高考数学第一轮复习：对数与对数函数

2.6 对数与对数函数
一、选择题
1．若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( ) A ．(1
a
，b )
B ．(10a,1－b )
C ．(
10
a
，b ＋1)
D ．(a 2,2b )
解析：当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在函数y ＝lg x 的图象上． 答案：D
2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是( )． A ．y ＝2|x | B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1) C ．y ＝2x ＋2－x D ．y ＝lg
1
x ＋1
解析 依次根据函数奇偶性定义判断知，A ，C 选项对应函数为偶函数，B 选项对应函数为奇函数，只有D 选项对应函数定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数． 答案 D
3.设a ＝log 13 12，b ＝log 13 23，c ＝log 34
3，则a 、b 、c 的大小关系是( )
A ．a <b <c
B ．c <b <a
C ．b <a <c
D ．b <c <a
解析 ∵a ＝log 13 12，b ＝log 13 2
3， ∵log 13
x 单调递减而12<2
3
∴a >b 且a >0，b >0，又c <0.故c <b <a . 答案 B 4.若12
1
()log (21)
f x x =
+，则()f x 的定义域为( )
A.1(,0)2-
B.1(,)2-+∞
C.1(,0)(0,)2-⋃+∞
D.1
(,2)2-
解析
答案：C
5.已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c
D ．c ＞a ＞b
解析：a ＝log 23.6＝log 43.62＝log 412.96，y ＝log 4x (x ＞0)是单调增函数， 而3.2＜3.6＜12.96，∴a ＞c ＞b . 答案：B
6．函数y ＝log 0.5⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋
1x －1＋1(x ＞1)的值域是( )． A ．(－∞，－2] B ．[－2，＋∞) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞) 解析 ∵x ＋1x －1＋1＝x －1＋1x －1
＋2≥2(x －1)·
1
x －1
＋2＝4.∴y ≤－2. 答案 A
7.已知函数f (x )＝|lg x |.若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( )．
A ．(22，＋∞)
B ．[22，＋∞)
C ．(3，＋∞)
D ．[3，＋∞)
解析 由已知条件0<a <1<b 和f (a )＝f (b )得，－lg a ＝lg b ，则lg a ＋lg b ＝0，
ab ＝1，因此a ＋2b ＝a ＋2a ，由对勾函数知y ＝x ＋2
x 在(0,1)单调递减，得a ＋2b >3，
即a ＋2b 的取值范围是(3，＋∞)． 答案 C 二、填空题
8.函数f (x )＝ln ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋
1x －1的定义域是________． 解析 要使f (x )有意义，应有1＋1
x －1
>0， ∴
x
x －1
>0，∴x <0或x >1.
答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)
9．已知函数x x f lg )(=，若1)(=ab f ，则=+)()(22b f a f ____________。

答案 2
10．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为________．
解析：如图所示为f (x )＝|log 3x |的图象，当f (x )＝0时，x ＝1，当
f (x )＝1时，x ＝3或13，故要使值域为[0,1]，则定义域为[13，3]或[13
，1]或[1,3]，所以b －a 的最小值为2
3.
答案：23
11．已知函数f (x )＝⎩⎨
⎧
2x
(x ≥2)，
f (x ＋2) (x ＜2)，
则f (log 23)＝________.
解析 ∵1＜log 23＜2， ∴log 23＋2＞2
∴f (log 23)＝f (log 23＋2)＝f (log 212) ＝2log 212＝12. 答案 12
12．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________． 解析 (等价转化法)令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u .
∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x ＞0的减区间是(－∞，0)， ∴y ＝log 3(x 2－2x )的减区间是(－∞，0)． 答案 (－∞，0)
【点评】 本题采用了等价转化法(换元法)，把问题转化为关于x 的二次函数的单调区间问题，但应注意定义域的限制． 三、解答题
13．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；
(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．
解：(1)∵f (1)＝1，
∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．
由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，函数定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.
则g (x )在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减， 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，
所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．
(2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，
因此应有⎩⎨⎧
a >0，
12a －4
4a ＝1，
解得a ＝1
2
.
故存在实数a ＝1
2
使f (x )的最小值等于0
14．若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值及相应的x 的值．
解 y ＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2＞0，
解得x ＜1或x ＞3，∴M ＝{x |x ＜1，或x ＞3}，
f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2.
令2x ＝t ，∵x ＜1或x ＞3，∴t ＞8或0＜t ＜2. ∴f (t )＝4t －3t 2
＝－3⎝
⎛
⎭⎪⎫t －232＋43(t ＞8或0＜t ＜2)．
由二次函数性质可知： 当0＜t ＜2时，f (t )∈⎝
⎛⎦⎥⎤0，43， 当t ＞8时，f (t )∈(－∞，－160)， 当2x ＝t ＝23，即x ＝log 2 23时，f (x )max ＝4
3
.
综上可知：当x ＝log 2 23时，f (x )取到最大值为4
3，无最小值．
15．已知函数f (x )＝log a x ＋b
x －b
(a ＞0，b ＞0，a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的奇偶性； (3)讨论f (x )的单调性； 解 (1)令
x ＋b
x －b
＞0， 解得f (x )的定义域为(－∞，－b )∪(b ，＋∞)． (2)因f (－x )＝log a －x ＋b －x －b ＝log a ⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋b x －b －1
＝－log a
x ＋b
x －b
＝－f (x )， 故f (x )是奇函数． (3)令u (x )＝
x ＋b x －b ，则函数u (x )＝1＋2b
x －b
在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是减函数，所以当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是增函数；当a ＞1时，f (x )在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是减函数． 16.已知函数f (x )＝log a (3－ax )．
(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围．
(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．
解析 (1)由题意，3－ax >0对一切x ∈[0,2]恒成立，∵a >0且a ≠1， ∴g (x )＝3－ax 在[0,2]上是减函数，从而g (2)＝3－2a >0得a <3
2.∴a 的取值范
围为(0,1)∪⎝
⎛⎭⎪⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.
由题设f (1)＝1，即log a (3－a )＝1，
∴a ＝32，此时f (x )＝log 32 ⎝ ⎛
⎭⎪⎫3－32x ，当x ＝2时，函数f (x )没有意义，故这样的
实数a 不存在．。