高二数学二项式定理概率综合
5第五讲 二项式定理及其概率的综合运用
第五讲 二项式定理及其概率的综合运用一、知识概要1、二项式定理二项式系数的性质：（1）对称性，在展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即n n 0n C C =，r n n r n 2n n 2n 1n n 1n C C ,,C C ,C C ---=== ；（2）增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，当n 是偶数时，中间一项2n n C 最大；当n是奇数时，中间两项21n n C -，21n n C +相等，且为最大值；（3） +++=+++=++++5n 3n 1n 4n 2n 0n n n n 2n 1n 0n C C C C C C ,2C C C C2、概率（1）概率是频率的近似值，两者是不同概念（2（3）互斥事件A ，B 中有一个发生的概率：加法公式特例：A B =，即对立事件的概率和为1（4）相互独立事件A ，B（5）事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项（6）涉及的思维方法 观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化 （7）主要思维形式有 逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维3、随机变量.（文科考纲不要求）1). 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验.2). 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x xξ取每一个值),2,1( =i x 的概率p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 3). ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B （n·p ），其中n ，p 为参数，并记p)n b(k;qp C k n k k n ⋅=-. ⑵二项分布的判断与应用. ①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4). 几何分布：“k =ξ”表示在第k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k 次试验时事件A 发生记为k A ，事A 不发生记为q )P(A ,A k k =，那根据相互独立事件的概率乘法分式：ξ的概率分布列.我们称ξ服从几何分布，并记p q p)g(k,1k -=，其中 3,2,1.1=-=k p q二、题型展示例1、求(4+2x+x 2)(2-x)7的展开式中x 5的系数。
利用二项式定理求解概率问题的应用
利用二项式定理求解概率问题的应用在概率论中，二项式定理是一个非常重要的数学工具，它被广泛应用于解决各种与概率相关的问题。
本文将介绍利用二项式定理求解概率问题的应用，并提供示例进行说明。
二项式定理是代数学中的一个基本定理，它描述了一个二项式的幂的展开式。
具体来说，对于任意实数a和b以及非负整数n，二项式定理可以表示为：$(a+b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^{n-1} b^1 + C(n,2)a^{n-2} b^2 + ... + C(n,n-1)a^1 b^{n-1} + C(n,n)a^0 b^n$其中C(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数，也可以表示为二项式系数。
利用二项式定理，我们可以将一系列与概率相关的问题转换为代数问题，并通过求解代数方程来得到准确的概率值。
接下来，我们将通过几个具体的例子来说明这一过程。
第一个例子是关于投硬币的概率问题。
假设我们投掷一枚公正的硬币，问在5次投掷中，正面朝上的次数为3的概率是多少？我们可以将这个问题转化为二项式定理的问题。
将正面朝上的次数记为k，我们需要求解的概率即为：P(k=3) = C(5,3) * p^3 * (1-p)^2其中p表示硬币正面朝上的概率，因为硬币是公正的，所以p=0.5。
将值代入计算，我们可以得到：P(k=3) = C(5,3) * 0.5^3 * (1-0.5)^2接下来，我们可以通过二项式系数的计算公式求解C(5,3)，即：C(5,3) = 5! / (3!(5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = 10将值代入计算，最终我们可以得到：P(k=3) = 10 * 0.5^3 * (1-0.5)^2 = 0.3125所以，在5次投掷中，正面朝上的次数为3的概率是0.3125。
第二个例子是关于生日悖论的概率问题。
生日悖论是指在一个房间里，只需要多少人，才能使得他们中至少有两个人生日相同的概率大于50%？我们可以利用二项式定理解决这个问题。
高二数学辅导讲义(排列组合二项式定理与概率)
高二数学辅导讲义（排列组合、二项式定理与概率）07、5、7排列组合试题从解法上看，大致有以下几种：（1）有附加条件的排列组合问题，大多需用分类讨论的方法；（2）排列与组合的混合型问题，需分步骤，要用乘法原理解决；（3）元素不相邻问题常用插空法，相邻问题常用捆绑法；（4）排除法，将不符合条件的排列或组合剔除掉；（5）穷举法，将符合条件的所有排列或组合一一写出来，或写出一部分发现规律；（6）定序问题“缩倍法”，即若某几个元素必须保持一定的顺序，则可按通常排列后再除以这几个元素的排列数；（7）隔板法，例如：10个相同的小球分给三人，每人至少1个，有多少种方法？可将10个C种方法。
球排成一排，再用2块“隔板”将它们分成三个部分，有291、n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？2、同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有种3、某班的10人中恰有班干部和团干部各5名：（1）班干部不全排在一起；（2）任何两名团干部都不相邻；（3）班干部和团干部相间排列。
4、有9个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组；（2）将其分成三组，每组个数分别为2，3，4。
上述问题各有多少种不同的分法？5、排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？6、一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？7、20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？8、从4名男生和3名女生中选4人参加某座谈会，若这四人中必须既有男生又有女生，则不同选法有 A．140种B．120种C．35种D．34种9、从1、3、5、7中任取两个数字，从0、2、4、6、8中任取两个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有个（数字答）10、将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案有（）A.12 种B.24种C.36种D.48种11、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.1．某办公室有8人，现从中选出3人参加A ，B ，C 三项活动，其中甲不得参加A 项活动，则不同的选派方法有 （ ）A ．35种B ．56种C ．294种D ．336种2．A ，B ，C ，D ，E 五种不同商品要在货架上排成一排，其中A ，B 两种商品必须排在一起，而C ，D 两种商品不能排在一起，则不同的排法共有 （ ）A ．12种B ．20种C ．24种D ．48种3．某展览会一周（七天）内要接待三所学校的学生参观，每天择安排一所学校，其中甲学校要连续参观两天，则不同的安排方法的种类有（ ）A ．24B ．60C ．120D ． 2104．在如图的1×6矩形长条格中涂上红.黄.兰三种颜色，每种颜色限涂两格，且相邻两格不同色，则不同的涂色方法共有（ ）A ．90种B ．54种C ．45种D ．30种5．在三张卡片的正反面上分别写有数字0与2，3与4，5与6，且6可以作9用，把这三张卡片拼在一起表示一个三位数，则三位数的个数为（ ）A ．12B ．72C ．60D ．406．若n xx )1(23 的展开式中只有第6项的系数最大，则常数项的值为 （ ） A ．462 B ．252 C ．210 D ．107．1.056的计算结果精确到0.01的近似值是 （ ）A ．1.23B ．1.24C ．1.34D ．1.448．两个同学同时做一道题，他们做对的概率分别为P(A)=0.8, P(B)=0.9，则该题至少被一个同学做对得概率为 （ ）A ．1.7B ．1C ．0.72D ．0.989．一个学生通过一种英语听力测试的概率是21，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是 （ ） A.41 B.31 C.21 D.43 10．已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，则经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率（ ） A.51 B.154 C.52 D.1514 11．.如下图，A 、B 、C 、D 为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有12．某校高三年级举行的一次演讲比赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其他班有5位，若采取抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连)，而二班的2位同学没有被排在一起的概率为( )A ．101B ．201C ．401D ．1201A.8种B.12种C.16种D.20种13．6)2||1|(|++x x 展开式中系数最大的项的系数为_________． 14．设二项式n x x )13(3+展开式的各项系数的和为P ；二项式系数的和为S ，且P+S=272，则展开式的常数项为_________．15．5个正四面体小木块表面上，分别标有1，2，3，4，如果把这5块小木块全部掷出，则至多有1块标有4的小木块因贴在桌面上看不见的概率是 .16．将正整数n 表示成k 个正整数的和（不计较各数的次序），称为将正整数n 分成k 个部分的一个划分，一个划分中的各加数与另一个划分的各加数不全相同，则称为不同的划分，将正整数n 划分成k 个部分的不同划分的个数记为P （n ，k ），则P （10，3）＝_________．三．解答题17．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，（1）能组成多少个是25的倍数的四位数；（2）能组成多少个比240135大的数；（3）若把所组成的全部六位数从小到大排列起来，第100个数是多少？18．在二项式n x )221(+的展开式中，（1）若第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项；（2）若前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．19.设x 10-3=Q(x )(x -1) 2+ax +b ，其中Q(x )为关于x 的多项式，a ，b ∈R ．（1）求a ，b 的值；（2）若ax +b=28，求x 10－3除以81所得的余数。
高二数学人选修课件时二项式定理
邻两项系数的和。
展开式应用举例
01
02
03
求特定项的系数
通过通项公式，可以求出 二项式展开式中任意一项 的系数。
证明恒等式
利用二项式定理展开式， 可以证明一些与二项式相 关的恒等式。
求和与求积
二项式定理展开式可以用 于求和或求积的问题，如 求 $(1+x)^n$ 的展开式 中所有项的系数和等。
高二数学人选修课件时二项式 定理
汇报人：XX
20XX-01-17
CONTENTS
• 二项式定理基本概念 • 二项式定理展开式 • 二项式定理证明方法 • 二项式定理在概率统计中应用 • 二项式定理在高等数学中延伸 • 总结回顾与拓展思考
01
二项式定理基本概念
二项式定理定义
二项式定理描述
二项式定理是数学中的一个基本定理 ，用于展开形如(a+b)ⁿ的二项式。
THANKS
拓展思考题及答案解析
思考题1：求$(x+2)^5$的 展开式。
【解析】根据二项式定理的 展开式， $(x+2)^5=sum_{k=0}^{5} C_5^kx^{5k}2^k=x^5+10x^4+40x^ 3+80x^2+80x+32$。
思考题2：求$(1-2x)^6$的 展开式中，$x^3$的系数。
含义解释
通项公式表示在二项式
$(a+b)^n$
的展开式中，第
$k+1$
项的表达式。其中
$C_n^k$ 是组合数，表示从 $n$
个不同元素中选取 $k$ 个元素的
组合方式数目。
概率二项式定理
概率二项式定理
概率二项式定理是概率论中的一个重要定理，它描述了一种离散随机变量服从二项分布的情况，并且可以被用来计算在一定试验次数下，某个事件发生的概率。
下面将详细介绍概率二项式定理。
在概率论中，二项分布是一种离散概率分布，它描述在n次独立重复试验中，成功概率为p的情况下，成功次数的概率分布。
对于一个二项随机变量X，其概率分布函数可以表示为：
P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，即组合数公式C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!).p^k表示成功概率为p的k 次连续成功，(1-p)^(n-k)表示失败概率为1-p的(n-k)次连续失败。
利用生成函数的方法，可以证明二项式定理:
(1 + x)^n = C(n,0) + C(n,1)x + C(n,2)x^2 + … +C(n,n)x^n
根据二项式定理，我们可以得到一个重要的结论，即当n趋近于无穷大时，满足成功概率为p的二项分布对应的概率分布逐渐趋近于正态分布，以均值为np，方差为np(1-p)的正态分布为极限。
这一结论在实际应用中被广泛使用。
例如，在工程设计和统计预测中，我们通常会将一些固定性质的系统看作是成功率为p的二项分布，并根据均值和方差来进行预测。
总之，概率二项式定理是概率论中的一个重要定理，它描述了一种离散随机变量服从二项分布的情况，并且可以被用来计算在一定试验次数下，某个事件发生的概率。
在实际应用中，我们可以利用该定理来进行工程设计和统计预测。
高中数学概率与统计(二项式定理)
二项式定理一、二项式定理 ()0111*().nn n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈1.右边的多项式叫做()na b +的二项展开式2.各项的系数rn C 叫做二项式系数3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即1(0,1,2,,).r n r r r n T C a b r n -+==4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n二．二项式系数的性质性质1 ()na b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++= 性质3 ()n a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n，即012.nn n n n C C C +++=（令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释） 性质4 ()na b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即022132112.rr n n n n n n n C C C C C C +-++++=++++=（令1,1a b ==-即得）性质5 ()na b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12,n n C-12n nC+相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）【题型精讲】题型一、展开式中的特殊项1．21()nx x-的展开式中，常数项为15，则n =A ．3B ．4C ．5D ．6 2.在()()1nx n N *+∈的二项展开式中，若只有5x的系数最大，则n =A ．8 B. 9 C. 10 D.113．如果2323nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10题型二、展开式的系数和1.已知()()()()100210001210012111.x a a x a x a x +=+-+-++-求：（1）0a ；（2）012100a a a a ++++（3）13599a a a a ++++；2.（江西理4）已知33nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ） Ａ．4Ｂ．5Ｃ．6 Ｄ．73.（江西文5）设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++，则01211a a a a ++++的值为（ ）Ａ．2-Ｂ．1-Ｃ．1Ｄ．24.(安徽文12)已知45235012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++, ())(531420a a a a a a ++++ 的值等于 .题型三、一项展开:拆成两项1.233除以9的余数是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8题型四、多项展开：1.（|x |＋||1x －2）3展开式中的常数项是（ ） A ．12 B ．－12 C ．20 D ．－202.求()()()2111nx x x ++++++ 展开式中3x 项的系数.。
排列组合二项式定理与概率及统计
排列组合二项式定理与概率及统计一、复习策略排列与组合是高中数学中从内容到方法都比较专门的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识，该部分内容，不论其思想方法和解题都有专门性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖，解题过程极易犯〝重复〞或〝遗漏〞的错误，同时结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困难．解决问题的关键是加深对概念的明白得，把握知识的内在联系和区别，科学周全的摸索、分析问题．二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点．概率那么是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意差不多概念的明白得，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律．纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考，考题多以选择题、填空题显现，题小而灵活，涉及知识点都在两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计数原理；二项式定理及二项式系数的性质运算或论证一些较简单而有味的小题也在高考题中常见，概率及概率统计的内容，从近几年新课程卷高考来看，每年都有一道解答题，占12分左右．排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中要紧考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主，应先满足专门元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足专门位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，运算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.〔4〕某些元素要求必须相邻时，能够先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为〝捆绑法〞；〔5〕某些元素不相邻排列时，能够先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为〝插空法〞；在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用分类计数原理依旧分步计数原理；(3)分析题目条件，幸免〝选取〞时重复和遗漏；(4)列出式子运算和作答．二、典例剖析题型一：排列组合应用题解决此类问题的方法是：直截了当法，先考虑专门元素〔或专门位置〕，再考虑其他元素〔或位置〕；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；关于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一样是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件．例1、〔08安徽理12〕12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，假设其他人的相对顺序不变，那么不同调整方法的种数是〔〕A．B．C．D．解：从后排8人中选2人共种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，那么先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人那么要插入前排5人的空挡，有6种插法，故为；综上知选C．例2、〔08湖北理6〕将5名理想者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名理想者的方案种数为〔〕A．540B．300C．180D．150解：将5分成满足题意的3份有1，1，3与2，2，1两种，因此共有种方案，故D正确．例3、四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为〔〕A．96B．48C．24D．0解：由题意分析，如图，先把标号为1，2，3，4号化工产品分别放入①②③④4个仓库内共有种放法；再把标号为5，6，7，8号化工产品对应按要求安全存放：7放入①，8放入②，5放入③，6放入④；或者6放入①，7放入②，8放入③，5放入④；两种放法．综上所述：共有种放法．应选B．例4、在正方体中，过任意两个顶点的直线中成异面直线的有____________对．解法一：连成两条异面直线需要4个点，因此在正方体8个顶点中任取4个点有种取法．每4个点可分共面和不共面两种情形，共面的不符合条件得去掉.因为在6个表面和6个体对角面中都有四点共面，故有种．但不共面的4点可构成四面体，而每个四面体有3对异面直线，故共有对．解法二：一个正方体共有12条棱、12条面对角线、4条体对角线，计28条，任取两条有种情形，除去其中共面的情形：〔1〕6个表面，每个面上有6条线共面，共有条；〔2〕6个体对角面，每个面上也有6条线共面，共有条；〔3〕从同一顶点动身有3条面对角线，任意两条线都共面，共有，故共有异面直线－－－=174对．题型二：求展开式中的系数例5、〔08广东理10〕〔是正整数〕的展开式中，的系数小于120，那么__________．解：按二项式定理展开的通项为，我们明白的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取1．例6、假设多项式，那么a9等于〔〕A．9B．10C．－9D．－10解：=∴．例7、展开式中第6项与第7项的系数的绝对值相等，求展开式中系数最大的项和系数绝对值最大的项．解：，依题意有，∴n=8．那么展开式中二项式系数最大的项为．设第r＋1项系数的绝对值最大，那么有．那么系数绝对值最大项为．例8、求证：．证：〔法一〕倒序相加：设①又∵②∵，∴，由①＋②得：，∴，即．〔法二〕：左边各组合数的通项为，∴．〔法三〕：题型三：求复杂事件的概率例9、〔08福建理5〕某一批花生种子，假如每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是〔〕A．B．C．D．解：由．例10、甲、乙两个围棋队各5名队员按事先排好的顺序进行擂台赛，双方1号队员先赛，负者被剔除，然后负方的队员2号再与对方的获胜队员再赛，负者又被剔除，一直如此进行下去，直到有一方队员全被剔除时，另一方获胜，假设每个队员的实力相当，那么甲方有4名队员被剔除，且最后战胜乙方的概率是多少？解：依照竞赛规那么可知，一共竞赛了9场，同时最后一场是甲方的5号队员战胜乙方的5号队员，而甲方的前4名队员在前8场竞赛中被剔除，也确实是在8次独立重复试验中该事件恰好发生4次的概率，可得，又第9场甲方的5号队员战胜乙方的5号队员的概率为，因此所求的概率为．题型四：求离散型随机变量的分布列、期望和方差例11、某先生居住在城镇的A处，预备开车到单位B处上班. 假设该地各路段发生堵车事件差不多上相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．〔例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为〔1〕请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；〔2〕假设记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望解：〔1〕记路段MN发生堵车事件为MN．因为各路段发生堵车事件差不多上独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，因此路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为=1－[1－P〔AC〕][1－P〔CD〕][1－P〔DB〕]=1－；同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为1－P〔〔小于〕．路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为1－P〔〔小于〕．明显要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小．只可能在以上三条路线中选择．因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．〔2〕路线A→C→F→B中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3．答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为例12、如下图，甲、乙两只小蚂蚁分别位于一个单位正方体的点和点，每只小蚂蚁都能够从每一个顶点处等可能地沿各条棱向各个方向移动，但不能按原线路返回．比如，甲在处时能够沿、、三个方向移动，概率差不多上；到达点时，可能沿、两个方向移动，概率差不多上，小蚂蚁每秒钟移动的距离为1个单位．(Ⅰ)假设甲、乙两只小蚂蚁都移动1秒钟，那么它们所走的路线是异面直线的概率是多少？它们之间的距离为的概率是多少？(Ⅱ)假设乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒钟后，甲、乙两只小蚂蚁之间的距离的期望值是多少？解：(Ⅰ)甲蚂蚁移动1秒能够有三种的走法：即沿、、三个方向，当沿方向时，要使所走的路线成异面直线，乙蚂蚁只能沿、C1C方向走，概率为，同理当甲蚂蚁沿方向走时，乙蚂蚁走、C1C，概率为，甲蚂蚁沿时，乙蚂蚁走、，概率为，因此他们所走路线为异面直线的概率为；甲蚂蚁移动1秒能够有三种走法：即沿、、三个方向，当甲沿方向时，要使他们之间的距离为，那么乙应走，现在的概率为，同理，甲蚂蚁沿方向走时、甲蚂蚁沿方向走时，概率都为，因此距离为的概率为．(Ⅱ)假设乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒后，甲乙两个蚂蚁之间距离的取值有且只有两个：和，当时，甲是按以下路线中的一个走的：、、、、、，因此其概率为，当时，甲是按以下路线中的一个走的：、、、、、、因此其概率为，因此三秒后距离期望值为．例13、〔08湖北理17〕袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个〔n=1，2，3，4〕.现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．〔Ⅰ〕求ξ的分布列，期望和方差；〔Ⅱ〕假设η=aξ－b，Eη=1，Dη=11，试求a，b的值．解：〔1〕的分布列为：0 1 2 3 4因此．〔2〕由，得，即，又，因此当时，由，得；当时，由，得．，或，即为所求．题型五：统计知识例14、〔08广东〕某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，那么应在三年级抽取的学生人数为〔〕一年级二年级三年级女生373男生377 370A．24B．18C．16D．12解：依题意我们明白二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为．答案：C例15、在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布．成绩在90分以上〔含90分〕的学生有12名．〔Ⅰ〕试问此次参赛学生总数约为多少人？〔Ⅱ〕假设该校打算奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的〔部分〕标准正态分布表．0 1 2 3 4 5 6 7 8 91.2 1.3 1.41.92.0 2.1 0.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880. 98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857解：〔Ⅰ〕设参赛学生的分数为，因为～N(70，100)，由条件知，P(≥90)＝1－P〔<90〕＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－0.9772＝0.0228．这说明成绩在90分以上〔含90分〕的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，因此，参赛总人数约为≈526〔人〕．〔Ⅱ〕假定设奖的分数线为x分，那么P(≥x)＝1－P〔<x〕＝1－F(90)＝1－＝＝0.0951，即＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1．故设奖的分数线约为83.1分.。
高二数学23—排列、组合、二项式定理及概率练习题
高二数学23—排列、组合、二项式定理及概率练习题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高二数学23—排列、组合、二项式定理及概率练习题1．若从集合P 到集合Q={a,b,c}所有不同的映射共有81个，则从集合Q 到集合P 可作的不同的映射共有（ ）A ．32个B ．27个C ．81个D ．64个2．某班举行联欢会，原定的五个节目已排出节目单，演出前又增加了两个节目，若将这两 个节目插入原节目单中，则不同的插法总数为（ ）A ．42B ．36C ．30D ．123．全班48名学生坐成6排，每排8人，排法总数为P ，排成前后两排，每排24人，排法 总数为Q,则有（ ）A ．P>QB ．P=QC ．P<QD ．不能确定4．从正方体的六个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）种A ．8B ．12C ．16D ．205．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配 方案共有（ ）A ．4448412C C C B ．44484123C C C C ．334448412A C C C D ．334448412A C C C 6．某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼 的外墙，现有编号为1~6的六种不同花色的装饰石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有（ ）种A ．350B ．300C ．65D ．507．有8人已站成一排，现在要求其中4人不动，其余4人重新站位，则有（ ）种 重新站位的方法A ．1680B ．256C ．360D ．2808．一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有（ ）种不同的坐法A ．7200B ．3600C ．2400D ．1200 9．在(311xx +)n 的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024，则中间项 的二项式系数是 （ ）A. 462B. 330C.682D.79210.在(1+a x )7的展开式中,x 3项的系数是x 2项系数与x 5项系数的等比中项,则a 的值为( ) A.510 B.35 C.925 D.32511．袋内放有2个5分硬币，3个2分硬币，5个1分硬币，任意抓取其中5个，则总币值超过1角的概率是（ ）A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.712．卖水果的某个个体户，在不下雨的日子可赚100元，在下雨天则要损失10元，该地区每年下雨的日子约有130天，则该个体户每天获利的期望是（1年按365天计算）（ ）A. 90元B. 45元C. 55元D. 60.82 元13．10颗骰子同时掷出，共掷5次，至少有一次全部出现一个点的概率是（ ） A.510)65(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡- B. 106)65(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡- C. 105)61(11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-- D.510)61(11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-- 14．甲口袋内装有大小相等的8个红球和4个白球，乙口袋内装有大小相等的9个红球和3个白球，从两个口袋内各摸1个球，那么125等于（ ） A ．2个球都是白球的概率 B ．2个球中恰好有1个是白球的概率C ．2个球都不是白球的概率D ．2个球不都是白球的概率15．设每门高射炮命中飞机的概率为0.6 ,今有一飞机来犯，问需要（ ）门高射炮射击，才能以至少0.99的概率命中它。
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16．在编号为 1，2，3，…，n 的 n 张奖卷中，采取不放回方式抽奖，若 1 号为获奖号码，则在第 k 次（1≤k≤n）抽签 时抽到 1 号奖卷的概率为________
三、解答题（本大题共 6 小题，共 76 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （ 小题， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） + 17． （本小题满分 12 分）设 m，n∈Z ，m、n≥1，f（x）=（1+x）m+（1+x）n 的展开式中，x 的系数为 19。 （1）求 f（x）展开式中 x2 的系数的最大、小值； （2）对于使 f（x）中 x2 的系数取最小值时的 m、n 的值，求 x7 的系数。
23、甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道试题中，甲能答对其中的 6 题，乙能答对其中的 8 题.规 、 定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对 2 题才算合格. （Ⅰ）分别求甲、乙两人考试合格的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 【 （Ⅰ）
2 14 44 和 . （Ⅱ） .】 3 15 45
C.
4 5
D.
9 10
2. 某人射击 5 枪，命中 3 枪，3 枪中恰有 2 枪连中的概率为（ A.
）
2 5
B.
3 5
C.
1 10
D.
1 20
3. 一批产品中，有 n 件正品和 m 件次品，对产品逐个进行检测，如果已检测到前 k（k＜n ) 次均为正品，则第 k+1 次 检测的产品仍为正品的概率是（ ） A.
n−k n+m−k n − k −1 C. n + m − k −1
k +1 n+m k +1 D. n+m−k
B.
4. 有一人在打靶中，连续射击 2 次，事件“至少有 1 次中靶”的对立事件是（
）
中小学 1 对 1 课外辅导专家 A.至多有 1 次中靶 C.2 次都不中靶 B.2 次都中靶 D.在电路中，每个电子元件能正常工作的概率为 0.5，要使整个线路正常工作的概率不小于 0.95，n 至少为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6
8.一射手对同一目标独立地进行 4 次射击，已知至少命中一次的概率为 A.
80 ，则此射手的命中率是（ ） 81
1 3
B.
2 3
中小学 1 对 1 课外辅导专家
北智教育学科教师辅导讲义 北智教育学科教师辅导讲义 教育学科教师
讲义编号
学员编号: 学员编号 hwj53 学员姓名： 学员姓名： 陈 卓 学科组长签名及日期 学科组长签名及日期 课 题 年 级：高二 辅导科目： 辅导科目：数学 教务长签名及日期 教务长签名及日期 课时数： 课时数： 3 学科教师： 学科教师：雷 倩
展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项。
解：由题意 2 2 n − 2 n = 992 ,解得 n = 5 。
1 ① (2 x − )10 的展开式中第 6 项的二项式系数最大, x
中小学 1 对 1 课外辅导专家
1 5 即 T6 = T5+1 = C10 ⋅ (2 x) 5 ⋅ (− ) 5 = −8064 . x
答案：Ａ 答案：ＡBACCA ：Ａ
CBABBC
34
4 9
1 6
1 n
考点及考试要求
排列、组合、二项式定理的计算。
教学内容 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 选择题 本大题共 小题， 1. 3 名老师随机从 3 男 3 女共 6 人中各带 2 名学生进行实验，其中每名老师各带 1 名男生和 1 名女生的概率为（ ） A.
2 5
B.
3 5
解：8 位游客在 3 个景点随机下车的基本事件总数有 38=6561 种。 有两个景点停车，且停车点至少有 1 人下车的事件数有
7 2 2 C3 （ C1 + C8 +…+ C8 ）=3（28－2）=762 种。 8
∴恰好有 2 次停车的概率为
762 254 = 。 6561 2187
1 20． （本小题满分 12 分）已知 (3 x + x 2 ) 2 n 的展开式的系数和比 (3 x − 1) n 的展开式的系数和大 992,求 (2 x − ) 2 n 的 x
二、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 填空题（ 13．四封信投入 3 个不同的信箱，其不同的投信方法有
种。
14．设口袋中有 4 只白球和 2 只黑球，现从口袋中取两次球，第一次取出一只球，观察它的颜色后放回口袋中，第二 次再取出一只球，两次都取得白球的概率为________
15．若以连续投掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的坐标，则点 P 落在直线 x+y=5 下方的概率是________
5.在一块并排 10 垄的土地上，选择 2 垄分别种植 A、B 两种植物，每种植物种植 1 垄，为有利于植物生长，则 A、B 两种植物的间隔不小于 6 垄的概率为（ ） A.
1 30
B.
4 15
C.
2 15
D.
1 30
6.某机械零件加工由 2 道工序组成，第一道工序的废品率为 a，第二道工序的废品率为 b，假定这 2 道工序出废品是彼 此无关的，那么产品的合格率是（ ） A.ab－a－b+1 B.1－a－b C.1－ab D.1－2ab
二项式定理概率综合 二项式定理概率综合
备课时间： 备课时间： 2009 年 5 月 6 日
授课时间： 授课时间：2009 年 5 月 10 日 13：15-15：15 ： ： 教学目标
让学生掌握排列组合、二项式定理的意义，能合理利用排列组合、二项式定理解决问题。
重点、 重点、难点
综合运用所学知识解决相关问题
8 11 ≤ r ≤ ,∴ r = 3 ,故系数的绝对值最大的是第 4 项. 3 3 21． （本小题满分 12 分）有 6 个房间安排 4 个旅游者住宿，每人可以随意进哪一间，而且一个房间也可以住几个 人。求下列事件的概率： （1）事件 A：指定的 4 个房间中各有 1 人； （2）事件 B：恰有 4 个房间中各有 1 人； （3） 事件 C：指定的某个房间中有两人；（4）事件 D：第 1 号房间有 1 人，第 2 号房间有 3 人。
②设第 r + 1 项的系数的绝对值最大,
1 r r 则 Tr +1 = C10 ⋅ (2 x)10 − r ⋅ (− ) r = (−1) r ⋅ C10 ⋅ 210 − r ⋅ x 10 − 2 r x
r r −1 r 10 − r ≥ C10−1 ⋅ 210 − r +1 r 11 − r ≥ 2r C10 ⋅ 2 C10 ≥ 2C10 ∴ ,得 ,即 r 10 − r r +1 10 − r −1 r r +1 C10 ⋅ 2 2C10 ≥ C10 ≥ C10 ⋅ 2 2(r + 1) ≥ 10 − r
）
中小学 1 对 1 课外辅导专家 A.
1 24
B.
11 24
C.
17 24
D.1
11．事件 A 与事件 B 互斥是事件 A、事件 B 对立的（ ） A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.充分必要条件；D.既不充分也不必要条件
12．若 P（AB）=0，则事件 A 与事件 B 的关系是（ ） A.互斥事件；B.A、B 中至少有一个是不可能事件；C.互斥事件或至少有一个是不可能事件；D.以上都不对
1 3
2 2 （3）指定的某个房间两个人的不同的住法总数为： C 4 × 5 × 5 （种），∴ P (C ) = C 4 × 5 2 / 6 4 = 25 / 216 。
（4）第一号房间 1 人，第二号房间 3 人的不同住法总数为： C 4 C 3 = 4 （种），
∴ ( D ) = 4 / 6 4 = 1 / 324
2 C1 C 2 C1 C1 =120，四只恰成两双的取法是 C 5 =10。 5 4 2 2 2 C1 C 2 C1 C1 + C 5 130 13 5 4 2 2 = = 4 C10 210 21
∴所取的 4 只鞋中至少有 2 只是成双的概率为
19． （本小题满分 12 分）有 8 位游客乘坐一辆旅游车随机到 3 个景点中的一个景点参观，如果某景点无人下车，该车 就不停车，求恰好有 2 次停车的概率。
C.
1 4
D.
2 5
9.某工人一天出废品的概率为 0.2，工作 4 天恰有一天出废品的概率是（ ）
1 A. C 4 0.2 × 0.8 3 1 B. C 4 0.8 × 0.2 3
C.0.8 4
D.0.24
10.有一道竞赛题，甲解出它的概率为 此题，只有 1 人解出此题的概率是（
1 1 1 ，乙解出它的概率为 ，丙解出它的概率为 ，则甲、乙、丙三人独立解答 2 3 4
7
4 解：基本事件总数是 C10 =210。
（1）恰有两只成双的取法是 C 5 C 4 C 2 C 2 =120。
1
2
1
1
中小学 1 对 1 课外辅导专家
C1 C 2 C1 C1 120 4 ∴所取的 4 只鞋中恰好有 2 只是成双的概率为 5 4 4 2 2 = = C10 210 7
(2)事件“4 只鞋中至少有 2 只是成双”包含的事件是“恰有 2 只成双”和“4 只恰成两双”，恰有两只成双的取法是
∴
解：4 个人住进 6 个房间，所有可能的住房结果总数为： （1）指定的 4 个房间每间 1 人共有 A （2）恰有 4 个房间每间 1 人共有 A
4 4 种不同住法。 4 4 4
4 6 种不同住法。
（种） 。