1.4.1 有理数的加法法则
初一数学《有理数》04节：有理数的加减法知识点解读与提高
有理数的加减法（基础）要点一、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．3.运算律：交换加数的位置时，不要忘记符号．要点二、有理数的减法1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．（1）任意两个数都可以进行减法运算．（2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：()a b a b -=+-．将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：有理数加法运算律加法交换律文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变符号语言a+b＝b+a 加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言(a+b)+c＝a+(b+c)1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系；3．熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并会解决简单的实际问题.要点三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.类型一、有理数的加法运算．计算：(1)(+20)+(+12)；(2)1223⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(3)(3)(+2)+(-11)；(4)(-3.4)+(+4.3)；(5)(-2.9)+(+2.9)；(6)(6)(-5)+0．（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条;（3）（4）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（5）用的是第二条：互为相反数的两个数相加得0；（6）用的是法则的第三条．(1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32；(2)12121123236⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3)(+2)+(-11)＝-(11-2)＝-9(4)(-3.4)+(+4.3)＝+(4.3-3.4)＝0.9(5)(-2.9)+(+2.9)＝0；(6)(-5)+0＝-5．【变式1】计算：113343⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】111113333433412⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【变式2】计算：（1）(+10)+(-11)；（2）⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12-1+-23【答案】（1）(+10)+(-11)=﹣(11-10)=﹣1；（2）类型二、有理数的减法运算．计算：(1)(-32)-(+5)；(2)(+2)-(-25)．此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．法一：绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值．⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212341-1+-=-1+=-1+=-22323666法二：（1）原式=-32-5=-32+（-5）=-37；（2）原式=2+25=27【变式】若（）﹣（﹣2）=3，则括号内的数是（）A．﹣1B．1C．5D．﹣5B．根据题意得：3+（﹣2）=1，则1﹣（﹣2）=3.类型三、有理数的加减混合运算．计算：3.8+4﹣（+6）+（﹣8）根据有理数的加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法，求解即可解：原式=（3.8﹣6.8）+（4﹣8）=﹣3﹣4=﹣7，【变式】用简便方法计算：(1)(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(+3.1)+(+0.8)+(-0.7)(2)2)324(83)65()851(43-++-+-+(1)原式=[(-3.8)+(-4.2)]+[(-2.4)+(-0.7)+(+3.1)]+(+0.8)=-8+0.8=-7.2(2)原式=（2-1-4）+（34-58-56+38-23）=-3+[68-58+38+(-56-46)]=-3-1=-4类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用.邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行2km 到达A 村，继续向南骑行3km 到达B 村，然后向北骑行9km 到C 村，最后回到邮局．（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向，用1cm 表示1km，画出数轴，并在该数轴上表示出A、B、C 三个村庄的位置；（2）C 村离A 村有多远？（3）邮递员一共骑了多少千米？（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向用1cm算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.本题考查了有理数的加减混合运算的知识，如果在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．表示1km，按此画出数轴即可；（2）可直接算出来，也可从数轴上找出这段距离；（3）邮递员一共骑了多少千米？即数轴上这些点的绝对值之和．解：（1）依题意得，数轴为：；（2）依题意得：C点与A 点的距离为：2+4=6（千米）；（3）依题意得邮递员骑了：2+3+9+4=18（千米）．【变式1】华英中学七年级(14)班的学生分成五组进行答题游戏，每组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分，游戏结束后各组的得分如下表：(1)第一名超过第二名多少分?(2)第一名超过第五名多少分?由表看出：第一名350分，第二名150分，第五名-400分．(1)350-150＝200(分)(2)350-(-400)＝350+400＝750(分)答：第一名超过第二名200分；第一名超过第五名750分．【变式2】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：197，202，197，203，200，196，201，198．计算出售的粮食总共多少千克?法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6200×8+(-6)＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．【巩固练习】一、选择题1．某市一天的最高气温为2℃，最低气温为﹣8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（）A．﹣10℃B．﹣6℃C．10℃D．6℃2.若等式0□1=﹣1成立，则□内的运算符号为（）A．+B．﹣C．×D．÷3．两个有理数相加，和小于其中一个加数而大于另一个加数，需满足（）A．两个数都是正数B．两个数都是C．一个是正数，另一个是负数D．至少有一个数是零4．下列说法中正确的是A．正数加负数，和为0B．两个正数相加和为正；两个负数相加和为负C．两个有理数相加，等于它们的绝对值相加D．两个数的和为负数，则这两个数一定是负数第1组第2组第3组第4组第5组100150350-400-100本题主要考查了学生有实际生活中对数轴的应用能力，只要掌握数轴的基本知识即可．5．下列说法正确的是()A．零减去一个数，仍得这个数B．负数减去负数，结果是负数C．正数减去负数，结果是正数D．被减数一定大于差6．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为(25±0.1)kg，(25±0.2)kg，(25±0.3)kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差()A．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg7.-3+5的相反数是()．A．2B．-2C．-8D．8二、填空题8.有理数,,a b c在数轴上对应点位置如图所示，用“＞”或“＜”（1）｜a｜______｜b｜；（2）a＋b＋c______0：（3）a－b＋c______0；（4）a＋c______b；（5）c－b______a．8.计算：|﹣2|+2=________．9.某月股票M开盘价20元，上午10点跌1.6元，下午收盘时又涨了0.4元，则股票这天的收盘价是_______．10.列出一个满足下列条件的算式：(1)所有的加数都是负数，和为-5，________；(2)一个加数是0，和是-5________；(3)至少有一个加数是正整数，和是-5，________．11.数学活动课上，王老师给同学们出了一道题：规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a和b，有a☆b＝a-b+1，请你根据新运算，计算(2☆3)☆2的值是.12.计算（﹣3）+（﹣9）的结果为．三、解答题14.计算题（1）232(1)(1)(1.75)343-----+-（2）132.1253(5)(3.2)58-+---+（3）21772953323+---（4）231321234243--++-+（5）2312()()3255---+--+-15.已知：|a|=2,|b|=3，求a+b的值．16.某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售，如果以每套儿童服装55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，0，﹣2．（单位：元）（1）当他卖完这八套儿童服装后是盈利还是亏损？（2）盈利（或亏损）了多少钱？【答案与解析】一、选择题1.【答案】C【解析】解：2﹣（﹣8）=2+8=10℃．故选C．2．【答案】B3.【答案】C【解析】举例验证．4．【答案】B【解析】举反例：如5+(-2)＝＋3≠0，故A 错；如：(-2)+(-3)≠|-2|+|-3|，故C错；如(+2)+(－8)＝-6，故D错误．5．【答案】C【解析】举反例逐一排除．6．【答案】B【解析】因为最低重量为24.7kg，最大重量为25.3kg，故质量最多相差25.3-24.7＝0.6kg．7．【答案】B二、填空题8.【答案】＜，＜，＞，＞，＞【解析】由图可知：b a c>>，且0,0b a c<<>，再根据有理数的加法法则可得答案.9.【答案】4.10．【答案】18.8元【解析】跌1.6元记为-1.6元，涨0.4元记为+0.4元，故有收盘价为20+(-1.6)+0.4-18.8．11．【答案】(1)(-2)+(-3)＝-5(2)(-5)+0＝-5(3)2+(-7)＝-5【解析】答案不唯一．12.【答案】－1【解析】(2☆3)☆2＝(2☆3)-2+1＝2-3+1-2+1＝-113.【答案】-12．【解析】同号两数相加的法则是取相同的符号，并把绝对值相加.原式=﹣（3+9）=﹣12.三、解答题13.【解析】（1）原式22(1)(1.75 1.75)133=-++-+=；（2）原式131[3(3.2)][(5) 2.125]3584=+-++---=（3）原式217297719)533326=+---=-（4）原式223311()()12334422=-++-++-=-（5）原式23122312231283[()][()]32553255325530 =------=--------=----=-（6）原式=12342001200220032004-+-++-+-+15.【解析】由题意知：a=±2,b=±3，所以要分四种情况代入求值.∵|a|=2,∴a=±2,∵|b|=3,∴b=±3.当a=+2,b=+3时,a+b=(+2)+(+3)=+5;当a=+2,b=-3时,a+b=(+2)+(-3)=-1;当a=-2,b=+3时,a+b=(-2)+(+3)=+1;当a=-2,b=-3时,a+b=(-2)+(-3)=-5.16.【解析】解：根据题意得（1）2﹣3+2+1﹣2﹣1+0﹣2=﹣3，(12)(34)(20032004)110021002 =-++-+++-+=⨯=55×8+（﹣3）=437元，∵437＞400，∴卖完后是盈利；（2）437﹣400=37元，故盈利37元．有理数的加减法（提高）要点一、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．3.运算律：交换加数的位置时，不要忘记符号．要点二、有理数的减法1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．（1）任意两个数都可以进行减法运算．（2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：()a b a b -=+-．将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，有理数加法运算律加法交换律文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变符号语言a+b＝b+a加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言(a+b)+c＝a+(b+c)1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系，体会其中蕴含的转化的思想；3．熟练地将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并且会解决简单的实际问题.一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：要点三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.类型一、有理数的加法运算．阅读下题的计算方法．计算．解：原式===0+（﹣）=﹣上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案．解：原式=[（﹣2011）+（﹣）]+[（﹣2010）+（﹣）]+[4022+]+[（﹣1）+（﹣）]=[（﹣2011）+（﹣2010）+4022+（﹣1）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]=0+（﹣）=﹣．【变式1】计算：(1)-721+1061；(2)(-21)+(-7.3)；(3)141+(-231)；(4)751+(-3.8)+(-7.2)【答案】（1）原式=11112(107)(97)(1)262623+-=-+-=；（2）原式=(0.57.3)7.8-+=-；（3）（3）原式=111(21)13412--=-；（4）原式=7.27.2 3.80 3.8 3.8--=-=-【变式2】计算：11511236⎛⎫-++- ⎪⎝⎭1151151151111(11)1236236236⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-=--++-=-++-++-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【变式3】计算：11(6)(3.3)(3)(6)(0.3)(8)(6)(16)644⎛⎫⎛⎫++++-+++-+++++++-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解法一：11(6)(3.3)(3)(6)(0.3)(8)(6)(16)644⎛⎫⎛⎫++++-+++-+++++++-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11(6)(3)(0.3)(8)(6)(3.3)(6)(16)644⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++++++++++-+-+-+-⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦→同号的数一起先加(23.55)(31.55)8=++-=-．本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．解法二：11(6)(3.3)(3)(6)(0.3)(8)(6)(16)644⎛⎫⎛⎫++++-+++-+++++++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11(6)6[(3.3)(3)(0.3)][(6)(6)][(16)(8)]44⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++-+-+++++-+++-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦→同分母，互为相反数的数，或几个数可以凑整的数分别结合相加000(8)8=+++-=-．类型二、有理数的减法运算．(1)2-(-3)；(2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4)；(3)41373⎛⎫+- ⎪⎝⎭．此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．本题可直接利用有理数的减法法则进行计算．(1)2-(-3)＝2+3＝5(2)原式＝0+3.72+(-2.72)+4＝(0+4)+(3.72-2.72)＝4+1＝5（3）原式=411416(3)(3)2733721+-=--=-类型三、有理数的加减混合运算.计算：（1）-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72；（2）11-12+13-15+16-18+17；（3）1113.76395684.7621362--+--+（4）51133.464 3.872 1.54 3.376344+---+++（5）1355354624618-++-；（6）132.2532 1.87584+-+（1）观察各个加数，可以发现-3.72与3.72互为相反数，把它们分为一组；4.18、-2.93与-1.25的和为0，把它们分为一组可使计算简便．解：-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72＝(-3.72+3.72)+(4.18-2.93-1.25)-1.23＝0+0-1.23＝-1.23（2）把正数和负数分别分为一组．解：11-12+13-15+16-18+17＝(11+13+16+17)+(-12-15-18)＝57+(-45)＝12（3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是-1，两个整数的和是29，三个分数通分后也不难算．故把整数、分数、小数分别分为一组．解：1113.7639568 4.7621362--+--+111(3.76 4.76)(521)(3968)362=-+--++-+1(6)2922=-+-+=（4）3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组；-3.87与3.37的和为-0.5，把它们分为一组；546与13-易于通分，把它们分为一组；124-与34同分母，把它们分为一组．算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.解：51133.464 3.872 1.54 3.376344+---+++5113(3.46 1.54)(3.873.37)(4)(2)6344=++-++-+-+115(0.5)4(1) 4.537.522=+-++-=+=（5）先把整数分离后再分组．解：1355354624618-++-1355354624618=--++++--1355(3546)()24618=-++-+-++-1827301036-++-=+2936=注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数都是负数，例如113322-=--．（6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好．可先将小数和分数统一后再考虑分组．解：132.2532 1.87584+-+(2.25 2.75)(3.125 1.875)=-++0.55 4.5=-+=【变式】5.6+[0.9+4.4﹣（﹣8.1）]．解：原式=5.6+0.9+4.4+8.1=19．类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．（1）现有1，2，3，4，5，6，7，8，9共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中，使得第行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等于15；（2）通过研究问题（1），利用你发现的规律，将3，5，﹣7，1，7，﹣3，9，﹣5，﹣1这九个数字分别填入图2的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．解：（1）15÷3=5，∴最中间的数是5，其它空格填写如图1；（2）如图2所示．计算多个有理数相加时，必须先审题，分析特点，寻找规律，然后再去计算．注意在交换加数的位置时，要连同符号一起交换.本题考查了有理数加法，熟知“九宫图”的填法是解题的关键．【变式】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：197，202，197，203，200，196，201，198．计算出售的粮食总共多少千克?法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6200×8+(-6)＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．【巩固练习】一、选择题1.某地一天的最高气温是12℃，最低气温是2℃，则该地这天的温差是（）A﹣10℃B．10℃C．14℃D．﹣14℃2.比﹣1小2015的数是（）A．﹣2014B．2016C．﹣2016D．20143.如果三个数的和为零，那么这三个数一定是()．A．两个正数，一个负数B．两个负数，一个正数C．三个都是零D．其中两个数之和等于第三个数的相反数4.若0,0a b ><,a b <,则a 与b 的和是()A.B.C. D.．5.下列判断正确的是（）A．两数之差一定小于被减数．B．若两数的差为正数，则两数都为正数．C．零减去一个数仍得这个数．D．一个数减去一个负数，差一定大于被减数．6．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为(25±0.1)kg，(25±0.2)kg，(25±0.3)kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差()A．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg 二、填空题7.有理数,,a b c 在数轴上对应点位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：（1）｜a ｜______｜b ｜；（2）（2）a ＋b ＋c ______0：（3）a －b ＋c ______0；（4）a ＋c ______b ；（5）c －b ______a ．8.小明存折中原有450元，取出260元，又存入150元，现在存折中还有______元．9.若a ，b 为整数，且|a-2|+|a -b|＝1，则a+b＝________．10．某地的冬天，半夜的温度是-5︒C，早晨的温度是-1︒C，中午的温度是4︒C.则(1)早晨的温度比半夜的温度高________度；(2)早晨的温度比中午的温度低________度.11．北京与纽约的时差为-13（负号表示同一时刻纽约时间比北京时间晚）.如果现在是北京时间15：00，那么纽约时间是______________12.数学活动课上，王老师给同学们出了一道题：规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a和b，有a☆b＝a-b+1，请你根据新运算，计算(2☆3)☆2的值是.三、解答题13.计算题（1）3401(1)(5)|4|77⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-----+--+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2）2121 02133434⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++---+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）44444 999999999999999 55555 ++++（4）1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8+…+97+(-98)+(-99)+100的值．（5）11111 8244880120 ++++；（6）2312()() 3255 ---+--+-14.数轴上到原点的距离小于3的整数的个数为x，不大于3的正整数的个数为y，绝对值等于3的整数的个数为z，求：x+y+z的值．15.股民李星星在上周星期五以每股11.2元买了一批股票，下表为本周星期一到星期五该股票的涨跌情况求：（1）本周星期三收盘时，每股的钱数．（2）李星星本周内哪一天把股票抛出比较合算，为什么？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B．2.【答案】C【解析】解：根据题意得：﹣1﹣2015=﹣2016，故选C.3.【答案】D【解析】若0a b c++=，则a b c+=-或b c a+=-或a c c+=-，所以D正确.4．【答案】D【解析】(a b+)的符号与绝对值较大的b一致为负的，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，即有()b a--.5.【答案】D【解析】A错误，反例：2-（-3）=5，而5＞2；B不对，反例：2-（-3）=5，而-3为负数；C错误，0-2=-2，0-（-2）=2，所以零减去一个数得这个数的相反数.6．【答案】B【解析】因为最低重量为24.7kg，最大重量为25.3kg，故质量最多相差25.3-24.7＝0.6kg．星期一二三四五每股涨跌/元+0.4+0.45﹣0.2+0.25﹣0.4二、填空题7.【答案】＜，＜，＞，＞，＞【解析】由图可知：b a c >>，且0,0b a c <<>，再根据有理数的加法法则可得答案.8.【答案】340【解析】450﹣260+150=290+150=340（元）．9．【答案】2,6,3或5【解析】当|a-2|＝1，|a -b|＝0时，得：a+b＝6或2；当|a-2|＝0，|a -b|＝1时，得：a+b＝3或5；10．【答案】(1)4(2)5【解析】(1)-1-（-5）=4(2)-1-（+4）=-511．【答案】2：00【解析】15：00+(-13)=2：00．12.【答案】-1【解析】(2☆3)☆2＝(2☆3)-2+1＝2-3+1-2+1＝-1三、解答题13.【解析】（1）原式341[15]45(5)1077=--+-++=--=（2）原式212102133434⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21212133434=-++-2211213213183344⎛⎫⎛⎫=-++-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）原式=1111101001000100005555⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦11000005⎡⎤⎛⎫++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11111(10100100010000100000)55555⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111110(1)111109=+-=．（4）1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8+…+97+(-98)+(-99)+100＝[1+(-2)+(-3)+4]+[5+(-6)+(-7)+8]+…+[97+(-98)+(-99)+100]＝0+0++…+0＝0．（5）111111111182448801202446688101012++++=++++⨯⨯⨯⨯⨯111111*********()()22446688101012221224=-+-+-+-+-=-=（6）原式23122312231283[()][()]32553255325530=------=--------=----=-14.【解析】解：根据数轴，到原点的距离小于3的整数为0，±1，±2，即x=5，不大于3的正整数为1，2，3，即y=3，绝对值等于3的整数为3，﹣3，即z=2，所以x+y+z=10．15.【解析】解：（1）根据题意得：11.2+0.4+0.45+（﹣0.2）=11.85（元），则本周星期三收盘时，该只股票每股为11.85元；（2）根据题意得：11.2+0.4+0.45+（﹣0.2）+0.25=12.1（元），则本周该只股票最高价12.1元出现在周四，李星星本周四把股票抛出比较好．。
漳州市实验中学七年级数学上册第1章有理数1.4有理数的加减1有理数的加法教案新版沪科版
1.4有理数的加减1. 有理数的加法【知识与技能】1.通过学生经历探索有理数加法法则的过程，理解有理数加法的意义.2.掌握有理数加法法则，并能正确运用法则进行有理数加法的运算.3.在探索有理数加法法则的过程中，向学生渗透分类讨论、归纳、转化等数学思想；在合作学习解决问题的过程中，体会合作交流的重要性.【过程与方法】从学生熟悉的生活实例得出“有理数加法”法则，并通过各种师生活动加深学生对有理数加法法则的理解；使学生在经历有理数加法法则的得出的过程中，体会数形结合的思想方法.【情感态度】通过有理数加法的学习，让学生在学习的过程中加强数感的培养，感受数的意义，学会与人交流，发展学生的思维，培养实事求是的科学态度，渗透数形结合的思想和讨论法、归纳法的运用.【教学重点】重点是有理数加法法则的理解，会根据有理数的加法法则进行有理数加法运算.【教学难点】难点是有理数加法中异号两数的加法运算.一、情境导入，初步认识【情境1】实物投影，并呈现问题：一家超市内的对话.甲：老兄，听说你开店记账时有一个习惯，究竟是什么习惯，能否给我说说？乙：当然可以，那就是盈利记作盈利，亏本也记作盈利.甲：那如何区分盈利与亏本呢？乙：这太简单了，我把盈利记为正，亏本记为负.甲：原来是利用相反意义的量的表示方法呀，举个例子说说吧.乙：比如今天上午亏本５元，我就在账本上记作：-５；下午盈利３元，我就记作：+3.甲：那你如何计算每天的亏盈呢？乙：把每天盈亏数据相加不就得了.下面是我两天的记录，你知道它表示的意思吗？（＋５）＋（＋３）＝＋８（-５）＋（-３）＝-８【情境2】实物投影，并呈现问题：一只小熊在一条数轴上移动：（1）向东走5米，再向东走3米，两次一共向东走了多少米？（2）向西走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米？（3）向东走5米，再向西走5米，两次一共向东走了多少米？（4）向东走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米？（5）向东走3米，再向西走5米，两次一共向东走了多少米？（6）向西走5米，再向东走0米，两次一共向东走了多少米？思考“一共”的含义是什么？若设向东为正，向西为负，你能写出算式吗？【教学说明】学生独立思考后，小组讨论，教师注意引导学生正确理解加法运算的实际意义，利用数轴得出运算结果.同时对有理数的加法进行分类，并用语言表达出来，从而得有理数的加法法则.情境1中（＋５）＋（＋３）＝＋８表示上、下午都盈利，盈利8元；（-５）＋（-３）＝-８表示上、下午都亏本，亏了8元.情境2中“一共”就是两个数相加.（１）（＋５）＋（＋３）＝＋８；（２）（-５）＋（-３）＝-８；（３）（＋５）＋（-５）＝０；（４）（＋５）＋（-３）＝＋２；（５）（＋３）＋（-５）＝-２；（６）（-５）＋（＋０）＝-5.【教学说明】通过现实情景再现，让学生体会数学知识与实际生活的联系.学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，通过自己的观察，归纳出结论，进而体验到成功的喜悦，同时，也激发了学生学习的兴趣.二、思考探究，获取新知有理数的加法法则问题1 有理数的加法法则的内容是什么？问题2 有理数的加法有几种情况？【教学说明】学生通过回顾旧知识，在经过观察、分析、类比后能得出结论.【归纳结论】有理数的加法法则：同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加.异号两数相加，绝对值相等时和为０；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数与零相加，仍得这个数.三、运用新知，深化理解1.一天早晨的气温是-7℃，中午的气温比早晨上升了11℃，中午的气温是（）A.11℃B.4℃C.18℃D.-11℃2.如果a+b=0，那么a，b两个数一定是（）A.都等于0B.一正一负C.互为相反数D.不能确定，则a、b的关系是（）.3.若a+b=b aA.a、b异号B.a＋b的和是非负数C.a、b同号或其中至少有一个为0D.a、b的绝对值相等4.用“＞”或“＜”号填空：(1)如果a＞0，b＞0，那么a+b______0；(2)如果a＜0，b＜0，那么a+b______0；(3)如果a＞0，b＜0，a＞b，那么a+b______0；(4)如果a＜0，b＞0，a＞b，那么a+b______0.5.若a＞0，b＜0，a＋b＜0，则a______b.（用“＞”或“＜”连接）6.判断：两个有理数相加，和一定大于每一个加数吗？【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好地巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对有理数加法法则有了更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理问题.【答案】1.B 2.C 3.C4.(1)＞ (2)＜ (3)＞ (4)＜5.＜6.两个有理数相加，和不一定大于每一个加数.四、师生互动，课堂小结1.有理数的加法法则的内容是什么？有理数加法的一般步骤是怎样的？2.通过这节课的学习，你还有哪些疑惑，大家交流.【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.1.布置作业：从教材第19页“练习”中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.在本节的教学中，通过实际生活的需要引出有理数的加法运算，让学生体验生活与数学的密切联系.教学过程中，一是借助于数轴的直观演示，引导学生认真观察、积极思考，自己归纳法则；二是引导学生分析法则特点，总结规律，在此基础上加以记忆，从而使难点化解，并在化解难点的过程中培养学生的思维能力.提出问题后，让学生去思考、去分析，最终要让学生明白：对于两个有理数，相加的和不一定大于加数，这是有理数的加法与算术运算的一个很大的区别.为了解决从掌握知识到运用知识的转化，使知识教学和智能培养结合起来，设计的练习题遵循由浅入深、循序渐进的原则.数学活动——用坐标表示地理位置一、导学1.导入课题：前面我们学过用坐标表示地理位置，这节课我们通过一个实践活动，进一步体验用坐标表示地理位置的方法.2.学习目标：（1）体会坐标在解决实际问题中的作用，培养学生用数学的意识.（2）培养学生的动手能力、合作意识及探索兴趣.3.学习重、难点：重点：会用坐标表示平面内物体的位置.难点：学会选取参照物，用恰当的方法描述平面内物体的位置.4.自学指导：（1）自学内容：课本P82活动2.（2）自学时间：10分钟.（3）自学要求：先自主探究学习，然后相互合作、研讨，共同解决相关问题.（4）自学提纲：①回顾“”所学内容，思考表示平面内物体的位置有哪些方法.②a.用坐标表示地理位置，首先要建立平面直角坐标系，再根据具体问题确定单位长度，最后写出各点的坐标.b.根据张明同学所说“牡丹园的坐标是（300，300）.”你能确定他是以中心广场为原点，以东、北方向为x轴、y轴正方向建立坐标系的吗？c.你能写出公园内其他景点的坐标吗？③李华说：“牡丹园在中心广场东北方向约420m处.”那么中心广场在牡丹园的什么位置？以中心广场为参照点，用李华描述物体位置的方法，你能描述公园内其他景点的位置吗？与同学们交流一下.二、自学同学们可结合自学提纲进行自学.三、助学1.师助生：（1）明了学情：教师深入课堂，了解学生的自学情况，看能否熟练利用坐标或方位角和距离的方法准确地描述平面内物体的位置.（2）差异指导：对个别学有困难的学生进行点拨指导.2.生助生：小组内同学之间相互交流、订正、兵教兵.四、强化各小组展示学习成果，进一步强化平面内描述物体的位置的方法.五、评价1.学生的自我评价：交流总结参与活动的收获和不足.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：教师根据学生活动中态度是否积极、端正，小组交流是否积极以及学习效果给予评价.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：用坐标表示地理位置对解决生活运用有很大的帮助.教学时借助坐标可以清楚地表示出地理位置，有助于学生的解答.同时，教学过程中适时引导与学生的自主探究相结合，使学生真正成为了“学习的主人.”(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.（10分）以学校所在的位置为原点，分别以向东、向北方向为x轴、y轴的正方向.若出校门向东走150m，再向北走200m，记作（150，200），则小刚家的位置（－100，－150）的含义是向西走100m,再向南走150m；出校门向北走200m，再向西走50m是小红家，则小红家的位置可记为（-50，200）.2.（10分）某学校的平面示意图如图所示，如果实验楼所在位置的坐标为（－2, －3），教学楼所在位置的坐标为（－1,3），那么图书馆所在位置的坐标为（-4，4）.3.（20分）如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为（2,90°），则目标B、D的位置应分别记为（5，30°），(2,300°).4.（30分）如图，这是一所学校的平面示意图，建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示教学楼、图书馆、宿舍楼、校门、旗杆、运动场、实验楼的位置.解：建立如图所示的平面直角坐标系，且1格代表1个单位长度.教学楼（6，0），图书馆（5，4），宿舍楼（7，2），校门（0，0），旗杆（3，0），运动场（2，-3），实验楼（6，-3）.二、综合运用（30分）5.某村过去是一个缺水的村庄，由于兴修水利，现在家家户户都用上了自来水，根据村委会主任徐伯伯讲，以前全村400多户人家只有五口水井：第一口在村委会的院子里，第二口在村委会北偏东30°方向200m处，第三口在村委会正西方向1500m处，第四口在村委会东南方向1000m处，第五口在村委会正南方向900m处，请你根据徐伯伯的话，画图表示这个村庄五口水井的位置.解：如图：O、A、B、C、D分别表示这五口水井的位置.三、拓展延伸（30分）6.如图是传说中的一幅藏宝图，藏宝人生前用平面直角坐标系的方法画了一幅图，现今的寻宝人没有原来的地图，但知道该图上有两块大石头A（2，1），B（8，－2），而藏宝地的坐标是（6,6），试设法在地图上找到藏宝地点.解：根据大石头A、B两点的坐标，可画出如图所示的平面直角坐标系，图上点P的位置即为藏宝地点.代数式的值(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.如果a与1互为相反数,则|a+2|等于( )A.2B.-2C.1D.-1【解析】选C.如果a与1互为相反数,则a=-1,则|a+2|=|-1+2|=1.2.(2013·济南中考)已知x2-2x-8=0,则3x2-6x-18的值为( )A.54B.6C.-10D.-18 【解析】选B.因为x2-2x-8=0,即x2-2x=8,所以3x2-6x-18=3(x2-2x)-18=24-18=6.3.若a=-,b=2,c,d互为倒数,则代数式2(a+b)-3cd的值为( )A.2B.-1C.-3D.0【解析】选D.c,d互为倒数,所以cd=1.当a=-,b=2时,2(a+b)-3cd=2×-3×1=2×-3=3-3=0.【互动探究】如果本题中a,b的关系是互为相反数,c,d互为倒数,那么结果是多少?【解析】因为a,b互为相反数,c,d互为倒数,所以a+b=0,cd=1,所以2(a+b)-3cd=2×0-3×1=-3.二、填空题(每小题4分,共12分)4.x=-1时,下列代数式①1-x;②1-x2;③-2x;④1+x3中,值为0的是(填序号).【解析】因为1-x=1-(-1)=2;1-x2=1-(-1)2=0;-2x=-2×(-1)=2;1+x3=1+(-1)3=0,所以值为0的是②④.答案:②④5.(2013·泉州中考)有一数值转换器,原理如图所示,若开始输入x的值是7,可发现第1次输出的结果是12,第2次输出的结果是6,第3次输出的结果是,依次继续下去……第2013次输出的结果是.【解题指南】解答本题的三个关键(1)确定每次应代入的代数式.(2)确定输出的结果的变化规律.(3)根据变化规律确定输出的结果.【解析】第1次,x=7,输出12;第2次,x=12,输出6;第3次,x=6,输出3;第4次,x=3,输出8;第5次,x=8,输出4;第6次,x=4,输出2;第7次,x=2,输出1;第8次,x=1,输出6;第9次,x=6,输出3;第10次,x=3,输出8;第11次,x=8,输出4;第12次,x=4,输出2;第13次,x=2,输出1……我们可以发现,从第2个数开始,输出的数是6,3,8,4,2,1进行了循环,2013÷6=335……3,所以第2013次输出的结果是3.答案:3 36.代数式3x2-4x-5的值为7,则x2-x-5的值为.【解析】因为3x2-4x-5=7,所以3x2-4x=12,所以x2-x=4,所以x2-x-5=4-5=-1.答案:-1【变式训练】当x=1时,代数式px3+qx+1的值为2014,则当x=-1时,代数式px3+qx+1的值为( ) A.-2 012 B.-2 013 C.-2 014 D.2 012 【解析】选A.将x=1代入px3+qx+1=2014,得p+q+1=2014,即p+q=2013,则当x=-1时,代数式px3+qx+1=-p-q+1=-(p+q)+1=-2013+1=-2012.三、解答题(共26分)7.(8分)若|2x-8|+|y+6|=0,求2x-y的值.【解题指南】解答本题的两个基本步骤(1)根据绝对值的非负性求出x和y的值.(2)把x和y的值代入代数式.【解析】因为|2x-8|+|y+6|=0,所以2x-8=0,y+6=0,解得x=4,y=-6,所以2x-y=2×4-(-6)=8+6=14.8.(8分)如图是用棋子摆成的“上”字:如果按照以上规律继续摆下去,那么通过观察,可以发现:(1)第④、第⑤个“上”字分别需用和枚棋子.(2)第n○个“上”字需用枚棋子.(3)七(3)班有50名同学,把每一位同学当做一枚棋子,能否让这50枚“棋子”按照以上规律恰好站成一个“上”字?若能,请计算最下一“横”的学生数;若不能,请说明理由.【解析】(1)18 22(2)因为第①个图形中有4×1+2=6枚棋子;第②个图形中有4×2+2=10枚棋子;第③个图形中有4×3+2=14枚棋子;第④个图形中有4×4+2=18枚棋子;第⑤个图形中有4×5+2=22枚棋子.所以第n○个图形中有4n+2枚棋子.答案:4n+2(3)能.由题意得4n+2=50,解得n=12.所以最下一“横”的学生数为2n+1=25.【培优训练】9.(10分)2014年世界杯足球赛于7月13日在巴西圆满落幕,激起了人们参与体育运动的热情,我们知道,人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关,如果用a表示一个人的年龄,b表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数,那么有b=0.8(220-a).(1)正常情况下,在运动时一个14岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少?(2)一个45岁的人运动时,10秒钟的心跳次数为22次,他有危险吗?【解析】(1)当a=14时,b=0.8(220-a)=0.8×(220-14)=0.8×206=164.8≈165(次).(2)因为10秒钟心跳次数为22次,所以1分钟心跳次数为22×6=132(次).当a=45时,b=0.8(220-a)=0.8×(220-45)=140>132,所以这个人没有危险.。
有理数加减法法则
有理数加减法法则【知识要点】1．有理数的加法法则：①同号两数相加，取__________的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较______的加数的符号；③互为相反数的两数相加，和为0；④一个数与0相加，仍得这个数．2．用字母表示加法法则：①同号两数相加，若a＞0，b＞0，则a＋b＝__________；若a＜0，b＜0，则a＋b＝________；②异号两数相加，绝对值不相等时，若a＞0，b＜0，|a|＞|b|，则a＋b＝_______；若a＞0，b＜0，|a|＜|b|，则a＋b＝_____；③若a＞0，b＜0，|a|＝|b|，则a＋b＝______；④a＋0＝a．3．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，用式子可以表示为：__________．4．代数和：把加减混合运算统一为省略加号和括号的几个正数或负数的和的形式，这种算式称为___．5．加减混合运算的步骤：①运用有理数的减法法则将有理数混合运算中的减法转化为_____，统一成代数和的形式；②运用加法法则，加法运算律进行运算．【经典例题】一、有理数的加法法则·例1 计算：（1）(－15)＋(－7)； （2）(－121)＋(＋241)； （3）(－＋(＋； （4）(－＋0．【思路点拨】（1）两个负数相加，结果为负；（2）异号两数相加，因为|－121|＜|241|，所以符号取正；（3）互为相反数的两数和为0；（4）一个数同0相加，仍得这一个数．解：（1）(－15)＋(－7)＝－22；（2）(－121)＋(＋241)＝43； （3）(－＋(＋＝0；（4）(－＋0＝－．【方法规律】计算有理数加法的步骤：①先定符号；②再算绝对值；③最后做加、减法．二、对加法法则的理解例2 下列说法正确的是（ ）A ．两个有理数相加，和的绝对值等于它们的绝对值之和》B ．两个负数相加，和的绝对值等于它们的绝对值之和C ．一个正数和一个负数相加，和的绝对值等于它们的绝对值之和D ．一个正数和一个负数相加等于0 【思路点拨】可用一些具体的数验证上面的说法． 【答案】B【方法规律】有理数的加法分同号、异号、与零相加三种情况，计算时先定符号，再计算绝对值的和或差． 例3 下列说法正确的是（ ）A ．两数之和一定大于每个加数B ．两数之和一定小于每一个加数C ．两数之和一定介于两个加数之间D ．以上皆有可能 【思路点拨】对于A 、B 、C 选项，可分别举一个反例来证明它们是错误． 【答案】D·三、有理数加法运算律（1）加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；（2）加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )；使用加法交换律和结合律，移动加数位置时，一定要连同数前面的符号一起移动，用运算律计算可以减少反复确定结果符号的次数，也可以使运算变得简单． 例4 计算：16＋(－25)＋24＋(－32)＋(－5)＋(－13)． 【思路点拨】根据本题的特点，可分正、负两组数进行计算．解：原式＝(16＋24)＋[(－25)＋(－32)＋(－5)＋(－13)]＝40＋(－75)＝－(75－40)＝－35．【方法规律】同号n 个数相加，容易确定和的符号，最后剩下一对异号的数相加，和的符号取绝对值大的加数的符号，并且较大的绝对值减去较小的绝对值．例5 下列各式能用加法的运算律简便计算的是（ ））A ．652＋43＋1 B ．532＋(－221) C ．(－8)＋(－＋(－2)＋(＋ D ．421＋(－87)＋(－331)＋(－254) 【思路点拨】C 选项中，可按正、负数分组，也可把－和＋作一组，－8与－2作一组，分别求和，再相加． 【答案】C【方法规律】用运算律的目的是使计算简便，因此，计算时，应该怎样算简便就怎样算．四、有理数加法的实际应用在运用有理数加法解决实际问题时，必须先确定何为“正”，何为“负”，然后才可以依据要求列出式子，最后用适当的方法计算得出结果．例6 某旅游景区，今年第一季度盈利2200000元，第二季度亏损800000元，则该景区今年上半年的效益为多少【思路点拨】设定盈利为“正”，则亏损为“负”，再列加法计算出结果． 解：2200000＋(－800000)＝1400000（元）…即该景区今年上半年的效益为盈利1400000元．【方法规律】做有理数的实际应用性题目时，先根据题意，设定“正|”、“负”，再计算，并由此作答． 五、有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a －b ＝a ＋(－b )，在减法变为加法的时候，要注意“两变”：①运算符号由“－”号变为“＋”号；②减数变为原来的相反数． 例7 计算：（1）－(＋； （2）－741－(－821)；（3）(－331)－561； （4）0－100； （5）(－8)－0； （6）－(－．【思路点拨】按减法法则，先将减法转化为加法，然后根据有理数加法的法则及运算律进行计算．解：（1）－(＋＝＋(－＝－；（2）－741－(－821)＝－741＋821＝141； （3）(－331)－561＝(－331)＋(－561)＝－821；（4）0－100＝0＋(－100)＝－100；~（5）(－8)－0＝－8；（6）－(－＝＋＝． 【方法规律】一个数减0等于这个数本身．六、有理数加减混合运算有理数混合运算的步骤：①运用有理数减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法，统一成和的形式；②运用加法法则、加法运算律进行运算． 例8 计算：（1）(－321)－(－532)＋(＋731)；（2）＋(－－(－－(＋．【思路点拨】（1）含分数的有理数运算中，同分母的数可优先计算；（2）含小数的有理数运算中，可以使用凑整法，简化运算过程． 解：（1）(－321)－(－532)＋(＋731)＝－321＋532＋731/＝－321＋(532＋731) ＝－321＋13 ＝921；（2）＋(－－(－－(＋＝－＋－ ＝＋－＋ ＝20－10 ＝10．【方法规律】有理数的混合运算中，要注意正确的运算步骤．【拓展探究】—一、有理数加法运算律的运算技巧利用有理数的加法运算律，为了使计算简单，运算时常用到一些技巧，如：①相反数结合法；②同号结合法；③同分母结合法；④凑整法；⑤同形结合法、带分数相加时，先将其拆成整数和分数，再利用加法运算律相加． 例1 用简便方法计算：（1）(－＋(－341)＋＋(＋721)；（2）(－32)＋(－243)＋(－132)＋(＋．【思路点拨】分数与小数混合的有理数加法中，应先把小数与分数的形式统一之后，再进行计算．解：（1）(－＋(－341)＋＋(＋721)＝(－＋(－＋＋(＋ ＝[(－＋(－]＋[＋] ＝(－＋＝；（2）(－32)＋(－243)＋(－132)＋(＋~＝(－32)＋(－243)＋(－132)＋(＋143)＝[(－32)＋(－132)]＋[(－243)＋(＋143)] ＝(－231)＋(－1) ＝－331．【方法规律】（1）中用到同号结合法；（2）中用到同分母结合法，也可用同号结合法．例2 计算：(＋341)＋(－253)＋(－781)＋543＋(－852)＋(＋781)．【思路点拨】(－781)与＋781结合、(－253)与(－852)结合、(＋341)与543结合起来计算比较简便．解：原式＝[(＋341)＋543]＋[(－253)＋(－852)]＋[(－781)＋(＋781)]＝9＋(－11)＋0 ＝－2．|【方法规律】多个分数相加，互为相反数的数或同分母的数优先相加． 例3 计算：(－201565)＋(－199932)＋(＋401532)．【思路点拨】把每个带分数的整数部分与真分数部分分开，再分整数、分数分别进行计算．解：原式＝(－2015)＋(－65)＋(－2000)＋(＋31)＋4015＋32＝[(－2015)＋(－2000)＋4015]＋[(－65)＋(31)＋32] ＝0＋(＋61)＝61．【方法规律】有时拆分带分数为整数部分与分数部分，可使计算简便．例4 用不同的简便方法计算：(＋1)＋(－2)＋(＋3)＋(－4)＋…＋(＋99)＋(－100)． 【思路点拨】可用不同的分组的方法求和．}方法一：原式＝[(＋1)＋(－2)]＋[(＋3)＋(－4)]＋…＋[(＋99)＋(－100)] ＝个50)1()1()1(-+-+-＝－50； 方法二：原式＝[1＋(－2)＋(＋3)＋(－4)]＋[(＋5)＋(－6)＋(＋7)＋(－8)]＋…＋[(＋97）＋(－98)＋(＋99)＋(－100)]＝个25)2()2()2(-+-+-＝－50．二、用作差法比较两个有理数的大小比较两个有理数a 与b 的大小，可以先求出a 与b 的差a －b ：①若a －b ＞0，则a ＞b ；②若a －b ＝0，则a ＝b ；③若a －b ＜0，则a ＜b ． 例5 若x ＝－31＋＋(－32)，y ＝－＋，比较x 与y 的大小． 【思路点拨】先求出x 与y 的差，再比较x －y 与0的大小关系．解：因为x －y ＝[－31＋＋(－32)]－(－＋＝(－1)＋－＝21＞0，所以x ＞y ．^三、有理数加减混合运算的步骤方法和技巧做有理数加减混合运算时通常分两个步骤：①运用有理数的减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法，统一成代数和的形式；②运用加法法则、加法运算律进行计算．常见的技巧：①正数和负数分组计算；②互为相反数的两个数结合；③同分母分数相结合；④凑整；⑤拆带分数为整数和分数两部分参与计算． 例6 计算：（1）(＋＋(－481)＋(－243)＋(－1275)＋； （2）(＋7)＋－(－5)＋(－521)－(＋341)－(＋．【思路点拨】（1）把小数、分数统一为分数形式较容易识别并结合同分母；（2）用凑整法分母结合．解：（1）原式＝81＋(－481)＋(－243)＋(－1275)＋43＝[(－243)＋43]＋[81＋(－481)]＋(－1275)＝－2＋(－4)＋(－1275)＝－1875．（2）原式＝[－(＋]＋[(＋7)＋－(－5)]＋(－521)－(＋341) ＝2＋12＋(－521)－(＋341)＝541．.【方法规律】分组结合时，注意括号的使用．四、数轴上两点间的距离表示数轴上两点间的距离可用右边点表示的数减去左边点表示的数，或用两个点表示的数相减的绝对值表示，如AB ＝y －x ＝|x －y |． 例7 已知数轴上两点A 与B ．（1）若A 表示3，B 表示5，则A ，B 之间的距离为_______________； （2）若A 表示3，B 表示－3，则A ，B 之间的距离为______________； （3）若A 表示－2，B 表示3，则A ，B 之间的距离为______________； （4）若A 表示－2，B 表示－3，则A ，B 之间的距离为_____________； （5）猜想：若A 表示数a ，B 表示数b ，则A 、B 之间的距离为_____________．yxB A%【思路点拨】画数轴来分析问题．解：（1）2 （2）6 （3）5 （4）1 （5）|a－b|五、有理数加减法的实际应用例8 甲、乙两队进行拔河比赛，标志物先向乙队方向移动米，又向甲队方向移动了米，相待一会儿，又向乙队方向移动米，随后又向甲队方向移动米，在大家的欢呼声中标志物又向甲队方向移动米．如果规定，标志物向某队方向移动2米，该队即可获胜，那么最终哪队取得了胜利【思路点拨】先规定标志物向甲队方向移动为正，向乙队方向移动为负，然后列式计算，比较结果与2米的大小．解：设标志物向甲队方向移动为正，向乙队方向移动为负，依题意，得(－＋(＋＋(－＋(＋＋＝－＋－＋＋＝＋＋－＋＝－＝（米）所以，最终甲队取得了胜利．#【实战演练】1．某天一股票开盘价为18元，中午跌了元，下午收盘时又涨了元，则该股票的收盘价是（）A．元 B．元 C．元 D．18元2．下列计算正确的是（）A．(＋20)＋(－30)＝10 B．(－31)＋(－11)＝－20C．(－3)＋(＋3)＝0 D．(－＋(＋＝3．如果两个有理数的和大于零，那么（）A．两个有理数一定都是正数 B．两个有理数一个一定是正数，一个一定是负数C．两个有理数不可能都是负数 D．两个有理数可能都是零4．计算2－(－3)的结果是（）A．5 B．1 C．－1 D．－5：5. －5的绝对值与5的相反数的差是（ ） A. 0 B. 10 C. －10 D. 4456. 下列说法中，正确的是（ ）A . 两数相减，被减数一定大于减数B . 0减去一个数仍得这个数C . 互为相反数的两个数的差为0D . 减去一个正数，差一定小于被减数7. 小萌在下面的计算中只做了一道题，他做对的题是（ ） A. 22()()055-+-= B. （－7）＋（＋3）＝－10 C. 6()007-+= D. 22(6)633+-=-8.计算：( 1.75)(7.3)( 3.25)(8.5) 1.5[( 1.75)( 2.25)][1.5(8.50](7.3)-+++-+-+=-+-++-++ ，这一步运算运用了（ ）A. 加法的交换律B. 加法的结合律C. 加法的交换律和结合律D. 以上都不对》9. 某粮店出售三种品牌的面粉，袋上分别标有质量为（25±）kg 、（25±）kg 、（25±）kg 的字样，任意取出两袋，它们的质量最多相差（ ） A. B. C. D. 10、下列各式中，与式子－a ＋b －c 相等的是（ ）A. －b ＋a －cB. b －a －cC. a ＋c －bD. －b ＋a ＋c 11、有理数A . b 在数轴上的位置如图所示，则a ＋b 的值（ ）A. 大于0B. 小于0C. 小于aD. 大于b 12、用“＞”或“＜” 填空：（1）如果a ＞0，b ＞0，那么a ＋b ______； （2）如果a ＜0, b ＜0， 那么a ＋b _______; (3)如果a ＞0, b ＞0, |a |＞|b |，那么a ＋b ______;&(4) 如果a ＞0, b ＞0, |a |＜|b |，那么a ＋b ______;13、甲、乙、丙三地的海拔高度分别是200米，－50米，－150米，那么最高的地方比最低的地方高_____米.14、下列计算运用律恰当的是有______(填序号)①28＋(－18)＋＋(－22)＝[(－18)＋(－22)]＋(28＋6) ②111111()1()[()1][()]244244-++-+=-++-+③33333.25(2)5(8.4)(3.255)[(2)(8.4)]5445+-++-=++-+- 15、把1513()()(0.8)263+----+ 转化为加法为____________. 16. 已知x ＝25, y ＝－30, z ＝－38，则－x －y －z ＝__________. 17. 三个数－15，－5,10的和比它们的绝对值的和_____. 18、计算： (1)71()()186-+- ； (2)0＋(－4)； @(3)23(17)6(22)+-++- (4)(2)31(3)2(4)-+++-++-(5)44413()()()13171317-+-++- (6)2111(4)(3)6(2)3324-+-++- . 19、计算；(1) (7)9(3)(5)----+- (2) 4.2 5.78.410-+-+(3)15214632-++- (4)3.1 4.2 4.2( 1.9)+---(5)123()()1777---- (6)12(1)(3)(1)33--+--20. 在1、－1、－2这三个数中，任意两数之和的值中，最大值是______. 21、有理数A . b 在数轴上的位置如图，则下列说法正确的是( )"A.0a b -+>B. ()0a b +-<C. 0a b +<D. 以上答案都不对22、如图，A 、B 两点间的距离是______；B 、C 两点间的距离是______.x–1–2–3–41234CAB23、下列各式可以写成a －b ＋c 的是( ) A. ()(c)a b ---+ B. ()()a b c -+-- C. ()()a b c +-+- D. ()()a b c +--+ 24、已知|a |＝3, |b |＝5，则|a ＋b |＝___________.25、－8和5加上同一个数x 后所得结果互为相反数，则x ＝________. 26、如果A . B . c 是有理数，且a ＋b ＋c ＝0，那么( )A . 三个数有可能同号B . 三个数一定是0C . 一定有两个数互为相反数D . 一定有一个数的相反数等于其余两个数之和】27. x 与－1的差是－1 ，则x 值为_______.28. 若|x |＝5, |y |＝3，且x ＜y ，则x －y 等于( )A . －8 B. －2 C. －8或－2 D. 2或829、下列式子一定成立的是( )A. ||0x x -=B. 0x x --=C. |||0x x +-=｜D. ||||0x x -= 30. a , b 两数在数轴上的位置如图所示，M ＝a ＋b , N ＝－a ＋b , H ＝a －b , G ＝－a －b , 则下列各式中正确的是( )A. G ＞H ＞M ＞NB. G ＞N ＞M ＞HC. G ＞M ＞N ＞HD. G ＞N ＞H ＞M 31、如图是一个由六个小正方体组合而成的几何体，每个小正方体的六个面都分别写着－1,2，3，－4,5，－6六个数字，那么图中所有看不见的面上数字之和是_______. 32、计算：(1)2111()()3642-+---- (2|34|(58)|15|(520)-+----+--:(3)341[1()5]|4|77-----++ (4)313135{1[(1)]}6424288---+-++33、用简便方法计算：(1)(23)59(41)(59)-++-+- (2)( 3.8) 2.7(0.5) 1.3(0.2)-++-++-—(3)7737212(2)5(1)2(3)81258512+-++-++-(4)5231(2000)(1999)(4000)(1)6342-+----+34．从图①中找规律，并按规律在图②中的空格里填上合适的数.）35. 已知a＜0, b＞0, c＜0，且|c|＜|b|＜|a|,试比较a, b, c, a＋b, a＋c 的大小.36、已知的A、B两点在数轴上分别表示的数为m, n，(1)对照数轴填写下表：M6&－6－6－62－N404－4－8－A. B两点间的距离(2)若A、B两点间的距离记为d, 试问d与m、n有何数量关系并用文字描述出来；(3)已知A、B在数轴上分别表示的数为x和－1，则A. B两间的距离d可表示为_________，如果d＝8，求x的值.37. 对有理数a, b定义运算“※”如下，a※b＝(a＋b)－(a－b)，求－3※4的值.38. (1)有1,2，3，…，11,12共12个数，请在每两个数之间添上“＋”或“－”，使它们的和为0；(2)若有1,2，3，…，2015，2016共2006个数，请在每两个数添上“＋”或“－”，使它们的和为0；(3)根据(1)、(2)的规律试判断能否有1,2，3，…，2014,2015，共2015个数的每两个数之间添上“＋”或“－”，使它们的和为0，若能，请说明添法；若不能，请说明理由.。
七年级数学上册第1章有理数1.4有理数的加减1.4.1有理数的加法同步练习新版沪科版
1.4 有理数的加减1．有理数的加法知|识|目|标1．通过温度变化在数轴上的表示，归纳有理数的加法法则，并能根据加法法则进行计算．2．经历解决相关的实际问题的过程，掌握两个有理数加法的简单应用．目标一 会利用有理数的加法法则进行计算例1 教材例1针对训练计算：(1)0＋(－xx)；(2)(＋3.52)＋(＋12.18)；(3)(－27)＋(－67)；(4)(－10.6)＋7.4；(5)(－3.123)＋(＋3.123)．【归纳总结】有理数加法运算的步骤：一判：判定是同号还是异号的两数相加，异号两数中哪个数的绝对值较大；二定：依据法则确定和的符号；三加减：用两个加数的绝对值相加或相减求和的绝对值．目标二掌握有理数的加法运算在实际中的应用例2 教材补充例题某水利勘察队，第一天向上游走5 km，第二天又向上游走5 km，第三天向下游走4 km，第四天又向下游走4.5 km，这时勘察队在出发点的哪个方向？与出发点相距多少千米？【归纳总结】有理数加法应用的注意要点：用有理数的加法解决实际问题时，首先要注意实际问题中的隐含条件，然后分析互为相反意义的量中的哪个取正号“＋”，哪个取负号“－”，最后进行计算．知识点有理数的加法法则有理数的加法法则：1.同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加．2．异号两数相加，绝对值相等时和为________；绝对值不相等时，取绝对值________的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．3．一个数与0相加，仍得这个数．[点拨] 有理数的加法法则可以利用下面的图表来理解：计算：(1)(－75)＋(－35)＝－(75－35)＝－25； (2)(－1716)＋(＋54)＝－(1716＋54)＝－(1716＋2016)＝－3716. 以上计算正确吗？若不正确，请指出错误原因，并给出正确的解答过程．详解详析1.4 有理数的加减1．有理数的加法【目标突破】例1 解：(1)0＋(－xx)＝－xx.(2)(＋3.52)＋(＋12.18)＝＋(3.52＋12.18)＝15.7.(3)(－27)＋(－67)＝－(27＋67)＝－87. (4)(－10.6)＋7.4＝－(10.6－7.4)＝－3.2.(5)(－3.123)＋(＋3.123)＝－(3.123－3.123)＝0.例2 解：设向上游走记作“＋”，向下游走记作“－”，根据题意得： (＋5)＋(＋5)＋(－4)＋(－4.5)＝1.5(km )，则这时勘察队在出发点的上游，与出发点相距1.5 km 处．备选目标 会求不确定加数的和例 已知|x|＝5，|y|＝3，求x ＋y 的值．解：由|x|＝5得x ＝±5.由|y|＝3得y ＝±3.求x ＋y 的值有以下几种情况：x ＋y ＝5＋3＝8；x ＋y ＝5＋(－3)＝2；x ＋y ＝(－5)＋3＝－2；x ＋y ＝(－5)＋(－3)＝－8.[归纳总结] 解题时注意分类讨论，不要漏解．【总结反思】[小结]知识点 0 较大[反思] 不正确．错误的原因是混淆了有理数的加法法则．正确的解答过程如下：(1)(－75)＋(－35)＝－(75＋35)＝－2. (2)(－1716)＋(＋54)＝＋(54－1716)＝＋(2016－1716)＝316. 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
有理数的加法法则(教案）
华师版数学七年级有理数的加法法则教学设计课题有理数的加法法则单元 2.6.1 学科数学年级七年级学习目标1、通过实例，理解有理数加法的意义，掌握有理数的加法法则；2、能熟练运用有理数加法法则进行有理数的运算；3、渗透分类的思想；重点掌握有理数的加法法则，能熟练运用有理数加法法则进行有理数的运算；难点正确运用有理数的加法法则进行有理数运算；教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课提出问题：小明在一条东西向的跑道上，先走了20米，又走了30米，能否确定他现在位于原来的哪个方向，与原来的位置相距多少米？我们知道，求两次运动的决结果，可以用加法来解答。
可是上核实不能得到确定的答案，因为小明最后的位置与行走方向有关。
读并思考提出问题引出新课讲授新课一、探索有理数加法法则规定向东为正，向西为负。
1、若两次都是向东走，一共向东走了50米，写成算式是（+20）+（+30）=+50即小位于原来位置的东边50米处。
这一运算在数轴上可以表示为下图。
2、若两次都是向西走，则小明现在位于原来位置的西边50米处，写成算式是：（－20）+（－30）=－503、若第一次向东走20米，第二次向西走30米，在数轴上，我们可以看到，小明位于原来位置的西边10米处。
直接回答直接回答通过实例探索有理数加法法则数形结合写成算式：（+20）+（－30）=－104、若第一次向西走20米，第二次向东走30米，则小明位于原来位置的边米处，写成算式是：（－20）+（+30）= ；思考：（+2）+（+7）= ；（－1.6）+（－2.4）= ；（－4）+（－3）= ；（－3）+（－10）= ；（+4）+（－3）= ；（+3）+（－10）= ；（－5）+（+7）= ；（－6）+2= ；5、第一次向西走了30米，第二次向东走了30米，写成算式是：（－30）+（+30）= ；6、第一次向西走了30米，第二次没走，写成算式是：（－30）+0= ；交流讨论：从上述的6个算式中，你能总结出一些规律吗？二、有理数加法法则1、同号两数相加，取与加数相同的正负号，并把绝对值相加；(1)a>0,b>0,a+b=+(|a|+|b|)(2)a<0,b<0,a+b=－(|a|+|b|) 直接回答直接回答直接回答交流讨论读并思考有理数加法法则的文字表述和字母表述。
有理数的加减混合运算法则
有理数的加减混合运算法则1.有理数的加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；⑶互为相反数的两数相加，和为零；⑷一个数与零相加，仍得这个数。
2.有理数加法的运算律⑴加法交换律：a+b=b+a⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3.加法性质一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。
即：⑴当b>0时，a+b>a⑵当b<0时，a+b<a⑶当b=0时，a+b=a4.有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。
用字母表示为：a-b=a+(-b)。
5.有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。
在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。
如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”②按运算意义读作“负8减7减6加5”6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：Ⅰ.把符号相同的加数相结合（同号结合法）(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)（将减法转换成加法）=-33+18-15-1+23（省略加号和括号）=(-33-15-1)+(18+23)（把符号相同的加数相结合）=-49+41（运用加法法则一进行运算）=-8（运用加法法则二进行运算）Ⅱ.把和为整数的加数相结合（凑整法）(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)（将减法转换成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8（省略加号和括号）=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8（把和为整数的加数相结合）=4-10+3.8（运用加法法则进行运算）=7.8-10（把符号相同的加数相结合，并进行运算）=-2.2（得出结论）Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）--+-+-原式=(--)+(-+)+(+-)=-1+0-=-1Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）(+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25)原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)=+3-3+10-1=(3-1)+(-3)+10=2-3+10=-3+13=10Ⅴ.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）-3+10-12+4原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-)=-1++=-1++Ⅵ.分组结合2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)=0Ⅶ.先拆项后结合（1+3+5+7...+99）-（2+4+6+8 (100)有理数的乘除法1.有理数的乘法法则法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）法则二：任何数同0相乘，都得0；法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.2.倒数乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。
1.4有理数的加减例题与讲解
1.4 有理数的加减1．有理数的加法(1)有理数的加法法则①同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加．②异号两数相加，绝对值相等时和为零；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数与零相加，仍得这个数．(2)两个有理数相加的步骤第一步：有理数的加法法则分三种情况，进行有理数加法时，要先区别是哪种情况；第二步：确定和的符号；第三步：求每个加数的绝对值；第四步：根据具体的法则计算两个数的绝对值的和或差；第五步：写出最后的计算结果．析规律有理数的加法运算规律(1)有理数的加法法则是进行有理数运算的依据，进行加法运算时要先确定用哪条法则．(2)小学学过的加法中，和一定大于每一个加数，在数的范围扩大到有理数以后，这个结论就不成立了，只有两个正数的和必定大于每一个加数，而两个负数的和要小于每一个加数，一个非零数与零相加，得到的和等于非零加数．(3)如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数．即：如果a＋b＝0，那么a＝－b.例如：(－3)＋a＝0，则a＝3.(4)进行有理数的加法运算要遵循“一定二求三和差”的步骤，即第一步先确定和的符号，第二步再求加数的绝对值，第三步要分析确定是绝对值相加还是相减．【例1】计算：(1)(＋8)＋(＋5)；(2)(＋2.5)＋(－2.5)；(3)(－17)＋(＋9)；(4)(－4)＋0.分析：根据有理数的加法法则，两数相加，只要确定它适合有理数加法法则的哪一种情况，再根据法则确定和的符号，然后根据法则求出和的绝对值．解：(1)(＋8)＋(＋5)(同号两数相加)＝＋(8＋5)(取与加数相同的符号，并把绝对值相加)＝13.(2)(＋2.5)＋(－2.5)(异号两数相加，绝对值相等)＝0(和为0)．(3)(－17)＋(＋9)(异号两数相加，绝对值不等)＝－(17－9)(取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值)＝－8.(4)(－4)＋0(一个数与零相加)＝－4(仍得这个数)．2．有理数的减法(1)有理数的减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数．用字母表示为a－b＝a＋(－b)．(2)有理数减法运算的基本步骤①将减法转化为加法；②按有理数的加法法则运算．(3)法则理解①有理数的减法，不像小学里的那样直接减，而是把它转化为加法，借助于加法进行计算．其关键是正确地将减法转化为加法，再按有理数的加法法则计算．②学习有理数减法运算，关键在于处理好法则中两个“变”字，即注意两个符号的变化：一是运算符号——减号变为加号，二是性质符号——减数变成它的相反数．③其含义可以从以下两方面理解：(a)(b) ④并不是所有的减法运算都要转化为加法运算． 一般来说，当减数或被减数为负数，或两数“不够减”时才运用法则转化为加法运算． 解技巧 有理数的减法运算技巧 (1)可用口诀记忆法则：“减正变加负，减负变加正．” (2)带分数减法运算，可把带分数拆成整数和分数和的形式后再进行计算．(3)特别注意减法没有交换律．【例2】 计算：(1)3－(－5)；(2)(－3)－(－7)；(3)⎝⎛⎭⎫－213－516； (4)5.2－(＋3.6)．分析：有理数减法运算，按照减法法则，将减法转化为加法，然后按有理数加法进行计算．在做减法转换为加法时，一定要注意符号的变换．解：(1)3－(－5)＝3＋(＋5)＝8；(2)(－3)－(－7)＝(－3)＋(＋7)＝4；(3)⎝⎛⎭⎫－213－516＝⎝⎛⎭⎫－213＋⎝⎛⎭⎫－516＝－712； (4)5.2－(＋3.6)＝5.2＋(－3.6)＝1.6.3．有理数加法的运算律(1)加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变．用字母表示为：a ＋b ＝b ＋a .(2)加法结合律：三数相加，先把前两个数相加或先把后两个数相加，和不变．用字母表示为：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．【例3】 计算：(1)(－8)＋⎝⎛⎭⎫－212＋2＋⎝⎛⎭⎫－12＋12； (2)⎝⎛⎭⎫－13＋⎝⎛⎭⎫＋12＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫＋45＋⎝⎛⎭⎫－12. 分析：进行三个以上的有理数加法运算时，常常运用加法的交换律和结合律，把同号的数相结合，把互为相反数的两个数相结合，把同号的数中的同分母的分数相结合，以达到计算简便、迅速的目的．解：(1)原式＝(2＋12)＋⎣⎡⎦⎤(－8)＋⎝⎛⎭⎫－212＋⎝⎛⎭⎫－12＝14＋(－11)＝3； (2)原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－13＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫＋12＋⎝⎛⎭⎫－12＋45＝－1＋0＋45＝－15. 4.有理数的加、减混合运算(1)加减法统一成加法①有理数加减混合运算，可以通过有理数减法法则将减法转化为加法，统一成只有加法运算的和式．如：(－12)－(＋8)＋(－6)－(－5)＝(－12)＋(－8)＋(－6)＋(＋5)．②在和式里，通常把各个加数的括号省略不写，写成省略加号的和的形式．如：(－12)＋(－8)＋(－6)＋(＋5)＝－12－8－6＋5.③和式的读法：一是按这个式子表示的意义，读作“负12，负8，负6，正5的和”，即把各个数中间的符号作为后面的这个数的性质符号来读；二是按运算意义读作“负12减8减6加5”，即把各个数中间的符号作为运算符号来读．(2)有理数加、减混合运算的方法和步骤由于减法可以转化为加法，所以在进行有理数的加减混合运算时，首先要将混合运算的式子写成省略括号的和式的形式，然后按加法法则和运算律进行简便运算． 第一步：用减法法则将减法转化为加法； 第二步：运用加法法则、加法交换律、加法结合律进行简便运算． (3)进行有理数的加减混合运算的注意事项 ①交换加数的位置时，一定要连同加数前的符号一起移动； ②如果需要添括号，一定要连同加数前的符号一起括进括号内，并将原来已省略的括号写出来； ③省略加号和括号的“和”与小学里的“和”是有区别的，小学里的“和”是一个具体的数，并且和一定不小于任何一个加数，而这里的“和”则是表示的是有理数的加法运算，也表示相加的结果．有理数的“和”可以大于任何一个加数，也可以小于任何一个加数，和可能是正数、负数或零． 【例4－1】 把下列各式写成省略加号的和的形式：(1)(－26)－(－7)＋(－10)－(－3)；(2)(－30)－(－8)＋(－12)－(－5)．分析：先统一成加法，再省略括号和加号．在把加减混合运算的式子写成省略加号的和的形式时，符号容易变错，做这样的题目时，一定要注意符号的变化．解：(1)(－26)－(－7)＋(－10)－(－3)＝－26＋(＋7)＋(－10)＋(＋3)＝－26＋7－10＋3. (2)(－30)－(－8)＋(－12)－(－5)＝(－30)＋(＋8)＋(－12)＋(＋5)＝－30＋8－12＋5.【例4－2】 计算：(1)0－327－6＋1167－537； (2)⎝⎛⎭⎫－12－⎝⎛⎭⎫－16＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－45； (3)(－5)－(－21)＋(－12)＋8－(－4)－18；(4)(＋10.4)－7.5＋12.7－(－3.6)＋(－1.7)－2.5.分析：(1)本题是省略括号和加号后的和的形式，在五个加数中，考虑到－327，1167，－537三个加数分母都是7，便于运算，所以把这三个加数放在一起；(2)把加减混合运算统一成加法运算后结果为⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫＋16＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－45，考虑到⎝⎛⎭⎫－12，⎝⎛⎭⎫－23，⎝⎛⎭⎫＋16便于通分，把它们结合起来，可使计算较为简便；(3)统一成加法后，可采用同号结合法，即把正数与正数、负数与负数分别相加；(4)统一成加法后，可采用凑整结合法，即把相加得整数的加数先结合．解：(1)0－327－6＋1167－537＝(0－6)＋⎝⎛⎭⎫－327＋1167－537 ＝－6＋⎝⎛⎭⎫＋317＝－267. (2)⎝⎛⎭⎫－12－⎝⎛⎭⎫－16＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－45 ＝⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫＋16＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－45 ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫＋16＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－45 ＝(－1)＋⎝⎛⎭⎫－45＝－145. (3)(－5)－(－21)＋(－12)＋8－(－4)－18＝－5＋21－12＋8＋4－18＝(21＋8＋4)＋(－5－12－18)＝33－35＝－2.(4)(＋10.4)－7.5＋12.7－(－3.6)＋(－1.7)－2.5＝10.4－7.5＋12.7＋3.6－1.7－2.5＝(10.4＋3.6)＋(12.7－1.7)＋(－7.5－2.5)＝14＋11－10＝15.5．含有字母的有理数加法的运算我们可以用字母表示有理数加法的运算法则：①同号两数相加：若a ＞0，b ＞0，则a ＋b ＝＋(|a |＋|b |)；若a ＜0，b ＜0，则a ＋b ＝－(|a |＋|b |)．②异号两数相加：若a ＞0，b ＜0，且|a |＝|b |，则a ＋b ＝0；若a ＞0，b ＜0，且|a |＞|b |，则a ＋b ＝＋(|a |－|b |)；若a ＞0，b ＜0，且|a |＜|b |，则a ＋b ＝－(|b |－|a |)．③一个数与0相加：a ＋0＝a .【例5－1】 根据加法法则填空：(1)如果a ＞0，b ＞0，那么a ＋b __________0；(2)如果a ＜0，b ＜0，那么a ＋b __________0；(3)如果a ＞0，b ＜0，|a |＞|b |，那么a ＋b ________0；(4)如果a ＜0，b ＞0，|a |＞|b |，那么a ＋b ________0.答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞ (4)＜【例5－2】 已知有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，且|a |＞|b |＞|c |，则(1)|a ＋(－b )|＝__________；(2)|a ＋b |＝__________；(3)|a ＋c |＝__________；(4)|b ＋(－c )|＝__________；(5)|b ＋c |＝__________.答案：(1)|a |＋|b | (2)|a |－|b | (3)|a |＋|c | (4)|b |＋|c | (5)|b |－|c |6.有理数加减混合运算的注意事项(1)运用加法交换律，在交换各数的位置时要连同它们前面的符号一起交换，千万不要把符号漏掉．(2)应用加法结合律时，应充分考虑同号加数结合、同分母或便于通分的加数结合、凑整的加数结合、互为相反数的加数结合等情形，从而选择适当的方法，使运算简便．(3)若分数、小数混在一块运算时，可以把它们统一成分数或小数再运算．(4)如果有大括号和小括号应当先进行小括号里的运算，再进行大括号里的运算．反之，进行有理数的加减混合运算，有时候需要添加括号，此时一定要连同加数的符号一起括进括号内，并将原来已省略的加号写进来．辨误区 拆分负的带分数负的带分数拆分为整数与分数的和时，易将负整数与负分数的和错拆为负整数与正分数的和．【例6】 计算：(1)(－837)＋(－7.5)＋(－2147)＋(＋312)； (2)⎪⎪⎪⎪5111－3417＋4417－111.分析：把分母不同的分数的加减混合运算统一成加法之后，应用运算律使同分母分数相加可以简化运算．解：(1)(－837)＋(－7.5)＋(－2147)＋(＋312) ＝－837－7.5－2147＋312＝－837－2147－7.5＋312＝(－837－2147)－(7.5－312) ＝－30－4＝－34.(2)⎪⎪⎪⎪5111－3417＋4417－111＝5111－3417＋4417－111＝5111－111－3417＋4417＝(5111－111)－(3417－4417) ＝5＋1＝6.7．有理数加减法的运用学习有理数的加减法后，可以和前面学过的数轴、相反数、绝对值综合出题，把有理数的知识融合得更紧密，理解得更深刻．(1)有理数的加法与绝对值在有些计算中，含有绝对值符号，这就要用绝对值的概念，先去掉绝对值符号，再按有理数混合运算法则进行计算．几个非负数的和等于0，则每个加数必等于0.(2)有理数的加法与有理数的大小比较学习加法后，在比较大小的数中，出现了和的形式或差的形式(差可以化成和)．特别是以字母表示的数．这就需要用加法法则来判断数的正负，或判断数对应的点在数轴上的位置关系，从而确定两个数的大小关系．(3)有理数加法在实际问题中的应用在实际问题中，要应用有理数的加法法则求解问题，注意运算技巧的使用．【例7－1】 若|x －3|与|y ＋3|互为相反数，求x ＋y 的值．解：根据题意得|x －3|＋|y ＋3|＝0.则x －3＝0，y ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝－3.所以x ＋y ＝3＋(－3)＝0.【例7－2】 一小吃店一周中每天的盈亏情况如下(盈利为正)：128.3元，－25.6元，－15元，－7元，36.5元，98元，27元，这一周总的盈亏情况如何？分析：正数表示盈利，负数表示亏损，这些数的代数和就是总的盈亏情况，如果代数和为正，则总的情况是盈利，否则是亏损．解：128.3＋(－25.6)＋(－15)＋(－7)＋36.5＋98＋27＝(128.3＋36.5＋98＋27)＋(－25.6－15－7)＝289.8－47.6＝242.2.答：一周总的盈亏情况是盈利242.2元．【例7－3】 一农业银行某天上午9：00～12：00办理了7笔储蓄业务；取出9.5万元，存入5万元，取出8万元，存入12万元，存入25万元，取出10.25万元，取出2万元．这天上午该银行的现金增减情况怎样？分析：可以设存入为正，取出为负，用正、负数分别表示这7笔业务，求它们的和即可判断现金的增减情况．若结果为正数，则表明现金增加了；若结果为负数，则表明现金减少了．解：(－9.5)＋(＋5)＋(－8)＋(＋12)＋(＋25)＋(－10.25)＋(－2)＝[(－9.5)＋(－8)＋(－10.25)＋(－2)]＋[5＋(＋12)＋(＋25)]＝－29.75＋42＝12.25(万元)．答：这天上午该银行的现金增加了12.25万元．8.有理数减法的应用(1)有理数减法的应用比较常见的题型有：计算高度，计算温差，计算销售利润，计算距离，计算时差等．有理数减法的应用题虽然比较简单，但却能让大家主动地从数学角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，充分体现课程标准所要求的“数学应用意识”．因此，我们要有意识地加强数学知识与现实生活联系密切的问题的训练，提高自己的能力．(2)利用有理数减法求数轴上两点间的距离求数轴上两点间的距离是有理数减法最典型的应用之一，数轴上任意两点之间的距离，都可以用数轴上表示这两点的有理数的差的绝对值来表示．【例8－1】如图所示的数轴上，表示－2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示2和－5的两点之间的距离是______，数轴上表示－1和－3的两点之间的距离是______．解析：数轴上表示－2和5两点之间的距离是|－2－5|或|5－(－2)|；数轴上表示2和－5两点之间的距离是|2－(－5)|或|－5－2|；数轴上表示－1和－3的两点之间的距离是|－1－(－3)|或|－3－(－1)|.答案：77 2【例8－2】以地面为基准，A处高为＋2.5米，B处高为－17.8米，C处高为－32.4米，问：(1)A处比B处高多少米？(2)B处与C处哪个地方高？高多少米？解：(1)＋2.5－(－17.8)＝2.5＋17.8＝20.3(米)，所以A处比B处高20.3米．(2)－17.8－(－32.4)＝－17.8＋32.4＝14.6(米)，所以B处比C处高，高了14.6米．。
七年级数学上册 1.4.1 有理数的加法教案 (新版)湘教版-(新版)湘教版初中七年级上册数学教案
有理数的加法【教学目标】知识与技能1.经历探索有理数加法法则的过程,理解有理数的加法法则.2.运用有理数加法法则熟练地进行加法运算.过程与方法在教师创设的熟悉情境与学生探索法则的过程中,通过观察结果的符号及绝对值与两个加数的符号及其绝对值的关系,培养学生的分类、归纳、概括的能力.情感态度通过师生交流、探索,激发学生的学习兴趣、求知欲望,养成良好的数学思维品质. 教学重点理解和运用有理数的加法法则.教学难点理解有理数加法法则,尤其是理解异号两数相加的法则.【教学过程】一、情景导入,初步认知1.回顾：绝对值概念：在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.绝对值性质：正数和0的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；护卫相反数的两个数的绝对值相等。
2 从前有一个文盲记录家里的收入和支出的时候是这样的，用一颗红豆代表收入一文钱，用一颗黑豆代表支出一文钱，有一个月他发现记账的盒子里有10颗红豆6颗黑豆，他发现红豆比黑豆多了4颗，于是他不仅知道了这个月结余了4文钱还知道了自己这个月的收入和支出情况。
我们可以用一个图形来表示他这种记账方式。
“○”，“●”分别表红豆和黑豆。
，这个图形其实就是一个有理数的加法算式：（+10）+（-6）=+4（请同学说一下他是怎么计算出来的？） 【教学说明】 我们已经熟悉正数的运算,然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数X 围.这里先让学生回顾在具体问题中感受正数和负数的加法运算.二、思考探究,获取新知1.动脑筋:如下图,在一条东西向的笔直的马路上,任取一个点O,若把向东走1km 记为1,则向西走1km 记为-1.（1）小丽从点0出发，向东走了1km,然后继续向东走了2km,两次行走后，小丽从0点向哪个方向走了多少千米？（2）小丽从点O 出发,先向西走了2km,然后继续向西走了3km,两次行走后,小丽从O 点向哪个方向走了多少千米?2.根据你所列出的等式,观察等号两边的两个加数的符号、绝对值与结果的符号、绝对值之间有什么关系.你能归纳同号两数相加的运算法则吗?⎧=⎨⎩●●●●●●○○○○○○○○○○○○○○【归纳结论】同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
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从有理数的加法法则可以得出：
如果两个数的和等于0，那么两个数 互为相反数.
若a+b=0，则a、b互为相反数
例题讲解
例2 计算：教材P21 练习1
课后作业
• 完成教材 P27 T1
有理数的加法
第1课时 有理数的加法法则
探究
问题1：在东西走向的马路上，小丽从O点出发，第一次
走5米，第二次继续走3米，问小丽两次一共向东 走多少米？
(1)向东走5米，再向东走3米，两次一共向哪个方向走了多 少米？ O +5 +3 -9 -8 -7 -6 -5 –4 -3 –2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 +8
（+5）+（-5）= 0
由上面的例子我们可以得出 下面的结论：
互为相反数的两个数相加 得0
问题3：在东西走向的马路上，小丽从O点出发，向西走5米，
再向西走0米，两次一共向哪个方向走了多少米？
-5
O
-9 -8 -7 -6 -5 –4 -3 –2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
（-5）+ 0 = -5 结论：一个数同零相加，仍得这个数.
（-5）+（-3）= -8
两个负数相加，结果是负数，并 且把它们的绝对值相加.
由上面的两个例子我们可以 得出下面的结论：
同号两数相加，取相同的符号， 并且把它们的绝对值相加.
（+5）+（+3）= +8 （-5）+（-3）= -8
例题讲解
例1 计算：
（1） （－2）+ （－5） ； （2） （－2.05）+ （－5.95）
解: (1) 原式= －(2+5)
= －7
(2) 原式= －(2.05+5.95)
= －8
先定符号 再定绝对值
异向情况：
(3)向东走5米，再向西走3米，两次一共向哪个方向走了多少米？
O
+5 +2
-3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-9 -8 -7 -6 -5 –4 -3 –2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
（+5）+（-3）= +2
（+5）+（+3）= +8
两个正数相加，结果是正数，并 且把它们的绝对值相加.
问题1：在东西走向的马路上，小丽从O点出发，第一次
走5米，第二次继续走3米，问小丽两次一共向东 走多少米？ (2)向西走5米，再向西走3米，两次一共向哪个方向走了多 少米？ -3 -5 O -9 -8 -7 -6 -5 –4 -3 –2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -8
(4)向西走5米，再向东走3米，两次一共向哪个方向走了多少米？ O +3 -5 -9 -8 -7 -6 -5 –4 -3 –2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2
（-5）+（+3）= -2 结论：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的 加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
由上面的例子我们可以得出 下面的结论：
一个数与0相加，仍得 这个数.
有理数加法法则
1．同号两数相加，取相同的符号，并且把它
们的绝对值相加.
2．异号两数相加， 绝对值不相等时，取绝对 值较大的加数的符号，并且用较大的绝对 值减去较小的绝对值
3．互为相反数的两个数相加得0.
4. 一个数与0相加，仍得这个数.
由上面的两个例子我们可以 得出下面的结论：
异号两数相加， 绝对值不相等 时，取绝对值较大的加数的符号， 并且用较大的绝对值减去较小的 绝对值
问题2：在东西走向的马路上，小丽从O点出发，向东走5米，
再向西走 5米，两次一共走了多少米？
O
-5 +5
-9 -8 -7 -6 -5 –4 -3 –2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9