2012年中考数学培尖训练题(三)

图13
2012年中考数学培尖训练题(三)
24.(2011.乐山)如图13，D 为 O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA=∠CBD.
(1)求证:CD 是 O 的切线;
(2)过点B 作 O 的切线交CD 的延长线于点E,若BC=6,tan ∠CDA=
23,求BE 的长
23．（本小题满分10分）(2011.宜宾)已知：在△ABC 中，以AC 边为直径的⊙O 交BC 于点D ，在劣弧AD ⌒上取一点E 使∠EBC = ∠DEC ，延长BE 依次交AC 于G ，交⊙O 于H .
(1)求证：AC ⊥BH
(2)若∠ABC = 45°，⊙O 的直径等于10，
BD =8，求CE 的长.
22．(2011.黄冈)（8分）在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．
⑴求证△ABD为等腰三角形．
⑵求证AC•AF=DF•FE
第22题图
26、（2011•襄阳）如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的⊙O'与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是⊙O'的切线，AD丄CD于点D，tan∠CAD=，抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．
（1）求证：∠CAD=∠CAB；
（2）①求抛物线的解析式；
②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．
若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；
若不存在，请说明理由．
2012年中考数学培尖题(三)答案
24. （1）证明：连OD，OE，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，
又∵∠CDA=∠CBD，
而∠CBD=∠1，
∴∠1=∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵EB为⊙O的切线，
∴ED=EB，OD⊥BD，
∴∠ABD=∠OEB ，
∴∠CDA=∠OEB ．
而tan ∠CDA=
23
， ∴tan ∠OEB=23OB BE =， ∵Rt △CDO ∽Rt △CBE ， ∴
23
CD OD OB CB BE BE ===， ∴CD=2643⨯=， 在Rt △CBE 中，设BE=x ，
∴222(4)6x x +=+， 解得52
x =
． 即BE 的长为52．
23．证明：（1）连结AD (1分)
∵∠DAC = ∠DEC ∠EBC = ∠DEC
∴∠DAC = ∠EBC (2分)
又∵AC 是⊙O 的直径 ∴∠ADC =90° (3分)
∴∠DCA +∠DAC =90° ∴∠EBC +∠DCA = 90°
∴∠BGC =180°–（∠EBC +∠DCA ) = 180°–90°=90°
∴AC ⊥BH （5分）
（2）∵∠BDA =180°–∠ADC = 90° ∠ABC = 45° ∴∠BAD = 45°
∴BD = AD
∵BD = 8 ∴AD =8 （6分）
又∵∠ADC = 90° AC =10
∴由勾股定理 DC =AC 2–AD 2= 102–82 = 6
∴BC =BD +DC =8+6=14 (7分)
又∵∠BGC = ∠ADC = 90° ∠BCG =∠ACD
∴△BCG ∽△ACD
∴ CG DC = BC AC
∴CG 6 = 1410 ∴CG = 425
(8分) 连结AE ∵AC 是直径 ∴∠AEC =90° 又因 EG ⊥AC
∴△CEG∽△CAE∴CE
AC=
CG
CE
∴CE2=AC ·CG = 42
5 10 = 84
∴CE = 84= 2 21 （10分）
22．⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，而∠MCD=∠DCA，所以∠DBA=∠DAB，故△ABD为等腰三角形．
⑵∵∠DBA=∠DAB
∴弧AD=弧BD
又∵BC=AF
∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA
∴弧CD=弧DF
∴CD=DF
再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知
∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠F AE=∠BDE
∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠F AE②由①②得△DCA∽△F AE
∴AC：FE=CD：AF
∴AC•AF= CD•FE
而CD=DF，
∴AC•AF=DF•FE
26.考点：二次函数综合题。

分析：（1）连接O′C，由CD是⊙O的切线，可得O′C⊥CD，则可证得O′C∥AD，又由O′A=O′C，则可证得∠CAD=∠CAB；（2）①首先证得△CAO∽△BCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC2=OA•OB，又由tan∠CAO=tan∠CAD=，则可求得CO，AO，BO的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
②首先证得△FO′C∽△FAD，由相似三角形的对应边成比例，即可得到F的坐标，求得直线DC的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案；
（3）根据题意分别从PA∥BC与PB∥AC去分析求解即可求得答案，小心不要漏解．
解答：（1）证明：连接O′C，
∵CD是⊙O的切线，
∴O′C⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴O′C∥AD，
∴∠O′CA=∠CAD，
∵O′A=O′C，
∴∠CAB=∠O′CA，
∴∠CAD=∠CAB；
（2）①∵AB是⊙O′的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠CAB=∠OCB，
∴△CAO∽△BCO，
∴，
即OC2=OA•OB，
∵tan∠CAO=tan∠CAD=，
∴AO=2CO，
又∵AB=10，
∴OC2=2CO（10﹣2CO），
∵CO＞0，
∴CO=4，AO=8，BO=2，
∴A（﹣8，0），B（2，0），C（0，4），
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，C三点，
∴c=4，
由题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+4；
②设直线DC交x轴于点F，
∴△AOC≌△ADC，
∴AD=AO=8，
∵O′C∥AD，
∴△FO′C∽△FAD，
∴，
∴8（BF+5）=5（BF+10），
∴BF=，F（，0）；
设直线DC的解析式为y=kx+m，
则，
解得：，
∴直线DC的解析式为y=﹣x+4，
由y=﹣x2﹣x+4=﹣（x+3）2+得顶点E的坐标为（﹣3，），将E（﹣3，）代入直线DC的解析式y=﹣x+4中，
右边=﹣×（﹣3）+4==左边，
∴抛物线顶点E在直线CD上；
（3）存在，P1（﹣10，﹣6），P2（10，﹣36）．。