运筹学_第1章线性规划与单纯形法

经第2工厂后的水质要求：
[ 0.8( 2 x1 ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (1.4 x2 )] 2
700
1000
数学模型
目标函数 min z 1000x1 800x2
约束条件
x1 1
0.8x1 x2 1.6
x1 2
x2 1.4
x1 , x2 0
共同的特征
(1)每一个线性规划问题都用一组决策变量
图1-2
max z 2x1 3x2
x1 2x2 2

4 x1

16 4x2 12
x1 , x2 0
图1-3 目标值在（4，2）点，达到最大值14 目标函数 max z 2x1 3x2
x2


2 3
x1

z 3
表示一簇平行线
可能出现的几种情况
（1）无穷多最优解(多重最优解)，见图1-4 （2）无界解，见图1-5-1 （3）无可行解，见图1-5-2
可得到该问题的标准型
例4的标准型
max z ' x1 2x2 3(x4 x5 ) 0x6 0x7
x1 x2 (x4 x5 ) x6
7

x1 x2 (x4 x5 )
x7 2
3x1 x2 2(x4 x)
5
x1, x2 , x4 , x5 , x6 , x7 0
,
i 1,2,,m

x
j

0,
j 1,2,,n
用向量表示为：
M
'' 1
:目标函数： max
z

CX
n
约束条件： j1
Pj
x
j
b

x
j

0,
j 1,2,,n
C c1 ,c2 ,,cn ;

x1

a1 j

b1

X


a22
x2

a2n xn

b2
am1x1 am2 x2 amn xn bn x1,x2 ,,xn 0
线性规划问题的几种表示形式
M
' 1
:
n
目标函数：max z c j x j
j 1
n
约束条件： j1
aij x j

bi
图1-1
续例2
• 第一 化工厂每天排放含有某种有害物质的工业污 水2万立方米，第二化工厂每天排放这种工业污水 1.4万立方米。从第一化工厂排出的工业污水流到 第二化工厂以前，有20%可自然净化。根据环保要 求，河流中工业污水的含量应不大于0.2%。这两个 工厂都需各自处理一部分工业污水。第一化工厂处 理工业污水的成本是1000元/万立方米。
• 以上提到的几种解的概念，它们之间的关系可用图1-6 表明。
• 另外还要说明一点，基解中的非零分量的个数小于m 个时，该基解是退化解。在以下讨论时，假设不出现 退化的情况。以上给出了线性规划问题的解的概念和 定义，它们将有助于用来分析线性规划问题的求解过 程。
图1-6 它们之间的关系
小结
• 1. 线性规划问题的模型特征 • 2. 通过图解法了解如何求解线性规划问题 • 3. 为求解高维线性规划问题，必须建立的
(4) 要有一个达到目标的要求，它可用决策 变量的线性函数(称为目标函数)来表示。 按问题的不同，要求目标函数实现最大化 或最小化。
它们的对应关系可用表格表示：
决策变量
资源
x1 x2 xn
1
活
a11
a12 a1n
b1
2 a21 a22 a2n b2


动
m am1 am2 amn bm
(2) 约束方程为不等式。这里有两种情况：一种是 约束方程为“≤”不等式，则可在“≤”不等式的 左端加入非负松弛变量，把原“≤”不等式变为 等式；另一种是约束方程为“≥”不等式，则可 在“≥”不等式的左端减去一个非负剩余变量(也 可称松弛变量)，把不等式约束条件变为等式约 束条件。下面举例说明。
例3 将例1的数学模型化为标准型。
运筹学
（第二版）
刁在筠等 编
第1章 线性规划与 单纯形法
第1节 线性规划问题 及其数学模型
高等教育出版社
二. 线性规划与目标规划
第1章 第2章 第3章 第4章
线性规划与单纯形法 对偶理论与灵敏度分析 运输问题 目标规划
第1章 线性规划与单纯形法
第1节 线性规划问题及其数学模型 第2节 线性规划问题的几何意义 第3节 单纯形法 第4节 单纯形法的计算步骤 第5节 单纯形法的进一步讨论 第6节 应用举例
x1,x2 0
x1,x2 ,x3 ,x4 ,x 0
(3) 若存在取值无约束的变量xk,可令,
xk xk' xk" 其中。 xk' , xk" 0
例4 将下述线性规划问题化为标准型
min z x1 2x2 3x3
x1 x2 x3 7

第1节 线性规划问题及其数学模型
• 1.1 问题的提出 • 1.2 图解法 • 1.3 线性规划问题的标准形式 • 1.4 线性规划问题的解的概念
第1节 线性规划问题及其数学模型
线性规划是运筹学的一个重要分支。线性规划在理论 上比较成熟，在实用中的应用日益广泛与深入。特别是 在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的 线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了。 从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交 通运输业、军事、经济计划和管理决策等领域都可以发 挥作用。它已是现代科学管理的重要手段之一。解线性
续例1
该工厂 • 每生产一件产品Ⅰ可获利2元， • 每生产一件产品Ⅱ可获利3元， • 问应如何安排计划使该工厂获利
最多?
如何用数学关系式描述这问题， 必须考虑
设 x1, x2分别表示计划生产 I,II产品的数量， 称它们为决策变量。
生产x1,x2的数量多少，受资源拥有量的限制, 这是约束条件。即x1 2x2 8;4x1 16;4x2 12
1.4 线性规划问题的解的概念
• 1.可行解 • 2.基 • 3.基可行解 • 4.可行基
1. 可行解
n
max z c j x j
j 1


n
aij x j
bi ,i 1,2,m
j1

x
j

0,
j 1,2,,n
(1 4) (1 5) (1 6)
满足约束条件(1-5)，(1-6)式的解X=(x1,x2，…，xn)T， 称为线性规划问题的可行解，其中使目标函数达到
价值系数 c1 c2 cn
线性规划的一般模型形式
目标函数
max(min) z c1x1 c2x2 cn xn 约束条件
a11x1 a12x2 a1n xn ( , )b1 a21x1 a22x2 a2n xn ( , )b2
x1 x2 x3 3
3x1 x2 x3 5
x1,x2 0; x3为无约束
处理的步骤：
(1) 用x4-x5替换x3，其中x4，x5≥0； (2) 在第一个约束不等式≤号的左端加入松
弛变量x6； (3) 在第二个约束不等式≥号的左端减去剩
余变量x7； (4) 令z′= -z，把求min z 改为求max z′，即
• 第二 化工厂处理工业污水的成本是800元/万立方 米。现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应 处理多少工业污水，使这两个工厂总的处理工业污 水费用最小。
建模型之前的分析和计算
设：
第一化工厂每天处理工业污水量为x1万立方米， 第二化工厂每天处理工业污水量为x2万立方米
经第2工厂前的水质要求：( 2 x1 ) 2 500 1000
x j( j 1,2,m )为基变量。
3. 基可行解 满足非负条件（1-6）的基解，
称为基可行解. 基可行解的非零分量的数目
也不大于m，并且都是非负的。
•
0,Q1 ,Q2 ,Q3 ,Q4
是基可行解
4. 可行基 对应于基可行解的基，称为可行基。
• 约束方程组(1-5)具有基解的数目最多是 Cnm个。一般基 可行解的数目要小于基解的数目。
概念
最大值的可行解称为最优解。
2. 基，基向量，基变量
B是系数矩阵A中的m m阶非奇异子矩阵B 0
称B为线性规划问题的基。
a11 a12 a1m
B


a21
a22

a2m


P1
,P2
,
Pm

am1 am2 amm
Pj( j 1,2,m )为基向量，

( 1.1 ) (1.2 )
am1x1 am2 x2 am xn ( , )bm
x1,x2 ,, xn 0
( 1.3 )
1.2 图解法
例1是二维空间（平面）线性规划问题， 可用作图法直观地来表述它的求解。
因存在 x1,x2 0 必须在直角坐标的第1象限内作图， 求解。
x2
; Pj

a2
j
;b


b2
;
j

1,2,n
xn
amj
bm
用矩阵表示为：
M
'' 1
:目标函数：max
z