《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解
《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解
⎧ x + 1 ⎪⎩ 2 3《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解1.常见题型分类(加粗体例题需要作答)定义类1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A.1x+1>2B.x 2>9C.2x +y ≤5D.12(x －3)<02.若 (m - 2) x 2m +1 - 1 > 5 是关于 x 的一元一次不等式，则该不等式的解集为.用不等式表示a 与 6 的和小于 5；x 与 2 的差小于－1；数轴题1.a ,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“＜”或“＞”号填空：a __________b ; |a |__________|b |; a +b __________0 a －b __________0; a +b __________a －b ; ab __________a .2.已知实数 a 、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（）A 、ab ＞0B 、 a > bC 、a －b ＞0D 、a ＋b ＞0同等变换1.与 2x <6 不同解的不等式是（）A.2x +1<7B.4x <12C.－4x >－12借助数轴解不等式(组):(这类试题在中考中很多见)⎪1 -≥0 1.（2010 湖北随州）解不等式组 ⎨ 3⎪⎩3 - 4( x - 1) < 1D.－2x <－62.（2010 福建宁德）解不等式 2 x - 1 - 5x + 1 3 2⎧1 - 2( x -1) > 1, ⎪3.（2006 年绵阳市） ⎨ x 1- ≥ x.含参不等式: 此类试题易错知识辨析≤1，并把它的解集在数轴上表示出来．x （ （（1）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况.如不等式 ax > b （或 ax < b ）（ a ≠ 0 ）的形式的解集：当 a > 0 时， x > b b（或 x < ）a ab b当 a < 0 时， x < （或 x > ）a ab b当 a < 0 时， x < （或 x > ）a a4 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1 的解集是 x ＜1，则 a 必满足( )．(A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－15 若 m ＞5，试用 m 表示出不等式(5－m )x ＞1－m 的解集______．6.如果不等式(m －2)x >2－m 的解集是 x <－1,则有（ ）A.m >2B.m <2C.m =2(D)a ＜1D.m ≠27.如果不等式(a －3)x ＜b 的解集是 x ＜ b a - 3，那么 a 的取值范围是________.限制条件的解1.不等式 3(x －2)≤x +4 的非负整数解有几个.（） A.4 B.5C.6D.无数个2.不等式 4x － A.11 11< x + 的最大的整数解为（ ） 4 4B.0C.－1D.不存在含绝对值不等式1. 不等式|x |< 7 3的整数解是________.不等式|x |<1 的解集是________.分类讨论1.已知 ax ＜2a (a ≠0)是关于 x 的不等式，那么它的解集是( )A.x ＜2B.x ＞－2C.当 a ＞0 时，x ＜2D.当 a ＞0 时，x ＜2;当 a ＜0 时，x ＞2不等式的性质及应用y1. 若 x ＋y ＞x －y ，y －x ＞y ，那么（1） ＋y ＞0， 2）y －x ＜0， 3）xy ≤0,（4） ＜0 中，正确结论的序号为________。
高一基本不等式题型及解题方法
高一基本不等式题型及解题方法基本不等式是高中数学中的重要概念，它在数学运算中有着重要的作用。
掌握基本不等式的题型及解题方法对于高一学生来说至关重要。
在本文中，我们将对高一基本不等式的常见题型和解题方法进行详细的介绍。
1.绝对值不等式绝对值不等式是基本不等式中的重要内容之一。
它常常以形如|ax + b| < c或者|ax + b| > c的形式出现。
解决绝对值不等式的关键在于将其转化为两个普通的不等式，然后求解。
以下是解决绝对值不等式的基本步骤：例题：求不等式|3x - 2| < 7的解集。
解：首先，我们将不等式转化为两个普通的不等式：1）当3x - 2 > 0时，|3x - 2| = 3x - 2，此时不等式转化为3x - 2 < 7。
2）当3x - 2 < 0时，|3x - 2| = -(3x - 2)，此时不等式转化为-(3x - 2) < 7。
接下来，我们分别求解这两个普通的不等式：1）当3x - 2 > 0时，可得3x - 2 < 7，解得x < 3。
2）当3x - 2 < 0时，可得-(3x - 2) < 7，解得x > -1。
因此，原不等式的解集为-1 < x < 3。
2.复合不等式复合不等式是由两个或多个不等式组成的不等式。
解决复合不等式的关键在于找到其交集或并集，然后求解。
以下是解决复合不等式的基本步骤：例题：求解不等式系统{x + 2 > 0, 3x - 4 < 5}的解集。
解：首先，我们分别求解这两个不等式：1）x + 2 > 0，解得x > -2。
2）3x - 4 < 5，解得x < 3。
然后，我们找出这两个不等式的交集，即-2 < x < 3。
因此，不等式系统{x + 2 > 0, 3x - 4 < 5}的解集为-2 < x < 3。
完整版)基本不等式知识点和基本题型
完整版)基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)^2/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a^2+b^2)(1+1)≥(a+b)^2二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)^2/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a^2/(b-c)^2+b^2/(c-a)^2+c^2/(a-b)^2≥23.已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a^3+b^3≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a^2+b^2)/(a+b)+(b^2+c^2)/(b+c)+(c^2+a^2)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)²/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/2≤(a+b)²/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a²+b²)(1+1)≥(a+b)²二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)²/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a²/(b-c)²+b²/(c-a)²+c²/(a-b)²≥23.已知a+b+c=1，求证：a²+b²+c²+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a³+b³≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a²+b²)/(a+b)+(b²+c²)/(b+c)+(c²+a²)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9选修4-5：不等式选讲1.设a,b,c均为正数，且a+b+c=1，证明：Ⅰ) ab+bc+ca≤1/3；Ⅱ) a^2b+b^2c+c^2a≥1/9.2.已知a≥b>0，求证：2a-b≥2ab-b^2.3.求下列函数的值域：1) y=3x+2；2) y=x(4-x)；3) y=x+(x>2)；4) y=x+(x<2)。
不等式主要题型 超级全面经典
不等式主要题型讲解题型一：不等式的性质1.对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0<<<则若；⑤b a a b b a ><<则若,0；⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______题型二：比较大小（作差法、作商法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2.比较3522++x x 与242++x x 的大小3.已知0,0>>b a ，比较b a b a 与a b b a 的大小4.设2a >，12p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小题型三：利用不等式性质求变量取值范围（整体代换）5.已知41<+<-y x 且32<-<y x ，则y x z 32-=的取值范围题型四：一元二次不等式的求解（求根、作图、写解集）6.解不等式（1）（2）7.已知关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,31，求022>-+-a x cx 的解集8.当1>a 时，解关于x 的不等式xx a a log 31log -<-题型五：一元二次方程根的分布问题9.已知关于x 的二次方程01222=+++m mx x （1）若方程有两根，其中一根在区间()0,1-内，另一根在区间()2,1内，求m 的取值范围（2）若两根均在区间()1,0内，求m 的取值范围题型六：含参的一元二次不等式的讨论（方程类型、开口方向、判别式∆、两根大小）10.解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<11.解关于x 的不等式()0322>++-a x a a x题型七：分式不等式与高次不等式的求解（分式转化为乘积、奇穿偶不穿）12.不等式()032<-+x x x 的解集为13.不等式()2152≥-+x x 的解集为14.解不等式25123x x x -<---题型八：绝对值不等式的求解15.不等式22<-x x 的解集为16.不等式112<--x x 的解集为17.不等式323≥--+x x 的解集为题型九：不等式的恒成立问题（常用转化为最值问题，利用分离变量法，数形结合法（动轴定区间），变换主元等）18.关于x 的不等式a x 2+a x +1＞0恒成立，则a 的取值范围是_____________19.若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.20.()xa x f 21+-=，若()02≥+x x f 在()∞+，0上恒成立，求a 的取值范围21.已知0282002>--+><m m y x x y y x ，，恒成立，求m 的取值范围22.设函数()12--=mx mx x f ，若对于[]2,2-∈m ，()5+-<m x f 恒成立，求x 的范围题型十：不等式的存在性问题23.函数()a ax x x f +-=2，若存在[]2,1-∈x 使得()0>x f ，求a 的取值范围题型十一：二元一次不等式组表示的平面区域24.画出下列不等式表示的平面区域（1）()()01≤---y x y x （2）()()0412<+-++y x y x 题型十二：线性约束条件下的目标函数的最值问题（形如：)0(22≠+++=B A c By Ax z 型）若变量y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x ，作出可行域并解决以下问题26.直线k kx y 2-=将平面区域分成面积相等的两部分，则k 的值为27.求y x +2的最大值？28.求y x -的最小值，思考取到最小值时的最优解有多少个？29.若目标函数()0≠+=a y ax z 取到最大值时的最优解有无数多个，求a 的值30.求变量y x ,表示的可行域内的整点个数有多少个？题型十三：利用斜率型、距离型的非线性规划求解目标函数的最值问题（形如：a x b y z --=以及()()22b y a x z -+-=型的目标函数）31.求目标函数11-+=x y z 的取值范围32.求22y x z +=的最大值和最小值33.求x y x z 222-+=的取值范围题型十四：求解目标函数中参数的取值范围34.已知变量230,330.10x y x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩满足约束条件若目标函数z ax y =+（其中a>0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a 的取值范围为。
完整版的不等式知识点和基本题型
完整版的不等式知识点和基本题型不等式是数学中一种重要的关系符号，它用来描述数值之间的大小关系。
以下是不等式的基本知识点和常见题型：1. 不等式基本概念- 不等式是指在两个数之间用不同的关系符号来表示大小关系，比如大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
- 不等式的解集是使不等式成立的所有实数的集合。
2. 不等式的性质- 若 a > b，则 b < a。
- 若 a > b 且 b > c，则 a > c。
- 若 a > b 且 a > 0，则 ac > bc（c > 0）。
- 若 a > b 且 c < 0，则 ac < bc（c < 0）。
- 若 a > b 且c ≠ 0，则 ac > bc。
3. 不等式的解法- 在不等式两边同时加（减）相同的数，不等式的方向不变。
- 在不等式两边同时乘（除）正数，不等式的方向不变。
- 在不等式两边同时乘（除）负数，不等式的方向反向。
- 若不等式两边有平方根，应考虑正负情况。
4. 不等式的常见题型4.1. 一元一次不等式- 形如 ax + b > c 或 ax + b < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。
- 解法类似一元一次方程，通过移项和化简来求解。
4.2. 一元一次绝对值不等式- 形如 |ax + b| > c 或 |ax + b| < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。
- 需要根据绝对值的定义来分情况讨论和求解。
4.3. 二元一次不等式- 形如 ax + by > c 或 ax + by < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x、y 为变量。
- 解法类似于解一元一次不等式，通过移项和化简来求解。
4.4. 二次不等式- 形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。
不等式常见题型及解析题
不等式常见题型及解析题一、一元一次不等式1.问题描述解不等式$a x+b>c$，其中$a>0$。
2.解法分析根据不等式的性质，我们可以将不等式转化为等价的形式:$$ax+b=c$$然后确定不等式的解集。
（1）当$a>0$时将不等式转化为等式，我们得到$ax+b=c$，解得$x=\fr ac{c-b}{a}$。
此时，对于任意一个满足$c-b>0$的$x$，都可以使得$a x+b>c$，所以解集为$\le ft(\fr ac{c-b}{a},+∞\ri gh t)$。
（2）当$a<0$时将不等式转化为等式，我们得到$ax+b=c$，解得$x=\fr ac{c-b}{a}$。
此时，对于任意一个满足$c-b<0$的$x$，都可以使得$a x+b<c$，所以解集为$\le ft(-∞,\f r ac{c-b}{a}\r igh t)$。
（3）当$a=0$时此时，不等式退化为$b>c$或$b<c$，没有变量$x$，所以不存在解。
二、一元二次不等式1.问题描述解不等式$a x^2+bx+c>0$，其中$a>0$。
2.解法分析和一元一次不等式类似，我们可以将不等式转化为等价的形式:$$ax^2+b x+c=0$$然后确定不等式的解集。
（1）当$a>0$时判断二次函数$a x^2+b x+c$的图像与$x$轴的交点数：-当判别式$Δ=b^2-4a c$大于0时，二次函数与$x$轴有两个交点，此时不等式的解集为$\le ft(-∞,x_1\ri gh t)\c up\le ft(x_2,+∞\ri g ht)$，其中$x_1$和$x_2$分别为二次方程$a x^2+b x+c=0$的两个根。
-当判别式$Δ=b^2-4a c$等于0时，二次函数与$x$轴有一个交点，此时不等式的解集为$\ma th bb{R}$，即全体实数的集合。
-当判别式$Δ=b^2-4a c$小于0时，二次函数与$x$轴没有交点，此时不等式的解集为空集。
经典不等式例题汇总
□▲○○○《不等式》考点及题型总结第一节 不等式一、知识要点：（一）不等式的定义：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。
（二）不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（三）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
（四）不等式的性质：1、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变2、不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
，3、不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
二、题型分析：题型一： 不等式的概念和表达例1： x 的21与5的差不小于3，用不等式可表示为__________. 答案：1532x -≥例2：设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从大到小的顺序排列为（ ）…A 、○□△B 、○△□C 、□○△D 、△□○ 答案：A题型二：不等式性质的考察]A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个分析：由a﹤b﹤0得，a、b同为负数并且︱a︱﹥︱b︱。
可取特殊值代入，如取a=－2，b=－1代入式子中。
答案：C例2：若a﹥b，则下列式子一定成立的是（）。
A、a＋3﹥b＋5，B、a－9﹥b－9，C、－10a﹥－10b，D、a2c﹥b2c分析：由于不等式的两边乘除同一个数时存在变号的问题，因此需要对a，b的符号进行分类讨论。
或者此题也可以取特殊值代入验证，通过排除法来求解。
A、C取0，-1即可排除，D将常数取0也可排除。
答案：B例3：下列结论：①若a﹤b，则a2c﹤b2c；②若a c﹥b c，则a﹥b；③若a﹥b且若c=d，则a c﹥b d；④若a2c﹤b2c，则a﹤b。
正确的有（）。
'A、4个B、3个C、2个D、1个分析：①2c=0，即可排除；②若a、b、c都为负数即可否定；③任用前两种方法都可以排除；只有④正确。
(完整版)不等式常见题型分析
不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质：(1) 对称性： a b b a(2) 传达性： a b, b c a c(3) 加法法规： a ba cbc ； a b,c da c bd ( 同向可加 )(4) 乘法法规： ab, c 0 ac bc ；a b, c 0 ac bca b 0, c dacbd ( 同向同正可乘 )(5)倒 数 法 则 ：a b, ab1 1(6)乘 方 法 则 ：baa b 0a nb n (n N * 且 n 1)(7) 开方法规： abnanb (n N * 且 n 1)2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式 ax 2 bx c 0或 ax 2 bx c 0 a 0 的解集：设相应的一元二次方程ax 2 bx c0 a 0 的两根为 x 1、 x 2 且 x 1x 2 ，b 2 4ac ，则不等式的解的各种情况以下表：y ax 2bxcy ax 2bx cyax 2 bx c二次函数y ax 2bx c（ a 0 ）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax 2bx cx 1 x 2b a 0 的根 x 1 , x 2 ( x 1 x 2 )无实根2aax 2bx c 0x xb(a 0)的解集 x x x 1或x x 2R2aax 2 bx c 0x x 1 x x 2(a0)的解集2、分式不等式的解法 ：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式， 并使每一个因式中最高次项的系数为正 ，最后用标根法求解。
解分式不等式时， 一般不能够去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
f (x)f ( x) f ( x) g(x) 0f ( x) g(x) 0;g(x)g ( x)g( x)3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分别变量法”转变成最值问题若不等式 f x A 在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间 D 上 f x minA若不等式 fxB 在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间 D 上 fxmaxB（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面地域二元一次不等式 Ax +By +C ＞ 0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax +By +C =0 某一侧所有点组成的平面地域 . （虚线表示地域不包括界线直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面地域的判断方法由于对在直线 Ax +By +C =0 同一侧的所有点 ( x, y ) ，把它的坐标（x, y ) 代入 Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同， 所以 只需在此直线的某一侧取一特别点 （ x 0, y 0) ，从 Ax 0+By 0+C 的正负即可判断 Ax +By +C ＞ 0 表示直线哪一侧的平面地域 . （特别地，当 C ≠ 0 时，常把 原点 作为此特别点） 3、线性规划的有关看法：①线性拘束条件 ：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的拘束条件，这组拘束条件都是关于 x 、 y 的一次不等式，故又称线性拘束条件．②线性目标函数 ：关于 x 、 y 的一次式 z=ax+by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、 y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题 ：一般地，求线性目标函数在线性拘束条件下的最大值或最小值的问题， 统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解 ： 满足线性拘束条件的解（x,y ）叫可行解．由所有可行解组成的会集叫做可行域．使目标函数获取最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性拘束条件下的最优解的步骤：（ 1）搜寻线性拘束条件，列出线性目标函数； （ 2）由二元一次不等式表示的平面地域做出可行域；（ 3）依照线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优 解（四）基本不等式ab ab21．若 a,b ∈ R ,则 a 2+b 2≥ 2ab,当且仅当 a=b 时取等号 .ab b 时取 " " 号).2．若是 a,b 是正数，那么ab(当且仅当 a2变形： 有 :a+b ≥ 2 ab ；ab ≤a b2,当且仅当 a=b 时取等号 .23．若是 a,b ∈ R+,a ·b=P (定值 ),当且仅当 a=b 时 ,a+b 有最小值 2 P ;若是 a,b ∈ R+,且 a+b=S (定值 ),当且仅当 a=b 时 ,ab 有最大值S 2.4注：（ 1）当两个正数的积为定值时，能够求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，能够求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（ 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4. 常用不等式 有：（1） a 2 b 2a bab2( 依照目标不等式左右的运算结构2211a b采纳 ) ；（ 2） a 、b 、 c R ， a 2 b 2 c 2 ab bc ca （当且仅当 ab c 时，取等号）；（ 3）若 a b 0, m 0 ，则bb m（糖水的浓度问题）。
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⎧ x + 1 ⎪⎩ 2 3《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解1.常见题型分类(加粗体例题需要作答)定义类1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A.1x+1>2B.x 2>9C.2x +y ≤5D.12(x －3)<02.若 (m - 2) x 2m +1 - 1 > 5 是关于 x 的一元一次不等式，则该不等式的解集为.用不等式表示a 与 6 的和小于 5；x 与 2 的差小于－1；数轴题1.a ,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“＜”或“＞”号填空：a __________b ; |a |__________|b |; a +b __________0 a －b __________0; a +b __________a －b ; ab __________a .2.已知实数 a 、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（）A 、ab ＞0B 、 a > bC 、a －b ＞0D 、a ＋b ＞0同等变换1.与 2x <6 不同解的不等式是（）A.2x +1<7B.4x <12C.－4x >－12借助数轴解不等式(组):(这类试题在中考中很多见)⎪1 -≥0 1.（2010 湖北随州）解不等式组 ⎨ 3⎪⎩3 - 4( x - 1) < 1D.－2x <－62.（2010 福建宁德）解不等式 2 x - 1 - 5x + 1 3 2⎧1 - 2( x -1) > 1, ⎪3.（2006 年绵阳市） ⎨ x 1- ≥ x.含参不等式: 此类试题易错知识辨析≤1，并把它的解集在数轴上表示出来．x （ （（1）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况.如不等式 ax > b （或 ax < b ）（ a ≠ 0 ）的形式的解集：当 a > 0 时， x > b b（或 x < ）a ab b当 a < 0 时， x < （或 x > ）a ab b当 a < 0 时， x < （或 x > ）a a4 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1 的解集是 x ＜1，则 a 必满足( )．(A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－15 若 m ＞5，试用 m 表示出不等式(5－m )x ＞1－m 的解集______．6.如果不等式(m －2)x >2－m 的解集是 x <－1,则有（ ）A.m >2B.m <2C.m =2(D)a ＜1D.m ≠27.如果不等式(a －3)x ＜b 的解集是 x ＜ b a - 3，那么 a 的取值范围是________.限制条件的解1.不等式 3(x －2)≤x +4 的非负整数解有几个.（） A.4 B.5C.6D.无数个2.不等式 4x － A.11 11< x + 的最大的整数解为（ ） 4 4B.0C.－1D.不存在含绝对值不等式1. 不等式|x |< 7 3的整数解是________.不等式|x |<1 的解集是________.分类讨论1.已知 ax ＜2a (a ≠0)是关于 x 的不等式，那么它的解集是( )A.x ＜2B.x ＞－2C.当 a ＞0 时，x ＜2D.当 a ＞0 时，x ＜2;当 a ＜0 时，x ＞2不等式的性质及应用y1. 若 x ＋y ＞x －y ，y －x ＞y ，那么（1） ＋y ＞0， 2）y －x ＜0， 3）xy ≤0,（4） ＜0 中，正确结论的序号为________。
x2.（2010 四川乐山）下列不等式变形正确的是（）(A)由 a ＞ b ，得 a - 2 ＜ b - 2 (B)由 a ＞ b ，得 - 2a ＜ - 2b (C)由 a ＞ b ，得 a＞ b(D)由 a ＞ b ，得 a 2 ＞ b 2依据题意列不等式1.当 x_______时,代数式 2x －5 的值不大于 0.2 －1＞x 与 ax －6＞5x 同解，试求 a 的值.⎩ 4 x + 3 y = p - 11 已知关于 x 的不等式 2＜ (1 - a) x 的解集为 x ＜ 2⎧2.当 x ________时，代数式x + 3 5x - 1-2 6的值是非负数. 3.当代数式 x 2－3x 的值大于 10 时，x 的取值范围是________.1 14.已知 x 的 与 3 的差小于 x 的－ 与－6 的和，根据这个条件列出不等式.你能估计出它的解集吗？2 2已知解集求范围1.关于 x 的方程 5－a(1－x)＝8x －(3－a)x 的解是负数，则 a 的取值范围是()A 、a ＜－4B 、a ＞5C 、a ＞－5D 、a ＜－52.已知－4 是不等式 ax ＞9 的解集中的一个值，试求 a 的取值范围.3.已知不等式 x4.如果关于 x 的不等式－k －x ＋6＞0 的正整数解为 1，2，3，正整数 k 应取怎样的值？5.不等式 a (x －1)>x +1－2a 的解集是 x <－1,请确定 a 是怎样的值.⎧3x + 2 y = p + 1, 6．已知关于 x ，y 的方程组 ⎨的解满足 x ＞y ，求 p 的取值范围．7.若关于 x 的方程 3x +2m =2 的解是正数，则 m 的取值范围是（）A.m >1B.m <1C.m ≥1D.m ≤1字母不等式1 - a ，则 a 的取值范围是（A ． a ＞0B. a ＞1C. a ＜0D. a ＜1）．2（2010 山东泰安）若关于 x 的不等式 ⎨x - m < 0 ⎩7 - 2 x ≤ 1的整数解共有 4 个，则 m 的取值范围是（）A ． 6 < m < 7B ． 6 ≤ m < 7C ． 6 ≤ m ≤ 7D ． 6 < m ≤ 73 关于 x 的方程 kx - 1 = 2 x 的解为正实数，则 k 的取值范围是．⎩ x > k 6 等式组 ⎨的解集是 x ＞2，则 m 的取值范围是( )．x > m + 18 k 满足______时，方程组 ⎨⎧x + y = 2k , x -y = 4 10 已知方程组 ⎨x + 2 y = 1 - m ②⎩ 2 x + y = -5⎩ 2 x + y = 2k + 1⎩ x - 2 > 05.关于 x 的不等式组 ⎨的整数解共有 5 个，求 a 的取值范围． 3 - 2 x > -1{3 x + 2 y = p + 14 已知关于 x ，y 的方程组 4 x + 3 y = p -1 的解满足 x ＞y ，求 p 的取值．⎧1 < x ≤ 2,5 若不等式组 ⎨(A)k ＜2有解，则 k 的取值范围是( )．(B)k ≥2 (C)k ＜1 (D)1≤k ＜2⎧x + 9 < 5x + 1,⎩(A)m ≤2 (B)m ≥2 (C)m ≤1 (D)m ≥1 7 知(x －2)2＋｜2x －3y －a ｜＝0，y 是正数，则 a 的取值范围是______．⎩ 中的 x 大于 1，y 小于 1．9 若 m 、n 为有理数，解关于 x 的不等式(－m 2－1)x ＞n ．强化练习题⎧2 x + y = 1 + 3m , ① ⎩的解满足 x ＋y ＜0，求 m 的取值范围．1.当 2(k - 3) < 10 - k k ( x - 5)时，求关于 x 的不等式 > x - k 的解集．3 4⎧3x - 5 y = k , 2.当 k 取何值时，方程组 ⎨的解 x ，y 都是负数．⎧x + 2 y = 4k , 3.已知 ⎨中的 x ，y 满足 0＜y －x ＜1，求 k 的取值范围．⎧3x - 4 ≥ a, 4.已知 a 是自然数，关于 x 的不等式组 ⎨的解集是 x ＞2，求 a 的值．⎧x - a ≥ 0,⎩7.已知关于 x ，y 的方程组 ⎨的解为正数，求 m 的取值范围． x - y = 4m - 3⎧ x + 15 8.若关于 x 的不等式组 ⎪⎪ ⎪ 2 x + 2 < x + a ⎩⎪ + a ≥2⎧ ⎩ x > m + 2 的解集是 x > -1 ，则 m =⎧⎧ 学习必备欢迎下载6.k 取哪些整数时，关于 x 的方程 5x ＋4＝16k －x 的根大于 2 且小于 10?⎧x + y = 2m + 7,⎩⎨ ⎪32 > x - 3, 只有 4 个整数解，求 a 的取值范围．⎧ x 9.（2009 年山东烟台）如果不等式组 ⎨ 2的解集是 0 ≤ x < 1 ，那么 a + b 的值为 ．⎪⎩2 x - b < 310.（2009 年湖北恩施）如果一元一次不等式组 ⎨ x > 3⎩ x > a的解集为 x > 3 ．则 a 的取值范围是( )A ． a > 3B ． a ≥ 3C ． a ≤ 3D ． a < 3⎧ x + a ≥0,11.（2009 湖北荆门）若不等式组 ⎨有解，则 a 的取值范围是（ ）⎩1 - 2 x > x - 2A ． a > -1B ． a ≥ -1C ． a ≤1D ． a < 112.（2009 年湖北孝感）关于 x 的不等式组 ⎨ x > m - 1．13.（2009 年湖南长沙）已知关于 x 的不等式组 ⎨ x - a ≥0，只有四个整数解，则实数 a 的取值范围是 ．⎩5 - 2 x > 1。