二项分布与正态分布 练习题

二项分布与正态分布1．用电脑每次可以自动生成一个(0,1)内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为( )A.127 B.23 C.827D.49解析：选C 由题意可得，用该电脑生成1个实数，且这个实数大于13的概率为P ＝1－13＝23，则用该电脑连续生成3个实数，这3个实数都大于13的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827.故选C.2．(2019·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )A.34B.23C.57D.512解析：选D 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝512，故选D.3．(2018·厦门二模)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A.25B.35C.18125D.54125解析：选D 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率为35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝54125. 4．(2018·唐山二模)甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( )A.29B.49C.23D.79解析：选D 甲不跑第一棒共有A 13·A 33＝18种情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：(1)乙跑第一棒，共有A 33＝6种情况；(2)乙不跑第一棒，共有A 12·A 12·A 22＝8种情况，∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为6＋818＝79.故选D.5．(2019·福建四校联考)某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩X 近似服从正态分布N (100，a 2)(a ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的110，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为( )A ．400B ．500C ．600D ．800解析：选A 由题意得，P (X ≤90)＝P (X ≥110)＝110，所以P (90≤X ≤110)＝1－2×110＝45，所以P (100≤X ≤110)＝25，所以此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为 1 000×25＝400.故选A.6．(2018·河北“五个一名校联盟”二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A.110B.15C.25D.12解析：选C 设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )＝P ABP A ＝1512＝25.故选C.7．(2019·淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X ，且X ～N (800,502)，则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( )(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4 )A．0.977 2 B．0.682 6C．0.997 4 D．0.954 4解析：选 A ∵X～N(800,502)，∴P(700≤X≤900)＝0.954 4，∴P(X＞900)＝1－0.954 42＝0.022 8，∴P(X≤900)＝1－0.022 8＝0.977 2.故选A.8．(2019·茂名一模)设X～N(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )(注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.44%)A．7 539 B．6 038C．7 028 D．6 587解析：选D ∵X～N(1,1)，∴μ＝1，σ＝1.∵P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.26%，∴P(0＜X＜2)＝68.26%，则P(1＜X＜2)＝34.13%，∴阴影部分的面积为1－0.341 3＝0.658 7.∴向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 000×0.658 7＝6 587.故选D.9．(2019·珠海一模)夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( )A．0.05 B．0.007 5C．13D．16解析：选C 设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B 为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P(A)＝0.15，P(AB)＝0.05，∴P(B|A)＝P AB P A ＝0.050.15＝13.故选C.10．(2019·江西名校联考)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954 4.A ．1 193B ．1 359C ．2 718D ．3 413解析：选B 对于正态分布N (－1,1)，可知μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于直线x ＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为12×[P (－3＜X ＜1)－P (－2＜X ＜0)]＝12×[P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)－P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)]＝12×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，所以点落入题图中阴影部分的概率P ＝0.135 91＝0.135 9，投入10 000个点，落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 9＝1 359.故选B.11．(2019·南昌模拟)口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为________．解析：口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，设事件A 表示“第一次取得红球”，事件B 表示“第二次取得白球”，则P (A )＝26＝13，P (AB )＝26×35＝15，∴第一次取得红球后，第二次取得白球的概率为P (B |A )＝P ABP A ＝1513＝35. 答案：3512．(2019·郑州一中月考)科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称．假设甲通过科目二的概率均为34，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为________．解析：甲第3次考试才通过科目二，则前2次都未通过，第3次通过，故所求概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342×34＝364. 答案：36413．(2019·合肥名校联考)已知随机变量X ～N (1，σ2)，若P (X ＞0)＝0.8，则P (X ≥2)＝________.解析：随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，∴正态曲线关于x ＝1对称，∴P (X ≥2)＝P (X ≤0)＝1－P (X ＞0)＝0.2.答案：0.214．三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，则乙队连胜四局的概率为________．解析：设乙队连胜四局为事件A ，有下列情况：第一局中乙胜甲(A 1)，其概率为1－0.4＝0.6；第二局中乙胜丙(A 2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A 3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A 4)，其概率为0.5，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4)＝0.62×0.52＝0.09.答案：0.0915．九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美．某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：(1)若购进这批九节虾35 000 g ，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X ，求X 的分布列．解：(1)由表中数据可以估计每只九节虾的质量为140×(4×10＋12×20＋11×30＋8×40＋5×50)＝29.5(g)，因为35 000÷29.5≈1 186(只)，所以这批九节虾的数量约为1 186只．(2)由表中数据知，任意挑选1只九节虾，质量在[5,25)间的概率p ＝4＋1240＝25，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫354＝81625，P (X ＝1)＝C 14×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝216625， P (X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫252×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝216625， P (X ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫253×35＝96625，P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫254＝16625.所以X 的分布列为16．(2019·惠州模拟)某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种．其中某班级学生背诵正确的概率p ＝23，记该班级完成n首背诵后的总得分为S n .(1)求S 6＝20且S i ≥0(i ＝1,2,3)的概率； (2)记ξ＝|S 5|，求ξ的分布列及数学期望．解：(1)当S 6＝20时，即背诵6首后，正确的有4首，错误的有2首．由S i ≥0(i ＝1,2,3)可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首；若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首．则所求的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋23×13×23×C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝1681. (2)由题意知ξ＝|S 5|的所有可能的取值为10,30,50，又p ＝23，∴P (ξ＝10)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝4081，P (ξ＝30)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫231×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝3081， P (ξ＝50)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫235×⎝ ⎛⎭⎪⎫130＋C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫230×⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝1181， ∴ξ的分布列为ξ 10 30 50 P408130811181∴E (ξ)＝10×4081＋30×3081＋50×1181＝1 85081.17．(2018·濮阳二模)近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事，并且逐渐影响到国际电子商务行业．某商家为了准备2018年“双十一”的广告策略，随机调查了1 000名客户在2017年“双十一”前后10天内网购所花时间T (单位：时)，并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图．由频率分布直方图可以认为，这10天网购所花的时间T 近似服从N (μ，σ2)，其中μ用样本平均值代替，σ2＝0.24.(1)计算μ，并利用该正态分布求P (1.51＜T ＜2.49)．(2)利用由样本统计获得的正态分布估计整体，将这10天网购所花时间在(2,2.98)小时内的人定义为目标客户，对目标客户发送广告提醒．现若随机抽取10 000名客户，记X 为这10 000人中目标客户的人数．(ⅰ)求EX ；(ⅱ)问：10 000人中目标客户的人数X 为何值的概率最大？ 附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜Z ＜μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜Z ＜μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜Z ＜μ＋3σ)＝0.997 4.0.24≈0.49.解：(1)μ＝0.4×(0.050×0.8＋0.225×1.2＋0.550×1.6＋0.825×2.0＋0.600×2.4＋0.200×2.8＋0.050×3.2)＝2，从而T 服从N (2,0.24)， 又σ＝0.24≈0.49，从而P (1.51＜T ＜2.49)＝P (μ－σ＜T ＜μ＋σ)＝0.682 6. (2)(ⅰ)任意抽取1名客户，该客户是目标客户的概率为P (2＜T ＜2.98)＝P (μ＜T ＜μ＋2σ) ＝12P (μ－2σ＜T ＜μ＋2σ)＝12×0.954 4＝0.477 2. 由题意知X 服从B (10 000,0.477 2)， 所以EX ＝10 000×0.477 2＝4 772. (ⅱ)X 服从B (10 000,0.477 2)，P (X ＝k )＝C k 10 0000.477 2k (1－0.477 2)10 000－k ＝ C k 10 0000.477 2k ·0.522 810 000－k (k ＝0,1,2，…，10 000)． 设当X ＝k (k ≥1，k ∈N)时概率最大，则有⎩⎨⎧P X ＝k ＞P X ＝k ＋1，P X ＝k ＞P X ＝k －1，得⎩⎨⎧0.522 8C k10 000＞0.477 2C k ＋110 000，0.477 2C k 10 000＞0.522 8C k －110 000，解得k ＝4 772.故10 000人中目标客户的人数为4 772的概率最大．。