则实数m ＝________. 解析：因为a ＋b ＝(5,2m )≠0，所以由(2|a |－|b |)(a ＋b )＝0得2|a |－|b |＝0， 所以|b |＝2|a |，所以42＋m 2＝212＋m 2，解得m ＝±2. 答案：±211．(2019·南昌模拟)已知向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－2)，若|a |＝25，a ＝λb (λ<0)，则m －n ＝________.解析：∵a ＝(m ，n )，b ＝(1，－2)， ∴由|a |＝25，得m 2＋n 2＝20， ① 由a ＝λb (λ<0)，得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0，－2m －n ＝0， ②由①②，解得m ＝－2，n ＝4. ∴m －n ＝－6. 答案：－612．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________． 解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ， 所以u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)， v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0， 即10x ＝5，解得x ＝12.答案：1213．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若P A ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0，求|OP ―→|；(2)设OP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n .解：(1)∵P A ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0，P A ―→＋PB ―→＋PC ―→＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得x ＝2，y ＝2， 即OP ―→＝(2,2)，故|OP ―→|＝2 2.(2)∵OP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，AB ―→＝(1,2)，AC ―→＝(2,1)． ∴(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .第三节 平面向量的数量积一、基础知识1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角． (2)范围：夹角θ的范围是[0，π]． 当θ＝0时，两向量a ，b 共线且同向；当θ＝π2时，两向量a ，b 相互垂直，记作a ⊥b ；当θ＝π时，两向量a ，b 共线但反向． 2．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a ||b | cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．规定：零向量与任一向量的数量积为零． 3．平面向量数量积的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a ，b 的夹角，则|b |cos θ叫做向量b 在向量a 的方向上的投影，|a |cos θ叫做向量a 在向量b 的方向上的投影．(2)a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 投影和两向量的数量积都是数量，不是向量. 4．向量数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a .(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．5．平面向量数量积的性质设a，b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.(4)cos θ＝a·b|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|.6．平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则(1)|a|＝x21＋y21；(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；(2)a·b＝x1x2＋y1y2;_ (4)cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.二、常用结论汇总1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．考点一平面向量的数量积的运算[典例](1)(2018·新乡二模)若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4,1)共线，则m·n＝()A ．0B ．4C ．－92D ．－172(2)(2018·天津高考)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM ―→＝2MA ―→，CN ―→＝2NA ―→，则BC ―→·OM ―→的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0[解析] (1)∵向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4,1)共线，∴2k －1－4k ＝0，解得k ＝－12，∴m ＝⎝⎛⎭⎫－2，－12， ∴m ·n ＝－2×4＋⎝⎛⎭⎫－12×1＝－172. (2)法一：如图，连接MN . ∵BM ―→＝2MA ―→，CN ―→＝2NA ―→， ∴AM AB ＝AN AC ＝13. ∴MN ∥BC ，且MN BC ＝13.∴BC ―→＝3MN ―→＝3(ON ―→－OM ―→)． ∴BC ―→·OM ―→＝3(ON ―→·OM ―→－OM ―→2) ＝3(2×1×cos 120°－12)＝－6.法二：在△ABC 中，不妨设∠A ＝90°，取特殊情况ON ⊥AC ，以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为∠MON ＝120°，ON ＝2，OM ＝1，所以O ⎝⎛⎭⎫2，32，C ⎝⎛⎭⎫0，332，M ⎝⎛⎭⎫52，0，B ⎝⎛⎭⎫152，0. 故BC ―→·OM ―→＝⎝⎛⎭⎫－152，332·⎝⎛⎭⎫12，－32＝－154－94＝－6.[答案] (1)D (2)C[解题技法] 求非零向量a ，b 的数量积的策略(1)若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a ，b ，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a ，b 的坐标，通过坐标运算求解．[题组训练]1．(2019·济南模拟)已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，则AC ―→·CB ―→＝( ) A ．1 B ．－1 C.6D ．22解析：选B 设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则a ·b ＝0， ∵|a |＝2，|b |＝1，∴AC ―→·CB ―→＝(a ＋b )·(－b )＝－a ·b －b 2＝－1.2．(2019·南昌调研)已知向量a ，b 满足a ·(b ＋a )＝2，且a ＝(1,2)，则向量b 在a 方向上的投影为( )A.55B ．－55C ．－255D ．－355解析：选D 由a ＝(1,2)，可得|a |＝5， 由a ·(b ＋a )＝2，可得a ·b ＋a 2＝2， ∴a ·b ＝－3，∴向量b 在a 方向上的投影为a ·b |a |＝－355.3．(2018·石家庄质检)在△ABC 中，已知AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，M 为BC 上的一点，且AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→ (λ，μ∈R)，且AM ―→·BC ―→＝0，则 λμ的值为________．解析：法一：∵BC ―→＝AC ―→－AB ―→，AM ―→·BC ―→＝0， ∴(λAB ―→＋μAC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝0，∵AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1， ∴－λ|AB ―→|2＋μ|AC ―→|2＝0，即－4λ＋μ＝0，∴λμ＝14.法二：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB ―→＝(0,2)，AC ―→＝(1,0)，BC ―→＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM ―→＝(x ，y )，所以AM ―→·BC ―→＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y 2y ＝14.答案：14考点二 平面向量数量积的性质考法(一) 平面向量的模[典例] (1)(2019·昆明适应性检测)已知非零向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝3，且a 与a ＋b 的夹角为π4，则|b |＝( )A ．6B ．32C ．22D ．3(2)(2019·福州四校联考)已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为( )A ．1 B.12C.34D.32[解析] (1)∵a ·b ＝0，|a |＝3，∴a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a ||a ＋b |cos π4，∴|a ＋b |＝32，将|a ＋b |＝32两边平方可得，a 2＋2a ·b ＋b 2＝18，解得|b |＝3，故选D.(2)∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t (a ＋b )(t ∈R)，∴a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)·a ·b ＋t 2b 2， ∵向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，∴|a ＋c |≥32，∴|a ＋c |的最小值为32，故选D. [答案] (1)D (2)D考法(二) 平面向量的夹角[典例] (1)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝1，|b |＝12，则a ＋2b 与b 的夹角是( )A.π6 B.5π6C.π4D.3π4(2)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )且b 在a 方向上的投影为－3，则向量a 与b 的夹角为________．[解析] (1)因为|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝1＋1＋4×1×12×cos π3＝3，所以|a ＋2b |＝ 3.又(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2|b |2＝1×12×cos π3＋2×14＝14＋12＝34，所以cos 〈a ＋2b ，b 〉＝(a ＋2b )·b |a ＋2b ||b |＝343×12＝32，所以a ＋2b 与b 的夹角为π6.(2)因为b 在a 方向上的投影为－3，所以|b |cos 〈a ，b 〉＝－3，又|a |＝12＋(3)2＝2，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－6，又a ·b ＝3＋3m ，所以3＋3m ＝－6，解得m ＝－33，则b ＝(3，－33)，所以|b |＝32＋(－33)2＝6，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－62×6＝－12，因为0≤〈a ，b 〉≤π，所以a 与b 的夹角为2π3. [答案] (1)A (2)2π3考法(三) 平面向量的垂直[典例] (1)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π(2)已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．[解析] (1)设a 与b 的夹角为θ，因为|a |＝223|b |，(a －b )⊥(3a ＋2b )， 所以(a －b )·(3a ＋2b )＝3|a |2－2|b |2－a ·b ＝83|b |2－2|b |2－223|b |2cos θ＝0，解得cos θ＝22，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4. (2)由AP ―→⊥BC ―→，知AP ―→·BC ―→＝0，即AP ―→·BC ―→＝(λAB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝(λ－1)AB ―→·AC ―→－λAB ―→2＋AC ―→2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. [答案] (1)A (2)712[解题技法]1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．[题组训练]1．(2018·深圳高级中学期中)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1解析：选B ∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝m 2－n 2＝(λ＋1)2＋1－(λ＋2)2－4＝0，解得λ＝－3.故选B.2．(2018·永州二模)已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝1，|2a －b |＝1，则|a |＝( ) A.12 B ．1 C.2D ．2解析：选A ∵非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝1，∴a ·b ＝|a |×1×12＝|a |2，∵|2a－b |＝1，∴|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4|a |2－2|a |＋1＝1，∴4|a |2－2|a |＝0，∴|a |＝12，故选A.3．(2019·益阳、湘潭调研)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，记向量a ，b 的夹角为θ，则t a n θ＝________.解析：∵|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝5＋2a ·b ＝1＋3，∴a ·b ＝－12，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－14，∴sin θ＝1－⎝⎛⎭⎫－142＝154，∴t a n θ＝sin θc os θ＝－15. 答案：－15[课时跟踪检测]1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b ·(2a－b )等于( )A ．2B ．－1C ．－6D ．－18解析：选D ∵a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3＝－32， ∴a ·b ＝－3，b ·(2a －b )＝2a ·b －b 2＝－18.2．已知平面向量a ＝(－2,3)，b ＝(1,2)，向量λa ＋b 与b 垂直，则实数λ的值为( ) A.413 B ．－413C.54D ．－54解析：选D ∵a ＝(－2,3)，b ＝(1,2)，∴λa ＋b ＝(－2λ＋1,3λ＋2)．∵λa ＋b 与b 垂直，∴(λa ＋b )·b ＝0，∴(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝0，即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－54.3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且a ·b ＝0，则|a －b |＝( ) A.6 B.5 C ．2D.3解析：选A 因为|a |＝1，b ＝(2,1)，且a ·b ＝0，所以|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝1＋5－0＝6，所以|a －b |＝ 6.故选A.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(a ＋c )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 解析：选D 设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)， 因为(a ＋c )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )， 即3m ＋2n ＝－7，又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋2n ＝－7，3m －n ＝0.解得⎩⎨⎧m ＝－79，n ＝－73.所以c ＝⎝⎛⎭⎫－79，－73. 5．(2018·襄阳调研)已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－2，23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，12解析：选C 不妨令i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，则a ＝(1，－2)，b ＝(1，λ)，因为它们的夹角为锐角，所以a ·b ＝1－2λ>0且a ，b 不共线，所以λ<12且λ≠－2，故选C.6．(2019·石家庄质检)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2，∴a ·b ＝0.又|a ＋b |＝2|b |，∴|a ＋b |2＝4|b |2，|a |2＝3|b |2，∴|a |＝3|b |，cos 〈a ＋b ，a 〉＝(a ＋b )·a |a ＋b ||a |＝a 2＋a ·b |a ＋b ||a |＝|a |22|b ||a |＝|a |2|b |＝32，故a ＋b 与a 的夹角为π6. 7．(2018·宝鸡质检)在直角三角形ABC 中，角C 为直角，且AC ＝BC ＝1，点P 是斜边上的一个三等分点，则CP ―→·CB ―→＋CP ―→·CA ―→＝( )A ．0B ．1 C.94D ．－94解析：选B 以点C 为坐标原点，分别以CA ―→，CB ―→的方向为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则C (0,0)，A (1，0)，B (0,1)，不妨设P ⎝⎛⎭⎫13，23，所以CP ―→·CB ―→＋CP ―→·CA ―→＝CP ―→·(CB ―→＋CA ―→)＝13＋23＝1.故选B.8．(2019·武汉调研)已知平面向量a ，b ，e 满足|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝－2，|a ＋b |＝2，则a ·b 的最大值为( )A ．－1B ．－2C ．－52D ．－54解析：选D 不妨设e ＝(1,0)，则a ＝(1，m )，b ＝(－2，n )(m ，n ∈R)，则a ＋b ＝(－1，m ＋n )，所以|a ＋b |＝1＋(m ＋n )2＝2，所以(m ＋n )2＝3，即3＝m 2＋n 2＋2mn ≥2mn ＋2mn ＝4mn ，当且仅当m ＝n 时等号成立，所以mn ≤34，所以a ·b ＝－2＋mn ≤－54，综上可得a ·b的最大值为－54.9．已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角的正弦值为________．解析：∵a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝22＋2×1×cos 〈a ，b 〉＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴sin 〈a ，b 〉＝1－c os 2〈a ，b 〉＝32. 答案：3210．(2018·湖北八校联考)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且|a |＝1，|b |＝2，若(λa ＋b )⊥(a －2b )，则λ＝________.解析：∵|a |＝1，|b |＝2，且a ，b 的夹角为2π3，∴a ·b ＝1×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，又∵(λa ＋b )⊥(a －2b )，∴(λa ＋b )·(a －2b )＝0，即(λa ＋b )·(a －2b )＝λa 2－2b 2＋(1－2λ)a ·b ＝λ－8－(1－2λ)＝0，解得λ＝3.答案：311．(2018·合肥一检)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝3，则a 在b 方向上的投影等于________．解析：∵|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝3， ∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝5＋2a ·b ＝3， ∴a ·b ＝－1，∴a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－12.答案：－1212.如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB ―→＝4AC ―→，则OC ―→·(OB ―→－OA ―→)＝________.解析：由已知得|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝24，则OC ―→·(OB ―→－OA ―→)＝(OA ―→＋AC ―→)·AB ―→＝OA ―→·AB ―→＋AC ―→·AB ―→＝2cos 3π4＋24×2＝－12. 答案：－1213．(2019·南昌质检)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且|2a －b |＝ 5. (1)求|2a －3b |的值；(2)求向量3a －b 与a －2b 的夹角θ.解：(1)∵|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－4a ·b ＋1＝5，∴a ·b ＝0， ∴|2a －3b |＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝4＋9＝13.(2)cos θ＝(3a －b )·(a －2b )|3a －b ||a －2b |＝3a 2＋2b 29a 2＋b 2×a 2＋4b 2＝510×5＝22，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4.。
高三数学平面向量知识点
高三数学平面向量知识点平面向量是高中数学中的重要内容，既可以用于描述物理问题中的力、速度等概念，也可以应用于平面几何、立体几何等数学领域。
在高三数学中，平面向量的知识点常常涉及向量的表示与运算、向量的共线性与共面性、向量的线性相关与线性无关等内容。
下面将详细介绍这些知识点。
1. 向量的表示与运算平面向量通常用有向线段表示。
设有向线段AB表示向量a，则向量a的起点为A，终点为B。
向量的模长表示了向量的大小，记作|a|。
向量还可以表示为有序数对(a1, a2)，其中a1, a2分别表示向量在坐标系中的横坐标和纵坐标。
对于两个向量a和b，可以进行加法和减法运算。
向量加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点重合，然后将它们的终点相连，所得线段表示了向量a和向量b的和。
向量减法可以通过向量加法和取负得到，即a-b=a+(-b)。
2. 向量的共线性与共面性如果存在一个实数k，使得向量b=k·a，称向量a和向量b共线。
当且仅当k=0时，向量a和向量b重合；当k>0时，向量a和向量b同向；当k<0时，向量a和向量b反向。
设有向线段AB和AC表示向量a和向量b，则向量a和向量b共面的充分必要条件是向量AB和向量AC共线，即向量a和向量b的起点和一个固定点共线。
3. 向量的线性相关与线性无关设有向线段AB, AC和AD分别表示向量a, b和c。
如果存在不全为0的实数k1, k2和k3，使得k1·AB+k2·AC+k3·AD=0，则称向量AB, AC和AD线性相关。
当且仅当k1=k2=k3=0时，向量AB, AC和AD线性无关。
线性相关的向量满足一定的线性关系，可以由其他向量线性表示；线性无关的向量则不存在这样的线性关系。
上述是高三数学中平面向量的几个重要知识点，除此之外，还有向量的数量积、向量的夹角等内容，但因为篇幅有限，无法在此一一展开。
希望通过对这些知识点的学习，能够更好地掌握平面向量的概念和性质，提高解决数学问题的能力。
2024年高考复习数学知识点+题型12+5类平面向量解题技巧
题型125类平面向量解题技巧（“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题）技法01“爪子定理”的应用及解题技巧知识迁移形如AD xAB y AC =+条件的应用（“爪子定理”）“爪”字型图及性质：（1）已知,AB AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD，必存在,x y ，使得AD xAB y AC =+.则,,B C D 三点共线⇔1x y +=当01x y <+<，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间当1x y +>，则D 与A 位于BC 两侧1x y +=时，当0,0x y >>，则D 在线段BC 上；当0xy <，则D 在线段BC 延长线上（2）已知D 在线段BC 上，且::BD CD m n =，则n m AD AB AC m n m n=+++（全国·高考真题）例1-1.设D 为ABC 所在平面内一点，且3BC CD =，则（）A.1433AD AB AC =-+ B.1334AD AB AC =-C.4133AD AB AC=+D.4133AD AB AC=-解析：由图可想到“爪字形图得：1344AC AB AD =+ ，解得：1433AD AB AC =-+答案：A（2023江苏模拟）例1-2．如图，在ABC 中，13AN NC = ，P 是BN 上的一点，若211AP m AB AC =+，则实数m 的值为（）A.911B.511C.311D.211解：观察到,,B P N 三点共线，利用“爪”字型图，可得AP m AB n AN=+，且1m n +=，由13AN NC = 可得14AN AC = ，所以14AP m AB n AC =+ ，由已知211AP m AB AC =+ 可得：12841111n n =⇒=，所以311m =答案：C（2022·全国·统考高考真题）1．在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ （全国·高考真题）2．在ABC 中，AB c = ，AC b = ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（）A ．2133b c+ B ．5233c b-C ．2133b c-D ．1233b c+（2020·新高考全国1卷·统考高考真题）3．已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点（如图所示），设AB a =，AD b =，则EF 等于（）A ．()12a b+ B ．()12a b- C ．()12b a- D ．12a b+ （全国·高考真题）4．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC -B ．1344AB AC -C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC（江苏·高考真题）5．设D 、E 分别是ABC ∆的边AB ，BC 上的点，12AD AB =，23BE BC =.若12DE AB AC λλ=+（12,λλ为实数），则12λλ+的值是技法02系数和（等和线）的应用及解题技巧知识迁移如图，P 为AOB ∆所在平面上一点，过O 作直线//l AB ，由平面向量基本定理知：存在,x y R ∈，使得OP xOA yOB=+下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x y +的值①若P l ∈时，则射线OP 与l 无交点，由//l AB 知，存在实数λ，使得OP AB λ= 而AB OB OA =- ，所以OP OB OA λλ=-，于是=-=0x y λλ+②若P l ∉时，（i ）如图1，当P 在l 右侧时，过P 作//CD AB ，交射线OA OB ，于,C D 两点，则OCD OAB ∆~∆，不妨设OCD ∆与OAB ∆的相似比为k由,P C D ，三点共线可知：存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA k OBλλλλ=+-=+- 所以(1-)x y k k kλλ+=+=（ii ）当P 在l 左侧时，射线OP 的反向延长线与AB 有交点，如图1作P 关于O 的对称点P '，由（i ）的分析知：存在存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA OB λλλλ'=+-=+- 所以--(1)OP k OA OBλλ'=+- 于是--(1-)-x y k k kλλ+=+=综合上面的讨论可知：图中OP 用,OA OB线性表示时，其系数和x y +只与两三角形的相似比有关.我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画.因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过O 作AB 边的垂线l '，设点P 在l '上的射影为P '，直线l '交直线AB 于点1P ，则1||||||OP k OP '=（k 的符号由点P 的位置确定），因此只需求出||OP '的范围便知x y +的范围（全国·高考真题）例2-1．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP=λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为（）A ．3B ．CD ．2【系数和】分析：如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l 与圆相切时，λμ+最大，此时33AF AB BE EF ABAB AB ABλμ+++====, 故选A .（衡水中学二模）例2-2．边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含短点）上运动，P 是圆Q 上及其内部的动点，设向量(,)AP m AB n AF m n R =+∈，则m n+的取值范围是（）(][][][].1,2.5,6.2,5.3,5A B C D分析:如图，设AP mAB nAF =+ ，由等和线结论，22AG ABm n AB AB+===.此为m n +的最小值；同理，设AP mAB nAF =+ ，由等和线结论，5AHm n AB+==.此为m n +的最大值.综上可知[2,5]m n +∈.例2-3．已知ABC 为边长为2的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上.若AP AB AC λμ=+，则2λμ+的取值范围是__________【解析】如图，取AB 中点为D ，2AP AB AC AD ACλμλμ=+=+ 显然，当P 与C 重合时，2λμ+取最小值1.将CD 平行移动至与O 相切处，P 为切点时，2λμ+取最大值.延长PO 交CD 于G ，易知12OG OF FP ===.由等和线及平行截割定理，52,2EF AP FP AE ==.所以2λμ+的最大值为52.故2λμ+的取值范围是51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.6．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．27．如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内（包括边界）的动点，设AP ＝αAB＋βAF（α，β∈R ），则α＋β的取值范围是.8．如图在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，13AD DC AB ===，，动点P 在以C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运动，设(,R)AP AD AB αβαβ=+∈，则αβ+的取值范围是9．若点C 在以P 为圆心，6为半径的弧 AB 上，且120APB ∠=，PC = xPA yPB + ，则23x y +的取值范围为（2023·浙江·高三专题练习）10．如图，在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，AB ∥DC ，2AB =，1AD DC ==，图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为12，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若AP xAB yAC =+，其中x y R ∈，，则4x y -的取值范围是（）A ．32234⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，B ．5232⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，C ．253342⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，D ．17173322⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，技法03极化恒等式的应用及解题技巧知识迁移极化恒等式22()()4a b a b a b +--⋅=恒等式右边有很直观的几何意义:向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系如图在平行四边形ABCD 中，,AB a AD b==则22()()4AB AD AB AD a b +--⋅=在上述图形中设平行四边形ABCD 对角线交于M 点，则对于三角形来说:2222()()||||44AB AD AB AD DB a b AM +--⋅==-（全国·高考真题）例3-1．设向量,a b 满足||10a b +，||6a b -= a b （）A ．1B ．2C ．3D ．5由极化恒等式可得：2222()()144a b a b a b a b a b +--+--⋅=== ，故选A ．（2023·全国·统考高考真题）例3-2．正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A 5B ．3C ．25D ．5设CD 中点为O 点，由极化恒等式可得：22134EC ED EO DC ⋅=-= 故选：B.（江苏·高考真题）11．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4⋅=BA CA ，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅uur uur的值是.12．如图，在ABC ∆中，已知4,6,60AB AC BAC ==∠=︒，点,D E 分别在边,AB AC 上，且2,3AB AD AC AE == ，点F 为DE 中点，则BF DE的值为.13．在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-技法04奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧知识迁移1.奔驰定理如图，已知P 为ABC 内一点，则有0PBC PAC PABS OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= △△△.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.2.奔驰定理的证明如图：延长OA 与BC 边相交于点D则BOD ABD BOD ABD ACD COD ACD COD AOC AOBS S S S S BD DC S S S S S -===- DC BD OD OB OCBC BC=+ AOC AOBAOC AOB AOC AOBS S OB OC S S S S =+++ BOD COD BOD CODBOA COA BOA BOC AOC AOB COA S S S S S OD OA S S S S S S +====++BOC AOC AOBS OD OAS S ∴=-+ BOC AOC AOBAOC AOB AOC AOB AOC AOBS S S OA OB OCS S S S S S ∴-=++++ 0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∴⋅+⋅+⋅=3.奔驰定理的推论及四心问题推论O 是ABC 内的一点，且0x OA y OB z OC ⋅+⋅+⋅=，则::::BOC COA AOB S S S x y z=△△△有此定理可得三角形四心向量式（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r .（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.已知点O 在ABC 内部，有以下四个推论：①若O 为ABC 的重心，则0OA OB OC ++=；②若O 为ABC 的外心，则sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=；或OA OB OC== ③若O 为ABC 的内心，则0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=；备注：若O 为ABC 的内心，则sin sin sin 0⋅+⋅+⋅=A OAB OBC OC 也对.④若O 为ABC 的垂心，则tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，或OA OB OB OC OC OA⋅=⋅=⋅ （宁夏·高考真题）例4-1．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（）（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）A ．重心外心垂心B ．重心外心内心C ．外心重心垂心D．外心重心内心因为OA OB OC == ，所以O 到定点,,A B C 的距离相等，所以O 为ABC ∆的外心，由0NA NB NC ++= ，则NA NB NC +=-，取AB 的中点E ，则2NA NB NE CN +=-= ，所以2NE CN = ，所以N 是ABC ∆的重心；由•••PA PB PB PC PC PA ==，得()0PA PC PB -⋅= ，即0AC PB ⋅=，所以AC PB ⊥，同理AB PC ⊥，所以点P 为ABC∆的垂心，故选C.（江苏·高考真题）例4-2．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，,[)0λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D．垂心【详解】OP OA AP -= ，()||||AB ACAP AB AC λ∴=+令||||AB ACAM AB AC +=，则AM 是以A 为始点，向量||ABAB与||AC AC 为邻边的菱形的对角线对应的向量，即AM →在BAC ∠的平分线上，AP AM λ= ，,AP AM ∴ 共线，故点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心，故选：B（2023·全国·高三专题练习）例4-3．奔驰定理：已知点O 是ABC 内的一点，若,,BOC AOC AOB 的面积分别记为123,,S S S ，则1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O 是ABC 的垂心，且230OA OB OC ++=，则cos C =（）A ．31010B ．1010C ．255D ．55【详解】延长CO 交AB 于点P ，O 是ABC 的垂心，OP AB ∴⊥，1211::22S S OC BP OC AP ⎛⎫⎛⎫∴=⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:(tan ):(tan )BP AP OP POB OP POA ==∠∠tan :tan tan():tan()tan :tan COB COA A B A B ππ=∠∠=--=．同理可得13:tan :tan S S A C =，231::tan :tan :tan S S S A B C ∴=．又1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=，tan tan tan 0A OA B OB C OC ∴⋅+⋅+⋅=．又230OA OB OC ++= ，tan :tan :tan 1:2:3A B C ∴=．不妨设tan ,tan 2,tan 3A k B k C k ===，其中0k ≠．tan tan tan tan()1tan tan B CA B C B C +=-+=-- ，23123k kk k k+∴=--⋅，解得1k =±．当1k =-时，此时tan 0,tan 0,tan 0A B C <<<，则A ，B ，C 都是钝角，不合题意，舍掉．故1k =，则tan 30C =>，故C 为锐角，∴22sin 3cos sin cos 1CC C C ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得cos 10C =，故选：B．（2023春·上海长宁·高三上海市延安中学校考期末）14．若O 是ABC 内一点，0OA OB OC ++=，则O 是ABC 的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心（2023·江苏·高三专题练习）15．在ABC 中，若HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅，则点H 是ABC 的（）A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心（2023春·湖南株洲·高三炎陵县第一中学校联考期末）16．如图.P 为ABC 内任意一点，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，总有优美等式0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++=成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（）A ．若P 是ABC 的重心，则有0PA PB PC ++=B ．若0aPA bPB cPC ++=成立，则P 是ABC 的内心C ．若2155AP AB AC =+，则:2:5ABP ABC S S =△△D ．若P 是ABC 的外心，π4A =，PA mPB nPC =+ ，则)m n ⎡+∈⎣技法05范围与最值的应用及解题技巧（浙江·高考真题）例5-1．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-= ，则c的最大值是（）A ．1B ．2C ．D ．【详解】试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C ．（四川·高考真题）例5-2．在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ，DA ⋅ DB =DB ⋅ DC =DC ⋅ DA =–2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC，则2BM 的最大值是（）A ．434B ．494C ．37634+D ．372334+【详解】试题分析：由已知易得120,2ADC ADB BDC DA DB DC ∠=∠=∠=︒===.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()((2,0,1,3,3.A B C --设(),,P x y 由已知1AP = ，得()2221x y -+=，又13133,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛⎫-++=∴∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()(222+1334x y BM ++∴=，它表示圆()2221x y -+=上的点()x y ，与点(1,33--的距离的平方的14，()()2222max149333144BM⎫∴=+=⎪⎭，故选B.（2023·全国·高三专题练习）例5-3．若平面向量a ，b ，c 满足1c = ，1a c ⋅= ，3b c ⋅= ，2a b ×=，则a ，b 夹角的取值范围是（）A ．ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．π,π6⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【详解】设OA a = ，OB b = ，OC c = ，以O 为原点，c方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系，10a c ⋅=> ，30b c ⋅=> ，20a b ⋅=>，a ∴ ，b ，c三者直接各自的夹角都为锐角，1c =，cos ,1a c a c a c ⋅=⋅= ，c s 3o ,b c b c b c ⋅⋅== ，cos ,1a a c ∴= ，,3cos b b c = ，即a 在c 上的投影为1，b 在c 上的投影为3，()1,A m ∴，()3,B n，如图()1,a m ∴=，()3,b n = 32a mn b =∴+=⋅即1mn =-，且cos ,a b a b a b ⋅==⋅则2222222244cos ,99109a b n m m n n m ===+++++ ，由基本不等式得22966n m mn +≥==，21cos ,4a b ∴≤ ，a 与b的夹角为锐角，10cos ,2a b ∴<≤ ，由余弦函数可得：a 与b 夹角的取值范围是ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭，（湖南·高考真题）17．已知,a b 是单位向量，0a b = .若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（）A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦（湖南·高考真题）18．已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC++的最大值为A ．6B ．7C ．8D ．9（2023·全国·高三专题练习）19．已知平面向量a OA = ，b OB = ，c OC =，满足241OC AC OA ⋅=- ，241OB CB OC ⋅=- ，则向量4a b - 与2c b -所成夹角的最大值是（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6（2022·浙江湖州·湖州市菱湖中学校考模拟预测）20．已知平面向量a ，b ，c 满足1a = ，2b = ，2a a b =⋅ ，22c b c =⋅，则22c a c b-+- 的最小值为.（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）21．在平面内，定点,,,A B C O ，满足2OA OB OC === ，且0OA OB OC ++=，则AB =；平面内的动点,P M 满足1AP = ，PM MC =，则2||BM 的最大值是．参考答案：1．B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+．故选：B ．2．A【详解】试题分析：，故选A ．3．A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结AC ，则AC 为ABC 的中位线，∴111222EF AC a b ==+ ，故选：A 4．A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+ ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5．12【详解】依题意，121212()232363DE DB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+，∴121263AB AC AB AC λλ-+=+ ，∴116λ=-，223λ=，故12121632λλ+=-+=.【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.6．A【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径r ，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-= ，若满足AP AB AD λμ=+uu u r uu u r uuu r ，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，,12x y μλ==-，所以12x y λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A .【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.7．[3，4]【详解】直线BF 为k ＝1的等和线，当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的等和线，过D 点的等和线是最远的，所以α＋β∈[，]＝[3，4].8．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，先求出以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆方程，设(,)P x y ，再根据(,R)AP AD AB αβαβ=+∈，可求出点P 的坐标，再根据P 在圆内，可得关于,αβ的一个不等关系，设t αβ+=，进而可得出答案.【详解】如图所示以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,3,0,1,1,0,1A B C D ，直线BD 的方程为131xy+=，化简得330x y +-=，∴点C 到BD的距离10d =，可得以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆方程为221(1)(1)10x y -+-=，设(,)P x y ，则(,)AP x y =，(0,1)AD = ，(3,0)AB =，(),R AP AD AB αβαβ=+∈，()()()(),0,13,03,x y αββα∴=+=，可得3x β=且y α=，P 的坐标为()3,βα，P 在圆内，()()22131110βα-+-<，设t αβ+=，则t αβ=-，代入上式化简整理得()221910242010t t t ββ-++-+<，若要上述不等式有实数解，则()2219Δ244102010t t t ⎛⎫=+-⨯⨯-+> ⎪⎝⎭，化简得23850t t -+<，解得513t <<，即513αβ<+<，αβ∴+取值范围是51,3⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为：51,3⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：利用向量的坐标表示将点P 的坐标用,αβ表示是解决本题的关键.9．⎡⎢⎣⎦【分析】首先根据三点共线的推论得1111,23PA PA PB PB ==，而在11PA B △中，11113,2,120PA PB A PB ︒==∠=，进一步由向量模的公式得11A B =11PA B △中，由等面积法得出||319PD ≤≤，结合623PC x y PD PD +== 即可得解.【详解】令(23)PC x y PD =+，则2323x y PD PA PB x y x y=+++ ，即11232323x y PD PA PB x y x y =+++，其中1111,23PA PA PB PB == .由2312323x yx y x y+=++知点D 在线段11A B 上，如下图:由于在11PA B △中，11113,2,120PA PB A PB ︒==∠=，且点D 在线段11A B 上（含端点11,A B ），因此1PH PD PA ≤≤，其中PH 是边11A B 上的高.()222211111111219A B PB PA PB PA PB PA =-=+-⋅=可得11A B =1111111111sin 22PA B S PA PB A PB A B PH =⋅⋅∠=⋅可得||19PH =.||3PD ≤≤.再由(23)PC x y PD =+ ，可知623PC x y PD PD ⎡+==∈⎢⎣⎦ .故答案为：⎡⎢⎣⎦.10．B【分析】建立直角坐标系，将4x y -由P 点坐标转化后数形结合求解【详解】以A 点为坐标原点，,AB AD方向为x ,y 轴正方向建立直角坐标系，则(0,0),(2,0),(1,1),(0,1)A B C D ，(2,0),(1,1)AB BC ==- ，设(,)P m n ，则2m x y n y =-⎧⎨=⎩，解得2m n x y n+⎧=⎪⎨⎪=⎩，故42z x y m n =-=+，即2n m z =-+，数形结合可得当1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取最小值2，当直线与圆221(1)(1)4x y -+-=12=，z 取得最大值3.故选：B11．78【详解】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--== （）（），2211114123234FD BC BF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC == ，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--=== （）（）【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简.对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．12．4【详解】试题分析：1111()()()()2223BF DE BD DF DA AE AB DE AB AC ⋅=+⋅+=-+⋅-+111113111()()()()246234623AB AB AC AB AC AB AC AB AC =--+⋅-+=-+⋅-+223113111163646624 4.818381832AB AC AB AC =+-⋅=⨯+⨯-⨯⨯⨯=+-= 考点：向量数量积13．D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA ，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=--，()cos ,4sin PB θθ=-- ，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯- 22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈- ；故选：D14．D 【分析】利用向量的加法法则，结合重心定义判断作答.【详解】取线段AB 的中点D ，连接OD ，则2OA OB OD +=，而0OA OB OC ++= ，因此2CO OD =，即,,C O D 三点共线，线段CD 是ABC 的中线，且O 是靠近中点D 的三等分点，所以O 是ABC 的重心.故选：D 15．A 【分析】根据向量的运算结合向量垂直分析判断.【详解】因为HA HB HB HC ⋅=⋅，则()0HB HA HC HB CA ⋅-=⋅=uu u r uu u r uuu r uu u r uu r ，所以HB CA ⊥uu u r uu r，即点H 在边CA 的高线所在直线上，同理可得：,HA CB HC AB ⊥⊥uu u r uu r uuu r uu u r，所以点H 为ABC 的三条高线的交点，即点H 是ABC 的垂心.故选：A.16．AB【分析】对于A ：利用重心的性质=PBC S △=PAC PAB S S △△，代入0PBC PAC PABS PA S PB S PC ++=即可；对于B ：利用三角形的面积公式结合0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++= 与0aPA bPB cPC ++=可知点P 到AB BC CA 、、的距离相等.对于C ：利用AB AC 、将PA PB PC、、表示出来，代入0PBC PAC PABS PA S PB S PC ++= ，化简即可表示出PBC PAC PAB S S S 、、△△△的关系式，用PAB S 将ABP ABC S S 、△△表示出来即可得处其比值.对于D ：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将PA mPB nPC =+两边平方，化简可得22+1m n =，结合m n 、的取值范围可得出答案.【详解】对于A ：如图所示：因为D E F 、、分别为CA AB BC 、、的中点，所以2CP PE =，121,233AEC ABC APC AEC ABC S S S S S === ，同理可得13APB ABC S S = 、13BPC ABC S S = ，所以=PBC S △=PAC PAB S S △△，又因为0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++=，所以0PA PB PC ++=uu r uu r uu u r r.正确；对于B ：记点P 到AB BC CA 、、的距离分别为123h h h 、、，231111=,,222PBC PAC PAB a h h h S c S S ==⋅⋅⋅△△△，因为0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++=，则2311110222a h PAb h PBc h PC ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ，即2310a h PA b h PB c h PC ⋅+⋅+⋅= ，又因为0aPA bPB cPC ++=，所以123==h h h ，所以点P 是ABC 的内心，正确；对于C ：因为2155AP AB AC =+，所以2155PA AB AC =--，所以3155PB PA AB AB AC =+=- ，所以2455PC PA AC AB AC =+=-+，所以2131240555555PBC PAC PAB S AB AC S AB AC S AB AC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得：232114+0555555PBC PAC PAB PBC PAC PAB S S S AB S S S AC ⎛⎫⎛⎫--+--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为AB AC、不共线，所以232+=0555114=0555PBC PAC PABPBC PAC PAB S S S S S S ⎧--⎪⎪⎨⎪--+⎪⎩ ，所以=2=2PBC PAB PAC PAB S S S S ⎧⎨⎩ ，所以15ABP PAB PBC PAC PAB ABC S S S S S S =++= △△，错误；对于D ：因为P 是ABC 的外心，π4A =，所以π2BPC ∠=,PA PB PC == ，所以=cos 0PB PC PB PC BPC ⋅⨯⨯∠=，因为PA mPB nPC =+ ，则222222PA m PB mnPB PC n PC =+⋅+ ，化简得：22+1m n =，由题意知m n 、同时为负，记cos sin m n αα=⎧⎨=⎩，3ππ2α<<，则πcos sin sin +4m n ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，因为5ππ7π444α<+<，所以π1sin 4α⎛⎫-≤+< ⎪⎝⎭所以π2+14α⎛⎫-≤<- ⎪⎝⎭，所以)1m n ⎡+∈-⎣，错误.故答案为：AB.17．A【详解】因为1c a b --= ，()1c a b -+= ，做出图形可知，当且仅当c 与()a b +方向相反且1c a b -+= 时，c1；当且仅当c 与()a b +方向相同且1a b c +-=时，c1.18．B【详解】由题意，AC 为直径，所以24437PA PB PC PO PB PB ++=+≤+≤+=,当且仅当点B 为（-1，0）时，PA PB PC ++取得最大值7，故选B.考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想.由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.19．A【分析】由向量线性运算和数量积的定义和运算律可化简已知等式得到22441c a c a -⋅=- ，22441b b c c -⋅=- ，根据向量夹角公式，结合推导出的等式可化简得到cos θ=cos 2θ≥，由此可得θ的最大值.【详解】()2244441OC AC OC OC OA OC OC OA OA⋅=⋅-=-⋅=-，即22441c a c a -⋅=- ，()2224421c a c a c a∴-⋅+=-= ；()2244441OB CB OB OB OC OB OB OC OC⋅=⋅-=-⋅=- ，即22441b b c c -⋅=- ，()2224421b b c c b c∴-⋅+=-= ；设向量4a b - 与2c b -所成夹角为θ，242cos a b c b θ-⋅-∴=()2222211311244444a a b b a b -+-⋅+-+=≥4a b -= 号）；又[]0,πθ∈，max π6θ∴=.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查向量夹角最值的求解问题，解题关键是能根据向量夹角的计的函数的形式，利用基本不等式求解函数的最小值即可得到夹角的最大值.20．72【分析】令OA a = ，OB b =，OC c = ，OB 的中点为D ，AB 的中点为E ，OD 的中点为F，a 与b 的夹角为θ，由题意，计算π3θ=，AB = C 的轨迹为以OD 为直径的圆，利用向量基底表示，将()()222222+=+-- c b BC a AC c 转化为()222243-+-=+ c b CE c a ，然后转化为圆上任意一点到定点距离的最小值进而求解()222+--c ab c 最小值.【详解】令OA a = ，OB b = ，OC c =，OB 的中点为D ，AB 的中点为E ，OD 的中点为F ，a 与b的夹角为θ，连接CA 、CB 、CD 、CO 、EF .由1a = ，2b = ，2a a b =⋅ ，得112cos θ=⨯⨯，1cos 2θ=，因为[]0,πθ∈，所以π3θ=，在OAB中，由余弦定理得AB = 又由22c b c =⋅，得02⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭b c c ，即()0OC OC OD OC DC ⋅-=⋅= ，所以点C 的轨迹为以OD 为直径的圆.因为()()222222+=+-- c b BCa AC c 2222112422EC AB EC AB CE AB⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦uu ur uu u r uu u r uu u r uur uu ur 222114343437222CE EF ⎫⎛⎫=+≥-+≥+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当点C 、E 、F 共线，且点C 在点E 、F 之间时，等号成立.所以22c a c b -+-的最小值为72故答案为：72【点睛】本题解题关键是通过平面向量的几何表示，将问题转化为圆上任意一点到定点距离的最值从而根据几何知识得解.21．494【分析】（1）利用向量线性运算法则和数量积运算法则计算出2O B O C ⋅=-，进而根据AB OB OA =- ，平方后计算出212AB =，从而求出AB =uu u r 设出()cos ,sin P θθ，表达出3sin 2M θ⎫+⎪⎪⎝⎭和2π373sin 34BM θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，利用三角函数有界性求出最大值.【详解】因为2OA OB OC === ，0OA OB OC ++= ，所以()OA OB OC =-+ ，两边平方得：()2222OA OB OC OB OB OC OC =-+=+⋅+ ，即4424OB OC =+⋅+ ，解得：2O B O C ⋅=-，因为AB OB OA =- ，所以222244412AB OB OA OA OB =+-⋅=++= ，因为0AB ≥所以AB =uu u r ；可得到△ABC是等边三角形，且边长为如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，垂直AB 为y轴建立平面直角坐标系，)C，()B ，因为1AP = ，所以设()cos ,sin P θθ，[)0,2πθ∈，由PM MC = 可得：M 是线段PC的中点，则cos 3sin ,22M θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，则222cos 3sin 3733sin cos 22422BM θθθθ++⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭⎝ π373sin 34θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当πsin 13θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，2π373sin 34BM θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 取得最大值，最大值为494.故答案为：494。
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①
②当 与 同向时， ；当 与 反向时， ； 或
③ ．
两向量夹角的范围为 ，求夹角时一定要注意两向量夹角的范围
[练习]若非零向量a,b满足 ，则a与b的夹角为
⑶运算律：① ；② ；③ ．
⑷坐标运算：设两个非零向量 ， ，则 ．
若 ，则 ，或 ． 设 ， ，则 ．
设 、 都是非零向量， ， ， 是 与 的夹角，则 ．
① ；
②当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时， ．
⑵运算律：① ；② ；③ ．
⑶坐标运算：设 ，则 ．
【向量相等，坐标相同；向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关】
7、向量共线定理：向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 ．
⑶三角形不等式： ．
⑷运算性质：
①交换律： ；
②结合律： ；③ ．
⑸坐标运算（坐标加减）：设 ， ，
则 ．
5、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设 ， ，则 ．
设 、 两点的坐标分别为 ， ，则 ．
6、向量数乘运算：
⑴实数 与向量 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 ．
① ， ， ；
② ， ， ；③ ；
（3）正弦定理的应用：
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边
[练习] 在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于()．
A．5 B．10 D．5
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
【注意】
在 中，已知a,b和A，利用正弦定理解三角形时，会出现解不确定的情况，一般可根据三角形中“大边对大角，三角形内角和定理”来取舍，具体情况如下
[练习]
1、平面向量 ，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m=
A,-2 B,-1 C,1 D,2
2、在平行四边形ABCD中，AD=1，角BAD=60度，E为CD的重点，若 ，则AB的长为
解三角形
1、（1）正弦定理：在 中， 、 、 分别为角 、 、 的对边，，则有
( 为 的外接圆的半径)
（2）正弦定理的变形公式：
8、平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 、 ，使 ．（不共线的向量 、 作为这一平面内所有向量的一组基底）
[练习]在下列向量组中，可以把向量a=（3,2）表示出来的是
A，e1=（0,0），e2=（1,2）B,e1=（-1,2），e2=（5,-2）C,e1=（3,5），e2=（6,10）D,e1=（2,-3），e2=（-2,3）
A,锐角三角形 B,等腰三角形 C,直角三角形 D，等腰或者直角三角形
2、在△ABC中，若 ＝ ＝ ；则△ABC是()．
A．直角三角形B．等边三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
7、三角形的面积公式的选择
设 ， ，其中 ，则当且仅当 时，向量 、 共线．
[练习]设a,b是两个不共线的向量， ，若A,B,D三点共线，则实数p的值是
对于 ( 均为实数)，若A,B,C三点共线，则 ，反之仍然成立。
[练习]如图所示，在 中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若 ,则m+n的值为
A．30° B．45° C．60° D．75°
5、三角形中常用结论
在 中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，常见的结论有
（1）A+B+C=π
（2）在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞Ba＞bsin A＞sin B.
（3）常用三角恒等式：sin（A+B）=sin（C）；cos（A+B）=-cos（C）；tan(A+B)=-tan(C)
高考数学平面向量知识点及相关题型
平面向量
1、向量：既有大小，又有方向的量。向量不能比较大小，只可以判断是否相等，向量的模可以比较大小。
数量：只有大小，没有方向的量。数量可以比较大小，也可以判断是否相等。
2、有向线段的三要素：起点、方向、长度．起点的选择是任意的，对于模相等且方向相同的两个向量，无论他们的起点在哪里，都认为这两个向量相等。
9、分点坐标公式：设点 是线段 上的一点， 、 的坐标分别是 ， ，当 时，点 的坐标是 ．（当
10、平面向量的数量积：
⑴ ．零向量与任一向量的数量积为 ．
的几何意义： 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积
[练习]已知点A(-1，1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量 方向上的投影为
[练习]
1、 的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c
（1）若a,b,c成等差数列，证明sinA+sinC=2sin(A+C)
（2）若a,b,c成等比数列，求cosB的最小值
6、三角形形状的判定，利用正余弦定理把已知条件转化为三角形的三角函数关系或者边边关系再进行下一步求解
[练习]
1、在 中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若直线bx+ycosA+cosB=0与ax+ycosB+cosA=0平行，则 一定是（）
【解题】
用已知向量表示另外一些向量，除了利用向量加减法和数乘运算外，还充分利用平面几何的一些定理。
在求向量时要尽可能的转化到平行四边形或三角形中。
常要用到相似三角形对应边成比例，三角形中位线等平面几何的性质。
[练习]
1、在 中，点M,N满足 ,则x= ，y=
2、如图，已知平面内有三个向量 ,其中 的夹角为120度， 的夹角为30度，且 ,则 的值为
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＜bsinA
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
a≤b
解的
个数
无解
一解
两解
一解
一解
无解
3、三角形面积公式： ．
4、余弦定理：在 中，有
推论：
应用：已知三边，求各角
已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角
[练习]在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于( )．
零向量：长度为 的向量．
单位向量：长度等于 个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
3、向量既有代数特征又有几何特征，可以起到数形结合的作用。
4、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．