9.5重积分应用
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9.4 重积分的应用
(0, 7 ) 3
形心： 例 2．求空间立体 Ω 的 形心： ．
Ω = {( x , y , z ) x 2 + y 2 + z 2 ≤ 3, x 2 + y 2 ≤ 2 z } 。
5(6 3 + 5) （0，0， ， ， ） 83
15
9.4
重积分的应用
例 1．求位于两圆 ρ = 2 sinϕ 和 ρ = 4 sinϕ 之间的均匀 ．
x= M yz M =
∑m x
i =1 n i
n
i
∑m
i =1
Mzx = ，y= M
∑m y
i =1 n i
n
i
i
∑m
i =1
，z =
M xy M
=
∑m z
i =1 n
n
i i
。
i
i
∑m
i =1
10
9.4
重积分的应用
设质量连续分布的物体， 密度函数 设质量连续分布的物体，占有空间闭 区域 Ω ，密度函数 求该物体的质心。 为连续函数 f ( x , y , z ) ，求该物体的质心。
i =1 n
它们的坐标分别为 ( x1 , y1 , z1 ) ， ( x2 , y2 , z 2 ) ， L ， M xy 分别称为该质点组对 yz 平面 ， zx 平面 和 xy 平面 ( x n , yn , z n ) ，由力学可知，这个质点组的质心是 n 由力学可知， n n 的静力距。 M yz = ∑ mi xi ， Mzx = ∑ mi yi ， M xy = ∑ mi zi 。 的静力距。 ( x , y, z ) ， i =1 i =1 i =1
ห้องสมุดไป่ตู้
形心： 例 2．求空间立体 Ω 的 形心： ．
Ω = {( x , y , z ) x 2 + y 2 + z 2 ≤ 3, x 2 + y 2 ≤ 2 z } 。
5(6 3 + 5) （0，0， ， ， ） 83
15
9.4
重积分的应用
例 1．求位于两圆 ρ = 2 sinϕ 和 ρ = 4 sinϕ 之间的均匀 ．
x= M yz M =
∑m x
i =1 n i
n
i
∑m
i =1
Mzx = ，y= M
∑m y
i =1 n i
n
i
i
∑m
i =1
，z =
M xy M
=
∑m z
i =1 n
n
i i
。
i
i
∑m
i =1
10
9.4
重积分的应用
设质量连续分布的物体， 密度函数 设质量连续分布的物体，占有空间闭 区域 Ω ，密度函数 求该物体的质心。 为连续函数 f ( x , y , z ) ，求该物体的质心。
i =1 n
它们的坐标分别为 ( x1 , y1 , z1 ) ， ( x2 , y2 , z 2 ) ， L ， M xy 分别称为该质点组对 yz 平面 ， zx 平面 和 xy 平面 ( x n , yn , z n ) ，由力学可知，这个质点组的质心是 n 由力学可知， n n 的静力距。 M yz = ∑ mi xi ， Mzx = ∑ mi yi ， M xy = ∑ mi zi 。 的静力距。 ( x , y, z ) ， i =1 i =1 i =1
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极坐标与球面坐标计算三重积分
方向转到有向线段
的角．
OP
这样的三个数r、围为
x
0 r<，0 j <，0q 2．
r j
O
q x
M(x, y, z)
y
y
P
坐标面rr0，jj 0，q q 0的意义： z
j O
q
x
ry
点的直角坐标与球面坐标的关系：
x r sin j cosq ,
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应， 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标．
三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标．
这里规定r、q 、z的变化范围为： 0 r<， 0 q 2 ， < z<．
z z
M(x, y, z)
O
2
dq
a
dj
2a cosj r 2 sin jdr
0
0
0
jr
2
a
s in jdj
2a cosj r 2 dr
0
0
a
16a3 a cos3 j sinjdj 30
O
y
4a3 (1 cos4 a) ．
x
3
例3 求均匀半球体的重心．
z
解 取半球体的对称轴为 z 轴， 原点取在球心上，又设球半径为a．
坐标面rr0，q q 0，zz0的意义：
x
z
z0
rr0 O
r0 q0
zz0
q q 0 y
直角坐标与柱面坐标的关系：
z
x r cosq ,
y
r
sin
q
,
z z.
利用柱面坐标计算三重积分
`z
z
j r
zdv
dvΒιβλιοθήκη zdvO
dv
a 2 0 2
．
q
x
a y
dv 2 dj dq
2
0
0
2a 3 , r sin jdr 3
a
1 a4 , zdv 2 dj dq r cos j r 2 sin jdr 2 0 0 0 2 4 3a 3a 因此`z ．重心为(0，0， )． 8 8
§9．5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分
柱面坐标、 柱面坐标系的坐标面 直角坐标与柱面坐标的关系、柱面坐标系中的体积元素
柱面坐标系中的三重积分
二、利用球面坐标计算三重积分
球面坐标、球面坐标系的坐标面 直角坐标与球面坐标的关系、球面坐标系中的体积元素 球面坐标系中的三重积分
，r sin q ，z) rdrdqdz．
例1 例1 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdydz，其中是由曲
面 zx2y2 与平面 z4 所围成的闭区域．
z 4 zx2y2 或 zr2
解 闭区域可表示为：
r 2z4，0r2，0q2． 于是
zdxdydz zrdrdqdz
2 r sin jdrdjdq dq sin j dj r 4 dr a 2 M , 0 0 0 5
4 3
2
3
a
4 3 其中 M a 为球体的质量． 3
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应， 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标． 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标． z 这里规定r、q 、z的变化范围为： 0 r<， 0 q 2 ， < z<． O x r y P(r, q ) y z
z
j r
zdv
dvΒιβλιοθήκη zdvO
dv
a 2 0 2
．
q
x
a y
dv 2 dj dq
2
0
0
2a 3 , r sin jdr 3
a
1 a4 , zdv 2 dj dq r cos j r 2 sin jdr 2 0 0 0 2 4 3a 3a 因此`z ．重心为(0，0， )． 8 8
§9．5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分
柱面坐标、 柱面坐标系的坐标面 直角坐标与柱面坐标的关系、柱面坐标系中的体积元素
柱面坐标系中的三重积分
二、利用球面坐标计算三重积分
球面坐标、球面坐标系的坐标面 直角坐标与球面坐标的关系、球面坐标系中的体积元素 球面坐标系中的三重积分
，r sin q ，z) rdrdqdz．
例1 例1 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdydz，其中是由曲
面 zx2y2 与平面 z4 所围成的闭区域．
z 4 zx2y2 或 zr2
解 闭区域可表示为：
r 2z4，0r2，0q2． 于是
zdxdydz zrdrdqdz
2 r sin jdrdjdq dq sin j dj r 4 dr a 2 M , 0 0 0 5
4 3
2
3
a
4 3 其中 M a 为球体的质量． 3
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应， 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标． 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标． z 这里规定r、q 、z的变化范围为： 0 r<， 0 q 2 ， < z<． O x r y P(r, q ) y z
§9.5[1]利用柱面坐标和极坐标计算三重积分
![§9.5[1]利用柱面坐标和极坐标计算三重积分](https://img.taocdn.com/s3/m/548e0093daef5ef7ba0d3c78.png)
再根据 中 z,r,θ 的关系,化为三次积分. , , 的关系,化为三次积分. 积分. 一般, 积分, 一般,先对 z 积分,再对 r ,最后对 θ 积分.
例1 利用柱面坐标计算三重积分
∫∫∫ z dxdydz ,
其中 其中
所围成的闭区域. 是由曲面 z = x2 + y2 与平面 z = 4 所围成的闭区域.
2
A
过 (r, θ )∈D 做平行于 z 轴 ∈ 的直线, 的直线,得
4
z
r2 ≤ z ≤ 4
0 ≤ θ ≤ 2π , : 0 ≤ r ≤ 2, 2 r ≤ z ≤ 4
o (r,θ )
x
y
即
r =2
o
2
于是, 于是,
A
∫∫∫ z dxdydz = ∫∫∫ z r drdθ dz.
= ∫0 dθ ∫0 dr∫r2 r z dz
规定: 规定:
z
0 ≤ r < +∞,
0 ≤ ≤π,
o θ
x
r
M( x, y, z)
y
0 ≤ θ ≤ 2π .
P
z
如图, 如图,三坐标面分别为
r 为常数
球
面;
r
为常数
θ 为常数
圆锥面; 圆锥面; 半平 面.x来自zoθ
y
球面坐标与直角坐标的关系为
x = r sin cosθ , y = r sin sinθ , z = r cos.
= 2π ∫0 (Hr 3 r4 )dr
π H5 . =
10
二,利用球面坐标计算三重积分
设 M( x, y, z) 为空间内一点,则点M 可用三个有次 为空间内一点, 来确定, 序的数r,,θ 来确定,其中r 为原点O 与点 M 间 的距离, θ 轴正向所夹的角, 的距离, 为有向线段OM与z 轴正向所夹的角, 为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到有 向线段 OP 的角,这里P 为点 M 在 xoy 面上的投影,这 的角, 面上的投影, 的球面坐标. 样的三个数r,,θ 就叫做点M 的球面坐标.
重积分的应用
I z ( x y ) ( x , y , z )dv
2 2
x
x
y
2 2 2 2 [( x , y , z ) 到 l 的距离 ] )d (x I0 ( x , y ,z v, y , z )dv l ( x y z )
16
例 设一均匀的直角三角形薄板,两直角边长分别为 a,b,求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.
2
b
y a (1 b )
D
0
0
1 3 x dx a b . 12
17
例 求由y 2 ax及直线x a(a 0)所围图形对直线
y a的转动惯量( 1).
解
y
I ( y ( a )) d
2 D
( x, y)
y 2 ax (a , a )
xa
o x
y
x2 y2 a2 , z a
在xy 平面上的投影域为 Dxy : x 2 y 2 a 2 ,
1 2 由 z ( x y 2 )得 a
2x 2y zx , zy , a a
6
1 2 由 z ( x y 2 )得 a
Dxy : x y a ,
解 由对称性知 A 4 A1 , (A1为第一卦限图形的面积,如图) 2 2 D1 xy : x y ax ( x , y 0) 曲面方程 z a 2 x 2 y 2 于是,
2 dA 1 z x z2 y dxdy a dxdy 2 2 2 a x y
2 A 1 x 2 x y z dydz
Dxy
Dzx ３．设曲面的方程为：y h( z, x), 投影域为
重积分的应用素材
n
n
得：IxIx y2y(ix2,my)i，dI,y Iy xxi22m(i，x, y)d . o
D i1
i 1D
(x, y)
•
D d
x
18
例3.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量.
解: 建立坐标系如图,
y
x2 y2 a2
D
:
y
0
D a o a x
I y2 d x d y 3 sin2 d d
2.二重积分与曲线积分的联系
面密度为(x, y),假定( x, y)在D上连续, 求该薄片对x轴的转动惯
量I x以及对y轴的转动惯量I y .
用元素法：在D上任取小块d ,(x, y)d , 则 m ( x, y)d ,
这部分质量可近似地看作集中在点(x, y)上,于是对x轴的转动惯
量以及对y轴的转动惯量元素为：
y
dIx y2( x, y)d , dI y x2(x, y)d ,
F G
dv
z
r3
r x2 y2 z2
G 为引力常数
23
曲线积分
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
定
n
义
L
f (x,
y)ds
lim
0
i 1
f (i ,i )si
P(x, y)dx Q(x, y)dy
L
n
lim
0
i 1
[ P ( i
,i
)xi
Q(i
,i
)yi
]
联
系
L Pdx Qdy L(P cos Q cos )ds
元素法的步骤：
把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.
重积分应用与计算
重积分应用与计算重积分是微积分中一项重要的概念，它广泛应用于各个科学领域，特别是物理学、工程学和经济学等。
重积分的计算方法包括二重积分和三重积分，通过对多元函数进行积分，可以解决许多实际问题。
本文将介绍重积分的应用，并重点讨论其计算方法。
一、重积分的应用1. 质量和质心重积分可以用于计算物体的质量和质心。
对于一个二维物体，其质量可以通过计算其面积的重积分来得到。
例如，一个有界闭区域D的质量可以表示为：m = ∬D ρ(x,y) dA其中，ρ(x,y)表示单位面积上的密度函数。
质心的坐标可以由下式给出：(x_c, y_c) = (∬D xρ(x,y) dA, ∬D yρ(x,y) dA)类似地，对于一个三维物体，质量和质心的计算也可以通过重积分来实现。
2. 总量和平均值重积分可以用于计算一个区域内某个量的总量和平均值。
例如，在物理学中，可以通过对速度场进行重积分来计算液体或气体的总质量流量。
在经济学中，可以通过对产量或消费量的重积分来计算总产量或总消费量。
对于一个二维区域D，某个量f(x,y)的总量可以表示为：Q = ∬D f(x,y) dA平均值可以表示为：f_avg = (1/area(D)) * ∬D f(x,y) dA其中，area(D)表示D的面积。
3. 概率和期望值在概率论中，重积分可以用于计算概率和期望值。
对于一个二维区域D上的离散随机变量，其概率函数可以表示为p(x,y)，概率p(x,y)在区域D上的积分即为该随机变量落在D内的概率。
期望值可以表示为：E[f(x,y)] = ∬D f(x,y) * p(x,y) dA其中，f(x,y)是随机变量的函数。
二、重积分的计算方法1. 二重积分二重积分用于计算平面二维区域上的积分。
常用的计算方法包括直角坐标系下的面积法和极坐标系下的极坐标法。
面积法：设D为平面上的有界闭区域，f(x,y)为定义在D上的连续函数。
则D上f的二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dA = ∫[a,b]∫[c,d] f(x,y) dx dy其中，[a,b]和[c,d]分别为D在x轴和y轴上的投影区间。
重积分应用案例
重积分与其他数学分支的交叉研究
重积分与微分几何、偏微分方程等数学分支有着密切的联系。未来可以 加强这些领域之间的交叉研究，以推动重积分理论的深入发展和应用拓 展。
THANKS
感谢观看
其他物理量如流量、压力等计算
流量计算
在流体力学中，流量是单位时间内通过某一 截面的流体体积。对于连续分布的流体，如 管道中的水流或气流，流量可以通过重积分 来计算。即对每个小微元的流速与其截面面 积的乘积进行积分。
压力计算
在静力学中，压力是垂直作用于单位面积上 的力。对于连续分布的物体，如液体中的压 力分布或固体中的应力分布，可以通过重积 分来计算。即对每个小微元的压力与其作用 面积的乘积进行积分。
02
重积分计算方法
直角坐标系下重积分
投影法
将重积分区域投影到某一坐标平面上 ，通过对投影区域进行单重积分来计 算重积分。
截面法
通过垂直于某一坐标轴的平面将重积 分区域切割成若干个小区域，对每个 小区域进行单重积分后再求和。
极坐标系下重积分
极坐标变换
将直角坐标系下的重积分通过极坐标变换转化为极坐标系下的重积分，简化计算 过程。
流速场描述
利用重积分对流速场进行建模，了解流体在空间中的速度分布情 况。
压力场描述
通过重积分描述压力场，掌握流体内部压力变化规律。
流体动力学分析
结合流速场和压力场信息，对流体动力学问题进行分析，如流体 流动、传热、传质等。
控制系统中系统稳定性和性能评估
系统稳定性分析
利用重积分对控制系统稳定性进 行评估，判断系统是否能在受到 扰动后恢复到平衡状态。
激发学习兴趣和动力
通过介绍有趣的重积分应用案例，激发读者对重积分学习的兴趣和动力，提高 学习效果。
重积分与微分几何、偏微分方程等数学分支有着密切的联系。未来可以 加强这些领域之间的交叉研究，以推动重积分理论的深入发展和应用拓 展。
THANKS
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其他物理量如流量、压力等计算
流量计算
在流体力学中，流量是单位时间内通过某一 截面的流体体积。对于连续分布的流体，如 管道中的水流或气流，流量可以通过重积分 来计算。即对每个小微元的流速与其截面面 积的乘积进行积分。
压力计算
在静力学中，压力是垂直作用于单位面积上 的力。对于连续分布的物体，如液体中的压 力分布或固体中的应力分布，可以通过重积 分来计算。即对每个小微元的压力与其作用 面积的乘积进行积分。
02
重积分计算方法
直角坐标系下重积分
投影法
将重积分区域投影到某一坐标平面上 ，通过对投影区域进行单重积分来计 算重积分。
截面法
通过垂直于某一坐标轴的平面将重积 分区域切割成若干个小区域，对每个 小区域进行单重积分后再求和。
极坐标系下重积分
极坐标变换
将直角坐标系下的重积分通过极坐标变换转化为极坐标系下的重积分，简化计算 过程。
流速场描述
利用重积分对流速场进行建模，了解流体在空间中的速度分布情 况。
压力场描述
通过重积分描述压力场，掌握流体内部压力变化规律。
流体动力学分析
结合流速场和压力场信息，对流体动力学问题进行分析，如流体 流动、传热、传质等。
控制系统中系统稳定性和性能评估
系统稳定性分析
利用重积分对控制系统稳定性进 行评估，判断系统是否能在受到 扰动后恢复到平衡状态。
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I x y 2 ( x , y )d ,
D
薄片对于y 轴的转动惯量
I y x ( x , y )d .
2 D
例 7. 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边 长分别 为a 、 b ，求这三角形对其中任一直角边 y 的转动惯量.
解
设三角形的两直角边分别在 x 轴和 y 轴上，如图
2 2
2 x 2 y
2
A 8 A1 8 1 z z dxdy
8
D1
（由对称性）
R 2 R R dxdy 8 d 2 2 rdr 2 2 2 R r R x y 0 0
2
D1
4R
例5 计算圆柱面
被圆柱面
2
x z a
2 2
2 2
2
x y a 所截的部分的面积
2 0
Байду номын сангаас
1
3。曲面的面积
①．设曲面的方程为： z f ( x , y )
在 xoy 面上的投影区域为 D,
z
s
M
o
dA
如图，设小区域 d D,
点 ( x , y ) d ,
为 S 上过 M ( x , y , f ( x , y )) 的切平面.
x
d
( x, y)
y
d 为 dA 在 xoy 面上的投影,
D
体密度为 f(x,y,z) 的空间体的质量
M f ( x , y , z )dv
5。平面薄片的重心
设 xoy 平面上有n 个质点，它们分别位于
( x1 , y1 ) ，( x 2 , y 2 ) ， , ( x n , y n ) 处，质量分别
为 m1 , m 2 , , m n ．则该质点系的重心的坐标为
I x m i yi
i 1
n
2
，
I y mi xi
i 1
n
2
.
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D ，在点( x , y ) 处的面密度为 ( x , y ) ，假定 ( x , y ) 在D 上连续，平面薄片对于x 轴和y 轴 的转动惯量为
薄片对于x 轴的转动惯量
d dA cos ,
1 2 2 cos , dA 1 f x f y d 2 2 1 fx fy
A 1 f x2 f y2 d ,
同理可得
D
曲面S的面积元素
②．设曲面的方程为： x g( y , z )
x x A 1 dydz; y z D yz ③．设曲面的方程为： y h( z , x ) 2 2 y y 曲面面积公式为： A 1 dzdx . z x Dzx
薄片对 z 轴上单位质点的引力
Fx f
D
F { Fx , Fy , Fz },
( x, y) x
(x y a )
2 2 2
3 2
d , d .
Fy f
D
( x, y) y
(x y a )
2 2 2
3 2
d ,
Fz af
D
( x, y)
U f ( x , y )d
D
对三重积分而言 dv , ( x , y, z ) dv
U f ( x , y, z )dv dU f ( x , y, z )dv
U f ( x , y , z )dv
1。平面图形的面积
由二重积分的性质，当 f( x, y ) =1 时
3
x
2
b 3 h I v u dudv . 12 D
2
对 v 轴的转动惯量
7。平面薄片对质点的引力
D 设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 ， 在点( x , y ) 处的面密度为 ( x , y ) ，假定 ( x , y ) 在 D 上连续，计算该平面薄片对位于 z 轴上的点 M 0 (0,0, a ) 处的单位质点的引力．( a 0)
D
z
( x, y)
2 2 2
3 2
(x y a ) 1 af 2 3 d 2 2 2 D (x y a )
2 R
d
F
o
y
x 1 1 2 2 0 0 2fa . (r a ) 2 2 R a a 所求引力为 1 1 . 0, 0, 2fa 2 2 R a a
2 (1 x 2 y 2 )d
D D
（用极坐标）
2 d (1 r 2 )rdr
0 0
2
D
1
解二
是柱形区域，用柱坐标 2
2 1 2 r
V dv d dr rdz
0 0 r2
2 r ( 2 2r )dr
所求形心坐标为 ( a, 5 ) . 6
6。平面薄片的转动惯量
设 xoy 平面上有n 个质点，它们分别位于
( x1 , y1 ) ，( x 2 , y 2 ) ， , ( x n , y n ) 处，质量分别为
y x m1 , m 2 , , m n ．则该质点系对于 轴和 轴的转
动惯量依次为
曲面面积公式为：
2
2
例 3. 求球面 x y z a ，含在圆柱体 x 2 y 2 ax 内部的那部分面积.
2 2 2 2
解
由对称性知 A 4A1 ,
2 2
D1 : x y ax , ( x , y 0)
曲面的方程为
于是
z a x y , 2 2 a z z , 1 2 2 2 x y a x y
0 0 2
2
3 a 2 .
由于区域关于直线x a 对称 ，
所以形心在 x a 上，
即 x a ,
1 y( x ) 1 2 a y ydxdy 0 dx 0 ydy AD A
1 2 a [ y( x )]2 dx 6 a 2 0 5 a 2 3 0 [1 cos t ] dt 6 . 6
解二
2
用三重积分
1 2 1 4 x 2
V dv 4 dv 4 dx
1
0
0
1 4 x 2 y 2
dy
0
dz 4
例2 求 z 2 x y , z x y 所围成的立体的体积
2 2 2 2
解一 V V2 V1 ( 2 x 2 y 2 )d ( x 2 y 2 )d
2 2 2
2 2 D1
面积 A 4 1 z x z y dxdy
4
D1
2
a dxdy a2 x2 y2
a cos 0
4a d
0
1 2a 2 4a 2 . rdr 2 2 a r
例4 求半径为R的球面的表面积
解
曲面方程为
z R x y
重积分的应用
把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.
若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应 地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且 在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 d 时， 相应地部分量可近似地表示为 f ( x , y )d 的形式， 其中 ( x , y ) 在 d 内．这个 f ( x , y )d 称为所求量U 的元素，记为 dU，所求量的积分表达式为
解 由对称性可知A=8A1
A1 的方程
2 x 2 y
z a x
2
2
a 1 z z 2 2 a x
D1
a dxdy dx 2 2 a x 0
a
a2 x2
0
a dy 2 2 a x
a
2
A 8a
2
4。质量
面密度为 f(x,y) 的平面薄片的质量
M f ( x , y )d
（注意审题，熟悉相关物理知识）
关于重积分应用
1。平面图形的面积
2。空间立体的体积
A d
V f ( x , y )d
V dv
D
D
3。曲面的面积
曲面 z=f(x,y)在 xoy 面的投影区域为D
A 1 f x2 f y2 d
D
4。质量
b
o
a
x
对 y 轴的转动惯量为
I y x dxdy
2 D
0 dy 0
2
b
y a ( 1 b )
1 3 x dx a b . 12
2
同理：对 x 轴的转动惯量为
1 3 I x y dxdy ab . 12 D
例 8. 已知均匀矩形板（面密度为常数 ）的长 和宽分别为b 和h ，计算此矩形板对于通过其形 心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.
区域D的面积
A d
D
2。空间立体的体积
设曲面的方程为
z f ( x , y ) 0, ( x , y ) D
则曲顶柱体的体积为 V f ( x , y )d
D
由三重积分的物理意义知空间闭区域 的体积为
V dv
例1 计算由曲面 z 1 4 x 2 y 2 与 xoy 面所围成的立体的体积 解一 用二重积分
D : 4 x y 1 V (1 4 x y )dxdy