利率的期限结构
投资学第15章利率的期限结构
注意：不变的流动性溢价使收益率上升的更上升。
▪ 由上面的例子推广
（1）市场期望理论 （2）流动性偏好理论 （3）市场分割理论
未来不同期限债券的到期收益率
未来利率期限结构
12.2 利率期限结构理论
▪ 市场期望理论（the market expectations theory）
➢ 未来短期利率期望值＝远期利率
▪ 流动性偏好理论（the liquidity perference theory)
risk associated with long-term bonds. ▪ The yield curve has an upward bias built
into the forward rates because of the risk premium. ▪ Forward rates contain a liquidity premium and are more than expected future shortterm rates.
着风险溢价为0
2. 长期投资与短期投资完全可替代：
➢ 投资于长期债券的报酬率也可由重复转投资（rollover)于短期债券获得。
市场期望理论理论下的利率期限结构（曲线）
yn
yn
yn
n
yn
n
n
n
12.2.2 流动性偏好理论
▪ Long-term bonds are more risky. ▪ Investors will demand a premium for the
➢ 市场期望理论 ➢ 流动性偏好理论 ➢ 市场分割理论
002.利率的期限结构
第二节利率的期限结构本节考点01到期收益率、即期利率和远期利率02利率期限结构与收益率曲线03收益率曲线的基本类型04利率期限结构的理论考点1：到期收益率、即期利率和远期利率（一）到期收益率到期收益率（YTM）是指能够使得债券未来现金流现值等于其当前价格的贴现率，其假设投资者一直将债券持有至到期，且再投资的收益率也和到期收益率相一致。
已知某债券市场价格为P，未来将发生N次现金流支付，现金流发生的具体时间点（对应期数）为t，对应现金流为C t，则到期收益率y便是使得以下等式成立的收益率：【例】假设某国债的剩余期限为5年，票面利率8%，面值100元，每年付息1次，当前市场价格为102元，求到期收益率。
【例】假设某国债的剩余期限为5年，票面利率8%，面值100元，每年付息1次，当前市场价格为102元，则其到期收益率满足：通过插值法可解得y≈7.5056%,即该国债当前价格对应的到期收益率约为7.5056%。
（二）即期利率又称零利率，它被用来刻画在当下时间点至未来某段时间内所取得的利率，即现在投入一笔资金，到期时一次性取得约定的现金回报所对应享有的收益率。
而不产生期间现金流，仅在到期时一次性支付债券本金，正是零息债券的收益特征。
因此，零息债券的到期收益率即为即期利率。
在债券定价公式中，即期利率即用来进行现金流贴现的贴现率。
反过来，也可以从已知的债券价格计算即期利率。
即期利率的计算可以通过票息剥离法得到。
（三）远期利率远期利率是由当前即期利率所隐含的对应于未来某一区间内的利率水平。
远期利率可以根据当前即期利率推导得到。
【例】某投资者用100元本金购买了2年期零息债券，另一投资者用100元本金购买1年期零息债券，1年后到期时再投资于彼时以利率计价的1年期零息债券。
在无套利均衡条件下，两名投资者的收益应当相等。
基于复利计息规则下，有：100×（1+y2.00）2=100×（1+y1.00）×（1+ fy1.00, 1.00 ）其中, fy1.00, 1.00为市场对1年后的1年期即期利率的预期，解得该值为11. 01%。
利率的期限结构
利率的期限结构一、利率期限结构的形式债务凭证的期限不同，利率也不同。
利率和债务凭证期限之间的关系，叫做利率的期限结构(term structure of interest rate )。
对于不同的债务凭证来说，利率期限结构可能是不同的。
概括来说，利率的期限结构有三种形式:第一种是利率不随着债务凭证期限的变化而变化。
不论债务凭证的期限是短是长，利率都保持不变。
这种利率期限结构叫做水平的期限结构(flat term structure)。
第二种是利率随着债务凭证期限的延长而提高。
债务凭证的期限越长，利率就越高。
这种利率期限结构叫做上升的期限结构(rising termstructure)。
第三种是利率随着债务凭证期限的延长而下降。
债务凭证的期限越长，利率就越低。
这种利率期限结构叫做下降的期限结构(declining term structure)。
投资者在投资侦务凭证的时候，最关心的是债务凭证的收益率。
虽然债务凭证的收益率和利率有所不同，但是它们存在着正相关的关系。
因此，在研究利率的期限结构时，实际上分析的是收益率的期限结构。
二、利率期限结构的理论解释利率的期限结构的理论有三种:市场预期理论，流动偏好理论和市场分割理论。
1.市场预期理论市场预期理论(The Market Expection Theory)是由费雪(IFisher)在18%年出版的(升值与利息》中提出来的。
希克斯(J. R. Hicks)等人对该理论的发展做出过贡献。
市场预期理论假定，债券投资者只关心如何获得最大利益，而不关心他所持有的债券的期限。
因此，不同期限的债券是可以相互替换的。
购买一张2年期限的债券(上海公积金提取)和先后购买两张1年期限的债券相比较，如果前者的收益率高于后者，投资者将选择前者;如果前者的收益率低于后者，投资者将选择后者。
市场预期理论据此提出，利率的期限结构是由人们对未来市场利率变化的预期决定的。
假设某投资者准备使用100美元进行为期2年的投资时，他可以有两种选择:第一种是购买一张2年期限的债券;第二种是先购买一张1年期限的债券，等待第一年结束时再购买一张I年期限的债券。
利率的期限结构
北京泰和兴投资管理有限公司
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利率的期限结构
一、什么是利率期限结构
1.概括来说，同一品类的不同期限的利率构成该品类的利率期限结构。
各种利率大多包括期限长短不同的品种，如活期存款利率、一年定期存款利率等。
“期限结构”反映的是利率与期限的相关关系。
2. 一个经济体的利率期限结构，通常选择基准利率——如国债利率——的期限结构代表。
二、即期利率与远期利率 1. “即期利率”与“远期利率”在利率的期限结构中是一对重要的术语、概念。
2. 即期利率是指对不同期限的债权债务所标明的利率（复利）；
3. 远期利率则是指隐含在给定的即期利率之中，从未来的某一时点到另一时点的利率。
4. 远期利率使债权债务期限延长的价值具有了定量的说明。
5. 如以 fn 代表第 n 年的远期利率，r 代表即期利率，其一般计算式是：
三、到期收益率
1. 到期收益率相当于投资人按照当前市场价格购买债券并且一直持有到期满时可以获得的年平均收益率。
2. 基本思路：设当前债券的市场价格与“债券现金流的当前价值”相等，即决定当前实际起作用的利率。
“债券现金流的当前价值”是指：从当前到还本时为止，分期支付的利息和最后归还的本金折合成现值的累计额
3. 到期收益率使不同期限从而有不同现金流的债券收益可以相互比较。
4. 设还有n 年到期的国债券，其面值为P ，按票面利率每期支付的利息为C ，当前的市场价格为P m ，到期收益率 y ，可依据下式算出近似值：
文章转自：北京泰和兴投资管理有限公司
2
北京泰和兴投资管理有限公司。
利率期限结构是什么
利率期限结构是什么利率期限结构是指不同期限的借贷利率之间的差异关系。
它是金融市场的一种重要现象，对经济和金融市场的运行具有重要影响。
本文将详细介绍利率期限结构的概念、形成原因以及其在金融市场中的意义。
一、利率期限结构的概念利率期限结构是一种描述不同借贷期限下利率水平和利率之间关系的工具。
在金融市场中，借款人通常可以选择不同期限的借贷方式，而不同期限的借贷利率通常是不同的。
利率期限结构的形成是由市场供求关系、风险偏好以及宏观经济环境等多种因素综合影响的结果。
二、利率期限结构的形成原因1.市场供求关系：供求关系是影响利率期限结构的重要因素之一。
当市场中借款需求大于借款供给时，长期借款的利率往往比短期借款的利率更高，从而形成正斜率的利率期限结构；相反，当借款供给大于需求时，长期借款的利率可能低于短期借款利率，形成负斜率的利率期限结构。
2.风险偏好：借款人对于风险的偏好也会影响利率期限结构。
一般来说，借款期限越长，风险越高，借款人要求的利率也越高。
因此，利率期限结构通常呈现出逐渐上升的形态。
3.宏观经济环境：宏观经济变量对利率期限结构的形成也有一定的影响。
例如，经济增长预期、通货膨胀预期、货币政策等因素都可能对利率期限结构产生影响。
三、利率期限结构的意义1.预测经济走势：利率期限结构可以作为一种预测经济走势的工具。
根据利率期限结构的形态，我们可以得出市场对未来经济走势的预期。
如果利率期限结构呈现出正斜率形态，说明市场预期未来经济将好转；反之，如果利率期限结构呈现负斜率或平坦的形态，说明市场对经济未来不太乐观。
2.引导市场定价：利率期限结构对市场定价也具有指导意义。
借款人和投资者可以根据利率期限结构来确定借贷和投资的最佳期限，从而在市场中获取更优的收益。
3.评估金融风险：利率期限结构的变动可以反映金融市场的风险环境。
例如，当利率期限结构出现倒挂，即长期利率低于短期利率时，可能预示着经济衰退和金融风险上升。
利率的期限结构投资学财经大学
(五)短期利率和收益率曲线斜率
当下一年度短期利率 r2 大于今年得短期利 率r1时, 收益率曲线 向上倾斜。
暗示收益率预计会 上升。
当下一年得短期利率 r2 小于今年得短期利 率r1时, 收益率曲线 会下降。
暗示收益率预计会 下降。
图 15、3 短期利率和即期利率
(六)根据观察到得收益率解出 未来短期利率
(1 y2 )2 (1 r1)[1 E(r2 )]
也就是5%,利率期限结构呈现水平。 如果下一年得期望短期收益率E(r2) 就是6%,
则两年期即期利率y2将就是5、5%,利率期限 结构呈现向上。而下一年得期望短期收益率 E(r2) 如果就是4%,则两年期即期利率y2将就 是4、5%,利率期限结构呈现向下。
例15、1 附息债券得估值
使用表15、1得折现率,计算3年期, 票面利率为 10% 得附息债券(假设面值为$1000)得价值:
价值
$100 1.05
$100 1.062
$1100 1.073
价值 = $1082、17 ,又有:
1082.17
$100 1.0688
$100 1.06882
$1100 1.06883
利率的期限结构投资学财经大学
一、利率期限结构概述
利率期限结构就是不同期限债券贴现现金流得 利率结构。
通常情况下,期限短得现金流用较低得利率贴 现,即要求较低得收益率;期限长得现金流用较 高得利率贴现,即要求较高得收益率。
收益率曲线显示了收益率和期限之间得关系, 所以收益率曲线就是利率期限结构得图形表现。
收益率曲线有四种类型:
从收益率曲线四种类型中可以看到,不同期限债 券得收益率不相同。
收益率曲线在固定收益证券领域有重要得作用。
利率期限结构
利率期限结构利率期限结构是指同一借款主体在不同期限借款时所面临的不同利率水平和利率变化情况。
研究利率期限结构对理解金融市场和货币政策等具有重要意义。
一、利率期限结构的概念利率期限结构是利率和借贷期限之间的关系。
其基本原理是资金成本和市场供求关系上的交互作用，表示了市场对不同期限借款的需求和供应关系及其对借款利率的影响。
在短期内，利率期限结构一般呈现上行趋势。
这是因为短期资金需求呈现急需的状况，供求不平衡，导致利率上涨。
而在长期内，利率期限结构一般呈现平稳或下降趋势。
这是因为长期资金成本相对较低，资金需求量相对较小，导致利率基本稳定或下降。
二、利率期限结构的形状类型利率期限结构的形状主要包括以下三种类型：1. 上凸型利率期限结构：在上凸型利率期限结构中，长期借款利率高于短期借款利率。
这种形状出现的时候，一般反映了市场对未来通货膨胀率和利率相对乐观的预期。
2. 倒挂型利率期限结构：在倒挂型利率期限结构中，短期借款利率高于长期借款利率。
这种形状出现的时候，一般反映了市场对未来经济前景和通货膨胀率相对悲观的预期。
3. 平坦型利率期限结构：在平坦型利率期限结构中，不同期限的借款利率基本相同。
这种形状出现的时候，一般反映了市场对未来通货膨胀率和利率相对中性的预期。
三、利率期限结构的决定因素影响利率期限结构的因素主要包括以下三个方面：1. 货币市场供求关系：货币市场供求关系决定短期利率水平。
2. 预期通货膨胀率：这是决定长期利率水平的根本因素。
市场对未来通货膨胀率的不确定性也会影响长期利率结构的形态和变化。
3. 长短期利率之间的互动关系：长短期利率之间的互动关系也是决定利率期限结构形态和变化的重要因素。
四、利率期限结构对金融市场的影响利率期限结构的形态和变化对金融市场和货币政策等具有深远的影响，主要体现在以下几个方面：1. 对股票市场的影响：当利率期限结构呈现上凸型，即长期利率高于短期利率时，大多数上市公司的借款成本比较高，导致企业利润减少，从而对股票市场产生负面影响。
利率的期限结构
1年后该债券的价值应为1000元[961.54×(1+0.04)] 债券到期时的面值应为1050元[1000x(1+0.05)]。
1年后利率升高，不是预期的5％，而是实际的7 ％，问1年后面值为1050的零息票债券的价格？
3
15.1 收益曲线
4
收益曲线
不同期限的债券具有不同的利率,由此形成利率期 限结构问题,其反映的是不同期限债券利率之间的 关系。 注意:
第一,收益曲线分析对象仅指同质债券,即债券风 险、信用等级、税收待遇及变现能力等基本相同, 惟期限不同, 即只分析其他条件相同而只有期限不 同的债券利率之间的关系。 第二,研究债券利率期限结构实质上是研究债券收 益率期限结构,因为投资者关心的是实际收益率而 不是票面利率。
当前不同期限债券的到期收益率 远期利率
当前利率期限结构
未来短期利率的期望值
三种不同的假定： （1）市场期望理论 （2）流动性偏好理论 （3）市场分割理论
未来不同期限债券的到期收益率
20
未来利率期限结构
市场期望理论（the market expectations theory）
未来短期利率期望值＝远期利率
ft E(rt )
利率期望理论的结论 1. 若远期利率（f2,f3,….,fn）上升，则长期债券的 到期收益率yn上升，即上升式利率期限结构， 反之则反。
– – 有没有可能是水平式的结构？有没有可能是驼峰式？ 投资于长期债券的报酬率也可由重复转投资（rollover)于短期债券获得。
2. 长期投资与短期投资完全可替代：
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= 10 +
10
+
110
1.049 (1.049)(1.052) (1.049)(1.052)(1.054)
= 113.1662
17
如何计算远期利率？类似于自助法。见下例。
例：三年期债券的面值为100，息票率为6%，价格为100元， f0 = 5%, f1=6.0227%，计算2年期的远期利率。
解：
23
(1+ r3 )3 = (1+ f0 )(1+ f1)...(1+ f2 )
r3
0
1
2
3
f0
f1
f2
24
� 在式（1）中，把时间 t 改为 t−1，可得：
(1+ rt )t = (1+ f0 )(1+ f1)...(1+ ft−1)
(1)
(1+ rt−1)t−1 = (1+ f0 )(1+ f1)...(1+ ft−2 )
∑ P
=
t>0
Ct (1 + rt )t
� 用即期利率计算的债券价格更加合理。
8
例： 1年期的即期利率为5.2%，2年期的即期利率为5.5%。 请计算一个年息票率为15%的两年期债券的价格，假设债 券的面值为100元。
解：该债券的价格为
∑ P =
Ct (1+ rt )t
15 =
1+ r1
+
115 (1+ r2 )2
(2)
� 将式（1）与式（2）相除，可得：
(1 + (1+ rt
rt
−1
)t )t
−1
＝1
+
ft −1
⇒
(1+ rt )t
= (1+ rt−1)t−1(1+ ft−1)
� 应用上式，可以通过即期利率求得远期利率。
25
(1+ r3 )3 = (1+ r2 )2 (1+ f2 )
r3
0
1
2
3
r2
f2
26
15 115
=
+
1.052 1.0552
= 117.5802
9
� 用即期利率计算年金的现值：
1
1
1
a n
=
+ (1+ r1) (1+ r2 )2
+ ... + (1+ rn )n
ȧ̇ n
1
1
= 1+ (1+ r1) + (1+ r2 )2
1 + ... + (1+ rn−1)n−1
10
例：假设1年期、2年期和3年期的即期利率分别为5％、7％ 和9％，请计算一项每年年末支付100元的三年期年金的 现值。
到期日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年息票率 2% 5% 6% 10% 4% 12% 0% 7% 4% 8%
年实际收益率 债券的价格
5.0%
97.1429
5.5%
99.0768
6.0%
100.0000
6.2%
113.1073
6.5%
89.6108
6.8%
124.9398
7.2%
61.4662
97.1429
（2）两年期债券的现金流可以用5.5%的收益率进行贴现：
∑ P =
Ct (1+
y)−t
5 =
1.055
105 +
1.0552
= 99.0768
（3）三年期债券的价格不能由上表直接计算。
7
即期利率
� 即期利率（spot rate）：从当前时点开始计算的未来一定 限期的利率水平。
� 用即期利率计算债券的价格：
12
例：假设1年期和2年期的即期利率分别为5％和5.5126％。3 年期债券的价格为100，息票率为6％。求3年期的即期利 率。
解：3年期的即期利率满足下述方程：
6
6
106
100 = +
+
1+ r1 (1+ r2 )2 (1+ r3 )3
6
6
106
=+
+
1.05 1.0551262 (1+ r3)3
解：按即期利率计算的债券价格为：
∑ P =
Ct (1+ rt )t
5 105
=
+
1.045 1.052
= 100.0228
这个价格与市场价格101元不一致，故存在套利机会。
31
� 如何获取套利收益？
� 债券价格被高估，故可以通过以下策略获利： � 卖出一个两年期债券，获得101元。 � 购买一个在第1年末支付5元的零息票债券，以及一个 在第2年末支付105元的零息票债券。购买价格为
年实际收益率 12.000% 12.000% 12.000%
解：应用收益率和远期利率计算的债券价格相等，故第1年 的远期利率满足下述方程：
103 103 =
1.12 1+ f0
⇒ f0 = 12.000%
20
� 同理，可以计算第2年和第3年的远期利率 f1 和 f2：
5.45 105.45 5.45 105.45
利率的期限结构 term structure of interest rate
孟生旺 中国人民大学统计学院
1
� 利率的期限结构（term structure of interest rate）： 利率和与之相联系的到期期限之间的关系。
� 如果通过利率的期限结构，发现一项资产的定价过 高或者过低，就有可能从中获得无风险收益，即所 谓的套利（arbitrage）。
� 解：由前例可知，与即期利率一致的债券价格为100.0228 元。由于该债券的市场价格为99元，故该债券被低估 了，存在套利机会。
29
套利
� 套利机会：当资产的定价不一致时，就可能存在套利机 会。通过同时的买入和卖出，实现套利。
� 假设： � 卖空交易无需保证金。 � 市场参与者可以买卖收益率曲线所表示的债券。 � 市场参与者可以买卖按即期利率定价的零息债券。 � 市场参与者可以现在锁定远期利率。
30
例：一个年息票率为5%的两年期债券的价格为101元，面值 为100元。1年期的即期利率为4.5%，2年期的即期利率为 5%。试确定是否存在套利机会。
� 本章主要内容： � 到期收益率 � 远期利率 � 即期利率 � 套利
2
到期收益率
� 到期收益率（yield to maturity）：资产的内部报酬率 （IRR），是使得该项资产未来现金流的现值与其价格相 等的利率。
∑ P =
Ct
t>0 (1+ y)t
3
表1：利率的期限结构（由10种不同到期日的债券组成）
例：如果1年期的即期利率是5%，2年期的即期利率是 5.2%，求其隐含的第一年末到第二年末的远期利率 f ？
解：
(1 + 5%)(1 + f ) = (1 + 5.2%)2
f = 5.4%
15
� 用远期利率计算债券的价格，则有：
∑ P =
Ct
t>0 (1+ f0 )(1+ f1)...(1 + ft−1)
请计算2年期和3年期的即期利率。 解： (1+ r2 )2 = (1+ f0 )(1+ f1)
⇒ r2 = 2 (1+ f0 )(1+ f1) −1 = 4.1996%
(1+ r3 )3 = (1+ f0 )(1+ f1)(1+ f2 ) ⇒ r3 = 3 (1+ f0 )(1+ f1)(1+ f2 ) −1 = 4.1997%
5
例：假设各债券的本金均为100元，请应用上表的收益率， 计算下列债券的价格： (1) 年息票率为2%的一年期债券 (2) 年息票率为5%的两年期债券 (3) 年息票率为10%的三年期债券
6
解：
（1）一年期债券的现金流可以用5%的收益率进行贴现：
∑ P =
Ct (1+
y)−t
=
102 1.05
=
7.3%
98.2293
7.5%
77.6739
7.6%
102.7331
4
收益率曲线：利率随着投资时期变化而变化的曲线
8.0%
7.5%
7.0%
6.5%
6.0%
5.5%
5.0%
4.5%
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
平价收益率曲线（par yield curve）：债券的息票率等于其收益率时相应的收益 率曲线。此时，债券的价格将等于它的票面值。
ft ——从 t 年到 t + 1 年的远期利率
16
例：假设0到1年的远期利率为4.9%，1年期的远期利率为 f1 = 5.2%，2年期的远期利率为 f2 = 5.4%。请计算一个年息 票率为10%的三年期债券的价格。假设该债券的面值为 100元。
解：该债券的价格为：
∑ P =
Ct
t (1+ f0 )(1+ f1)...(1+ ft−1)
� 用远期利率计算其现值为
Ct (1+ f0 )(1+ f1)...(1 + ft−1)
� 由于上述两个现值相等，故有：