高中数学函数(值域二次函数)教案新人教版必修1
人教版必修1函数的概念教案(第一课时)
1.2.1 函数的概念第一课时一，教材的地位与作用函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。
高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言来刻画函数，函数的思想方法将贯穿于高中数学课程的始终。
函数的概念是抽象概括出的概念，通过大量的实例，培养学生从“特殊到一般”的综合归纳的能力，培养学生分析问题的能力，引导学生如何发现事物的本质，如何找到问题的突破口来解决问题。
二，教学目标1，知识与技能：（1）理解函数的概念及其符号表示，能够辨别函数的例证和反例（2）会求简单函数的定义域与值域（3）掌握构成函数的三要素，学会判别两个函数是否相等，理解函数的整体性2，过程与方法：（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）通过函数概念学习的过程，培养学生从“特殊到一般”的分析问题能力以及抽象概括能力3，情感态度与价值观让学生体会现实世界充满变化，感受数学的抽象概括之美。
三，教学重点与难点1，教学重点：函数的概念，构成函数的三要素2，教学难点：函数符号y=f(x)的理解四，教学方法分析1，教法分析：遵循建构主义观点的教学方式，即通过大量实例，按照从“特殊到一般”的认识规律，提出问题，大胆猜想，确定方向分组研究尝试验证，归纳总结，通过搭建新概念与学生原有认识结构间的桥梁，使学生在心理上得到认同，建立新的认识结构。
2，学法分析：倡议学生主动观察，积极思考，提出问题，大胆猜测，从而自主归纳小结。
在学习中培养自我的从“特殊到一般”的分析问题能力，感受数学的抽象概括之美。
五、教学过程1，复习回顾回顾初中所学函数（如一次函数y=ax+b a≠0等）及函数的概念：（传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量）；指出用函数可以描述变量之间的依赖关系；强调函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。
高中数学 第二章《函数》学案 新人教B版必修1
必修1函数复习 学案知识点解读：1、函数的定义、表示法：2、单调性：会用定义判断或证明函数的单调性 3、奇偶性：（1）奇函数在x=0时有定义，则必有f （0）=0 （2）偶函数f （x ）必有f （-x ）=f （x ）= f （︱x ︱） （3）会用定义证明、判断函数的奇偶性4、反函数：基础达标：1、设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n+2，则在映射f 下，象20的原象是 （A ）2（B ）3（C ）4（D ）52、函数xx x f -+=11)(的定义域为A ，函数)]([x f f y =的定义域为B ，则（A ）B B A = （B ）B A ⊆ （C ）B B A =（D ）B A =3、若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点 (A))1,4(-(B))4,1(--(C))1,4(--(D))4,1(-4、已知函数)(x f y =的反函数)(1x f-的定义域为]1,0[，那么函数))((R m m x f y ∈+=的值域是（A ）]1,[m m -- （B ）]0,1[- （C ）]1,0[ （D ）R5、已知函数1)()(32+-+=x a a ax x f 在]1,(--∞上递增，则a 的取值范围是 （A ）3≤a （B ）33≤≤-a （C ）30≤<a （D ）03<≤-a6、已知二次函数c x b a ax x f +++=)()(22的图像开口向上，且1)0(=f ，0)1(=f ，则实数b 取值范围是 (A) ]43,(--∞ (B) )0,43[-(C) ),0[+∞ (D) )1,(--∞参考答案1.C2.B3.B4.C5.D6.D能力提高：1．设()124+-=x x x f ，则()=-01f________2．函数),(1R x mx y ∈+=与)(2R n n x y ∈-=互为反函数的充要条件是___________3．若点)41,2(既在函数bax y +=2的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =__________________，b =_________________。
函数的定义域与值域教案
函数的定义域与值域教学设计课题:函数的定义域和值域学科:数学授课教师: 数理19.4胡家华教材:高中必修1第一章第2节一、教学目标:1、知识目标:了解函数定义域和值域的定义，熟悉掌握简单函数定文域和值域的求法，会求抽象函数的定义域2、能力目标提高学生对函数工定义域、值域及相关问题的解题能力和运算能力，使学生准确而快速地求出函数定义域和值域3、情感目标通过由易到难的知识点层层递进和对各类题解题思路解法的不断运用掌握来提高学生的信心，二、教学重难点:求函数的定义域和值域，求抽象函数的定义域三、教学方法1.通过知识回顾引出新课，用学生熟悉的知识快速将学生的思绪从课间带回到课堂上来，同时也便于同学们更快的接受新知识，理解新概念。
2.通过提问和互动，使学生集中注意力，跟上老师的思路在思考和回答的过程中更好的理解和掌握新知识。
3.通过竞赛式随堂练习题，促进学生积极思考问题在解题的过程中不断巩固新知，并且让学生主动回答问题，加深同学的印象，同时提升学生的自信心。
四、教学过程1.知识回顾函数的概念：设A、B为非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称 f：A B为从集合A到集合B的一个函数记作：y=f（x），x∈A（其中X叫做函数的：自变量y叫做函数的函数值）2．新课引入定义域的概念：使函数有意义的自变量的取值范围，叫做函数的定义域。
值域的概念：函数值的集合，就叫做值域（明确“域”即集合，求函数的定义域值域时要表示成集合的形式）思考：上述函数y=f（x）的定义域是多少？f 那么值域呢？是否为B ？讨论得出，定义域为A ，值域不一定为B例: A B A C通过这个例子得出；f ：A →B ，也可以表示成 ： f ：A →C即：函数：定义域 值域进而得出结论：（同时更好的理解定义域与值域的概率）函数的三要素：定义域、对应关系、值域俩个函数相等即：俩个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致。
二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时)教案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）教材分析本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第3节《二次函数与一元二次方程、不等式》第１课时。
从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸，同时它也与一元二次方程、二次函数之间联系紧密，涉及的知识面较多。
从思想层面看，本节课突出体现了数形结合思想。
同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具，因此本节课在整个中学数学中具有较重要的地位和作用。
学情分析学生在初中已经学习了一元一次不等式、一元二次方程和二次函数的相关知识，对不等式的性质有了初步了解，但因我校学生基础普遍较差，逻辑推理和抽象思维能力仍需提高，还需依赖具体形象的内容理解抽象的逻辑关系。
教学目的1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；2. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3.培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
教学重点一元二次不等式的解法教学难点理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系教学过程一、情境导入问题园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为（１２－x）ｍ．由题意，得:（１２－x）x＞２０（０＜x＜１２）整理得x２－１２x＋２０＜０（０＜x＜１２）。
①求得不等式①的解集，就得到了问题的答案。
思考：类比一元一次不等式，这个不等式有什么特点？能否给这类不等式起个名字，并写出它的一般形式？由此导出课题。
一元二次不等式的定义：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0 或ax2+bx+c<0 ，其中a，b，c均为常数，a≠0.思考：为什么要规定a≠0？二、探索新知探究1：回顾一次函数与一元一次方程、不等式的关系请学生画出一次函数y=2x-6的图象，并回答下列问题：1.函数y=2x-6与x轴的交点为；2.方程2x-6=0的根为；3.不等式2x-6>0的解为；4.不等式2x-6<0的解为；师生完成上述问题后小结：三个“一次”的关系。
高中数学第二章函数2.2一次函数和二次函数学习导航学案新人教B版必修1
2.2 一次函数和二次函数自主整理(1)定义:函数y=kx+b(k≠0)叫做一次函数,又叫线性函数;它定义域为R ,值域为R .(2)性质:①函数改变量y 2-y 1与自变量改变量x 2-x 1比值等于常数k;k 大小表示直线与x 轴倾斜程度; ②当k>0时,一次函数为增函数,当k<0时,一次函数为减函数;③当b=0时,一次函数为正比例函数,是奇函数;当b≠0时,一次函数既不是奇函数也不是偶函数;④直线y=kx+b(k≠0)与x 轴交点为(kb -,0),与y 轴交点为(0,b).(1)定义:函数y=ax 2+bx+c(a≠0)叫做二次函数,它定义域为R .(2)性质:①函数图象是一条抛物线,它顶点坐标为(a b 2-,),它对称轴为x=ab 2-. ②当a>0时,抛物线开口向上,函数在x=a b 2-处取得最小值,在区间(-∞,a b 2-］上是减函数,在区间［ab 2-,+∞)上是增函数. ③当a<0时,抛物线开口向下,函数在x=a b 2-处取得最大值,在区间［a b 2-,+∞)上是减函数,在区间(-∞,ab 2-］上是增函数. ④当二次函数图象对称轴与y 轴重合即b=0时二次函数为偶函数,否那么既不是奇函数也不是偶函数.⑤在y=ax 2(a≠0)中,假设a>0,a 越大,抛物线开口越小,a 越小,抛物线开口越大;反之,假设a<0,a 越大,抛物线开口越大,a 越小,抛物线开口越小.总之,y=ax 2(a≠0)中,假设|a|越大,抛物线开口越小,|a|越小,抛物线开口越大.(3)三种形式:①一般式:f(x)=ax 2+bx+c(a≠0),其中a 是开口方向与大小,c 是y 轴上截距,而a b 2-是对称轴.②顶点式(配方式):f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)是抛物线顶点坐标.h=ab 2 ,k=. ③两根式(因式分解):f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(a≠0),其中x 1、x 2是抛物线与x 轴两个交点横坐标.如果知道一个函数一般形式,可先把所求函数写为一般形式,其中系数待定,然后再根据题设条件求出这些待定系数,这种通过求待定系数来确定变量之间关系式方法称为待定系数法. 高手笔记1.常数函数是较为特殊函数,原因在于在函数解析式y=b 中没有出现自变量x.其实常数函数就是一个多对一映射.注意:当a=0时,函数y=ax 2=0是一个常数函数,其图象即为x 轴.2.式子x=a(a 是一固定常数)虽然含有x,但不能称其为函数,原因在于一个x 对应无穷多个y,不符合函数定义,应将其与y=b 区别开来.3.二次函数是重要根底函数,必须作为重点内容来掌握.应从解析式、定义域、值域、图象、单调性、奇偶性几个方面内容进展把握.4.解决二次函数问题一定要牢牢树立数形结合思想,通过对函数图象分析寻找解决问题思路和分类讨论依据.名师解惑1.如何认识与理解常数函数？剖析:要全面认识一个函数,主要从解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性等五个方面来认识,对于常数函数:解析式:当k=0时,y=kx+b 就变成了y=b,这就是常数函数解析式,其中b 是某一固定常数.这个解析式特点在于没有出现自变量x,这也是许多同学对常数函数感到难于理解原因.定义域:自变量x 可以取任意实数.解析式中没有出现x,说明解析式对x 没有要求,可以取任意实数.值域:常数函数值域为{b}.常数函数只有一个函数值b,就是说不管自变量怎么取值,都对应同一个函数值b.图象:因为不管自变量x 取什么值都对应一个函数值b,所以函数图象是平行于x 轴水平直线(特殊情况是x 轴).单调性:因为函数值是固定常数b,没有增减变化,函数图象也是一条水平直线,没有起伏变化,所以常数函数在定义域上没有单调性.奇偶性:定义域为R ,并且f(-x)=f(x)=b,所以一定是偶函数.如果b=0那么既是奇函数又是偶函数.2.如何由函数y=x 2图象变化得到函数y=a·x 2(a≠0)图象？又如何由函数y=ax 2(a≠0)图象变化得到y=a(x+h)2+k(a≠0)图象？再如何由函数y=ax 2(a≠0)图象得到函数y=ax 2+bx+c(a≠0)图象？剖析:(1)二次函数y=a·x 2(a≠0)图象可由y=x 2图象各点纵坐标变为原来a 倍得到,而横坐标保持不变.(2)二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)可由y=ax 2(a≠0)图象向左(或向右)平移|h|个单位,再向上(或下)平移|k|个单位得到.(3)要得到二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)图象,先将其化为y=a(x+h)2+k(a≠0)形式,再通过y=ax 2(a≠0)图象上下左右平移得到.3.二次函数性质常见有哪些综合应用？剖析:(1)关于对称轴问题:假设二次函数f(x)满足f(t+x)=f(t-x),那么f(x)关于直线x=t对称,这一性质对于一般函数也适用.(2)关于二次函数在闭区间上最值问题:当a>0时,f(x)在区间［p,q ］上最大值为M,最小值为m,令x 0=21(p+q). 假设a b 2-<p,那么f(p)=m,f(q)=M; 假设p≤a b 2-<x 0,那么f(ab 2-)=m,f(q)=M; 假设x 0≤a b 2-<q,那么f(p)=M,f(ab 2-)=m; 假设a b 2-≥q,那么f(p)=M,f(q)=m. (3)关于二次方程f(x)=ax 2+bx+c=0实根分布问题:①方程f(x)=0两根中一根比r 大,另一根比r 小a·f(r)<0.②二次方程f(x)=0两根都大于r ⇔③二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根⇔讲练互动【例题1】方程ax-by+c=0(ab≠0)所对应一次函数,当a 、b 满足什么条件时函数为减函数 分析：首先将直线方程化为一次函数y=kx+b 形式,然后根据k>0时函数为增函数,k<0时函数为减函数,进而求得a 、b 所满足条件,即ab<0. 解：把ax-by+c=0整理,得y=b a x+bc , 要使得一次函数为减函数,那么b a <0,即只要a 、b 异号就可以了. 绿色通道处理一次函数问题常把解析式整理成标准形式,然后再求解.变式训练1.直线mx+(m-2)y=3(m≠2,m≠0)所对应一次函数,当函数为增函数时m 满足条件是( )A.0<mB.m<2C.0<m<2解析：把mx+(m-2)y=3整理,得y=x+,要使得一次函数为增函数,那么>0,即只要-m 、m-2同号就可以了,所以易得0<m<2. 答案：C【例题2】二次函数f(x)=ax 2+(2a-1)x+1在区间［23-,2］上最大值为3,求实数a 值. 分析：这是一个逆向最值问题,假设从求最值入手,需分a>0与a<0两大类五种情形讨论,过程烦琐不堪.假设注意到f(x)最值总是在闭区间端点或抛物线顶点处取到,因此先计算这些点函数值,再检验其真假,过程简明.解：(1)令f()=3,得a=21-. 此时抛物线开口向下,对称轴为x=-2,且-2［23-,2］,故a=21-不合题意. (2)令f(2)=3,得a=21,此时抛物线开口向上,对称轴为x=0,闭区间右端点2距离对称轴远些,故a=21符合题意. (3)假设f(23-)=3,得a=32-,此时抛物线开口向下,对称轴为x=47-,闭区间为单调减区间,所以a=-32符合题意. 综上,a=21或a=32-. 绿色通道此题利用特殊值检验法,先计算特殊点(闭区间端点、抛物线顶点)函数值,再检验其真假,思路明了、过程简洁,是解决逆向型闭区间二次函数最值问题一种有效方法.变式训练2.二次函数y=x 2+2ax-3,x∈［1,2］,试求函数最小值.分析：首先观察到函数图象过(0,-3),再考虑对称轴位置,由于对称轴在不同位置会出现不同结果,所以需要分三种情况讨论.解：y=x 2+2ax-3=(x+a)2-a 2-3,当-a∈(2,+∞),即a<-2时,此时函数在［1,2］上为减函数,故此时最小值为f(2)=4a+1; 当-a∈(-∞,1),即a>-1时,函数最小值为f(1)=2a-2;当-a∈［1,2］,即-2≤a≤-1时,函数最小值为f(-a)=-a 2-3.【例题3】二次函数图象过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点,求这个二次函数解析式.分析：是二次函数,且知三个点坐标,所以可以先设出二次函数解析式,用待定系数法求得.解：根据题意设这个二次函数解析式为y=ax 2+bx+c(a≠0),然后将图象所经过三个点坐标分别带入方程,联立三个方程,得解得故f(x)=23x 223-x+1. 绿色通道使用待定系数法解题根本步骤是第一步,设出含有待定系数解析式;第二步,根据恒等条件,列出含待定系数方程或方程组;第三步,解方程或方程组解出待定系数,使问题得到解决.变式训练3.假设f(x)为一次函数,且满足f ［f(x)］=1+2x,那么f(x)解析式为______.解析：f(x)为一次函数,可以使用待定系数法.设f(x)=kx+b,那么f ［f(x)］=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k 2x+kb+b,利用对应系数相等即可求得k=2-,b=2--1或k=2,b=2-1.答案：f(x)=2-x 2--1或f(x)=2x+2-14.〔2007黄冈第一次高三诊断试卷,17〕二次函数f(x)满足条件f(0)=1,及f(x+1)-f(x)=2x.(1)求f(x)解析式;(2)求f(x)在[-1,1]上最值.分析：此题求函数解析式根本方法仍然是待定系数法,但确定待定系数方法是根据代数式恒等对应项系数相等来确定.求函数在给定区间上最值时,要注意对称轴位置.解：(1)由f(0)=1,可设f(x)=ax 2+bx+1.那么由f(x+1)-f(x)=2x,可得2ax+a+b=2x.∴a=1,a+b=0,即b=-1.∴f(x)=x 2-x+1.(2)∵f(x)=x 2-x+1=(x 21-)2+43, 又x∈［-1,1］,∴当x=21时有最小值43,x=-1时有最大值3. 【例题4】二次函数f(x)=ax 2+bx+c,a∈N *,c≥1,a+b+c≥1,方程ax 2+bx+c=0有两个小于1不等正根,那么a 最小值为( )B.3C.4解析：由题意有由于方程有两个小于1不等正根,画图可知0<a b 2-<1,即b 2<4a 2. ∴4ac<b 2<4a 2,即a(a-c)>0.又a∈N *,且c≥1,∴a 最小值为2.答案：A绿色通道一般地,一元二次方程根分布情况问题往往从三个角度加以考虑:Δ符号,对称轴是否在区间内,端点函数值正负.变式训练2+2mx+2m+1=0.假设方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m 范围. 分析：二次方程根问题实质上是讨论二次函数图象与x 轴交点与坐标原点位置关系问题,因此,理解交点及二次函数系数(a ——开口方向,a 、b ——对称轴,c ——图象与y 轴交点)几何意义,掌握二次函数图象特点,是解决此类问题关键.解：条件说明抛物线f(x)=x 2+2mx+2m+1与x 轴交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=.65,21,,21056)2(024)1(02)1(012)0(m m R m m m f m f f m f ∴65-<m<21-. 教材链接1.［探索与研究］设一次函数y=5x-3,取一系列x值,使得每一个x值总是比前一个大2,然后计算对应y值,这一系列函数值之间有什么关系？对任意一个一次函数都有类似性质吗？答:对于一次函数y=5x-3,取一系列x值总是比前一个大2时,那么有与之对应每一个y值总是比前一个大10;对任意一个一次函数y=kx+b(k>0),假设取一系列x值总是比前一个大m 时(m为正整数),那么有与之对应每一个y值总是比前一个大mk.2.［探索与研究］结合课件1207,对一次函数性质进展探索.答:注意强调一次函数定义中一次项系数k≠0这一条件,当k=0时,函数为y=b,它不再是一次函数,它图象是一条与x轴平行直线,通常称为常值函数.函数值改变量y2-y1与自变量改变量x2-x1比值,称作函数x1到x2之间平均变化率,对一次函数来说它是一个常数,等于这条直线斜率.一次函数y=kx+b(k≠0)单调性与一次项系数正负有关,当k>0时,函数为增函数,当k<0时,函数为减函数.理由如下:设x1、x2是任意两个不相等实数,且x1<x2,那么Δx=x2-x1>0,所以Δy=f(x2)-f(x1)=(kx2+b)-(kx1+b)=k(x2-x1)=kΔx.当k>0时,kΔx>0,所以Δy>0,所以f(x)在R上是增函数;当k<0时,同理可证f(x)在R上是减函数.要准确地作出一次函数图象,只要找准图象上两个点即可,这两个点通常是找图象与坐标轴交点.3.［探索与研究］在同一坐标系中,作函数y=x2,y=(x+1)2,y=(x-1)2,y=x2+1,y=x2-1图象,研究它们图象之间关系.答:列表:x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …y=x2…9 4 1 0 1 4 9 …y=(x+1)2… 4 1 0 1 4 9 16 …y=(x-1)2…16 9 4 1 0 1 4 …y=x2+1 …10 5 2 1 2 5 10 …y=x2-1 …8 3 0 -1 0 3 8 …在同一坐标系中画出这五个图,如图2-2-1所示:图2-2-1通过图象,可知后四个图象都可以由y=x2通过左右上下平移得到,y=(x+1)2由y=x2向左平移一个单位得到;y=(x-1)2由y=x2向右平移一个单位得到,y=x2+1由y=x2向上平移一个单位得到,y=x 2-1由y=x 2向下平移一个单位得到.4.［探索与研究］二次函数y=ax 2+bx+c=a(x+a b 2)2+中a 、b 、c 对函数性质与图象各有哪些影响？ 答:二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)中系数a 、b 、c 决定着函数图象和性质.(1)二次项系数a 决定了函数图象开口方向、开口大小和单调性,当a>0时,开口向上,a 越大,开口越小,函数在对称轴两侧先减后增.当a<0时,开口向下,a 绝对值越大开口越小,函数在对称轴两侧先增后减.(2)b 是否为零决定着函数奇偶性.当b=0时,函数为偶函数;当b≠0且c≠0时,函数既不是奇函数也不是偶函数.(3)c 是否为零决定着函数图象是否经过原点.另外,a 和b 共同决定着函数对称轴,a 、b 和c 三者共同决定着函数顶点位置.5.［探索与研究］请同学们自己探索研究一下,给定哪些条件,才能求出一个具体二次函数.答:运用待定系数法求二次函数解析式时,一般可设出二次函数一般形式y=ax 2+bx+c(a≠0),但如果函数对称轴或顶点坐标或最值,那么解析式可设为y=a(x-h)2+k 会使求解比拟方便.具体来说:(1)顶点坐标为(m,n),可设为y=a(x-m)2+n,再利用一个独立条件求a;(2)对称轴方程x=m,可设为y=a(x-m)2+k,再利用两个独立条件求a 与k;(3)最大值或最小值为n,可设为y=a(x+h)2+n,再利用两个独立条件求a 与h;(4)二次函数图象与x 轴只有一个交点时,可设为y=a(x+h)2,再利用两个独立条件求a 与h.。
函数的概念(单元教学设计)高中数学人教A版2019必修第一册
《函数的概念及其表示》单元教学设计一、内容及其解析（一）内容1 函数的三个要素:定义域，值域，对应关系2 “对应说”的函数概念3 函数的表示法:解析法，图象法，表格法4 分段函数的概念及表示（二）内容解析1. 内容本质：两个数集之间建立对应关系(单射)是函数概念的本质，用集合语言和对应关系刻画函数概念是数学抽象素养得到提升的重要标志。
用解析式、图象与表格等不同方法表示函数，是进一步理解函数、认识函数对应关系f的重要过程，也是数学思维的重要特征。
2 蕴含的思想方法运用函数观察、研究事物的运动与变化及其规律是一种重要的思想，因此，函数思想自然是函数概念与表示教学中最重要的数学思想;在函数的表示中，函数不同表示法之间的转化渗透着数形结合的思想;同时，函数与方程、不等式之间的相互转化，蕴含着等价转化的思想。
3 知识知识的上下位关系:函数是数学的核心概念，是刻画客观世界中运动变化规律的重要数学模型。
在高中阶段，函数不仅贯穿数学学习的始终，而且是学习方程、不等式、数列、导数等内容的工具和基础，在物理、化学、生物等其它领域也有广泛的应用;在高等数学和实际应用中，函数是基本数学对象，是数学建模的重要模型。
4 育人价值：函数所蕴含的集合间的“对应”是一种重要的数学思想与方法，这种思想方法帮助人们在不同事物之间建立联系，并运用这种联系去研究、发现事物变化的规律，掌握事物本身的性质，这对于提高人们的思想认识，指导日常行为有着重要的意义与价值，函数的表示是数学表示的典范，除帮助人们提高抽象能力外，其本质也是建立具体函数到数学符号之间的对应，可以帮助学生进一步体会函数思想的本质，发展学生的数学抽象与直观想象素养.5 教学重点：实例归纳概括函数的基本特征，建立用集合与对应的语言刻画概念，选择适当的方法表示函数二、目标及其解析（一）单元目标1在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。
高中数学 专题二 函数的值域教案 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学教案
专题二：函数的值域【教学目标】初步掌握简单函数值域的求法.【重点难点】简单函数值域的求法.【教学过程】一、探索研究三类基本函数的定义域、值域：(1)一次函数f(x)=ax+b(a≠0)的定义域是_____,值域是_____(2)反比例函数f(x)=k x(k≠0)的定义域是___________,值域是_____.(3)二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)的定义域是_____,当a>0时,值域是________.当a<0时,值域是__________.二、教学精讲例1．求下列函数的值域:(1)①y=x+2 ②y=|x|-1 答案：①[2.+∞)；②[-1,+∞)求值域方法技巧小结: 法1:观察法,单调性法(2)①已知函数y=x 2-4x+6,在下列条件下分别求值域:(10)x {-1,0,1,3,4} (20)x R (30)x (1,5] 答案:①{3,6,11} ②[2,+∞)③[2,11]法2：与二次函数有关的值域,可用配方法.应用配方法求值域时要注意定义域. ②y=-x 2+x+2 答案:[0,32](3)y=3x-2x-1 答案:[43,+∞)法3:换元法: ①形如y=ax+b cx+d 的形式,可用换元法. ②令t=cx+d,转化为二次函数再求值域.③使用换元法要注意换元后变量的范围. (4)①y=2x+1x-3 ②y=x 2-1x 2+1 答案：①y≠2；②[-1,1)法4:分离常数法:①形如y=ax+b cx+d (c≠0)与y=af(x)+b cf(x)+d(c≠0)的值域可用此法. ②对于y=af(x)+b cf(x)+d(c≠0)的函数,f(x)的范围已知,可用分离常数法,也可用反解法.三、课堂练习求下列函数的值域1.y=52x 2-4x+32.y=2x-x-13.y=|x|-2|x|+2答案：1.(0,5]2.[158,+∞)3.[-1,1) 四、本节小结常见函数值域的求法:①__________②_________③_________ ④________**[选练]：1.已知 f(x)[38,49],求证y=f(x)+1-2f(x)的值域．答案:[79,78] 2.已知函数f(x)=ax+b x 2+1的值域为[-1,4],求实数a 、b 的值．答案:a=3,b=4【教学后记】。
高中数学第9讲幂函数与二次函数(教案)新人教版必修1
幂函数与二次函数教学目标：了解幂函数的概念，〔高考要求A 〕掌握二次函数的图像性质及其应用。
〔高考要求B 〕 教学重难点：幂函数的图像分布，常见幂函数的图像性质，二次函数的图像性质及其应用。
教学过程： 一、知识要点： 1．幂函数〔1〕幂函数的定义：形如f(x)=x α〔α为常量〕。
〔2〕幂函数的性质：所有幂函数在 〔0，+∞〕上都有意义，并且图像都过点 〔1，1〕。
〔3〕幂函数a y x =的图像分布及其性质：第一象限一定有图像且过〔1，1〕点，当幂函数偶函数时图像分布一二象限，奇函数时图像分布一三象限；第四象限一定无图像；第一象限图像的变化趋势：当0α<时，递 减，0α>递增，其中1α>时，递增速度越来越快，01α<<时递增速度越来越慢； 2 二次函数(1)二次函数的三种表示法y =ax 2+bx +c ;y =a (x －x 1)(x －x 2);y =a (x －x 0)2+n(2)基本性质：当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=21 (p +q )假设－a b 2<p ,那么f (p )=m ,f (q )=M ; 假设p ≤－a b 2<x 0,那么f (－ab2)=m ,f (q )=M ; 假设x 0≤－a b 2<q ,那么f (p )=M ,f (－a b 2)=m ; 假设－ab2≥q ,那么f (p )=M ,f (q )=my ＝ax 2＋bx ＋c 〔a ＞0〕与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ＞0〕之间关系〔1〕当△＝b 2－4ac ＞0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 〔a ＞0〕与x 轴有两个交点〔x 1，0〕、〔x 2，0〕，〔不妨设x 1＜x 2〕对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ＞0〕有两个不等实根x 1、x 2； 〔2〕当△＝b 2－4ac ＝0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 〔a ＞0〕与x 轴有且只有一个交点〔x 0，0〕，对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ＞0〕有两个相等实根x 0；〔3〕当△＝b 2－4ac ＜0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 〔a ＞0〕与x 轴没有公共点，对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ＞0〕没有实根． 4.二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0的实根分布及条件(1)方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f (r )<0;(2)二次方程f (x )=0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r a bac b (3)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b (4)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根⇔f (p )·f (q )<0,或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根假设在(p ,q )内成立(5)方程f (x )=0两根的一根大于p ,另一根小于q (p >q )⇔()0()0af p af q <⎧⎨<⎩二、基础练习：1．设11,1,,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，那么使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 -1,32. 比较以下各组数的大小：22330.30.23322(1)0.7,0.6;(2)( 1.2),( 1.25);(3)0.2,0.3(4),,(01)b a b a b b a b ----<<< 解：22330.30.23322(1)0.70.6;(2)( 1.2)( 1.25);(3)0.20.3(4)a b b b b a -->->-<>>3.函数1)()(32+-+=x a a ax x f 在]1,(--∞上递增，那么a 的取值X 围是 )⎡⎣ 4.函数21554(32)y x x x =++≥-的值域是[3,+∞ 〕5.二次函数c x b a ax x f +++=)()(22的图像开口向上，且1)0(=f ，0)1(=f ，那么实数b 取值X 围是b<-1三、例题精讲：例1．点在幂函数()f x 的图象上，点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，在指数函数()g x 的图象上．问方程()()0f x g x -=有 3 个根，当x ≥0时不等式()()f x g x ≥和()()f x g x <的解集分别是[2，4]、[0，2〕∪〔4，+∞〕． 分析：由幂函数的定义先求出()f x 与()g x 的解析式，f 〔x 〕=x 2，g 〔x 〕=2x 再利用图象判断即可． 例2.函数()223f x x x =-+在区间[0,m ]上有最大值3，最小值2，那么m 的取值X 围是 [1,2]变式：函数()224422f x x ax a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3，求a 例3.二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c ,a +b +c =0,(a ,b ,c ∈R )(1)求证两函数的图象交于不同的两点A 、B ；(2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值X 围(1)证明由⎩⎨⎧-=++=bxy cbx ax y 2消去y 得ax 2+2bx +c =0Δ=4b 2－4ac =4(－a －c )2－4ac =4(a 2+ac +c 2)=4［(a +43)22+c c 2］∵a +b +c =0,a >b >c ,∴a >0,c <0 ∴43c 2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点(2)解设方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1和x 2,那么x 1+x 2=－ab 2,x 1x 2a c|A 1B 1|2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 22222224444()4()b c b ac a c ac a a a a ----=--==22134[()1]4[()]24c c c a a a =++=++ ∵a >b >c ,a +b +c =0,a >0,c <0 ∴a >－a －c >c ,解得a c ∈(－2,－21) ∵]1)[(4)(2++=ac ac ac f 的对称轴方程是21-=a c a c ∈(－2,－21)时，为减函数 ∴|A 1B 1|2∈(3,12),故|A 1B 1|∈(32,3) 例4.关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0(1)假设方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的X 围 (2)假设方程两根均在区间(0，1)内，求m 的X 围解(1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或 (这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1)内通过)例5.集合A ＝{x |x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x |x 2－2ax ＋a ＋2≤0，a ∈R}，假设A ∪B ＝A ，求a 的取值X 围．解析：本例主要考查学生对于二次方程的根的分布解决能力和灵活转化意识． ∵A ＝［1，4］，A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ．假设B ＝φ，即x 2－2ax ＋a ＋2＞0恒成立，那么△＝4a 2－4〔a ＋2〕＜0， ∴－1＜a ＜2； 假设B ≠φ，解法一：△＝4a 2－4〔a ＋2〕≥0， ∴a ≥2或a ≤－1． ∵方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0的两根为x 1，2＝a ±a 2―a ―2 ．那么B ＝{x |a －a 2―a ―2 ≤x ≤a ＋a 2―a ―2 }，由题意知 ⎩⎨⎧a －a 2―a ―2 ≥1a ＋a 2―a ―2 ≤4解之得2≤a ≤187 ，综合可知a ∈〔－1，187 ］．21-1oyx1oyx解法二：f 〔x 〕＝x 2－2ax ＋a ＋2，如图知 ⎩⎪⎨⎪⎧△＝4a 2－4〔a ＋2〕≥0f 〔1〕＝3－a ≥0f 〔4〕＝－7a ＋18≥01≤a ≤4 解之得2≤a ≤187 ，综上可知a ∈〔－1，187 ］．四.自我检测一.填空题;2()26f x x x =-+在以下定义域上的值域：(1)定义域为{}03x Z x ∈≤≤；值域{0，4}(2) 定义域为[]2,1-．值域[-20,4] 2假设不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，那么a 的取值X 围是解析当a －2=0即a =2时,不等式为－4＜0,恒成立∴a =2,当a －2≠0时，那么a 满足⎩⎨⎧<∆<-002a ,解得－2＜a ＜2,所以a 的X 围是－2＜a ≤23设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),假设f (m )<0,那么f (m －1)的值正负情况为解析∵f (x )=x 2－x +a 的对称轴为x =21,且f (1)>0,那么f (0)>0,而f (m )＜0,∴m ∈(0,1),∴m －1＜0,∴f (m －1)>04二次函数f (x )=4x 2－2(p －2)x －2p 2－p +1,假设在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,那么实数p 的取值X 围是_________解析只需f (1)=－2p 2－3p +9>0或f (－1)=－2p 2+p +1>0即－3＜p ＜23或－21＜p ＜1∴p ∈(－3,23)5.函数()2f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是()1f <()0f < ()1f -6.函数()242f x x ax =++在区间(),6-∞内单调递减，那么a 的取值X 围是 a ≤-3 二.解答题：7方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，某某数a 的取值X 围．解析：方法一：利用韦达定理，设方程x 2－2ax ＋4＝0的两根为x 1、x 2，那么⎪⎩⎪⎨⎧≥∆．，＞－＋－，＞－－00)1()1(0)1)(1(2121x x x x 解之得2≤a ＜52 ．方法二：利用二次函数图象的特征，设f 〔x 〕＝x 2－2ax ＋4， 那么⎪⎩⎪⎨⎧≥∆．＞，＞，10)1(0a f 解之得2≤a＜52 ．8．不等式ax 2－5x ＋b ＞0的解集为{x |－3＜x ＜－2}，求不等式6x 2－5x ＋a ＞0的解集．解析：由题意，方程ax 2－5x ＋b ＝0的两根为－3、－2，由韦达定理得⎩⎨⎧，＝－，＝－61b a那么所求不等式为6x 2－5x －1＞0，解之得x ＜－16 或x ＞1．9如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求m 的取值X 围解∵f (0)=1>0(1)当m ＜0时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意(2〕当m >0时，那么⎪⎩⎪⎨⎧>-≥∆030mm 解得0＜m ≤1 综上所述，m 的取值X 围是{m |m ≤1且m ≠0}10.对于x 的所有实数值，二次函数f (x )=x 2－4ax +2a +12(a ∈R )的值都是非负的，求关于x 的方程2+a x=|a －1|+2的根的取值X 围 解由条件知Δ≤0,即(－4a 〕2－4(2a +12)≤0,∴－23≤a ≤2(1)当－23≤a ＜1时，原方程化为 x =－a 2+a +6,∵－a 2+a +6=－(a －21)2425 ∴a =－23时，x mi n =49,a =21时，x max 425∴49≤x 425 (2)当1≤a ≤2时，x =a 2+3a +2=(a +23)2－41∴当a =1时，x mi n =6,当a =2时，x max =12,∴6≤x ≤12 综上所述,49≤x ≤12。
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函数(值域、二次函数)
、教学目标
1 •函数的值域
2. 二次函数
3. —元二次方程实根的分布
说明二次函数及有关内容是高考命题的重要题材，为此作适当补充•
、考点、热点回顾
1 .函数的值域
与求函数的定义域相比，求函数的值域往往比较困难，我们只能求一些比较简单的函数的值域例1 求下列函数的值域：
(1) y X2一1；(2)y 4 3 2x x2.
x 1
例2求函数y 1 3x
例3求函数y 2x x的值域.
2.二次函数
在已知某些条件求二次函数的解析式时，常用待定系数法常见的二次函数的表示形式有 a 0 :
①标准
式：
y ax2bx c ；
②顶点
式：
y a(x k)2m ；
③零点式：y a(x xj(x X2)(式中2
x1、x2为一元二次方程ax bx c 0的两个实数
根).
例4 已知二次函数y f (x)有最小值3，
1
且当x 3和x 2时f (x)的值都是9—,求f (x)
2
求a、b、c的值.
已知抛物线y ax2bx c的顶点是2,9，抛物线与x轴两个交点之间的距离是6,
3. —元二次方程实根的分布
设 f x ax bx c a 0，则一元二次方程 f x 0实根的分布情况，可以由 y
象或由韦达定理来确定.
如果 f m f n 0 m n ,由二次函数 y f x 的图象知，一元二次方程f x 间m,n 内必有一个实数根.
0的两个实数根x 1、x 2的分布情况，可有如 下几种(m 、n 为常数)： (1 )若片 x 2
m ，则应有
b 2 4a
c 0, 或 x 1 m x 2 m 0, x 1 m x 2 m 0.
(2)若m
x 1
x 2，则应有b 2 4ac 0,
f m 0,
b m,
2a
二次函数f(x) ax 2
bx c a 0的图象与坐标轴分别交于点 1,0 和 0, 1，且抛
物线的顶点在第四象限，求
a b c 的取值范围
f x 的图
0在区
.次方程f x
b 2 4a
c 0,
b 2 4a
c 0,
f m 0, 或
x 1 m x 2 m 0,
b
x 1 m x 2 m 0
m,
2a
(3) 若x
m
x 2
，
则应有
f m 0,
或 x 1
m x 2 m 0.
(4)
若m x 1 x 2 n ，则应有
b 2 4ac
0,
f m 0,
f n 0,
b
m n.
2a
(5)
若x 1 m n x ?，则应有
0, 0.
ax 5 2a 0的两根一根比i 大，一根为比1小，求实数a 的取值范围;
2kx 2k 1
0的两根一根在0,1内，另一根在1,3内，求实数k 的取
(2)若关于X 的方程X 2
4x a 0的两根均大于i ，求实数a 的取值范围;
(1)若关于x 的方程x 2
b2 4ac 0, b2 4ac 0,
2
(3)若关于X的方程kx
例 8 设 A xx 2 1 0 ,B
2
小
x x a 0,
x 2
,且 A
x bx 3 0,
mx 1 0至少有一个正根，求实数 m 的取值范围.
DSE 金牌数学专题系列 过手训练
姓名:
（快速五分钟，稳准建奇功） 2
其中值域是R 的函数有（
）
2 .下列四个函数:
2
例io 求抛物线y x ax a
2在x 轴上截得最短线段的长
,求此时实数a 的值.
B A.求实数a 、
的取值范围
例9已知关于x 的方程
（m l ）x 2
1)y 3 x; 2)y
1 x 2
1
3)y
2x 10; 4)y
x (x 0),
1
(x 0), x
A . 1个 B. 2个C . 3个 D. 4个
「的值域为（
X
1 1
A . (
，0)(2, ) B. (，0)
［
「
1 1
C.
（
，0]
（2' ） D. （
，0] [
2，）
0 1
2,则实数k 的取值范围是（ )
7
7
A.
k
B.
k 5
4 4
C. 2
k 5
D.
7 k 4
4
像可能是（）
2
3.关于x 的方程x
3)x 3m
1 0的两个实根一个大于 2,另-
则实数m 的取值范围是（ )
A . m 3 B. m 3 C
. m 3
D.
m 3
4.右关于x 的方程3kx (3 7k) x 4 0的两实根、
满足
个小于2,
y
X
A
D
2 .函数y 5.已知二次函数f （X ）
2
ax bx C 的系数a 、b 、c 满足abc <0,贝U 函数
y =f (x )的图
6 .已知二次函数f(X) X2 px q的对称轴是直线x=2,则下列式子中不正确的是
[2
f (0) f ( ) D. f ( 5) fC 2)
A.f( 2) f(3)
B. f()付C
1 x
7 •函数f (X) 的值域为
2x 3 --------------------
8•函数y 2 x 3 的值域为________________________________ …
9.二次函数的图像经过三点A(1,0), B(3,0), C(4,3), 则这个二次函数是
10. 若方程x22mx 2 0有负根，贝y实数m的取值范围是___________
2x28x 6
11. 求函数y 的值域.
x24x 5
12.求函数f(x) 1 x ■■ x 2的值域.
13. 已知关于x的方程2x2 3x 2k 0在区间［—1 , 1］上有实数根，求实数k的取值范围
2
14. 已知函数y ax bx c(a 0)的图像过点(—i, o),是否存在常数a、b、c,使得
1 2
x y —(x 1)对一切实数x都成立？说明你的结论.
2。