黑龙江省哈尔滨六中2017-2018学年高三一模数学理试题 Word版含解析
黑龙江省哈六中2017届高三第三次模拟考试 数学理试题(含答案)word版
哈尔滨市第六中学2017届高三第三次模拟考试数学（理工类）一．选择题。
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}2,0xM y y x ==>，{})2lg(2x x y x N -==，则M N 为 （ ）A. ()2,1B.()+∞,1C. [)+∞,2D. [)+∞,1 2．在复平面内，复数iiz -=1（i 是虚数单位）对应的点位于 （ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.设00(,)M x y 为抛物线2:8C x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，FM 为半径的圆和抛物线的准线相交，则0y 的取值范围是 （ ） A.()0,2 B ．[]0,2 C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞4．在坐标平面内,不等式组⎩⎨⎧+≤-≥1,1||2x y x y 所表示的平面区域的面积为 （ ）A.22B.38 C.322 D ． 2 5. 下列命题中正确命题的个数是 （ ） （1）cos 0α≠是2()2k k Z παπ≠+∈的充分必要条件；（2）若0,0a b >>且211a b+=，则4ab ≥; （3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变； （4）设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ,若(1)P p ξ>=，则1(10)2P p ξ-<<=-. A ．4B ．3C ．2D ．16.三棱柱三视图（主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角 三角形）如图所示, 则这个三棱柱的全面积等于 （ ） A．12+．6+．8+ D ．4 7.函数)(x f y =在点),(00y x 处的切线方程为12+=x y ，则xx f x f x ∆∆--→∆2()(lim000等于（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．48. 已知命题p ：函数()sin 2f x x =的最小正周期为π；命题q ：若函数)1(+x f 为偶函数，则)(x f 关于1=x 对称．则下列命题是真命题的是 （ ） A ．q p ∧B.)q (p ⌝∨C.()()p q ⌝∧⌝D.q p ∨9．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，其导函数'()f x 的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式 为 （ ）A ．1()2sin()24f x x π=+B ．1()4sin()24f x x π=+ C ．()2sin()4f x x π=+ D ．13()4sin()24f x x π=+10. 设函数na x x f )()(+=，其中⎰=20cos 6πxdx n ，3)0()0(-='f f ，则)(x f 的展开式中 4x 系数为 （ ） A ．360- B ．360 C ．60- D ．6011．O 是ABC ∆所在平面内一点，动点P 满足()sin sin AB ACOP OA AB B AC Cλ=++((0,))λ∈+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的 （ ）A.内心B.重心C.外心D.垂心12．过椭圆14922=+y x 上一点P 作圆222=+y x 的两条切线,点B A ,为切点.过B A ,的直线l 与x 轴, y 轴分别交于点,P Q 两点, 则POQ ∆的面积的最小值为 （ ） A.21 B. 32 C. 1 D. 34 二．填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省哈尔滨六中2017-2018学年高三上学期10月月考数学试卷(理科) Word版含解析
黑龙江省哈尔滨六中2017-2018学年高三上学期10月月考数学试卷（理科）一、选择题：（每题5分共60分）1．已知全集U=R．集合A={x|x＜3}，B={x|log2x＜0}，则A∩∁U B=( )A．{x|1＜x＜3} B．{x|x≤0或1≤x＜3} C．{x|x＜3} D．{x|1≤x＜3}考点：对数函数的单调性与特殊点；交、并、补集的混合运算．专题：函数的性质及应用；集合．分析：先将集合B进行化简，然后求出其在R上的补集，再利用交集的定义结合数轴求解．解答：解：由log2x＜0得0＜x＜1，∴B={x|0＜x＜1}，∴∁U B={x|x≤0或x≥1}，结合A={x|x＜3}，∴A∩∁U B={x|}={x|x≤0或1≤x＜3}．故选：B．点评：本题以集合的运算为载体考查了对数不等式的解法，一般是先化同底，再根据对数函数的单调性求解．2．已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则，若对实数k∈B，在集合A 中不存在元素x使得f：x→k，则k的取值范围是( )A．k≤0 B．k＞0 C．k≥0 D．k＜0考点：映射．专题：函数的性质及应用．分析：先求出k的值域，则k的值域的补集即为k的取值范围．解答：解：由题意可得k=≥0，∵对于实数k∈B，在集合A中不存在原象，∴k＜0，故选D．点评：本题主要考查映射的定义，判断k的值域的补集即为k的取值范围，是解题的关键，属于基础题．3．要得到函数y=﹣sin2x+的图象，只需将y=sinxcosx的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：将2函数用二倍角公式化简，根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可解决．解答：解：∵函数y=﹣sin2x+=cos2x又∵y=sinxcosx=sin2x=cos（2x+）∴只需将y=sinxcosx=sin2x=cos（2x+）的图象向右平移个单位即可得到函数y=﹣sin2x+=cos2x的图象．故选：B．点评：本题主要考察二倍角公式的应用和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基础题．4．下列有关的说法正确的是( )A．“若x2=1，则x=1”的否为“若x2=1则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．“若x=y”则“sinx=siny”的逆否为真D．“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是“对任意x∈R，x2+x+1＜0．”考点：的真假判断与应用．专题：阅读型．分析：题目给出的四个，A是写出一个的否，既要否定条件，又要否定结论；B是分析充要条件问题，由x=﹣1，一定能得到x2﹣5x﹣6=0，反之，由x2﹣5x﹣6=0，得到的x的值还可能是6；C是考查互为逆否的两个共真假；D是考查特称的否定，特称的否定式全称．解答：解：“若x2=1，则x=1”的否为“若x2≠1，则x≠1”．所以，选项A不正确；由x=﹣1，能够得到x2﹣5x﹣6=0．反之，由x2﹣5x﹣6=0，得到x=﹣1或x=6．所以，“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件．所以，选项B不正确；“若x=y”，则“sinx=siny”为真，所以其逆否也为真．所以，选项C正确；“∃x0∈R，”的否定是“对∀x∈R，x2+x+1≥0”．所以，选项D不正确．故选C．点评：本题考查了的真假判断与应用，考查了一个的否和逆否，考查了特称的否定，注意全称和特称格式的书写，此题是基础题．5．函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则其解析式可以是( )A． B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的最值求出A，由周期求出ω，由sin=0 求出φ的值，从而求得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得A=3，再由•=+=，解得ω=2．再由sin=0，可得2×（﹣）+φ=（2k﹣1）π，即φ=（2k﹣1）π+，k∈z，∴可以取φ=，故函数的解析式可以为f（x）=3sin（2x）=，故选B．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω的值，再由sin=0 求出φ的值，属于中档题．6．已知指数函数y=f（x）、对数函数y=g（x）和幂函数y=h（x）的图象都经过点P（），如果f（x1）=g（x2）=h（x3）=4，那么x1+x2+x3=( )A．B．C．D．考点：函数的零点；指数函数的定义、解析式、定义域和值域；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：利用待定系数法分别求出，指数函数，对数函数和幂函数的表达式，然后解方程即可．解答：解：分别设f（x）=a x，g（x）=log a x，h（x）=xα，∵函数的图象都经过点P（），∴f（）==2，g（）=log b=2，h（）=（）α=2，即a=4，b=，α=﹣1，∴f（x）=4x，g（x）=log，h（x）=x﹣1，∵f（x1）=g（x2）=h（x3）=4，∴4x1=4，x2=4，（x3）﹣1=4，解得x1=1，x2=（）4=，x3=，∴x1+x2+x3=1++=，故选：D．点评：本题主要考查指数函数，对数函数，幂函数的表达式以及函数求值，利用待定系数法是解决本题的关键，考查学生的计算能力．7．使函数f（x）=cos（2x+θ）+sin（2x+θ）为奇函数，且在上是减函数的一个θ值是( ) A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：先利用正弦的两角和公式对函数解析式化简，进而根据正弦函数的性质求得θ的集合，根据单调性确定θ的值．解答：解：f（x）=cos（2x+θ）+sin（2x+θ）=2=2sin（2x+θ+），∵函数f（x）为奇函数，∴θ+=kπ，k∈Z，即θ=kπ﹣，∵在上是减函数，∴θ=kπ﹣，（k为奇数），∴为θ的一个值，故选D．点评：本题主要考查了正弦函数的图象与性质，三角函数的化简求值．考查了学生分析和推理能力和数形结合思想的灵活运用．8．已知函数f（x）是定义在上的偶函数，且当x＞0时，f（x）单调递增，则关于x的不等式f（x﹣1）＞f（a）的解集为( )A．B．C．D．随a的值而变化考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：具有奇偶性的函数定义域关于原点对称可求得a值，由偶函数性质知，f（x﹣1）＞f（a）可化为f（|x﹣1|）＞f（），根据f（x）的单调性可得|x﹣1|＞，再考虑到定义域即可解出不等式．解答：解：因为f（x）是定义在上的偶函数，所以（a﹣1）+2a=0，解得a=．则f（x）定义域为．由偶函数性质知，f（x﹣1）＞f（a）可化为f（|x﹣1|）＞f（），又x＞0时，f（x）单调递增，所以|x﹣1|＞①，又﹣≤x﹣1②，联立①②解得x＜或＜x≤，故不等式f（x﹣1）＞f（a）的解集为．故选C．点评：本题考查函数奇偶性、单调性的应用，考查抽象不等式的求解，属中等题．9．给出四个：（1）若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；（2）若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形；（3）若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，则△ABC为正三角形．以上正确的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3考点：的真假判断与应用．专题：解三角形；简易逻辑．分析：由sin2A=sin2B，得2A=2B或2A+2B=π，即A=B或C=，从而说明（1）错误；举例说明（2）错误；直接由已知的等式推出（3）正确．解答：解：（1）若sin2A=sin2B，则2A=2B，或2A+2B=π，即A=B 或C=，故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故①不正确．（2）若sinB=cosA，例如∠B=100°和∠A=10°，满足sinB=cosA，则△ABC不是直角三角形，故②不正确．（3）∵﹣1≤cos（A﹣B）≤1，﹣1≤cos（B﹣C）≤1，﹣1≤cos（C﹣A）≤1，又cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，∴cos（A﹣B）=1，cos（B﹣C）=1，cos（C﹣A）=1，结合A、B、C＜180°，可得A﹣B=B﹣C=C﹣A=0，故△ABC为正三角形．∴正确的是1个．故选：B．点评：本题考查了的真假判断与应用，考查了三角形形状的判断，是中档题．10．已知函数f（x）=log2x﹣2log2（x+c），其中c＞0．若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1，则c的取值范围是( )A．B．C．D．考点：抽象函数及其应用；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：把函数f（x）的解析式代入f（x）≤1后，利用对数式的运算性质变形，去掉对数符号后把参数c分离出来，然后利用二次函数求最值，则c的取值范围可求．解答：解：由f（x）≤1，得：log2x﹣2log2（x+c）≤1，整理得：，所以x+c≥，即c≥（x＞0）．令（t＞0）．则．令g（t）=，其对称轴为．所以．则c．所以，对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1的c的取值范围是．故选D．点评：本题考查了对数型的函数及其应用，考查了数学转化思想，训练了利用分离变量法求参数的取值范围，解答的关键是利用对数函数的单调性去掉对数符号，是中档题．11．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2e）=﹣f（x）（其中e=2.7182…），且在区间上是减函数．令a=，b=，c=，则( )A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（b）＜f（c）＜f（a）C．f（c）＜f（a）＜f（b）D．f（c）＜f（b）＜f（a）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）是R上的奇函数及f（x+2e）=﹣f（x），可得f（x+2e）=f（﹣x），从而可知f （x）关于x=e对称，由f（x）在上的单调性可得f（x）在上的单调性，由a，b，c的近似值可得其大小关系，进而得到f（a）、f（b）、f（c）的大小关系．解答：解：∵f（x）是R上的奇函数，满足f（x+2e）=﹣f（x），∴f（x+2e）=f（﹣x），∴函数f（x）关于直线x=e对称，∵f（x）在区间上为减函数，∴f（x）在区间上为增函数，∵a=≈0.3466，b=≈0.3662，c=≈0.3219，∴c＜a＜b，∴f（c）＜f（a）＜f（b），故选C．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查学生灵活运用知识分析解决问题的能力，属中档题．12．已知函数f（x）=，其中e为自然对数的底数，若关于x的方程f（f（x））=0有且只有一个实数解，则a实数的取值范围是( )A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（0，1）C．（0，1）D．（0，1）∪（1，+∞）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：若a=0则方程f（f（x））=0有无数个实根，不满足条件，若a≠0，若f（f（x））=0，可得当x≤0时，a•e x=1无解，进而得到实数a的取值范围．解答：解：若a=0则方程f（f（x））=0有无数个实根，不满足条件，若a≠0，若f（f（x））=0，则f（x）=1，∵x＞0时，f（）=1，关于x的方程f（f（x））=0有且只有一个实数解，故当x≤0时，a•e x=1无解，即在x≤0时无解，故，故a∈（﹣∞，0）∪（0，1），故选：B点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中分析出当x≤0时，a•e x=1无解，是解答的关键．二、填空题（每题5分共20分）13．设角α=﹣π，则的值等于．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由α的度数求出sinα与cosα的值，原式利用诱导公式化简后，把各自的值代入计算即可求出值．解答：解：∵α=﹣π，∴sinα=sin（﹣π）=sin（﹣6π+π）=，cosα=cos（﹣π）=cos（﹣6π+π）=，则原式=====．故答案为：点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．14．已知函数则=．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：=，由定积分的几何意义可知：表示上半圆x2+y2=1（y≥0）的面积，即可得出．利用微积分基本定理即可得出dx=．解答：解：=，由定积分的几何意义可知：表示上半圆x2+y2=1（y≥0）的面积，∴=．又dx==e2﹣e．∴==好．故答案为：．点评：本题考查了定积分的几何意义、微积分基本定理，属于中档题．15．已知f（x）为R上的偶函数，对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），当x1，x2∈，且x1≠x2时，有＞0成立，给出四个：①f（3）=1；②直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在上为增函数；④函数y=f（x）在上有四个零点．其中所有正确的序号为②④．（请将正确的序号都填上）考点：抽象函数及其应用．专题：阅读型；函数的性质及应用．分析：①令x=﹣3，由偶函数的定义，可得f（3）=0，即可判断；②由于函数y=f（x）是以6为周期的偶函数，可得f（﹣6+x）=f（﹣6﹣x），即可判断；③由条件可得y=f（x）在区间上为增函数，再由偶函数和周期性，即可判断；④先判断方程f（x）=0在上有2个实根（﹣3和3），又函数y=f（x）是以6为周期的函数，即可判断．解答：解：对于①：∵y=f（x）为R上的偶函数，且对任意x∈R，均有f（x+6）=f（x）+f（3），∴令x=﹣3得：f（6﹣3）=f（﹣3）+f（3）=2f（3），∴f（3）=0，故①错；对于②：∵函数y=f（x）是以6为周期的偶函数，∴f（﹣6+x）=f（x），f（﹣6﹣x）=f（x），∴f（﹣6+x）=f（﹣6﹣x），∴y=f（x）图象关于x=﹣6对称，即②正确；对于③：∵当x1，x2∈且x1≠x2时，有＞0成立，∴y=f（x）在区间上为增函数，又函数y=f（x）是偶函数，∴y=f（x）在区间上为减函数，又函数y=f（x）是以6为周期的函数，∴y=f（x）在区间上为减函数，故③错误．对于④：∵y=f（x）在区间上为减函数，在区间上为增函数，且f（3）=f（﹣3）=0，∴方程f（x）=0在上有2个实根（﹣3和3），又函数y=f（x）是以6为周期的函数，∴方程f（x）=0在区间上有一个实根（为9），∴方程f（x）=0在上有4个实根．故④正确．故答案为：②④点评：本题考查抽象函数及其应用，真假的判断，着重考查函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性，考查函数的零点，属于中档题．16．若函数（a＞0）没有零点，则a的取值范围为（0，1）∪（2，+∞）．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：根据函数（a＞0）没有零点，即函数y=与y=的图象没有交点，在同一坐标系中画出它们的图象，即可求出a的取值范围．解答：解：令，得令y=是半径为圆心在原点的圆的上半部分，y=以（0，）端点的折线，在同一坐标系中画出它们的图象：如图，根据图象知，两曲线没有公共点．由图象可得当半圆的半径等于1时，半圆和折线相切；当半圆的半径等于时，半圆和折线有三个交点（±，0）、（0，）．故当圆的半径小于1，或者圆的半径大于时，满足条件．由此求得a的取值范围为（0，1）∪（2，+∞）．故选C．点评：此题考查函数零点与函数图象的交点之间的关系，体现了转化的数学思想方法，属中档题．三、解答题17．函数f（x）=sin2x+（sinx+cosx）（sinx﹣cosx）．（1）求f（x）的单调区间和对称轴；（2）若f（θ）=，其中0＜θ＜，求cos（θ+）的值．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）化简可得f（x）=2sin（2x﹣），从而可确定f（x）的单调区间和对称轴；（2）f（θ）=2sin（2θ﹣）=，0＜θ＜，故﹣＜2θ﹣＜，所以2θ﹣=，即有θ=，从而可求cos（θ+）的值．解答：解：（1）f（x）=sin2x+（sinx+cosx）（sinx﹣cosx）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），∴f（x）的对称轴为：x=+．∵2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，即有kπ﹣≤x≤kπ+．∴其单调递增区间为：．∵2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，即有kπ+≤x≤kπ+．∴其单调递减区间为：．（2）f（θ）=，有f（θ）=2sin（2θ﹣）=，sin（2θ﹣）=．∵0＜θ＜，故﹣＜2θ﹣＜∴2θ﹣=，即有θ=cos（θ+）=cosθ﹣sinθ=．点评：本题主要考察了两角和与差的余弦函数公式、二倍角的余弦、正弦函数的单调性等综合应用，属于中档题．18．观测站C处在目标A的南偏西20°方向，从A出发有一条南偏东40°走向的公路，在C 处观测到与C相距31km公路上的B处有一人正沿此公路向A走去，走20km到达D处，此时测得CD距离21km，求此人在D处距A还有多远？考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：先求出cos∠BDC，进而设∠ADC=α，则sinα，cosα可求，在△ACD中，由正弦定理求得得AD，答案可得．解答：解：由已知得CD=21，BC=31，BD=20，在△BCD中，由余弦定理得cos∠BDC==﹣，设∠ADC=α，则cosα=，sinα=，在△ACD中，由正弦定理得，∴AD=sin（+α）=15，即所求的距离为15公里．点评：本题主要考查了解三角新的实际应用，考查余弦定理、正弦定理的运用．解题的关键是利用正弦定理，利用边和角的关系求得答案．19．设函数f（x）=sin（ωx﹣）﹣2cos2x+1（ω＞0）．直线y=与函数y=f（x）图象相邻两交点的距离为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若点（，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心，且b=3，求△ABC周长的取值范围．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换化f（x）为Asin（ωx+φ）的形式，在由题意得到函数的周期，由周期公式求得ω的值；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的ω值代入函数解析式，由点（，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心求得B，利用正弦定理求出△ABC的外接圆的直径，把△ABC的周长用含有角A的代数式表示，则△ABC周长的取值范围可求．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin（ωx﹣）﹣2cos2x+1=sinωx•cos﹣cosωx•sin﹣2•=sinωx﹣cosωx==．∵函数f（x）的最大值为，以题意，函数f（x）的最小正周期为π，由，得ω=2；（Ⅱ）∵f（x）=，依题意，sin（B﹣）=0．∵0＜B＜π，，∴B﹣=0，B=，则，∴△ABC周长为a+b+c=∈（6，9]．点评：本题考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型的函数的图象和性质，训练了正弦定理在解题中的应用，是中档题．20．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），它与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A、B两点．（1）求|AB|的长；（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为（2，），求点P到线段AB中点M的距离．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）设点A，B的参数分别为t1，t2．把直线l的参数方程代入曲线C的方程可得t2﹣4t﹣10=0．利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出．（2）利用把点P的极坐标化为直角坐标，线段AB中点M所对的参数t=，即可得出点M的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得出．解答：解：（1）设点A，B的参数分别为t1，t2．把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1，化为t2﹣4t﹣10=0．∴t1+t2=4，t1t2=﹣10．∴|AB|=|t1﹣t2|===．（2）由点P的极坐标（2，），可得x P==﹣2，y P==2，∴P （﹣2，2）．线段AB中点M所对的参数t==2，∴x M=﹣2﹣=﹣3，y M==2+．∴M．∴|PM|==2．点评：本题考查了直线的参数方程及其应用、两点之间的距离公式、弦长公式、极坐标化为直角坐标，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=e x﹣1﹣x．（1）求y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若存在，使a﹣e x+1+x＜0成立，求a的取值范围；（3）当x≥0时，f（x）≥tx2恒成立，求t的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题．分析：（1）已知知函数f（x）=e x﹣1﹣x，对其求导，把x=1代入f′（x）求点在x=1处的斜率，从而求解；（2）已知要使a﹣e x+1+x＜0成立，则a＜e x﹣1﹣x，即a＜f（x），对f（x）求导，令f′（x）=0，求出f（x）的单调区间，只要求出f（x）的最大值即可；（3）已知得x≥0时，e x﹣x﹣1﹣tx2≥0恒成立，设g（x）=e x﹣x﹣1﹣tx2，对g（x）求导，求出当x≥0时，g（x）的最小值大于0，即可求出t的范围．解答：解（1）∵函数f（x）=e x﹣1﹣x．f′（x）=e x﹣1，f（1）=e﹣2，f′（1）=e﹣1．∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣e+2=（e﹣1）（x﹣1），即y=（e﹣1）x﹣1．（2）a＜e x﹣1﹣x，即a＜f（x）．令f′（x）=e x﹣1=0，x=0．∵x＞0时，f′（x）＞0，x＜0时，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣∞，0）上减，在（0，+∞）上增．又时，∴f（x）的最大值在区间端点处取到，，，∴，∴f（x）在上最大值为，故a的取值范围是，（3）由已知得x≥0时，e x﹣x﹣1﹣tx2≥0恒成立，设g（x）=e x﹣x﹣1﹣tx2．∴g′（x）=e x﹣1﹣2tx．由（2）知e x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立，故g′（x）≥x﹣2tx=（1﹣2t）x，从而当1﹣2t≥0，即时，g′（x）≥0（x≥0），∴g（x）为增函数，又g（0）=0，于是当x≥0时，g（x）≥0，即f（x）≥tx2，∴时符合题意．由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0），从而当时，g′（x）＜e x﹣1+2t（e﹣x﹣1）=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2t），故当x∈（0，ln2t）时，g′（x）＜0，∴g（x）为减函数，又g（0）=0，于是当x∈（0，ln2t）时，g（x）＜0，即f（x）≤tx2，故，不符合题意．综上可得t的取值范围为点评：本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，难度一般，掌握运用数学知识分析问题解决问题的能力．22．已知函数f（x）=ln（ax）﹣（a≠0）．（1）求此函数的单调区间及最值；（2）当a=1时，是否存在过点（﹣1，1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求出函数的定义域，再求导，然后分类讨论求出函数的单调区间和最值．（2）求导数，利用导数的几何意义进行判断．解答：解：（1）∵函数f（x）=ln（ax）﹣（a≠0）．∴ax＞0∴f′（x）=﹣=，令f′（x）=0，得x=a，①a＞0时，则x＞0，函数f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，故当x=a时，函数有最小值，最小值为f（a）=2lna，②a＜0时，则x＜0，函数f（x）在（﹣∞，a）上递减，在（a，0）上递增，故当x=a时，函数有最小值，最小值为f（a）=2ln（﹣a），（2）当a=1时，f（x）=lnx+﹣1，（x＞0）∴f′（x）=﹣=，（x＞0），设切点为T（x0，lnx0+﹣1），∴切线的斜率k==，∴lnx0++﹣3=0，①设g（x）=lnx++﹣3，∴g′（x）=，令g′（x）=0，解得x=∵x＞0，∴g（x）在区间（0，）是减函数，（，+∞）上是增函数，∵g（1）=ln1+1+1﹣3=﹣1＜0，g（）=ln+2+4﹣3=3﹣ln2＞0，注意到g（x）在其定义域上的单调性，知g（x）=0仅在（，1）内有且仅有一根所以方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．点评：本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数和函数单调性，极值之间的关系，考查学生的运算能力。
(全优试卷)黑龙江省哈尔滨市高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
哈尔滨市第六中学校2017届第一次模拟考试数学（理工类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 参考公式：样本数据n x x x ,,,21 的标准差[]22221)()()(1x x x x x x ns n -++-+-= ，其中x 为样本的平均数柱体体积公式Sh V =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式Sh V 31=，其中S 为底面面积，h 为高球的表面积和体积公式24R S π=，334R V π=，其中R 为球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合}4,2,1{=A ，集合},,|{A y A x yxz z B ∈∈==，则集合B 中元素的个数为 （ ）A. 4B.5C.6D.7 2.已知复数R a iii a z ∈-+++=,1125，若复数z 对应的点在复平面内位于第四象限，则实数a 的取值范围是（ ）A.1>aB.0<aC.10<<aD.1<a 3.设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，638a a =，则24S S 的值为 （ ） A.21 B.2 C.45D.5 4.若)()13(*∈-N n xx n 的展开式中各项系数和为64，则其展开式中的常数项为（ ）A.540B.540-C.135D.135-5.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ） A.10 B.10- C.5 D.5-6.平面向量b a ,满足2||,4||==b a ，b a +在a 上的投影为5，则|2|b a -的模为 （ ）A.2B.4C.8D.16 7.已知曲线)0,0()(>>=a x xax f 上任一点))(,(00x f x P ，在点P 处的切线与y x ,轴分别交于B A ,两点，若O A B ∆的面积为4，则实数a 的值为（ ）A.1B.2C.4D.8n 是偶数？8.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点为F ，过F 作双曲线C 渐近线的垂线，垂足为,A 且交y 轴于B ，若2=，则双曲线的离心率为 （ ） A.36 B.23 C.332 D.269.为了响应国家发展足球的战略，哈市某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛.现有10名同学参加足球射门比赛，已知每名同学踢进的概率均为6.0，每名同学有2次射门机会，且各同学射门之间没有影响.现规定：踢进两个得10分，踢进一个得5分，一个未进得0分，记X 为10个同学的得分总和，则X的数学期望为（ ）A.30B.40C.60D.80 10.把函数)2|)(|2sin(2)(πϕϕ<+=x x f 的图象向左平移2π个单位长度之后，所得图象关于直线4π=x 对称，且)2()0(ϕπ-<f f ，则=ϕ（ ）A.8π B.83π C.8π- D.83π- 11.设函数)(x f 是R 上的奇函数，)()(x f x f -=+π，当20π≤≤x 时，1cos )(-=x x f ，则ππ22≤≤-x 时，)(x f 的图象与x 轴所围成图形的面积为（ ）A.84-πB.42-πC.2-πD.63-π 12.已知矩形ABCD 中，4,6==BC AB ，F E ,分别是CD AB ,上两动点，且DF AE =，把四边形BCFE 沿EF 折起，使平面⊥BCFE 平面ABCD ，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（ ）A.π28B.3728π C.π32 D.3264π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≤+22142y x y x y x ，则y x z +=2的取值范围是14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 15．设n T 为数列}{n a 的前n 项之积，即n n n a a a a a T 1321-= ，若11111,211=---=-n n a a a ，当11=n T 时，n 的值为 16.已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线C 于B A ,两点，以线段AB 为直径的圆与抛物线C 的准线切于)3,2(pM -，且AOB ∆的面积为13，则抛物线C 的方程为________三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，设边c b a ,,所对的角分别为C B A ,,，C B A ,,都不是直角，且A b a A bcB ac cos 8cos cos 22+-=+（Ⅰ）若C B sin 2sin =，求c b ,的值； （Ⅱ）若6=a ，求ABC ∆面积的最大值.18.（本小题满分12分）为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7次考试的成绩．（Ⅰ）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的说明；（Ⅱ）已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，求物理成绩y 与数学成绩x 的回归直线方程（Ⅲ）若该生的物理成绩达到90分，请你估计他的数学成绩大约是多少？（附：x b y a x xy y x xb ni ii ni i^^211^,)()()(-=---=∑∑==）19.（本小题满分12分）如图所示三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，CD AD 2=，CD AC ⊥.（Ⅰ）若AC AA =1,求证：⊥1AC 平面CD B A 11； （Ⅱ）若D A 1与1BB 所成角的余弦值为721，求二面角11C D A C --的余弦值.20.（本小题满分12分）已知两点)0,2(),0,2(B A -，动点P 在y 轴上的投影是Q ，且2||2=⋅. （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过)0,1(F 作互相垂直的两条直线交轨迹C 于点N M H G ,,,，且21,E E 分别是MN GH ,的中点.求证：直线21E E 恒过定点.21.（本小题满分12分）已知函数)2323()1(2)(2-+-=x m e x x f x，22e m ≤. （Ⅰ）当31-=m 时，求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）若1≥x 时，有x mx x f ln )(2≥恒成立，求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高三下学期押题卷(二)数学(理)试题 Word版含答案
哈六中2017-2018学年金榜题名押题卷（二）理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}Z x x x x M ∈<+=,0522，集合{}a N ,0=，若∅≠N M ，则a 为（ ） A ．1- B ．2 C ．1-或2 D ．1-或2- 2．下面是关于复数21z i=-+的四个： 2123:2:2:p z p z i p z ==；；的共轭复数为1i +；4p z ：的虚部为 -1．其中的真为（ ）A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．14,p p3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>C 的渐近线方程为（ ）A.14y x =±B.13y x =±C.12y x =± D.y x =±4的最小正周期是π，若其图象向右平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象 （ ）A ．关于点)0,6(π对称 BC D5……的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是（ ）A 6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足则a 的最小值是（ ）A ．1 C ．27．如图所示的程序框图的运行结果为（ ） A. 1- B. 12C. 1D. 2 8．2cos10tan 20cos 20-=（ ）A.19．在平面直角坐标系中，过动点P 分别作圆O 为原点，则OP 的最小值为（ ）A．2 B ．54 C ．53D ．510．已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形,2,2AB SA SB SC ====，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是（ ）A B ．1 C D 11．如图，2AB =，O 为圆心，C 为半圆上不同于,A B 的任意一点，若P 为半径C 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值等于（ ）A ．12-B ．2-C ．1-D 12．已知函数()()2212,3ln 2f x x axg x a x b =+=+，设两曲线()(),y f x y g x ==有公共点，且在该点处的切线相同，则()0,a ∈+∞时，实数b 的最大值是（ ）A ．6136eB ．616e C ．2372e D ．2332e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知()66221062x a x a x a a x ++++=- ,则_____________61=+a a .14．设随机变量()23,σXN ，若()0.3m P X >=，则()6m P X >-= ．15．如图所示，过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 作直线交C于A 、B 两点，过的面积分A 、B 分别向C 的准线l 作垂线，垂足为','A B ，已知四边形''''AA B F BB A F 与别为15和7，则''A B F ∆ 的面积为 .16．在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，若ABD ∆是等边三角形，且AC =ADC ∆的面为 . 三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：)3)(1(4+-=n n n a a S ，（*N n ∈）. （1）求n a ；（2）若n n n a b ⋅=2，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．（1）求证：AB ∥EF ；（2）若2PA PD AD ===，且平面PAD ⊥平面ABCD，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．19．2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[](](](](]0,2000,2000,4000,4000,6000,6000,8000,8000,10000五组，并作出如下频率分布直方图（图1）： （1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（3）台风后区委会号召该小区居民为台风重灾区扣款，小明调查的50户居民捐款情况如下表，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++．20．已知椭圆C 的标准方程为：+=1（a ＞b ＞0），该椭圆经过点P （1，），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）过椭圆：+=1（a ＞b ＞0）长轴上任意一点S （s ，0），（﹣a ＜s ＜a ）作两条互相垂直的弦AB 、CD ．若弦AB 、CD 的中点分别为M 、N ，证明：直线MN 恒过定点．21．设函数)1(ln )1()(--+=x a x x x f .（Ⅰ）若函数)(x f 在e x =处的切线与y 轴相交于点)2,0(e -，求a 的值； （Ⅱ）当21<<x 时，求证：)2ln(1ln 112x x x -->-.22．（本小题满分10分）如图，已知圆O 是C ∆AB 的外接圆，C AB =B ，D A 是C B 边上的高，AE 是圆O 的直径．过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ． （1）求证：C C D A ⋅B =A ⋅AE ；（2）若F 2A =，CF =AE 的长．23．在极坐标系中，曲线C ：ρ=2acosθ（a ＞0），l ：ρcos （θ﹣）=，C 与l 有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．24．已知函数31)(-+-=x x x f ． （1）解不等式6)(≤x f ；（2）若不等式1)(-≥ax x f 对任意R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．理科数学答案1．D 【解析】试题分析：{}2250,M x x x x Z=+<∈50,2x x x Z ⎧⎫=-<<∈=⎨⎬⎩⎭{}2,1--，集合{}0,N a =，又,M N ≠∅1a ∴=-或2a =-，故选D ．考点：1、集合的表示；2、集合的交集．2．C 【解析】试题分析：由于复数22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i ----====---+-+--，所以z 1p 是假；22(1)2z i i =--=，故知2p 是真；复数1z i =--的共轭复数为：1z i =-+，故知3p 是假；复数1z i =--的虚部为-1，故知4p 是真；所以其中的真为24,p p .故选C ．考点：复数的运算及有关概念．3．C 【解析】试题分析：由题意可得222222255114442cc a b b b a a a a a +=∴=∴=∴=，渐近线为12y x =±考点：双曲线方程及性质 4．D 【解析】试题分析：由题意2ππω=，2ω=，()f x 图象向右平移6π个单位得()sin[2()]6πg x x φ=-+sin(2)3πx φ=-+，它是奇函数，则()3πφk πk Z -+=∈，因为2πφ<，所以3πφ=，所以()sin(2)3πf x x =+．令2()3πx k πk Z +=∈，则()26k πx πk Z =-∈，这是对称中心的横坐标，对照A 、C ，都不对，令2()32ππx k πk Z +=+∈，则()212k πx πk Z =+∈，这是函数()f x 的对称轴，对照B 、D ，D 是正确的，故选D ．考点：三角函数的图象变换，三角函数图象的对称性． 5．D 【解析】试题分析：设A 表示甲命中目标，B 表示乙命中目标，则,A B 相互独立，停止射击时甲射击了两次包括两种情况：1、第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，此时概率为13443()(1)(1)(1)45580P P A B A =⋅⋅=-⨯-⨯-=；2、第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击命中，而乙在第二次射击是命中，此时概率为234341()(1)(1)(1)4545100P P A B A B =⋅⋅⋅=-⨯-⨯-⨯=，故停止射击时甲射击了两次的概率为12311980100400P P P =+=+=，故选D ．考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【方法点晴】本题考查了互斥事件、相互对立时间的概率的计算，关键是根据体积将事件的分类（互斥事件），利用分类求解，其中本题在停止射击时甲射击了两次包括两种情况：①第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中；②第一次射击时甲乙都未命中，而第二次射击命中，分别由相互对立事件概率的乘法公式计算其概率，再由互斥事件的概率的加法公式计算可得答案． 6．C 【解析】试题分析：由于)(x f 为偶函数,所以)()(x f x f =-且)log ()(log )(log )(log 22212a f a f a f a f -+=+),1()(log )1(2)(log 222f a f f a f ≤⇒≤=因为)(x f 在区间),0[+∞单调递增，所以⇒≤1|log |2a,2211l og 12≤≤⇒≤≤-a a 即a 的最小值为.21故选C ． 考点：1、偶函数的定义；2、偶函数的性质；3、对数不等式的解法．【方法点晴】本题主要考查的是偶函数的定义与单调性的综合应用，以及对数不等式的解法，属于难题.解题时考虑到)(x f 的解析式不清楚，所以考虑.||||)()(b a b f a f ≤⇔≤这样，问题就转化为绝对值不等式的解法.7．A 【解析】试题分析： 模拟算法：开始：2,1,2016ai i ==≥不成立；111,112,201622a i i =-==+=≥不成立；111,213,201612a i i =-=-=+=≥不成立；1(1)2,314,2016a i i =--==+=≥不成立；由此可知a 是以3为周期出现的，结束时20163672i ==⨯，1a =-，故选A.考点：程序框图.8．C 【解析】试题分析：2cos10sin 202cos(3020)sin 203cos 203cos 20cos 20---===. 考点：三角恒等变换.9．B 【解析】试题分析：圆1C 标准方程为22(2)(3)4x y -+-=，圆2C 标准方程为22(1)(1)1x y +++=，2214PAPC =-，2221PB PC =-，由题意设(,)P x y ，则2222(2)(3)4(1)(1)1x y x y -+--=+++-，化简为3440x y +-=，OP的最小值为45d ==．故选B ．考点：圆的切线长，点到直线的距离．【名师点睛】与圆有关的线段长问题，一般不是直接求出线段两端点坐标，用两点间距（1）直线与圆相交时，若l 为弦长，d 为弦心距，r 为半径，则有r 2=d 2+错误！未找到引用源。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高三下学期押题卷(三)数学(理)试题 Word版含答案
哈六中2017-2018学年金榜题名押题卷（三）理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1. 复数ii-3在复平面上对应的点位于 （ ） .A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限2.设()x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，()x x x f -=22，则()1f 等于（ ） .A 3- .B 1- .C 1 .D 33.执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）.A 12s >.B 35s >.C 710s > .D 45s > .4有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学不在同一个兴趣小组的概率为（ ）.A 31 .B 21 .C 32 .D 43.5若1tan 2θ=-, 则θθ2sin ＋12cos 的值为 （ ）.A 3 .B 3- .C 2- .D 12-.6已知某几何体的正视图和俯视图如右图所示，则该几何体的侧视图是（ ）D.C.B.A..764(1(1+的展开式中x 的系数是 （ ） .A 4- .B 21 .C 3 .D 48.曲线x y e =，x y e -=和直线1x =围成的图形面积是 （ ）.A 1e e -- .B 1e e -+ .C 12e e --- .D 12e e -+-9.已知非零向量,a b 满足2a b = ，若函数3211()132f x x a x a bx =++⋅+ 在R 上存在极值，则a 和b 夹角的取值范围为 （ ）.A 0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ .B ,3ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ .C 2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦ .D ,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.将函数sin 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移4π个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是 （ ）俯视图正视图.A 6π=x.B 3π=x.C 12π=x.D 125π-=x 11.已知12F F 为椭圆2212516x y +=的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且12MF F ∆的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M 有 （ ） .A 0个 .B 1个 .C 2个 .D 4个12.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数. 当0x ≥时，5sin (01)42()1 1 (1)4xx x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）.A 59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ .B 9,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭ .C 599,,1244⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .D 5,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13.设,x y 满足约束条件,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的取值范围为_______.14.设O 、F 分别是抛物线x y 22=的顶点和焦点，M 是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为__________. 15.已知边长为32的菱形ABCD 中，°=60∠BAD ，沿对角线BD 折成二面角为 120的四面体，则四面体的外接球的表面积为________.16.函数x x x x y 22sin cos cos sin 32+-=的图象在],0[m 上恰有两个点的纵坐标为1，则实数m 的取值范围是______________三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知}{n a 为等比数列,}{;18,231n b a a ==是等差数列,,21=b203214321>++=+++a a a b b b b .（1）求数列}{n b 通项公式及前n 项和n S ; （2）设中*∈N n,23741-++++=n n b b b b P 82141210+++++=n n b b b b Q ,其试比较n P 与n Q 的大小.18.某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，远离毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性.禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段在[)2010，，[)3020，，[)4030，，[)5040，，[)6050，的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄在[)4030，的人数； （Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5从，求[)6050，年龄段抽取的人数； （Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽到2人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在[)6050，年龄段的人数，求X的分布列及数学期望.19.如图，在梯形ABCD 中,,60AB CD AD DC CB a ABC ===∠=︒，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，AE a =,点M 在线段EF 上. （Ⅰ）求证：BC ⊥平面ACFE ；（Ⅱ）当EM 为何值时,AM ∥平面BDF ？证明你的结论； （Ⅲ）求二面角B EF D --的余弦值的大小.20.已知椭圆22:14x C y +=.(1)椭圆C 的短轴端点分别为B A ,(如图)，直线BM AM ,分别与椭圆C 交于F E ,两点，其中点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,m M 满足0m ≠，且m ≠①证明直线F E 与y 轴交点的位置与m 无关；②若BME ∆面积是AMF ∆面积的5倍，求m 的值；(2)若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线,其中1l 交圆ψ于T 、R 两点,2l 交椭圆C 于另一点Q .求TRQ ∆面积取最大值时直线1l 的方程.21.已知函数()ln f x x a x =-，1(),()ag x a R x+=-∈． （1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间； （3）若在[]1,( 2.718)e e =上存在一点0x ，使得()()00x g x f <成立，求a 的取值范围．22.选修14—：几何证明选讲如图，圆O 内切于ABC ∆的边于,,D E F ，且满足AB AC =，连接AD 交O 于点H ，直线HF 交BC 的延长线于点G 。
2017年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷(理科)-Word版含解析
2017年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={1，2，4}，集合，则集合B中元素的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．72．已知复数，若复数z对应的点在复平面内位于第四象限，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜0 C．0＜a＜1 D．a＜13．设S n为等比数列{a n}的前n项和，a3=8a6，则的值为（）A．B．2 C．D．54．若的展开式中各项系数和为64，则其展开式中的常数项为（）A．540 B．﹣540 C．135 D．﹣1355．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．10 B．﹣10 C．5 D．﹣56．平面向量满足，在上的投影为5，则的模为（）A．2 B．4 C．8 D．167．已知曲线上任一点P（x0，f（x0）），在点P处的切线与x，y轴分别交于A，B两点，若△OAB的面积为4，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．4 D．88．已知双曲线的右焦点为F，过F作双曲线C渐近线的垂线，垂足为A，且交y轴于B，若，则双曲线的离心率为（）A． B．C．D．9．为了响应国家发展足球的战略，哈市某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛．现有10名同学参加足球射门比赛，已知每名同学踢进的概率均为0.6，每名同学有2次射门机会，且各同学射门之间没有影响．现规定：踢进两个得10分，踢进一个得5分，一个未进得0分，记X为10个同学的得分总和，则X的数学期望为（）A．30 B．40 C．60 D．8010．把函数f（x）=2sin（x+2φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度之后，所得图象关于直线对称，且f（0）＜f（﹣φ），则φ=（）A．B．C．D．11．设函数f（x）是R上的奇函数，f（x+π）=﹣f（x），当0≤x≤时，f（x）=cosx﹣1，则﹣2π≤x≤2π时，f（x）的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．4π﹣8 B．2π﹣4 C．π﹣2 D．3π﹣612．已知矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E，F分别是AB，CD上两动点，且AE=DF，把四边形BCFE沿EF折起，使平面BCFE⊥平面ABCD，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（）A．28π B．C．32π D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．设x，y满足约束条件，则的取值范围是．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为15．设T n为数列{a n}的前n项之积，即T n=a1a2a3…a na n，若，当﹣1T n=11时，n的值为．16．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交抛物线C于A，B两点，以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线切于，且△AOB的面积为，则抛物线C的方程为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，A，B，C都不是直角，且accosB+bccosA=a2﹣b2+8cosA（Ⅰ）若sinB=2sinC，求b，c的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．18．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩．数学108103137112128120132物理74718876848186（Ⅰ）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的说明；（Ⅱ）已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求物理成绩y与数学成绩x的回归直线方程（Ⅲ）若该生的物理成绩达到90分，请你估计他的数学成绩大约是多少？（附：=，=﹣）19．如图所示三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若A1D与BB1所成角的余弦值为，求二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值．20．已知两点，动点P在y轴上的投影是Q，且．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过F（1，0）作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G，H，M，N，且E1，E2分别是GH，MN的中点．求证：直线E1E2恒过定点．21．已知函数，m≤2e2．（Ⅰ）当时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x≥1时，有f（x）≥mx2lnx恒成立，求实数m的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线与曲线C交于O，A两点，与直线l交于B点，射线与曲线C 交于O，P两点，求△PAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正实数，且a+b+c=3（Ⅰ）解关于c的不等式|2c﹣4|≤a+b；（Ⅱ）证明：．2017年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={1，2，4}，集合，则集合B中元素的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】集合的表示法．【分析】根据条件列举即可．【解答】解：∵A={1，2，4}，∴集合={1，，，2，4}∴集合B中元素的个数为5个，故选B．2．已知复数，若复数z对应的点在复平面内位于第四象限，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜0 C．0＜a＜1 D．a＜1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部大于0，虚部小于0，求得答案【解答】解：z=+=2a+（1﹣a）i，若复数z对应的点在复平面内位于第四象限，则，解得：0＜a＜1，故选：C．3．设S n为等比数列{a n}的前n项和，a3=8a6，则的值为（）A．B．2 C．D．5【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：a3=8a6，∴a3=8，解得q=．则==．故选：C．4．若的展开式中各项系数和为64，则其展开式中的常数项为（）A．540 B．﹣540 C．135 D．﹣135【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意令x=1，则2n=64，解得n，再利用通项公式即可得出．【解答】解：由题意令x=1，则2n=64，解得n=6．∴的通项公式为：T r+1=（3x6﹣r）=（﹣1）r36﹣r，令6﹣=0，解得r=4．∴常数项=×32=135．故选：C．5．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．10 B．﹣10 C．5 D．﹣5【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，得出n＞20时终止循环，求出此时输出S的值．【解答】解：执行如图所示的程序框图，如下；n=1，S=0，n≤20，n不是偶数，S=；n=2，n≤20，n是偶数，S=﹣1=﹣；n=3，n≤20，n不是偶数，S=﹣+=1；n=4，n≤20，n是偶数，S=1﹣2=﹣1；n=5，n≤20，n不是偶数，S=﹣1+=；n=6，n≤20，n是偶数，S=﹣3=﹣；n=7，n≤20，n不是偶数，S=﹣+=2；n=8，n≤20，n是偶数，S=2﹣4=﹣2；…；n=19，n≤20，n不是偶数，S=+（10﹣1）×=5；n=20，n≤20，n是偶数，S=﹣+（10﹣1）×（﹣）=﹣5；n=21，n＞20，终止循环，输出S=﹣5．故选：D．6．平面向量满足，在上的投影为5，则的模为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据在上的投影为5即可得出，从而可求出的值，进而可求出的值，从而便可得出的值．【解答】解：根据条件，====5；∴；∴；∴．故选B．7．已知曲线上任一点P（x0，f（x0）），在点P处的切线与x，y轴分别交于A，B两点，若△OAB的面积为4，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数法确定切线方程y﹣=﹣（x﹣x0），从而解出点A，B的坐标，利用面积建立方程求出a的值．【解答】解：∵，∴f′（x）=﹣，故f′（x0）=﹣，故直线l的方程为y﹣=﹣（x﹣x0），令x=0得，y=，令y=0得，x=2x0，故S=••2x0=4，∴a=2故选B．8．已知双曲线的右焦点为F，过F作双曲线C渐近线的垂线，垂足为A，且交y轴于B，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的标准方程可得右焦点F，渐近线方程，利用，求出A的坐标，代入渐近线y=x上，化简整理，由离心率公式，即可得出结论．【解答】解：取右焦点F（c，0），渐近线y=x．∵FA⊥OA，∴可得直线FA的方程为y=﹣（x﹣c），令x=0，解得y=，∴B（0，）．∵，∴A（，），即A（，），又A在渐近线y=x上，∴=•，解得b=a．∴该双曲线的离心率e===．故选：D．9．为了响应国家发展足球的战略，哈市某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛．现有10名同学参加足球射门比赛，已知每名同学踢进的概率均为0.6，每名同学有2次射门机会，且各同学射门之间没有影响．现规定：踢进两个得10分，踢进一个得5分，一个未进得0分，记X为10个同学的得分总和，则X的数学期望为（）A．30 B．40 C．60 D．80【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】每位同学的进球个数ξ～B（2，0.6），可得E（X）=10×5E（ξ）．【解答】解：每位同学的进球个数ξ～B（2，0.6），可得E（ξ）=2×0.6=1.2．∴E（X）=10×5E（ξ）=50×1.2=60．故选：C．10．把函数f（x）=2sin（x+2φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度之后，所得图象关于直线对称，且f（0）＜f（﹣φ），则φ=（）A．B． C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得φ的值．【解答】解：把函数f（x）=2sin（x+2φ）的图象向左平移个单位长度之后，可得y=2sin（x++2φ）=2cos（x+2φ）=g（x）的图象，根据所得图象关于直线对称，可得g（0）=g（），即2cos2φ=cos（+2φ）=﹣2sin2φ，即tan2φ=﹣1．又f（0）＜f（﹣φ），故有2sin2φ＜2sin（+φ）=2cosφ，即sinφ＜，结合所给的选项，故选：C．11．设函数f（x）是R上的奇函数，f（x+π）=﹣f（x），当0≤x≤时，f（x）=cosx﹣1，则﹣2π≤x ≤2π时，f（x）的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．4π﹣8 B．2π﹣4 C．π﹣2 D．3π﹣6【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】根据函数的奇偶性得到函数的周期是2π，分别求出函数的解析式，利用积分的应用即可得到结论【解答】解：由f（x+π）=﹣f（x）得f（x+2π）=f（x），即函数的周期是2π，若﹣≤x≤0，则0≤﹣x≤，即f（﹣x）=cos（﹣x）﹣1=cosx﹣1，∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣x）=cosx﹣1=﹣f（x），即f（x）=1﹣cosx，﹣≤x≤0，∵函数的周期是2π，∴当＜x≤2π时，﹣＜x﹣2π≤0，即f（x）=f（x﹣2π）=1﹣cos（x﹣2π）=1﹣cosx，当＜x≤π时，﹣＜x﹣π≤0，即f（x）=﹣f（x﹣π）=cos（x﹣π）﹣1=﹣cosx﹣1，当π＜x≤时，0≤x﹣π≤，即f（x）=﹣f（x﹣π）=﹣cos（x﹣π）+1=cosx+1，综上：f（x）=，则由积分的公式和性质可知当﹣2π≤x≤2π时，f（x）的图象与x轴所围成图形的面积S=2=4=8=8||=8（x﹣sinx）|=4π﹣8．故选A．12．已知矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E，F分别是AB，CD上两动点，且AE=DF，把四边形BCFE 沿EF折起，使平面BCFE⊥平面ABCD，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（）A．28πB．C．32πD．【考点】球的体积和表面积．【分析】三棱柱ABE﹣DCF的底面积最大时，其体积最大．设FC=x，DCF=6﹣x，s△===．令f（x）=36x2﹣12x3，f′DCF（x）=72x﹣36x2，令f（x）=0，可得x=2，即当x=2时，s△DCF最大，此时CF，CD，CB两两垂直，可以把此三棱柱补成长方体，外接球的半径为长方体对角线长的一半，得球半径R即可．【解答】解：将矩形ABCD沿EF折起，使得平面ABCD⊥平面BCFE，可得直三棱柱ABE﹣DCF，（如图）三棱柱ABE﹣DCF的底面△DCF，△ABE是直角△，AB⊥BE，FC⊥CD三棱柱ABE﹣DCF的底面积最大时，其体积最大．设FC=x，DCF=6﹣x，s△DCF===．令f（x）=36x2﹣12x3，f′（x）=72x﹣36x2，令f（x）=0，可得x=2∴当x=2时，s△DCF最大此时CF，CD，CB两两垂直，可以把此三棱柱补成长方体，外接球的半径为长方体对角线长的一半球半径R=，∴几何体外接球的体积为，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．设x，y满足约束条件，则的取值范围是．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣4，﹣3），联立，解得B（1，2），化为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣分别过A、B时，z有最小值和最大值分别为﹣5、．∴的取值范围是：．故答案为：．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体的直观图是四面体，求出每个面的面积，即可得出结论．【解答】解：几何体的直观图是四面体，每个面的面积分别为+2×2++=，故答案为．15．设T n为数列{a n}的前n项之积，即T n=a1a2a3…a n﹣1a n，若，当T n=11时，n的值为10．【考点】数列的求和．【分析】由题意可得数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，求其通项公式，可得数列{a n}的通项公式，再由累积法求得T n，则答案可求．【解答】解：由，可得数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，则，∴，则T n=a1a2a3…a n﹣1a n=，由T n=n+1=11，得n=10．故答案为：10．16．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交抛物线C于A，B两点，以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线切于，且△AOB的面积为，则抛物线C的方程为y2=4x．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出直线AB的方程，利用△AOB的面积为，建立方程求出p，即可求出抛物线C的方程．【解答】解：令A（x1，y1）B（x2，y2），由已知以AB为直径的圆相切于，∴y1+y2=6，A，B代入抛物线方程，作差可得k AB=，设直线AB的方程为y=（x﹣），与抛物线方程联立可得y2﹣6y﹣p2=0，∴y1y2=﹣p2，∵△AOB的面积为，∴|y1﹣y2|=，∴p=4，∴p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x，故答案为：y2=4x．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，A，B，C都不是直角，且accosB+bccosA=a2﹣b2+8cosA（Ⅰ）若sinB=2sinC，求b，c的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理化简可得2bccosA=8cosA，由于cosA≠0，可求bc=4，由正弦定理化简已知可得b=2c，联立可求b，c的值．（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可求，进而可求，利用三角形面积公式即可解得得解其最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵，∴b2+c2﹣a2=8cosA，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴2bccosA=8cosA，∵cosA≠0，∴bc=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣由正弦定理得：b=2c，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）a2=b2+c2﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA，即6≥8﹣8cosA，∴，当且仅当b=c时取等号，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴，∴，∴，所以面积最大值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩．数学108 103 137 112 128 120 132物理74 71 88 76 84 81 86（Ⅰ）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的说明；（Ⅱ）已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求物理成绩y与数学成绩x的回归直线方程（Ⅲ）若该生的物理成绩达到90分，请你估计他的数学成绩大约是多少？（附：=，=﹣）【考点】线性回归方程；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）做出物理和数学成绩的平均数，进而做出两门成绩的方差，把两个方差进行比较，得到物理的方差小于数学的方差，所以物理成绩更稳定．（Ⅱ）根据上一问做出的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，把样本中心点代入求出a 的值，写出线性回归方程；（Ⅲ）把所给的物理的成绩代入预报出数学的成绩．【解答】解：（Ⅰ）=120，=80，∴数学的方差是=142，物理的方差是（36+81+64+16+16+1+36）=，从而物理的方差小于数学的方差，所以物理成绩更稳定．（Ⅱ）由于x与y之间具有线性相关关系，∴==0.5，×100=50∴+50（Ⅲ）当y=90时，x=80即该生物理是90分时，数学成绩是80．19．如图所示三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC ⊥CD．（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若A1D与BB1所成角的余弦值为，求二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由AA1=AC，根据线面垂直的判定定理即可证明AC1⊥平面A1B1CD．（Ⅱ）建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）若AA1=AC，则四边形ACC1A1为正方形，则AC1⊥A1C，∵AD=2CD，AC⊥CD，∴△ACD为直角三角形，则AC⊥CD，∵AA1⊥平面ABC，∴CD⊥平面ACC1A1，则CD⊥A1C，∵A1C∩CD=C，∴AC1⊥平面A1B1CD；解：（Ⅱ）∵AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．∴建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图，设CD=1，则AD=2，AC=，∵A1D与BB1所成角的余弦值为，∴=，又，解得A1D=，∴AA1=，则C（0，0，0），D（1，0，0），A（0，，0），C1（0，0，），A1（1，2，），=（0，﹣2，﹣），=（﹣1，﹣2，﹣），=（﹣1，﹣2，0），设平面A1DC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，，﹣2），设平面A1DC1的法向量=（a，b，c），则，取a=2，得=（2，﹣，﹣4），设二面角C﹣A1D﹣C1的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为．20．已知两点，动点P在y轴上的投影是Q，且．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过F（1，0）作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G，H，M，N，且E1，E2分别是GH，MN的中点．求证：直线E1E2恒过定点．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设点P坐标为（x，y）∴点Q坐标为（x，0），利用，即可得出．（2）当两直线的斜率都存在且不为0时，设l GH：y=k（x﹣1），G（x1，y1），H（x2，y2），联立方程得，（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出．【解答】解：（1）设点P坐标为（x，y）∴点Q坐标为（x，0）．∵，∴∴点P的轨迹方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）证明：当两直线的斜率都存在且不为0时，设l GH：y=k（x﹣1），G（x1，y1），H（x2，y2），联立方程得，，（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，∴△＞0恒成立；∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴GH中点E1坐标为同理，MN中点E2坐标为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴∴的方程为，∴过点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当两直线的斜率分别为0和不存在时，的方程为y=0，也过点综上所述，过定点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．已知函数，m≤2e2．（Ⅰ）当时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x≥1时，有f（x）≥mx2lnx恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求得f（x），求导，根据函数单调性与导数的关系，即可求得f（x）的单调区间；（Ⅱ）构造辅助函数，求导，m≤e时恒成立，则由函数的单调性求得u（x）≥u （1）=e+m，根据m取取值范围，求得g（x）的最小值，m＞e时，，由函数的单调性可知：g（x）在[1，+∞）单调递增，g（x）≥g（1）=0恒成立，即可求得m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，f（x）=2（x﹣1）e x﹣x2+，求导f'（x）=x（2e x﹣1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由f'（x）＞0，解得：x＜﹣ln2或x＞0，当f'（x）＜0，解得：﹣ln2＜x＜0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴f（x）在（﹣∞，﹣ln2），（0，+∞）上单调增，在（﹣ln2，0）上单调减，∴f（x）单调递增区间（﹣∞，﹣ln2），（0，+∞），单调递减区间（﹣ln2，0）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣mx2lnx，g'（x）=2x（e x+m（1﹣lnx），，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1）m≤e时恒成立，则u（x）=e x+m（1﹣lnx）在x≥1上单调递增，则u（x）≥u（1）=e+m﹣﹣﹣﹣﹣﹣•e+m≥0，则﹣e≤m≤e时，u（x）≥0时，即g'（x）≥0，∴g（x）在[1，+∞）单调递增，g（x）≥g（1）=0恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‚e+m＜0时，存在x0∈（1，+∞），u（x0）=0，∴x∈（1，x0）时，u（x）＜0，即g'（x）＜0，g（x）在（1，x0）上单调减，g（x）＜g（1）=0（舍去）﹣﹣﹣（2）m＞e时，，存在x1∈（1，+∞），使，，∴1＜x1≤2，又u（x）在（x1，+∞）上增，在（1，x1）上减，∴x=x1时u（x）有最小值，则即g'（x）≥0，∴g（x）在[1，+∞）单调递增，g（x）≥g（1）=0恒成立﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上：﹣e≤m≤2e2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线与曲线C交于O，A两点，与直线l交于B点，射线与曲线C交于O，P 两点，求△PAB的面积．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，写出曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求出A，B，P的坐标，即可求△PAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（θ为参数），普通方程为（x﹣2）2+y2=4，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ；直线l的极坐标方程为，即，直线l的直角坐标方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）联立射线与曲线C及直线l的极坐标方程可得，联立射线与曲线C的极坐标方程可得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴|AB|=2，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正实数，且a+b+c=3（Ⅰ）解关于c的不等式|2c﹣4|≤a+b；（Ⅱ）证明：．【考点】不等式的证明；绝对值三角不等式．【分析】（I）用c表示出a+b，去绝对值符号即可得出c的范围；（II）利用基本不等式可得≥2c，≥2a， +c≥2b，将以上三个不等式相加即可得出结论．【解答】（I）解：∵a+b+c=3，a+b=3﹣c，∴|2c﹣4|≤3﹣c，∴c﹣3≤2c﹣4≤3﹣c，解得1≤c≤．∴不等式的解集为．（II）证明：∵，，，∴，∴，∵a+b+c=3，∴．。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高三下学期第四次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
2017-2018学年 理科数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数23i -（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A ．2- B ．2 C ．3i - D ．3-2.已知集合1{1,10,}10A =，{lg ,}B y y x x A ==∈，则A B =（ ） A ．110⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．{}10C ．{}1D ．∅ 3.已知幂函数a y x =图象的一部分如下图，且过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于（ ） A ．163 B ．83 C ．43 D ．234.设向量5(cos ,sin ),(cos ,1)4sin a b αααα==-，且a b ⊥，则锐角α为（ ）A ．015 B ．030 C ．045 D ．0605.直线l 与圆22240x y x y a ++-+=（3a <）交于,A B 两点，且弦AB 的中点为(0,1)，则直线l 的方程是（ ）A ．21y x =-+B ．21y x =+C ．1y x =-+D ．1y x =+ 6.如图，程序框图输出的结果是（ ） A ．12 B ．132 C ．1320 D ．118807.一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）A ．(43π+ B ．(4π+．(82π+ D ．(86π+8.下列中正确的个数是（ ）（1）设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若(1)P p ξ>=，则1(10)2P p ξ-<<=-； （2）在区间[0,]π上随机取一个数，则事件“1tan cos 2x x ≥”发生的概率为56； （3）两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 越接近1； （4）()sin cos f x x x =+，则()f x 的最小正周期是π. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个9.若双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>与直线y =无交点，则离心率e 的取值范围（ ）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．D ．10.在二项式n的展开式中只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为（ ） A ．16 B ．14 C ．13 D ．51211.如图，四棱锥P ABCD -中，090ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为（ ） A ．090 B ．075 C ．060 D ．04512.已知函数1,0,()ln ,0.kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则关于函数[()]1y f f x =+的零点个数的判断正确的是（ ）A ．当0k >时，有3个零点；当0k <时，有2个零点；B ．当0k >时，有4个零点；当0k <时，有1个零点；C ．无论k 为何值，均有2个零点；D ．无论k 为何值，均有4个零点.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13.“存在01x >，使得20020160x x -+>”的否定是_________.14.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋牛奶进行检验，利用随机数表抽样时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列开始向右读，请你写出抽取检测的第5袋牛奶的编号_________.（下面摘取了随机数表第7行至第9行）8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5025 8392 1206 76 6301 6378 5916 9556 6719 9810 5071 7512 8673 5807 4439 5238 79 3321 1234 2978 6456 0782 5242 0744 3815 5100 1342 9966 0279 5415.已知变量,x y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则24x yz =∙的最大值为_________.16.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b ccos cos CA =，若6B π=，BC边上中线AM =ABC ∆的面积为_________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：22n n S a =-（*n N ∈） （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令(1)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.（本小题满分12分）甲、乙两个学校高三年级分别有1100人、1000人，为了解两个学校高三年级全体学生在该地区三模考试的数学成绩情况，采用分层抽样的方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布表，规定考试成绩在[120,150]内为优秀. 甲校： 分组 [70,80) [80,90) [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150]频数 23101515x3 1乙校： 分组 [70,80) [80,90) [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150]频数12981010y3（1）计算,x y 的值；（2）由以上统计数据填写下面列联表，若按是否优秀来判断，是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异？甲校 乙校 总计 优秀 非优秀 总计（3）若将频率视为概率，从乙校高三学年任取三名学生的三模数学成绩，其中优秀的人数为X ，求X 的分布列和期望.参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.（本小题满分12分）已知三棱柱111ABC A B C -，底面三角形ABC 为正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12,4AB AA ==，E 为1AA 的中点，F 为BC 中点.（1）求证：直线//AF 平面1BEC ；（2）求平面1BEC 和平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）已知抛物线2:2C y px =(0)p >，过焦点F 作动直线交C 于,A B 两点，过,A B 分别作圆22:()12pD x y -+=的两条切线，切点分别为,P Q ，若AB 垂直于x 轴时，114sin sin PAF QBF+=∠∠.（1）求抛物线方程；（2）若点H 也在曲线C 上，O 为坐标原点，且OA OB tOH +=，8HA HB -<，求实数t 的取值范围.21.（本小题满分12分）设函数2()(1)ln(1)f x a x x bx =+++(1)x >-，曲线()y f x =过点2(1,1)e e e --+，且在点(0,0)处的切线方程为0y =. （1）求,a b 的值；（2）证明：当0x ≥时，2()f x x ≥；（3）若当0x ≥时，2()f x mx ≥恒成立，求实数m 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，,C F 是O 上的两点，OC AB ⊥，过点F 作O 的切线FD 交AB的延长线于点D ，连接CF 交AB 于点E . 求证：2DE DB DA =∙23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x ty =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）直线l 与曲线22:(2)1C y x --=交于,A B 两点.（1）求AB 的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为3)4π，求点P 到线段AB 中点M 的距离.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数(),f x x a a R =-∈（1）当5a =时，解不等式()3f x ≤；（2）当1a =时，若存在x R ∈，使得不等式(1)(2)12f x f x m -+≤-成立，求实数m 的取值范围.13. 02016,12≤+->∀x x x 14.175 15.32 16. 3 17．（Ⅰ）2n n a =； …5分 （Ⅱ）()122n n T n +=-4+…5分18.（1）7,6==y x ；…2分（2）024.5109.62>≈K ,…7分 （3）)52,3(~B X ,分12 (5)6=EX 19.法一（Ⅰ）取1BC 的中点为R ，连接RF RE ,， 则1//CC RF ，1//CC AE ，且RF AE =，…3分则四边形AFRE 为平行四边形，则RE AF //，即//AF 平面1REC ．…6分（Ⅱ）延长E C 1交CA 延长线于点Q ，连接QB ,则QB 即为平面1BEC 与平面ABC 的交线， 且BQ B C BQ BC ⊥⊥1,，则BC C 1∠为平面1BEC 和平面ABC 所成的锐二面角的平面角．……8分在1BCC ∆中，55522cos 1==∠BC C ．…………………………12分 法二 取11C B 中点为S ，连接FS ，以点F 为坐标原点，FA 为x 轴，FB 为y 轴，FS 为z 轴建立空间直角坐标系， 则)0,1,0(),0,0,0(),0,1,0(),0,0,3(-C F B A ，)2,0,3(),4,1,0(),4,1,0(),4,0,3(11E C B A -，…2分（Ⅰ）则)0,0,3(-=，)4,2,0(),2,1,3(1-=-=BC ，设平面1B E C 的法向量为),,(111z y x =，则0,01=⋅=⋅BC ，即⎩⎨⎧=+-=+-04202311111z y z y x …4分 令21=y ，则1,011==z x ，即)1,2,0(=，所以0=⋅，故直线//AF 平面1BEC ．…6分（Ⅱ）设平面ABC 的法向量)1,0,0(=，则55cos ==θ．…12分 20. （Ⅰ）24y x = ；4分（Ⅱ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222121,4,,4,1:y y B y y A my x l AB 则联立: ⎩⎨⎧+==142my x x y ⎩⎨⎧-==+442121y y m y y …6分8<BA 可得12<m …8分,又可得12222+=m m t …10分,所以∈t 20,3⎛⎫⎪⎝⎭…12分21.解：(Ⅰ)b x a x x a x f +++++=')1()1ln()1(2)(，0)0(=+='b a f ，22(1)(1)(1)f e ae b e a e e -=+-=-+21e e =-+1=∴a ，1-=b ． …4分(Ⅱ)x x x x f -++=)1ln()1()(2，设22)1l n ()1()(xx x x x g --++=，)0(≥x ，x x x x g -++=')1ln()1(2)(，(())2ln(1)10g x x ''=++>，∴)(x g '在[)+∞,0上单调递增，∴0)0()(='≥'g x g ，∴)(x g 在[)+∞,0上单调递增，∴0)0()(=≥g x g ．∴2)(x x f ≥．…8分（Ⅲ）设22)1ln()1()(mx x x x x h --++=，mx x x x x h 2)1ln()1(2)(-+++='， (Ⅱ) 中知)1()1ln()1(22+=+≥++x x x x x x ，∴x x x ≥++)1ln()1(，∴mx x x h 23)(-≥'，①当023≥-m 即23≤m 时，0)(≥'x h ，)(x h ∴在[)+∞,0单调递增，0)0()(=≥∴h x h ，成立．②当03<-m 即23>m 时，x m x x x h )21()1ln()1(2)(--++='， m x x h 23)1ln(2)(-++=''，令0)(=''x h ，得012320>-=-m ex ，当[)0,0x x ∈时，0)0()(='<'h x h ，)(x h ∴ 在[)0,0x 上单调递减0)0()(=<∴h x h ，不成立．综上，23≤m ．…12分 22. 证明：连接OF ,则BF OF ⊥,又OCF OFC ∠=∠,所以DEF EFD OEC ∠=∠=∠所以DF DE =，又BA DB DF ⋅=2,所以BA DB DE ⋅=2…10分所以142||||21=-=t t AB … 5分（2）由极坐标与直角坐标互化公式得P 直角坐标)2,2(-， …… 6分所以点P 在直线l ，中点M 对应参数为2221-=+t t ， 由参数t 几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离2||=PM ……10分24. （Ⅰ）[]8,2…4分（Ⅱ）当1=a 时, 1)(-=x x f⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<+≤+-=-+-=)2(33)221(1)21(33122)(x x x x x x x x x g …6分 所以21=x ,)(x g 最小值23,…8分 所以41,2123-≤-≤m m …10分。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2017届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题Word版含答案
哈尔滨市第六中学校2017 届第一次模拟考试数学（理工类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间120 分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考据号码填写清楚；（2）选择题一定使用2B 铅笔填涂 , 非选择题一定使用0.5 毫米黑色笔迹的署名笔书写体工整 , 笔迹清楚；, 字（3）请在各题目的答题地区内作答，高出答题地区书写的答案无效，在底稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面洁净，不得折叠、不要弄破、弄皱，禁止使用涂改液、刮纸刀．参照公式：样本数据 x1, x2 , , x n的标准差 s 1 ( x1 x) 2 ( x2 x) 2 ( x n x) 2 ，此中 xn为样本的均匀数柱体体积公式 V Sh ，此中 S 为底面面积， h 为高；锥体体积公式V 1Sh，此中S为3底面面积， h 为高球的表面积和体积公式S 4 R2，V 4R3，此中R为球的半径3第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一个是切合题目要求的．1.已知会合 A {1,2,4} ，会合 B { z | z xA, y A} ，则会合 B 中元素的个数为, xy（）A. 42.已知复数z 5a 1 i, a R ，若复数z对应的点在复平面内位于第四象限，则实数 a2 i 1 i的取值范围是（）A. a 1B. a 0C. 0 a 1D. a 13. 设 S n为 等 比 数 列 { a n } 的 前 n 项 和 ， a 38a 6 ， 则S 4 的 值 为S 2（）1 B. 25D. 5A.C.244. 若 (3x1)n (n N ) 的 展 开 式 中 各 项 系 数 和 为 64 ， 则 其 睁开 式 中 的 常 数 项 为x（）A. 540B. 540C. 135D. 1355.履行如下图的程序框图，则输出的S 值为（）n 是偶数？A. 10B. 10C. 5D. 56. 平 面 向 量 a,b 满 足 | a |4,| b | 2 ， a b 在 a 上 的 投 影 为 5 ， 则 | a 2b | 的 模 为（）7.已知曲线f (x)ax(x0, a0) 上任一点P(x 0 , f (x 0 )) ，在点P 处的切线与x, y轴分别交 于A, B两 点，若OAB 的 面 积为4 ， 则 实数a的 值为（）A. 1B. 2C. 4D. 88.已知双曲线 C : x2y 2 1(a 0, b 0) 的右焦点为 F ，过 F 作双曲线 C 渐近线的垂a 2b 2线 ， 垂 足 为 A, 且 交 y 轴 于 B ， 若 BA 2AF ，则双曲线的离心率为（）6 3 2 3 6A.B.C.3D.3229.为了响应国家发展足球的战略，哈市某校在秋天运动会中，安排了足球射门竞赛 .现有 10名同学参加足球射门竞赛，已知每名同学踢进的概率均为0.6 ，每名同学有 2 次射门时机，且各同学射门之间没有影响.现规定： 踢进两个得 10 分，踢进一个得 5 分，一个未进得0 分，记 X 为 10 个同学的得分总和，则X的数学希望为（ ）10.把函数 f ( x)2 sin( x 2 )(|| ) 的图象向左平移个单位长度以后，所得图象关22于直线x对称 ，且f (0) f ()， 则42（ ）A.B.3C.D.3888811.设函数 f ( x) 是 R 上的奇函数， f ( x)f ( x) ，当 0 x时， f (x) cos x 1，2则 2x 2时 ， f (x) 的 图 象 与 x轴所围成图形的面积为（）A. 48B. 24C.2 D.3 612.已知矩形 ABCD 中， AB 6, BC 4 ， E, F 分别是 AB, CD 上两动点，且 AE DF ，把四边形 BCFE 沿 EF 折起，使平面 BCFE 平面 ABCD ，若折得的几何体的体积最大， 则 该 几何体外 接球的体积为（）A. 28B. 28 7C. 3264 23D.3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本试卷包含必考题和选考题两部分． 第 13 题～第 21 题为必考题， 每个试题考生都一定作答．第 22 题～第 23 题为选考题，考生依据要求作答．二、填空题：本大题共4 小题，每题5 分，共 20 分．将答案填在机读卡上相应的地点．2x y 4x13x, y 知足拘束条件 x y 1 ，则 zy 的取值范围是．设2x 2y 214.某几何体的三视图如下图，则该几何体的表面积为15．设 T n 为数列 { a n } 的前 n 项之积，即 T n a 1a 2 a 3a n 1a n ，1 11，当 T n 11时， n 的值为若 a 1 2,an 1a n 1116.已知抛物线 C : y 22 px( p 0) 的焦点为 F ，过 F 的直线交抛物线 C 于 A, B 两点，以线段AB 为直径的圆与抛物线C 的准线切于 M (p,3) ，且2AOB 的面积为 13 ，则抛物线 C 的方程为 ________三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．17. （本小题满分 12 分）在 ABC 中 ， 设 边 a, b, c 所 对 的 角 分 别 为 A, B,C ， A, B, C 都 不 是 直 角 ， 且ac cos B bc cos A a 2 b 2 8cos A（Ⅰ）若 sin B 2sin C ，求 b, c 的值；（Ⅱ）若 a6 ，求 ABC 面积的最大值 .18.（本小题满分12 分）为了剖析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习供给指导性建议．现对他前7 次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行剖析．下边是该生7 次考试的成绩．数学108103137112物理74718876 （Ⅰ）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳固？请给出你的说明；128841201328186（Ⅱ）已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性有关的，求物理成绩y 与数学成绩x 的回归直线方程（Ⅲ）若该生的物理成绩达到90 分，请你预计他的数学成绩大概是多少？n^(x i x)( y i y) ^ ^（附： b i 1 , a y b x ）n 2(x i x)i 119.（本小题满分12 分）如下图三棱柱ABC A1 B1C1中，AA1 平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，AD 2CD ， AC CD .（Ⅰ）若AA1 AC ,求证：AC1 平面A1 B1CD ；（Ⅱ）若A1D 与 BB1所成角的余弦值为21，求二面角 C A1D C1的余弦值. 720.（本小题满分12 分）已知两点A( 2,0), B(2,0) ，动点P 在y 轴上的投影是Q ，且2PA PB | PQ |2. （Ⅰ）求动点P 的轨迹 C 的方程；（Ⅱ）过 F (1,0) 作相互垂直的两条直线交轨迹 C 于点 G , H , M , N ，且E1,E2分别是GH , MN 的中点.求证：直线E1 E2恒过定点.21.（本小题满分12 分）已知函数 f ( x) 2(x 1) e x m( 3x2 3) ， m 2e2.2 2（Ⅰ）当 m 1时，求 f (x) 的单一区间；3（Ⅱ）若 x 1时，有 f ( x) mx 2 ln x 恒成立，务实数m 的取值范围.请考生在22、 23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的的第一题记分。
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黑龙江省哈尔滨六中2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩B=( )A．（1，2）B．（1，2]C．[﹣1，1）D．（﹣1，1）2．若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）3．若向量，的夹角为，且||=2，||=1，则与+2的夹角为( ) A．B．C．D．4．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a3=( )A．﹣10 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣45．先后掷子（子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“x+y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P（B|A）=( )A．B．C．D．6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是( )A．2 B．C．D．37．如图所示程序框图中，输出S=( )A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．668．已知x，y满足不等式组，则z=2x+y的最大值与最小值的比值为( ) A．B．C．D．29．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是( )A．B．C．D．10．哈六中2015届高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为( )A．484 B．472 C．252 D．23211．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为F1F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是( )A．（0，）B．C．D．12．已知函数f（x）=ln+，g（x）=e x﹣2，对于∀a∈R，∃b∈（0，+∞）使得g（a）=f（b）成立，则b﹣a的最小值为( )A．ln2 B．﹣ln2 C．D．e2﹣3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．在（2x2﹣）5的二项展开式中，x的系数为__________．14．下列四个结论中，①“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”；②若p∧q为假，则p，q均为假；③若p：∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0，则￢p：∀x∈R，都有x2+2x+3≥0；④设，为两个非零向量，则“•=||•||”是“a与b共线”的充分必要条件；正确结论的序号是的是__________．15．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOB 的面积为__________．16．已知数列{a n}中，a1=2，a n=2﹣，设S n是数列{b n}的前n项和，b n=lga n，则S99=__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A﹣cos2B=（1）求角B的值；（2）若且b≤a，求的取值范围．18．袋中有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球．（I）若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率；（II）若从袋中一次摸出3个小球，且3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．19．如图所示的多面体中，正方形BB1C1C所在平面垂直平面ABC，△ABC是斜边的等腰直角三角形，B1A1∥BA，．（1）求证：C1A1⊥平面ABB1A1；（2）求直线BC1与平面AA1C1所成的角的正弦值．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）的左焦为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点，过F，B，A三点的圆的圆心为（p，q）．（1）当p+q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；（2）若D（b+1，0），在（1）的条件下，当椭圆的离心率最小时，（）.的最小值为，求椭圆的方程．21．若函数f（x）=．（1）讨论函数f（x）=的单调性，并求其最大值；（2）对于∀x∈（0，+∞），不等式＜ax2+1恒成立，求实数a的范围．选修4-1：几何证明选讲22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．黑龙江省哈尔滨六中2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩B=( )A．（1，2）B．（1，2]C．[﹣1，1）D．（﹣1，1）考点：对数函数的定义域；交集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：求解一元二次不等式化简集合A，求解对数函数的定义域化简集合B，然后直接利用交集运算求解．解答：解：A={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则A∩B={x|﹣1≤x＜1}=[﹣1，1）．故选：C．点评：本题考查了对数函数定义域的求法，考查了交集及其运算，是基础题．2．若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为4﹣2i，从而求得z对应的点的坐标．解答：解：复数z满足iz=2+4i，则有z===4﹣2i，故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），故选C．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3．若向量，的夹角为，且||=2，||=1，则与+2的夹角为( ) A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积运算性质、向量的夹角公式即可得出．解答：解：∵向量，的夹角为，且||=2，||=1，∴===1．∴==22+2×1=6，==．∴===，∴与+2的夹角为．故选：A．点评：本题考查了数量积运算性质、向量的夹角公式，属于基础题．4．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a3=( )A．﹣10 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣4考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a32=（a3﹣4）（a3+2），解关于a3的方程可得．解答：解：∵等差数列{a n}的公差为2，且a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1a4，∴a32=（a3﹣4）（a3+2），解得a3=﹣4故选：D点评：本题考查等差数列和等比数列，属基础题．5．先后掷子（子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“x+y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P（B|A）=( )A．B．C．D．考点：条件概率与独立事件．专题：概率与统计．分析：根据题意，利用随机事件的概率公式，分别求出事件A的概率与事件A、B同时发生的概率，再用条件概率公式加以计算，可得P（B|A）的值．解答：解：根据题意，若事件A为“x+y为偶数”发生，则x、y两个数均为奇数或均为偶数．共有2×3×3=18个基本事件，∴事件A的概率为P（A）=而A、B同时发生，基本事件有“2+4”、“2+6”、“4+2”、“4+6”、“6+2”、“6+4”，一共有6个基本事件，因此事件A、B同时发生的概率为P（AB）=因此，在事件A发生的情况下，B发生的概率为P（B|A）=．故选：A．点评：本题主要考查了随机事件的概率公式、条件概率的计算等知识，属于中档题．6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是( )A．2 B．C．D．3考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．解答：解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选D．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．如图所示程序框图中，输出S=( )A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66考点：循环结构．专题：计算题；简易逻辑．分析：根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求S=12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1•n2，判断程序运行终止时的n值，计算可得答案．解答：解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）2•12=1，S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行T=（﹣1）3•22=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3；第三次运行T=（﹣1）4•32=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4；…直到n=9+1=10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T=（﹣1）10•92，S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=×9﹣100=﹣55．故选：B．点评：本题考查了循环结构的程序框图，判断算法的功能是解答本题的关键．8．已知x，y满足不等式组，则z=2x+y的最大值与最小值的比值为( ) A．B．C．D．2考点：简单线性规划．专题：计算题；数形结合．分析：本题处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最值，即可求解比值．解答：解：约束条件对应的平面区域如下图示：当直线z=2x+y过A（2，2）时，Z取得最大值6．当直线z=2x+y过B（1，1）时，Z取得最小值3，故z=2x+y的最大值与最小值的比值为：2．故选D．点评：本题考查的知识点是线性规划，考查画不等式组表示的可行域，考查数形结合求目标函数的最值．9．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是( )A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正△边长的关系，求出边长，即求出底面正△的面积；得出棱柱的表面积．解答：解：由球的体积公式，得πR3=，∴R=1．∴正三棱柱的高h=2R=2．设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：•a=1，∴a=2．∴该正三棱柱的表面积为：3a•2R+2×=18．故选C．点评：本题考查了球的体积，柱体体积公式的应用；本题的解题关键是求底面边长，这是通过正△的内切圆与边长的关系得出的．10．哈六中2015届高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为( )A．484 B．472 C．252 D．232考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：由分类计数原理，故分为2类，不选三班的同学，利用间接法，没有条件得选择3人，再排除3个同学来自同一班，选三班的一位同学，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，根据分类计数原理，即可得到答案解答：解：分两类，不选三班的同学，利用间接法，没有条件得选择3人，再排除3个同学来自同一班，有﹣3=208选三班的一位同学，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，有=264种，根据分类计数原理，得208+364=472，故选：B．点评：本题考查了分类计数原理，关键是如何分类，属于中档11．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为F1F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是( )A．（0，）B．C．D．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．利用三角形中边之间的关系得出c 的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出e1•e2的取值范围，即可得答案．解答：解：设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．由题意知r1=10，r2=2c，且r1＞r2，2r2＞r1，∴2c＜10，2c+2c＞10，⇒＜c＜5．⇒，∴=；=．∴，故选C．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、椭圆的简单性质、双曲线的简单性质、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．12．已知函数f（x）=ln+，g（x）=e x﹣2，对于∀a∈R，∃b∈（0，+∞）使得g（a）=f（b）成立，则b﹣a的最小值为( )A．ln2 B．﹣ln2 C．D．e2﹣3考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：不妨设g（a）=f（b）=m，从而可得b﹣a=2•﹣lnm﹣2，（m＞0）；再令h（m）=2•﹣lnm﹣2，从而由导数确定函数的单调性，再求最小值即可．解答：解：不妨设g（a）=f（b）=m，∴e a﹣2=ln+=m，∴a﹣2=lnm，b=2•，故b﹣a=2•﹣lnm﹣2，（m＞0）令h（m）=2•﹣lnm﹣2，h′（m）=2•﹣，易知h′（m）在（0，+∞）上是增函数，且h′（）=0，故h（m）=2•﹣lnm﹣2在m=处有最小值，即b﹣a的最小值为ln2；故选：A．点评：本题考查了函数的性质应用及导数的综合应用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．在（2x2﹣）5的二项展开式中，x的系数为﹣．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：根据二项式展开式的通项公式，即可求出x的系数是什么．解答：解：∵二项式（2x﹣）5展开式的通项公式是T r+1=•（2x2）5﹣r•=（﹣1）r••25﹣r••x10﹣3r，令10﹣3r=1，解得r=3；∴T3+1=（﹣1）3••22••x；∴x的系数是﹣•22•=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础性题目．14．下列四个结论中，①“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”；②若p∧q为假，则p，q均为假；③若p：∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0，则￢p：∀x∈R，都有x2+2x+3≥0；④设，为两个非零向量，则“•=||•||”是“a与b共线”的充分必要条件；正确结论的序号是的是①③．考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：根据逆否的形式判断出①对；根据复合的真假与构成其简单的真假关系判断出②错；根据含量词的的否定形式判断出③对；根据向量数量积的定义及充要条件的定义判断出④对．解答：解：对于①，“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”，故①对对于②，p∧q的真假与p，q真假的关系为p，q中有假则假，故②错对于③，若p：∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0，则￢p：∀x∈R，都有x2+2x+3≥0，故③对对于④，“•=||•||”表示，同向，故“•=||•||”是“a与b共线”的充分不必要条件，故④不对故答案为：①③．点评：求含量词的的否定是将量词“任意”与“存在”互换，同时结论否定；判断充要条件问题一般先化简各个条件．15．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOB 的面积为．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：设∠AFx=θ（0＜θ＜π，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的距离为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．解答：解：设∠AFx=θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴2+3cosθ=3∴cosθ=，∵m=2+mcos（π﹣θ）∴∴△AOB的面积为S=×|OF|×|AB|×sinθ=故答案为：．点评：本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定抛物线的弦长是解题的关键．16．已知数列{a n}中，a1=2，a n=2﹣，设S n是数列{b n}的前n项和，b n=lga n，则S99=2．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：a n=2﹣，变形为﹣=1，利用等差数列的通项公式可得a n，可得b n=lga n═lg（n+1）﹣lgn，利用“累加求和”即可得出．解答：解：∵a n=2﹣，∴，∴=1+，化为﹣=1，∴数列是等差数列，首项为1，公差为1，∴，解得a n=．∴b n=lga n═lg（n+1）﹣lgn，∴S n=[lg（n+1）﹣lgn]+[lgn﹣lg（n﹣1）]+…+（lg3﹣lg2）+（lg2﹣lg1）=lg（n+1）．∴S99=lg100=2．故答案为：2．点评：本题考查了递推式、等差数列的通项公式、“累加求和”、对数的运算性质，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A﹣cos2B=（1）求角B的值；（2）若且b≤a，求的取值范围．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简可得2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A，求得cos2B 的值，可得cosB的值，从而求得B的值．（2）由b=≤a，可得B=60°．再由正弦定理可得．解答：解：（1）在△ABC中，∵cos2A﹣cos2B==2（cosA+sinA）（cosA﹣sinA）=2（cos2A﹣sin2A）=cos2A﹣sin2A=﹣2sin2A．又因为cos2A﹣cos2B=1﹣2sin2A﹣（2cos2B﹣1）=2﹣2sin2A﹣2cos2B，∴2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A，∴cos2B=，∴cosB=±，∴B=或．（2）∵b=≤a，∴B=，由正弦====2，得a=2sinA，c=2sinC，故a﹣c=2sinA﹣sinC=2sinA﹣sin（﹣A）=sinA﹣cosA=sin（A﹣），因为b≤a，所以≤A＜，≤A﹣＜，所以a﹣c=sin（A﹣）∈[，）．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角恒等变换，属于中档题．18．袋中有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球．（I）若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率；（II）若从袋中一次摸出3个小球，且3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）从8个球中摸出2个小球的种数为．其中一次摸出2个小球，恰为异色球包括一黑一白，一黑一红，一白一红三种类型，为，根据古典概型的概率计算公式即可得出．（II）符合条件的摸法包括以下三种：一种是有1个红球，1个黑球，1个白球，共有种方法；一种是有2个红球，1个其它颜色球，共有种方法；一种是所摸得的3小球均为红球，共有种摸法；故符合条件的不同摸法共有40种．利用古典概型的概率计算公式、分布列和数学期望的计算公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）摸出的2个小球为异色球的种数为=19．从8个球中摸出2个小球的种数为．故所求概率为．（Ⅱ）符合条件的摸法包括以下三种：一种是有1个红球，1个黑球，1个白球，共有=12种．一种是有2个红球，1个其它颜色球，共有=24种，一种是所摸得的3小球均为红球，共有种不同摸法，故符合条件的不同摸法共有40种．P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=．由题意知，随机变量ξ的取值为1，2，3．其分布列为：ξ 1 2 3PEξ==．点评：正确分类和掌握古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望是解题的关键．19．如图所示的多面体中，正方形BB1C1C所在平面垂直平面ABC，△ABC是斜边的等腰直角三角形，B1A1∥BA，．（1）求证：C1A1⊥平面ABB1A1；（2）求直线BC1与平面AA1C1所成的角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：解法1：（1）证明C1A1⊥平面ABB1A1，利用线面垂直的判定定理，只需证明A1C1⊥A1O，A1C1⊥AB；（2）作BD⊥直线AA1于D，连接C1D，∠BC1D即为直线BC1与平面AA1C1所成的角，再利用正弦函数，可求直线BC1与平面AA1C1所成的角的正弦值；解法2：（1）C为原点，以CA为x轴建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用数量积为0证明垂直关系，即可证得线面垂直；（2）求出面A1C1C的法向量，，利用向量的数量积公式即可求解．解答：解法1：（1）证明：取AB的中点O，连接A1O，OC．∵AC=BC，∴CO⊥AB，∵四边形A 1OBB1为平行四边形，∴∵，∴又由CC1⊥面ABC知CC1⊥CO，∴四边形A1OCC1为矩形，∴A1C1⊥A1O，A1C1⊥AB…又∵A1O∩AB=C，∴C1A1⊥平面ABB1A1…（2）解：作BD⊥直线AA1于D，连接C1D．由（1）知平面AA1C1⊥平面ABB1A1，从而BD⊥平面AA1C1，∴∠BC1D即为直线BC1与平面AA1C1所成的角．…∵，∴，于是，∴∴，∴直线BC1与平面AA1C1所成的角的正弦值为．…解法2：CA，CB，CC1两两垂直，且CA=CB=CC1=1，以C为原点，以CA为x轴建立空间直角坐标系如图，则，所以，，，．…（1）证明：∵，，∴C1A1⊥AA1，C1A1⊥AB，又∵AA1∩AB=A，∴C1A1⊥平面ABB1A1…（2）设面A1C1C的法向量为，由，可得，令x=1，则…又，设直线B证明C1与平面AA1C1所成的角为θ，则．…点评：本题考查线面垂直，考查线面角，两法并用，解题的关键是掌握线面垂直的判定，作出线面角，正确构建空间直角坐标系，利用向量方法解决立体几何问题．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）的左焦为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点，过F，B，A三点的圆的圆心为（p，q）．（1）当p+q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；（2）若D（b+1，0），在（1）的条件下，当椭圆的离心率最小时，（）.的最小值为，求椭圆的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：向量与圆锥曲线．分析：（1）求出线段AF、AB的垂直平分线方程，联立求得圆心坐标，由p+q≤0得到关于a，b，c的关系式，结合b2=a2﹣c2可得椭圆的离心率的取值范围；（2）当椭圆离心率取得最小值时，把a，b用含c的代数式表示，代入椭圆方程，设出M点坐标，求出（）•，然后对c分类求出最小值，然后由最小值等于求得c的值，则椭圆方程可求．解答：解：（1）设半焦距为c．由题意AF、AB的中垂线方程分别为，，联立，解得．于是圆心坐标为．由，整理得ab﹣bc+b2﹣ac≤0，即（a+b）（b﹣c）≤0，∴b≤c，于是b2≤c2，即a2=b2+c2≤2c2．∴，即；（2）当时，，此时椭圆的方程为，设M（x，y），则，∴．当时，上式的最小值为，即，得c=2；当0＜c＜时，上式的最小值为，即=，解得，不合题意，舍去．综上所述，椭圆的方程为．点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查与向量有关的最值问题，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是2015届高考试卷中的压轴题．21．若函数f（x）=．（1）讨论函数f（x）=的单调性，并求其最大值；（2）对于∀x∈（0，+∞），不等式＜ax2+1恒成立，求实数a的范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数性质判断单调性，并求其最大值．（2）由a=0，a＜0，a＞0三种情况进行分类讨论，结合导数性质能求出a的取值范围．解答：解：（1）f′（x）==由f′（x）＞0，得1﹣e x＞0，解得x＜0，此时函数单调递增，由f′（x）＜0，得1﹣e x＜0，解得x＞0，此时函数单调递减，即当x=0时，函数取得极大值，同时也是最大值f（0）=1，∴函数f（x）的增区间（﹣∞，0]，减区间[0，+∞），最大值1．（2）当a=0时，，不等式不成立；当a＜0时，ax2+1＜1，，不等式不成立；当a＞0时，，等价于（ax2﹣x+1）e x﹣1＞0，设h（x）=（ax2﹣x+1）e x﹣1，h′（x）=x（ax+2a﹣1）e x，若，则当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，h（x）＞h（0）=0，，h′（x）＜0，h（x）单调递减，h（x）＜h（0）=0，不合题意．综上，a的取值范围是．点评：本题考查的是利用导数判定函数的单调性、求最值以及不等式恒成立问题，解题时注意等价转化、分类讨论的应用．选修4-1：几何证明选讲22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；（Ⅱ）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，从而可求AD的长．解答：（Ⅰ）证明：连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB=2AC，∴BE=2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∴BE=2AD；…（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（6﹣t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，解得或﹣6（舍去），则．…点评：本题考查三角形相似，考查角平分线性质、割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，对于曲线C：根据极坐标与直角坐标变换公式，方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，化成直角坐标方程，对于直线l：消去参数t即可得到普通方程；（2）首先，联立方程组，消去y整理，然后，设点M，N分别对应参数t1，t2，从而，得到|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|，然胡，结合一元二次方程根与系数的关系，建立含有a的关系式，求解a的取值．解答：解：（1）∵，方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax（a＞0）；直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0．（2）联立方程组，消去y并整理，得t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0 （*）△=8a（4+a）＞0．设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．则|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|．由题设得（t1﹣t2）2=|t1t2|，即（t1+t2）2﹣4t1t2=|t1t2|．由（*）得t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a）＞0，则有（4+a）2﹣5（4+a）=0，得a=1，或a=﹣4．∵a＞0，∴a=1．点评：本题重点考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化，参数方程和普通方程的互化，直线与曲线的位置关系等知识，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）依题意知，a=3时，f（x）=，通过对x范围的分类讨论，解不等式f（x）＞0即可；（2）利用等价转化的思想，通过分离参数a，可知当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2或a＞x+2恒成立，从而可求得a的取值范围．解答：解：（1）f（x）=，…当x＞2时，1﹣x＞0，即x＜1，解得x∈∅；当≤x≤2时，5﹣3x＞0，即x＜，解得≤x＜；当x＜时，x﹣1＞0，即x＞1，解得1＜x＜；综上所述，不等式的解集为{x|1＜x＜}．…（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立⇔2﹣x﹣|2x﹣a|＜0⇔2﹣x＜|2x﹣a|恒成立⇔2﹣x＜2x﹣a或2x﹣a＜x﹣2恒成立⇔x＞或x＜a﹣2恒成立，∴当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2①或a＞x+2②恒成立，解①，a不存在；解②得：a≥4．综上知，a≥4．…点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，考查运算求解能力，属于难题．。