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Abstract: A fter t ran sfo rm ing the N SE
( non linea r si m u ltaneou s equa t ion s )
in to a p rob lem of
m a them a t ica l p rog ramm ing, it is taken a s a m odel of the second o rder T ay lo r’s exp an sion s fo r ob ject ive . T hen the sequen t ia l quad ra t ic p rog ramm ing is adop ted to so lve the m odel . and con st ra in t s’ funct ion s N um erica l exam p les show tha t their so lu t ion s have been qu ick ly ob ta ined by the m ethod even if they . d iverge by the qua si2 N ew ton m ethod s Key words: non linea r equa t ion s; quad ra t ic p rog ramm ing m ethod
3
记 ∈ D 使 f i (X 3 ) = 0 ( i = 1, …, n ) 。
0 0 s i = sign f i ( x ) , x 为 D 上一个初始点, 由函数的连
∑s
i= 1
i
T
0 f i (x - x ) +
0
续性, 对 x 0 附近的 x 有 s i f i ( x ) ≥ 0 ( i = 1, …, n i ( x ) → m in ( x ∈ D )
f i ( 3)
1 (k ) (x - x 0 ) T si 2
s. t. s if i ( x ) ≥ 0 ( i = 1, …, n )
n
( 5) ( i = 1, …, n ) 问题 ( 5) 为二次规划, 可用 L em ke 算法解之;
工程问题由于非线性程度之高, 相应的非线性 方程组用牛顿法、 拟牛顿法求解有时不收敛, 为此 本文提出了二次规划解法, 取得了令人满意的收敛 结果。
n
∑
i= 1
si
T
0 f i (x - x ) +
0
1 (x - x 0) T 2
n
∑s
i= 1
i
2 0
0 f i (x - x ) →
m in ( x ∈ D )
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
logy P ress, 1996. ( in Ch inese) )
A quadra tic programm ing m ethod for solv ing the NSE and its appl ica tion
Su i Yunkang, Zhao W enzhong
(1. Co llege of M echan ical Eng ineering and A pp lied E lectron ic T echn ique, Beijing Po lytechn ic U n iversity, Beijing, 100022, Ch ina 2. D ep artm en t. of M ech. Eng rg. , D alian R ailw ay In stitu tey, D alian, 116028, Ch ina )
246
计
算
力
学
学
报
第 19 卷
一次的近似, 效果也很好。
从初始值 h 0 = 10. 0, b0 = 20. 0, t0 = 3. 0 出发用 拟牛顿法因病态无法收敛, 而本文方法经 6 次迭 代后收敛: h 3 = 26. 19187, b3 = 7. 37384,
t = 2. 34483, 图 2 示收敛过程很快, 其中纵坐标为
2 t)
t) ( h -
12 -
(b -
2 t)
3
12
另取 h 0 = 20. 0, b0 = 10. 0, t0 = 5. 0, 因为此点 较前一初始点离解点更近, 3 次迭代即收敛, 拟牛 顿法仍然处于病态而不收敛。
3 I z = tb 6 + ( h -
2 t) t3 12
当A = 85. 0, I y = 6874. 79 和 I z = 179. 79 时,
参考文献 ( Reference ) :
[ 1 ] 隋允康 1 建模・变换・优化—— 结构综合方法新进
I n = 2 (h -
2 t)
当 A = 165. 0, I y = 9369. 0 和 I n = 6835. 0 时, 从初始值 h 0 = 30. 0, b0 = 30. 0, t0 = 5. 0 出发用拟 牛顿法因病态无法收敛, 用本文方法经 6 次迭代后 收敛到 h 3 = 22. 8949, b3 = 12. 2565, t3 = 2. 7898。
n
1 (x - x 0) T 2
0
n
∑s
i= 1
i
2 0
0 f i (x - x ) →
( 2)
m in ( x ∈ D )
s. t. [- s i
T 0 T f i - (x i - x i ) si 0 (k ) 2 0 0 f i ] (x - x ) ≤ 2 0 (k ) 0 f i (x - x )
规划之前应当引入 x = u - V , u ≥ 0, V ≥ 0 即以 升维实现变量非负条件; 其二, 考虑实际迭代中不 必过于精细, 用 ( 5) 解 ( 4) 时不必序列迭代, 而只对
(0) 0
x = x 算一次, 实质上是对 ( 3) 取目标二次、 约束 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
由于 s if i ( x ) ≥ 0, 可知∑s i f i ( x ) ≥ 0, 而 f i (X 3 )
i= 1
取x
(0)
= x 0 启动, 记其解为 x
(2)
(1)
用x
(1)
再构造规划
= 0 代入 ( 3) 中满足约束条件且目标值为零, 故 X
3
( 5) 解得 x
, 反复迭代, 直到收敛。 这样就用式 ( 5)
s. t. - s i
T 0 0 f i (x - x ) 0
1 (x - x 0 ) T si 2
2 0
0 f i (x - x ) ≤
1 非线性方程组的数学规划提法
设考虑的非线性方程组为
n f i ( x ) = 0 ( x ∈ D < R , i = 1, …, n )
f i ( i = 1, …, n ) 其中 f i ,
例 2 对薄壁矩形梁截面几何性质的尺寸实现 ( 图 1b ) 。
A = bh I y = bh
3
非线性方程组的二次规划解法系首次提出, 不 难看出其效率与广泛的应用前景。
( b - 2 t) ( h - 2 t ) 12 ( b - 2 t) ( h - 2 t) 3 12
2 t) t ( h + b 2 t) ( b -
为 问题 ( 3) 的最优解。 反之, 若原方程组 ( 1) 无解, 规划 ( 3) 的最优点必定不是方程组 ( 1) 之解。
表达的序列二次规划求解了式 ( 4) 。 而式 ( 4) 的序 列迭代则是对式 ( 3) 的求解。 不难看出, 若式 ( 3) 的目标与约束皆取一阶近 似, 则化为线性规划求解, 其本质是牛顿法的规划 论解法[ 1 ]。 可见上述二阶算法应当比本质上为一阶 的牛顿法收敛更快且稳定。 应当说明两点: 其一, 若 D ⁄
隋允康1 , 兆文忠2
(11 北京工业大学 机电学院, 北京 100022; 21 大连铁道学院 机械系, 大连 116028)
摘 要: 给出了非线性方程组的二次规划解法和应用, 几个算例表明按拟牛顿法出现病态而不收敛, 采用本法收 敛极快。 关键词: 非线性方程组; 二次规划; 解法 中图分类号: O 24117 文献标识码: A
第19卷第2期
2002 年 5 月
计 算 力 学 学 报
Ch inese Journa l of Com puta tiona l M echan ics
V o l. 19, N o. 2
M ay 2002
文章编号: 100724708 ( 2002) 0220245202
非线性方程组的二次规划解法和应用
( 1)
0
( 4)
f i,
( )
0
2
0 f i 分别为 f i ( x ) 在 x 点处的函数
0
值、 梯度值和 H essian 阵值。 为了求解规划 ( 4) , 将 其约束在 x k ∈D 点处进行一阶 T aylo r 展开, 使规 划 ( 4) 化为
n
其中 f i ( x ) 在开凸集 D 上存在连续的二阶导数, 且 存在 X
E + , 在用二次
n
2 序列二次规划解非线性方程组
将 f i ( x ) 在 x 0 点取二阶 T aylo r 展式, 于是问题
( 3) 化为
收稿日期: 20002052201 基金项目: 北京市教委资助 (99L G 211) ; 国家自然科学基金 委资助 (10072005) ; 北京市自然科学基金委资助 (3002002) 1 作者简介: 隋允康 (19432) , 男, 教授, 博士生导师 1