2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题07三角函数图象与性质教学案理含解析20190330219

三角函数图象与性质

【2019年高考考纲解读】

1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.

2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．

【重点、难点剖析】

1．记六组诱导公式

对于“kπ2±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆，奇变偶不变，符号看象限．

2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图象

单调性  －π2＋2kπ， π2＋2kπ为增； π2＋2kπ， 3π2＋2kπ为减 [ －π＋2kπ， ]2kπ为增；[]2kπ，π＋2kπ为减  －π2＋kπ， π2＋kπ为增

对称中心 (kπ，0) kπ＋π2，0 kπ2，0

对称轴 x＝kπ＋π2 x＝kπ 无

3.y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质

(1)五点作图法：五点的取法，设X＝ωx＋φ，X取0，π2，π，3π2，2π来求相应的x值、y值，再描点作图． (2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点－φω，0作为突破口．

(3)在用图象变换作图时，一般按照先平移后伸缩，但考题中也有先伸缩后平移的，无论是哪种变形，切记每个变换总对字母x而言．

(4)把函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后用基本三角函数的单调性求解时，要注意A，ω的符号及复合函数的单调性规律：同增异减．

4．三角函数中常用的转化思想及方法技巧

(1)方程思想：sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者中，知一可求二．

(2)“1”的替换：sin2α＋cos2α＝1.

(3)切弦互化：弦的齐次式可化为切.

【题型示例】

题型一、三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用

【例1】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2，1)，则tan2α＋π4等于( )

A．－7 B．－17 C.17 D．7

答案

A

【变式探究】已知曲线f(x)＝x3－2x2－x在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则cos2π2＋α－2cos2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)的值为( )

A.85 B．－45 C.43 D．－23

答案 A

解析 由f(x)＝x3－2x2－x可知f′(x)＝3x2－4x－1， ∴tan α＝f′(1)＝－2，

cos2π2＋α－2cos2α－3sin()2π－αcos()π＋α

＝(－sin α)2－2cos2α－3sin αcos α

＝sin2α－2cos2α－3sin αcos α

＝sin2α－2cos2α－3sin αcos αsin2α＋cos2α＝tan2α－3tan α－2tan2α＋1

＝4＋6－25＝85.

【感悟提升】 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．

(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．

【变式探究】在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点Psin 5π3，cos 5π3，则sin(π＋α)等于( )

A．－32 B．－12 C.12 D.32

答案 B

解析 由诱导公式可得，

sin 5π3＝sin2π－π3＝－sin π3＝－32，

cos 5π3＝cos2π－π3＝cos π3＝12，

即P－32，12，

由三角函数的定义可得，

sin α＝12－322＋122＝12，

则sin()π＋α＝－sin α＝－12.

【变式探究】已知sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α，则错误!等于( )

A.12 B.13 C.16 D．－16

答案 D 解析 ∵sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α，

∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，

则错误!＝错误!

＝2cos α－4cos α10cos α＋2cos α＝－212＝－16.

【变式探究】若，则sin2（ ）

（A）725 （B）15 （C）15 （D）725

【答案】D

【解析】，

且，故选D.

【感悟提升】在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点，角的始边在x轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值．如果不是在单位圆中定义的三角函数，那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函数定义．

【举一反三】若tan α＝2tan π5，则cosα－3π10sinα－π5＝( )

A．1 B．2 C．3 D．4

解析 cosα－3π10sinα－π5＝sinπ2＋α－3π10sinα－π5＝sinα＋π5sinα－π5

＝sin αcosπ5＋cos αsinπ5sin α·cosπ5－cos αsinπ5 ＝tan αtanπ5＋1tan αtanπ5－1＝2＋12－1＝3.

答案 C

【变式探究】(1)已知cosπ2＋α＝35，且α∈π2，3π2，则tan α＝( )

A.43 B.34 C．－34 D．±34

(2)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f23π6＝( )

A.12 B.32 C．0 D．－12

【命题意图】(1)本题主要考查三角函数的诱导公式及同角基本关系式的应用．

(2)本题是函数与三角运算问题，主要考查函数三要素及三角运算．

【答案】(1)B (2)A

【解析】(1)∵cosπ2＋α＝35，

∴sin α＝－35，显然α在第三象限，

∴cos α＝－45，故tan α＝34.故选B.

(2)∵f(x＋π)＝f(x)＋sin x，

∴f(x＋2π)＝f(x＋π)－sin x.

∴f(x＋2π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)．

∴f(x)是以2π为周期的周期函数．

又f23π6＝f4π－π6＝f－π6，

∴f－π6＋π＝f－π6＋sin－π6，

∴f5π6＝f－π6－12.

∵当0≤x<π时，f(x)＝0，∴f5π6＝0，

∴f23π6＝f－π6＝12.故选A.

【感悟提升】 1．结合诱导公式与同角基本关系式化简求值的策略

(1)切弦互换法．

利用tan α＝sin αcos α进行转化．

(2)和积转化法．

利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行变形、转化．

(3)常值代换法．

其中之一就是把1代换为sin2α＋cos2α.

同角三角函数关系sin2α＋cos2α＝1和tan α＝sin αcos α联合使用，可以根据角α的一个三角函数值求出另外两个三角函数值．根据tan α＝sin αcos α可以把含有sin α，cos α的齐次式化为tan α的关系式．

2．化简求值时的“三个”防范措施

(1)函数名称和符号．

利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数与锐角的三角函数，其步骤是：去负—脱周—化锐—求值．特别注意解题过程中函数名称和符号的确定．

(2)开方．

在利用同角三角函数的平方关系时若需开方，特别注意要根据条件进行讨论取舍．

(3)结果整式化．

解题时注意求值与化简的最后结果一般要尽可能化为整式．

题型二、三角函数的图象

【例2】已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图象，只要将y＝f(x)的图象( )

A．向左平移π12个单位长度

B．向右平移π12个单位长度

C．向左平移5π12个单位长度

D．向右平移5π12个单位长度

答案 A

解析 由题意知，函数f(x)的最小正周期T＝π，

所以ω＝2， 即f(x)＝sin2x＋π3，g(x)＝cos 2x.

把g(x)＝cos 2x变形得g(x)＝sin2x＋π2＝sin2x＋π12＋π3，所以只要将f(x)的图象向左平移π12个单位长度，即可得到g(x)＝cos 2x的图象，故选A.

【变式探究】【2017课标1，理9】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π3)，则下面结论正确的是

A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2

B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2

C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2

D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2

【答案】D

【解析】因为12,CC函数名不同，所以先将2C利用诱导公式转化成与1C相同的函数名，则，则由1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos2yx，再将曲线向左平移12个单位长度得到2C，故选D.

【举一反三】 (2015·山东，3)要得到函数y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象( )

A．向左平移π12个单位 B．向右平移π12个单位

C．向左平移π3个单位 D．向右平移π3个单位

解析 ∵y＝sin4x－π3＝sin4x－π12，

∴要得到y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移π12个单位．

答案 B

【变式探究】(2015·湖南，9)将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移φ0＜φ＜π2个单位后得到函数g(x)