一元一次方程的应用--行程问题
一元一次方程的应用——行程问题
一元一次方程的应用——路程问题
一、直线型相遇
1、某公路的干线上有相距108千米A．B两个车站，某日16时整，甲、乙两辆汽车分别从A、B两站同时出发，相向而行。
已知甲车速度为45千米/小时，乙车速度为36千米/小时，则两车相遇时间为（）
A . 16时20分 B. 17时20分 C. 17时30分 D. 16时50分
2、甲乙两人骑自行车，同时从相距45千米的两地相向而行，经过2小时两人相遇，已知甲比乙每小时多走2.5千米，求两人每小时各走多少千米？
二、直线型追及
3、甲乙两人骑自行车和摩托车都从A地到B地，甲每小时行18千米，甲出发2小时后乙才出发，结果乙用了3小时追上甲，则乙每小时走_________________km.
4、某中学组织学生到校外参加义务植树活动。
一部分学生骑自行车先走，速度为9千米/小时；40分钟后其余学生乘汽车出发，速度为45千米/小时，结果他们同时到达目的地。
目的地距学校多少千米？
三、环形跑道型相遇与追及
5、一条环形跑道长400米，甲练习骑自行车，平均每分钟行550米，乙练习跑步，平均每分钟跑250米.两人同时同地出发。
（1）若两人背向而行，则他们经过多长时间首次相遇？
（2）若两人同向而行，则他们经过多长时间首次相遇？
四、列车型相遇与追及
6、甲列车长120米，车速为60千米/小时,乙列车长130米，车速为40千米/小时。
（1）两车同向而行，当甲列车车头追上乙列车车尾后又经过多长时间两车离开？
（2）两车相向而行，当两车相遇后又经过多长时间两车离开？。
一元一次方程的应用---顺、逆流(风)行程问题
顺水的速度=静水中的速度+水流的速度 逆水的速度=静水中的速度–水流的速度
问题：本题的等量关系是什么?
顺流行驶的路程=逆流行驶的路程
设船在静水中的平均速度为 x km/h，
（ x-24） 则顺风速度为 ______ km/h，逆风速度为 ______ km/h,由 （ x+24） 题意得
2.8(x+24)=3(x-24)
解得： x=696
所以 3(x-24)=3×(696-24)=2016 答:无风时这架飞机在这一航线的平均航速为 696 km/h， 两机场之间的航程为 2016 km.
顺流(风)速度×顺流(风)时间＝逆流(风)速度×逆流(风)时间
【练习题2】在风速为 24 km/h的条件下， 一架飞机顺风从A城市飞到B城市要用 5.5 h， 它逆风飞行同样的航线要用 6 h，求A、B两 设间接未知数 城市之间的航程.
反思小结：
1、通过这节课的学习，你有什么收获？
2、在解决顺、逆流（风）行程问题方面 你获得了哪些经验？这些问题中的相等关 系有什么特点？
解：设船在静水中的平均速度为 x km/h，则顺流速
度为 ______km/h ，逆流速度为 ______km/h, 由题意得 （ x+3） （ x-3）
2(x+3)=2.5(x-3)
去括号，得 2x+6=2.5x-7.5 移项，得
2x-2.5x=-7.5-6
合并同类项，得 0.5x= 13.5
系数化为1，得 x=27. 答：船在静水中的平均速度为 27 km/h.
一元一次方程应用题------行程问题
基本的数量关系： 路程＝速度×时间要特别注意：（1）路程、速度、时间的对应关系（即在某段路程上所对应的速度和时间各是多少）（2）在列方程时候，时间单位和路程单位一定要与速度单位一致1、甲、乙二人相向相遇问题⑴甲走的路程＋乙走的路程＝总路程 ⑵二人所用的时间相等或有提前量2、甲、乙二人中，慢者所行路程或时间有提前量的同向追击问题⑴甲走的路程－乙走的路程＝提前量 ⑵二人所用的时间相等或有提前量3、单人往返⑴ 各段路程和＝总路程 ⑵ 各段时间和＝总时间 ⑶ 匀速行驶时速度不变4、行船问题与飞机飞行问题⑴ 顺水速度＝静水速度＋水流速度 ⑵ 逆水速度＝静水速度－水流速度5、考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析，一切就一目了然。
6、时钟问题：⑴通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。
常用数据：① 时针的速度是0.5°/分 ② 分针的速度是6°/分 ③ 秒针的速度是6°/秒一、一般行程问题（相遇与追击问题）例题1：某人从家里骑自行车到学校。
若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？解：等量关系 ⑴ 速度15千米行的总路程＝速度9千米行的总路程⑵ 速度15千米行的时间＋15分钟＝速度9千米行的时间－15分钟方法一：设预定时间为x 小/时，则列出方程是：15（x －0.25）＝9（x ＋0.25）方法二：设从家里到学校有x 千米，则列出方程是：60159601515-=+x x例题2、一列火车匀速行驶，经过一条长300m 的隧道需要20s 的时间。
隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s ，根据以上数据，你能否求出火车的长度？火车的长度是多少？若不能，请说明理由。
解：方法一：设这列火车的长度是x 米，根据题意，得1020300x x =+ x ＝300 答：这列火车长300米。
一元一次方程应用题——行程问题
1. 某人从家里骑自行车到学校。
假设每小时行15千米，可比预定的时间早到15分钟；假设每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？2.在800米跑道上有两人练中长跑，甲每分钟跑320米，乙每分钟跑280米，•两人同时同地同向起跑，t分钟后第一次相遇，t等于多少分钟．3.一列客车长200 m,一列货车长280 m,在平行的轨道上相向行驶,从两车头相遇到两车尾相离经过16秒,客车与货车的速度之比是3∶2,问两车每秒各行驶多少米?4.一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时40分钟，逆风飞行需要3小时，求两城市间距离？5.轮船在静水中的速度是20千米/小时，从甲港顺流到乙港需8小时，返航时行走了6小时在距甲港68千米处发生故障，求水流速度？6.甲、乙两站相距280千米，一列慢车从甲站出发，每小时行驶60千米，一列快车从乙站出发，每小时行驶80千米，问两车同时开出，相向而行，出发后多少小时相遇？7.甲、乙两列火车，长为144米和180米，甲车比乙车每秒钟多行4米，两列火车相向而行，从相遇到错开需要9秒钟，问两车的速度各是多少？8.甲、乙两人分别同时从相距300米的A、B两地相向而行，甲每分钟走15米，乙每分钟走13米，问几分钟后，两个相距20米？9.甲乙两人骑自行车,从相距42千米的两地相向而行,甲每小时走12千米,乙每小时走10千米,如甲走12分钟后乙再出发,问甲出发后几小时与乙相遇?10.小红和小军两人同时从各自的家里出发去找对方，两家的直线距离为1200米，小红每分走55米，两人最后用61小时在途中某点相遇，那么小军每分钟走多少米？11.A 、B 两地相距80米，甲从A 地出发，每秒走1米，乙从B 地出发每秒走1.5米，如甲先走15米，求乙出发后多少秒与甲相遇？12.某汽车和电动车从相距298千米的两地同时出发相对而行，汽车的速度比电动车速度的6倍还多15千米，半小时后相遇。
初一数学一元一次方程的应用——行程问题
初一数学一元一次方程的应用——行程问题行程问题与一元一次方程的联系行程问题，属于一类所谓的“线性优化问题”，是一元一次方程的一种特殊应用。
基本的行程问题涉及求解一趟行程的最短时间，最短路径或者最少的花费，有时候它还要考虑动态的变化因素。
一元一次方程系统也可以用来求解行程问题，例如每一段路径的路程量，行驶时间和费用等信息。
行程问题是一类让人们在最短的时间内从一个地方到达另外一个地方的问题。
使用一元一次方程为基础，可以寻求一条比较理想的行程，并且它的路程总耗费也最少。
例如，有一位旅行者从广州出发，要到深圳终点，当用一元一次方程来研究其中的路途，就会发现它可以比较快地确定一条比较最优的行程。
因此，一元一次方程可以应用在行程问题上，可以让游客比较容易地求得一条有效最优行程。
接下来就看到一元一次方程在行程问题上有什么具体的应用案例：首先，当有一个普通的行程问题时，比如，要求从一个地点去往另一个地点的最短路程，可以将信息用一元一次方程来表达，再建立一个诸如“最大效益函数”之类的函数表达式，对于代价和时间权衡，求出一个最优目标点，以期获得最小耗费（或者各项费用权衡）和最短时间，使得游客可以以最快的时间内到达终点。
其次，在遇到一些动态变化的问题时，也可以利用一元一次方程来解决，比如，要在一段固定的时间里走最短的路径，可以先计算出各个路径的距离所花的费用，然后根据当前时速求解出走每一条路径所花的时间，再综合考虑各种因素，推算出一条最短的行程。
总而言之，一元一次方程可以用来求解行程问题，这样可以使游客更快地到达目的地，节省时间和金钱，也增加了出行的便利性。
希望大家再出游时多多利用一元一次方程来搜索最优行程，让出行更有效率，轻松愉快。
一元一次方程的应用——行程问题
一元一次方程的应用-----行程问题
例１：小明早晨要在7：20以前赶到距家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发．5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带历史作业，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他．
（1）爸爸追上小明用了多长时间？
（2）追上小明时，距离学校还有多远？
例２：甲、乙两站间的路程为450千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65千米，一列慢车从乙站开出，每小时行驶85千米．设两车同时开出，同向而行，则快车几小时后追上慢车？
例3：甲、乙两人相距280，相向而行，甲从A地每秒走8米，乙从B地每秒走6米，那么甲出发几秒与乙相遇？
例4：七年级一班列队以每小时6千米的速度去甲地.王明从队尾以每小时10千米的速度赶到队伍的排头后又以同样的速度返回排尾，一共用了7.5分钟，求队伍的长.
练习1：小兵每秒跑6米，小明每秒跑7米，小兵先跑4秒，小明几秒钟追上小兵？
练习2：甲骑摩托车，乙骑自行车同时从相距150千米的两地相向而行，经过5小时相遇，已知甲每小时行驶的路程是乙每小时行驶的路程的3倍少6千米，求乙骑自行车的
速度.
检测1：小华和小玲同时从相距700米的两地相对走来，小华每分钟走60米，小玲每分钟走80米．几分钟后两人相遇？
检测2：一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/小时的速度前进。
突然，1号队员以45千米/小时的速度独自行进，行进10千米后掉转车头，仍以45千米/小时的速度往回骑，直到与其他队员会合，1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了
多长时间？。
一元一次方程应用题——行程问题
行程问题【基本关系式】（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（2）基本类型①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距②追及问题：快行距－慢行距＝原距③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度顺速–逆速 = 2水速；顺速 + 逆速 = 2船速顺水的路程 = 逆水的路程注意：抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静水速）不变的特点考虑相等关系。
常见的还有：相背而行；环形跑道问题。
【经典例题】例1．甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？例2．某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。
A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程。
【专项训练】一、行程（相遇）问题A．基础训练1.小李和小刚家距离900米，两人同时从家出发相向行，小李每分走60米，小刚每分走90米，几分钟后两人相遇？2.小明和小刚家距离900米，两人同时从家出发相向行，5分钟后两人相遇，小刚每分走80米，小明每分走多少米？3.王强和赵文从相距2280米的两地出发相向而行，王强每分行60米，赵文每分行80米，王强出发3分钟后赵文出发，几分钟后两人相遇？4.两辆车从相距360千米的两地出发相向而行，甲车先出发，每小时行60千米，1小时后乙车出发，每小时行40千米，乙车出发几小时两车相遇？5.两村相距35千米，甲乙二人从两村出发，相向而行，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米，甲先出发1小时后，乙才出发，当他们相距9千米时，乙行了多长时间？6.甲乙二人从相距45千米的两地同时出发相向而行，甲比乙每小时多行1千米，5小时后二人相遇，求两人的速度。
3.2.2一元一次方程的应用-行程问题
4.甲乙二人同时从A地到B地，甲每分钟走250 米，乙每分钟走90米。甲到达B地后立即返回 A地，在离B地3.2千米处相遇。A、B两地之间 相距多少千米？
5．一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小 时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时。 已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平 均速度？
3.甲、乙两地相距180km,一人骑自行车从甲地 出发每时行15 km；另一人骑摩托车从乙地同 时出发，两人相向而行，已知摩托车车速是自 行车车速的3倍，问多少时间后两 人相遇？
2．甲乙两艘轮船分别从A、B两港同时出发相 向而行，甲船每小时行驶18千米，乙船每小时 行驶15 千米，经过6 小时两船在途中相遇．两 地间的水路长多少千米？
3．甲乙两人分别从相距24 千米的两地同时向东 而行，甲骑自行车每小时行13 千米，乙步行每 小时走5 千米．几小时后甲可以追上乙？
4．甲、乙两沿运动场的跑道跑步，甲每分钟跑 290 米，乙每分钟跑270 米，跑道一圈长400 米．如果两人同时从起跑线上同方向跑，那么 甲经过多长时间才能第一次追上乙？
1、甲乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲车 每小时行56千米，乙车每小时行48千米。两车在 距中点32千米处相遇。东西两地相距多少千米？
2、小玲每分钟行100米，小平每分钟行80米， 两人同时从学校和少年宫相向而行，并在离中 点120米处相遇，学校到少年宫有多少米？
3.汽车从甲地开往乙地，每小时行32千米，4小 时后，剩下的路比全程的一半少8千米，如果改 用每小时56千米的速度行驶，再行几小时到乙地？
3.2.2一元一次方程的应用 ——行程问题
Байду номын сангаас
列方程解应用题的一般步骤： 1.弄清题意和题中的数量关系，用字母（如 x,y）表示问题里的未知数； 2.分析题意,找出相等关系(可借助于示意图、 表格等)； 3.根据相等关系，列出需要的代数式，并列出 方程； 4.解这个方程，求出未知数的值； 5.检查所得的值是否正确和符合实际情形，并 写出答案(包括单位名称)
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用一元一次方程分析和 解决实际问 本过程如下:
实际问题
抽象 数学问题 分析
已知量,未 知量,等量 关系
实际问题答案
合理
列出
解的合理性 验证 方程的解 求出 一元一次方程Biblioteka 一、明确行程问题中三个量的关系
三个基本量关系是：速度×时间=路程 引例：从甲地到乙地，水路比公路近40千米，上午十 时，一艘轮船从甲地驶往乙地，下午1时一辆汽车从甲地
依题意得： 5x – 3x = 280 + 200
x=240 5x = 1200，3x = 720
设两车相向行驶的交叉时间为y分钟。
依题意得： 1200y+720y= 280 + 200
y=0.25
小结： 行程问题包括相遇、追击和飞行、航行的速度问题
其基本关系是：路程=时间×速度 相遇问题的等量关系：甲行距离+乙行距离=总路程 追击问题的等量关系： 1）同时不同地 ： 慢者行的距离+两者之间的距离=快者行的距离 2）同地不同时： 甲行距离=乙行距离 或 慢者所用时间=快者所用时间+多用时间
解：等设米量甲。关的甲系速2：0度分甲为钟行每走的分了路钟2程0xx－米米乙，，行乙则的2乙0路分的程钟速=走度环了为形每20周(分40长0钟 24x0)02米2x
2
依题意得： 20x 20(400 2x) 400
x=110
2
答：甲速为每分钟110米，乙速为每分钟90米。
注：同时同向出发：
快车走的路程－环行跑道周长=慢车走的路程(第一次相遇
顺水逆水的问题的等量关系：
1）顺水的路程 = 逆水的路程
2）顺速 – 逆速 = 2水速；顺速 + 逆速 = 2船速
• 列车问题：1、在双轨铁道上，有两列 火车，都是250m长，其中快车速度 45km/h，慢车速度30km/h.
• （1）相向而行，那么这两车车头相 遇到最后一节车厢的车尾相离一共需 要多少秒？
3）若两车相向而行，慢车先开出1小时，再用多少时间
两车才能相遇？ 4）若两车相向而行，快车先开25分钟，快车开了几小时
与慢车相遇?
5）两车同时同向而行（快车在后面），几小时后快车
可以追上慢车？ 6）两车同时同向而行（慢车在后面），几小时后两车相
距200公里？
敌军在早晨5时从距离我军7 千米的驻地开始逃跑，我军发现 后立即追击，速度是敌军的1.5倍 ，结果在7时30分追上，我军追击 速度是多少？
驶往乙地，结果同时到达终点。已知轮船的速度是每小时 24千米，汽车的速度是每小时40千米，求甲、乙两地水路 、公路的长，以及汽车和轮船行驶的时间？
解：设水路长为x千米，则公路长为（x+40）千米
等量关系：船行时间－车行时间=3小时 依题意得： 1 x x 40 3
24 40 x=240
x+40=280,
解2 设汽车行驶时间为x小时，则轮船行驶时间为 （x+3）小时。
等量关系：水路－公路=40
依题意得： 40x －24（x+3）= 40
x=7
7+3=10
40×7=280 24 ×10=240
答：汽车行驶时间为7小时，船行时间为10小时，
公路长为280米，水路长240米。
一、相遇问题的基本题型
1、同时出发（两段） 2、不同时出发 （三段 ） 二、相遇问题的等量关系
• （2）同向而行，那么快车的车头与 慢车的车尾相遇直到完全错开一共需 要多少秒？
• 跟踪练习1：甲、乙两列火车的 长分别为144m和180m，甲车 比乙车每秒多行4m，两列车
相向而行，从相遇到全部错开 需要9s，问两列车速度各是多 少？
•能力提升2：甲乙两人分手后
，沿着铁轨反向而行，此时，
一列火车匀速地向甲迎面驶来 ，列车在甲身旁开过用了15秒 ，然后在乙身旁开过用了17秒
280 7, 240 10 40 24
答：水路长240千米，公路长为280千米，车行时间为
7小时，船行时间为10小时
引例：从甲地到乙地，水路比公路近40千米，上午十 时，一艘轮船从甲地驶往乙地，下午1时一辆汽车从甲地 驶往乙地，结果同时到达终点。已知轮船的速度是每小时 24千米，汽车的速度是每小时40千米，求甲、乙两地水路 、公路的长，以及汽车和轮船行驶的时间？
)
同时反向出发：
练习：1、两地相距28公里，小明以15公里/小时的速度。小 亮以30公里/小时的速度，分别骑自行车和开汽车从同一 地 前往另一地，小明先出发1小时，小亮几小时后才能 追上小明？
解：设小亮开车x 小时后才能追上小明，则小亮所行路 程为30x公里，小明所行路程为15（x+1）
等量关系：小亮所走路程=小明所走路程 依题意得：30x=15（x+1） x=1
运动场一圈为400米，张 森和丁烁然一同参加学校运动 会的长跑比赛。已知丁烁然平 均每分钟跑230米，张森每分 钟跑150米，两人从同一处听 枪同向起跑，问经过多长时间 两人可以首次相遇？
2、甲、乙两人环绕周长是400米的跑道散步，如果两人从 同一地点背道而行，那么经过2分钟他们两人就要相遇。 如果2人从同一地点同向而行，那么经过20分钟两人相 遇 。如果甲的速度比乙的速度快，求两人散步的速度？
解：设小王追上连队需要x小时，则小王行驶的路程为 14x千米，连队所行路程是 (6 18 6x) 千米 60 等量关系：小王所行路程=连队所行路程
依题意得：14x 6 18 6x
x 9 60
9
40
小时 13.5分钟<15分钟
40
答：小王能在指定时间内完成任务。
2.小明每天早上要在7:20之前赶到 距家1000米的学校上学，一天，小 明以80米/分的速度出发,5分后,小 明的爸爸发现他忘了带语文书，于 是,爸爸立即以180米/分的速度去追 小明，并且在途中追上了他。
10X = 5X + 4×0.5
解得 X = 0.4
答：哥哥要0.4小时才可以把作业送到
家
学校
追 及 地
若哥哥恰好准时 送到作业，（明 明的速度仍然为 4千米/时）
问：哥哥的速度 为多少？
例：甲、乙两地相距162公里，一列慢车从甲站开出，每 小时走48公里，一列快车从乙站开出，每小时走60公里 试问： 1）两列火车同时相向而行，多少时间可以相遇 ？2）两车同时反向而行，几小时后两车相距270公里？
(1)爸爸追上小明用了多长时间?
(2)追上小明时，距离学校还有多 远?
例 一列客车和一列货车在平行的轨道上同向行驶， 客车的长是200米，货车的长是280米，客车的 速度与货车的速度比是5 ：3，客车赶上货车的 交叉时间是1分钟，求各车的速度；若两车相向 行驶，它们的交叉时间是多少分钟？
解：设客车的速度是5x米/分， 则货车的速度是3x米/分。
s甲 s乙 s总
s先 s甲 s乙 s总
一、追及问题的基本题型
1、不同地点同时出发 2、同地点不同时出发 二、追及问题的等量关系
1、追及时快者行驶的路程－慢者行驶的路程＝相距的 路程
2、追及时快者行驶的路程＝慢者行驶的路程或 慢者所用时间=快者所用时间+多用时间
若明明以每小时4千米的速度行驶 ，半小时后哥哥骑车以每小时10千 米追赶，同时明明怕迟到速度增加 1千米。 问哥哥需要多长时间才可以送到作业？ 解：设哥哥要X小时才可以送到作业
则小明共走了2小时，共走了2×15=30公里
检验：两地相距28公里，在两地之间，小亮追不上小明 答：在两地之间，小亮追不上小明
例 某连队从驻地出发前往某地执行任务，行军速度是 6千米/小时，18分钟后，驻地接到紧急命令，派遣 通讯员小王必须在一刻钟内把命令传达到该连队， 小王骑自行车以14千米/小时的速度沿同一路线追赶 连队，问是否能在规定时间内完成任务？
，已知两人步行速度都是 3.6km/h，这列火车多长？
一元一次方程的应用--行 程问题
2020/8/31
运用方程解决实际问题的一般过程是什么？
1、审题：分析题意，找出题中的数量及
其关系；审
2、设元：选择一个适当的未知数用字母表
示（例如x）；设
3、列方程：根据相等关系列出方程；列
4、解方程：求出未知数的值；解
5、检验：检查求得的值是否正确和符合
实际情形，并写出答案。验