北京市西城区(北区)2011-2012学年七年级下数学期末试卷
2018-2019学年北京市西城区七年级(下)期末数学试卷
2018-2019学年北京市西城区七年级（下）期末数学试卷一.选择题（木题共30分，每小题3分）第1～10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（3分）点P（﹣6，6）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（3分）下列各数中的无理数是（）A．6.2B．C．D．π﹣3.14 3．（3分）不等式组的解集是（）A．x＜2B．x≥﹣5C．﹣5＜x＜2D．﹣5≤x＜2 4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a8÷a2＝a4C．（a2）3＝a6D．（﹣2ab）3＝﹣8a3b5．（3分）若a＜b，则下列结论不正确的是（）A．a+4＜b+4B．a﹣3＜b﹣3C．﹣2a＞﹣2b D．6．（3分）如图，在△ABC中，E为AC边上一点，若∠1＝20°，∠C＝60°，则∠AEB等于（）A．90°B．80°C．60°D．50°7．（3分）下列命题正确的是（）A．相等的两个角一定是对顶角B．两条平行线被第三条直线所截，内错角互补C．过直线外一点有且只有一条直线与己知直线平行D．在同一平而内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直8．（3分）某超市开展“六一节”促销活动，一次购买的商品超过200元时，就可享受打折优惠．小红同学准备为班级购买奖品，需买6本影集和若干支钢笔．已知影集每本15元，钢笔每支8元，她至少买多少支钢笔才能享受打折优惠？设买x支钢笔才能享受打折优惠，那么以下正确的是（）A．15×6+8x＞200B．15×6+8x＝200C．15×8+6x＞200D．15×6+8x≥2009．（3分）小何所在年级准备开展参观北京故宫博物院的实践活动，他和他选修的“博物馆课程”小组成员共同为同学们推荐了一条“古建之美”线路：行走在对公众开放的古老城墙之上，观“营造之道﹣﹣紫禁城建筑艺术展”，赏数字影视作品《角楼》，品“古建中的数学之美”．在故宫导览图中建立如图所示的平面直角坐标系xOy，午门的坐标为（0，﹣3），那么以下关于古建馆的这条参观线路“从午门途经东南角楼到达东华门展厅”的说法中，正确的是（）A．沿（0，﹣3）→（﹣3，﹣3）→（﹣3，﹣2）到达东华门展厅B．沿（0，﹣3）→（2，﹣3）→（2，﹣2）→（3，﹣2）到达东华门展厅C．沿（0，﹣3）→（0，﹣2）→（3，﹣2）到达东华门展厅需要走4个单位长度D．沿（0，﹣3）→（3，﹣3）→（3，﹣2）到达东华门展厅需要走4个单位长度10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，1），B（﹣1，2），C（2，3），D（﹣2，4），E（3，5），F（﹣3，6）．按照A→B→C→D→E→F的顺序，分别将这六个点的横、纵坐标依次循环排列下去，形成一组数1，1，﹣1，2，2，3，﹣2，4，3，5，﹣3，6，1，1，﹣1，2，…，第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为a n（n为正整数），那么a9+a11和a2022的值分别为（）A．0，3B．0，2C．6，3D．6，2二.填空题（本题共18分，第11～14题每小题2分，第15、16题每小题2分，第17、18题每小题2分）11．（2分）49的平方根是．12．（2分）计算：＝．13．（2分）计算：3a（2a﹣1）+2ab3÷b3＝．14．（2分）下列各组数：①2，3，4；②2，3，5；③2，3，7；④3，3，3，其中能作为三角形的三边长的是（填写所有符合题意的序号）．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，A，B，C三点的坐标如图所示，那么点A到BC边的距离等于，△ABC的面积等于．16．（4分）图中的四边形均为矩形，根据图中提供的信息填空：（1）①，②；（2）（x+p）（x+）＝x2+．17．（2分）若关于x的不等式x≥a的负整数解是﹣1，﹣2，﹣3，则实数a满足的条件是．18．（2分）某机店今年1～4月的手机销售总额如图1，其中一款音乐手机的销售额占当月手机销售总额的百分比如图2．有以下四个结论：①从1月到4月，手机销售总额连续下降；②从1月到4月，音乐手机销售额在当月手机销售总额中的占比连续下降；③音乐手机4月份的销售额比3月份有所下降；④今年1～4月中，音乐手机销售额最低的是3月；其中正确的结论是（填写序号）．三.解答题（本题共52分，第19～23题每小题6分，第24、25题每小题6分，第26题8分）19．（6分）解不等式，并把解集表示在数轴上．20．（6分）先化简，再求值：（2a+b）2+（a+b）（a﹣b）﹣3ab，其中a＝2，b＝．21．（6分）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2．（1）求证：AB∥CD；（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠1的度数．22．（6分）小明的作业中出现了如下解题过程解答下列问题：（1）以上解题过程中，从第几步开始出现了错误？（2）比较与3的大小，并写出你的判断过程．23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（4，1），B（2，﹣2）．（1）过点B作x轴的垂线，垂足为M，在BM的延长线上截取MC＝2BM，平移线段AB 使点A移动到点C，画出平移后的线段CD；（2）直接写出C，D两点的坐标；（3）画出以线段AD为斜边的等腰直角三角形ADE，并使点E与点B分别位于AD边所在直线的两侧．若点P在△ADE的三边上运动，直接写出线段PM长的最大值，以及相应点P的坐标．24．（7分）（1）2019年4月，中国新闻出版研究院发布了《第十六次全国国民阅读调查报告》，以下是小明根据该报告提供的数据制作的“2017﹣2018年我国未成年人图书阅读率统计图”的一部分．报告中提到，2018年9﹣13周岁少年儿童图书阅读率比2017年提高了3.1个百分点，2017年我国0﹣17周岁未成年人图书阅读率为84.8%．根据以上信息解决下列问题：①写出图1中a的值；②补全图1；（2）读书社的小明在搜集资料的过程中，发现了《人民日报》曾经介绍过多种阋读法，他在班上给同学们介绍了其中6种，并调查了全班40名同学对这6种阅读法的认可程度，制作了如下的统计表和统计图：最愿意使用的阅读方法人数统计表阅读方法类型划记人数1．读书不二法4B．比较品读法正5C．字斟句酌法8D．精华提炼法E．多维研读法6F．角色扮演法7合计4040根据以上信息解决下列问题：①补全统计表及图2；②根据调査结果估计全年级500名同学最愿意使用“D．精华提炼法”的人数．25．（7分）阅读下面材料：2019年4月底，“百年器象﹣﹣清华大学科学博物馆筹备展”上展出了一件清华校友捐赠的历史文物“Husun型六分仪”（图①），它见证了中国人民解放军海军的发展历程．六分仪是测量天体高度的手提式光学仪器，它的主要原理是几何光学中的反射定律．观测者手持六分仪（图②）按照一定的观测步骤（图③显示的是其中第6步）读出六分仪圆弧标尺上的刻度，再经过一定计算得出观测点的地理坐标．请大家证明在使用六分仪测量时用到的一个重要结论（两次反射原理）．已知：在图④所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B 两处，B处的镜面所在直线FBC自动与0°刻度线AE保持平行（即BC∥AE），并与A 处的镜面所在直线NA交于点C，SA所在直线与水平线MB交于点D六分仪上刻度线AC 与0°刻度线的夹角∠EAC＝ω，观测角为∠SDM．（请注意小贴士中的信息）求证：∠SDM＝2ω．请在答题卡上完成对此结论的以下填空及后续证明过程（后续证明无需标注理由）．证明：∵BC∥AE，∴∠C＝∠EAC（）．∵∠EAC＝ω，∴∠C＝ω（）．∵∠SAN＝∠CAD（），又∵∠BAC＝∠SAN＝α（小贴士已知），∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2α．∵∠FBA是△的外角，∴∠FBA＝∠BAC+∠C（）．即β＝α+ω．补全证明过程：（请在答题卡上完成）26．（6分）已知：△ABC，点M是平面上一点，射线BM与直线AC交于点D，射线CM 与直线AB交于点E．过点A作AF∥CE，AF与BC所在的直线交于点F．（1）如图1，当BD⊥AC，CE⊥AB时，写出∠BAD的一个余角，并证明∠ABD＝∠CAF；（2）若∠BAC＝80°，∠BMC＝120°．①如图2，当点M在△ABC内部时，用等式表示∠ABD与∠CAF之间的数量关系，并加以证明；②如图3，当点M在△ABC外部时，依题意补全图形，并直接写出用等式表示的∠ABD与∠CAF之间的数量关系．2018-2019学年北京市西城区七年级（下）期末数学试卷一.选择题（木题共30分，每小题3分）第1～10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（3分）点P（﹣6，6）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．【解答】解：点P（﹣6，6）所在的象限是第二象限．故选：B．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．2．（3分）下列各数中的无理数是（）A．6.2B．C．D．π﹣3.14【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A、6.2是有限小数，是有理数，选项错误；B、是分数，是有理数，选项错误；C、＝3是整数，是有理数，选项错误；D、π﹣3.14是无限不循环小数，是无理数，选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．3．（3分）不等式组的解集是（）A．x＜2B．x≥﹣5C．﹣5＜x＜2D．﹣5≤x＜2【分析】不等式组的解集是组成不等式组的两个不等式解集的交集．【解答】解：不等式组的解集是﹣5≤x＜2．故选：D．【点评】考查了不等式的解集．不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a8÷a2＝a4C．（a2）3＝a6D．（﹣2ab）3＝﹣8a3b【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误；B、a8÷a2＝a6，故此选项错误；C、（a2）3＝a6，正确；D、（﹣2ab）3＝﹣8a3b3，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．（3分）若a＜b，则下列结论不正确的是（）A．a+4＜b+4B．a﹣3＜b﹣3C．﹣2a＞﹣2b D．【分析】由不等式的性质解答即可．【解答】解：A、∵a＜b，∴a+4＜b+4，故本选项不符合题意；B、∵a＜b，∴a﹣3＜b﹣3，故本选项不符合题意；C、∵a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，故本选项不符合题意；D、∵a＜b，∴a＜b，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了不等式的基本性质，不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．6．（3分）如图，在△ABC中，E为AC边上一点，若∠1＝20°，∠C＝60°，则∠AEB等于（）A．90°B．80°C．60°D．50°【分析】根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：由三角形的外角性质可知，∠AEB＝∠1+∠C＝80°，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．7．（3分）下列命题正确的是（）A．相等的两个角一定是对顶角B．两条平行线被第三条直线所截，内错角互补C．过直线外一点有且只有一条直线与己知直线平行D．在同一平而内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直【分析】利用对顶角的定义、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、相等的两个角不一定是对顶角，故错误；B、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故错误；C、过直线外一点有且只有一条直线与己知直线平行，正确；D、在同一平而内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直，错误，故选：C．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义、平行线的性质等知识，难度不大．8．（3分）某超市开展“六一节”促销活动，一次购买的商品超过200元时，就可享受打折优惠．小红同学准备为班级购买奖品，需买6本影集和若干支钢笔．已知影集每本15元，钢笔每支8元，她至少买多少支钢笔才能享受打折优惠？设买x支钢笔才能享受打折优惠，那么以下正确的是（）A．15×6+8x＞200B．15×6+8x＝200C．15×8+6x＞200D．15×6+8x≥200【分析】根据题意表示出购买6本影集和若干支钢笔的总钱数大于200进而得出答案．【解答】解：设买x支钢笔才能享受打折优惠，根据题意可得：15×6+8x＞200．故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确表示出总钱数是解题关键．9．（3分）小何所在年级准备开展参观北京故宫博物院的实践活动，他和他选修的“博物馆课程”小组成员共同为同学们推荐了一条“古建之美”线路：行走在对公众开放的古老城墙之上，观“营造之道﹣﹣紫禁城建筑艺术展”，赏数字影视作品《角楼》，品“古建中的数学之美”．在故宫导览图中建立如图所示的平面直角坐标系xOy，午门的坐标为（0，﹣3），那么以下关于古建馆的这条参观线路“从午门途经东南角楼到达东华门展厅”的说法中，正确的是（）A．沿（0，﹣3）→（﹣3，﹣3）→（﹣3，﹣2）到达东华门展厅B．沿（0，﹣3）→（2，﹣3）→（2，﹣2）→（3，﹣2）到达东华门展厅C．沿（0，﹣3）→（0，﹣2）→（3，﹣2）到达东华门展厅需要走4个单位长度D．沿（0，﹣3）→（3，﹣3）→（3，﹣2）到达东华门展厅需要走4个单位长度【分析】由午门（0，﹣3）到东南角楼（3，﹣3）需要走3个单位长度，东南角楼（3，﹣3）到达东华门展厅（3，﹣2）需要走1个单位长度可得答案．【解答】解：根据题意知从午门（0，﹣3）到东南角楼（3，﹣3）需要走3个单位长度，从东南角楼（3，﹣3）到达东华门展厅（3，﹣2）需要走1个单位长度，∴沿（0，﹣3）→（3，﹣3）→（3，﹣2）到达东华门展厅需要走4个单位长度，故选：D．【点评】本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是掌握平面直角坐标系中点的坐标的概念和表示．10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，1），B（﹣1，2），C（2，3），D（﹣2，4），E（3，5），F（﹣3，6）．按照A→B→C→D→E→F的顺序，分别将这六个点的横、纵坐标依次循环排列下去，形成一组数1，1，﹣1，2，2，3，﹣2，4，3，5，﹣3，6，1，1，﹣1，2，…，第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为a n（n为正整数），那么a9+a11和a2022的值分别为（）A．0，3B．0，2C．6，3D．6，2【分析】这一组数每12个一循环，只需找出2022整除12的余数就可知道其值．【解答】解：由题可知，a9＝3，a11＝﹣3，∴a9+a11＝0∵2022＝12×168+6∴a2022＝a6＝3；故选：A．【点评】本题主要考查找规律的能力，熟练掌握找规律的能力是解答本题的关键．二.填空题（本题共18分，第11～14题每小题2分，第15、16题每小题2分，第17、18题每小题2分）11．（2分）49的平方根是±7．【分析】根据平方根的定义解答．【解答】解：49的平方根是±7．故答案为：±7．【点评】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．12．（2分）计算：＝5．【分析】首先计算乘方、开方，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．【解答】解：＝2+3＝5故答案为：5．【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．13．（2分）计算：3a（2a﹣1）+2ab3÷b3＝6a2﹣a．【分析】单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．【解答】解：3a（2a﹣1）+2ab3÷b3＝6a2﹣3a+2a＝6a2﹣a．故答案为6a2﹣a．【点评】本题考查了整式乘除，熟练运算整式乘除法则进行运算是解题的关键．14．（2分）下列各组数：①2，3，4；②2，3，5；③2，3，7；④3，3，3，其中能作为三角形的三边长的是①④（填写所有符合题意的序号）．【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【解答】解：①3+2＞4，能构成三角形．②2+3＝5，不能构成三角形．③2+3＜7，不能构成三角形．④3+3＞3，能构成三角形．故答案为①④．【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，A，B，C三点的坐标如图所示，那么点A到BC边的距离等于3，△ABC的面积等于6．【分析】由A（2，4），B（﹣1，1），C（3，1），得出BC∥x轴，BC＝4，得出点A到BC边的距离＝3，由三角形面积公式即可求出△ABC的面积．【解答】解：由题意得：A（2，4），B（﹣1，1），C（3，1），∴BC∥x轴，BC＝1+3＝4，∴点A到BC边的距离＝4﹣1＝3，∴△ABC的面积＝×4×3＝6；故答案为：3，6．【点评】本题考查了三角形的面积、坐标与图形性质；熟练掌握三角形面积的计算，由点的坐标得出BC∥x轴，BC＝4是解题的关键．16．（4分）图中的四边形均为矩形，根据图中提供的信息填空：（1）①q，②x；（2）（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq．【分析】（1）根据题意表示出所求即可；（2）利用多项式乘以多项式法则判断即可．【解答】解：（1）①q；②x；（2）（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq．故答案为：（1）①q；②x；（2）q，（p+q）x+pq【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．（2分）若关于x的不等式x≥a的负整数解是﹣1，﹣2，﹣3，则实数a满足的条件是﹣4＜a≤﹣3．【分析】根据关于x的不等式x≥a的负整数解是﹣1，﹣2，﹣3，即可求出实数a满足的条件．【解答】解：∵关于x的不等式x≥a的负整数解是﹣1，﹣2，﹣3，∴实数a满足的条件是﹣4＜a≤﹣3．故答案为﹣4＜a≤﹣3．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，理解关于x的不等式x≥a的负整数解是﹣1，﹣2，﹣3是解题的关键．18．（2分）某机店今年1～4月的手机销售总额如图1，其中一款音乐手机的销售额占当月手机销售总额的百分比如图2．有以下四个结论：①从1月到4月，手机销售总额连续下降；②从1月到4月，音乐手机销售额在当月手机销售总额中的占比连续下降；③音乐手机4月份的销售额比3月份有所下降；④今年1～4月中，音乐手机销售额最低的是3月；其中正确的结论是④（填写序号）．【分析】根据图象信息一一判断即可．【解答】解：①从1月到4月，手机销售总额连续下降；错误，3月到4月是增长的．②从1月到4月，音乐手机销售额在当月手机销售总额中的占比连续下降；错误，2月到3月是增长的．③音乐手机4月份的销售额比3月份有所下降；错误，是增加长的．④今年1～4月中，音乐手机销售额最低的是3月；正确．故答案为④【点评】本题考查折线统计图，条形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．三.解答题（本题共52分，第19～23题每小题6分，第24、25题每小题6分，第26题8分）19．（6分）解不等式，并把解集表示在数轴上．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：2（x+2）﹣5（x﹣2）≥20，2x+4﹣5x+10≥20，2x﹣5x≥20﹣4﹣10，﹣3x≥6，x≤﹣2，将不等式的解集表示在数轴上如下：【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．20．（6分）先化简，再求值：（2a+b）2+（a+b）（a﹣b）﹣3ab，其中a＝2，b＝．【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b 的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝4a2+4ab+b2+a2﹣b2﹣3ab＝5a2+ab，当a＝2，b＝﹣时，原式＝20﹣1＝19．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（6分）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2．（1）求证：AB∥CD；（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠1的度数．【分析】（1）欲证明AB∥CD，只要证明∠1＝∠3即可．（2）根据∠1+∠4＝90°，想办法求出∠4即可解决问题．【解答】（1）证明：∵FG∥AE，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB∥CD．（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABD+∠D＝180°，∵∠D＝100°，∴∠ABD＝180°﹣∠D＝80°，∵BC平分∠ABD，∴∠4＝∠ABD＝40°，∵FG⊥BC，∴∠1+∠4＝90°，∴∠1＝90°﹣40°＝50°．【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．（6分）小明的作业中出现了如下解题过程解答下列问题：（1）以上解题过程中，从第几步开始出现了错误？（2）比较与3的大小，并写出你的判断过程．【分析】（1）由于≠+（a≥0，b≥0），故从第二步开始出现了错误；（2）先比较与的大小，再根据两个正数，被开方数较大，相应的算术平方根也较大即可求解．【解答】解：（1）以上解题过程中，从第二步开始出现了错误；（2）结论：＜3．∵＜，∴＜，∴＜3．【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，掌握实数大小比较的法则以及算术平方根的定义是解题的关键．23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（4，1），B（2，﹣2）．（1）过点B作x轴的垂线，垂足为M，在BM的延长线上截取MC＝2BM，平移线段AB 使点A移动到点C，画出平移后的线段CD；（2）直接写出C，D两点的坐标；（3）画出以线段AD为斜边的等腰直角三角形ADE，并使点E与点B分别位于AD边所在直线的两侧．若点P在△ADE的三边上运动，直接写出线段PM长的最大值，以及相应点P的坐标．【分析】（1）先利用几何语言画出点M、点C，再利用点A和C点的坐标关系确定平移的方向与距离，然后根据此平移规律写出B点的对应点D的坐标，从而描点得到线段CD；（2）由（2）确定两点坐标；（3）根据等腰直角三角形的判定方法，利用E点在AD的垂直平分线上且到AD的距离等于AD的一半可确定E点位置，利用几何图形可确定线段PM长的最大值，从而得到P 点坐标．【解答】解：（1）如图，CD为所作；（2）C点坐标为（2，4），D点坐标为（0，1）；（3）如图，等腰直角三角形ADE为所作，线段PM长的最大值为3，此时点P的坐标为（2，3）．【点评】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．也考查了等腰直角三角形的判定．24．（7分）（1）2019年4月，中国新闻出版研究院发布了《第十六次全国国民阅读调查报告》，以下是小明根据该报告提供的数据制作的“2017﹣2018年我国未成年人图书阅读率统计图”的一部分．报告中提到，2018年9﹣13周岁少年儿童图书阅读率比2017年提高了3.1个百分点，2017年我国0﹣17周岁未成年人图书阅读率为84.8%．根据以上信息解决下列问题：①写出图1中a的值；②补全图1；（2）读书社的小明在搜集资料的过程中，发现了《人民日报》曾经介绍过多种阋读法，他在班上给同学们介绍了其中6种，并调查了全班40名同学对这6种阅读法的认可程度，制作了如下的统计表和统计图：最愿意使用的阅读方法人数统计表阅读方法类型划记人数1．读书不二法4B．比较品读法正5C．字斟句酌法8D．精华提炼法E．多维研读法6F．角色扮演法7合计4040根据以上信息解决下列问题：①补全统计表及图2；②根据调査结果估计全年级500名同学最愿意使用“D．精华提炼法”的人数．【分析】（1）求出a的值即可补全条形统计图，（2）求出表格中D组的人数，划记“正”字，表格补充完整，计算出C组、D组所占的百分比，即可补全扇形统计图，（3）样本估计总体，样本中D组占25%，因此根据500人的25%就是“精华提炼法”人数．【解答】解：（1）①a＝93.2%+3.1%＝96.3%，故a的值为96.3%．②补全的条形统计图如图所示：（2）①40﹣4﹣5﹣8﹣6﹣7＝10人，划两个“正”字，补全统计表如下：C组占8÷40＝20%，D组占10÷40＝25%，补全的扇形统计图如图所示：②500×25%＝125人，答：全年级500名同学最愿意使用“D．精华提炼法”的人数为125人．【点评】考查条形统计图、扇形统计图、频数统计表的制作方法，理解图表中的各个数据之间的关系是解决问题的关键，几个图表联系在一起分析数量关系是常用的方法．25．（7分）阅读下面材料：2019年4月底，“百年器象﹣﹣清华大学科学博物馆筹备展”上展出了一件清华校友捐赠的历史文物“Husun型六分仪”（图①），它见证了中国人民解放军海军的发展历程．六分仪是测量天体高度的手提式光学仪器，它的主要原理是几何光学中的反射定律．观测者手持六分仪（图②）按照一定的观测步骤（图③显示的是其中第6步）读出六分仪圆弧标尺上的刻度，再经过一定计算得出观测点的地理坐标．请大家证明在使用六分仪测量时用到的一个重要结论（两次反射原理）．已知：在图④所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B 两处，B处的镜面所在直线FBC自动与0°刻度线AE保持平行（即BC∥AE），并与A 处的镜面所在直线NA交于点C，SA所在直线与水平线MB交于点D六分仪上刻度线AC 与0°刻度线的夹角∠EAC＝ω，观测角为∠SDM．（请注意小贴士中的信息）求证：∠SDM＝2ω．请在答题卡上完成对此结论的以下填空及后续证明过程（后续证明无需标注理由）．证明：∵BC∥AE，∴∠C＝∠EAC（两直线平行内错角相等）．∵∠EAC＝ω，∴∠C＝ω（等量代换）．∵∠SAN＝∠CAD（对顶角相等），又∵∠BAC＝∠SAN＝α（小贴士已知），∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2α．∵∠FBA是△ABC的外角，∴∠FBA＝∠BAC+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．即β＝α+ω．补全证明过程：（请在答题卡上完成）【分析】根据平行线的性质，三角形的外角的性质一一判断即可．【解答】证明：∵BC∥AE，∴∠C＝∠EAC（两直线平行内错角相等）．∵∠EAC＝ω，∴∠C＝ω（等量代换）．∵∠SAN＝∠CAD（对顶角相等），又∵∠BAC＝∠SAN＝α（小贴士已知），∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2α．∵∠FBA是△ABC的外角，∴∠FBA＝∠BAC+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．即β＝α+ω．故答案为：两直线平行内错角相等，等量代换，对顶角相等，ABC，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．【点评】本题考查三角形的外角的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．26．（6分）已知：△ABC，点M是平面上一点，射线BM与直线AC交于点D，射线CM 与直线AB交于点E．过点A作AF∥CE，AF与BC所在的直线交于点F．。
北京市西城区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题答案
北京市西城区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题一、单选题1．实数3.14153257 9）A ．3.1415B 32C ．57D 92．若m n ，则下列各式中正确的是（）A ．0m nB ．99m n C ．2m n n D ．44m n 3．如图，直线AB CD ，相交于点O ，EO AB ，垂足为O ，37DOE ，COB 的大小是（）A ．53B ．143C ．117D ．127 4．下列命题中，是假命题的是（）A ．如果两个角相等，那么它们是对顶角B ．同旁内角互补，两直线平行C ．如果a b ，b c ，那么a cD ．负数没有平方根5．在平面直角坐标系中，点 1,5A ， 2,1B m m ，若直线AB 与y 轴垂直，则m 的值为（）A ．0B ．3C ．4D ．76．以下抽样调查中，选取的样本具有代表性的是（）A ．了解某公园的平均日客流量，选择在周末进行调查B ．了解某校七年级学生的身高，对该校七年级某班男生进行调查C ．了解某小区居民坚持进行垃圾分类的情况，对小区活动中心的老年人进行调查D ．了解某校学生每天体育锻炼的时长，从该校所有班级中各随机选取5人进行调查7．以某公园西门O 为原点建立平面直角坐标系，东门A 和景点B 的坐标分别是(6,0)和(4,4)．如图1，甲的游览路线是：O B A ，其折线段的路程总长记为1l ．如图2，景点C 和D 分别在线段,OB BA 上，乙的游览路线是：O C D A ，其折线段的路程总长记为2l ．如图3，景点E 和G 分别在线段,OB BA 上，景点F 在线段OA 上，丙的游览路线是：O E F G A ，其折线段的路程总长记为3l ．下列1l ，2l ，3l 的大小关系正确的是（）A ．123l l lB ．12l l 且23l lC ．213l l lD ．12l l 且13l l 8．有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形ABCD 中，根据图中标出的数据，1张小长方形卡片的面积是（）A ．72B ．68C ．64D ．60二、填空题9．若3,2x y 是方程10ax y 的解，则a 的值为．10．在平面直角坐标系中，已知点P 在第四象限，且点P 到两坐标轴的距离相等，写出一个符合条件的点P 的坐标：．11．若一个数的平方等于964，则这个数是．12．如图，在三角形ABC 中，90C ，点B 到直线AC 的距离是线段的长，BC BA 的依据是．13．点M ，N ，P ，Q 51，这个点是．14．解方程组3416,5633,x y x y ①②小红的思路是：用①5 ②3 消去未知数x ，请你写出一种用加减消元法消去未知数y 的思路：用消去未知数y ．15．如图，四边形纸片ABCD ，AD BC ∥．折叠纸片ABCD ，使点D 落在AB 上的点1D 处，点C 落在点1C 处，折痕为EF ．若102EFC ，则1AED ．16．小明沿街心公园的环形跑道从起点出发按逆时针方向跑步，他用软件记录了跑步的轨迹，他每跑1km 软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前5km 的记录如图所示．已知该环形跑道一圈的周长大于1km ．（1）小明恰好跑3圈时，路程是否超过了5km ？答：（填“是”或“否”）；（2）小明共跑了14km 且恰好回到起点，那么他共跑了圈．三、解答题17．计算：33343818．（1）解方程组20,238.x y x y （2）解不等式组4127,281,3x x x x 并写出它的所有整数解．19．如图，点E ，F 分别在BA DC ，的延长线上，直线EF 分别交AD BC ，于点G ，H ，B D ，E F ．求证：180EGA CHG请将下面的证明过程补充完整：证明：∵E F ，∴______∥______．∴D ______．（）（填推理的依据）∵B D ，∴B ______．∴______∥______．（）（填推理的依据）∴180DGH CHG ．∵DGH EGA ，（）（填推理的依据）∴180EGA CHG ．20．为鼓励同学们参加主题为“阅读润泽心灵，文字见证成长”的读书月活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品．已知同类图书中每本书价格相同，购买2本科技类图书和3本文学类图书需131元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需237元．(1)科技类图书和文学类图书每本各多少元？(2)经过评选有300名同学在活动中获奖，学校对每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．如果学校用于购买奖品的资金不超过8000元，那么科技类图书最多能买多少本？21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，三角形ABC 三个顶点的坐标分别是 3,4A ， 2,1B ， 5,1C ．将三角形ABC 先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到三角形DEF ，其中点D ，E ，F 分别为点A ，B ，C 的对应点．(1)在图中画出三角形DEF ；(2)求三角形ABC 的面积；(3)若三角形ABC 内一点P 经过上述平移后的对应点为 ,Q m n ，直接写出点P 的坐标（用含m ，n 的式子表示）．22．《北京市节水条例》自2023年3月1日起实施．学校组织了“珍惜水资源，节水从我做起”的活动，号召大家节约用水．为了解所居住小区家庭用水的情况，小芸从该小区的住户中随机抽取了部分家庭，获得了这些家庭4月份用水量（单位：t ）的数据，并对这些数据进行整理和描述．数据分成5组：04x ，48x ，812x ，1216x ，1620x ．下面给出了部分信息：a ．4月份用水量的数据的扇形图、频数分布直方图分别如图1，图2所示．b ．4月份用水量的数据在1216x 这一组的是：1212.512.513131415.515.5根据以上信息，回答下列问题：(1)小芸共抽取了______户家庭进行调查；(2)扇形图中，812x 这一组所对应的扇形的圆心角的度数为______°，%n ______%；(3)补全频数分布直方图；(4)请你根据小芸的调查结果，估计该小区480户家庭中有多少户家庭年用水量超过180t ．23．将三角形ABC 和三角形DEF 按图1所示的方式摆放，其中90ACB DFE ，45DEF EDF ，30ABC ，60BAC ，点D ，A ，F ，B 在同一条直线上．(1)将图1中的三角形ABC 绕点B 及逆时针旋转，且点A 在直线DF 的下方．①如图2，当AC DF ∥时，求证：EF BC ∥；②当AC DE ∥时，直接写出FBA 的度数；(2)将图1中的三角形DEF 绕点E 逆时针旋转，如图3，当点D 首次落在边BC 上时，过点E 作EG BC ∥，作射线DM 平分FDB ，作射线EN 平分GED 交DM 的反向延长线于点N ，依题意补全图形并求END 的度数．24．在平面直角坐标系xOy 中，已知点 ,M a b ，对于点 ,P x y ，将点 ,Q x a y b 称为点P 关于点M 的关联点．(1)点 6,7P 关于点 2,3M 的关联点Q 的坐标是______；(2)点 1,1A ， 5,1B ，以AB 为边在直线AB 的下方作正方形ABCD ．点 4,1E ，2,2F ， 1,0G 关于点 ,4M a 的关联点分别是点1E ，1F ，1G ．若三角形111E FG 与正方形ABCD 有公共点，直接写出a 的取值范围；(3)点 1,1P t ， 2,5N t t 关于点 3,M b 的关联点分别是点1P ，1N ，且点1P 在x 轴上，点O 为原点，三角形11OPN 的面积为3，求点1N 的坐标．25．在边长为1的正方形网格中，网格线交点称为格点，顶点都在格点上的多边形称为格点多边形．将格点多边形边上（含顶点）的格点个数记为M ，内部的格点个数记为N ，其面积记为S ，它们满足公式S aM N b ．小东忘记了公式中a ，b 的值，他想到可以借助两个特殊格点多边形求出a ，b 的值．小东画出一个格点四边形ABCD （如图1），它所对应的6M ，1N ，3S ．(1)请在图2中画出一个格点三角形EFG ，并直接写出它所对应的M ，N ，S 的值；(2)求a ，b 的值．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知点 11,P x y ， 22,Q x y ，给出如下定义： 1212121211,22M P Q x x x x y y y y ．(1)已知点 1,0P ．①若点Q 与点P 重合，则 ,M P Q ______；②若点 3,1Q ，则 ,M P Q ______；(2)正方形四个顶点的坐标分别是 0,0O ， ,0A t ， ,B t t ， 0,C t ，其中0t ，在正方形OABC 内部有一点 ,P a b ，动点Q 在正方形OABC 的边上及其内部运动．若 ,M P Q a b ，求所有满足条件的点Q 组成的图形的面积（用含a ，b ，t 的式子表示）；(3)若点 1,2P ， ,5Q k k ， ,0M P Q ，且 ,M P Q 为奇数，直接写出k 的取值范围．参考答案：1．B【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数，即可求解．【详解】解：3.1415，5793 32故选：B ．【点睛】本题考查有理数、无理数的定义，掌握无理数的定义及常见形式是解题的关键．2．C【分析】根据不等式的性质依次进行判断即可得．【详解】解：A 、若m n ，则0m n ，选项说法错误，不符合题意；B 、若m n ，则99m n ，选项说法错误，不符合题意；C 、若m n ，则2m n n ，选项说法正确，符合题意；D 、若m n ，则44m n，选项说法错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．3．D【分析】先由垂线的定义得到90EOB ，进而求出53BOD ，则由邻补角互补可得180127COB BOD ∠．【详解】解：∵EO AB ，∴90EOB ，∵37DOE ，∴9053BOD DOE ∠，∴180127COB BOD ∠，故选D ．【点睛】本题主要考查了垂线的定义，邻补角互补，正确求出53BOD 是解题的关键．4．A【分析】本题需先根据真命题和假命题的定义判断出各题的真假，最后得出结果即可．【详解】A 、如果两个角相等，那么它们是对顶角，如等腰三角形的两个底角相等，这两个角不是对顶角，故A 是假命题，符合题意；B 、同旁内角互补，两直线平行，故B 是真命题，不符合题意；C 、如果a b b c ，，那么a c ，故C 是真命题，不符合题意；D 、负数没有平方根，故D 是真命题，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，判断一个命题是假命题时可以找到其反例．5．C【分析】根据直角坐标系点的坐标性质求解．【详解】解：由题意知，15m ，∴4m 故选：C ．【点睛】本题考查直角坐标系内点坐标的性质，由题意转化为方程求解是解题的关键．6．D【分析】根据样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，依次进行判断即可得．【详解】解：A 、了解某公园的平均日客流量，选择在周末进行调查，选取的样本不具有代表性，选项说法错误，不符合题意；B 、了解某校七年级学生的身高，对该校七年级某班男生进行调查，选取的样本不具有代表性，选项说法错误，不符合题意；C 、了解某小区居民坚持进行垃圾分类的情况，对小区活动中心的老年人进行调查，选取的样本不具有代表性，选项说法错误，不符合题意；D 、了解某校学生每天体育锻炼的时长，从该校所有班级中各随机选取5人进行调查，选取的样本具有代表性，选项说法错正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了样本，解题的关键是是掌握样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的．7．D【分析】根据三角形三边关系即可证明12l l ，根据平移的性质，即可证明13l l ．【详解】解：由题意可得：1l OB AB ，2l OC CD AD OC CB BD AD OB AB ，∴12l l ；将线段EF 平移可得到线段BG ，将线段FG 平移可得到线段BE ，∴,BE FG EF BG ，∴31l OE EF FG AG OE BE BG AG OB BA l ，∴13l l ，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形三边关系，平移的性质，题目新颖，灵活运用所学知识是关键．8．B【分析】设小长方形卡片的长为x ，宽为y ，根据图形提供的长和宽的关系列出方程组，解方程组，求出长和宽，即可得到1张小长方形卡片的面积．【详解】解：设小长方形卡片的长为x ，宽为y ，由题意可得，29329x y x y，解得174x y，∴1张小长方形卡片的面积是17468 ，故选：B【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，根据图形找到等量关系是解题的关键．9．4【分析】根据题意得3210a ，进行计算即可得．【详解】解：∵3,2x y是方程10ax y 的解，∴3210a ，4a ，故答案为：4．【点睛】本题考查了方程的解，解题的关键是掌握方程的解的意义，正确计算．10． 1,1P （答案不唯一）【分析】根据题意得 1,1P ．【详解】解：∵知点P 在第四象限，且点P 到两坐标轴的距离相等，∴ 1,1P ．【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握各个象限点的坐标特征．11．38或38【分析】利用平方根定义计算即可确定出这个数．【详解】解：一个数的平方等于964，则这个数是38；故答案为：38．【点睛】本题考查了平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．12．BC 垂线段最短【分析】根据点到直线的距离的定义即可说明B 到直线AC 的距离是线段是BC ；在根据两点之间垂线段最短即可证明BC BA ．【详解】 90C ，AC BC ，点B 到直线AC 的距离是线段为BC ；两点之间垂线段最短，BC BA ，故答案为：BC ，垂线段最短．【点睛】本题考查了点到直线的距离定义及两点之间垂线段最短，熟记知识点是解题的关键．13．点P551 的整数位，从而确定点的位置．459∴253 ，∴1512故答案为：点P ．【点睛】本题考查无理数的估算，用数轴上点表示数，利用算术平方根估算无理数是解题的关键．14．①3 ②2 （答案不唯一）【分析】根据加减消元法解二元一次方程组，根据题意，观察两式y 的系数，根据①3 ②2即可消去未知数y ．【详解】解：解方程组3416,5633,x y x y ①②①3 ②2 得：9104866x x ，故答案为：①3 ②2 （答案不唯一）．【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．15．24【分析】根据平行线的性质可得180EFC DEF ，再根据折叠的性质可得178DEF D EF ，然后利用平角的定义求解即可．【详解】∵AD BC ∥，∴180EFC DEF ，∵102EFC ，∴18010278DEF ，∵折叠纸片ABCD ，使点D 落在AB 上的点1D 处，∴178DEF D EF ，∴1180787824AED ，故答案为：24．【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，平角的定义等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．16．否10【分析】（1）设环形跑道的周长为L ，小明总计跑了x 圈，结合图形即可作答；（2）利用环形道的周长与里程数的关系建立不等式求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程即可求解．【详解】（1）设环形跑道的周长为L ，小明总计跑了x （x 为整数）圈，结合图形，根据题意有：435L ，即小明恰好跑3圈时，路程没有超过5km ；（2）结合图形，根据题意有：1222343545L L L L ，解得：4332L ，根据题意还有：14xL ，可得：14x L，∵4332L ，∴21334L ，∴28142132L ，∵x 为整数，∴14L 为整数，∴1410L，即1410x L，即小明共跑了10圈，故答案为：否，10．【点睛】本题考查了不等式的应用，根据题意结合图形得出不等式组，是解答本题的关键．17．43【分析】先求出算术平方根、化简绝对值、求出立方根，再进行实数的加减混合运算即可．【详解】解：3334383323233322 43【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根、立方根是解题的关键．18．（1）24x y；（2）13x ；0，1，2，3【分析】（1）用加减消元法求解二元一次方程组；（2）求解不等式组中两个不等式，取公共部分，求得整数解．【详解】（1）解：20,238.x y x y ①②②①得：28y ，4y ．把4y 代入①，得240x ，2x ．所以这个方程组的解24x y （2）解：4127,281.3x x x x①②解不等式①，得3x ．解不等式②，得1x ．所以不等式组的解集为13x ．它的所有整数解为0，1，2，3．【点睛】本题考查解二元一次方程组，解不等式组，掌握解不等式组和方程组的步骤是解题的关键．19．见解析【分析】利用平行线的判定和性质一一判断即可．【详解】∵E F ，∴BE DF ．∴D DAE ．（两直线平行，内错角相等）∵B D ，∴B DAE ．∴BC AD ．（同位角相等，两直线平行）∴180DGH CHG ．∵DGH EGA ，（对顶角相等）∴180EGA CHG ．【点睛】本题考查平行线的性质和判定，对顶角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．(1)科技类图书每本28元，文学类图书每本25元(2)科技类图书最多能买166本【分析】（1）设科技类图书每本x 元，文学类图书每本y 元，根据题意列出二元一次方程，求解即可；（2）设购买科技类图书a 本，结合资金不超过8000元，列出一元一次不等式，解出最大值.【详解】（1）解：设科技类图书每本x 元，文学类图书每本y 元．依题意，得2313145237x y x y，①×2－②，得25y ，把25y 代入①，得28x ．所以这个方程组的解为2825x y，答：科技类图书每本28元，文学类图书每本25元．（2）解：设购买科技类图书a 本．依题意，得 28253008000a a ．解得21663a ．所以满足条件的最大整数为166．答：科技类图书最多能买166本．【点睛】本题考查了二元一次方程和一元一次不等式的求解，设出未知数进行求解是解题的关键.21．(1)见解析(2)112(3)5,4P m n 【分析】（1）根据题意进行平移得(2,0)(33)(0,5)D E F ，，，，即可得；（2）作点 3,0P ，构造图中的四边形PEFO ，则ABC DEF PED DFO PEFO S S S S S 四边形△△△△，进行计算即可得；（3）根据三角形ABC 内一点P 经过先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到 ,Q m n ，即可得．【详解】（1）解：∵三角形ABC 三个顶点的坐标分别是 3,4A ， 2,1B ， 5,1C ．将三角形ABC 先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，∴(2,0)(33)(0,5)D E F ，，，，如图所示，；（2）解：如图所示，作点 3,0P ，构造图中的四边形PEFO ，则ABC DEF PED DFOPEFO S S S S S 四边形△△△△ 1111135313252222．（3）解：∵三角形ABC 内一点P 经过先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到 ,Q m n ，∴ 5,4P m n ．【点睛】本题考查了平移—作图，解题的关键是掌握平移．22．(1)40(2)144，12.5；(3)见解析(4)估计该小区480户家庭中约有48户家庭年用水位超过180t【分析】（1）根据条形统计图得48x 的人数有9人，占比22.5%，即可得；（2）812x 这一组所对应的扇形的圆心角的度数为：40%360144 ，根据1216x 的家庭用户8人，可得04x 的家庭用户，即可得；（3）由（2）得，1216x 的家庭用户8人，04x 的家庭用户5人，即可得；（4） 1801215t ，根据被调查的40户家庭中有4户家庭4月份的用水量超过15t ，即可得．【详解】（1）解：∵根据条形统计图得48x 的人数有9人，占比22.5%，∴小芸共抽取的家庭：922.540 =%（户），即小芸共抽取了40户家庭进行调查，故答案为：40；（2）解：812x 这一组所对应的扇形的圆心角的度数为：40%360144 ，∵1216x 的家庭用户8人，∴04x 的家庭用户：40916825 （人），54010012.5n %%%，故答案为：144，12.5；（3）解：由（2）得，1216x 的家庭用户8人，04x 的家庭用户5人，如图所示；（4）解： 1801215t ，被调查的40户家庭中有4户家庭4月份的用水量超过15t ，44804840（户）．答：估计该小区480户家庭中约有48户家庭年用水位超过180t ．【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计整体，解题的关键是掌握这些知识点．23．(1)①见解析；②105(2)见解析，22.5END【分析】（1）利用平行线的性质，运用90ACB DFE ，45DEF EDF ，得出结论即可；（2）设MDB ，因为DM 平分FDB ，EN 平分GED ，得出END 的度数.【详解】（1）解：①证明：∵AC DF ∥，∴180FBC C ．∵90C ，∴90FBC Ð=°．∵90EFD ，∴90EFB∴EFB FBC ．∴EF BC ∥．②105FBA ,理由如下：过点B 作BG DE ∥,如下图所示，∵AC DE ∥，∴AC DE BG ∥,∴54DBG EDB ，60GBA BAC ，∴105FBA DBG GBA .（2）解：补全图形，如图．过点N 作NH EG ∥，设MDB ．∵EG BC ∥，∴NH BC ∥．∴DNH MDB ．∵DM 平分FDB ，EN 平分GED ，∴22FDB MDB ，12GEN GED ．∴245EDB FDB EDF ．∵EG BC ∥，∴245GED EDB ．∴22.5GEN ．∵NH EG ∥，∴22.5ENH GEN ．∴22.5END ENH DNH ．【点睛】本题主要考查平行线和角平分线的性质，掌握这些性质是解题的关键.24．(1)4,4 (2)25a 或69a (3)点1N 的坐标为 4,3或1,3 【分析】（1）根据新定义即可求解；（2）根据新定义得出1E 4,3a ，1F 2,2a ，1G 1,4a ．根据题意列出不等式组，解不等式组即可求解；（3）根据新定义得出点1P 的坐标为 2,1t b ，点1N 的坐标为 23,5t t b ．根据点1P 在x 轴上，可得10t b ，即1b t ．根据题意列出方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：依题意，点 6,7P 关于点 2,3M 的关联点Q 的坐标是 62,37 即 4,4 ，故答案为： 4,4 ；（2）解：∵点 1,1A ， 5,1B ，以AB 为边在直线AB 的下方作正方形ABCD ．∴514AB ，则 5,5C ， 1,5D ，∵点 4,1E ， 2,2F ， 1,0G 关于点 ,4M a 的关联点分别是点1E ，1F ，1G ．∴1E 4,3a ，1F 2,2a ，1G 1,4a ．∵三角形111E FG 与正方形ABCD 有公共点，421a a a ，∴4111a a或1545a a 解得：25a 或69a ；（3）解：∵点 1,1P t ， 2,5N t t 关于点 3,M b 的关联点分别是点1P ，1N ，∴点1P 的坐标为 2,1t b ，点1N 的坐标为 23,5t t b ．∵点1P 在x 轴上，∴10t b ，即1b t ．∵12532t b ，即 513t t ．∴413t 或413t ．∴12t 或1t ．∴点1N 的坐标为 4,3或 1,3 ．【点睛】本题考查了坐标变换，坐标与图形，一元一次不等式组的应用，数形结合是解题的关键．25．(1)见解析，4M ，1N ，2S ；(2)121a b ．【分析】（1）画一个符合题意的三角形EFG ，即可；（2）构造二元一次方程组，求解即可．【详解】（1）解：格点三角形EFG，如图所示．；4M ，1N ，2S ；（2）解：依题意，得361241a b a b，解得121a b ．【点睛】本题考查新型定义问题，理解题意，建立方程组求解是解题的关键．26．(1)①1；②0(2)面积为t a t b (3)13k 或1k 或5k 【分析】（1）根据所给的定义进行求解即可；（2）设点Q 的坐标为 ,x y ，则 11,22M P Q a x a x b y b y ，然后讨论x 、y 的取值范围，去绝对值，根据 ,M P Q a b 确定x 、y 的取值范围，从而求出答案；（3）求出 11,117322M P Q k k k k ，然后讨论k 的取值范围，去绝对值，然后根据 ,0M P Q ，且 ,M P Q 为奇数进行求解即可．【详解】（1）解：乙由题意得：11,1111000022M P Q 12021 ，故答案为：1；②由题意得： 11,3131101022M P Q 1131211221122220 ，故答案为：0；（2）设点Q 的坐标为 ,x y ，22∴当x a ，y b 时， 11,22M P Q a x x a b y y b a b；当x a ，y b 时， 11,22M P Q a x x a b y b y a y；当x a ，y b 时， 11,22M P Q a x a x b y y b x b；当x a ，y b 时， 11,22M P Q a x a x b y b y x y；∵ ,M P Q a b ，∴x a ，y b ，∴所有满足条件的点Q 组成的图形是如图所示的阴影区域，其面积为 t a t b ．（3）解：由题意得， 11,11525222M P Q k k k k 11117322k k k k ，当1k 时，11,1173222M P Q k k k k k ，∵ ,0M P Q ，∴20k ，∴21k ，又∵ ,M P Q 为奇数，即k 为奇数，∴1k ；当13k 时， 11,1173322M P Q k k k k ，此时满足 ,0M P Q 且 ,M P Q 为奇数，∴13k ；当3k 时，22∵ ,0M P Q ，∴60k ，∴36k ，又∵ ,M P Q 为奇数，即k 为奇数，∴5k ；综上所述，13k 或1k 或5k ．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，化简绝对值，整式的混合运算，正确理解题意，分类讨论是解题的关键．。
北京市西城区(北区)2012-2013学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)
2012-2013学年北京市西城区（北区）高二（下）期末数学试卷
（理科）参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
==
2．（5分）甲骑自行车从A地到B地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有
，第三个路口遇到红灯，概率等于
解：由题意可得甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是
=，
=
3．（5分）函数的图象在点（2，φ（2））处的切线方程是（）
解：求导函数，可得
的图象在点﹣=（
32
6．（5分）已知一个二次函数的图象如图所示，那么它与ξ轴所围成的封闭图形的面积等于（）
=
7．（5分）（2006广州二模）4名男生和4名女生随机地排成一行，有且仅有两名男生排在一
种排列方法．由分步计数原理求出有解：随机排成一行，总共有
个整体，有
种排法，而女生的排法是
=
8．（5分）已知函数，若同时满足条件：
⎺ξ0 （0，+），ξ0为φ（ξ）的一个极大值点；
α ξ（8，+），φ（ξ）＞0．
得到
，则=
，则
，即
即上的最小值为
解得
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．（5分）的二项展开式中的常数项为160．（用数字作答）
解：由于
=
10．（5分）如果函数φ（ξ）=χοσξ，那么=．
和，再求出
=χοσ=
σιν
=。
北京市西城(北区)2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题
北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷（北区）高一数学 2013.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 在0到2π范围内，与角3π-终边相同的角是（ ）A. 3π B.23π C.43π D.53π 2.α是一个任意角，则α的终边与3α+π的终边（ ）A. 关于坐标原点对称B. 关于x 轴对称C. 关于y 轴对称D. 关于直线y x =对称3. 已知向量(1,2)=-a ，(1,0)=b ，那么向量3-b a 的坐标是（ ）A.(4,2)-B.(4,2)--C.(4,2)D.(4,2)-4. 若向量(13)=，a 与向量(1,)λ=-b 共线，则λ的值为（ ）A.3-B.3C.13- D.135. 函数()f x 的图象是中心对称图形，如果它的一个对称中心是π(0)2，，那么()f x 的解 析式可以是（ ） A.sin x B.cos x C.sin 1x +D.cos 1x +6. 已知向量(1,=a ，(=-b ，则a 与b 的夹角是（ ）A. 6πB.4π C.3π D.2π7. 为了得到函数cos(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos2y x =的图象（ ） A. 向左平移π6个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移π3个单位长度D. 向右平移π3个单位长度8. 函数212cos y x =- 的最小正周期是（ ）A.4π B.2π C.πD.2π9. 设角θ的终边经过点(3,4)-，则πcos()4θ+的值等于（ ）A.10B.10C.10D.10-10. 在矩形ABCD中，AB =，1BC =，E 是CD 上一点，且1AE AB ⋅=，则AE AC ⋅ 的值为（ ） A ．3B ．2C．2 D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11.sin34π=______. 12. 若1cos , (0,)2αα=-∈π，则α=______.13. 已知向量(1,3)=-a ，(3,)x =-b ，且⊥a b ，则x =_____. 14.已知sin cos αα-=sin2α=______.15. 函数2cos y x =在区间[,]33π2π-上的最大值为______,最小值为______.16. 已知函数()sin f x x x =，对于ππ[]22-，上的任意12x x ，，有如下条件：①2212x x >；②12x x >；③12x x >，且1202x x +>． 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是_______．（写出所有满足条件的序号）三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知2απ<<π，4cos 5α=-. （Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求sin2cos2αα+的值.18.（本小题满分12分）已知函数2()sin 12xf x x =+.（Ⅰ）求()3f π的值； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅲ）作出()f x 在一个周期内的图象.19.（本小题满分12分）如图，点P 是以AB 为直径的圆O 上动点，P '是点P 关于AB 的对称点，2(0)AB a a =>.（Ⅰ）当点P 是弧 AB 上靠近B 的三等分点时，求AP AB ⋅的值；（Ⅱ）求AP OP '⋅的最大值和最小值.AB 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.1. 已知集合{11}P x x =-<<，{}M a =. 若M P ⊆，则a 的取值范围是________.2. lg2lg5+-=________. 3. 满足不等式122x>的x 的取值范围是_______.4. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 在(0,)+∞上是减函数，且2是函数()f x 的一个零点，则满足()0x f x >的x 的取值范围是________.5. 已知集合{1,2,,}U n = ，n *∈N ．设集合A 同时满足下列三个条件： ①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉； ③若U x C A ∈，则2U x C A ∉．（1）当4n =时，一个满足条件的集合A 是________；（写出一个即可） （2）当7n =时，满足条件的集合A 的个数为________.二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6. （本小题满分10分）已知函数21()1f x x =-. （Ⅰ）证明函数()f x 为偶函数；（Ⅱ）用函数的单调性定义证明()f x 在(0,)+∞上为增函数.7. （本小题满分10分）设函数(2)(4)2()(2)()2x x x f x x x a x -+≤⎧=⎨-->⎩. （Ⅰ）求函数()f x 在区间[2,2]-上的最大值和最小值；（Ⅱ）设函数()f x 在区间[4,6]-上的最大值为()g a ，试求()g a 的表达式.8. （本小题满分10分）已知函数()log a g x x =，其中1a >.（Ⅰ）当[0,1]x ∈时，(2)1x g a +>恒成立，求a 的取值范围； （Ⅱ）设()m x 是定义在[,]s t 上的函数，在(,)s t 内任取1n -个数1221,,,,n n x x x x -- ，设12x x << 21n n x x --<<，令0,ns x t x==，如果存在一个常数0M >，使得11()()nii i m xm x M -=-≤∑恒成立，则称函数()m x 在区间[,]s t 上的具有性质P . 试判断函数()()f x g x =在区间21[,]a a上是否具有性质P ？若具有性质P ，请求出M 的最小值；若不具有性质P ，请说明理由.（注：1102111()()()()()()()()nii n n i m x m xm x m x m x m x m x m x --=-=-+-++-∑ ）北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷（北区）高一数学参考答案及评分标准 2013.1A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.D;2.A;3.D;4.A;5.B;6.C;7.B;8.C;9.C; 10.B. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 2; 12.32π; 13. 1-; 14. 1-; 15. 2,1-; 16. ①③.注：一题两空的试题每空2分；16题，选出一个正确的序号得2分，错选得0分. 三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.解：（Ⅰ）因为4cos 5α=-,2απ<<π,所以3sin 5α=, …………………3分所以sin 3tan cos 4ααα==-. …………………5分 （Ⅱ）24sin22sin cos 25ααα==-， …………………8分27cos22cos 125αα=-=， …………………11分 所以24717sin 2cos2252525αα+=-+=-. …………………12分 18.解：（Ⅰ）由已知2()sin 1363f πππ=+ …………………2分1122==. …………………4分（Ⅱ）()cos )sin 1f x x x -+ …………………6分sin 1x x =+2sin()13x π=-+. …………………7分函数sin y x =的单调递增区间为[2,2]()22k k k πππ-π+∈Z ， …………………8分由 22232k x k ππππ-≤-≤π+，得2266k x k π5ππ-≤≤π+.所以()f x 的单调递增区间为[2,2]()66k k k π5ππ-π+∈Z . …………………9分（Ⅲ）()f x 在[,]33π7π上的图象如图所示. …………………12分19.解：（Ⅰ）以直径AB 所在直线为x 轴，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系.因为P 是弧AB 靠近点B 的三等分点， 连接OP ，则3BOP π∠=， …………………1分 点P 坐标为1(,)22a a . …………………2分 又点A 坐标是(,0)a -，点B 坐标是(,0)a ，所以3()22AP a a = ，(2,0)AB a =， …………………3分所以23AP AB a ⋅=. …………………4分 （Ⅱ）设POB θ∠=，[0,2)θπ∈，则(cos ,sin )P a a θθ，(cos ,sin )P a a θθ'-所以(cos ,sin )AP a a a θθ=+，(cos ,sin )OP a a θθ'=-. …………所以22222cos cos sin AP OP a a a θθθ'⋅=+- 22(2cos cos 1)a θθ=+- (222119)2(cos cos )2168a a θθ=++- 222192(cos )48a a θ=+-. …………当1cos 4θ=-时，AP OP '⋅ 有最小值298a -当cos 1θ=时，AP OP '⋅ 有最大值22a . …………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1.{11}a a -<<; 2. 12; 3. {1}x x >-; 4. (2,0)(0,2)- ;5. {2}，或{1,4}，或{2,3}，或{1,3,4}；16. 注：一题两空的试题每空2分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6. 证明：（Ⅰ）由已知，函数()f x 的定义域为{0}D x x =∈≠R . …………………1分设x D ∈，则x D -∈，2211()11()()f x f x x x -=-=-=-. …………………3分 所以函数()f x 为偶函数. …………………4分（Ⅱ）设12x x ，是(0,)+∞上的两个任意实数，且12x x <，则210x x x ∆=->，21222111()()1(1)y f x f x x x ∆=-=--- …………………6分 22212121222222121212()()11=x x x x x x x x x x x x --+=-=. …………………8分 因为120x x <<， 所以210x x +>，210x x ->，所以0y ∆>， …………………9分 所以()f x 在(0,)+∞上是增函数. …………………10分7.解：（Ⅰ）在区间[2,2]-上，()(2)(4)f x x x =-+.所以()f x 在区间[2,1]--上单调递增，在区间[1,2]-上单调递减， ……………1分 所以()f x 在区间[2,2]-上的最大值为(1)9f -=， …………………3分最小值为(2)0f =. …………………4分（Ⅱ）当2a ≤时，()f x 在[4,1]--上单调递增，在[1,6]-上单调递减，所以()f x 的最大值为9. …………………5分当28a <≤时，()f x 在[4,1]--上单调递增，在[1,2]-上单调递减，在2[2,]2a +单调递增，在2[,6]2a +上单调递减， 此时(1)9f -=，222()()922a a f +-=≤，所以()f x 的最大值为9. ……………7分 当810a <≤时，()f x 在[4,1]--上单调递增，在[1,2]-上单调递减，在2[2,]2a +单调递增，在2[,6]2a +上单调递减. 此时222()()(1)22a a f f +-=>-，所以()f x 的最大值为2(2)4a -.………………8分 当10a >时，()f x 在[4,1]--上单调递增，在[1,2]-上单调递减，在[2,6]单调递增，此时(6)4(6)(1)f a f =->-，所以()f x 的最大值为4(6)a -. …………………9分综上，298,(2)()810,44(6)10.a a g a a a a ≤⎧⎪-⎪=<≤⎨⎪->⎪⎩ …………………10分 8.解：（Ⅰ）当[0,1]x ∈时，(2)1xg a+>恒成立，即[0,1]x ∈时，log (2)1xa a +>恒成立， …………………1分因为1a >，所以2xaa +>恒成立， …………………2分即2xa a -<在区间[0,1]上恒成立，所以21a -<，即3a <， …………………4分 所以13a <<. 即a 的取值范围是(1,3). …………………5分 （Ⅱ）由已知()f x =log a x ，可知()f x 在2[1,]a 上单调递增，在1[,1]a上单调递减，对于21(,)a a 内的任意一个取数方法201211n n x x x x x a a -=<<<<<= ，当存在某一个整数{1,2,3,,1}k n ∈- ，使得1k x =时，1011211()()[()()][()()][()()]nii k k i f x f xf x f x f x f x f x f x --=-=-+-++-∑1211[()()][()()][()()]k k k k n n f x f x f x f x f x f x +++-+-+-++-21()(1)()(1)123f f f a f a=-+-=+=. …………………7分当对于任意的{0,1,2,3,,1}k n ∈-，1k x ≠时，则存在一个实数k 使得11k k x x +<<，此时1011211()()[()()][()()][()()]nii k k i f x f xf x f x f x f x f x f x --=-=-+-++-∑1211()()[()()][()()]k k k k n n f x f x f x f x f x f x +++-+-+-++-011()()()()()()k k k n k f x f x f x f x f x f x ++=-+-+-……（*） 当1()()k k f x f x +>时，（*）式01()()2()3n k f x f x f x +=+-<， 当1()()k k f x f x +<时，（*）式0()()2()3n k f x f x f x =+-<， 当1()()k k f x f x +=时，（*）式01()()()()3n k k f x f x f x f x +=+--<.……………9分综上，对于21(,)a a 内的任意一个取数方法201211n n x x x x x a a-=<<<<<= ，均有11()()3nii i f x f x-=-≤∑.所以存在常数3M ≥，使11()()ni i i f x f x M -=-≤∑恒成立，所以函数()f x 在区间21[,]a a上具有性质P .此时M 的最小值为3. …………………10分。
2012-2013西城区初一数学期末试卷及答案(北区)
2012-2013西城区初一数学期末试卷及答案(北区)D它的常数项是14．已知关于x的方程72-=+的解是2x=，则k的kx x k值为（）．C. 1A.3-B.45D.545．下列说法中，正确的是（）．A．任何数都不等于它的相反数B．互为相反数的两个数的立方相等C．如果a大于b，那么a的倒数一定大于b 的倒数D．a与b两数和的平方一定是非负数图中锐角．．α∠与β∠相等的是（）．A BC D7．下列关于几何画图的语句正确的是A．延长射线AB到点C，使BC=2ABB．点P在线段AB上，点Q在直线AB的反向延长线上C．将射线OA绕点O旋转180︒，终边OB与始边OA的夹角为一个平角D．已知线段a，b满足20>>，在同一直线上a b作线段2=，BC b=，那么线段2AB a=-AC a b8．将下列图形画在硬纸片上，剪下并折叠后能围成三棱柱的是A B C DA.①，④B. ①，③C. ②，③D. ②，④10．右图中的长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成的，那么其中第一部分所对应的几何体应是二、填空题（本题共20分，11～14题每小题2分，15～18题每小题3分）A B11．用四舍五入法将1.893 5取近似数并精确到0.001，得到的值是 ．12．计算：135459116''︒-︒= ．13．一件童装每件的进价为a 元（0a >），商家按进价的3倍定价销售了一段时间后，为了吸引顾客，又在原定价的基础上打六折出售，那么按新的售价销售，每件童装所得的利润用代数式表示应为 元．14．将长方形纸片ABCD 如图所示，点C ，点D 的对应点分别为点C '，点D '，折痕分别交AD ，BC 边于点E ，点F ．若30BFC '∠=︒，则CFE ∠= °．15．对于有理数a ，b ，我们规定a b a b b ⊗=⨯+．（1）(3)4-⊗= ；（2）若有理数x 满足(4)36x -⊗=，则x 的值为 ．16．如图，数轴上A ，B 两点表示的数分别为2-和6，数轴上的点C 满足AC BC =，点D在线段AC 的延长线上， 若32AD AC =，则BD = ，点D 表示的数为 ．17．右边球体上画出了三个圆，在图中的六个□里分别填入1，2，3，4，5，6，使得每个圆周上四个数相加的和都相等．（1）这个相等的和等于 ；（2）在图中将所有的□填完整．18．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长都是3 cm ，点P 从点D 出发，先到点A 然后沿箭头所指方向运动（经过点D 时不拐弯），那么从出发开始连续运动2012cm 时，它离点 最近，此时它距该点cm ．三、计算题（本题共12分，每小题4分）19．2742()(12)(4)32⨯-÷--÷-． 解：20．3212(3)4()23-÷⨯-． 解：21．211312()49(5)64828-⨯+-÷-． 解：四、先化简，再求值（本题5分）22．222225(3)(3)2a b ab ab a b ab --++，其中21=a ，3b =． 解：五、解下列方程（组）（本题共10分，每小题5分）23．321123xx x --+=-． 解：24．231445 6.x y x y +=⎧⎨-=⎩，解：六、解答题（本题4分）25．问题：如图，线段AC上依次有D，B，E 三点，其中点B为线段AC的中点，AD BE=，若4DE=，求线段AC的长．请补全以下解答过程．解：∵D，B，E三点依次在线段AC上，∴DE BE=+．∵AD BE=，∴DE DB AB=+=．∵4DE=，∴4AB=．∵，∴2AC AB==．七、列方程（或方程组）解应用题（本题共6分）26．有甲、乙两班学生，已知乙班比甲班少4人，如果从乙班调17人到甲班，那么甲班人数比乙班人数的3倍还多2人，求甲、乙两班原来各有多少人．解：八、解答题（本题共13分，第27题6分，第27题7分）27．已知当1x =-时，代数式3236mxnx -+的值为17．（1）若关于y 的方程24my n ny m +=--的解为2y =，求nm 的值；（2）若规定[]a 表示不超过a 的最大整数，例如[]4.34=，请在此规定下求32n m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值．解：28．如图，50DOE ∠=︒，OD 平分∠AOC ，60AOC ∠=︒，OE 平分∠BOC ．（1）用直尺、量角器画出射线OA ，OB ，OC 的准确位置；（2）求∠BOC 的度数，要求写出计算过程； （3）当DOE α∠=，2AOC β∠=时（其中0βα︒<<，090αβ︒<+<︒），用α，β的代数式表示∠BOC的度数．（直接写出结果即可）解：EOD北京市西城区（北区）2012— 2013学年度第一学期期末试卷七年级数学参考答案及评分标准2013.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）阅卷说明：15～18题中，第一个空为1分，第二个空为2分；17题第（2）问其他正确答案相应给分.三、计算题（本题共12分，每小题4分）19．2742()(12)(4)32⨯-÷--÷-． 解：原式2242337=-⨯⨯- ………………………………………………………………2分83=-- ………………………………………………………………………3分11=-．…………………………………………………………………………4分20．3212(3)4()23-÷⨯-． 解：原式2227()99=-⨯⨯- ………………………………………………………………3分113=． …………………………………………………………………………4分 （阅卷说明：写成43不扣分） 21．211312()49(5)64828-⨯+-÷-． 解：原式1125(1212)(50)2564828=-⨯-⨯--÷11(2)(2)428=---- ……………………………………………………… 2分1122428=---+114()428=---3414=--3414=-． ………………………………………………………………………4分 四、先化简，再求值（本题5分） 22．解： 222225(3)(3)2a b ab ab a b ab --++ 22222(155)(3)2a b ab ab a b ab =--++2222215532a b ab ab a b ab =---+ ………………………………………………… 2分（阅卷说明：去掉每个括号各1分）22124a b ab =-． ……………………………………………………………………3分 当21=a ，3b =时， 原式221112()34322=⨯⨯-⨯⨯ …………………………………………………… 4分9189=-=-． …………………………………………………………………5分五、解下列方程（组）（本题共10分，每小题5分）23．321123x x x --+=-． 解：去分母，得3(3)2(21)6(1)x x x -+-=-． …………………………………… 2分 去括号，得394266x x x -+-=-．…………………………………………… 3分移项，得346926x x x +-=+-． …………………………………………… 4分 合并，得5x =． ………………………………………………………………… 5分24．231445 6.x y x y +=⎧⎨-=⎩， 解法一：由①得2143x y=-．③ ………………………………………①………… 1分把③代入②，得2(143)56y y --=． (2)分去括号，得 28656y y --=．移项，合并，得 1122y =．系数化为1，得2y =． …………………………………………………… 3分把2y =代入③，得 28x =．系数化为1，得4.x = ………………………………………………………4分所以，原方程组的解为42.x y =⎧⎨=⎩， (5)分 解法二：①×2得4628x y +=．③ ………………………………………………… 1分③－②得6(5)286y y --=-．………………………………………………2分合并，得 1122y =． 系数化为1，得2y =． …………………………………………………… 3分把2y =代入①，得 28x =．系数化为1，得4.x = ………………………………………………………4分所以，原方程组的解为42.x y =⎧⎨=⎩， (5)分六、解答题（本题4分）25．解：∵ D ，B ，E 三点依次在线段AC 上， ∴DE DB BE=+． ………………………………………………………… 1分 ∵ AD BE =， ∴DE DB AD AB=+=． …………………………………………………… 2分 ∵ 4DE =， ∴ 4AB =．∵点B为线段AC的中点，……………………………………………………3分∴==．…………………………………AC AB2 8…………………………4分七、列方程（或方程组）解应用题（本题共6分）26．解：设甲班原来有x 人．………………………………………………………………1分则乙班原来有(4)x-人．依题意得[]+=--+．……………………………………x x173(4)172………3分去括号，得17312512+=--+．x x移项，合并，得278x=．系数化为1，得x=．………………………………………………39……………4分x-=-=．………………………………………439435………………………5分答：甲班原来有39人，乙班原来有35人．……………………………………………6分 八、解答题（本题共13分，第27题6分， 第28题7分）27．解：∵ 当1x =-时，代数式3236mx nx -+的值为17，∴ 将1x =-代入，得 23617m n -++=．整理，得3211n m -=． ① ……………………………………………………1分（1）∵ 关于y 的方程24my n ny m +=--的解为2y =，∴ 把2y =代入以上方程，得 442m n n m+=--．整理，得534m n +=． ② ……………………………………………… 2分由①，②得 321153 4.n m m n -=⎧⎨+=⎩，②-①，得77m =-．系数化为1，得1m =-．把1m =-代入①，解得 3n =．∴ 原方程组的解为①13.m n =-⎧⎨=⎩， ………………………………………………4分此时3(1)1n m =-=-．…………………………………………………………5分（2）∵ 3211n m -=，[]a 表示不超过a 的最大整数，∴[]32311 5.56222n m n m -⎡⎤⎡⎤⎡⎤-==-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．…………………………6分阅卷说明：直接把第（1）问的1m =-，3n =代入得到第（2）问结果的不给第（2）问的分．28．解：（1）①当射线OA 在DOE ∠外部时，射线OA ，OB ，OC 的位置如图1所示．②当射线OA 在DOE ∠内部时，射线OA ，OB ，OC 的位置如图2所示．……………………………………………………………………… 2分 （阅卷说明：画图每种情况正确各1分，误差很大的不给分）（2）①当射线OA 在DOE ∠外部时，此时射线OC 在DOE ∠内部，射线OA ，OD ，OC ，OE ，OB 依次排列，如图1． ∵ OD 平分∠AOC ，60AOC ∠=︒，∴ 1302DOC AOC ∠=∠=︒．…………………………………………… 3分∵ 此时射线OA ，OD ，OC ，OE ，OB 依次排列，∴ DOE DOC COE ∠=∠+∠． ∵ 50DOE ∠=︒，∴ 503020COE DOE DOC ∠=∠-∠=︒-︒=︒． ∵ OE 平分∠BOC ， ∴222040BOC COE ∠=∠=⨯︒=︒．…………………………………… 4分②当射线OA 在DOE ∠内部时，此时射线OC 在DOE ∠外部，射线OC ，OD ，OA ，OE ，OB 依次排列，如图2． ∵ OD 平分∠AOC ，60AOC ∠=︒，∴ 1302COD AOC ∠=∠=︒． ∵ 此时射线OC ，OD ，OA ，OE ，OB 依次排列，50DOE ∠=︒，∴ 305080COE COD DOE ∠=∠+∠=︒+︒=︒． ∵ OE 平分∠BOC ， ∴2280160BOC COE ∠=∠=⨯︒=︒．…………………………………5分阅卷说明：无论学生先证明哪种情况，先证明的那种情况正确给2分，第二种情况正确给1分．（3）当射线OA 在DOE ∠外部时，22BOC αβ∠=-； 当射线OA 在DOE∠内部时，22BOC αβ∠=+．……………………………………………7分 阅卷说明：两种情况各1分;学生若直接回答22BOC αβ∠=-或22αβ+不扣分．。
北京市西城区北区七年级数学下学期期末考试试题
北京市西城区（北区）2011-2012学年度第二学期抽样测试七年级数学试卷一．选择题（本题共30分，每题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个符合题意1.计算23()a 的结果是（ ） 6.Aa 5.B a .5C a .D a2.已知a b <，下列不等式变形正确的是（ ）.22Aa b ->- .22a b B > .22C a b ->- .3131D a b +>+3.下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）.2,3,6A .4,4,8B .5,9,14C .6,12,13D4.已知一个多边形的内角和是它外角和的3倍，则这个多边形是（ ）A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形5.如果点(4,)P a a -在y 轴上，则点P 的坐标是（ ）(4,0)A .(0,4)B .(4,0)C - .(0,4)D -6.下列格式中，从左向右的变形是因式分解的是（ ）2.2(2)Aa ab a a a b ++=+ 2.1025(10)25B a a a a ++=++222.()C ax ay a x y +=+ 22.4(2)(2)D a b a b a b -=+-7.下列命题中，是真命题的是（ ）①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行③三角形的三条高中，必有一条在三角形的内部④三角形的三个外角一定都是锐角A.①②B.①③C.②③D.③④8.如图，在△ABC 中，将△ABC 沿射线BC 方向移动，使点B 移动到点C ，得到△DCF ，连接AF,若△ABC 的面积为4，则△ACF 的面积为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 169.在平面直角坐标系中，定义两种新的变换：对于平面内任一点(,)P m n ，规定： ①(,)(,)f m n m n =-，例如：(2,1)(2,1);f =-②(,)(,)g m n m n =-，例如：(2,1)(2,1)g =-.按照以上变换有：[](3,4)(3,4)(3,4),g f g -=--=-那么[](5,2)f g 等于（ ）.(5,2)A -- .(5,2)B - .(5,2)C - .(5,2)D10.已知,a b 为非零有理数，下面四个不等式组中，解集有可能为22x -<<的不等式组是（ ）1.1ax A bx >⎧⎨>⎩ 1.1ax B bx >⎧⎨<⎩ 1.1ax C bx <⎧⎨>⎩ 1.1ax D bx <⎧⎨<⎩二．细心填一填（本题共20分，第1114题，每小题3分，第1518题，每小题2分）11.分解因式：2242ax ax a -+= .12.关于x 的方程5336x x m =+-的解是负数，则m 的取值范围是 .13.将一副直角三角尺如图放置，已知AB ∥DE ，则∠AFC= 度．14.抽取某校学生的一个容量为150的样本，测得学生身高后，得到身高频数分布直方图如图所示，已知该校有学生1500名，则可以估计出该校身高位于160 cm 至165cm 之间大约有 人．15.若3,1,a b ab +==则22a b += .16.在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称该点是格点.若格点(2,1)P m m -+在第二象限，则m 的值为 .17.点O 在直线AB 上，35AOC ∠=︒，射线,OD OC BOD ⊥∠的度数是 度.18.如图，一张长为20cm，宽为5cm的长方形纸片ABCD，分别在边AB、CD上取点M、N，沿MN折叠纸片，BM与DN交于点K，得到△MNK.则△MNK的面积的最小值是 cm2.三．解答题（本题共25分，第1921题，每小题6分，第22小题7分）19.解不等式组20.先化简，再求值：231(1)(2)(2)63,.2x x x x x x+++--÷=其中21.已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC为对角线，点E在BC边上，点F在AB边上，且∠1=∠2.（1）求证：EF∥AC（2）若CA平分∠BCD，∠B=50︒，∠D=120︒，求∠BFE的度数.22.在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为（-6,7）、（-3,0）、（0,3）523(2)12123x xx x+<+⎧⎪--⎨≤⎪⎩AFEDCB(1)画出△ABC ，并求出它的面积；(2)在△ABC 中，点C 经过平移后的对应点(5,4)C '，将△ABC 作同样的平移得到A B C '''∆，画出平移后的A B C '''∆，并写出A B ''、的坐标；(3)点-3P（，m)为△ABC 内一点，将点P 向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点(,3)Q n -，则m= ,n= .四．解答题（本题共13分，第23题7分，第24题6分）23.列方程组或不等式组解应用题：某小区准备新建50个停车位，用以解决小区停车难的问题.已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需万元.（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？（2）该小区的物业部门预计投资金额超过12万元而不超过13万元，那么共有几种建造停车位的方案？24.图①、图②反映是杭州银泰商场今年1-5月份的商品销售额统计情况．观察图①和图②，解答下面问题：（1）来自商场财务部的报告表明，商场1-5月份的销售总额一共是370万元，请你根据这一信息补全图①，并写出两条由上两图获得的信息；（2）商场服装部5月份的销售额是多少万元？（3）李强观察图②后认为，5月份服装部的销售额比4月份减少了．你同意他的看法吗？为什么？五．解答题（本题共12分，每小题6分）25.阅读下列材料：小明同学遇到如下问题：解方程 他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错.如果把方程组中的23x y +看作一个数，把23x y -看作一个数，通过换元，可以解决问题.以下是他的解题过程：令23,23.m x y n x y =+=-这时方程组化为把60,23,23.24.m m x y n x y n =⎧=+=-⎨=-⎩代入得2360,9,2324.14.x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩解得请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：（1）解方程组（2）若方程组23237,4323238.32x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩7,60,4324.8.32m n m m n n ⎧+=⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪+=⎪⎩解得3,610 1.610x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩11111122222251,,3,63.. 2.51.63a x b y c a x b y c x a x b y c y a x b y c ⎧+=⎪+==⎧⎧⎪⎨⎨⎨+==⎩⎩⎪+=⎪⎩解得求方程组的解26.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，点E在线段BC上，射线ED⊥AB于点D. （1）如图，点F在线段DEA上，过点F作MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N，点G在线段AF上，且∠GFN=∠GNF,∠GDF=∠GFD.①试判断线段DG与NG有怎样的位置关系，直接写出你的结论；②求证：∠1=∠2；（2）如图2，点F在线段ED的延长线上，过F作FN∥BC,分别交AB、AC于点M、N，点G 在线段AF上，且∠GFN=∠GNF,∠GDF=∠GFD.探究线段DG与NG的位置关系，并说明理由.。
2011-2012学年北京市西城区(北区)七年级(上)期末数学试卷(a卷)
【解答】解：149600000＝1.496×108．
故选：C． 【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数：用 a×10n 形式表示数的方法叫科学记
数法．也考查了乘方的意义．
3．（3 分）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直
的参照线，这种做法用几何知识解释应是（ ）
2011-2012 学年北京市西城区（北区）七年级（上）期末数学试 卷（A 卷）
一．选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题 意的． 1．（3 分） 的相反数是（ ）
A．﹣3
B．3
C．
D．
2．（3 分）地球与太阳之间的距离约为 149600000 千米，将 149600000 用科学记数法表示应
方式一
方式二
月租费
30 元/月
0
本地通话费
0.30 元/分
0.40 元/分
在一个月内，本地累计通话时间为多少分钟时，两种计费方式的收费一样？
29．（5 分）甲、乙两地相距 1120 千米，一列快车从甲城出发 120 千米后，另一列动车从乙 城出发开往甲城，2 个小时后两车相遇．若快车平均每小时行驶的路程比动车平均每小时 行驶的路程的一半多 5 千米，动车平均每小时行驶多少千米？
为（ ）
A．1496×103
B．14.96×102
C．1.496×108
D．0.1496×109
3．（3 分）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直
的参照线，这种做法用几何知识解释应是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点之间，直线最短 C．两点确定一条直线 D．三个点不能在同一直线上 4．（3 分） 如图，点 O 在直线 AB 上，OD 平分∠BOC，若∠BOD＝55°，则∠AOC 的度 数是（ ）
2011-2012学年北京市西城区初二下学期期末数学试卷(含答案)
北京市西城区（北区）2011–2012学年度第二学期抽样测试八年级数学试卷 2012．7（时间100分钟，满分100分）一、精心选一选（本题共30分，每小题3分） 1．函数y 中，自变量x 的取值范围是（ C ）．A ． 3<xB ． 3≠xC ． x ≥3D ．3>x2．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（D ）．A ．2，4，5B ．6，8，11C ．5，12，12D ． 1，13．若反比例函数ky x=的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围是（ A ）． A ． 0k < B ． 0k > C ． k ≤0 D ．k ≥04．如图，在□ABCD 中，AE ⊥CD 于点E ，∠B ＝65°， 则∠DAE 等于（B ）．A ．15°B ．25°C ．35°D ．65°5．用配方法解方程2220x x --=，下列变形正确的是（C ）．A ．2(1)2x -=B ．2(2)2x -=C ．2(1)3x -= D ．2(2)3x -=6．在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是菱形，则这个条件可以是（ B ）．A ．∠ABC ＝90°B ．AC ⊥BD C ．AB =CD D ．AB ∥CD7．某施工队挖一条240米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前2天完成任务．若设原计划每天挖x 米，则所列方程正确的是（ A ）．A ．240240220x x -=+ B ．240240202x x -=+ C ．240240220x x -=- D ．240240202x x-=- 8．如图，在△ABC 中，AB =6，AC =10，点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则四边形ADEF 的EABCDAB CDF周长为（D ）．A．8 B．10 C．12 D．169．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝2，BC＝6，∠B＝60°，则AB的长为（ B ）．A．3 B．4 C．5 D．610．如图，矩形ABCD的边分别与两坐标轴平行，对角线AC经过坐标原点，点D在反比例函数2510k kyx-+=（0x>）的图象上．则k的值为（）．A．2B．6C．2或3D．1-或6二、细心填一填（本题共18分，每小题3分）112(5)0y-=，则2012)(yx+的值为12．某户家庭用购电卡购买了2000度电，若此户家庭平均每天的用电量为x（单位：度），这2000度电能够使用的天数为y（单位：天），则y与x的函数关系式为____________________．（不要求写出自变量x的取值范围）13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=6，点D是AB的中点，则∠ACD=_________°．14．如图，以菱形AOBC的顶点O为原点，对角线OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若OB=5，点C的坐标为(4，0)，则点A的坐标为___________．15．已知1x=是关于x的方程02=++nmxx的一个根，则222m mn n++的值为___________．16．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC，BD交于点O，且∠BOC=90°．若AD+BC=12，则AC的长为___________．AB CDOAB CD第16题图三、认真算一算（本题共16分，第17题8分，第18题8分） 17．计算：（1； （2． 解： 解：18．解方程：（1）2310x x -+=； （2）(3)(26)0x x x +-+=． 解： 解：四、解答题（本题共18分，每小题6分）19．某中学开展“头脑风暴”知识竞赛活动，八年级1班和2班各选出5名选手参加初赛，两个班的选手的初赛成绩（单位：分）分别是： 1班 85 80 75 85 100 2班 80 100 85 80 80 （1）根据所给信息将下面的表格补充完整；（2）根据问题（1）中的数据，判断哪个班的初赛成绩较为稳定，并说明理由． 答：第13题图20．已知：如图，在□ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AF=AD，求证：四边形ABFC是矩形．证明：（1）（2）FAB CDE21．已知：关于x 的一元二次方程2(21)20x m x m +++=． （1）求证：无论m 为何值，此方程总有两个实数根；（2）若x 为此方程的一个根，且满足06x <<，求整数m 的值． （1）证明：（2）解：五、解答题（本题共18分，每小题6分）22．已知：△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠B =90°，AB =BC =1． （1）要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个顶点都在△ABC 的边上．小林设计出了一种剪法，如图1所示．请你再设计出一种不同于图1的剪法，并在图2中画出来． （2）若按照小林设计的图1所示的剪法来进行裁剪，记图1为第一次裁剪，得到1个正方形，将它的面积记为1S1S =___________；在余下的2的剪法进行第二次裁剪（如图3），得到2个新的正方形，次所得2个正方形的面积的和．记为2S ，则2S =___________；在余下的4个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪（如图4），得到4个新的正方此次所得4个正方形的面积的和．记为3S ；按照同样的方法继续操作下去……，第n 次裁剪得到_________个新的正方形，它们的面积的和．n S =______________．EA B CDCC图423．已知：如图，直线b kx y +=与x 轴交于点A ，且与双曲线my x=交于点B (4,2)和点C (,4n -)．（1）求直线b kx y +=和双曲线my x=的解析式； （2）根据图象写出关于x 的不等式mkx b x+<的解集；（3）点D 在直线b kx y +=上，设点D 的纵坐标为t （0t >）．过点D 作平行于x 轴的直线交双曲线m y x=于点E ．若△ADE 的面积为27，请直接写出．．．．所有满足条件的t 的值． 解：（1）（2）（3）24．已知：如图，平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为4，它的顶点A 在x轴的正半轴上运动，顶点D在y轴的正半轴上运动（点A，D都不与原点重合），顶点B，C都在第一象限，且对角线AC，BD相交于点P，连接OP．（1）当OA=OD时，点D的坐标为______________，∠POA=__________°；（2）当OA<OD时，求证：OP平分∠DOA；（3）设点P到y轴的距离为d，则在点A，D运动的过程中，d的取值范围是________________．（2）证明：（3）答：在点A，D运动的过程中，d的取值范围是__________________________．北京市西城区（北区）2011 — 2012学年度第二学期抽样测试八年级数学参考答案及评分标准2012.7二、细心填一填（本题共18分，每小题3分） 11．1； 12．2000y x=； 13．60；14．(2，1)； 15．1； 16．． 三、认真算一算（本题共16分，第17题8分，第18题8分）17．（1= ----2分= -----------3分-----------------------4分（2=3+ ------5分=32+ --------------7分=5． -------------------8分18．（1）解：1a =，3b =-，1c =．224(3)4115b ac ∆=-=--⨯⨯=． ----1分2b x a-±=----------2分==．即132x +=，232x -=． ------------4分 （2）解：因式分解，得 (3)(2)0x x +-=． -------6分于是得 30x +=或20x -=． 解得 13x =-，22x =． -----------------8分四、解答题（本题共18分，每小题6分） 19．解：（1）---4分阅卷说明：每空1分．（2）答：2班的初赛成绩较为稳定．因为1班与2班初赛的平均成绩相同，而2班初赛成绩的方差较小，所以2班的初赛成绩较为稳定． -------6分20．证明：（1）如图1． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC 即 AB ∥DF ． -----1分 ∴∠1=∠2．∵点E 是BC 的中点，∴BE =CE ．在△ABE 和△FCE 中，∠1=∠2， ∠3=∠4， BE =CE ，∴△ABE ≌△FCE ． ----------------3分 （2）∵△ABE ≌△FCE ，∴AB =FC ． ∵AB ∥FC ，∴四边形ABFC 是平行四边形． -------------4分图14321E D CBAF∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD =BC ． ∵AF =AD ， ∴AF =BC ．∴四边形ABFC 是矩形． -----------------6分阅卷说明：其他正确解法相应给分． 21．证明：（1）2(21)412m m ∆=+-⨯⨯ 2441m m =-+2(21)m =-． ---------1分∵2(21)m -≥0，即∆≥0，∴无论m 为何值，此方程总有两个实数根． ---2分解：（2）因式分解，得 (2)(1)0x m x ++=．于是得 20x m +=或10x +=．解得 12x m =-，21x =-． ----------------4分∵10-<，而06x <<，∴2x m =-，即 026m <-<． ∴30m -<<． -----------------5分 ∵m 为整数，∴1m =-或2-． ---------------6分五、解答题（本题共18分，每小题6分） 22．解：（1）如图2； -------------1分（2）14，18，12n -，112n +． ----------6分 阅卷说明：前三个空每空1分，第四个空2分．23．解：（1）∵双曲线my x=经过点B (4,2)， ∴24m=， 8m =． 图2CBA∴双曲线的解析式为8y x =． -----------1分 ∵点C (,4n -)在双曲线8y x=上，∴84n-=， 2n =-．∵直线b kx y +=经过点B (4,2)，C (2,4--)，则2442.k b k b =+⎧⎨-=-+⎩， 解得12.k b =⎧⎨=-⎩，∴直线的解析式为2y x =-． ----------2分（2）2x <-或04x <<； ----------------4分阅卷说明：两个答案各1分．（3）3t =1． --------------------6分 阅卷说明：两个答案各1分．．24．解：（1）(0,，45； ------------------------2分阅卷说明：每空1分．证明：（2）过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y（如图3）∵四边形ABCD 是正方形， ∴PD =P A ，∠DP A =90°．∵PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点∴∠PMO =∠PNO =∠PND =90°． ∵∠NOM =90°，∴四边形NOMP 中，∠NPM =90°． ∴∠DP A =∠NPM ．∵∠1=∠DP A －∠NP A ，∠2=∠NPM －∠NP A ， ∴∠1=∠2． ----------3分 在△DPN 和△APM 中，∠PND =∠PMA ， ∠1=∠2， PD =P A ，∴△DPN ≌△APM ．∴PN =PM ． -----4分∴OP 平分∠DOA ． ---------5分（3）2d <≤． -----------6分北京市西城区（北区）2011–2012学年度第二学期抽样测试八年级数学附加题试卷 2012．7一、填空题（本题6分）25．已知a 是方程2520x x +-=的一个根，则代数式22107a a +-的值为___________；代数式32634a a a +++的值为___________．二、解答题（本题共14分，每小题7分）26．已知：如图，平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（4,0），（0,3）．将△OCA 沿直线CA 翻折，得到△DCA ，且DA 交CB 于点E ． （1）求证：EC =EA ；（2）求点E 的坐标；（3）连接DB ，请直接写出．．．．四边形DCAB 的周长和面积． （1）证明：（2）解：（3）答：四边形DCAB 的周长为_____________，面积为_____________．27．已知：△ABC 的两条高BD ，CE 交于点F ，点M ，N 分别是AF ，BC 的中点，连接ED ，MN ．（1）在图1中证明MN 垂直平分ED ； （2）若∠EBD =∠DCE =45°（如图2），判断以M ，E ，N ，D 为顶点的四边形的形状，并证明你的结论． （1）证明：（2）判断：___________________________________________． 证明：MA BC DEFNM FE DC B A图1 图2北京市西城区（北区）2011 - 2012学年度第二学期抽样测试八年级数学附加题参考答案及评分标准2012.7一、填空题（本题6分）1．3-，6． 阅卷说明：每空3分．二、解答题（本题共14分，每小题7分）2．证明：（1）如图1．∵△OCA 沿直线CA 翻折得到△∴△OCA ≌△DCA ． ∴∠1=∠2．∵四边形OABC 是矩形， ∴OA ∥CB ． ∴∠1=∠3． ∴∠2=∠3．∴EC =EA ． -------------------------------------------2分解：（2）设CE = AE =x ．∵点A ，C 的坐标分别为（4,0），（0,3）， ∴OA =4，OC =3．∵四边形OABC 是矩形，∴CB =OA =4，AB =OC =3，∠B =90°．在Rt △EBA 中，222EA EB BA =+， ∴222(4)3x x =-+．解得 258x =． -------------------------4分 ∴点E 的坐标为(25,38)． ------------------------5分 阅卷说明：其他正确解法相应给分．（3）625，19225．--------------------------------7分阅卷说明：每空1分．3．（1）证明：连接EM，EN，DM，DN．（如图2）∵BD，CE是△ABC的高，∴BD⊥AC，CE⊥AB．∴∠BDA=∠BDC=∠CEB=∠CEA=90°．∵在Rt△AEF中，M是AF的中点，∴EM=12 AF．同理，DM=12AF，EN=12BC，DN=12BC．∴EM=DM，------------------1分EN=DN．---------------------2分∴点M，N在ED的垂直平分线上．∴MN垂直平分ED．------------------3分（2）判断：四边形MEND是正方形．--------------------------4分证明：连接EM，EN，DM，DN．（如图3）∵∠EBD=∠DCE=45°，而∠BDA=∠CDF=90°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∠DFC=∠DCF=45°．∴AD=BD，DF=DC．在△ADF和△BDC中，AD=BD，∠ADF=∠BDC，DF=DC，∴△ADF≌△BDC．-----------------5分∴AF=BC，∠1=∠2．∵由（1）知DM=12AF=AM，DN=12BC=BN，∴DM=DN，∠1=∠3，∠2=∠4．∴∠3=∠4．∵由（1）知EM=DM，EN=DN，∴DM=DN=EM=EN．∴四边形MEND是菱形．--------------6分∵∠3+∠MDF=∠ADF=90°，∴∠4+∠MDF=∠NDM=90°．4312AB CDEFM图3AEB CDMF图2∴四边形MEND是正方形．--------------------7分阅卷说明：其他正确解法相应给分．。
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北京市西城区（北区）2011-2012学年度第二学期抽样测试
七年级数学试卷 2012.7
一．选择题（本题共30分，每题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个符合题意
1.计算
23()a 的结果是（ ） 6.A a 5.B a .5C a .D a
2.已知a b <，下列不等式变形正确的是（ ）
.22Aa b ->-
.
22a b
B >
.22C a b ->- .3131D a b +>+
3.下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
.2,3,6A .4,4,8B .5,9,14C .6,12,13D
4.已知一个多边形的内角和是它外角和的3倍，则这个多边形是（ ） A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形
5.如果点(4,)P a a -在y 轴上，则点P 的坐标是（ ）
(4,0)A .(0,4)B .(4,0)C - .(0,4)
D - 6.下列格式中，从左向右的变形是因式分解的是（ ）
2.2(2)Aa ab a a a b ++=+ 2.1025(10)25B a a a a ++=++ 222.()C ax ay a x y +=+ 22.4(2)(2)D a b a b a b -=+-
7.下列命题中，是真命题的是（ ）
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行 ③三角形的三条高中，必有一条在三角形的内部 ④三角形的三个外角一定都是锐角
A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
8.如图，在△ABC 中，将△ABC 沿射线BC 方向移动，使点B 移动到点C ，得到△DCF ，连接AF,若△ABC 的面积为4，则△ACF 的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
F D C
B A
9.在平面直角坐标系中，定义两种新的变换：对于平面内任一点(,)P m n ，规定： ①(,)(,)f m n m n =-，例如：(2,1)(2,1);f =- ②(,)(,)g m n m n =-，例如：(2,1)(2,1)g =-. 按照以上变换有：
[](3,4)(3,4)(3,4),
g f g -=--=-那么
[]
(5,2)f g 等于（ ）
.(5,2)A -- .(5,2)B - .(5,2)C - .(5,2)D
10.已知,a b 为非零有理数，下面四个不等式组中，解集有可能为22x -<<的不等式组是（ ）
1.1ax A bx >⎧⎨>⎩ 1.1ax B bx >⎧⎨<⎩ 1.1ax C bx <⎧⎨>⎩
1.1ax D bx <⎧⎨<⎩ 二．细心填一填（本题共20分，第11 14题，每小题3分，第15 18题，每小题2分） 11.分解因式：2
242ax ax a -+= .
12.关于x 的方程5336x x m =+-的解是负数，则m 的取值范围是 . 13.将一副直角三角尺如图放置，已知AB ∥DE ，则∠AFC= 度．
14.抽取某校学生的一个容量为150的样本，测得学生身高后，得到身高频数分布直方图如图所示，已知该校有学生1500名，则可以估计出该校身高位于160 cm 至165cm 之间大约有 人．
15.若3,1,a b ab +==则2
2
a b += .
16.在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称该点是格点.若格点(2,1)P m m -+在第二象限，则m 的值为 .
17.点O 在直线AB 上，35AOC ∠=︒，射线,OD OC BOD ⊥∠的度数是 度
.
18.如图，一张长为20cm ，宽为5cm 的长方形纸片ABCD ，分别在边AB 、CD 上取点M 、N ，沿MN 折叠纸片，BM 与DN 交于点K ，得到△MNK.则△MNK 的面积的最小值是 cm
2.
三．解答题（本题共25分，第19 21题，每小题6分，第22小题7分）
19.解不等式组
20.先化简，再求值：
231
(1)(2)(2)63,.
2x x x x x x +++--÷=其中
21.已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 为对角线，点E 在BC 边上，点F 在AB 边上，且∠1=∠2. （1）求证：EF ∥AC
（2）若CA 平分∠BCD ，∠B=50︒，∠D=120︒，求∠BFE 的度数.
523(2)
121
2
3x x x x +<+⎧⎪
--⎨≤⎪⎩ A F
E
D
C
B
22.在平面直角坐标系中，A 、B 、C 三点的坐标分别为（-6,7）、（-3,0）、（0,3） (1)画出△ABC ，并求出它的面积；
(2)在△ABC 中，点C 经过平移后的对应点(5,4)C '
，将△ABC 作同样的平移得到A B C '''∆，画出平移后的A B C '''∆，并写出A B ''、的坐标；
(3)点-3P
（，m)为△ABC 内一点，将点P 向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点(,3)Q n -，则m= ,n= .
四．解答题（本题共13分，第23题7分，第24题6分） 23.列方程组或不等式组解应用题： 某小区准备新建50个停车位，用以解决小区停车难的问题.已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元. （1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？
（2）该小区的物业部门预计投资金额超过12万元而不超过13万元，那么共有几种建造停车位的方案？
24.图①、图②反映是杭州银泰商场今年1-5月份的商品销售额统计情况．观察图①和图②，
解答下面问题：
（1）来自商场财务部的报告表明，商场1-5月份的销售总额一共是370万元，请你根据这一信息补全图①，并写出两条由上两图获得的信息；
（2）商场服装部5月份的销售额是多少万元？
（3）李强观察图②后认为，5月份服装部的销售额比4月份减少了．你同意他的看法吗？为什么？
五．解答题（本题共12分，每小题6分） 25.阅读下列材料：
小明同学遇到如下问题： 解方程
他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错.如果把方程组中的23x y +看作一个数，把23x y -看作一个数，通过换元，可以解决问题.以下是他的解题过程：
令23,23.m x y n x y =+=- 这时方程组化为
把60,
23,23.24.m m x y n x y n =⎧=+=-⎨
=-⎩代入 得2360,9,
2324.14.x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨
-=-=⎩
⎩解得
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
（1）解方程组
（2）若方程组
23237,43
23238.
32x y x y
x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩7,60,43
24.8.32
m n
m m n n ⎧+=⎪=⎧⎪⎨
⎨=-⎩⎪+=⎪⎩解得3,610
1.
610x y x y
x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩1111112222225
1,,3,63
.. 2.51.
6
3a x b y c a x b y c x a x b y c y a x b y c ⎧+=⎪+==⎧⎧⎪⎨⎨⎨+==⎩⎩⎪+=⎪⎩解得求方程组的解
26.在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，点E 在线段BC 上，射线ED ⊥AB 于点D.
（1）如图，点F 在线段DEA 上，过点F 作MN ∥BC ，分别交AB 、AC 于点M 、N ，点G 在线段AF 上，且∠GFN=∠GNF,∠GDF=∠GFD.
①试判断线段DG 与NG 有怎样的位置关系，直接写出你的结论； ②求证：∠1=∠2；
（2）如图2，点F 在线段ED 的延长线上，过F 作FN ∥BC,分别交AB 、AC 于点M 、N ，点G 在线段AF 上，且∠GFN=∠GNF,∠GDF=∠GFD.探究线段DG 与NG 的位置关系，并说明理由.
图1
2
1 E
G
F
N
M
D C
B
A
B
图2
D
G
F
M
N
E
C
A。