常微分习题3_2答案
常微分方程第一、二、三次作业参考答案
1、给定一阶微分方程2dyx dx=： （1） 求出它的通解；解：由原式变形得：2dy xdx =.两边同时积分得2y x C =+.（2） 求通过点（2，3）的特解；解：将点（2,3）代入题（1）所求的得通解可得：1C =-即通过点（2,3）的特解为：21y x =-.（3） 求出与直线23y x =+相切的解；解：依题意联立方程组：223y x Cy x ⎧=+⎨=+⎩故有：2230x x C --+=。
由相切的条件可知：0∆=，即2(2)4(3)0C --⨯-+=解得4C =故24y x =+为所求。
（4） 求出满足条件33ydx =⎰的解。
解：将 2y x C =+代入330dy =⎰，可得2C =-故22y x =-为所求。
2、求下列方程的解。
１）3x y dydx-= 2）233331dy x y dx x y -+=--解：依题意联立方程组：23303310x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ 解得：2x =，73y =。
则令2X x =-，73Y y =-。
故原式可变成：2333dY x ydX x y-=-. 令Yu X =，则dy Xdu udx =+，即有 233263u dxdu u u x-=-+.两边同时积分，可得122(263)||u u C X --+= .将732y u x -=-，2X x =-代入上式可得： 12227()614323|2|2(2)y y C x x x -⎛⎫- ⎪--+=- ⎪-- ⎪⎝⎭.即上式为所求。
3、求解下列方程:1)24dyxy x dx+=. 解：由原式变形得：22dyxdx y=-. 两边同时积分得：12ln |2|y x C --=+. 即上式为原方程的解。
2)()x dyx y e dx-=. 解：先求其对应的齐次方程的通解： ()0dyx y dx -=. 进一步变形得：1dy dx y=.两边同时积分得：x y ce =.利用常数变异法，令()x y c x e =是原方程的通解。
常微分方程第三课后答案
常微分方程 习题2.2求下列方程的解 1．dxdy=x y sin + 解： y=e ⎰dx (⎰x sin e ⎰-dxc dx +>=e x [-21e x-(x x cos sin +>+c] =c e x -21(x x cos sin +>是原方程的解。
2．dtdx+3x=e t 2 解：原方程可化为：dtdx=-3x+e t 2 所以：x=e ⎰-dt3 (⎰et2e -⎰-dt3c dt +>=e t 3- (51e t 5+c>=c e t 3-+51e t 2 是原方程的解。
3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ⎰-tdt cos (t 2sin 21⎰e dt dt ⎰3c +>=e t sin -(⎰+c dt te t t sin cos sin > = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin > =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。
4．dx dy n x x e y nx=- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y nx+= )(c dx ex e ey dxx nn x dxx n+⎰⎰=⎰-)(c e x x n += 是原方程的解.5．dx dy +1212--y xx=0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y xx⎰=-dxxx ey 212(c dx edxx x +⎰-221>)21(ln 2+=x e)(1ln 2⎰+--c dx exx=)1(12xce x +是原方程的解.3332()21()227.(1)12(1)12(),()(1)1(1)(())1(1)dx P x dx x P x dxdy y x dx x dy y x dx x P x Q x x x e e x e Q x dx c x +--=++=+++==++⎰⎰==+⎰⎰++⎰⎰P(x)dx 232解：方程的通解为：y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+23221(1)()211,()(())dyy x c dy y dx x y dx x y dy y yQ y y y eyQ y dy c -+++==+=⎰⎰==⎰⎰+⎰⎰2243P(y)dyP(y)dyP(y)dy1)dx+c)=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。
常微分方程第三版答案
习题1.2 1．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x +y y 21+dy=31xx +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y. 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c. 8dx dy +ye xy 32+=0解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 ex3-3e2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln x y 令xy=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdx du=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- e y =ce x11dxdy=(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u+du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dxdy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=c xy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y +证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程计算题及答案
计 算 题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。
2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。
常微分答案方程.doc
第一章初等积分法§1.1 微分方程和解习题简单，略。
§1.2 变量可分离方程(P14)1.求下列可分离变量方程的通解：(1)ydy = xclx : (2) y = y\n y : (3) y = e x~y : (4) tan ydx—colxdy = Q o解：(1)通解为/ =^2 + Co (2)通解为lny = C0L(3)通解为，=e'+C。
(4)通解为sinycosx = C。
2.求下列方程满足给定初始条件的解：(1))/ =)，(、—1),)，(0) = 1； (2)(疽―i)y +2勺，2 =(),贝())=1 ；(3) / = y(2) = 0; (4) (y2 + xy2)dx-(x2 + yr2)dy = 0,y(l) = -1«解:(1)y=1;(2) y(ln|x2 -1|+1) =1: (3) y, =0,y2 =(x-2)3; (4)-= -厂；。
- y3 .利用变量替换法把下列方程化为变量可分离方程：⑴ y r = f(ax+by^c): (2)孚=二，(封);⑶牛="(易；ax x ax⑷ f(xy)y + g(xy)xy f = 0, /(w)丰 g("), /(w), g(")连续。
解：(1)令〃 = or + ” + c,则u f = a + by =a + hf\u)变量分离。
(2)令a = xy ,则/ = y +板=■ +『鼻f(u) = 〃 + '(")变量分离。
x x~ x(3)令〃 = 则_/= "/+ 2心=对*("), / = ~ 变量分离。
r x(4)令u = xy^ ,则 # = y + w，= y-虫少~ = )变量分离。
g(“) x g(u)4.求解方程xjl -y2dx + y\j\ - x2 dy = 0 o解:通解：Jl —b + Jl —y」=C(C>0)。
常微分3答案
第三章 线性微分方程组1、这里5n =，4λ=-是A 的5重特征值，直接计算可得3(4)0A E +=。
因此，由公式（5.53）可得242exp (4)(4)2!tt At eE t A E A E -⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦这样一来242410000010000100010000010000000exp 0010000000000002!0001000000000000000100000000001002!0100001000001001t tt At e t t t t e--⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎡⎢⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎣⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦2、A 的特征方程为2det()(1)(2)0E A λλλ-=--=11λ=，22λ=分别为11n =，22n =重特征值，为了确定三维欧几里得空间的子空间1U 和2U ，需要考虑下面方程组：()0A E u -=和2(2)0A E u -=首先讨论211()2110111A E u u -⎡⎤⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦或12312312320200u u u u u u u u u -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩ 这个方程组的解为10u αα⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中α为任意常数。
子空间1U 是由向量1u 所张成的。
其次讨论2000(2)1100110A E u u ⎡⎤⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦或12120u u u u -+=⎧⎨-+=⎩ 这个方程组的解为2u ββγ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中β，γ是任意常数。
子空间2U 是由向量2u 所张成的。
因为11v U ∈，22v U ∈，所以10v αα⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2v ββγ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中α，β，γ是某些常数，这样一来1230ηβηαβηαγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦因而1βη=，2αβη+=，3αγη+=，解之得到21αηη=-，1βη=，321γηηη=-+，且121310v ηηηη⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，121321v ηηηηη⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦满足初始条件(0)ϕη=的解为21212211313211221131321213()((2))01112211100121210t t t t t t t t e Ev e E t A E v e e E t t t t e e t t t t t e ϕηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηη=++-⎡-⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦⎣⎦=-1321213211321()()t t e t ηηηηηηηηηηηη+-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦为了得到exp At ，依次令η等于1000,1,0001⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦代入上式，我们得到三个线性无关的解。
常微分方程第三版课后习题答案
常微分方程第三版课后习题答案习题1.21．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x +y y 21+dy=31xx +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：dxdy=-y x y x +- 令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy . 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令x y =udx dy =u+ x dxdu 211u - du=sgnx x1dxarcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8dx dy +ye xy 32+=0解：原方程为：dx dy =ye y 2e x32 e x 3-3e 2y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln x y 令xy=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln xy =cy. 10.dxdy=e y x - 解：原方程为：dxdy=e x e y - e y =ce x 11dxdy=(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu-1 dx du-1=u 2 211u+du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c 12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu-1dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=c xy-y 2+y-x 2-x=c 14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15:dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y+证明： 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程习题及答案.
常微分方程习题及答案.第十二章 常微分方程(A)一、是非题1．任意微分方程都有通解。
( )2．微分方程的通解中包含了它所有的解。
( )3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。
( )4．函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。
( )5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21 (C 为任意常数)。
( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。
( )7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。
( )8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。
( )9．221xy y x dxdy +++=是可分离变量的微分方程。
( ) 二、填空题1．在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是 。
②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。
③xy y dx dy x ln ⋅=是 。
④x x y y x sin 2+='是 。
⑤02=-'+''y y y 是 。
2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。
3．x e y 2-=''的通解是 。
4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。
5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。
6．微分方程()06='-''⋅y y y 是 阶微分方程。
7．xy 1=所满足的微分方程是 。
8．x y y 2='的通解为 。
9．0=+xdy y dx 的通解为 。
10．()25112+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。
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答 案 3.2
1. 0).(a )5)(1().(−−r r e b rt
t t c cos 6sin 4).(− 1025).(2
−−t t d 2.证明：。
)]([)()()]([020
2t x cL ds s x s c ds s cx s t cx L t
t
∫∫
===
][][)()(][210
120
12
212
212
21x L x L ds x s ds x s ds x x s ds x x s x x L t
t t t
+=+=+=+=+∫∫∫∫3. 证明：因为
02222][2)(]2[)]([2
222=−−+=−=−=t t t L t L t t L t y L 所以 是方程的解。
22t t −4. a ).设
,06'4][2
=+−=x tx x t x L n
06126][)]([3
3
3
3
1=+−==t t t t L t L ϕ在上，，显然],0[+∞3
2)(t t =ϕ0)]([2=ϕt L
在上，，显然 ]0,[+∞3
2)(t t −=ϕ06126)]([3
3
3
2=−+−=ϕt t t t L 所以：1ϕ和2ϕ在区间上是方程的解。
),(+∞−∞ b ).用反证法，假设存在恒等式0)()(2211≡ϕ+ϕt c t c ， 当
时，0≥t 213
23
10c c t c t c −=+，＝当
时，0<t 213
23
10c c t c t c =−，＝而在[时，，只有(,−∞+∞)0||3
23
1＝t c t c +0,021==c c ，所以12(),()t t ϕϕ线性无关，又由（a ），∴1ϕ和2ϕ是方程的基本解组。
c ).提示：分别讨论在时00<≥t t 和)](),([21t t W ϕϕ，可得出结果。
d).不矛盾。
因为该方程化为（3.2.4）的形式后其系数不连续，不满足定理3.4的条件。
5．解：因为1ψ ，2ψ是方程的基本解组有'2'12
1ψψψψ＝0
2'
1'21ψψ−ψψ≠而'2'121ψψψψ＝111122211222
'''
'111122211222
c c c c c c c c ϕϕϕϕϕϕϕ++++'
'112212212112()c c c c ＝()ϕϕϕϕ−− ϕ∵''1212ψψψψ−0≠
∴ 021122211≠−c c c c
即
2111c c 22
12
c c 0≠时，1ψ 2ψ也是方程的基本解组。
6．证明：将代入方程得2
)(t t x =2()2()2q t t p t t +=−=t
t t q 1
2)(−−
显然在处不连续与已知矛盾 )(t p 0=t ∴不是方程的解。
2
)(t t x =7．证明：设是两个线性无关的解，则代入Wronskian 行列式中，代入可得:
)(),(t y t x ))(exp()(dt t p t W ∫−=,∫−−=′))(exp()()(dt t p t p t W .由题意知道,.
所以在I 上,从而是I 上的严格单调函数。
0)(0)(<>t p t p 或0)(0)(>′<′t W t W 或)(t W 8.解：])1exp(1[211dt dt t t
x c
c x x ∫∫−+=
]))1exp(1[21dt dt t t
t c c t ∫∫−+=
dt e t
t ct t c t ∫−+=211
9. 解：])1ln 1
exp()
(ln 1
[ln 2
1∫∫−+=dt dt t t t c c t x ])(ln 1
ln [ln 2
1∫
−+=dt t t c c t ∫−+=dt t t t c t c 21)(ln 1ln ln ln
10.验证（略），通解是：
212()1t x t C t C e t =+−−11.解：通解是：t t
t t t C t C t x 2sin 16
2cos )6418(2sin 2cos )(221+−−+= 12．证明：拐点是指在这点，对于本题我们用反证法。
假设同时为拐点，即
0'
'=y 0)(')(,0)(')(2211=+=+y x q y x p y x q y x p ，由于()()p x q x 和的行列式0≠A ，所以()()p x q x 和必须为0，这与和不同时为零矛盾，假设不成立。
即不
能同时是方程的拐点。
)(t p )(t q )(),(21x y x y 13．提示：做辅助函数12()
()()
y x f x y x =，利用Wronskian 行列式的性质和Rolle 微分中值定理反证，导出矛盾。
1111212220120122112022
22()
()0,()0,[,]()0()()
,'()'()()'()()[(),()]
'()0,()()x x x x
0y x y x y x x x x y x f x y x Rolle x x x f x y x y x y x y x W y x y x f x y x y x ====∈≠=
∈=−=设
且当 时，，则满足微分中值定理的条件，则有（），使得，=
=矛盾。
14.
0'
'0
1212
22
00()
'()[(),()]()()()()()exp ()()()t t p t p t W x t x t x t x t x t x t W t dt W t p t p t ⎛⎞=−=−=⎜⎟⎝⎠
∫
15.
注意到1()()(1,2,...,)k n x t x t k n +−=是齐次方程的解，类似于线性方程通解的证明过程。