北师大版九年级数学下册 同步练习题解直角三角形

《解直角三角形》分层练习◆ 基础题1．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（3，4），那么sin α的值是（ ）A ．35B ．34C ．45D ．432．在△ABC 中，∠C =90°，BC =4，2sin 3A =，则边AC 的长是（ ）A ．B ．6C ．83D ．3．设a 、b 、c 分别为△ABC 中∠A 、∠B 和∠C 的对边，则△ABC 的面积为（ ） A ．1sin 2ab A B ．1sin 2ab B C ．1sin 2ab C D ．1cos 2ab C 4．如图，已知Rt △ABC 中，∠B =60°，斜边长AB =1，那么此直角三角形的周长是（ ）A B ．3 C +2 D ．32+ 5．如图，AD ⊥CD ，∠ABD =60°，AB =4m ，∠ACB =45°，则AC = ．6．如图，在等腰三角形中，AB =AC ，BC =4，D 为BC 的中点，点E 、F 在线段AD 上，tan ∠ABC =3，则阴影部分的面积是 ．7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线分别交边BC、AB于点D、E如果BC=8，tanA=43，那么BD=．8．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=．9．如图，在△ABC中，∠C=60°，AC=2，BC=3．求tanB的值．10．一副三角板按如图摆放，已知BE BD的长和重叠部分△BDF的面积．◆能力题1．如图，已知△ABC中，AB=AC=5，BC=8．则cosB的值是（）A ．1.25B ．0.8C ．0.6D ．0.6252．如图，点A （3，t ）在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α=32，则t =（ ）A ．0.5B ．1.5C ．4.5D ．23．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AD 是BC 边上的中线，如果AD =BC ，那么tan ∠B 的值是（ ）A ．1B ．2C ．2D ．24．如图，正方形ABCD 中，E 是CD 中点，4FC =BC ，则tan ∠EAF = ．5．如图，在Rt △ABD 中，AB =6，tan ∠ADB =34，点C 为斜边BD 的中点，P 为AD 上任一点，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE +PF = ．6．如图，由8个大小相等的小正方形构成“L ”型图案，它的四个顶点E ，F ，G ，H 分别在矩形的边AB ，BC ，CD ，DA 上，若AB =a ，AB ：BC =sin 45°，则DG = ．7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是边AC的中点，CE⊥BD交AB于点E．（1）求tan∠ACE的值；（2）求AE：EB．8．某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 米，C处与D处的距离为34米，∠C=90°，∠ABE=90°，∠BAE=30°．≈1.4≈1.7）（1）求旋转木马E处到出口B处的距离；（2）求海洋球D处到出口B处的距离（结果保留整数）．◆提升题1．如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=3；E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=13 BC，则图中线段AC与EF之间的最短距离是（）A．0.5 B C．1 D2．已知一个直角三角形的周长是，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为（ ）A ．5B ．2C ．54D ．1 3．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若Rt △ABC 是“好玩三角形”，则tanA = ．4．将一副三角板如图叠放，则左右阴影部分积之比12:S S 等于 ．5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC =8，∠B =60°，BC =12，连接AC ． （1）求tan ∠ACB 的值；（2）若M 、N 分别是AB 、DC 的中点，连接MN ，求线段MN 的长．6．如图，∠POQ =90°，边长为2cm 的正方形ABCD 的顶点B 在OP 上，C 在OQ 上，且∠OBC =30°，分别求点A 、D 到OP 的距离．答案和解析◆ 基础题1．【答案】C解：作AB ⊥x 轴于B ，如图，∵点A 的坐标为（3，4），∴OB =3，AB =4，∴OA ，在Rt △AOB 中，sin α=45AB OB =．2．【答案】A解：在△ABC中，∠C=90°，BC=4，2sin3A=，∴ABsinBCA==6，根据勾股定理，得AC=．3．【答案】C解：过点A作b边上的高AD，则Rt△ACD中，AD=AC•sinC=bsinC，△ABC的面积等于12absinC．4．【答案】D解：∵∠B=60°，斜边长AB=1，∴AC=ABsin60°=2，BC=ABcos60°=12，则△ABC的周长=1+12+2=32+．5．【答案】m．解：在Rt△ABD中，∠D=90°，∠ABD=60°，AB=4m，∴BD=12AB=2m，AD m．在Rt△ACD中，∠D=90°，∠ACD=45°，AD，∴CD=AD，AC m．6．【答案】6解：∵AB=AC，D为BC的中点，∴△ABC是等腰三角形，∴△ABC是轴对称图形，AD所在直线是对称轴，∴阴影部分面积=12S△ABC．∵AB=AC，BC=4，D为BC的中点，∴BD=DC=12BC=2，AD⊥BC，∴tan∠ABC=2AD ADBD==3，∴AD=6，∴阴影部分面积=12S△ABC =12×12×4×6=6．7．【答案】254解：∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =8，tanA =43，∴AC =tan BC A =6，∴AB =，cosB =45BC AB =．∵边AB 的垂直平分线交边AB 于点E ，∴BE =12AB =5．∵在Rt △BDE 中，∠BED =90°，∴cosB =45BE BD =，∴BD =54BE =254．8．解：如下图：延长AD 、BC 交于E 点，因为∠A =60°，∴∠E =90°﹣60°=30°． ∵CD =3，∴CE =3×2=6，则BE =2+6=8．∵tan 30°=8AB AB BE =，∴AB =8×tan 30°=8×3=3．9．解：过A 作AD ⊥BC 于D ，则∠ADC =∠ADB =90°，∵∠C =60°，AC =2，∴CD =AC•cos 60°=1，AD =AC •sin 60°BC =3，∴BD =3﹣1=2，∴tanB =AD BD =10．解：在Rt △EBD 中，tan 30°，∴BD =6，作FH ⊥BD ，垂足为H ，设FH =BH =x ，则DH =6﹣x ，在Rt △FDH 中，tan 60°=6x x -，可解得：x =9﹣S △BDF =12×6×（9﹣）=27﹣．◆ 能力题1．【答案】B解：作AD ⊥BC 于D ，如图，∵AB =AC =5，∴BD =CD =12BC =12×8=4，在Rt △ABD 中，cosB =BD AB =45．2．【答案】C解：过点A 作AB ⊥x 轴于B ，∵点A （3，t ）在第一象限，∴AB =t ，OB =3，又∵tan α=332AB t OB ==，∴t =4.5．3．【答案】C解：∵AD 是BC 边上的中线，∴设BD =CD =x ，则AD =BC =2x ，在Rt △ACD 中，AC ==，则tan ∠B =22AC BC x ==． 4．【答案】12解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC =CD =AD ，∠B =∠C =∠D =90°，设FC =x ，则AB =BC =CD =AD =4x ，BF =3x ，∵E 是CD 中点，∴DE =CE =2x ，∴AF =5x ，EF ==x ，AE ==2x ，∵AE 2+EF 2=25x 2，AF 2=25x 2，∴AE 2+EF 2=AF 2，∴△AEF 是直角三角形，∠AEF =90°，∴tan ∠EAF=12EF AE ==； 5．【答案】245解：在Rt △ABD 中，∵tan ∠ADB =AB AD =34，∴AD =43×6=8，∴BD，∴sinD =610=35，∵点C 为斜边BD 的中点，∴AC =BC =CD ，∴∠CAD =∠D ，在Rt △APE 中，sin ∠EAP =PE AP =35，∴PE =35AP ，在Rt △DPF 中，sin ∠D =PF PD =35，∴PF =35PD ，∴PE +PF =35（AP +PD ）=35AD =35×8=245． 6．【答案】)1a 解：∵AB =a ，AB ：BC =sin 45°，∴BCa ．∵△BEF ≌△CFG ，△CFG ∽△DGH ，设BF =x ，BE =y，则12x y x y a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得)221x a y a ⎧=⎪⎨=⎪⎩．∴DG =12y=)1a ． 7．解：（1）由∠ACB =90°，CE ⊥BD ，得∠ACE =∠CBD ．在△BCD 中，BC =3，CD =12AC =2，∠BCD =90°，得tan ∠CBD =23，即tan ∠ACE =23； （2）过A 作AC 的垂线交CE 的延长线于P ，则在△CAP 中，CA =4，∠CAP =90°，tan ∠ACP =23，得AP =28433⨯=，又∠ACB =90°，∠CAP =90°，得BC ∥AP ，得AE ：EB =AP ：BC =8：9．8．解：（1）∵在Rt △ABE 中，∠BAE =30°，∴BE =12AE =12×80=40（米）； （2）∵在Rt △ABE 中，∠BAE =30°，∴∠AEB =90°﹣30°=60°，∴∠CED =∠AEB =60°，∴在Rt △CDE 中，DE =sin CD CED≈∠40（米），则BD =DE +BE =40+40=80（米）． ◆ 提升题1．【答案】D解：过F 作FG ⊥AC 于G ，连接AF ，可得：△ACF 和△ABC 底之比为1：3；高之比为1：1；∴△ACF 和△ABC 的面积之比为1：3，又∵AB =2，BC =3，∴S △ABC =3，S △ACF =1，又∵S △ACF =12AC ×FG ，∴FG2．【答案】B解：设两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，根据三角形的性质知：c =4，∴22244a b c a b ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩ab =4．故s 三角形=12ab =2．3． 解：分两种情况：①如图1，BD 是AC 边上的中线，BD =AC ．设AD =DC =k ，则BD =AC =2k ．在Rt △BCD中，∵∠C =90°，∴BC ，∴tanA =22BC AC k ==； ②如图2，AD 是BC 边上的中线，AD =BC ．设BD =DC =k ，则AD =BC =2k ．在Rt △ACD中，∵∠C =90°，∴AC k ，∴tanB =22AC BC k ==，∵∠CAB +∠B =90°，∴tan ∠CAB =1tan 3B ==．综上可知，所求值为2或3．4．解：如图：设AB=x，根据题意得：BC，AD=BD，∴S△ABD=24x，S△ABC2．过点E作EF⊥AB于点F，∵∠EBF=45°，∠EAF=30°，∴BF=EF，AFEF，∴EF=)12x，∴S△ABE=)214x，∴S12x，S22x，∴S1：S2；5．解：（1）如图，作AE⊥BC于点E．在Rt△ABE中，BE=AB•cosB=8×cos60°=4，AE=AB•sinB=8×sin60°∴CE=BC﹣BE=12﹣4=8．在Rt△ACE中，tan∠ACB=82 AEEC==．（2）作DF⊥BC于F，则四边形AEFD是矩形．∴AD=EF，DF=AE．∵AB=DC，∠AEB=∠DFC=90°，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴CF=BE=4，EF=BC﹣BE﹣CF=12﹣4﹣4=4，∴AD=4．又∵M、N分别是AB、DC的中点，∴MN是梯形ABCD的中位线，∴MN=12（AD+BC）=12（4+12）=8．6．解：过点A、D分别作AE⊥OP，DF⊥OP，DG⊥OQ，垂足分别为E、F、G，在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°∵∠OBC=30°∴∠ABE=60°，在Rt△AEB中，AE=ABsin60°=2=DFOG是矩形，∴DF=GO，∵∠OBC=30°，∴∠BCO=60°，∴∠DCG=30°，在Rt△DCG中，CG=CD•cos30°=2×2=cm），在Rt△BOC中，OC=12BC=1（cm），∴DF=GO=OC+CG=）cm，答：点A到OP cm，点D到OP）cm．。