变化率及导数
变化率与导数
变化率与导数、导数的运算课前双击巩固1.变化率与导数 (1)平均变化率: 概念 对于函数y=f (x ),f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1=Δy Δx 叫作函数y=f (x )从x 1到x 2的 变化率几何 意义 函数y=f (x )图像上两点(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2))连线的物理 意义 若函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则ΔyΔx 就是该质点在[x 1,x 2]上的 速度(2)导数:概念点x 0处 limΔx→0ΔyΔx =limΔx→0f(x 0+Δx)−f(x 0)Δx,我们称它为函数y=f (x )在 处的导数,记为f'(x 0)或y'|x=x 0,即f'(x 0)=limΔx→0ΔyΔx= lim Δx→0f(x 0+Δx)−f(x 0)Δx区间 (a ,b )当x ∈(a ,b )时,f'(x )=lim Δx→0ΔyΔx =lim Δx→0 叫作函数在区间(a ,b )内的导数几何 意义 函数y=f (x )在点x=x 0处的导数f'(x 0)就是函数图像在该点处切线的 .曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程是物理 意义 函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x 0处的导数就是质点在x=x时的 速度,在(a ,b )内的导数就是质点在(a ,b )内的 方程2.导数的运算 常用 导数 公式原函数导函数特例或推广常数函数 C'=0(C 为常数)幂函数(x n)'= (n ∈Z )1x'=-1x 2三角函数(sin x)'=,(cos x)'=偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导数是周期函数指数函数(a x)'=(a>0且a≠1) (e x)'=e x对数函数(log a x)'=(a>0且a≠1)(ln x)'=1x,(ln|x|)'=1x四则运算法则加减[f(x)±g(x)]'=(∑i=1nf i(x))'=∑i=1nf'i(x)乘法[f(x)·g(x)]'=[Cf(x)]'=Cf'(x) 除法f(x)g(x)'=(g(x)≠0)1g(x)'=-g′(x)[g(x)]2复合函数导数复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x=,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”题组一常识题1.[教材改编]向气球中充入空气,当气球中空气的体积V(单位:L)从1 L增加到2 L时,气球半径r(单位:dm)的平均变化率约为.2.[教材改编]已知将1吨水净化到纯净度为x %时所需费用(单位:元)为c(x)=5284100−x(80<x<100),当净化到纯净度为98 %时费用的瞬时变化率为.3.[教材改编] y=sin(πx+φ)的导数是y'=.4.[教材改编]曲线y=xe x-1在点(1,1)处切线的斜率等于.题组二常错题◆索引:平均变化率与导数的区别;求导时不能掌握复合函数的求导法则致错;混淆f'(x 0)与[f (x 0)]',f'(ax+b )与[f (ax+b )]'的区别.5.函数f (x )=x 2在区间[1,2]上的平均变化率为 ,在x=2处的导数为 .6.已知函数y=sin 2x ,则y'= .7.已知f (x )=x 2+3xf'(2),则f (2)= .8.已知f (x )=x 3,则f'(2x+3)= ,[f (2x+3)]'= .课堂考点探究探究点一 导数的运算1(1)函数f (x )的导函数为f'(x ),且满足关系式f (x )=x 2+3xf'(2)-ln x ,则f'(2)的值为( )A.74 B.-74 C.94 D.-94(2)已知f (x )=-sin x2(1−2cos 2x4),则f'(π3)= .[总结反思] (1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆. 式题 (1)函数y=sinx x 的导数为y'= .(2)已知f (x )=(x+1)(x+2)(x+a ),若f'(-1)=2,则f'(1)= . 探究点二 导数的几何意义考向1 求切线方程2 函数f (x )=e x·sin x 的图像在点(0,f (0))处的切线方程是 .[总结反思] (1)曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为y-f (x 0)=f'(x 0)(x-x 0);(2)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围;(3)注意过某点的切线和曲线上某点处的切线的区别. 考向2 求切点坐标3设a∈R,函数f(x)=e x+a·e-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为( )A.ln 2B.-ln 2C.ln22 D.-ln22[总结反思] f'(x)=k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标.考向3求参数的值4已知曲线C在动点P(a,a2+2a)与动点Q(b,b2+2b)(a<b<0)处的切线互相垂直,则b-a的最小值为( )A.1B.2C.√2D.-√2[总结反思](1)利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.(2)注意:①曲线上横坐标的取值范围;②切点既在切线上又在曲线上.强化演练1.【考向1】已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为( )A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+1=0D.x-y+1=02.【考向3】直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于( )A.2B.-1C.1D.-23.【考向2】已知在平面直角坐标系中,f(x)=aln x+x的图像在x=a处的切线过原点,则a=( )A.1B.eC.1eD.04.【考向2】若曲线y=xln x在点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是.5.【考向1】函数f(x)=xe x的图像在点P(1,e)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为.。
函数的导数与变化率
函数的导数与变化率函数的导数是微积分中的基础概念之一，它描述了函数在某一点上的变化率。
在实际问题中，我们经常需要了解一个函数在某一点的变化情况，以便更好地理解问题的本质和解决方法。
本文将详细介绍函数的导数的概念、性质以及在实际应用中的意义和计算方法。
一、导数的概念函数的导数是函数变化率的度量，表示了函数在某一点上的变化速度。
形式上，设函数y=f(x)，若该函数在点x处的导数存在，则导数被定义为：f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h其中，f'(x)表示函数在点x处的导数，h表示自变量x的变化量。
导数的定义是一个极限的概念，表示了自变量逐渐接近某一点时，函数变化的趋势。
二、导数的性质1. 导数的存在性函数在某一点上的导数存在的充分条件是函数在该点附近连续，并且左右导数相等。
2. 导数与函数图像的关系函数的导数可以反映函数图像的一些特征，比如导数正值表示函数在该点上升，导数负值表示函数在该点下降，导数等于零表示函数在该点取得极值。
3. 导数的计算法则导数具有一组计算法则，可以用于计算各种复杂函数的导数。
常见的导数运算法则包括常数法则、幂法则、和差法则、乘积法则和商数法则等。
三、变化率与导数的关系函数的导数即为函数在某一点上的变化率。
当自变量的变化量很小时，导数可以近似地表示函数的变化率。
函数的变化率可以分为平均变化率和瞬时变化率两种。
平均变化率是指函数在两个点之间的变化率，可以通过函数的增量和自变量的增量来计算。
瞬时变化率是指函数在某一点上的瞬时变化率，可以通过函数的导数来求得。
四、导数在实际应用中的意义导数在实际问题中有着广泛的应用。
以物理学为例，速度即为位移对时间的导数，加速度即为速度对时间的导数。
在经济学中，边际成本和边际收益也可以通过导数来计算和分析。
导数还可以用于优化问题、曲线拟合和图像处理等领域。
五、导数的计算方法为了计算导数，我们可以利用导数的定义进行计算，也可以利用导数的运算法则简化计算过程。
变化率与导数
变化率与导数
变化率与导数是微积分中的重要概念，它们能够帮助我们准确地表达和计算特定函数在特定点的斜率。
变化率可以定义为一个函数在某一点的变化量与该点前后变化量之比。
其定义式如下:
变化率 = 变化量/原始量
其中，变化量就是位于某一点处曲线上的一段段区域的变化量，而原始量则是位于曲线前后的一段段区域的变化量。
变化率的单位一般用“%”或者“1/X”表示，其中X 代表原始量。
变化率是一个值，用来估计特定函数在特定点处的变化情况。
当我们想要更加精确地表达函数变化情况时，就需要使用导数。
导数是变量x的函数y在x处的一阶微分，也就是某一点处函数的斜率。
它可以用下面的公式来表示:
dy/dx=f'(x)
其中，f'(x) 是函数y关于x的导数，它可以表示函数y在x处的斜率，也就是函数y在x处的变化速率。
因此，导数有助于我们更精确地表达函数的变化情况，它可以表示函数在特定点处的变化速度。
总之，变化率与导数都是微积分中重要的概念，它们都是用来表示函数在特定点处的变化情况。
变化率用来表
示函数在特定点处的变化量与原始量之比，而导数则是根据函数的一阶微分来表示函数在特定点处的斜率，从而表示函数在特定点处的变化速率。
导数与变化率的概念与计算方法
瞬时变化率
定义：瞬时变化 率是指在某一时 刻附近，函数值 随自变量变化的
趋势和快慢
计算方法：通 过求导数来计 算瞬时变化率
几何意义：瞬 时变化率可以 理解为函数图 像在该点的切程学等领域有广 泛的应用，如速 度、加速度等物
理量的计算
变化率的几何意义
变化率描述的是函数图像上两点间距离的相对变化 变化率等于函数图像上切线斜率 变化率可用于分析函数图像的形状和趋势 变化率的概念在导数定义中有着基础地位
热传导：导数可以用来描述热量的传递过程，例如物体温度随时间的变化规律和热传导方程的求 解。
电磁学：导数可以用来描述电场和磁场的变化规律，例如电场强度和磁场强度的计算。
导数在经济分析中的应用
边际分析：导数 用于研究经济活 动中各变量的变 化趋势和极限状 态，帮助决策者 做出最优决策。
弹性分析：导数 用于计算各种经 济指标的弹性， 从而分析各因素 对经济指标的影 响程度。
利用导数求瞬时变化率
定义：导数描述 了函数在某一点 处的切线的斜率
计算方法：通过 求导公式或导数 定义进行计算
应用场景：在物理学、 工程学等领域中，利 用导数求瞬时变化率 具有广泛的应用
注意事项：导数在 某些点可能不存在， 需要注意函数的可 导性
导数与变化率的 应用
导数在几何中的应用
导数在研究曲线上某点的切线 斜率中应用
经济分析：在经济学中， 变化率用于分析经济增 长、通货膨胀和利率等 经济指标的变化情况。
预测模型：在气象学 和统计学中，变化率 用于建立预测模型， 例如预测股票价格和 天气变化趋势。
控制系统：在控制工 程中，变化率用于设 计和分析控制系统， 例如调节汽车发动机 的油门和温度。
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变化率与导数
导数的概念
一般地, 函数 y＝f(x) 在点x＝x0处的瞬时变 化率是
f ( x0 + Dx ) f ( x 0 ) Dy lim lim Dx 0 D x Dx 0 Dx
我们称它为函数 y ＝ f (x)在点x＝x0处的导数， 记为 f '(x0)或 y'| x＝x0 ,即
f ( x0 + Dx ) f ( x0 ) Dy f ( x0 ) lim lim Dx 0 Dx Dx 0 Dx
Dx 0
曲线在点(x0 , f(x0))处的切线的方程为： y－f (x0) ＝ f '(x0)(x－x0)
例2 求曲线y＝f(x)＝x2＋1在点P(1,2)处的 切线方程.
解：
y
△y
因此,切线方程为
y－2＝2(x－1),
P △x
即 y ＝ 2x.
O
1
x
【总结提升】 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出切点P的坐标；
变化率与导数
平均变化率
我们把式子
f ( x2 ) f ( x1 ) 称为函数 x2 x1
y＝f (x)从x1到 x2的平均变化率.
令△x ＝ x2－x1 , △ y ＝ f (x2) －f (x1) ,则
△y f ( x 2 ) f ( x1 ) ＝ △x x 2 x1
平均变化率
例题分析
例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各 种不同产品, 需要对原油进冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: oC) 为 f(x)＝x2－7x＋15 (0≤x≤8). 计算第2h 与低6h时原油温度的瞬时变化 率，并说明它们的意义。
解:
变化率与导数的概念、导数的运算
03 高阶导数及其应用
高阶导数的定义与计算
高阶导数的定义
函数一阶导数的导数称为二阶导数，二阶导 数的导数称为三阶导数，以此类推，n-1阶 导数的导数称为n阶导数。
高阶导数的计算
高阶导数的计算可以通过连续求导得到，每 求一次导，阶数增加一阶。对于常见的基本 初等函数，其高阶导数有特定的公式或规律 可循。
导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率。当函数在某一点处的导数大于0时，表示函数在该点处单调增加； 当导数小于0时，表示函数在该点处单调减少；当导数等于0时，表示函数在该点处可能达到极值点或拐点。
可导与连续的关系
可导必连续
如果一个函数在某一点处可导，则该函数在该点处必定连续。这是因为可导的定义中已经包含了函数 在该点处的极限存在且等于函数值这一条件。
成本最小化
企业在给定产量下追求成本最小化时，需要找到使得边际 成本等于平均成本的产量，即求解成本函数的一阶导数等 于零的点。
效用最大化
消费者追求效用最，即求解效用函数的一阶导数等于 零的点。
05 导数在工程学中的应用
曲线拟合与最小二乘法中的导数应用
工程优化问题中的导数应用
优化算法
在工程设计和制造过程中，经常需要解决各种优化问 题，如最小化成本、最大化效率等。导数在这些优化 算法中发挥着重要作用，它们被用来计算目标函数的 梯度或方向导数，以确定搜索方向或步长。
敏感性分析
在工程经济学中，敏感性分析是一种评估项目风险的 方法。它通过计算项目效益指标（如净现值、内部收 益率等）对于各个不确定因素的导数或偏导数，来量 化各因素对项目效益的影响程度。
变化率与导数的概念、导数的运算
目 录
• 变化率与导数的基本概念 • 导数的运算规则 • 高阶导数及其应用 • 导数在经济学中的应用 • 导数在工程学中的应用 • 数值计算中的导数逼近方法
变化率与导数导数的计算
变化率与导数导数的计算一、变化率与导数的关系在数学中，变化率是指一个量相对于另一个量的变化程度，常用来衡量两个变量之间的关系。
而导数则是描述函数在其中一点上的变化率的概念。
在一个数学函数中，比如说y=f(x)，x和y分别代表自变量和因变量。
那么，当x发生微小变化Δx时，对应的y值也会发生一定的变化Δy。
这时，我们可以计算出y随着x的变化而变化的速率，也就是变化率。
变化率可以通过求平均变化率和瞬时变化率来进行计算。
平均变化率指的是通过两个点之间的变化率来计算，可以用Δy/Δx来表示。
而瞬时变化率则是在其中一点上的变化率，通过取Δx趋近于0时的极限来计算，也就是导数。
二、导数的定义与计算导数是用来衡量函数在其中一点上的变化率的数值，用dy/dx来表示。
导数的定义是：f'(x) = lim(Δx→0) (f(x+Δx) - f(x))/Δx导数表示函数f(x)在x点处的瞬时变化率。
导数可以用各种方法进行计算，其中最常用的方法包括求导法则和导数的性质。
1.求导法则（1）常数法则：如果c是一个常数，那么d(c)/dx = 0。
（2）幂法则：如果f(x) = x^n，那么d(f(x))/dx = nx^(n-1)。
（3）和差法则：如果f(x)=u(x) ± v(x)，那么d(f(x))/dx =d(u(x))/dx ± d(v(x))/dx。
（4）乘法法则：如果f(x) = u(x)v(x)，那么d(f(x))/dx =u(x)d(v(x))/dx + v(x)d(u(x))/dx。
（5）除法法则：如果f(x) = u(x)/v(x)，那么d(f(x))/dx =(v(x)d(u(x))/dx - u(x)d(v(x))/dx)/v(x)^2（6）复合函数法则：如果f(x) = g(u(x))，那么d(f(x))/dx =g'(u(x))d(u(x))/dx。
2.导数的性质（1）导数的和差性：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
变化率和导数
中，哪些量
(单位:dm)之间的函数关系是
V (r) 4 r3
3
在改变？变 量的变化情
❖ 如果将半径r表示为体积V的函数, 况？
❖ 那么 r(V ) 3 3V 4
我们来分析一下:
r(V ) 3 3V
4
❖ 当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1) r(0) 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) 0.62(dm / L)
❖ 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2
同样Δf=Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
理解：
1，式子中△x 、△ f 的值可正、可负，但△x
值不能为0， △ f 的值可以为0 2，若函数f (x)为常函数时， △ f =0 3, 变式
相应的平均速度为( A )
A. 6+t
B. 6+t+ 9 t
C.3+t
D.9+t
❖ 4.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直 线运动,求在4s附近的平均变化率.
25 3t
练习：
❖ 5.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当 Δx=0.1时割线的斜率.
49
t
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态.
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f (x1) 表示 x2 x1
函数的导数与变化率
函数的导数与变化率函数的导数是微积分中重要的概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
在本文中，我们将探讨函数的导数与变化率之间的关系以及它们在实际问题中的应用。
一、导数的概念与运算法则导数的定义是函数在某一点的斜率，表示函数在该点处的变化率。
对于给定的函数f(x)，它的导数可以表示为f'(x)或df(x)/dx。
导数的运算法则包括加减法则、乘法法则、除法法则和链式法则等，这些法则可以方便地求出复杂函数的导数。
二、导数与函数的单调性导数还与函数的单调性密切相关。
当导数大于零时，函数是递增的；当导数小于零时，函数是递减的。
利用导数可以确定函数的单调区间和极值点。
三、导数与函数的凹凸性函数的导数还能帮助判断函数的凹凸性。
当导数递增时，函数在该区间上是凹的；当导数递减时，函数在该区间上是凸的。
通过分析导数的变化情况，可以确定函数的拐点以及凹凸区间。
四、变化率与导数的关系导数不仅仅表示函数在某一点的变化率，还可以表示函数在整个定义域上的变化趋势。
具体来说，导数的绝对值越大，函数的变化越剧烈；导数为零时，函数处于极值点；导数的正负表示函数递增和递减的情况。
五、导数在实际问题中的应用函数的导数在物理、经济等实际问题中有广泛应用。
例如，求导可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，从而优化生产过程或寻求最优解。
导数还可以用来描述物理量的变化速率，例如速度和加速度。
六、结论函数的导数与变化率密切相关，它不仅仅是微积分中的一个概念，还是其它学科中应用最广泛的工具之一。
通过对函数的导数的分析，我们可以研究函数的单调性、凹凸性以及变化趋势，并将其应用于实际问题中。
掌握导数的概念与运算法则，能够帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
通过本文的介绍，我们希望读者能够对函数的导数与变化率有更深入的理解，并在实际问题中灵活应用这一概念，以提升问题的解决能力和分析能力。
对于想深入学习微积分和应用数学的读者来说，掌握函数的导数是一个重要的里程碑。
函数的导数与变化率知识点总结
函数的导数与变化率知识点总结函数的导数是微积分中一个重要的概念，它在研究函数的性质和变化规律时起到了重要的作用。
导数可以用于求函数的切线方程、最值、极值等性质，因此在许多实际问题中都有广泛的应用。
本文将对函数的导数与变化率的知识点进行总结，并介绍其基本概念、计算方法以及几个典型应用。
1. 导数的基本概念导数表示了函数在某一点的瞬时变化率，也可以理解为函数的斜率。
对于函数f(x)，其在某一点x=a处的导数记为f'(a)，可以通过下式进行计算：f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h其中，h表示变化的增量。
导数的计算实际上是求取函数在某一点的极限。
若导数存在，则说明函数在该点可微，也就是函数在该点的图像是光滑的。
2. 导数的计算方法导数的计算方法有多种，根据函数的性质和表达式的不同而有所不同。
以下是几种常见的导数计算方法：2.1 基本初等函数的导数计算对于多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数，都有相应的导数公式可以直接使用。
例如，多项式函数f(x)=ax^n的导数为f'(x)=anx^(n-1)，指数函数f(x)=e^x的导数为f'(x)=e^x，对数函数f(x)=ln(x)的导数为f'(x)=1/x，三角函数如sin(x)、cos(x)的导数分别为cos(x)和-sin(x)等。
2.2 导数的基本运算法则导数的计算还可以利用导数的基本运算法则，如和差法则、积法则、商法则等。
通过将复杂函数分解为基本初等函数的求导结果，并利用这些基本运算法则进行运算，可以较容易地求得复合函数的导数。
2.3 链式法则链式法则是求复合函数导数的常用方法。
对于函数y=f(u)，u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过以下公式进行计算：dy/dx = dy/du * du/dx3. 变化率与导数的关系导数不仅表示了函数在某一点的瞬时变化率，还可以用于描述函数在整个定义域上的变化规律。
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例1.求y=x2在点x=1处的导数．
y (1 x) 1 2x (x) 解： 2 y 2x (x) 2 x x x
2 2
2
y ' lim lim (2 x) 2 即y |x 1 2 x 0 x x 0
练习：质点M的位移s随时间t的变化关系s t at 2 1 若质点M 在t 2时的瞬时速度为8，求常数a的值。
h2 t h2 我们称确定值 13.1是 当t趋近于0时的极限. t
速度v就无限趋近于 t 2时的瞬时速度 .因此, 运动 员在 t 2时的瞬时速度是 13.1m / s. h2 t h2 为了表述方便 , 我们用 lim 13.1 t 0 t 表示"当t 2, t 趋势近于 0时, 平均速度 v 趋近于确 定值 13.1".
如何求t=2时的瞬 时速度呢?
我们先观察 t 2附近的情况 .
在t 2 之前或之后, 任意取一个时刻2 t ,
t是时间的改变量, 可以是正值, 也可以是负值。
计算区间 2 t , 2 和区间 2, 2 t 内平均速度v.
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
瞬时变化率:
f ( x0 x ) f ( x0 ) lim x 0 x
)
3.质点运动规律s t t 2 3, 则在时间(3,3 t ) t=3 中相应的 瞬时 平均 速度为(
s 3 t s 3 平均速度： 6 t t
瞬时速度：
s(2) s (1) 第1月到第2月的平均工资增长率 y1 2 1 100 s(3) s(2) 200 第2月到第3月的平均工资增长率 y2 3 2
可见,此公司的平均工资增长率是越来越大,
说明此公司效益越来越好.
问题二:气球膨胀率
0.62dm
第 一 次
0.16dm
观察小新接连 两次吹气球时，
f x0 x f x0 ' 例2：若 lim 2, 求f x0 x 0 x
f x0 x f x0 变式1：若 lim 2, 求f ' x0 x 0 3x f x0 -x f x0 变式2：若 lim 2, 求f ' x0 x 0 x f x0 x f x0 - x ' 变式3：若 lim 2, 求f x0 x 0 x
★当V从1增加到2L时，气球的半径增加了
r(2)-r(1)≈0.16(dm)
r (2) r (1) 0.16(dm ) 气球的平均膨胀率为 2 1
3 V 3 r ( V ) 可以看出，随着气球的体积逐渐变大， 4 气球的平均膨胀率逐渐变小了。
思考
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
f (x + △x)－f (x0) 0 lim 记作：f ’(x0)= △ x 0 △x
小结：如何求f(x)在x0处的导数：
(1) 求增量 y f ( x0 x) f ( x0 );
y f ( x0 x) f ( x0 ) (2) 算比值 ; x x y (3) 求极限 y lim . x 0 x
令△x = x2 – x1 , △ f = f (x2) – f (x1) ,则
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) f = x x2 x1 x
注意：△x 、△ f 的值可正、可负，但△x 的 值不能为0， △ f 的值可以为0。
思考?
h(t ) 4.9t 2 6.5t 当 10 Δt趋近于0时,平均
速度有什么变化趋势?
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内 △t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时间 内
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051
当△t = – 0.001时, v 13.0951
v 描述其运
h(0.5) h(0) v 4.05(m/s); 0.5 0 h(t ) h(t )
2 1
h(2) h(1) t t v 8 2.2( m/s 1 ); 2 1
小男孩跳后的时间从t1变化到t2时，平均速度是多少。
平均变化率的定义
f ( x2 ) f ( x1 ) 式子 称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率. x2 x1
2.质点运动律s t 2 3, 则在时间(3,3 t ) 中相应的平均速度为( A ) 9 A.6 t B.6 t C.3 t t D.9 t
在高台跳水运动中, 平均速度 不能反映 他在这段时间里运动状 态，需要用 瞬时速度（物体在某一时刻的 速度描述运动状态）来描述。
当气球的空气容量从V1增加到V2时， 气球的平均膨胀率是多少？
问题三、 高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单 位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
如果用运动员在某段时间内的平均速度 动状态, 那么: 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, 在1≤ t ≤2这段时间里,
观察函数f(x)的图象
y f ( x2 ) f ( x1 ) 平均变化率 x 表示什么? x2 x1
y
Y=f(x)
直线AB的 斜率
f(x2)
B f(x2)-f(x1)=△y
f(x1)
A x1 x2
x
O
x2-x1=△x
课堂练习
1.物体按照s(t)=2t2+4 的规律作直线运动, 求在4s附近的平均变化率. 16+2Δt
t 0 t 0
lim s 3 t s 3
t 6 t =6
lim
定义:
函数 f(x) 在x = x0处的瞬时变化率为：
△ y f ( x + △ x ) － f ( x ) 0 0 lim lim = △x 0 △x 0 △x △x
我们称它为函数 f(x) 在x = x0处的导数．
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时,
v 13.149
当△t =0.001时, v 13 .1049
当△t = –0.0001时, v 13.09951 当△t =0.0001时, v 13.10049
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001,
v 13.099951
△t = 0.00001,
v △t =0.000001, v 13.1000049 …… ……
我们发现 ,当t趋近于 0 时, 即无论 t从小于 2 的一边 , 还是从大于 2一边趋近于 2时, 平均速度都趋近于一 个确定的值 13.1. 从物理的角度看 , 时间间隔 | t | 无限变小时 , 平均
第三章
导数及其应用
变化率问题
牛顿
两人同时创立 了微积分 莱布尼兹
平均变化率
问题一:工资增长率
下面是一家公司的工资发放情况: 其中，工资的年薪s(单位：10元)与时间
t(单位：年)成函数关系。
用y表示每年的平均工资增长率.
试分析公司的效益发展趋势？
年份
月薪
公司的工资发放情况 1 2 3 4 5 3000 3100 3300 3600 4000
气球的膨胀程度。
第 二 次
气球的体积V(单位：L)与半径r(单
位：dm)之间的函数关系是：
4 3 V (r ) r 3
用V 表示r得：
r (V )
3
3V 4
★当V从0增加到1L时，
气球的半径增加了
r (V ) 3
3V 4
r(1)-r(0)≈0.62(dm)
r (1) r (0) 气球的平均膨胀率为 0.62(dm ) 1 0