2017年春季广东省深圳市中考一轮总复习第二章 方程与不等式 第9讲 列方程(组)解应用题
广东省2017中考数学第一部分考点研究第二章方程组与不等式组第二节一元二次方程及其应用试题
第二章方程(组)与不等式(组)第二节一元二次方程及其应用玩转广东省卷6年中考真题（2011~2016）命题点1解一元二次方程(省卷仅2015年考查)1.(2015省卷17，6分)解方程：x 2－3x ＋2＝0.命题点2根的判别式(省卷6年2考)2.(2015省卷8，3分)若关于x 的方程x 2＋x －a ＋94＝0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是()A.a ≥2B.a ≤2C.a ＞2D.a ＜2命题点3一元二次方程的实际应用(省卷6年2考)3.(2013省卷21，8分)雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？【答案】1．解：方程x 2－3x ＋2＝0可化为(x －1)(x －2)＝0，……………(3分)∴x －1＝0或x －2＝0，∴x 1＝1，x 2＝2.…………………………………………………(6分)2．C 【解析】由题意，得b 2－4ac ＝1＋4a －9＞0，解得a ＞2.3．解：(1)设捐款增长率为x ，由题意得：10000(1＋x )2＝12100,………………………………………(3分)解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝－2.1(不合题意，舍去)．…………(4分)答：捐款增长率为10%；……………………………………(5分)(2)12100×(1＋10%)＝13310(元).……………………………(7分)答：第四天该单位能收到13310元捐款．…………………(8分)。
广东省2017中考数学复习 第1部分 基础过关 第二单元 方程与不等式检测卷
单元检测卷二 方程与不等式限时：____________分钟 总分：100分一、选择题(共大题共10小题，每小题3分，共30分) 1．方程3x ＋6＝0的解是( ) A ．2 B ．－2 C ．3D ．－32．下列方程的变形中正确的是( ) A ．由x ＋5＝6x －7得x －6x ＝7－5 B ．由－2(x －1)＝3得－2x －2＝3 C ．由x －30.7＝1得10x －307＝10 D ．由12x ＋9＝－32x －3得2x ＝－123．(2016·武威)在数轴上表示不等式x －1＜0的解集，正确的是( )4．若x >y ，则下列式子中错误的是( ) A ．x －3>y －3 B ．x ＋3>y ＋3 C ．－3x >－3yD ．x 3>y35．(2016·南宁)超市店庆促销，某种书包原价每个x 元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程( )A ．0.8x －10＝90B ．0.08x －10＝90C ．90－0.8x ＝10D ．x －0.8x －10＝906．(2016·衡阳)关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋k ＝0有两个相等的实根，则k 的值为( )A ．k ＝－4B ．k ＝4C ．k ≥－4D ．k ≥47．(2016·临沂)为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有x 人，女生有y 人．根据题意，所列方程组正确的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝78，3x ＋2y ＝30B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝78，2x ＋3y ＝30C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝30，2x ＋3y ＝78D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝30，3x ＋2y ＝788．(2016·青岛)A ，B 两地相距180 km ，新修的高速公路开通后，在A ，B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A 地到B 地的时间缩短了1 h ．若设原来的平均车速为x km/h ，则根据题意可列方程为( )A.180x －180＋x ＝1 B ．180＋x －180x ＝1C.180x－180－x＝1D ．180－x－180x＝19．(2016·攀枝花)若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋32ax －a 2＝0的一个根，则a的值为( )A ．－1或4B ．－1或－4C ．1或－4D ．1或410．(2016·凉山州)关于x 的方程 3x －2x ＋1＝2＋mx ＋1无解，则m 的值为( )A ．－5B ．－8C ．－2D ．5二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11．(2016·金华)不等式3x ＋1＜－2的解集是____________． 12．(2016·吉林)若x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋m ，则m ＝____________.13．(2016·丹东)某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x ，则可列方程为____________．14．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋x －1－2x ＋53>x －2的解集是____________．15．已知x ＝2是关于x 的方程a (x ＋1)＝12a ＋x 的解，则a 的值是____________．16．定义一种新的运算“※”，x ※y ＝ax ＋by (其中a ，b 为常数)，已知3※5＝15,4※7＝28，则4※2＝____________.三、解答题(本大题共7小题，共46分)17．(6分)解方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝7，①x －3y ＝8；②(2)2x 2－7x ＋3＝0.18．(6分)解方程：(1)xx ＋1－4x 2－1＝1; (2)2x 2x －1＋xx －2＝2. 19．(6分)(2016·广州)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧2x <5，x ＋x ＋4并在数轴上表示解集．20．(6分)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2kx ＋k 2－k ＝0有两个不相等的实数根． (1)求实数k 的取值范围；(2)0可能是方程的一个根吗？若是，求出它的另一个根；若不是，请说明理由． 21．(7分)(2016·毕节)为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6 000万元.2016年投入教育经费8 640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．22．(7分)(2016·沈阳)倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A ，B 两种型号的健身器材若干套，A ，B 两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买．(1)若购买A ，B 两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20 000元，求A ，B 两种型号健身器材各购买多少套？(2)若购买A ，B 两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18 000元，求A 种型号健身器材至少要购买多少套？23．(8分)(2016·宁夏)某种型号油电混合动力汽车，从A 地到B 地燃油行驶纯燃油费用76元，从A 地到B 地用电行驶纯电费用26元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元．(1)求每行驶1千米纯用电的费用；(2)若要使从A 地到B 地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少用电行驶多少千米？参考答案：一、选择题1．B 2.D 3.C 4.C 5.A 6.B 7.D 8.A 9.C 10.A 二、填空题11．x <－1 12.1 13.60(1＋x )2＝100 14.－52≤x ＜4515.45 16.－92 三、解答题17．解：(1)①＋②得，3x ＝15，解得x ＝5. 把x ＝5代入①得，10＋3y ＝7，解得y ＝－1.故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－1.(2)原方程可变形为(2x －1)(x －3)＝0，所以2x －1＝0或x －3＝0， 所以x 1＝12，x 2＝3.18．解：(1)去分母，得x (x －1)－4＝x 2－1， 去括号，得x 2－x －4＝x 2－1，解得x ＝－3. 经检验，x ＝－3是分式方程的解．(2)去分母，得2x (x －2)＋x (2x －1)＝2(2x －1)(x －2)， 整理，得5x ＝4，解得x ＝45.经检验，x ＝45是原方程的根．19．解：⎩⎪⎨⎪⎧2x <5，①x ＋x ＋4，②解①，得x <52.解②，得x ≥－1.在数轴上表示为：20．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2＋2kx ＋k 2－k ＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b 2－4ac ＝(2k )2－4(k 2－k )＝4k ＞0.∴k ＞0. ∴实数k 的取值范围是k ＞0.(2)把x ＝0代入方程得：k 2－k ＝0，解得k ＝0或k ＝1， ∵k ＞0，∴k ＝1.即0是方程的一个根，把k ＝1代入方程得：x 2＋2x ＝0， 解得x ＝0或x ＝－2， 即方程的另一个根为x ＝－2.21．解：(1)设该县投入教育经费的年平均增长率为x .则有： 6 000(1＋x )2＝8 640，解得x ＝0.2或x ＝－2.2(舍去)． 答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%.(2)因为2016年该县投入教育经费为8 640万元，且增长率为20%，所以2017年该县投入教育经费y ＝8 640×(1＋0.2)＝10 368(万元)．答：预算2017年该县投入教育经费10 368万元．22．解：(1)设购买A 种型号健身器材x 套，B 种型号健身器材y 套，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，310x ＋460y ＝20 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝30.答：购买A 种型号健身器材20套，B 种型号健身器材30套． (2)设购买A 型号健身器材m 套，根据题意，得310m ＋460(50－m )≤18 000，解得m ≥1003.∵m 为整数，∴m 的最小值为34. 答：A 种型号健身器材至少要购买34套．23．解：(1)设每行驶1千米纯用电的费用为x 元， 76x ＋0.5＝26x，解得x ＝0.26. 经检验，x ＝0.26是原分式方程的解，即每行驶1千米纯用电的费用为0.26元． (2)从A 地到B 地油电混合行驶，用电行驶y 千米，0．26y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫260.26－y ×(0.26＋0.5)≤39，解得y ≥74，即至少用电行驶74千米．。
中考数学复习讲义课件 中考考点解读 第二单元 方程(组)与不等式(组) 第9讲 一元二次方程及其应用
11．6 若方程x2－4x＋2＝0的两个根为x1，x2，则
x1(1＋x2)＋x2的值为_______.
重点难点 素养
拓
展
D
[解析] 根据题意，得 α＋β＝－1，αβ＝－1， ∴α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝(－1)2－2×(－1)＝3， α1＋β1＝αα＋ββ＝－－11＝1.故选 D.
方法指 导
常见恒等变形： 1.x11＋x12＝xx1＋1x2x2； 2.xx21＋xx12＝（x1＋xx2）1x22－2x1x2；
3．x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2； 4．(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； 5．(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1.
变式训 练
A
－2
1
(3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8m， 宽AB＝3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固 定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长 绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD， DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的 一端恰好落在点C，求AP的长．
(3)∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3m. 设AP＝xm，则PD＝(8－x)m. ∵BP＋CP＝10m， BP＝ AP2＋AB2，CP＝ CD2＋PD2，
第9讲一元二次方程及其应用
1 知识梳理素养形成 2 真题自测明确考向
知识梳理素养形成
真题自测明确考向
体验泸州中考真 题
命题点1一元二次方程根的判别式
1．(2018·泸州)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋
k－1＝0有两个不相等的实数根C，则实数k的取值
范围是()
A．k≤2
B．k≤0
人教版中考数学第一轮复习第二章方程与不等式
第二章 方程与不等式第七讲 一次方程（组）【基础知识回顾】一、 等式的概念及性质：1、等式：用“=”连接表示 关系的式子叫做等式2、等式的性质：①、性质1：等式两边都加（减） 所得结果仍是等式，即：若a=b,那么a±c=②、性质2：等式两边都乘以或除以 （除数不为0）所得结果仍是等式 即：若a=b,那么a c= ，若a=b （c≠o ）那么a c= 【名师提醒：①用等式性质进行等式变形，必须注意“都”，不能漏项②等式两边都除以一个数或式时必须保证它的值 】二、方程的有关概念：1、含有未知数的 叫做方程2、使方程左右两边相等的 的值，叫做方程的解4、一个方程两边都是关于未知数的 ，这样的方程叫做整式方程三、一元一次方程：1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 的 方程叫做一元一次方程，一元一次方程一般可以化成 的形式。
2、解一元一次方程的一般步骤：1。
2。
3。
4。
5。
【名师提醒：1、一元一次方程的解法的各个步骤的依据分别是等式的性质和合并同类法则，要注意灵活准确运用；2、特别提醒：去分母时应注意不要漏乘项，移项时要注意。
】四、二元一次方程组及解法：1、 解二元一次方程组的基本思路是： ；2.解方程组的解法：① 消元法 ② 消元法【名师提醒：1、一个二元一次方程的解有 组，我们通常在实际应用中要求其正整数解 2、二元一次方程组的解应写成 五、列方程（组）解应用题：一般步骤：1、审：弄清题意，分清题目中的已知量和未知量2、设：直接或间接设未知数3、列：根据题意寻找等量关系列方程（组）4、解：解这个方程（组），求出未知数的值5、验：检验方程（组）的解是否符合题意6：答：写出答案（包括单位名称）【重点考点例析】 一、选择题1．一元一次方程2x=4的解是（ ）A ．x=1 B ．x=2 C ．x=3 D．x=4x=ay=b 的形式2．已知方程组2535x yx y+=⎧⎨+=⎩，则x+y的值为（）A．-1 B．0 C．2 D．3A．4150048000x yx y+=⎧⎨+=⎩B．4150068000x yx y+=⎧⎨+=⎩C．1500468000x yx y+=⎧⎨+=⎩D．1500648000x yx y+=⎧⎨+=⎩二、填空题12．方程组31x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是．13．若方程组7353x yx y+=⎧⎨-=-⎩，则3（x+y）-（3x-5y）的值是．14．湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰问老人，如果送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完．设敬老院有x位老人，依题意可列方程为．15．某商场将一款空调按标价的八折出售，仍可获利10%，若该空调的进价为2000元，则标价元．三、解答题20．解方程组128 x yx y=+⎧⎨+=⎩．21．解方程组251x yx y+=⎧⎨-=⎩．【基础知识回顾】一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有个未知数，并且未知数最高次数是2的方程2、一元二次方程的一般形式：其中二次项是一次项是，是常数项【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠0这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果ax 2 =b 则X 2 = X1= X2=2、配方法：解法步骤：①、化二次项系数为即方程两边都二次项系数,②、移项：把项移到方程的边③、配方：方程两边都加上把左边配成完全平方的形式④、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程3、公式法：如果方程ax 2+bx+c=0(a≠0) 满足b 2-4ac≥0，则方程的求根公式为4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生A.B=0的形式，则可将原方程化为两个方程，即、从而得方程的两根【名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是法和法】三、一元二次方程根的判别式关于X的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)根的情况由决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号表示①当时，方程有两个不等的实数根②当时，方程看两个相等的实数根方程有两个实数跟，则③当时，方程没有实数根【名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数】四、一元二次方程根与系数的关系：关于X的一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a±0)有两个根分别为X1、X2则x1+x2 = x1x2 =【重点考点例析】一、选择题1．方程x2-5x=0的解是（）A．x1=0，x2=-5 B．x=5 C．x1=0，x2=5 D．x=0 2．已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（）A．1 B．-1 C．2 D．-23．已知b＜0，关于x的一元二次方程（x-1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根4．一元二次方程2x2-5x+1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5．已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0．下列说法正确的是（）A．①②都有实数解B．①无实数解，②有实数解C．①有实数解，②无实数解D．①②都无实数解6．已知关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．4 B．-4 C．1 D．-17．若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k＞1 C．k=1 D．k≥08．若关于x的方程x2-4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜-4 B．m＞-4 C．m＜4 D．m＞49．关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．-110．一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（）A．x-6=-4 B．x-6=4 C．x+6=4 D．x+6=-4 11．用配方法解方程x2-2x-1=0时，配方后得的方程为（）A．（x+1）2=0 B．（x-1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x-1）2=2二、填空题三、解答题21．选择适当的方法解下列方程：（1）27(23)28x -=； （2）223990y y--= （3）221x +=； （4）2(21)3(21)20x x ++++= 23．关于x 的一元二次方程为（m-1）x 2-2mx+m+1=0．（1）求出方程的根；（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？24．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？25.要建一个面积为150m 2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为am ，另三边用竹篱笆围成，如图，如果篱笆的长为35m ，（1）求鸡场的长与宽各为多少？（2）题中墙的长度a 对题目的解起着怎样的作用？第九讲 分式方程【基础知识回顾】一、分式方程的概念分母中含有 的方程叫做分式方程【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据】二、分式方程的解法：1、解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程：即分式方程 ﹥整式方程2、解分式方程的一般步骤：①、 ②、 ③、3、增根：转化 去分母 A B D E F在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为 的根称为方程的增根。
中考数学复习讲义课件考点解读第二单元 方程(组)与不等式(组) 第9讲 一元二次方程及其应用 (2)
一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产10万件，
第三天生产14.4万件，若每天增长的百分率相
同．试回答下列问题：
(1)求每天增长的百分率；
(2)经调查发现，1条生产线最大产能是20万件/天，
若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减
口罩60万件，在增加产能同时又要节省投入的条件 下(生产线越多，投入越大)，应该增加几条生产线？ [分析] (1)设每天增长的百分率为x，根据开工第一 天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方 程，解之取其正值即可得出结论； (2)设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产 能为(20－2m)万件/天，根据每天生产口罩60万件， 即可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值 即可得出结论．
[点评] 本题考查了一元二次方程的应用，找准等 量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20000个，1月底因突然爆发新 冠肺变炎式疫训情，市场对口罩需求
练
量大增，为满足市场需求，工
厂决定从2月份起扩大产能，3
月份平均日产量达到24200个．
(1)求口罩日产量的月平均增长
率；
解：(1)设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题 意，得20000(1＋x)2＝24200， 解得x1＝－2.1(舍去)，x2＝0.1＝10%. 答：口罩日产量的月平均增长率为10%. (2)24200(1＋0.1)＝26620(个)． 答：预计4月份平均日产量为26620个．来自有实数根A，则m的值可以为()
A．－1
1 4
B．－
C．0
D．1
命题点3一元二次方程根的判别
式(10年1考)
8．(20A15·衡阳)若关于x的方程x2
＋3x＋a＝0有一个根为－1，则
中考数学一轮总复习讲解 第二章 方程与不等式
中考数学一轮总复习讲解第二章方程与不等式第6讲一元一次方程与分式方程及其应用第7讲二元一次方程组及其应用第8讲一元二次方程及其应用第9讲方程(组)的应用第10讲不等式与不等式组第11讲一元一次不等式的应用第6讲一元一次方程与分式方程及其应用1．一元一次方程及解法2.分式方程及解法3.列方程解应用题的一般步骤1．(2016·杭州)已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤x 吨到乙煤场，则可列方程为( )A ．518＝2(106＋x )B ．518－x ＝2×106C ．518－x ＝2(106＋x )D ．518＋x ＝2(106－x )2．(2017·宁波)分式方程2x ＋13－x ＝32的解是____________________． 3．(2017·温州)甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：____________________.4．(2017·金华)解分式方程：2x ＋1＝1x －1.【问题】给出以下五个代数式：2x －4，x －2，x ，12，3. (1)选取其中的几个代数式，组成一个一元一次方程和一个分式方程；(2)解出(1)中所选的一元一次方程和分式方程．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理一元一次方程和分式方程的概念，以及它们的解法．类型一 等式性质和方程的解的含义例1 (1)(2017·杭州)设x ，y ，c 是实数，( )A ．若x ＝y ，则x ＋c ＝y －cB ．若x ＝y ，则xc ＝ycC ．若x ＝y ，则x c ＝y cD ．若x 2c ＝y 3c，则2x ＝3y (2)已知关于x 的方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2，则a ＝________.(3)已知关于x 的方程3x ＋n 2x ＋1＝2的解是负数，则n 的取值范围为______________．1．(1)已知等式3a ＝2b ＋5，则下列等式中不一定成立的是( )A ．3a －5＝2bB ．3a ＋1＝2b ＋6C ．3ac ＝2bc ＋5D ．a ＝23b ＋53(2)如果方程x ＋2＝0与方程2x －a ＝0的解相同，那么a ＝____________________．(3)(2017·成都)已知x ＝3是分式方程kx x －1－2k －1x ＝2的解，那么实数k 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2类型二 一元一次方程的解法例2 解方程：x －x －12＝2－x ＋23.2．解方程：(1)(2016·贺州)解方程：x 6－30－x 4＝5；(2)7x －12⎣⎡⎦⎤x －12（x －1）＝23(x －1)．类型三 分式方程的解法例3 (2015·营口)若关于x 的分式方程2x －3＋x ＋m3－x ＝2有增根，则m 的值是() A ．m ＝－1 B ．m ＝0 C ．m ＝3 D ．m ＝0或m ＝3例4 (1)(2017·湖州)解方程：2x －1＝1x －1＋1；(2)(2017·陕西模拟)解方程：2－x x －3＝13－x －2.3．解分式方程：(1)x x －3＝x －63－x＋3；(2)x x ＋1－4x 2－1＝1.类型四 一元一次方程和分式方程的应用例5 (2015·宁波)宁波火车站北广场将于2015年底投入使用，计划在广场内种植A ，B 两种花木共6600棵，若A 花木数量是B 花木数量的2倍少600棵．(1)A ，B 两种花木的数量分别是多少棵？(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A 花木60棵或B 花木40棵，应分别安排多少人种植A 花木和B 花木，才能确保同时完成各自的任务？4．(2017·黄冈)黄麻中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用5000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？【探索规律题】一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式拼接．(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？(2)若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？【方法与对策】根据寻找的规律，每增加1张这样的餐桌可增加4人求解即可．这是探索规律题(图形的变化类)，并利用方程思想来解决．它是中考热点题之一．【解分式方程去分母时，漏乘整式项，忘记验根】解分式方程：x 2－4x x 2－1＋1＝2x x ＋1.第7讲二元一次方程组及其应用二元一次方程组及解法1．(2017·舟山)若二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，3x －5y ＝4的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b ，则a －b ＝( ) A ．1 B ．3 C ．－14D .742．(2016·温州)已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍．设甲数为x ，乙数为y ，根据题意，列方程组正确的是( )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7x ＝2yB .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7y ＝2xC .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝7x ＝2yD .⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7y ＝2x3．(2016·金华)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝5，x ＋y ＝2.【问题】对于二元一次方程2x ＋y ＝10.(1)求其正整数解；(2)若x ＋y ＝7，求x ，y 的值；(3)对于(1)、(2)中的x ，y 值的求法，你有何体会？.类型一 二元一次方程(组)的有关概念例1 (1)(2016·永康模拟)已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2是关于x ，y 的二元一次方程x －ay ＝3的一个解，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2(2)(2017·南宁)已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b 是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝5的解，则3a －b ＝________；(3)已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝7，2mx －3ny ＝4的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，则m ＝________，n ＝________.1．(1)(2016·毕节)已知关于x ，y 的方程x 2m－n －2＋4y m＋n ＋1＝6是二元一次方程，则m ，n的值为( )A ．m ＝1，n ＝－1B ．m ＝－1，n ＝1C ．m ＝13，n ＝－43D ．m ＝－13，n ＝43(2)已知x 、y 是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝3，2x ＋4y ＝5的解，则代数式x 2－4y 2的值为____________________．类型二 二元一次方程(组)的解法例2 解方程(组)：(1)方程x ＋3y ＝9的正整数解是________；(2)(2015·成都)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝5，3x －2y ＝－1，(2)⎩⎪⎨⎪⎧2（x －y ）3－x ＋y 4＝－112，3（x ＋y ）－2（2x －y ）＝3.2．解方程组：(1)(2015·聊城)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝5，2x ＋y ＝4；(2)1－6x ＝3y －x 2＝x ＋2y3.类型三 二元一次方程组的综合问题例3 已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝3，ax ＋by ＝－1与⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝11，2ax ＋3by ＝3的解相同，求a ，b 的值．例4 (2016·枣庄)P n 表示n 边形的对角线的交点个数(指落在其内部的交点)，如果这些交点都不重合，那么P n 与n 的关系式是：P n ＝n （n －1）24·(n 2－an ＋b)(其中，a ，b 是常数，n ≥4)(1) 通过画图，可得四边形时，P 4＝ (填数字)；五边形时，P 5＝ (填数字)；(2)请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a ，b 的值．3．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝n ，3x ＋5y ＝n ＋2的解x ，y 的和为12，求n 的值．4.当m 取什么值时，方程x ＋2y ＝2，2x ＋y ＝7，mx －y ＝0有公共解．类型四 二元一次方程组的应用例5 (2015·佛山)某景点的门票价格如下表：某校七年级(1)、(2)两班计划去游览该景点，其中(1)班人数少于50人，(2)班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1118元，如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元．(1)两个班各有多少名学生？(2)团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？5．八(1)班五位同学参加学校举办的数学竞赛，试卷中共有20道题，规定每题答对得5分，答错扣2分，未答得0分．赛后A，B，C，D，E五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况(E同学只记得有7道题未答)，具体如下表：(1)根据以上信息，求A，B，C，D四位同学成绩的平均分；(2)最后获知：A，B，C，D，E五位同学成绩分别是95分，81分，64分，83分，58分．①求E同学的答对题数和答错题数；②经计算，A，B，C，D四位同学实际成绩平均分是80.75分，与(1)中算得的平均分不相符，发现是其中一位同学记错了自己的答题情况．请指出哪位同学记错了，并写出他的实际答题情况(直接写出答案即可)．【实际应用题】1．(2017·自贡)我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x ，y 人，则可以列方程组__________________．2．(2017·济宁)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱48文，甲、乙两人原来各有多少钱？设甲原有x 文钱，乙原有y 文钱，可列方程组是____________．【二元一次方程的解，二元一次方程组的解理解不清】方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －7y ＝0，x －2y ＋1＝0的解对方程2x －3y ＝－5而言( )A ．是这个方程的唯一解B ．是这个方程的一个解C ．不是这个方程的解D ．以上结论都不对第8讲一元二次方程及其应用1．一元二次方程的概念及解法2.一元二次方程根的判别式1．(2015·温州)若关于x的一元二次方程4x2－4x＋c＝0有两个相等实数根，则c的值是()A．－1 B．1 C．－4 D．42．(2017·舟山)用配方法解方程x2＋2x－1＝0时，配方结果正确的是()A．(x＋2)2＝2 B．(x＋1)2＝2C．(x＋2)2＝3 D．(x＋1)2＝33．(2017·丽水)解方程：(x－3)(x－1)＝3.【问题】给出以下方程①3x＋1＝0；②x2－2x＝8；③1x－3－2x3－x＝1.(1)是一元二次方程的是__________；(2)求出(1)中的一元二次方程的解，并联想还有其他的解法吗？(3)通过(1)(2)问题解决，你能想到一元二次方程的哪些知识？类型一 一元二次方程的有关概念例1 (1)关于x 的方程(a －6)x 2－8x ＋6＝0有实数根，则整数a 的最大值是________． (2)若x ＝1是一元二次方程ax 2＋bx －40＝0的一个解，且a ≠b ，则a 2－b 22a －2b的值为________．(3)关于x 的方程a(x ＋m)2＋b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1，(a ，m ，b 均为常数，a ≠0)，则方程a(x ＋m ＋2)2＋b ＝0的解是________．1．(1)(2016·南京模拟)关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2＋x －2＝0是一元二次方程，则a 满足( )A ．a ≠1B ．a ≠－1C ．a ≠±1D ．为任意实数(2)已知x ＝1是一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的一个根，则m 2＋2mn ＋n 2的值为____________________．类型二 一元二次方程的解法例2 解下列方程： (1)(3x －1)2＝(x ＋1)2； (2)2x 2＋x －12＝0.2．解方程：(1)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7；(2)x(x－2)＋x－2＝0.类型三一元二次方程根的判别式例3(1)(2017·潍坊)若关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是________．(2)(2015·台州)关于x的方程mx2＋x－m＋1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是________(填序号)．【解后感悟】在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，需要把握根的三种存在情况：b2－4ac≥0，方程有实数根(两个相等或两个不相等)；b2－4ac＜0，无实数根．3．已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例是()A．b＝－1 B．b＝2 C．b＝－2 D．b＝04．若关于x的一元二次方程kx2＋4x＋3＝0有实根，则k的非负整数值是____________________．5．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，求ab2的值．（a－2）2＋b2－4类型四 与几何相关的综合问题例4在宽为20m ，长为32m 的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为135m 2，则道路的宽为________m .(2)(2016·张家口模拟)如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a ＝1，则b ＝________．(3)(2015·广安)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是________．6．(1)(2016·台湾)如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？( )A .12B .35C ．2－3D ．4－2 3(2)一个直角三角形的两条边长是方程x 2－7x ＋12＝0的两个根，则此直角三角形的面积等于 .(3)有一块长32cm ，宽24cm 的长方形纸片，如图，在每个角上截去相同的正方形，再折起来做成一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，则盒子的高是____________________cm .类型五一元二次方程在生活中的应用例5(1)(2017·济宁市任城区模拟)某种数码产品原价每只400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元，则平均每次降价的百分率为________．(2)某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都要赛一场)计划安排15场比赛，则参加比赛的球队应有________队．(3)商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打a折的基础上再打a折销售，现该商品的售价为128元，则a的值是________．(4)将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销量就要减少10个，为了赚8000元利润，则应进货________个．7．(1)(2016·宁波市镇海区模拟)毕业典礼后，九年级(1)班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张毕业纪念卡，全班共送贺卡1190张，则九年级(1)班人数为____________________人．(2)(2017·山西模拟)将一些半径相同的小圆按如图的规律摆放，请仔细观察，第____________________个图形有94个小圆．【探索研究题】1．(1)(2017·温州)我们知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0，它的解是()A．x1＝1，x2＝3B．x1＝1，x2＝－3C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－3(2)(2017·宁波市北仑区模拟)已知m是方程x2－2017x＋1＝0的一个根，则代数式m2－2018m＋m2＋12017＋3的值是________．【忽视一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中“a≠0”】已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是________．第9讲方程(组)的应用1．(2017·杭州)某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则()A．10.8(1＋x)＝16.8B．16.8(1－x)＝10.8C．10.8(1＋x)2＝16.8D．10.8[(1＋x)＋(1＋x)2]＝16.82．(2017·台州)滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里和8.5公里，如果下车时所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差()A．10分钟B．13分钟C．15分钟D．19分钟【问题】小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．(1)按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？(2)通过(1)解答，请你谈谈方程应用性问题，应注意哪些方面？解题的一般步骤怎样？类型一一元一次方程的应用例1(1)七年级(2)班有46人报名参加文学社或书画社．已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多10人，两社都参加的有20人，则参加书画社的有________人．(2)有两根同样长度但粗细不同的蜡烛，粗蜡烛可以燃烧6小时，细蜡烛可以燃烧4小时，一次停电，同时点燃两根蜡烛，来电后同时吹灭，发现剩下的粗蜡烛长度是细蜡烛长度的两倍，则停电时间是________小时．(3)一件商品成本为x元，商店按成本价提高40%后作为标价出售，节日期间促销，按标价打8折后售价为1232元，则成本价x＝________元．(4)自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下方式收取：用水不超过10吨，每吨按0.8元收费，超过10吨的部分按每吨1.5元收费，王老师三月份平均水费为每吨1.0元，则王老师家三月份用水________吨．1．(1)(2016·聊城)在如图的2016年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是()A.27 B．51C．69 D．72(2)(2015·丽水模拟)诗云：“远望巍巍塔七层，灯光点点倍加增，共灯三百八十一，试问尖头几盏灯？”请回答：____________________.(3)如图是由若干个粗细均匀的铁环最大限度地拉伸组成的链条．已知铁环粗0.8厘米，每个铁环长5厘米．设铁环间处于最大限度的拉伸状态．若要组成1.75米长的链条，则需要____________________个铁环．类型二二元一次方程组的应用例2(1)若买3支圆珠笔、1本日记本共需10元；买1支圆珠笔、3本日记本共需18元，则日记本的单价比圆珠笔的单价多________元．(2)如图，将图1的正方形剪掉一个小正方形，再沿虚线剪开，拼成如图2的长方形．已知长方形的宽为6，长为12，则图1正方形的边长为________．(3)商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，据图的信息，当有10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是________cm.2．(1)(2017·安徽模拟)如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒．从图中信息可知，买5束鲜花和5个礼盒的总价为____________________元．(2)如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组是____________________．(3)为了合理使用电力资源，缓解用电紧张状况，我国电力部门出台了使用“峰谷电”的政策及收费标准(如图表)．已知王老师家4月份使用“峰谷电”95千瓦时，缴电费43.40元，问王老师家4月份“峰电”和“谷电”各用了多少千瓦时？设王老师家4月份“峰电”用了x千瓦时，“谷电”用了y千瓦时，根据题意可列方程组____________________.类型三一元二次方程的应用例3(1)如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________m.(2)某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低________元．(3)美化环境，改善居住环境已成为城乡建设的一项重要内容，某区计划用两年时间使全区绿化面积增加21%，则这两年全区绿化面积的年平均增长率应是________．3．(1)(2017·宁海模拟)某次商品交易会上，所有参加会议的商家每两家之间都签订了一份合同，共签订合同36份．共有____________________家商家参加了交易会．(2)平行四边形ABCD的边长如图所示，四边形ABCD的周长为____________________．(3)(2017·杭州模拟)两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元．随着生产技术的进步，成本逐年下降，第2年的年下降率是第1年的年下降率的2倍，现在生产1吨甲种药品成本是2400元．为求第一年的年下降率，假设第一年的年下降率为x，则可列方程____________________．类型四分式方程的应用例4(1)(2017·慈溪模拟)某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务，原来每天制作________件．(2)(2017·瑞安模拟)在“校园文化”建设中，某校用8000元购进一批绿色植物，种植在礼堂前的空地处．根据建设方案的要求，该校又用7500元购进第二批绿色植物．若两次所买植物的盆数相同，且第二批每盆的价格比第一批的少10元．则第二批绿植每盆的价格为________元．(3)(2017·宁波模拟)某感冒药用来计算儿童服药量y的公式为y＝axx＋12，其中a为成人服药量，x为儿童的年龄(x≤13)．如果一个儿童服药量恰好占成人服药量的一半，那么他的年龄是________．4．(1)(2016·淄博)某快递公司的分拣工小王和小李，在分拣同一类物件时，小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同．已知小王每小时比小李多分拣8个物件，设小李每小时分拣x个物件，根据题意列出的方程是____________________．(2)某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍，则第一组的人数为____________________．(3)(2017·绍兴模拟)目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现：小琼步行13500步与小刚步行9000步消耗的能量相同，若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小刚多15步，求小刚每消耗1千卡能量需要行走____________________步．【实际应用题】(2017·衢州)根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中第一产业，第二产业，第三产业所占比例如图2所示．请根据图中信息，解答下列问题：(1)求2016年第一产业生产总值；(精确到1亿元)(2)2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几？(精确到1%)(3)若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率．(精确到1%)【寻找等量关系欠仔细】要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为( )A .12x(x ＋1)＝28B .12x(x －1)＝28C ．x(x ＋1)＝28 D ．x(x －1)＝28第10讲不等式与不等式组1．不等式的概念及性质2.一元一次不等式(组)的解法及应用1．(2015·嘉兴)一元一次不等式2(x ＋1)≥4的解在数轴上表示为( )2．(2015·丽水)如图，数轴上所表示关于x 的不等式组的解集是( )A ．x ≥2B ．x>2C ．x>－1D ．－1<x ≤23．(2017·湖州)一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x>x －1，12x ≤1的解集是( )A ．x ＞－1B ．x ≤2C ．－1＜x ≤2D ．x ＞－1或x ≤24．(2016·金华)不等式3x ＋1＜－2的解集是____________________．5．(2017·衢州)解下列一元一次不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧12x ≤2，3x ＋2＞x.【问题】给出以下不等式：①2x ＋5<4(x ＋2)，②x －1<23x ，③1x －1>0，④x －1≤8－4x.(1)上述不等式是一元一次不等式的是________；(2)上述不等式中，选取其中二个一元一次不等式，并求其公共解． (3)选取其中一个一元一次不等式，使其只有一个正整数解．(4)通过以上问题解答的体会，解一元一次不等式(组)要注意哪些问题？类型一 不等式的基本性质例1 (1)若x ＞y ，则下列式子中错误的是( ) A ．x －3＞y －3 B .x 3＞y3C ．x ＋3＞y ＋3D ．－3x ＞－3y(2)若实数a ，b ，c 在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是( )A ．ac ＞bcB ．ab ＞cbC ．a ＋c ＞b ＋cD ．a ＋b ＞c ＋b(3)设a 、b 、c 表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是( )A ．c ＜b ＜aB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c1．(2016·大庆)当0<x<1时，x 2、x 、1x 的大小顺序是( )A ．x 2<x<1xB .1x <x<x 2C .1x <x 2<xD ．x<x 2<1x类型二 一元一次不等式的解法例2 解不等式：x ＋12＋x －13≤1.2．(1)(2016·绍兴)不等式3x ＋134>x3＋2的解是____________________．(2)(2015·南京)解不等式2(x ＋1)－1≥3x ＋2，并把它的解集在数轴上表示出来．类型三 一元一次不等式组的解法例3 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5≤3（x ＋2），2x －1＋3x2<1，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．3．解不等式组：(1)(2015·泰州)⎩⎪⎨⎪⎧x －1>2x ，12x ＋3<－1；(2)⎩⎪⎨⎪⎧3（x ＋2）＞x ＋8，x 4≥x －13，并把它的解集在数轴上表示出来．类型四 不等式的解的应用例4 (1)(2017·丽水)若关于x 的一元一次方程x －m ＋2＝0的解是负数，则m 的取值范围是( )A ．m ≥2B ．m ＞2C ．m ＜2D ．m ≤2(2)若关于x 的一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2m ＜0，x ＋m ＞2有解，则m 的取值范围为( )A ．m ＞－23B ．m ≤23C ．m ＞23D ．m ≤－234．(1)(2016·通州模拟)如果不等式(a －3)x>a －3的解集是x>1，那么a 的取值范围是( ) A ．a<3 B ．a>3 C ．a<0 D ．a>0(2)(2017·金华)若关于x 的一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>3（x －2），x<m 的解是x ＜5，则m 的取值范围是( )A ．m ≥5B ．m ＞5C ．m ≤5D ．m ＜5【阅读理解题】(2017·湖州)对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b ＝2a －b.例如：5⊗2＝2×5－2＝8，(－3)⊗4＝2×(－3)－4＝－10.(1)若3⊗x ＝－2011，求x 的值； (2)若x ⊗3＜5，求x 的取值范围．【求不等式组中字母系数范围出错】如果一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x>3，x<a 关于x 的整数解为4，5，6，7，则a 的取值范围是( )A ．7<a ≤8B ．7≤a<8C ．a ≤7D ．a ≤8第11讲 一元一次不等式的应用1．(2017·台州)商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为____________________元/千克．2．(2016·衢州)光伏发电惠民生，据衢州晚报载，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均每天可发电5度，已知某月(按30天计)共发电550度．(1)求这个月晴天的天数；(2)已知该家庭每月平均用电量为150度，若按每月发电550度计，至少需要几年才能收回成本(不计其他费用，结果取整数)．【问题】铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm ，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm ，长与宽的比为3∶2.(1)请你根据以上信息，求出该行李箱的长的最大值；(2)通过问题(1)的解决，请你从分析问题和解决问题角度谈谈看法．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理利用不等式(组)解决实际问题的分析方法和一般步骤，以及要注意的问题．类型一列不等式求字母的取值范围的应用例1 (1)(2017·江西)函数y ＝x －2中，自变量x 的取值范围是________． (2)(2015·临海模拟)点(a ，a ＋2)在第二象限，则a 的取值范围是________．(3)(2017·上海市杨浦区模拟)若一次函数y ＝(1－2k)x ＋k 的图象经过第一、二、三象限，则k 的取值范围是________．(4)对于实数x ，我们规定[x]表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[－2.5]＝－3，若⎣⎡⎦⎤x ＋410＝5，则x 的取值是________．1．(1)(2016·兰州)双曲线y ＝m －1x在每个象限内，函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是 .(2)(2017·济宁模拟)已知二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴没有交点，则k 的取值范围为____________________．(3)(2015·武威)定义新运算：对于任意实数a ，b 都有：a ⊕b ＝a(a －b)＋1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5＝2×(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－5，那么不等式3⊕x<13的解集为____________________．类型二不等式的应用例2(1)(2017·南京模拟)铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽的比为3∶2，则该行李箱的长的最大值为________cm；(2)(2017·杭州模拟)某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打________折；(3)(2017·株洲模拟)为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元．如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，则孔明买球拍________个．2．(1)如图是某机器零件的设计图纸，在数轴上表示该零件长度(L)合格尺寸，正确的是()(2)(2017·绍兴模拟)小美将某服饰店的促销活动内容告诉小明后，小明假设某一商品的定价为x元，并列出关系式为0.3(2x－100)＜1000，则下列何者可能是小美告诉小明的内容？()A．买两件等值的商品可减100元，再打3折，最后不到1000元B．买两件等值的商品可减100元，再打7折，最后不到1000元C．买两件等值的商品可打3折，再减100元，最后不到1000元D．买两件等值的商品可打7折，再减100元，最后不到1000元(3)(2017·杭州市江干区模拟)某次数学测验中共有20道题目，评分办法：答对一道得5分，答错一道扣2分，不答得0分．某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对____________________道题，成绩才能在80分以上．类型三不等式与方程(组)结合的应用例3(2017·宁波)2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举。
中考数学第一轮复习精品讲解第二单元方程(组)与不等式(组)(共138张PPT)
第6讲 │ 考点随堂练
x＋1 2x－3 3．解方程 2 － 6 ＝1，去分母正确的是( D ) A．3(x＋1)－2x－3＝6 B．3(x＋1)－2x－3＝1 C．3(x＋1)－(2x－3)＝12 D．3(x＋1)－(2x－3)＝6 x＋1 2x－3 [解析]在方程的两边同时乘6,6× 2 －6× 6 ＝1×6， 所以3(x＋1)－(2x－3)＝6.
解：设用x立方米做桌面， 用y立方米做桌腿，根据题意 x＋y＝6， 得， 300y＝3×50x，
x＝4， 解方程组，得 y＝2，
即用4立方米做桌面，用2立方米做桌腿，刚好配套． 可以做出的圆桌为4×50＝200(张)．
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第6讲 │ 考点随堂练
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第6讲 │ 归类示例
17 等式性质2 (____________)，得 x＝－ 5 (____________)． 系数化为1
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第6讲 │ 归类示例
3x＋5 2x－1 解：原方程可变形为 2 ＝ 3 (分式的基本性质)； 去分母，得 3(3x＋5)＝2(2x－1)(等式性质 2)； 去括号，得 9x＋15＝4x－2(去括号法则或乘法分配律)； (移项)，得 9x－4x＝－15－2(等式性质 1)； 合并，得 5x＝－17(合并同类项)； 17 (系数化为 1)，得 x＝－ 5 (等式性质 2)．
[解析]由于56＞0.50×100＝50，∴该居民用电量超过了基 本用电量(a度)，依题意得0.50a＋(100－a)[(1＋20%)× 0.50] ＝56，解得a＝40.
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第6讲 │ 考点随堂练
15．小刚说：“我买一本笔记本和4支钢笔，刚好18元”，小明 说：“我买一本笔记本和一支钢笔，刚好6元”．聪明的你根据 他们的对话内容，求出一本笔记本和一支钢笔各多少元？
初三数学中考第一轮复习⑵ 方程(组)与不等式(组)知识精讲
初三数学中考第一轮复习⑵方程（组）与不等式（组）华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：中考第一轮复习⑵方程（组）与不等式（组）二. 重点、难点扫描：1. 一元一次方程、二元一次方程（组）、一元二次方程的定义、方程的解的概念；2. 一元一次方程、二元一次方程（组）、一元二次方程的解法；3. 一元一次方程、二元一次方程（组）、一元二次方程的简单应用；4. 可化为一元一次方程的分式方程及简单应用；5. 不等式的性质；6. 一元一次不等式（组）的概念；一元一次不等式（组）的解集的概念；7. 一元一次不等式（组）的解法与应用。
三. 知识梳理：（一）一元一次方程1. 会对方程进行适当的变形解一元一次方程解方程的基本思想就是转化，即对方程进行变形，变形时要注意两点，一是方程两边不能乘（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程的解可能不同；二是去分母时，不要漏乘没有分母的项，一元一次方程是学习二元一次方程组、一元二次方程、一元一次不等式及函数问题的基本内容。
2. 正确理解方程的解的定义，并能应用等式性质巧解考题方程的解应理解为，把它代入原方程是适合的，其方法就是把方程的解代入原方程，使问题得到了转化。
3. 正确列一元一次方程解应用题列方程解应用题，关键是寻找题中的等量关系，可采用图示、列表等方法，根据近几年的考试题目分析，要多关注社会热点，密切联系实际，多收集和处理信息，解应用题时还要注意检查结果是否符合实际意义。
4. 可化为一元一次方程的分式方程的应用会根据具体情景列出分式方程，并会求解，注意验根这一步不可少。
（二）一元二次方程1. 灵活运用四种解法解一元二次方程一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）四种解法：直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法。
公式法：x（b2－4ac≥0）注意：掌握一元二次方程求根公式的推导；主要数学方法有：配方法，换元法，“消元”与“降次”。
2. 一元二次方程的应用解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程。
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考点：由实际问题抽象出分式方程．
分析：设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺 设（x+50）米，根据：原计划所用时间-实际所用时 间=2天，列出方程即可． 解答：设原计划每天施工x米，则实2000 2000 2. 根据题意，可列方程： x x 50 故答案选A． 小结：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关 键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．
【例题 1】（2016·深圳市）施工队要铺设一段 全长2 000米的管道，因在中考期间需停工两天， 实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成 任务，问原计划每天施工多少米?设原计划每天施 工x米，则根据题意所列方程正确的是（ ） A 2000 2000 2 A． x x 50 2000 2000 B． 2 x 50 x 2000 2000 C． 2 x x 50 2000 2000 D． 2 x 50 x
考点：①一元二次方程的应用；②一元一次不等式 组的应用． 专题:增长率问题． 分析：（1）等量关系为：2014年投入科研经费 ×(1+增长率)2=2016年投入科研经费，把相关数值 代入求解即可； （2）根据不等式: 2017年的科研经费 2016年的科研经费 ×100%≤15%，
2016的科研经费
(2014· 无锡市)某文具店一支铅笔的售价为1.2元， 一支圆珠笔的售价为2元.该店在“六一”儿童节举行 文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠 笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖 得金额87元.若设铅笔卖出x支，则依题意可列得 的一元一次方程为( ) B A.1.2×0.8x+2×0.9(60+x)=87 B.1.2×0.8x+2×0.9(60-x)=87
4.图示法:就是利用图表示题中的数量关系，它可 以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮 助我们更好地理解题意.列方程(组)解应用题的实 质是先把实际问题转化为数学问题(设元，列方程) ，再通过解决数学问题来解决实际问题(列方程， 写出答案).在这个过程中，列方程起着承前启后的 作用，因此，列方程是解应用题的关键.方程思想 是把未知数看成已知数，让所设未知数的字母和 已知数一样参加运算，这种思想方法是数学学习 中常用的重要方法之一，是代数解法的重要标志.
C.2×0.9x+1.2×0.8(60+x)=87
D.2×0.9x+1.2×0.8(60-x)=87
考点二、列方程解应用题的常用方法
1.译式法:就是将题目中的关键性语言或数量及各 数量间的关系译成代数式，然后根据代数之间的 内在联系找出等量关系. 2.线示法:就是用同一直线上的线段表示应用题中 的数量关系，然后根据线段长度的内在联系，找 出等量关系. 3.列表法:就是把已知条件和所求的未知量纳入表 格，从而找出各种量之间的关系.
（2）实际平均每天修建道路的工效比原计划增加a， 依题意得 1200 1200 2 100 100(1 a)
解得a=0.2=20%． 答：实际平均每天修建道路的工效比原计划增加 20%．
考点三、列方程(组)解应用题常见类型题及 其等量关系
足球比赛的计分规则为:胜一场得3分，平一场得 1分，负一场得0分.某队打了14场，负5场，共得 19分，那么这个队胜了( ) B A.4场 B.5场 C.6场 D.13场
【例题 2】（2016·贵港市）为了经济发展的需要， 某市2014年投入科研经费500万元，2016年投入科研 经费720万元． （1）求2014至2016年该市投入科研经费的年平均增 长率； （2）根据目前经济发展的实际情况，该市计划2017 年投入的科研经费比2016年有所增加，但年增长率 不超过15%，假定该市计划2017年投入的科研经费为 a万元，请求出a的取值范围．
求解即可．
解：（1）设2014至2016年该市投入科研经费的年平
均增长率为x.
根据题意，得500(1+x)2=720，
解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）. 答：2014至2016年该市投入科研经费的年平均增长 率为20%．
（2）根据题意，得 a 720 100% 15%, 720 解得a≤828. 又∵该市计划2017年投入的科研经费比2016年有所
增加， 故a的取值范围为720＜a≤828．
小结：考查一元二次方程的应用及不等式的引用；
求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化
后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的
数量关系为a(1±x)2=b．
完成过关测试：第 完成课后作业：第
2017中考总复习
第9讲 列方程(组)解 应用题
• 1.能正确应用方程(组)解决实际问题.
• 2.熟练掌握列方程(组)解应用题的一般
步骤. • 3.能根据具体问题的实际意义，检验结 果是否合理.
考点一、列方程(组)解应用题的一般步骤
（1）审:审清题意，明确问题中的已知量、未知量 以及各种量之间的关系; （2）设:设好未知量(直接设未知数，或者间接设未 知数)，不要漏写单位; （3）列:根据题意，找出等量关系，列出含有未知 数的等式，注意等号两边量的单位必须一致，这是 解应用题的关键步骤; （4）解:用适当的方法解所列的方程; （5）验:一是检验是不是方程的解，二是检验是不 是符合题目中的实际意义; （6）答:即解答，怎么问怎么答，注意不要漏写单 位.
（2016· 广东省）某工程队修建一条长1 200 m的道路， 采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完 成任务. （1）问这个工程队原计划每天修道路多少米？ （2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务， 那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之 几？
解：（1）设这个工程队原计划每天修建道路x m， 1200 依题意得 1200 4 x (1 50%) x 解得x=100． 经检验，x=100是原方程的解． 答：这个工程队原计划每天修建100 m．