八年级数学上册12.5因式分解课件(新版)华东师大版
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2019华东师大版八年级上册数学课件12.5 因式分解 (共32张PPT)
相同字母最低次幂 关键确定公因式
一、问题情景导入 分解因式
x4-x2
你会做吗？
二、探究新知
1、（a+b)(a-b)=__a_2-_b_2__.
这个公式叫__平__方__差__公__式__. 从左边到右边的这个过程叫_整__式__乘__法____.
2、反过来，a2-b2=（__a_+_b_)_(_a_-_b_)__ .
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4x²+y² B.4x-(-y)² C.-4x²-y³ D.-x²+y²
2) -4a² +1分解因式的结果应是 （ D ）
A. -(4a+1)(4a-1) B.-(2a-1)(2a-1)
C. -(2a+1)(2a+1) D.-(2a+1)(2a-1)
分解因式注意事项： 1、有公因式可提的要先提公因式，再用公式法. 2、分解之后要看每一项是否分解彻底. 3、提公因式后不要漏掉“1”或“-1”这项. 4、答案要写成最简形式.
做一做
下列分解因式是否正确？为什么？如果不正确， 请给出正确的结果.
x4 16 y4 (x2 )2 (4 y2 )2 (x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
ab 2 a2 2abb2 ab 2 a2 2abb2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这个公式来分解因式了，我 们把它称为“完全平方公式”.
我们把 a2 2abb2 , a2 2abb2 这两个式子叫做
完全平方式.
“头”平方,“尾”平方,“头”“尾”两倍中间放.
华东师大版八年级数学上册因式分解公式法课件
1002－2×100×99+99² 解：原式=（100－99)²
=1.
本题利用完全平方 公式分解因式的方 法，大大减少计算 量，结果准确.
当堂练习
1.把下列各式分解因式：
(1) 16a2-9b2
(4a+3b)(4a-3b)
(2) (a+b)2-(a-b)2
4ab
(3) 9xy3-36x3y
9xy(y+2x)(y-2x)
a2 ± 2 . a . b + b2
下列各式是不是完全平方式？
首2 2 首 尾 尾2
（1）a2－4a+4;
是 （2）1+4a²; 不是
（3）4b2+4b-1; （5）x2+x+0.25.
不是 （4）a2+ab+b2; 不是 是
分析： （2）因为它只有两项；
（3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与b的积的2倍.
2、m²-6m+9=( m)²- 2·(m ) ·(3 )+( 3 )²=(m - 3 )² 3、a²+4ab+4b²=(a )²+2·( a ) ·(2b )+(2b )²=( a + 2b )²
a2 ± 2 . a . b + b2 = （ a ± b )²
首2 2 首 尾 尾2 (首 尾)2
三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止） 分解因式的一般步骤
二 运用完全平方公式因式分解
完全平方公式: a2 2ab b2 =（a ± b）2 完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成 完全平方形式，便实现了因式分解.
华东师大版八年级上册数学课件华东师大版八年级数学上册课件：12-5-4因式分解
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
分解因式
复习
初二数学备课组
灿若寒星
问题一:什么叫多项式的因式分解.
问题二:多项式的因式分解的具体步骤是什么?
1.有公因式的要先提取公因式 2.如果是二项式,考虑用平方差公式,如果是三项式 考虑用完全平方公式. 3.最后结果要分解到不能分解为止(即分解要彻底)
灿若寒星
1.把下列各式分解因式.
(1)18-2a2 (2)a3b5-ab (3)x4-y4 (4)2x4-32y4 (5)9(a+b)2-4(a-b)2
(6) 1 x 2 2 y 2 8
灿若寒星
二.填空：
1。x2 （） 1 y 2 ( x 2
4
2.a 4 1 a 2b2 a 2 2 4
灿若寒星
观察下列各式：1–9=-8,4-16=-12, 9-25=-16,16-36=-20 ······ （1）把以上各式所含的规律用含n(n为正整数） 的等式表示出来。 （2）按照（1）中的规律，请写出第10个等式。
灿若寒星
灿若寒星
六.试说明523-521能被12灿0若整寒星 除
：
1.（1-）12（2 1-）（113-2）×···×（142 1-）（1-）
1 92
1 102
2、设n为整数，用因式分解说明(2n+1)2-25能
被4整除。
3a+b)2-(a+c)2=0，则此三角形是（）
A、等腰三角形B、等边三角形
C、直角三角形D、不能确定
灿若寒星
4.已知a,b,c是三角形ABC的三边长,且满足: a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,则此三角形是什么 三角形. 5.已知三角形三边a,b,c满足 3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2,求此三角形三边长 a,b,c的关系. 6.无论a、b为何值，代数式（a+b)²+2(a+b)+5的 值均为正值，你能说明其中的道理吗？
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分解因式
复习
初二数学备课组
灿若寒星
问题一:什么叫多项式的因式分解.
问题二:多项式的因式分解的具体步骤是什么?
1.有公因式的要先提取公因式 2.如果是二项式,考虑用平方差公式,如果是三项式 考虑用完全平方公式. 3.最后结果要分解到不能分解为止(即分解要彻底)
灿若寒星
1.把下列各式分解因式.
(1)18-2a2 (2)a3b5-ab (3)x4-y4 (4)2x4-32y4 (5)9(a+b)2-4(a-b)2
(6) 1 x 2 2 y 2 8
灿若寒星
二.填空：
1。x2 （） 1 y 2 ( x 2
4
2.a 4 1 a 2b2 a 2 2 4
灿若寒星
观察下列各式：1–9=-8,4-16=-12, 9-25=-16,16-36=-20 ······ （1）把以上各式所含的规律用含n(n为正整数） 的等式表示出来。 （2）按照（1）中的规律，请写出第10个等式。
灿若寒星
灿若寒星
六.试说明523-521能被12灿0若整寒星 除
：
1.（1-）12（2 1-）（113-2）×···×（142 1-）（1-）
1 92
1 102
2、设n为整数，用因式分解说明(2n+1)2-25能
被4整除。
3a+b)2-(a+c)2=0，则此三角形是（）
A、等腰三角形B、等边三角形
C、直角三角形D、不能确定
灿若寒星
4.已知a,b,c是三角形ABC的三边长,且满足: a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,则此三角形是什么 三角形. 5.已知三角形三边a,b,c满足 3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2,求此三角形三边长 a,b,c的关系. 6.无论a、b为何值，代数式（a+b)²+2(a+b)+5的 值均为正值，你能说明其中的道理吗？
华东师大版八年级上册课件因式分解共23页
忽视 的。— —爱献 生
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
华东师大版八年级上册课件因式分解
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
华东师大版八年级上册课件因式分解
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
2017-2018学年华东师大版数学八年级上册同步课件12.5 因式分解 (共37张PPT)
分解因式 。 从左边到右边的这个过程叫___________
3、因此，a2-b2= （a+b)(a-b)是因式分解 中的一个公式。
说说平方差公式的特点 a2−b2= (a+b)(a−b)
①左边
两个数的平方差；只有两项 相同项 相反项
②右边 两数的和与差的积
形象地表示为
2 2 ☆－○＝ (☆＋○)(☆－○)
C.
-(2a +1)(2a+1)
D. -(2a+1) (2a-1)
2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1 1)原式=2（3+b)(3-b) 2)原式=(x²+1)(x+1)(x-1)
因式分解—完全平方公式
我们前面学习了利用平方差公式来分 解因式即： 2 2
a -b =(a+b)(a-b)
＝4 (2m+n) (m+2n)
1、分解因式：
①x4-y4 ②a3b-ab
例3.简便计算：
分解因式，必 须进行到每一 个多项式都不 能再分解为止。
解： ①x4-y4 =（x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y) ②a3b-ab=ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1)
=5050
分解因式注意事Biblioteka ：1、有公因式可提的要先提公因式，再用公式法。
2、分解之后要看每一项是否分解彻底。
3、提公因式后不要漏掉“1”或“-1”这项。 4、答案要写成最简形式。
做一做
下列分解因式是否正确？为什么？ 如果不正确，请给出正确的结果。
x 16 y ( x ) (4 y )
3、因此，a2-b2= （a+b)(a-b)是因式分解 中的一个公式。
说说平方差公式的特点 a2−b2= (a+b)(a−b)
①左边
两个数的平方差；只有两项 相同项 相反项
②右边 两数的和与差的积
形象地表示为
2 2 ☆－○＝ (☆＋○)(☆－○)
C.
-(2a +1)(2a+1)
D. -(2a+1) (2a-1)
2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1 1)原式=2（3+b)(3-b) 2)原式=(x²+1)(x+1)(x-1)
因式分解—完全平方公式
我们前面学习了利用平方差公式来分 解因式即： 2 2
a -b =(a+b)(a-b)
＝4 (2m+n) (m+2n)
1、分解因式：
①x4-y4 ②a3b-ab
例3.简便计算：
分解因式，必 须进行到每一 个多项式都不 能再分解为止。
解： ①x4-y4 =（x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y) ②a3b-ab=ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1)
=5050
分解因式注意事Biblioteka ：1、有公因式可提的要先提公因式，再用公式法。
2、分解之后要看每一项是否分解彻底。
3、提公因式后不要漏掉“1”或“-1”这项。 4、答案要写成最简形式。
做一做
下列分解因式是否正确？为什么？ 如果不正确，请给出正确的结果。
x 16 y ( x ) (4 y )
华东师大版八年级数学上册12.5《因式分解》教学课件2
下列分解因式是否正确？为什么？如果不正确， 请给出正确的结果。
x4 16 y4 (x2 )2 (4 y2 )2
(x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
不正确 分解到不能再分解为止
巩固练习
1、在多项式x²+y², x²-y²,-x²+y², -x²-y²中,能 利用平方差公式分解的有( B ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
12.5 因式分解
12.5.2平方差公式法
目 Contents 录
01 回顾思考 02 合作探究
03 学以致用
04 巩固练习
05 总结提升
预习检测： 下列分解因式是否正确？
x4 16 y4 (x2 )2 (4 y2 )2
(x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
回顾思考
找出下列各题公因式：
(6) 169x2 －4y2 解:原式＝(13x)2－(2y)2
＝ (13x＋2y)(13x－2y)
(8) -16x4 ＋81y4 (解7):9原a2式p2＝＝－((b332aaqpp2＋)2－bq()b(q3)a2p－解b:q原) 式＝＝＝＝(((89991yyyy２ 224++－)442－xx1226))〔(x9(4y4(2x3-２4yx))222-)(2x)2〕
2．变式巩固练习
变式一：把下列各式分解因式.
（1）1-25b2
（2）x2y2-z2 （3） -0.01n2+m2
解：（1） 1-25b2 =12-(5b)2=(1+5b)(1-5b)
（2） x2y2-z2 =(xy)2- z2 =(xy+z)(xy-z)
（3） -0.01n2+ m2 = -0.01n2+m2 = (m)2-(0.1n)2 = (m+0.1n)(m-0.1n)
2022秋八年级数学上册第12章整式的乘除12.5因式分解2公式法__平方差公式课件新版华东师大版
答案显示
a2－b2＝_(_a_＋__b_)_(a_－__b_)_，即两个数的平方差，等于这 两个数的和与这两个数的差的积．
1．【2020·金华】下列多项式中，能运用平方差公式分 解因式的是( C )
A．a2＋b2 B．2a－b2 C．a2－b2 D．－a2－b2
2．【中考·济宁】多项式4a－a3分解因式的结果是( B ) A．a(4－a2) B．a(2－a)(2＋a) C．a(a－2)(a＋2) D．a(2－a)2
(3)因式分解与整式乘法有互逆关系，请你利用a2－b2＝(a＋ b)(a－b)简算：
①999.92－0.12；
解：999.92－0.12 ＝(999.9－0.1)×(999.9＋0.1) ＝999.8×1 000 ＝99962 ＝356－3316×356＋3316 ＝－1138×1 ＝－1138.
任意两个奇数的平方差是8的倍数．
(3)说明这个规律的正确性．
解：设m、n为两个整数，两个奇数可分别表示为2m＋1和 2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)．①当 m、n同是奇数或同是偶数时，m－n一定为偶数，所以4(m －n)一定是8的倍数；②当m、n一奇一偶时，m＋n＋1一 定为偶数，所以4(m＋n＋1)一定是8的倍数．综上所述， 任意两个奇数的平方差是8的倍数．
【点拨】设较小的偶数为2n，则较大的偶数为2n＋2， 则(2n＋2)2－(2n)2＝(2n＋2＋2n)(2n＋2－2n)＝2(4n＋2) ＝4(2n＋1)． ∴能被4整除，故选C.
15．【中考·宜昌】小强是一位密码编译爱好者，在他的
密码手册中，有这样一条信息：a－b、x－y、x＋y、
a＋b、x2－y2、a2－b2分别对应下列六个字：昌、爱
华东师大版八年级上册数学课件华东师大版八年级数学上册：12.5.1因式分解课件
灿若寒星
课堂小结
1．分解因式？ 2．确定公因式的方法？
一看系数 二看字母 三看指数 3、提公因式法分解因式步骤(分三步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式； 第三步，将多项式化成两个因式乘积的形式。 4、用提公因式法分解因式应注意的问题： 1、公因式提取要彻底，2、首项为负先提负，
3、提取公因式莫漏1灿．若寒星
初中数学课件
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这是什么运算？
计算下列各式:
根据左面的算式填空:
(1) x(x-y)= x2-xy
(1)x2-xy=___x_(x_-_y_)
(2) a(a+1)= a2+a (3) (m+4)(m-4)= m2-16 (2)a2+a=__a__(a_+_1)
(4) (x-3)2= x2-6x+9
公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可 以是多项式． 多项式的第一项是系数为负数的项，一般地，应提出 负系数的公因式．但应注意，这时留在括号内的每一 项的符号都要改变，且最后一项“－x”提出时，应留 有一项“＋1”，而不能错解为－x(x2－x)．
灿若寒星
课堂练习
1.把下列多项式分解因式 （1）3a+3b=(32()a5+x-b5)y+5z= (3)3a2-9ab=(4)-35aa(2a+-235ba) =
(3)2ac-4abc= 2ac(1-2b)
(4)m2n+mn2= mn (m+n) (5)3m2a-12ma+3ma2= 3ma(m-4+a)
提公因式，首项系数是负数时，提公因式时 要提“-”号，且添括号灿时若寒每星 一项一定先变号
注 意
课堂小结
1．分解因式？ 2．确定公因式的方法？
一看系数 二看字母 三看指数 3、提公因式法分解因式步骤(分三步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式； 第三步，将多项式化成两个因式乘积的形式。 4、用提公因式法分解因式应注意的问题： 1、公因式提取要彻底，2、首项为负先提负，
3、提取公因式莫漏1灿．若寒星
初中数学课件
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这是什么运算？
计算下列各式:
根据左面的算式填空:
(1) x(x-y)= x2-xy
(1)x2-xy=___x_(x_-_y_)
(2) a(a+1)= a2+a (3) (m+4)(m-4)= m2-16 (2)a2+a=__a__(a_+_1)
(4) (x-3)2= x2-6x+9
公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可 以是多项式． 多项式的第一项是系数为负数的项，一般地，应提出 负系数的公因式．但应注意，这时留在括号内的每一 项的符号都要改变，且最后一项“－x”提出时，应留 有一项“＋1”，而不能错解为－x(x2－x)．
灿若寒星
课堂练习
1.把下列多项式分解因式 （1）3a+3b=(32()a5+x-b5)y+5z= (3)3a2-9ab=(4)-35aa(2a+-235ba) =
(3)2ac-4abc= 2ac(1-2b)
(4)m2n+mn2= mn (m+n) (5)3m2a-12ma+3ma2= 3ma(m-4+a)
提公因式，首项系数是负数时，提公因式时 要提“-”号，且添括号灿时若寒每星 一项一定先变号
注 意